Prognoza wybranych wskaźników rozwoju obrotu bezgotówkowego na lata

Transkrypt

1 Prognoza wybranych wskaźników rozwoju obrotu bezgotówkowego na lata Mariusz Kozakiewicz i Marek Kwas Szkoła Główna Handlowa 15 grudnia 2011

2 Spis treści Rozdział 1 Wprowadzenie Charakterystyka danych Modele regresji liniowej Modele wygładzania wykładniczego Modele ARIMA Wykorzystane oprogramowanie... 5 Rozdział 2 Wskaźniki dla Polski Liczba rachunków bankowych Liczba kart debetowych Liczba kart kredytowych Liczba kart obciążeniowych Liczba kart płatniczych ogółem (debetowe + kredytowe + obciążeniowe) Liczba bankomatów Liczba terminali POS Liczba krajowych transakcji gotówkowych kartami płatniczymi Liczba krajowych transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi Wartość krajowych transakcji gotówkowych kartami płatniczymi Wartość krajowych transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi Liczba poleceń przelewu Liczba aktywnych klientów bankowości elektronicznej Średnia liczba rachunków bankowych na mieszkańca Średnia liczba kart ogółem na mieszkańca Średnia liczba bankomatów na milion mieszkańców Średnia liczba terminali POS na milion mieszkańców Średnia liczba transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi na mieszkańca Średnia liczba poleceń przelewu na mieszkańca Średnia liczba transakcji bezgotówkowych na jedną kartę Średnia liczba transakcji na jeden terminal POS Średnia liczba transakcji gotówkowych na jedną kartę Średnia liczba transakcji gotówkowych na jeden bankomat Rozdział 3 Wskaźniki dla Unii Europejskiej Średnia liczba rachunków bankowych na mieszkańca Średnia liczba kart płatniczych na mieszkańca Średnia liczba bankomatów na milion mieszkańców Średnia liczba terminali POS na milion mieszkańców

3 3.5 Średnia liczba transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi na mieszkańca Średnia liczba placówek z usługami płatniczymi na milion mieszkańców Średnia liczba transakcji na terminal POS Średnia liczba transakcji bezgotówkowych na jedną kartę Średnia liczba transakcji bezgotówkowych na mieszkańca Średnia liczba transakcji poleceń przelewu na mieszkańca Średnia liczba poleceń zapłaty na mieszkańca Udział transakcji bezgotówkowych w ogólnej liczbie transakcji kartami płatniczymi Rozdział 4 Porównanie prognoz wskaźników dla Polski i Unii Europejskiej Średnia liczba bankomatów na milion mieszkańców Średnia liczba kart płatniczych na mieszkańca Średnia liczba poleceń przelewu na mieszkańca Średnia liczba rachunków bankowych na mieszkańca Średnia liczba terminali POS na milion mieszkańców Średnia liczba transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi na mieszkańca Dodatek A Metodologia doboru modelu prognostycznego A.1 Model regresyjny A.2 Model wygładzania wykładniczego A.3 Model ARIMA A.4 Wybór modelu Bibliografia

4 Rozdział 1 Wprowadzenie Opracowanie przedstawia prognozy 35 wskaźników obrotu bezgotówkowego dla Polski oraz Unii Europejskiej na lata Prognozy zostały opracowane na podstawie modeli ekonometrycznych stworzonych z wykorzystaniem danych dostarczonych przez Departament Systemu Płatniczego Narodowego Banku Polskiego oraz pozyskanych z zasobów Europejskiego Banku Centralnego i Eurostatu. Dla każdego wskaźnika dobrany został model ekonometryczny z jednej spośród trzech klas modeli regresji liniowej, modeli wygładzania wykładniczego, modeli z rodziny ARIMA. Wyborów modeli dokonano na podstawie wartości kryteriów informacyjnych AIC i BIC, przy wzięciu pod uwagę wyników odpowiednich testów diagnostycznych. Metodologia doboru modelu została przedstawiona na przykładzie wskaźnika z rozdziału 2.18 w dodatku A. Pełne dane zawierające komplet testów diagnostycznych dla wszystkich modeli oraz wartości numeryczne wraz z wykresami danych historycznych i prognoz dla poszczególnych wskaźników znajdują się w dołączonych do opracowania raportach diagnostycznych, por. pozycję [3] bibliografii. Część danych została wykorzystana do sporządzenia tego opracowania. Opracowanie zawiera prognozy w postaci tabel z wartościami numerycznymi oraz wykresów w rozdziałach 2 i 3. Ponadto, dla odpowiadających sobie par wskaźników dla Polski i Unii Europejskiej w rozdziale 4 zostały przedstawione porównania prognoz również w formie tabel i wykresów. 1.1 Charakterystyka danych Dane wykorzystane do analiz mają postać rocznych, półrocznych lub kwartalnych szeregów czasowych o długości od kilku do kilkunastu lat. Niewielka długość szeregów (szczególnie dla danych dla UE zawierających po około kilkanaście obserwacji) znacznie ogranicza liczbę parametrów zastosowanych modeli ekonometrycznych z uwagi na ryzyko ich przeuczenia. Ponadto, w niektórych szeregach występują nagłe zmiany dynamiki w postaci skoków bądź załamań, których obecność istotnie utrudnia dopasowanie jakiegokolwiek modelu. Powodem takich zmian jest np. rozszerzenie UE w 2004 r. lub skorygowanie niektórych danych. W takich przypadkach część danych została odrzucona, bądź zostały skonstruowane modele częściowo heurystyczne. Należy tu podkreślić fakt, że wszystkie opracowane prognozy opierają się wyłącznie na historycznych wartościach wskaźników i ich sprawdzalność zależy od tego na ile trendy historyczne zostaną zachowane w przyszłości. 3

5 1.2 Modele regresji liniowej Rozpatrywane modele regresji liniowej to addytywne bądź multiplikatywne modele trendu, z ewentualnym zróżnicowaniem szeregu po odjęciu trendu w przypadku występowania efektu sezonowego. Dla każdego szeregu skonstruowano jeden bądź dwa takie modele i oceniono je na podstawie szeregu testów diagnostycznych. Wykorzystano test Rainbow liniowości modelu, test RESET nieliniowej zależności od regresora, test Goldfelda-Quandt a hetoroskedastyczności składnika losowego oraz testy normalności składnika losowego Shapiro-Wilk a i Jarque-Bery. Dodatkowo, sporządzono wykresy kwantyl-kwantyl oraz graficzną wizualizację reszt modelu, ich autokorelacji i częściowej autokorelacji, wraz z testami Durbina-Watson a i Breuscha-Godfreya. Dla każdego modelu wyznaczono również wartości kryteriów informacyjnych AIC i BIC, służące do porównania go z modelem wygładzania wykładniczego i modelem ARIMA. Szczegółową informację o diagnostyce modeli ekonometrycznych i wymienionych testach można znaleźć np. w pozycji [4] bibliografii. Podkreślmy, że w wielu przypadkach, odpowiednio dobrane modele regresji liniowej dostarczały prognoz porównywalnych z bardziej zaawansowanymi modelami, dla których były punktem odniesienia. 1.3 Modele wygładzania wykładniczego Modele wygładzania wykładniczego (ETS, ang. ExponenTial Smoothing) są szeroką klasą modeli o elastycznej strukturze. Dla każdego wskaźnika dokonano wyboru modelu ETS(E,T,S) z odpowiednią strukturą (addytywną A, bądź multiplikatywną M) błędu (E), trendu (T) i sezonowości (S), a następnie przeprowadzono testy diagnostyczne losowości reszt i wizualizację graficzną ich histogramu. Podkreślmy, że do wyznaczenia prognozy wykorzystujemy jeden model wybrany na podstawie kryteriów informacyjnych z szerokiej klasy modeli testowych przy użyciu metody ets z pakietu forecast, por. pozycję [1] bibliografii. Obszerne omówienie problematyki prognozowania przy użyciu modeli ETS można znaleźć w pozycji [2] bibliografii. 1.4 Modele ARIMA Modele ARIMA (ang. AutoRegressive Integrated Moving Average) to szeroka klasa modeli ekonometrycznych powszechnie stosowanych w analizie i prognozowaniu szeregów czasowych. Dla każdego wskaźnika dokonano wyboru modelu ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)[s] o odpowiednich parametrach autoregresji p,p, ruchomej średniej q,q, rzędach integracji d,d oraz sezonowości s. Z uwagi na stosunkowo ograniczoną długość szeregów, założono, że dla szeregów o częstotliwości rocznej p,p,q,q 1, dla pozostałych p,p,q,q 2 oraz d,d 2 niezależnie od częstotliwości. W razie potrzeby, uwzględniono roczną sezonowość szeregu s = 4. Następnie przeprowadzono testy diagnostyczne losowości reszt i wizualizację graficzną statystyk Ljunga-Boxa i Boxa-Pierce a. Podkreślmy, ze podobnie jak w przypadku modelu ETS, do wyznaczenia wykorzystujemy jeden (najlepszy) model wybrany z szerokiej klasy modeli testowych przy pomocy metod pakietu forecast, por. pozycję [1] bibliografii. Szczegółowe omówienie prognozowania szeregów czasowych z wykorzystaniem modeli ARIMA można znaleźć np. w pozycji [6] bibliografii. 4

