1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady"

Transkrypt

1 Tekst ten jest dostępny na stronie cstefan/ W razie potrzeby tam będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia 1 Pierścienie i ich homomorfizmy Ideał, pierścień ilorazowy Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady Definicja 11 Niech X będzie zbiorem Działaniem dwuargumentowym na zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie α: X X X Zamiast α(x, y) piszemy xαy, zamiast pisać działanie dwuargumentowe piszemy po prostu działanie Definicja 12 Niech R będzie dowolnym zbiorem, θ R elementem wyróżnionym (nazywanym elementem neutralnym działania ) oraz, będą dwoma działaniami na tym zbiorze o następujących własnościach: 1 Działanie jest łączne, to znaczy: x,y,z X (x y) z = x (y z), 2 Działanie jest przemienne, to znaczy: x,y X x y = y x 3 Dla każdego x R istnieje element y R taki, że x y = θ Oznaczamy go x 4 Działanie jest łączne, to znaczy x,y,z X (x y) z = x (y z) 5 Działanie jest rozdzielne względem działania, to znaczy: x,y,z X x (y z) = (x y) (x z) Wówczas (R,,, θ) nazywamy pierścieniem Ponadto, jeżeli istnieje e R takie, że dla każdego x R zachodzi równość x e = x = e x, to element e nazywamy elementem neutralnym działania lub po prostu jedynką a (R,,, θ, e) nazywamy pierścieniem z jedynką Jeżeli działanie jest przemienne, to (R,,, θ) nazywamy pierścieniem przemiennym Uwaga 11 Zauważmy, że powyższą definicję można sformułować krócej w języku teorii grup: jeżeli mamy zbiór R, działania, na R oraz elementy wyróżnione θ (oraz e), to (R,,, θ) ((R,,, θ, e)) nazywamy pierścieniem (z jedynką), jeżeli (R,, θ) jest grupą abelową, działanie jest łączne i rozdzielne względem działania (oraz e jest elementem neutralnym działania ) Przykład 11 Pierścieniem przemiennym bez jedynki jest zbiór liczb parzystych ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia liczb całkowitych Zauważmy też, że zbiór liczb nieparzystych z takimi działaniami nie tworzy pierścienia gdyż nie jest zamknięty na dodawanie W dalszym ciągu będziemy zakładali, że każdy rozważany pierścień jest pierścieniem z jedynką (różną od zera), chyba, że będzie wyraźnie zaznaczone inaczej Będziemy też pisać pierścień R zamiast pierścień (R,,, θ, e), ale z formalnego punktu widzenia są to różne pojęcia Przykład 12 Kilka przykładów pierścieni: 1 Niech R = {a} będzie zbiorem Określamy na nim działania, następująco: a a = a oraz a a = a Łatwo sprawdzić, że jest to pierścień przemienny z jedynką Co więcej, łatwo pokazać, że jeżeli mamy pierścień (R,,, θ, e) taki, że e = θ, to R = {θ} Taki pierścień nazywamy pierścieniem trywialnym 2 Najbardziej znanymi przykładami pierścieni są zbiory Z, Q, R (odpowiednio: zbiór liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych )ze zwykłymi działaniami +, dodawania i mnożenia liczb (będziemy stosowali skrót ab = a b) Zbiór liczb naturalnych z takimi działaniami nie tworzy pierścienia 1

2 3 W zbiorze liczb zespolonych C = R R działania określamy następująco: dla (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) C, gdzie x 1, x 2, y 1, y 2 R określamy: (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + y 1 x 2 ) Oznaczmy i = (0, 1) i zauważmy, że i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) Zauważmy, że dla dowolnego y R mamy: (0, y) = (0, 1) (y, 0) Jeżeli utożsamimy elementy postaci (x, 0) C z x R to dostaniemy, że dla dowolnego (x, y) C mamy równość: (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) (y, 0) = x + iy W postaci x + iy zapisuje się zazwyczaj liczbę zespoloną 4 Pierścień macierzy M(n, R) z działaniami dodawania i mnożenia macierzy jest pierścieniem (z jedynką), ale nie jest przemienny 5 Rozważmy zbiór liczb całkowitych Z z działaniami, określonymi wzorami: jeżeli a, b Z, to a b = a + b + 1 oraz a b = a + b + ab Łatwo sprawdzić, że jest to pierścień przemienny z elementami neutralnymi: θ = 1, e = 0 6 Niech p N Rozważmy zbiór Z p = {0, 1,, p 1} oraz działania a b = a + b mod p, a b = ab mod p Wówczas (Z p,,, 0, 1) jest pierścieniem przemiennym Definicja 13 Podzbiór S pierścienia R nazywamy jego podpierścieniem, jeżeli jest on pierścieniem ze względu na te same działania, co pierścień R Przykład 13 Kilka przykładów podpierścieni: 1 Oczywiście pierścień Z jest podpierścieniem Q, R oraz C; Q jest podpierścieniem R, C; R jest podpierścieniem C 2 Zbiór Z p jest podpierścieniem Z r wtedy i tylko wtedy, gdy p dzieli r 3 Jeżeli R jest pierścieniem to ma zawsze przynajmniej dwa podpierścienie: pierścień trywialny {θ} oraz R 4 Zbiór Z p nie jest pierścieniem ze względu na działania z Z zatem Z p nie jest podpierścieniem pierścienia Z W dalszym ciągu, jeżeli nie będzie to prowadzić do nieporozumień, działania będziemy oznaczali + oraz (a nawet będziemy stosowali skrót ab = a b) oraz będziemy je nazywać dodawaniem i mnożeniem (odpowiednio) Definicja 14 Niech R i S będą pierścieniami Funkcję f : R S nazywamy homomorfizmem, jeśli spełnione są warunki: dla dowolnych a, b R 1 f(a + b) = f(a) + f(b) 2 f(ab) = f(a)f(b) Warto odnotować, że a + b jest dodawaniem w pierścieniu R zaś f(a) + f(b) jest dodawaniem w pierścieniu S Definicja 15 Załóżmy, że R i S są pierścieniami i niech f : R S będzie homomorfizmem Jądrem homomorfizmu nazywamy zbiór ker f = {a : f(a) = 0} zaś obrazem nazywamy zbiór Im f = {b S : a R f(a) = b} Ponadto homomorfizm f : R S nazywamy: 1 endomorfizmem, jeżeli jest surjekcją (lub równoważnie Im f = S), 2 monomorfizmem, jeżeli jest injekcją (lub równoważnie ker f = {θ}), 2

3 3 izomorfizmem, jeżeli istnieje homomorfizm g : S R taki, że g f = Id R oraz f g = Id S (lub równoważnie f jest endomorfizmem i monomorfizmem) Mówimy wtedy, że pierścienie R i S są izomorficzne Przykład 14 Kilka przykładów homomorfizmów: 1 W przykładzie 3 pokazaliśmy, że pierścień C jest izomorficzny z pierścieniem R(i) = {a+bi : a, b R} 2 Można pokazać, że odwzorowanie f : Z Z p dane wzorem f(a) = a mod p jest homomorfizmem pierścieni 3 Niech S będzie podpierścieniem pierścienia R Wówczas włożenie j : S R dane wzorem j(x) = x jest homomorfizmem pierścieni Definicja 16 Niepusty podzbiór I pierścienia R nazywa się ideałem, jeśli: 1 a,b I a b I, 2 a I b R (ab I ba I) (jeżeli pierścień jest przemienny to wystarczy pisać jeden z warunków) Jeżeli I jest ideałem pierścienia R, to oznaczamy to I R Z definicji natychmiast wynika, że jeżeli I jest ideałem pierścienia R, to I jest podpierścieniem pierścienia R Z drugiej strony, nie każdy podpierścień musi być ideałem: wystarczy rozważyć podpierścień Q pierścienia R Przykład 15 Podamy kilka przykładów ideałów: 1 Każdy pierścień R zawiera ideały trywialne {θ} i R Nazywamy je ideałami niewłaściwymi, każdy zaś różny od nich nazywamy ideałem właściwym 2 Podzbiór liczb parzystych jest ideałem pierścienia liczb całkowitych W ogóle każdy zbiór wielokrotności ustalonej liczby naturalnej n jest ideałem pierścienia Z 3 Jeśli f : R S jest homomorfizmem pierścieni, to jego jądro ker f jest ideałem w pierścieniu R (obraz jest podpierścieniem pierścienia S) Niech I będzie ideałem pierścienia R Dla a, b R określamy relację: a b a b I Łatwo sprawdzić, że jest to relacja równoważności Klasę abstrakcji [a] oznaczamy a + I, zbiór klas abstrakcji R/ oznaczamy R/I Na zbiorze R/I określamy działania: (a+i) (b+i) = (a+b)+i oraz (a+i) (b+i) = (ab) + I Łatwo sprawdzić, że R/I z tak określonymi działaniami oraz elementami neutralnymi θ = θ + I oraz e = e + I jest pierścieniem Nazywamy go pierścieniem ilorazowym W dalszym ciągu działania w pierścieniu ilorazowym będziemy oznaczali tak jak w wyjściowym pierścieniu Twierdzenie 12 (Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie dla pierścieni) Jeśli f : R S jest homomorfizmem pierścieni oraz I jest ideałem w pierścieniu R takim, że I ker f, to funkcja g : R/I S dana wzorem g(a+i) = f(a) jest dobrze określonym homomorfizmem Ponadto, jeżeli I = ker f, to tak określone odwzorowanie g jest izomorfizmem Przykład 16 Z powyższego twierdzenia wynika, że pierścienie Z/Zm i Z m są izomorficzne, gdzie Zm = {zm : z Z} Definicja 17 Ideał I pierścienia R nazywa się ideałem pierwszym, jeśli z tego, że iloczyn dwóch elementów pierścienia R należy do I, wynika, że przynajmniej jeden z nich należy do I Symbolicznie: a,b R [(ab I) = (a I b I) Ideał właściwy I pierścienia R nazywamy ideałem maksymalnym, jeśli nie zawiera się w żadnym różnym od siebie ideale właściwym pierścienia R Symbolicznie: I J = (I = J J = R) 3