6 1.5 Wykorzystane oprogramowanie Analizy opisane w tym opracowaniu powstały przy użyciu systemu obliczeń statystycznych R, por. [5], szczególnie pakietów stats, zoo, forecast, por. [1, 7]. Do sporządzenia raportów diagnostycznych i roboczej wersji tego opracowania wykorzystano system składu tekstu LATEX. 5

7 Rozdział 2 Wskaźniki dla Polski Większość wskaźników dla Polski ma postać szeregów czasowych o częstotliwości kwartalnej. W niektórych, reprezentujących dane dla poszczególnych kwartałów, jak np. liczba lub wartość transakcji w kwartale, występuje sezonowość o okresie rocznym, por. roz. 2.8, 2.10 lub Inne wskaźniki, szczególnie dla danych absolutnych, jak np. liczba kart płatniczych lub bankomatów, takiej sezonowości nie wykazują, por. roz. 2.2 lub 2.7. W większości przypadków dobór modelu spośród rozważanych trzech klas okazuje się wystarczający, a prognozy wyznaczone na podstawie poszczególnych modeli często się pokrywają. Tylko w przypadku wskaźników z roz. 2.3, 2.5 i 2.15, wykazujących nagłe zmiany dynamiki niezbędne było skonstruowanie częściowo heurystycznych modeli eksperckich. W przypadku szeregów o częstotliwości półrocznej, por. roz. 2.12, 2.14 i 2.19, dostępny jest komplet wartości na koniec roku, natomiast występuje brak niektórych wartości na koniec półrocza. Z tego powodu do stworzenia modeli prognostycznych użyto wyłącznie wartości rocznych. Uzupełnienie brakujących wartości, np. przez interpolację liniową, nie poprawiało dopasowania modelu. W następnych rozdziałach przedstawione są prognozy dla poszczególnych wskaźników wraz z danymi historycznymi w postaci tabel oraz wykresów. Wartości historyczne i prognozowane w tabelach rozdziela wiersz Predykcja, na wykresach są one oznaczone różnymi kolorami. Każdej prognozie towarzyszy komentarz do wyboru modelu prognostycznego. Dokładne dane, na podstawie których dokonano tego wyboru są zawarte w pozycji [3] bibliografii. 2.1 Liczba rachunków bankowych Rysunek 2.1: Dane historyczne. 6

8 Dane o liczbie rachunków bankowych w Polsce, por. rys. 2.1, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością półroczną lub roczną. Z uwagi na to, że dla lat dostępne są tylko wartości roczne, do analizy wykorzystano tylko takie wartości dla całego okresu Włączenie danych półrocznych dla lat i uzupełnienie brakujących wartości nie poprawia dopasowania modelu względem tutaj przedstawionego. Dla tak przygotowanego szeregu czasowego wszystkie trzy przetestowane modele dostarczają zbliżonych prognoz, a testy diagnostyczne nie dyskwalifikują żadnego z nich. Spośród nich, na podstawie kryteriów informacyjnych, wybrano model ETS(M,A,N) dla zmiennej zlogarytmowanej. Prognozę wyznaczoną na podstawie tego modelu zawiera tab. 2.1 i rys Widoczny jest przyspieszający trend wzrostowy, co jest cechą charakterystyczną modeli multiplikatywnych. Prognoza przewiduje wzrost liczby rachunków bankowych z ok. 35 mln na koniec 2010 r. do ok. 57 mln na koniec 2016 r., co wydaje się być zgodne z porównaniem danych i prognoz analogicznych wskaźników per capita dla Polski i UE. Data L. rach Predykcja Tablica 2.1: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. 7

9 Rysunek 2.2: Dane historyczne i predykcja. 2.2 Liczba kart debetowych Rysunek 2.3: Dane historyczne. Dane o liczbie kart debetowych w Polsce zawierają wartości kwartalne. Z uwagi na skorygowanie danych po 2004 r. skutkujące zmianą dynamiki szeregu, zdecydowano się odrzucić dane za lata

10 Dla tak przygotowanego szeregu najwłaściwszym okazał się model ARIMA(1,0,0)(2,0,0)[4] dla zlogarytmowanej zmiennej objaśnianej zróżnicowanej z przesunięciem 4, który jako jedyny nie wykazywał autokorelacji reszt. Prognozę wyznaczoną na podstawie tego modelu zawiera tab. 2.2 i rys Widoczny jest w zasadzie liniowy trend rosnący. Prognoza przewiduje wzrost liczby kart debetowych do ok. 35 mln na koniec 2016 r. z ok. 23 mln na koniec 2010 r. Data L. kart Data L. kart Predykcja Tablica 2.2: Wartości historyczne i predykcja z modelu ARIMA. 9

11 Rysunek 2.4: Dane historyczne i predykcja z modelu ARIMA. 2.3 Liczba kart kredytowych Rysunek 2.5: Dane historyczne. Dane o liczbie kart kredytowych w Polsce zawierają wartości kwartalne. Rys. 2.5 pokazuje trzy różne dynamiki szeregu w przeszłości: wolno rosnący trend liniowy do 2004 r., szybki wzrost w latach i spadek od 2010 r. Niestety, jak można się spodziewać, żaden z rozpatrywanych modeli nie jest w stanie dopasować się do takich danych. Jednym z możliwych podejść byłoby wprowadzenie do modelu dodatkowych zmiennych 10

12 powiązanych ze zmianami dynamiki szeregu. Z uwagi na brak wiedzy o takich zmiennych, przygotowano częściowo heurystyczny model prognostyczny. Data L. kart Data L. kart Predykcja Tablica 2.3: Wartości historyczne i predykcja z modelu eksperckiego. W modelu tym założono, że występujący latach dynamiczny wzrost liczby kart kredytowych był spowodowany ówczesną polityką banków nastawionych na wydanie jak największej liczby kart. Prawdopodobnie duża część kart wcześniej wydanych pozostała w praktyce nieaktywna, wpływając na zawyżenie statystyk. Po roku 2009 ta ekspansywna polityka uległa znacznemu ograniczeniu, a redukcja nieaktywnych kart znajduje odzwierciedlenie w spadku ich liczby od 2010 r. Model heurystyczny zakłada, że dane z okresu są niereprezentatywne oraz, że proces redukcji liczby nieaktywnych kart w zasadzie został zakończony. Zakładamy, że dynamika wzrostu liczby kart kredytowych w okresie będzie taka, jak w okresie do 2006 r. 11

13 Rysunek 2.6: Dane historyczne i predykcja z modelu eksperckiego. 2.4 Liczba kart obciążeniowych Rysunek 2.7: Dane historyczne. Dane o liczbie kart obciążeniowych w Polsce zawierają wartości kwartalne. Na rys. 2.7 widoczne są dynamiczne zmiany szeregu w latach , po których nastąpił okres o wyraźnym trendzie spadkowym. Z uwagi na ustabilizowanie się dynamiki szeregu od 2004, zdecydowano się odrzucić wcześniejsze dane. 12

14 Dla tak przygotowanego szeregu wybrano model ETS(A,N,N) dla zlogarytmowanej zmiennej objaśnianej zróżnicowanej z przesunięciem 4, z uwagi na najlepsze wyniki diagnostyki reszt. Data L. kart Data L. kart Predykcja Tablica 2.4: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. Prognoza z modelu ETS, por. tab. 2.4 i rys. 2.8, zakłada w dalszym ciągu spadkowy trend i zmniejszenie się liczby kart obciążeniowych w 2016 r. do ok. 250 tys. z obecnych ok. 320 tys. 13

15 Rysunek 2.8: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 2.5 Liczba kart płatniczych ogółem (debetowe + kredytowe + obciążeniowe) Rysunek 2.9: Dane historyczne. Dane o liczbie kart płatniczych ogółem w Polsce zawierają wartości kwartalne i niestety wykazują podobnie niepożądane cechy jak dane dla kart kredytowych, por. roz Również w tym przypadku żaden z rozpatrywanych modeli nie wydaje się właściwy i konieczne było stworzenie modelu częściowo heurystycznego. W modelu tym wykorzystaliśmy przedstawione wyżej modele dla kart debetowych, kredytowych i obciążeniowych, por. 14

16 roz. 2.2, roz. 2.3 i roz Prognoza dla liczby kart płatniczych ogółem jest sumą prognoz dla trzech wyżej wymienionych wskaźników. Prognoza przewiduje wzrost liczby kart do ok. 44 mln na koniec 2016 r. z ok. 32 mln na koniec 2010 r. Data L. kart Data L. kart Predykcja Tablica 2.5: Wartości historyczne i predykcja z modelu eksperckiego. 15

17 Rysunek 2.10: Dane historyczne i predykcja z modelu eksperckiego. 2.6 Liczba bankomatów Rysunek 2.11: Dane historyczne. Dane o liczbie bankomatów w Polsce, por. rys. 2.11, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością kwartalną. Na podstawie kryteriów informacyjnych AIC i BIC wybrano model prognostyczny ARIMA(2,0,1)(0,0,1)[4] dla zmiennej objaśnianej zróżnicowanej z przesunięciem 2, co daje redukcję autokorelacji reszt modelu. Wyniki testów diagnostycznych potwierdzają losowy 16