4 Definicja 18 Element a pierścienia R nazywamy dzielnikiem zera, jeśli a θ oraz istnieje element b R, b θ, taki, że ab = θ Pierścień R nazywa się dziedziną (całkowitości), jeśli θ e oraz w pierścieniu R nie ma dzielników zera Fakt 13 Jeżeli a, b, c są elementami dziedziny R takimi, że ac = bc oraz c θ, to a = b Definicja 19 Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = e (taki element b oznaczamy przez a 1 ) Jeżeli a θ nie jest odwracalny, to nazywamy go elementem nieodwracalnym Definicja 110 Mówimy, że pierścień przemienny z jedynką (K,,, θ, e) jest ciałem jeżeli każdy x K\{θ} jest odwracalny Taki element będziemy oznaczali x 1 Równoważnie, możemy powiedzieć, że (K,,, θ, e) jest ciałem, jeżeli (K,, θ), (K\{θ},, e) są grupami oraz działanie jest rozdzielne względem działania Grupę (K,, θ) nazywamy grupą addytywną ciała K zaś (K\{θ},, e) nazywamy grupą multiplikatywną ciała K Definicja 111 Najmniejszy ideał pierścienia R zawierający podzbiór X R nazywamy ideałem generowanym przez zbiór X i oznaczamy (X) Ideał I pierścienia R nazywamy głównym, jeśli istnieje element a R taki, że I = (a) Dziedzinę R nazywa się dziedziną ideałów głównych, jeśli wszystkie ideały w pierścieniu R są główne Uwaga 14 Niech R będzie pierścieniem przemiennym oraz I R Wówczas: 1 I jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień R/I jest dziedziną 2 I jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień R/I jest ciałem Ponadto każdy ideał maksymalny w pierścieniu R jest pierwszy Przykład 17 Rozważmy następujące przykłady: 1 W pierścieniu liczb całkowitych jedynymi ideałami maksymalnymi są ideały postaci (p), gdzie p jest liczbą pierwszą Ponadto, jedynymi ideałami pierwszymi są ideały takiej postaci dla p = 0, 1 lub jeżeli p jest liczbą pierwszą 2 Jeżeli K jest ciałem, to jedynymi ideałami w K są ideały niewłaściwe Zatem każde ciało jest dziedziną ideałów głównych 3 W pierścieniu liczb całkowitych każdy ideał jest główny, zatem jest to dziedzina ideałów głównych Dziedziną ideałów głównych jest także pierścień Z p 4 Jeżeli K jest ciałem to pierścień wielomianów jednej zmiennej K[X] jest dziedziną ideałów głównych Kilka przykładów ciał: 5 Oczywiście, pierścienie Q, R, C są ciałami, pierścień Z nie jest ciałem 6 Pierścień Z p jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy p jest liczbą pierwszą 2 Pierścień wielomianów o współczynnikach w danym pierścieniu przemiennym Ideały w pierścieniu K[X] (K jest ciałem) Wielomiany nierozkładalne Pierwiastki wielomianu, twierdzenie Bezouta Przez cały paragraf zakładamy, że (R, +,, 1, 0) jest pierścieniem przemiennym oraz K jest ciałem Zakładamy, że N = {0, 1, } 4

5 Definicja 21 Pierścieniem wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach w pierścieniu R nazywamy zbiór: R = {f : N R : #{n N : f(n) 0} < } wraz z działaniami (f +g)(n) = f(n)+g(n), fg(n) = f(0)g(n)+f(1)g(n 1)+ { +f(n 1)g(1)+f(n)g(0) 1 jeżeli n = 0 dla n N, f, g R oraz elementami neutralnymi: 0(n) = 0 oraz 1(n) = Elementy zbioru 0 jeżeli n = 1 R nazywamy wielomianami Łatwo sprawdzić, że jest to rzeczywiście pierścień { a jeżeli n = 0 Uwaga 21 Dla dowolnego elementu a R definiujemy a R wzorem a(n) = 0 jeżeli n = 1 Odwzorowanie przyporządkowujące elementowi a R element a R jest homomorfizmem pierścieni Będziemy odtąd traktować pierścień R jako podpierścień R Definicja 22 Stopniem wielomianu f R nazywamy deg f = max{n N : f(n) 0} (przyjmujemy, że max = ) { 1 jeżeli n = 1 Definiujemy X R wzorem: X(n) = Łatwo pokazać, że dla dowolnego m N 0 jeżeli n 1 { mamy: X m 1 jeżeli n = m (n) = 0 jeżeli n m Można pokazać, że każdy element pierścienia R ma jednoznaczne przedstawienie f = i=0 f ix i, gdzie prawie wszystkie f i są równe 0 Możemy zatem pierścień R określić jako najmniejszy pierścień zawierający pierścień R oraz odwzorowanie X Dlatego pierścień wielomianów oznaczamy przez R[X] Otrzymujemy zatem, że R[X] = { a i X i : a i = 0 dla prawie wszystkich i N} i=0 Działania możemy zapisać następująco: jeżeli f = n i=0 f ix i, g = m i=0 g ix i, to określamy: f + g = max{n,m} i=0 n+m i (f i + g i )X i oraz fg = ( f k g k i )X i Dla wielomianu f = n i=0 f ix i R[X] element f i nazywamy współczynnikiem wielomianu f Zauważmy, że f i = f(i) Definicja 23 Pierścieniem wielomianów wielu zmiennych o współczynnikach w R nazywamy zbiór z działaniami określonymi następująco: i=0 k=0 R n = {g : N n R : g(α) = 0 dla prawie wszystkich α N n } (f + g)(α) = f(α) + g(α) oraz fg(γ) = α+β=γ f(α)g(β) { 1 if α = (0,, 0) Łatwo sprawdzamy, że otrzymujemy w ten sposób pierścień z 1(α) = 0 if α (0,, 0) Podobnie jak poprzednio pierścień R traktujemy jako podpierścień tak zdefiniowanego pierścienia W N n wyróżniamy elementy ɛ i = (0,{, 0, 1, 0,, 0) (1 jest na i-tym miejscu) Definiujemy elementy X 1,, X n R n 1 jeżeli α = ɛ i wzorem: X i (n) = 0 jeżeli α ɛ i 5