18 charakter reszt i brak autokorelacji. Zbliżoną prognozę można otrzymać w oparciu o model ETS. Prognoza z modelu ARIMA charakteryzuje się liniowym trendem i przewiduje wzrost liczby bankomatów na koniec 2016 r. do ok. 23 tys. z obecnych ok. 17 tys. Data L. bank. Data L. bank Predykcja Tablica 2.6: Wartości historyczne i predykcja z modelu ARIMA. 17

19 Rysunek 2.12: Dane historyczne i predykcja z modelu ARIMA. 2.7 Liczba terminali POS Rysunek 2.13: Dane historyczne. Dane o liczbie terminali POS w Polsce, por. rys. 2.13, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością kwartalną. Na podstawie kryteriów informacyjnych wybrano do prognozy model ARIMA(0,1,0)(1,0,0)[4] z dryfem. Wyniki testów diagnostycznych tego modelu 18

20 potwierdzają losowy charakter reszt i ich nieznaczną autokorelację. Dla tego wskaźnika wszystkie modele wykazują podobne rezultaty testów diagnostycznych i dostarczają podobnych prognoz. Prognoza z modelu ARIMA charakteryzuje się liniowym trendem i przewiduje wzrost liczby terminali POS na koniec 2016 r. do ok. 370 tys. z obecnych ok. 250 tys., por. tab. 2.7 i rys Data L. t. POS Data L. t. POS Predykcja Tablica 2.7: Wartości historyczne i predykcja z modelu ARIMA. 19

21 Rysunek 2.14: Dane historyczne i predykcja z modelu ARIMA. 2.8 Liczba krajowych transakcji gotówkowych kartami płatniczymi Rysunek 2.15: Dane historyczne. Dane o liczbie transakcji gotówkowych kartami płatniczymi w Polsce, por. rys. 2.15, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością kwartalną. Daje się zauważyć roczną sezonowość, którą należy uwzględnić w rozpatrywanych modelach. Dla tego szeregu wybrano model ETS(A,N,N) dla zmiennej objaśnianej zlogarytmowanej i zróżnicowanej z przesunięciem 4. Testy diagnostyczne tego modelu nie wykazują żadnych istotnych wad, ponadto prognoza wyznaczona na jego podstawie wydaje się najbardziej realistyczna, gdyż w przeciwieństwie do prognoz z pozostałych modeli zakłada wzrost wskaźnika w horyzoncie prognozy. 20

22 Prognoza z modelu ETS zachowuje rosnący trend wartości historycznych z efektem sezonowym i przewiduje wzrost liczby transakcji do ok. 920 mln w 2016 r. z ok. 680 mln w 2010 r. Data L. trans. Data L. trans Predykcja Tablica 2.8: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. 21

23 Rysunek 2.16: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 2.9 Liczba krajowych transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi Rysunek 2.17: Dane historyczne. Dane o liczbie transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi w Polsce, por. rys. 2.17, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością kwartalną. Daje się również zauważyć ujawniającą się w miarę upływu czasu roczną sezonowość, którą należy uwzględnić w rozpatrywanych modelach. 22

24 Dla tego szeregu, na podstawie kryteriów informacyjnych, sugerujemy wybór modelu ARIMA(0,1,2)(0,0,1)[4] z dryfem dla zmiennej objaśnianej zlogarytmowanej i zróżnicowanej z przesunięciem 4. Testy diagnostyczne tego modelu nie wykazują żadnych istotnych wad. Podobnych wyników prognoz dostarcza model regresji liniowej. Prognoza z modelu ARIMA zachowuje rosnący trend wartości historycznych z efektem sezonowym i przewiduje wzrost liczby transakcji do ok mln w 2016 r. z ok. 820 mln w 2010 r. Data L. trans. Data L. trans Predykcja Tablica 2.9: Wartości historyczne i predykcja z modelu ARIMA. 23

25 Rysunek 2.18: Dane historyczne i predykcja z modelu ARIMA Wartość krajowych transakcji gotówkowych kartami płatniczymi Rysunek 2.19: Dane historyczne. Dane o wartości transakcji gotówkowych kartami płatniczymi w Polsce, por. rys. 2.19, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością kwartalną. Można zauważyć roczną sezonowość, którą powinny uwzględnić wykorzystywane modele. Dla tego szeregu modele regresyjne wykazują autokorelację reszt. Model ETS(A,N,N) dla zmiennej objaśnianej zlogarytmowanej i zróżnicowanej z przesunięciem 4 wykazuje 24

26 pewną autokorelację reszt ale prognoza z niego wydaje się być najbardziej realistyczna, por. rys Model ARIMA(0,1,0)(0,0,1)[4] z dryfem dla zmiennej objaśnianej zlogarytmowanej i zróżnicowanej z przesunięciem 4 ma poprawną diagnostykę ale prognoza z niego wyznaczona sugeruje wystąpienie efektu przeuczenia, por. rys W konsekwencji przyjęto jako prognozę wskaźnika średnią arytmetyczną prognoz z modeli ETS i ARIMA. Przyjęta prognoza zachowuje rosnący trend wartości historycznych z efektem sezonowym i przewiduje wzrost wartości transakcji do ok. 320 mld w 2016 r. z ok. 255 mld w 2010 r. Rysunek 2.20: Dane historyczne i prognoza z modelu ETS. Rysunek 2.21: Dane historyczne i prognoza z modelu ARIMA. 25

27 Data Wart. trans. Data Wart. trans Predykcja Tablica 2.10: Wartości historyczne i predykcja z modelu 0.5(ARIMA+ETS). Rysunek 2.22: Dane historyczne i predykcja z modelu 0.5(ARIMA+ETS). 26

28 2.11 Wartość krajowych transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi Rysunek 2.23: Dane historyczne. Dane o liczbie wartości transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi w Polsce, por. rys. 2.23, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością kwartalną. Można również zauważyć roczną sezonowość. W tym przypadku wybrano model ARIMA(0,1,1)(0,0,1)[4] z dryfem dla zmiennej objaśnianej zlogarytmowanej i zróżnicowanej z przesunięciem 4. Model ARIMA wykazuje jednak brak normalności reszt. Podobnej prognozy dostarcza model regresyjny ale jego reszty mają znaczącą autokorelację. Model ETS ma poprawną diagnostykę ale prognoza z niego nie wydaje się realistyczna z uwagi na przyspieszający trend wzrostowy, por. rys Przyjęta prognoza z modelu ARIMA zachowuje rosnący trend wartości historycznych z efektem sezonowym i przewiduje wzrost wartości transakcji do ok. 143 mld w 2016 r. z ok. 84 mld w 2010 r. 27

29 Rysunek 2.24: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. Rysunek 2.25: Dane historyczne i predykcja z modelu ARIMA. 28

30 Data Wart. trans. Data Wart. trans Predykcja Tablica 2.11: Wartości historyczne i predykcja z modelu ARIMA Liczba poleceń przelewu Rysunek 2.26: Dane historyczne. 29

31 Dane o liczbie poleceń przelewu w Polsce, por. rys. 2.26, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością półroczną lub roczną. Dla lat dostępne są tylko wartości roczne, zatem podobnie jak dla wskaźnika z roz. 2.1, do analizy wykorzystano tylko roczne wartości z okresu Dla tak przygotowanego szeregu czasowego wszystkie trzy przetestowane modele dostarczają podobnych prognoz. Ponadto, testy diagnostyczne nie wykazują istotnych wad żadnego z nich. Na podstawie wartości kryteriów informacyjnych, dla celów prognostycznych wybrano model ETS(A,A,N) dla zlogarytmowanej zmiennej objaśnianej. Prognozę wyznaczoną na podstawie tego modelu zawiera tab i rys Widoczny jest przyspieszający trend rosnący. Prognoza przewiduje wzrost liczby poleceń przelewu z ok. 1.5 mld w 2010 r. do ok. 3.2 mld w 2016 r. Data L. pol. przel Predykcja Tablica 2.12: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. 30

32 Rysunek 2.27: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS Liczba aktywnych klientów bankowości elektronicznej Rysunek 2.28: Dane historyczne. Dane o liczbie aktywnych klientów bankowości elektronicznej w Polsce, por. rys. 2.28, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością kwartalną, niestety tylko od końca 2008 r. Daje się zauważyć pewną roczną sezonowość, ale dla jej potwierdzenia należałoby dysponować dłuższym szeregiem. 31

33 Dla tego szeregu czasowego wszystkie trzy przetestowane modele dostarczają zbliżonych prognoz. Na podstawie wartości kryteriów informacyjnych wybrano model ETS(M,A,M) dla zlogarytmowanej zmiennej objaśnianej. Prognozę wyznaczoną na podstawie tego modelu zawiera tab i rys Widoczny jest rosnący trend i efekt sezonowy. Prognoza przewiduje wzrost liczby aktywnych klientów z ok. 10 mln pod koniec 2010 r. do ok. 27 mln pod koniec 2016 r. Podkreślmy, że horyzont prognozy jest dwukrotnie dłuższy od okresu, na którym estymowano model. W związku z tym prognozę na lata należy traktować jako wysoce spekulatywną. Data L. klientów Data L. klientów Predykcja Tablica 2.13: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. Rysunek 2.29: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 32