6 Lemat 22 Każdy wielomian f R n ma jednoznaczne przedstawienie: f = α=(α 1,,α n) f αx α1 Xα n Ponadto f α = f(α) dla każdego α N n oraz f α = 0 dla prawie wszystkich α N n Podobnie jak wcześniej, pierścień wielomianów można określić jako najmniejszy pierścień zawierający pierścień R oraz odwzorowania X 1,, X n Dlatego zapisujemy ten pierścień R[X 1,, X n ] Pierścień R[X 1,, X n ] można też określać indukcyjnie, to znaczy określić go następująco: R[X 1 ] jak wcześniej oraz R[X 1,, X n ] = R[X 1,, X n 1 ][X n ] Załóżmy, że K jest ciałem i rozważmy pierścień K[X] Definicja 24 Wielomian f K[X] nazywa się nierozkładalnym, jeśli deg f > 0 oraz f nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopni mniejszych niż stopień f Największym wspólnym dzielnikiem wielomianów f, g 0 K[X] nazywamy wielomian d K[X] taki, że spełnione są następujące warunki: 1 d a d b, 2 Jeżeli d a d b, to d d Oznaczamy go NW D(f, g) Prosta indukcja pokazuje, że każdy wielomian z K[X] jest iloczynem wielomianów nierozkładalnych Ponadto, jedynymi elementami odwracalnymi w K[X] są niezerowe wielomiany stopnia 0 Twierdzenie 23 Niech K będzie ciałem Wówczas: 1 Każdy ideał w I w pierścieniu K[X] jest główny Jeśli I 0, to I jest generowany przez wielomian z I\{0} najniższego stopnia 2 Niech f, g K[X] Wówczas NW D(f, g) istnieje i jest to generator ideału (f, g) W szczególności, NW D(f, g) = uf + vg dla pewnych u, v K[X] 3 Niech f K[X] będzie wielomianem nierozkładalnym oraz niech f gh dla pewnych g, h K[X] Wówczas f g lub f h 4 Niech f K[X] Wówczas ideał (f) jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy f = 0 lub f jest nierozkładalny Ponadto, każdy niezerowy ideał pierwszy w K[X] jest maksymalny 5 Jeśli f K[X] i deg f > 0, to f jest iloczynem wielomianów nierozkładalnych, przy czym jeśli f = f 1 f s = g 1 g r są dwoma rozkładami f na iloczyn wielomianów nierozkładalnych to s = r oraz istnieje permutacja σ i t 1, t r K\{0} takie, że f i = t i g σ(i) dla i = 1,, r Definicja 25 Niech f = n i=0 f ix i Wartością wielomianu f dla argumentu c K nazywamy element tego ciała n i=0 f ic i Oznaczamy go f(c) Element c K nazywa się pierwiastkiem wielomianu f, jeśli f(c) = 0 Twierdzenie 24 (Bezouta) Niech f K[X] Element c K jest pierwiastkiem wielomianu f wtedy i tylko wtedy, gdy (X c) f Definicja 26 Krotnością pierwiastka c K wielomianu f K[X] nazywamy liczbę k N taką, że (X c) k f i (X c) k+1 f Twierdzenie 25 Wielomian f K[X] ma co najwyżej deg f pierwiastków Jeżeli ciało jest algebraicznie zamknięte (to znaczy każdy wielomian nad tym ciałem ma pierwiastek) to wielomian f K[X] ma dokładnie deg f pierwiastków Przykład 21 Kilka przykładów: 1 W pierścieniu K[X, Y ] nie każdy ideał jest główny 6

7 2 Wielomian X R[X] jest nierozkładalny, natomiast wielomian X C[X] jest rozkładalny Co więcej, jednymi wielomianami nierozkładalnymi nad C są wielomiany stopnia pierwszego, nad R są to wielomiany stopnia 1 i 2 3 Dowodzi się, że jeżeli p jest liczbą pierwszą, to wielomian X p X + 1 Q[X] jest nierozkładalny 3 Przestrzenie i przekształcenia liniowe Baza i wymiar przestrzeni, macierz przekształcenia - definicje i przykłady Przypuśćmy, że dane są: ciało K, niepusty zbiór E oraz dwa działania: +: E E E (działanie wewnętrzne w zbiorze E) : K E E (działanie zewnętrzne w zbiorze E) Będziemy stosować zapis +(x, y) = x + y, (r, x) = r x = rx Definicja 31 Czwórkę (E, K, +, ) nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K, jeżeli spełnione są warunki: 1 x,y E x + y = y + x, 2 x,y,z E (x + y) + z = (x + y) + z, 3 0 E x E takie, że 0 + x = x, 4 x E y E x + y = 0, taki element y oznaczamy x, 5 x E 1x = x 6 a1,a 2 K x E (a 1 a 2 )x = a 1 (a 2 x) 7 a1,a 2 K x E (a 1 + a 2 )x = a 1 x + a 2 x 8 a K x,y E a(x + y) = ax + ay Pierwsze 4 warunki powyższej definicji mówią, że (E, +, 0) jest grupą abelową W dalszym ciągu przestrzeń (E, K, +, ) oznaczać będziemy krótko przez E, zakładając, że przestrzeń E jest nad pewnym ustalonym ciałem K Definicja 32 Niepusty podzbiór E przestrzeni liniowej E nazywamy podprzestrzenią przestrzeni E, jeżeli 1 x,y E x + y E, 2 x E a K ax E Definicja 33 Niech x 1, x n E Mówimy, że wektory x 1, x n są liniowo niezależne, jeżeli z równości a 1 x a n x n = 0 wynika, że a 1 = = a n = 0 Mówimy, że wektory x 1, x n są liniowo zależne, jeżeli nie są liniowo niezależne, to znaczy, jeżeli istnieją a 1, a n K nie wszystkie równe zeru takie, że a 1 x a n x n = 0 Niech X = {x t } t T E Przez span X oznaczamy przestrzeń liniową składającą się z wszystkich skończonych kombinacji liniowych wektorów X, to znaczy przestrzeń: { n i=1 a ix i : a i K, n = 1, 2, } Oczywiście, jeżeli X jest podzbiorem przestrzeni liniowej E, to span X jest podprzestrzenią liniową przestrzeni E 7

8 Definicja 34 Niech X = {x t } t T E Mówimy, że zbiór X jest bazą przestrzeni E jeżeli span X = E oraz każdy skończony podzbiór zbioru X jest liniowo niezależny Twierdzenie 31 (Steinitza) Niech E będzie przestrzenią liniową z bazą {x 1,, x n } oraz niech wektory y 1,, y s E będą liniowo niezależne Wówczas s n oraz spośród wektorów x 1, x n można wybrać n s wektorów, które wraz z wektorami y 1, y n tworzą bazę przestrzeni E Z twierdzenia Steinitza wynika, że jeżeli przestrzeń E ma bazę n-elementową to każda baza w E ma dokładnie n elementów Definicja 35 Jeżeli przestrzeń liniowa E nad ciałem K ma skończoną bazę, to liczbę elementów tej bazy nazywamy wymiarem przestrzeni E i oznaczamy dim K E Jeżeli przestrzeń E nie ma skończonej bazy, to przyjmujemy dim K E = Przyjmuje się, że bazą przestrzeni zerowej jest układ pusty i że wymiar przestrzeni zerowej jest 0 Istnienie bazy w dowolnej przestrzeni liniowej wynika z lematu Kuratowskiego - Zorna Przykład 31 Rozważmy kilka przykładów przestrzeni liniowych: 1 Oczywiście każde ciało K jest jednowymiarową przestrzenią liniową nad K z bazą złożoną z elementu neutralnego 2 Jeżeli 1 jest elementem neutralnym ciała K, to w zbiorze K n określamy wektory: e i = (0,, 1,, 0) (1 na i-tym miejscu) dla i = 1,, n Dla x = (x 1,, x n ), y = (y 1,, y n ), a K określamy działania: x + y = (x 1 + y 1,, x n + y n ) oraz ax = (ax 1,, ax n ) Wówczas jest to przestrzeń liniowa z bazą e 1,, e n Stąd dim K K n = n W szczególności C n (R n ) jest przestrzenią liniową nad C(R) wymiaru n 3 Przestrzeń C n jest przestrzenią liniową nad R wymiaru 2n 4 Jeżeli m n, to K m jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej K n 5 Przestrzeń R jest przestrzenią liniową nad Q nieskończonego wymiaru 6 Można pokazać, że zbiór C(X) = {f : f : X R, f - ciągła} jest przestrzenią liniową nad R, jeżeli działania określimy następująco: dla f, g C(X), a R (f + g)(x) = f(x) + g(x), (rf)(x) = rf(x) Wymiar przestrzeni C(X) zależy od wymiaru przestrzeni X Na przykład, w skrajnym przypadku, gdy X jest przestrzenią jednopunktową, to dim R C(X) = 1 Na ogół C(X) jest jednak przestrzenią nieskończenie wiele wymiarową, na przykład jeśli X = [a, b], to ciąg funkcji {f n }, f n (x) = x n stanowi układ liniowo niezależny W podobny sposób można wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej na innych przestrzeniach funkcyjnych, na przykład na zbiorze funkcji całkowalnych oraz na zbiorze funkcji k-krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły C k (X) Co więcej C k (X) C 1 (X) C(X) są kolejnymi podprzestrzeniami liniowymi Definicja 36 Niech E, E będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K Odwzorowanie T : E E nazywamy liniowym, jeżeli dla dowolnych x 1, x 2 E i dla dowolnego a 1, a 2 K zachodzi równość: T (a 1 x 1 + a 2 x 2 ) = a 1 T (x 1 ) + a 2 T (x 2 ) Definicja 37 Niech E, E będą przestrzeniami liniowymi oraz niech T : E E będzie odwzorowaniem liniowym Jądrem odwzorowania T nazywamy zbiór ker T = {x E : T (x) = 0} Obrazem odwzorowania T nazywamy zbiór Im T = {y E : x E T (x) = y} Odwzorowanie liniowe T nazywamy monomorfizmem, jeśli ker T = {0}; epimorfizmem, jeśli Im T = E, izomorfizmem, jeżeli T jest monomorfizmem i epimorfizmem Zauważmy, że izomorfizm jest odwzorowaniem odwracalnym 8

9 Twierdzenie 32 Niech T : E E będzie odwzorowaniem liniowym Im T jest podprzestrzenią przestrzeni E, ker T jest podprzestrzenią przestrzeni E Twierdzenie 33 Dwie skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem, mające ten sam wymiar, są izomorficzne Uwaga 34 Niech L(E, E ) = {T : E E : T - odwzorowanie liniowe} Określamy działania: (T + S)(x) = T (x) + S(x), (at )(x) = at (x) dla T, S L(E, E ) oraz a K, x E Można sprawdzić, że zbiór L(E, E ) wraz z podanymi działaniami stanowi przestrzeń liniową Niech A będzie bazą przestrzeni E oraz niech T : E E będzie odwzorowaniem liniowym Wówczas, dla dowolnego x X istnieją x 1,, x n A, a 1,, a n K takie, że T (x) = a 1 T (x 1 ) + + a n T (x n ) (1) Stąd wynika, że odwzorowanie liniowe jest jednoznacznie określone przez wartości na elementach pewnej bazy Niech E, E będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K z bazami {e 1,, e n } oraz {e 1,, e m} Niech T : E E będzie odwzorowaniem liniowym Wówczas, ze wzoru (1) mamy, że T (x) = a 1 T (e 1 ) + + a n T (e n ) dla dowolnego x E Ponadto, z tego, że T (e i ) E wynika, że a i T (e i ) = a i1 e a im e m dla dowolnego i = 1,, m Macierz: nazywamy macierzą przekształcenia liniowego T Stąd wynika w szczególności: a 11 a 12 a 1n a m1 a m2 a mn Twierdzenie 35 Niech E, E będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K takimi, że dim E = n, dim E = m Wówczas przestrzeń L(E, E ) jest izomorficzna z przestrzenią macierzy wymiaru n m nad ciałem K Twierdzenie 36 Jeżeli E, E są przestrzeniami liniowymi skończonego wymiaru, to odwzorowanie liniowe T : E E jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy macierz tego odwzorowania jest macierzą kwadratową o niezerowym wyznaczniku Przykład 32 Rozważmy: 1 Jeżeli m n, to określamy odwzorowanie j : K m K n wzorem: j(e i ) = e i dla i = 1 m Macierz tego odwzorowania jest następująca: Ogólniej, jeżeli E jest podprzestrzenią liniową przestrzeni E, to możemy w ten sposób określić monomorfizm 2 Odwzorowanie I : C([a, b]) R, dane wzorem I(f) = b a f(x)dx, jest przekształceniem liniowym 9