34 2.14 Średnia liczba rachunków bankowych na mieszkańca Rysunek 2.30: Dane historyczne. Dane o liczbie rachunków bankowych na mieszkańca w Polsce, por. rys. 2.30, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością półroczną lub roczną. Dla lat dostępne są tylko wartości roczne, zatem podobnie jak dla wskaźnika z roz. 2.1, do analizy wykorzystano tylko roczne wartości z okresu Dołączenie wartości półrocznych nie poprawiło dopasowania modelu. Dla tak przygotowanego szeregu czasowego wszystkie trzy przetestowane modele dostarczają podobnych prognoz, przy porównywalnych wynikach testów diagnostycznych. Na podstawie wartości kryteriów informacyjnych, dla celów prognostycznych wybrano model ETS(A,A,N) dla zlogarytmowanej zmiennej objaśnianej. Prognozę wyznaczoną na podstawie tego modelu zawiera tab i rys Widoczny jest przyspieszający trend wzrostowy. Prognoza przewiduje wzrost wskaźnika z ok na koniec 2010 r. do ok. 1.5 na koniec 2016 r. 33

35 Data L. rach. na mieszk Predykcja Tablica 2.14: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. Rysunek 2.31: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 34

36 2.15 Średnia liczba kart ogółem na mieszkańca Rysunek 2.32: Dane historyczne. Dane o liczbie kart ogółem na mieszkańca w Polsce zawierają wartości kwartalne i niestety wykazują podobnie niepożądane cechy jak dane dla liczby kart kredytowych ogółem, por. roz Również w tym przypadku żaden z rozpatrywanych modeli nie jest właściwy i konieczne było stworzenie modelu częściowo heurystycznego. Model dla tej prognozy wykorzystuje prognozę liczby kart płatniczych ogółem, por. roz Wartości prognozy liczby kart zostały podzielone przez liczbę ludności w Polsce, przy założeniu, że liczba ta będzie na stałym poziomie mln mieszkańców do końca 2016 r. Głównym źródłem niepewności tej prognozy jest liczba kart płatniczych, niewielka zmiana liczby ludności w Polsce nie wpłynie w istotny sposób na jej sprawdzalność. Prognoza dla tego wskaźnika przewiduje rosnący trend i wzrost jego wartości z ok. 0.8 na koniec 2010 r. do ok. 1.2 na koniec 2016 r. 35

37 Data L. kart Data L. kart na mieszk. na mieszk Predykcja Tablica 2.15: Wartości historyczne i predykcja z modelu eksperckiego. 36

38 Rysunek 2.33: Dane historyczne i predykcja z modelu eksperckiego Średnia liczba bankomatów na milion mieszkańców Rysunek 2.34: Dane historyczne. 37

39 Dane o liczbie bankomatów na milion mieszkańców w Polsce, por. rys. 2.34, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością kwartalną. Z uwagi na niewielką zmienność liczby ludności w Polsce, wykres wartości tego wskaźnika ma kształt bardzo podobny do wskaźnika z roz Data L. bankom. na Data L. bankom. na mln mieszk. mln mieszk Predykcja Tablica 2.16: Wartości historyczne i predykcja z modelu ARIMA. Podobnie jak dla absolutnej liczby bankomatów z roz. 2.6, na podstawie kryteriów informacyjnych wybrano do prognozy model ARIMA(2,0,1)(0,0,1)[4] z niezerową średnią dla zmiennej objaśnianej zróżnicowanej z przesunięciem 2, co zmniejsza autokorelację reszt modelu. Wyniki testów diagnostycznych nie wykazują żadnych istotnych wad modelu. 38

40 Prognoza z modelu ARIMA charakteryzuje się liniowym trendem i przewiduje wzrost liczby bankomatów na milion mieszkańców na koniec 2016 r. do ok. 610 z ok. 450 na koniec 2010 r. Rysunek 2.35: Dane historyczne i predykcja z modelu ARIMA Średnia liczba terminali POS na milion mieszkańców Rysunek 2.36: Dane historyczne. Dane o średniej liczbie terminali POS na milion mieszkańców w Polsce, por. rys. 2.36, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością kwartalną. Wartości wykazują pewną 39

41 nieregularność, ale wyraźnie widoczny jest liniowy trend wzrostowy. Podobnie jak dla pozostałych wskaźników per capita, tak i w tym przypadku kształt wykresu z rys odpowiada wykresowi z rys z uwagi na stosunkowo mało zmienną liczbę ludności w Polsce. Na podstawie kryteriów informacyjnych wybrano do prognozy model ARIMA(0,1,0)(1,0,0)[4] z niezerową średnią dla zmiennej objaśnianej zróżnicowanej z przesunięciem 4. Wyniki testów diagnostycznych tego modelu potwierdzają losowy charakter reszt i brak istotnej autokorelacji. Prognoza z modelu ARIMA charakteryzuje się liniowym trendem z niewielkimi sezonowymi odchyleniami i przewiduje wzrost wskaźnika na koniec 2016 r. do ok. 9.9 tys. z obecnych ok. 6.7 tys., por. tab i rys Data L. t. POS na Data L. t. POS na mln mieszk. mln mieszk Predykcja Tablica 2.17: Wartości historyczne i predykcja z modelu ARIMA. 40

42 Rysunek 2.37: Dane historyczne i predykcja z modelu ARIMA Średnia liczba transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi na mieszkańca Rysunek 2.38: Dane historyczne. Dane o liczbie transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi na mieszkańca w Polsce, por. rys. 2.38, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością kwartalną. Podobnie jak dla wskaźnika z roz. 2.9, daje się również zauważyć ujawniającą się w miarę upływu czasu roczną sezonowość. 41

43 Procedura wyboru modelu dla tego wskaźnika jest analogiczna jak dla wskaźnika z roz Na podstawie kryteriów informacyjnych przyjęto model ARIMA(0,1,2)(0,0,1)[4] z dryfem dla zmiennej objaśnianej zlogarytmowanej i zróżnicowanej z przesunięciem 4. Testy diagnostyczne tego modelu nie wykazują żadnych jego istotnych wad. Prognoza z modelu ARIMA zachowuje rosnący trend wartości historycznych z efektem sezonowym i przewiduje wzrost liczby transakcji na mieszkańca do ok. 13 w IV kwartale 2016 r. z ok. 6 w IV kwartale 2010 r. Data L. trans. Data L. trans. na mieszk. na mieszk Predykcja Tablica 2.18: Wartości historyczne i predykcja z modelu ARIMA. 42

44 Rysunek 2.39: Dane historyczne i predykcja z modelu ARIMA Średnia liczba poleceń przelewu na mieszkańca Rysunek 2.40: Dane historyczne. Dane o liczbie poleceń przelewu na mieszkańca w Polsce, por. rys. 2.40, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością półroczną lub roczną. Dla lat dostępne są tylko wartości roczne, zatem podobnie jak dla wskaźnika z roz. 2.1, do analizy wykorzystano tylko roczne wartości z okresu

45 Dla tak przygotowanego szeregu czasowego wszystkie trzy przetestowane modele dostarczają zbliżonych prognoz. Ponadto, testy diagnostyczne nie dyskwalifikują żadnego z nich. Na podstawie wartości kryteriów informacyjnych wybrano model regresji liniowej wzg. czasu dla zmiennej zlogarytmowanej. Prognozę wyznaczoną na podstawie tego modelu zawiera tab i rys Widoczny jest przyspieszający trend wzrostowy. Prognoza przewiduje wzrost liczby poleceń przelewu na mieszkańca z ok. 38 w 2010 r. do ok. 83 w 2016 r. Data L. pol. przel. na mieszk Predykcja Tablica 2.19: Wartości historyczne i predykcja z modelu regresji liniowej. 44

46 Rysunek 2.41: Dane historyczne i predykcja z modelu regresji liniowej Średnia liczba transakcji bezgotówkowych na jedną kartę (kwartalnie) Rysunek 2.42: Dane historyczne. Dane o średniej liczbie transakcji bezgotówkowych na kartę w Polsce, por. rys. 2.42, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością kwartalną. Daje się również zauważyć ujawniającą się w miarę upływu czasu roczną sezonowość oraz przyspieszający trend wzrostowy. Dla tego szeregu, na podstawie kryteriów informacyjnych, wybrano model ARIMA(1,0,0)(2,0,0)[4] z niezerową średnią dla zmiennej objaśnianej zlogarytmowanej i zróżnicowanej z przesunięciem 4. Testy diagnostyczne tego modelu nie wykazują żadnych istotnych wad. Podobnych wyników prognoz dostarczają również pozostałe modele. Prognoza z modelu ARIMA zachowuje rosnący trend wartości historycznych z efektem sezonowym i przewiduje wzrost średniej liczby transakcji na kartę do ok. 62 w 2016 r. z ok. 25 w 2010 r. Data L. trans. Data L. trans. na kartę na kartę