10 Twierdzenie 37 Niech będą dane dwie przestrzenie liniowe E i E nad ciałem K, przy czym dim E = n < Jeśli e 1, e n jest bazą przestrzeni E i g 1,, g n jest dowolnym układem n-elementowym wektorów przestrzeni E, to istnieje dokładnie jedno odwzorowanie liniowe T : E E takie, że T (e i ) = g i dla i = 1, n Ponadto, odwzorowanie T jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wektory g 1,, g n są liniowo niezależne Dowód Dla x = a 1 x 1 + a n x n E określamy T : E E wzorem: T (x) = x 1 g x n g n Stąd w szczególności wynika, że jeżeli na przestrzeni skończenie wymiarowej mamy dwie bazy: e 1, e n oraz e 1, e n, to odwzorowanie T : E E dane wzorem T (x) = x 1 e x n e n dla x = a 1 x 1 + a n x n jest jedynym odwzorowaniem liniowym takim, że T (e i ) = e i Macierz tego przekształcenia nazywamy macierzą przejścia i oznaczamy ją S Twierdzenie 38 Niech E będzie przestrzenią liniową oraz niech e = (e 1, e n ), e = (e 1, e n) będą dwoma bazami tej przestrzeni oraz niech T : E E będzie odwzorowaniem liniowym Jeżeli odwzorowanie T ma w bazie e macierz A oraz w bazie e ma macierz B, to B = S 1 AS 4 Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Przez cały rozdział zakładamy, że K jest ustalonym ciałem oraz wszystkie skalary należą do tego ciała Układ a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (2) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m nazywamy liniowym układem m równań z n niewiadomymi (nad ciałem K), skalary a ij - współczynnikami przy niewiadomych, a b i - wyrazami wolnymi Ciąg skalarów (r 1, r 2,, r n ) nazywamy rozwiązaniem układu (2), jeśli zachodzą równości: a 11 r 1 + a 12 r a 1n r n = b 1 a 21 r 1 + a 22 r a 2n r n = b 2 a m1 r 1 + a m2 r a mn r n = b m Mówimy wówczas, że skalary r 1, r 2,, r n spełniają układ (2) Macierz a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn nazywamy macierzą główną układu (1) zaś macierz a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 U = a m1 a m2 a mn nazywamy macierzą rozszerzoną (uzupełnioną) układu (2) b m (3) (4) 10

11 Układ 2 nazywamy jednorodnym, jeżeli b 1 = = b n = 0, w przeciwnym wypadku mówimy, że układ jest niejednorodny Oznaczmy: b 1 b 2 B =, X = x 2 x m Wówczas równanie (2) jest równoważne z równaniem macierzowym: b m x 1 AX = B (5) Jeżeli w układzie (2) n = m oraz det A 0, to układ ten nazywamy układem Cramera Zauważmy, że wtedy X = A 1 B jest jedynym rozwiązaniem układu (5) Przez A i oznaczymy macierz otrzymaną przez zamianę w macierzy głównej układu i-tej kolumny na kolumnę wyrazów wolnych układu równań: a 11 a 12 a 1 i 1 b 1 a 1 i+1 a 1n a 21 a 22 a 2 i 1 b 2 a 2 i+1 a 2n A i = a n1 a n2 a n i 1 b n a n i+1 a nn Twierdzenie 41 (Cramera) Jeżeli układ (2) jest układem Cramera, to ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami: x j = dla j = 1, n det Aj det A Wniosek 42 Jedynym rozwiązaniem jednorodnego układu Cramera jest rozwiązanie x 1 = = x n = 0 Definicja 41 Rzędem macierzy A = [A 1,, A n ] nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów spośród A 1,, A n Oznaczamy go rz A Równoważnie, jest to wymiar maksymalnego minora o niezerowym wyznaczniku Twierdzenie 43 (Kroneckera-Capellego) Układ równań (2) ma co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rz A = rz U Załóżmy teraz, że rz A = rz U = k Bez zmniejszenia ogólności, możemy założyć, że układ składający się z pierwszych k wierszy macierzy A jest liniowo niezależny Wówczas układ składający się z pierwszych k wierszy macierzy U także jest liniowo niezależny Z tego, że rz U = k wynika, że ostatnie n k wierszy da się przedstawić jako liniowe kombinacje pierwszych k wierszy Zatem, jeżeli x 1,, x n jest rozwiązaniem pierwszych k równań, to spełnia także ostatnie n k równań Wystarczy zatem rozważać układ a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (6) a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k Rozważmy 2 przypadki: 1 Jeżeli k = n, to układ (6) jest układem Cramera 2 Załóżmy, że k < n Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że pierwszych k kolumn macierzy stowarzyszonej z układem (6) jest liniowo niezależnych Podstawiając za x k+1, x n dowolne skalary r k+1, r n z ciała otrzymujemy układ: a 11 x 1 + a 12 x a 1k x k = b 1 a 1 k+1 r k+1 a 1 n r n a 21 x 1 + a 22 x a 2k x k = b 2 a 2 k+1 r k+1 a 2 n r n (7) a k1 x 1 + a k2 x a kk x k = b k a k k+1 r k+1 a k n r n 11

12 Układ (12) jest układem Cramera (przy ustalonych r k+1,, r n ) więc znane są jego rozwiązania Co więcej, jeżeli ciało K jest nieskończone to układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań Twierdzenie 44 Układ (2) ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko, gdy rz A = n, to znaczy rząd macierzy układu jest równy ilości niewiadomych Metoda eliminacji Gaussa polega na sprowadzeniu macierzy uzupełnionej układu U do prostszej macierzy (z większą ilością zer) poprzez operacje elementarne na wierszach macierzy U, to znaczy mnożenie przez skalar, zamiana miejsc dowolnych dwóch wierszy oraz dodanie do dowolnego wiersza kombinacji liniowej pozostałych wierszy Łatwo pokazać, że takie operacje nie zmieniają rozwiązań wyjściowego układu (mówi się o równoważności układów) Załóżmy, że rz A = rz U = k i rozważmy macierz a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 U 1 = (8) a k1 a k2 a kn b k Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że a 11 0 Mnożąc pierwszy wiersz przez a 1 11 a i1 i dodając do i-tego wiersza (dla i = 2, k) otrzymujemy macierz: a 11 a 12 a 1n b 1 0 a 22 a 2n b (9) 2 0 a k2 a kn b k Po skończonej liczbie tego rodzaju przekształceń otrzymujemy macierz: a 11 a 12 a 13 a 1n b 1 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 2n b (1) 0 0 a (2) 33 a (2) 2 2n b (2) a (k 1) kk a (k 1) kn b (k 1) k Tej macierzy odpowiada układ a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x a (1) 2n x n = b (1) 2 a (k 1) kk x k + + a (k 1) mn x n = b (k 1) m (10) (11) Rozważmy 2 przypadki: 1 Jeżeli k = n, to z ostatniego równania wyznaczamy x k, podstawiamy do przedostatniego, następnie z przedostatniego wyznaczamy x k 1, i tak dalej, aż do wyznaczenia x 1 z pierwszego równania 2 Jeżeli k < n to ustalamy dowolne skalary r k+1, r n, wstawiamy je za x r+1,, x n i rozwiązujemy układ jak w pierwszym przypadku 5 Formy kwadratowe i klasyfikacja stożkowych Przez cały rozdział zakładamy, że E jest przestrzenią liniową nad ciałem K 12

13 Definicja 51 Funkcjonałem dwuliniowym określonym na przestrzeni liniowej E nazywamy funkcję ϕ: E E K, spełniającą następujący warunek: x1,x 2 E a1,a 2 E ϕ(a 1 x 1 + a 2 x 2 ) = a 1 ϕ(x 1 ) + a 2 ϕ(x 2 ) Przestrzeń wszystkich funkcjonałów dwuliniowych na przestrzeni E oznaczamy: L(E 2, K) Twierdzenie 51 Niech dim E = n i niech e 1,, e n będzie bazą przestrzeni E oraz ψ, ϕ L(E 2, K) Jeżeli dla dowolnych 1 i, j n, ψ(e i, e j ) = ϕ(e i, e j ), to ψ = ϕ Niech e 1,, e n będzie bazą przestrzeni E Wówczas dla dowolnych x, y E istnieją x 1,, x n oraz y 1,, y n takie, że x = n i=1 x ie i oraz y = n i=1 y ie i Wówczas ϕ(x, y) = n i=1 x iy i jest funkcjonałem dwuliniowym Ponadto, jeżeli ϕ jest dowolnym funkcjonałem dwuliniowym, to gdzie a ij = ϕ(e i, e j ) ϕ(x, y) = n a ij x i y i, (12) i,j=1 Twierdzenie 52 Jeśli dim E = n i [a ij ] M n (K) (to znaczy jest macierzą kwadratową, wymiaru n o współczynnikach w ciele K), to istnieje dokładnie jeden funkcjonał dwuliniowy ϕ L(E 2, K) taki, że dla dowolnie wybranej bazy przestrzeni E zachodzi równość ϕ(e i, e j ) = a ij (1 i, j n), przy czym ϕ przedstawia się w postaci (12) Prawa strona wyrażenia (12) nazywa się formą dwuliniową, a skalary a ij współczynnikami formy dwuliniowej Twierdzenie 53 Niech dim E = n oraz e = (e 1,, e n ), e = (e 1,, e n) będą dwoma bazami przestrzeni E Jeżeli ϕ ma w bazie e macierz A oraz w bazie e ma macierz B, to B = S T AS, gdzie S jest macierzą przejścia z bazy e do bazy e Definicja 52 Funkcjonał dwuliniowy ϕ nazywa się symetrycznym, jeśli dla każdych x, y E zachodzi równość: ϕ(x, y) = ϕ(y, x) Mówimy, że macierz A M n (K) jest symetryczna, jeżeli A = A T Twierdzenie 54 Niech dim E = n Jeśli funkcjonał ϕ L(E 2, K) jest symetryczny, to jego macierz w dowolnej bazie jest symetryczna Jeśli macierz funkcjonału dwuliniowego ϕ L(E 2, K) w pewnej bazie jest symetryczna, ϕ jest funkcjonałem symetrycznym Od tej pory zakładamy, że ciało K jest charakterystyki różnej niż 2, to znaczy 2 = Definicja 53 Niech ϕ L(E 2, K) będzie funkcjonałem symetrycznym Funkcja F : V K określona w następujący sposób: F (x) = ϕ(x, x) nazywa się funkcjonałem kwadratowym danym na przestrzeni V Dla danego funkcjonału kwadratowego F określamy ϕ(x, y) = 1 2 (F (x + y) F (x) F (y)) Zatem istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między funkcjonałami kwadratowymi a funkcjonałami dwuliniowymi symetrycznymi Jeżeli ϕ nie jest funkcjonałem symetrycznym to określamy ϕ(x, y) = 1 2 (ϕ (y, x) + ϕ (x, y)) Oczywiście ϕ(x, x) = ϕ (x, x) Dlatego od tej pory zakładamy, że omawiane funkcjonały są symetryczne W dalszym ciągu będziemy zawsze zakładać, że dim E = n Niech e 1,, e n będzie bazą V oraz x = n i=1 x ie i, y = n i=1 y ie i Wówczas ϕ przedstawia się w postaci (12), gdzie a ij = a ji Otrzymujemy stąd ogólną postać funkcjonału kwadratowego w przestrzeni skończonego wymiaru: n F (x) = a ij x i x j, (13) i,j=1 gdzie a ij = a ji Prawa strona we wzorze (13) nazywa się formą kwadratową Macierz A = [a ij ] zbudowaną ze współczynników formy (13) nazywamy macierzą formy kwadratowej (13) 13