47 Predykcja Tablica 2.20: Wartości historyczne i predykcja z modelu ARIMA. Rysunek 2.43: Dane historyczne i predykcja z modelu ARIMA Średnia liczba transakcji bezgotówkowych na jeden terminal POS (kwartalnie) 46

48 Rysunek 2.44: Dane historyczne. Dane o średniej liczbie transakcji bezgotówkowych jeden terminal POS w Polsce, por. rys. 2.44, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością kwartalną. Daje się zauważyć trend wzrostowy i pewną, dość nieregularną sezonowość roczną. Dla tego szeregu, na podstawie kryteriów informacyjnych, wybrano model ARIMA(1,0,0)(1,0,0)[4] z niezerową średnią dla zmiennej objaśnianej zlogarytmowanej i zróżnicowanej z przesunięciem 4. Testy diagnostyczne tego modelu nie wykazują żadnych istotnych wad. Prognoza z modelu ARIMA zachowuje rosnący trend wartości historycznych z efektem sezonowym i przewiduje wzrost średniej liczby transakcji na terminal POS do ok w 2016 r. z ok w 2010 r. Data L. trans. Data L. trans. na t. POS na t. POS Predykcja

49 Tablica 2.21: Wartości historyczne i predykcja z modelu ARIMA. Rysunek 2.45: Dane historyczne i predykcja z modelu ARIMA Średnia liczba transakcji gotówkowych na jedną kartę (kwartalnie) 48

50 Rysunek 2.46: Dane historyczne. Dane o średniej liczbie transakcji gotówkowych na kartę w Polsce, por. rys. 2.46, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością kwartalną. Wyraźnie widoczna jest roczna sezonowość oraz zmiana trendu z malejącego na rosnący w roku Dla tego szeregu, na podstawie kryteriów informacyjnych, sugerujemy wybór modelu ARIMA(0,1,0) dla zmiennej objaśnianej zlogarytmowanej i zróżnicowanej z przesunięciem 4. Testy diagnostyczne tego modelu nie ujawniają żadnych istotnych wad. Ponadto podobne wyniki prognoz daje model ETS. Prognoza z modelu ARIMA wykazuje rosnący trend z silnym efektem sezonowym i przewiduje wzrost średniej liczby transakcji na kartę do ok. 29 w 2016 r. z ok. 21 w 2010 r. Data L. trans. Data L. trans. na kartę na kartę Predykcja

51 Tablica 2.22: Wartości historyczne i predykcja z modelu ARIMA. Rysunek 2.47: Dane historyczne i predykcja z modelu ARIMA Średnia liczba transakcji gotówkowych na jeden bankomat (kwartalnie) 50

52 Rysunek 2.48: Dane historyczne. Dane o średniej liczbie transakcji gotówkowych na jeden bankomat w Polsce, por. rys. 2.46, zawierają wartości tego wskaźnika z częstotliwością kwartalną. Wyraźnie widoczna jest roczna sezonowość oraz przerwanie malejącego trendu w roku Dla tego szeregu wszystkie trzy klasy modeli wyznaczają inne prognozy. Model regresyjny przewiduje kontynuację trendu malejącego, model ARIMA wystąpienie trendu rosnącego, zaś model ETS ustabilizowanie wartości na obecnym poziomie. Kryteria informacyjne sugerują wybór modelu ETS dla zmiennej objaśnianej zlogarytmowanej i zróżnicowanej z przesunięciem 4. Ponadto, prognoza z modelu ETS wydaje się najbardziej realistyczna, a diagnostyka modelu nie ujawnia istotnych wad. Prognoza z modelu ETS wykazuje brak trendu wraz z występowaniem efektu sezonowego oraz przewiduje utrzymanie rocznej średniej liczby transakcji na bankomat w całym horyzoncie prognozy na poziomie z 2010 r. Data L. trans. Data L. trans. na bankom. na bankom Predykcja

53 Tablica 2.23: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. Rysunek 2.49: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 52

54 Rozdział 3 Wskaźniki dla Unii Europejskiej Wskaźniki dla Unii Europejskiej mają postać szeregów czasowych z częstotliwością roczną. Mimo, iż dysponujemy danymi z ostatnich jedenastu lat ( ), dane z lat , czyli sprzed rozszerzenia UE o 10 nowych krajów nie są reprezentatywne dla obecnego okresu. W przypadku niektórych wskaźników widoczna jest istotna zmiana dynamiki, por. np. roz. 3.1, 3.4 i 3.7. W związku z tym zdecydowano o odrzuceniu danych z lat stworzeniu modeli prognostycznych dla danych od 2005 r. Oczywiście, znacząco zmniejszyło to długość i tak już stosunkowo krótkich szeregów czasowych ale wyeliminowało wpływ niereprezentatywnych danych na prognozy. Ze względu na bardzo krótkie szeregi czasowe zasadnym wydaje się zastosowanie jak najprostszych modeli. Dla większości wskaźników przyjęto prognozy wyznaczone z modeli ETS, z uwagi na najniższe wartości kryteriów informacyjnych, są one jednakże zgodne z prognozami prostszych modeli regresyjnych. Podkreślmy, że prognozy wyznaczone na podstawie modeli wyestymowanych na tak krótkich danych należy traktować z dużą ostrożnością. 3.1 Średnia liczba rachunków bankowych na mieszkańca Rysunek 3.1: Dane historyczne. Dane o liczbie rachunków bankowych na mieszkańca w Unii Europejskiej zawierają wartości tego wskaźnika o częstotliwości rocznej. Szereg sprzed rozszerzenia UE w 2004 r. charakteryzuje się odmienną dynamiką i aby wyeliminować jej wpływ na prognozę wyznaczenie ją na podstawie danych od 2004 r. 53

55 Spośród rozpatrywanych modeli wybrano model ETS(M,M,N) ze względu na wartości kryteriów informacyjnych. Mimo, że diagnostyka modelu nie wykazuje jego istotnych wad, jej wyniki trzeba traktować z ostrożnością ze względu na niewielką długość szeregu. Prognozę z modelu ETS cechuje liniowy trend wzrostowy. Przewiduje ona wzrost liczby rachunków bankowych na mieszkańca do ok w 2016 r. z ok w 2010 r. Data L. rach. na mieszk Predykcja Tablica 3.1: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. Rysunek 3.2: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 54

56 3.2 Średnia liczba kart płatniczych na mieszkańca Rysunek 3.3: Dane historyczne. Dane o liczbie kart płatniczych na mieszkańca w Unii Europejskiej zawierają wartości tego wskaźnika o częstotliwości rocznej. Podobnie jak w przypadku innych wskaźników dla UE zdecydowano się na estymację modelu na wartościach od 2004 r. Data L. kart na mieszk Predykcja Tablica 3.2: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. 55

57 Spośród rozpatrywanych modeli wybrano model ETS(M,A,N) ze względu na wartości kryteriów informacyjnych oraz poprawną diagnostykę reszt. Podobną prognozę daje model ARIMA. Prognoza z modelu ETS przewiduje nieznaczny spadek liczby kart płatniczych na mieszkańca w latach , do ok z obecnych Rysunek 3.4: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 3.3 Średnia liczba bankomatów na milion mieszkańców Rysunek 3.5: Dane historyczne. 56

58 Dane o liczbie bankomatów na milion mieszkańców w Unii Europejskiej zawierają wartości tego wskaźnika o częstotliwości rocznej. Podobnie jak w przypadku innych wskaźników dla UE zdecydowano się na estymację modelu na wartościach od 2004 r. Spośród rozpatrywanych modeli wybrano model ETS(M,A,N) ze względu na wartości kryteriów informacyjnych oraz poprawną diagnostykę reszt. Podobną prognozę daje model ARIMA. Prognoza z modelu ETS przewiduje dla liczby bankomatów na milion mieszkańców liniowy trend rosnący w latach i wzrost do ok na koniec 2016 r. z ok. 870 na koniec 2010 r. Data L. bankom. na mln mieszk Predykcja Tablica 3.3: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. 57

59 Rysunek 3.6: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 3.4 Średnia liczba terminali POS na milion mieszkańców Rysunek 3.7: Dane historyczne. Dane o liczbie terminali POS na milion mieszkańców w Unii Europejskiej zawierają wartości tego wskaźnika o częstotliwości rocznej. Podobnie jak w przypadku innych wskaźników dla UE zdecydowano się na estymację modelu na wartościach od 2004 r., mimo, że w tym przypadku pozostawienie danych wcześniejszych spowodowałoby nieznaczną zmianę modelu i prognozy. 58

60 Spośród rozpatrywanych modeli wybrano model ETS(A,A,N) ze względu na wartości kryteriów informacyjnych oraz poprawną diagnostykę reszt. Podobną prognozę daje model ARIMA. Prognoza z modelu ETS przewiduje dla liczby terminali POS na milion mieszkańców liniowy trend rosnący w latach i wzrost do ok tys. na koniec 2016 r. z ok tys. na koniec 2010 r. Data L. t. POS na mln mieszk Predykcja Tablica 3.4: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. 59

61 Rysunek 3.8: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 3.5 Średnia liczba transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi na mieszkańca Rysunek 3.9: Dane historyczne. Dane o średniej liczbie transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi na mieszkańca w Unii Europejskiej zawierają wartości tego wskaźnika o częstotliwości rocznej. Podobnie jak w przypadku innych wskaźników dla UE zdecydowano się na estymację modelu na wartościach od 2004 r., mimo, że w tym przypadku pozostawienie danych wcześniejszych spowodowałoby nieznaczną zmianę modelu i prognozy Spośród rozpatrywanych modeli wybrano model ETS(A,A,N) ze względu na wartości kryteriów informacyjnych oraz poprawną diagnostykę reszt. Podobną prognozę daje model ARIMA. Prognoza z modelu ETS przewiduje w latach nieznacznie przyspieszający trend wzrostowy dla tego wskaźnika i jego wzrost do ok na koniec 2016 r. z ok na koniec 2010 r. 60

62 Data L. trans. na mieszk Predykcja Tablica 3.5: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. Rysunek 3.10: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 61

63 3.6 Średnia liczba placówek oferujących usługi płatnicze na milion mieszkańców Rysunek 3.11: Dane historyczne. Dane o średniej liczbie placówek z usługami płatniczymi na milion mieszkańców w Unii Europejskiej zawierają wartości tego wskaźnika o częstotliwości rocznej. Podobnie jak w przypadku innych wskaźników dla UE zdecydowano się na estymację modelu na wartościach od 2004 r. Spośród rozpatrywanych modeli wybrano model ETS(M,M,N) ze względu na wartości kryteriów informacyjnych oraz poprawną diagnostykę reszt. Podobną prognozę daje model ARIMA. Prognoza z modelu ETS przewiduje w latach liniowy trend spadkowy dla tego wskaźnika i jego spadek do ok. 476 na koniec 2016 r. z ok. 536 na koniec 2010 r. Data 62 L. plac. na mln. mieszk Predykcja

64 Tablica 3.6: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. Rysunek 3.12: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 3.7 Średnia liczba transakcji bezgotówkowych na terminal POS Rysunek 3.13: Dane historyczne. 63

65 Dane o średniej liczbie transakcji na terminal POS w Unii Europejskiej zawierają wartości tego wskaźnika o częstotliwości rocznej. Podobnie jak w przypadku innych wskaźników dla UE zdecydowano się na estymację modelu na wartościach od 2004 r. Data L. trans Predykcja Tablica 3.7: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. Spośród rozpatrywanych modeli wybrano model ETS(A,A,N) ze względu na wartości kryteriów informacyjnych oraz poprawną diagnostykę reszt. Prognoza z modelu ETS przewiduje w latach liniowy trend rosnący dla tego wskaźnika i jego wzrost do ok. 3.9 tys. na koniec 2016 r. z ok. 3.6 tys. na koniec 2010 r. 64

66 Rysunek 3.14: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 3.8 Średnia liczba transakcji bezgotówkowych na jedną kartę Rysunek 3.15: Dane historyczne. Dane o średniej liczbie transakcji bezgotówkowych na jedną kartę w Unii Europejskiej zawierają wartości tego wskaźnika o częstotliwości rocznej. Podobnie jak w przypadku innych wskaźników dla UE zdecydowano się na estymację modelu na wartościach od 2004 r. Spośród rozpatrywanych modeli wybrano model ETS(M,M,N) ze względu na wartości kryteriów informacyjnych oraz poprawną diagnostykę reszt. Podobną prognozę daje model ARIMA. Prognoza z modelu ETS przewiduje w latach liniowy trend rosnący dla tego wskaźnika i jego wzrost do ok. 53 na koniec 2016 r. z ok. 44 na koniec 2010 r. Data 65 L. trans. na kartę

67 Predykcja Tablica 3.8: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. Rysunek 3.16: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 66

68 3.9 Średnia liczba transakcji bezgotówkowych na mieszkańca (karty płatnicze, polecenia przelewu, polecenia zapłaty) Rysunek 3.17: Dane historyczne. Dane o średniej liczbie transakcji bezgotówkowych na mieszkańca w Unii Europejskiej zawierają wartości tego wskaźnika o częstotliwości rocznej. Podobnie jak w przypadku innych wskaźników dla UE zdecydowano się na estymację modelu na wartościach od 2004 r. Spośród rozpatrywanych modeli wybrano model ETS(A,A,N) ze względu na wartości kryteriów informacyjnych oraz poprawną diagnostykę reszt. Prognoza z modelu ETS przewiduje w latach liniowy trend rosnący dla tego wskaźnika i jego wzrost do ok. 200 na koniec 2016 r. z ok. 170 na koniec 2010 r. Data 67 L. trans. na mieszk Predykcja

69 Tablica 3.9: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. Rysunek 3.18: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS Średnia liczba transakcji poleceń przelewu na mieszkańca Rysunek 3.19: Dane historyczne. 68

70 Dane o średniej liczbie transakcji poleceń przelewu na mieszkańca w Unii Europejskiej zawierają wartości tego wskaźnika o częstotliwości rocznej. Podobnie jak w przypadku innych wskaźników dla UE zdecydowano się na estymację modelu na wartościach od 2004 r. Ponadto wartość dla 2007 r. potraktowano jako odstającą i usunięto z danych wykorzystanych do estymacji modeli. Spośród rozpatrywanych modeli wybrano model ETS(M,M,N) ze względu na wartości kryteriów informacyjnych, poprawną diagnostykę reszt oraz realistyczną prognozę. Podkreślmy, że wskaźnik ten charakteryzuje się znacznymi zmianami, które istotnie utrudniają właściwy dobór modelu prognostycznego, szczególnie dla tak krótkich danych. Prognoza z modelu ETS przewiduje w latach liniowy trend rosnący dla tego wskaźnika i jego wzrost do ok. 53 na koniec 2016 r. z ok. 48 na koniec 2010 r. 69

71 Data L. trans. na mieszk Predykcja Tablica 3.10: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. Rysunek 3.20: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 70

72 3.11 Średnia liczba poleceń zapłaty na mieszkańca Rysunek 3.21: Dane historyczne. Dane o średniej liczbie poleceń zapłaty na mieszkańca w Unii Europejskiej zawierają wartości tego wskaźnika o częstotliwości rocznej. Podobnie jak w przypadku innych wskaźników dla UE zdecydowano się na estymację modelu na wartościach od 2004 r. Spośród rozpatrywanych modeli wybrano model ETS(A,A,N) ze względu na wartości kryteriów informacyjnych oraz poprawną diagnostykę reszt. Prognoza z modelu ETS przewiduje w latach liniowy trend rosnący dla tego wskaźnika i jego wzrost do ok. 51 na koniec 2016 r. z ok. 44 na koniec 2010 r. 71

73 Data L. pol. zapł. na mieszk Predykcja Tablica 3.11: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. Rysunek 3.22: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 72

74 3.12 Udział transakcji bezgotówkowych w ogólnej liczbie transakcji kartami płatniczymi Rysunek 3.23: Dane historyczne. Dane o udziale transakcji bezgotówkowych w ogólnej liczbie transakcji kartami płatniczymi zawierają wartości tego wskaźnika o częstotliwości rocznej. Podobnie jak w przypadku innych wskaźników dla UE zdecydowano się na estymację modelu na wartościach od 2004 r. Spośród rozpatrywanych modeli wybrano model ETS(M,A,N) ze względu na wartości kryteriów informacyjnych oraz poprawną diagnostykę reszt. Prognoza z modelu ETS przewiduje w latach liniowy trend rosnący dla tego wskaźnika i jego wzrost do ok. 81% na koniec 2016 r. z ok. 73% na koniec 2010 r. 73

75 Data Udział trans. bezgot Predykcja Tablica 3.12: Wartości historyczne i predykcja z modelu ETS. Rysunek 3.24: Dane historyczne i predykcja z modelu ETS. 74

76 Rozdział 4 Porównanie prognoz wskaźników dla Polski i Unii Europejskiej 4.1 Średnia liczba bankomatów na milion mieszkańców Data L. bankomatów na mln mieszk. PL UE Predykcja Tablica 4.1: Porównanie danych historycznych i prognoz dla Polski i Unii Europejskiej. Średnia liczba bankomatów na milion mieszkańców dla Polski i Unii Europejskiej wykazuje podobną dynamikę, zarówno dla wartości historycznych jak i prognoz. Na rys. 4.5 widoczna jest stale utrzymująca się luka w liczbie ok , która nie zmienia się istotnie w horyzoncie prognozy. W związku z tym, osiągnięcie średniej wartości wskaźnika dla UE w zakładanym horyzoncie prognozy, przy zachowaniu historycznych trendów jest w zasadzie niemożliwe. 75

77 Rysunek 4.1: Porównanie danych historycznych i prognoz dla Polski i Unii Europejskiej. 4.2 Średnia liczba kart płatniczych na mieszkańca Data L. kart na mieszk. PL UE Predykcja Tablica 4.2: Porównanie danych historycznych i prognoz dla Polski i Unii Europejskiej. Liczba kart płatniczych na mieszkańca w UE w ostatnich trzech latach utrzymywała się na względnie stałym poziomie, którego utrzymanie w przyszłości przewiduje prognoza. Wartość tego wskaźnika dla Polski wykazuje okresy wzrostu przerywane krótkotrwałymi okresami niewielkiego spadku bądź stagnacji. Przy zachowaniu historycznych trendów 76

78 wzrostowych, obecna luka pomiędzy wartościami wskaźnika dla Polski i UE wynosząca ok. 0.6, zmniejszy się w horyzoncie prognozy o połowę. Rysunek 4.2: Porównanie danych historycznych i prognoz dla Polski i Unii Europejskiej. 4.3 Średnia liczba poleceń przelewu na mieszkańca Data L. pol. przel. na mieszk. PL UE Predykcja Tablica 4.3: Porównanie danych historycznych i prognoz dla Polski i Unii Europejskiej. Liczba poleceń przelewu na mieszkańca dla Polski rośnie znacznie szybciej niż wartość tego wskaźnika dla UE. Przy zachowaniu obecnych trendów, osiągnięcie przez Polskę wartości dla UE nastąpi już w 2012 r. Podkreślmy, że ta optymistyczna prognoza dla Polski 77

79 jest oparta wyłącznie na wartościach historycznych wskaźnika. Upowszechnienie innych rodzajów płatności bezgotówkowych może ten trend zmienić, a nawet odwrócić. Rysunek 4.3: Porównanie danych historycznych i prognoz dla Polski i Unii Europejskiej. 4.4 Średnia liczba rachunków bankowych na mieszkańca Data L. rach. na mieszk. PL UE Predykcja Tablica 4.4: Porównanie danych historycznych i prognoz dla Polski i Unii Europejskiej. Porównanie liczby rachunków bankowych na mieszkańca dla Polski i Unii Europejskiej wskazuje na znacznie szybszy wzrost tego wskaźnika dla Polski w porównaniu ze średnią wartością dla UE, która od 2004 r. cechuje się niewielkim wzrostem. Przy zachowaniu obecnych trendów osiągnięcie średniej wartości wskaźnika dla UE nastąpi w 2015 r. 78

80 Rysunek 4.4: Porównanie danych historycznych i prognoz dla Polski i Unii Europejskiej. 4.5 Średnia liczba terminali POS na milion mieszkańców Data L. t. POS na mln mieszk. PL UE Predykcja Tablica 4.5: Porównanie danych historycznych i prognoz dla Polski i Unii Europejskiej. Porównanie liczby terminali POS na milion mieszkańców dla Polski i Unii Europejskiej wskazuje na podobną dynamikę szeregów czasowych, zarówno dla wartości historycznych jak i prognoz pod względem wartości absolutnych. Widoczna na rys. 4.5 luka w liczbie ok. 12 tys. utrzymująca się w okresie od 2003 r. do chwili obecnej pozostaje na tym samym poziomie w całym horyzoncie prognozy. Osiągnięcie średniej wartości wskaźnika dla UE, przy zachowaniu obecnych trendów jest w zasadzie niemożliwe. 79

81 Rysunek 4.5: Porównanie danych historycznych i prognoz dla Polski i Unii Europejskiej. 4.6 Średnia liczba transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi na mieszkańca Data L. trans. na mieszk. PL UE Predykcja Tablica 4.6: Porównanie danych historycznych i prognoz dla Polski i Unii Europejskiej. Porównanie liczby transakcji bezgotówkowych na mieszkańca dla Polski i Unii Europejskiej, por. roz i 3.5, wskazuje na podobną dynamikę szeregów czasowych, zarówno dla wartości historycznych jak i prognoz. Podkreślmy, że ze względu na kwartalną częstotliwość danych dla Polski, w celu dopasowania do danych dla UE przyjęto roczne wartości skumulowane. Ponadto, prognoza dla 2011 r. jest sumą znanych wartości dla pierwszych trzech kwartałów i prognozy wartości z czwartego kwartału. Widoczna na rys. 4.6 luka w liczbie ok. 40 utrzymuje się w okresie od 2004 r. do chwili obecnej i pozostaje na tym samym poziomie w całym horyzoncie prognozy. Osiągnięcie 80

82 średniej wartości wskaźnika dla UE, przy zachowaniu obecnych trendów jest w zasadzie niemożliwe. Rysunek 4.6: Porównanie danych historycznych i prognoz dla Polski i Unii Europejskiej. 81

83 Dodatek A Metodologia doboru modelu prognostycznego W dodatku tym prezentujemy metodologię doboru modelu prognostycznego na przykładzie wskaźnika średniej liczby transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi na mieszkańca dla Polski, por Podobna analiza została przeprowadzona dla każdego z opisanych wskaźników. Przedstawione poniżej wyniki testów diagnostycznych oraz wykresy są częścią dokumentacji diagnostycznej dołączonej do tego opracowania, por. [3]. W przypadku bardziej wymagających danych, np. z nieregularnościami, standardowe modele okazał się niewystarczające i konieczne było zastosowanie bardziej zindywidualizowanego podejścia, por. np. roz Przebieg szeregu czasowego wartości historycznych tego wskaźnika przedstawia rys. A.1. Widoczny jest nieliniowy trend oraz roczna sezonowość, które to cechy muszą uwzględnić wykorzystane modele. Rysunek A.1: Dane historyczne dla wskaźnika średniej liczby transakcji bezgotówkowych kartami płatniczymi na mieszkańca dla Polski W następnych podrozdziałach zaprezentujemy wyniki procedur dopasowania i diagnostyki kolejno: modelu regresyjnego, modelu ETS i modelu ARIMA. A.1 Model regresyjny Model regresyjny dla tego wskaźnika składa się z dwóch komponentów modelu trendu i modelu dla szeregu zróżnicowanego z przesunięciem 4 po odjęciu trendu, por. roz. A.1.1 i A.1.2. Rys. A.2 wskazuje na dobre dopasowanie modelu do danych rzeczywistych. 82

84 Rysunek A.2: Dane historyczne i dopasowane dane z modelu regresyjnego. A.1.1 Model trendu Model trendu jest modelem regresji liniowej względem czasu. Wyestymowane parametry modelu wraz z odpowiednimi statystykami przedstawia tab. A.1. Estymacja modelu i wartości dopasowane Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) trend <2e-16 *** --- Residual standard error: on 31 degrees of freedom Multiple R-squared: ,Adjusted R-squared: F-statistic: 2629 on 1 and 31 DF, p-value: < 2.2e-16 Tablica A.1: Współczynniki i statystyki dla modelu trendu. 83

85 Wykresy diagnostyczne Podstawowe wykresy diagnostyczne, por. rys. A.3, sugerują właściwe dopasowanie modelu. Rysunek A.3: Diagnostyka standardowa dla modelu trendu. Kryteria informacyjne Dla celów porównania z innymi modelami wyznaczono również wartości kryteriów informacyjnych AIC i BIC. AIC: BIC: Tablica A.2: Wartości kryteriów informacyjnych AIC i BIC dla modelu trendu. 84

86 Testy diagnostyczne Dodatkowo przeprowadzono szereg testów diagnostycznych dla reszt modelu, por. tab. A.3. Rainbow test Rain = , df1 = 17, df2 = 14, p-value = RESET test RESET = , df1 = 1, df2 = 30, p-value = 3.695e Goldfeld-Quandt test GQ = , df1 = 15, df2 = 14, p-value = Shapiro-Wilk normality test W = , p-value = Jarque Bera Test X-squared = , df = 2, p-value = Tablica A.3: Testy diagnostyczne reszt modelu trendu. Testy Rainbow i RESET sugerują odrzucenie hipotezy o liniowości modelu. Test Goldfelda-Quandta nie daje podstaw do odrzucenia hipotezy o stałości wariancji. Testy normalności reszt Shapiro-Wilka i Jarque Bera nie dają podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności reszt. Zatem testy Rainbow i RESET wskazują na zbytnie uproszczenie modelu, podczas gdy pozostałe potwierdzają jego dobre dopasowanie. 85

87 Autokorelacja reszt W skład diagnostyki modelu weszły również testy autokorelacji reszt, por. tab. A.4, które wskazują na jej istnienie. Durbin-Watson test DW = , p-value = 5.863e-07 alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than Breusch- Godfrey test for serial correlation of order up to 1 LM test = , df = 1, p-value = Tablica A.4: Testy diagnostyczne autokorelacji reszt modelu trendu. Wykresy współczynników autokorelacji i częściowej autokorelacji, por rys. A.4 i A.5, również wskazują na to, że zależności w danych nie zostały w wystarczającym stopniu odzwierciedlone w modelu. Rysunek A.4: Współczynniki autokorelacji reszt dla modelu trendu. 86

88 Rysunek A.5: Współczynniki częściowej autokorelacji reszt dla modelu trendu. Podsumowanie Diagnostyka modelu wskazuje na jego stosunkowo dobre dopasowanie i właściwy charakter losowości reszt. Niestety, model nie odzwierciedla właściwie zależności występujących w danych, o czy świadczy istotna autokorelacja reszt. A.1.2 Model regresyjny dla szeregu zróżnicowanego po odjęciu trendu Drugim komponentem modelu regresyjnego jest model dla szeregu zróżnicowanego po odjęciu trendu, którego wyestymowane parametry wraz z odpowiednimi statystykami przedstawia tab. A.5. Estymacja modelu i wartości dopasowane Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-10 *** I(x) e-11 *** --- Residual standard error: on 27 degrees of freedom Multiple R-squared: ,Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 27 DF, p-value: 2.802e-11 Tablica A.5: Współczynniki i statystyki dla modelu szeregu po odjęciu trendu. Wykresy diagnostyczne 87

89 Podstawowe wykresy diagnostyczne, por. rys. A.6, sugerują właściwe dopasowanie modelu. Rysunek A.6: Diagnostyka standardowa dla modelu szeregu po odjęciu trendu. Kryteria informacyjne Dla celów porównania z innymi modelami wyznaczono również wartości kryteriów informacyjnych AIC i BIC. AIC: BIC: Tablica A.6: Wartości kryteriów informacyjnych AIC i BIC dla modelu szeregu po odjęciu trendu. 88

90 Testy diagnostyczne Dodatkowo przeprowadzono szereg testów diagnostycznych dla reszt modelu, por. tab. A.7. Rainbow test Rain = , df1 = 15, df2 = 12, p-value = RESET test RESET = , df1 = 1, df2 = 26, p-value = Goldfeld-Quandt test GQ = , df1 = 13, df2 = 12, p-value = Shapiro-Wilk normality test W = 0.979, p-value = Jarque Bera Test X-squared = , df = 2, p-value = Tablica A.7: Testy diagnostyczne reszt modelu szeregu po odjęciu trendu. Testy Rainbow i RESET nie dają podstaw do odrzucenia hipotezy o liniowości modelu. Test Goldfelda-Quandta nie daje podstaw do odrzucenia hipotezy o stałości wariancji. Testy normalności reszt Shapiro-Wilka i Jarque Bera nie dają podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności reszt. Zatem wszystkie testy sugerują dobre dopasowanie modelu. Autokorelacja reszt W skład diagnostyki modelu weszły również testy autokorelacji reszt, por. tab. A.8. Test Durbina-Watsona nakazuje odrzucić hipotezę o zerowej autokorelacji reszt, natomiast test Breuscha-Godfreya nie daje do tego podstaw. Durbin-Watson test 89

91 DW = , p-value = alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than Breusch- Godfrey test for serial correlation of order up to 1 LM test = , df = 1, p-value = Tablica A.8: Testy diagnostyczne autokorelacji reszt modelu szeregu po odjęciu trendu. Wykres współczynników autokorelacji, por rys. A.7, nie wskazuje na jej występowanie, natomiast występuje autokorelacja częściowa przy przesunięciu 4, por. rys. A.8. Rysunek A.7: Współczynniki autokorelacji reszt dla modelu szeregu po odjęciu trendu. 90

92 Rysunek A.8: Współczynniki częściowej autokorelacji reszt z modelu szeregu po odjęciu trendu. Podsumowanie Diagnostyka modelu wskazuje na jego stosunkowo dobre dopasowanie i właściwy charakter losowości reszt, które jednak wciąż wykazują nieznaczną autokorelację A.2 Model wygładzania wykładniczego Parametry modelu wygładzania wykładniczego (ETS) zostały wyznaczone za pomocą metody ets z pakietu forecast, por. [1], która dobiera go z szerokiej klasy modeli między innymi na na podstawie wartości kryteriów informacyjnych AIC i BIC. ETS(A,N,N) Smoothing parameters: alpha = Initial states: l = sigma: AIC AICc BIC Tablica A.9: Wynik procedury dopasowania modelu ETS. Najwłaściwszym modelem okazał się model ETS(A,N,N) dla zlogarytmowanej zmiennej zróżnicowanej z przesunięciem 4, co wskazuje, że przeprowadzenie tych dwóch operacji 91

93 wyeliminowało trend oraz sezonowość pozostawiając losowy błąd o addytywnym charakterze. Losowość reszt Wykres kwantyl-kwantyl, por. rys. A.9 oraz wynik testu Shapiro-Wilka, por. tab. A.10 sugerują odpowiednio losowy charakter reszt. Rysunek A.9: Wykres kwantyl-kwantyl dla reszt modelu ETS. Shapiro-Wilk normality test W = , p-value = Tablica A.10: Test Shapiro Wilka normalności reszt modelu ETS. 92

94 Autokorelacja reszt Wykresy współczynników autokorelacji reszt, por. rys. A.10 i A.11, nie wykazują jej istnienia. Rysunek A.10: Współczynniki autokorelacji reszt modelu ETS. Rysunek A.11: Współczynniki częściowej autokorelacji reszt modelu ETS. 93

95 Podsumowanie Diagnostyka modelu wskazuje na jego dobre dopasowanie i właściwy charakter losowości reszt. W porównaniu do modelu regresyjnego, por. roz. A.1, reszty wykazują istotnie mniejszą autokorelację, co w powiązaniu z dobrymi wynikami testów normalności wskazuje na lepsze własności modelu ETS. Potwierdza to również porównanie wartości kryteriów informacyjnych AIC i BIC, por. tab. A.6 i A.9. A.3 Model ARIMA Parametry modelu ARIMA zostały wyznaczone za pomocą metody auto.arima z pakietu forecast, por. [1]. Podobnie jak w przypadku modelu ETS, został on dobrany z szerokiej klasy modeli między innymi na podstawie wartości kryteriów informacyjnych AIC i BIC. Najwłaściwszym modelem okazał się model ARIMA(0,1,2)(0,0,1)[4] z dryfem dla zlogarytmowanej zmiennej objaśnianej zróżnicowanej z przesunięciem 4. Jak zaznaczyliśmy w roz. 1.4, aby uniknąć efektu przeuczenia, możliwe wartości parametrów zostały ograniczone do 2, z uwagi stosunkowo krótkie dane historyczne. Oznaczenie ARIMA(0,1,2)(0,0,1)[4] wskazuje na uwzględnienie sezonowości o okresie 4 oraz przyjęcie parametrów autoregresji i ruchomej średniej 0, 2 oraz 0, 1 dla przesunięć 1 i 4. Parametry integracji wynoszą 1 i 0 odpowiednio dla przesunięcia 1 i przesunięcia 4. Współczynniki modelu wraz z odpowiednimi statystykami oraz wartościami kryteriów informacyjnych zawiera tab. A.11. ARIMA(0,1,2)(0,0,1)[4] with drift Coefficients: ma1 ma2 sma1 drift s.e sigma^2 estimated as 6.282e-05: log likelihood=93.67 AIC= AICc= BIC= Tablica A.11: Wynik procedury dopasowania modelu ARIMA. Losowość reszt Wykres kwantyl-kwantyl, por. rys. A.12 oraz wynik testu Shapiro-Wilka, por. tab. A.12 sugerują odpowiednio losowy charakter reszt, z nieco gorszym zachowaniem w ogonach w porównaniu z modelem ETS ale ze względu na stosunkowo niewielki rozmiar danych nie jest to zjawisko niepokojące. 94

96 Rysunek A.12: Wykres kwantyl-kwantyl dla reszt modelu ARIMA. Shapiro-Wilk normality test W = , p-value = Tablica A.12: Test Shapiro Wilka normalności reszt modelu ARIMA. Autokorelacja reszt Wykresy współczynników autokorelacji reszt, por. rys. A.13 i A.14, nie wykazują jej występowania. 95

97 Rysunek A.13: Współczynniki autokorelacji reszt modelu ARIMA. Rysunek A.14: Współczynniki częściowej autokorelacji reszt modelu ARIMA. Powszechnie używanymi testami autokorelacji reszt dla modeli ARIMA są testy Ljunga- Boxa i Boxa-Pierce a. W obu przypadkach, por. rys. A.15 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o braku autokorelacji reszt. 96

98 Rysunek A.15: Testy Ljunga-Boxa i Boxa-Pierce a. Podsumowanie Diagnostyka modelu wskazuje na jego dobre dopasowanie i właściwy charakter losowości reszt. W porównaniu do modelu ETS, por. roz. A.2, reszty wykazują mniejszą autokorelację z nieco lepszym dopasowaniem do rozkładu normalnego w ogonach. Porównanie wartości kryteriów informacyjnych AIC i BIC, por. tab. A.9 i A.11, wskazuje również na przewagę modelu ARIMA. A.4 Wybór modelu Na podstawie roz. A.1.1, A.1.2, A.2, A.2 można dokonać wyboru modelu prognostycznego. W tym celu posługujemy się wartościami kryteriów informacyjnych AIC i BIC, testami diagnostycznymi poszczególnych modeli oraz wizualizacją ich prognoz, por. rys. A.16. W tym przypadku najwłaściwszym modelem wydaje się być model ARIMA, ze względu na wartości kryteriów informacyjnych oraz dobre własności reszt. Rys. A.16 pokazuje, że model regresyjny dostarcza podobnych wartości prognozy. 97

99 Rysunek A.16: Prognozy liczby transakcji bezgotówkowych na mieszkańca dla Polski wyznaczone na podstawie trzech modeli. Szczegółowe informacje o prognozie liczby transakcji bezgotówkowych na mieszkańca dla Polski wyznaczone na podstawie modelu ARIMA przedstawione są w roz