14 Twierdzenie 55 Niech e = (e 1,, e n ), e = (e 1,, e n) będą dwoma bazami przestrzeni E Jeżeli forma kwadratowa (13) funkcjonału kwadratowego F ma w bazie e macierz A oraz w bazie e ma macierz B, to B = S T AS, gdzie S jest macierzą przejścia z bazy e do bazy e Definicja 54 Rzędem formy kwadratowej nazywa się rząd jej macierzy Z 55 wynika, że rząd formy kwadratowej nie zależy od wyboru bazy Definicja 55 Mówimy, że forma kwadratowa (13) funkcjonału kwadratowego F ma w bazie e = (e 1,, e n ) postać kanoniczną, jeśli a ij = 0 dla i j Taka baza e nazywa się bazą kanoniczną funkcjonału F Funkcjonał kwadratowy F zapisuje się w bazie kanonicznej w postaci: F (x) = n a i x 2 i, (14) Stąd wynika, że e jest bazą kanoniczną funkcjonału F wtedy i tylko wtedy, gdy macierz tego funkcjonału w bazie e jest diagonalna Twierdzenie 56 Niech F będzie funkcjonałem kwadratowym określonym na przestrzeni E Istnieje wówczas baza w przestrzeni E, będąca bazą kanoniczną funkcjonału F i=1 Niech teraz E będzie przestrzenią liniową nad R wymiaru n oraz F będzie funkcjonałem kwadratowym określonym na przestrzeni E Mówimy, że forma kwadratowa (14) jest w postaci normalnej, jeżeli jej współczynniki są równe 0, 1 lub -1 Twierdzenie 57 W przestrzeni E istnieje baza, w której funkcjonał F ma postać normalną Twierdzenie 58 (o bezwładności) Ilość współczynników dodatnich, ujemnych oraz zerowych formy kwadratowej (14) nie zależy od wyboru bazy kanonicznej funkcjonału F Definicja 56 Mówimy, że funkcjonał kwadratowy F jest dodatnio (ujemnie) określony, jeżeli dla dowolnego x X, x 0 zachodzi: F (x) > 0 (F (x) < 0) Twierdzenie 59 Funkcjonał kwadratowy F jest dodatnio określony wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dodatnich współczynników jego formy kwadratowej w postaci kanonicznej jest równa wymiarowi przestrzeni E Ponadto, jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego k = 1,, n zachodzi: ( 1) k a 1 a k > 0 Przykład 51 Przykłady funkcjonałów i form kwadratowych: 1 Niech E będzie przestrzenią liniową nad R Wówczas iloczyn skalarny, jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym, zaś norma jest funkcjonałem kwadratowym dodatnio określonym generowanym przez, 2 Niech E będzie przestrzenią liniową nad R oraz niech A M n (R) będzie macierzą symetryczną Wówczas odwzorowanie F : E E R dane wzorem F (x) = 1 2 Ax, x, gdzie, jest dowolnym iloczynem skalarnym w E, jest funkcjonałem kwadratowym 3 Niech E będzie przestrzenią liniową nad R oraz niech A M n (R) Wówczas odwzorowanie F 1 : E E R dane wzorem F 1 (x) = (A + AT )x, x, gdzie, jest dowolnym iloczynem skalarnym w E, jest funkcjonałem kwadratowym Krzywą stożkową nazywamy zbiór punktów powstałych na przecięciu stożka (a dokładniej powierzchni bocznej stożka) i płaszczyzny Wyróżnia się następujące krzywe stożkowe, zależnie od kąta, jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i jego tworzącą: 14

15 1 W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między tworzącą a osią stożka, wówczas krzywą stożkową jest elipsa Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg, który powstaje, gdy wspomniany kąt jest prosty, czyli płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi stożka 2 Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest równy kątowi pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, czyli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą stożkową jest parabola W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymuje się prostą (nie zaliczaną do krzywych stożkowych) 3 Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, to otrzymana krzywa stożkowa jest hiperbolą Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymuje się parę przecinających się prostych, nie zaliczaną do stożkowych Krzywe stożkowe i ich równania: 1 okrąg x 2 + y 2 = r 2, 2 elipsa x2 a + y2 2 b = 1; x2 2 b + y2 2 a = 1, 2 3 parabola y 2 = 4ax ; x 2 = 4ay 4 hiperbola x2 a y2 2 b = 1; x2 2 b y2 2 a = 1 2 Obrazek: sections with planesvg 15

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

Algebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu

Algebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Algebra I wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki Grzegorz Bobiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Toruń 2005 Spis treści Rozdział I. Pierścienie 3 1.1. Działania w zbiorach

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Algebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1.

Algebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1. Algebra II Wykład 1 0. Przypomnienie Zbiór R z działaniami +, : R R R, wyróżnionymi elementami 0, 1 R i operacją : R R nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są następujące warunki: (1) a, b, c R : a +

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM. DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe 14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup 1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej 1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków

Bardziej szczegółowo

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo