OCENA EFEKTYWNOŚCI DŁUGOTERMINOWYCH PROGNOZ DLA WARTOŚCI ZAGROśONEJ (VAR) WYZNACZONYCH Z WYKORZYSTANIEM METODOLOGII CLEARHORIZON

Transkrypt

1 STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK N EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA Z NR 10 TOMASZ PISULA OCENA EFEKTYWNOŚCI DŁUGOTERMINOWYCH PROGNOZ DLA WARTOŚCI ZAGROśONEJ (VAR) WYZNACZONYCH Z WYKORZYSTANIEM METODOLOGII CLEARHORIZON Wstęp Istnieje duŝe zapotrzebowanie na modele umoŝliwiające mierzenie i ocenę ryzya rynowego w długich horyzontach czasu, niejednorotnie przeraczających nawet oresy 2 letnie. Dla wielu inwestorów giełdowych znacznie waŝniejsza jest ocena ryzya potencjalnych strat w wartości ich portfeli inwestycyjnych w długim horyzoncie czasu, niŝ oszacowanie ryzya rótoterminowego. Zapotrzebowanie na modele prognoz długooresowych jest taŝe bardzo duŝe wśród instytucji zarządzających róŝnego rodzaju funduszami inwestycyjnymi lub otwartymi funduszami emerytalnymi. Głównym źródłem ich ryzya są zmiany rynowe cen atywów finansowych, w tóre te fundusze inwestują, często w długoletnim horyzoncie czasu. Wychodząc na przeciw tym zapotrzebowaniom w 2000 r. RisMetrics zaproponowało nową metodologię oceny ryzya rynowego, z wyorzystaniem miary zagroŝenia Value at Ris (VaR), dla długoterminowych inwestycji finansowych (o horyzoncie czasowym przeraczającym ores 24 miesięcy). Metodologia obliczania prognoz długoterminowych dla wartości zagroŝonej VaR została opubliowana w doumencie technicznym 1 i otrzymała nazwę ClearHorizon. Artyuł jest ontynuacją prowadzonych juŝ wcześniej analiz 2 nad moŝ- 1 Kim J., Mina J., ClearHorizon Technical Document. Forecasting methodology for horizons beyond two years, Ris Metrics Group, New Yor 2000, s. (1-31). 2 Pisula T., Mentel G., Prognozy długooresowe dla wartości zagroŝonej Value at Ris w ocenie ryzya inwestowania w acje, [w:] Rona-Chmielowiec W., Jajuga K. [red.], Inwestycje finansowe i ubezpieczenia tendencje światowe a polsi ryne. Wydawnictwo AE we Wrocławiu, Wrocław 2007, s. ( ).

2 126 RYNEK KAPITAŁOWY SKUTECZNE INWESTOWANIE liwością zastosowania w pratyce omawianej metodologii na polsim rynu finansowym. Celem artyułu jest próba odpowiedzi na pytanie: na ile suteczne i efetywne są prognozy długoterminowe dla wartości zagroŝonej VaR obliczone z wyorzystaniem tej metodologii. Teoretyczne podstawy metodologii ClearHorizon Wartość zagroŝona (VaR), naleŝącą do grupy miar zagroŝenia jest obecnie bardzo często stosowaną w pratyce miarą ryzya rynowego. Oreśla ona taą stratę w wartości rynowej (np. instrumentu czy portfela), dla tórej prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe rzeczywiste straty będą w zadanym horyzoncie czasu jeszcze więsze (przeroczą prognozowaną wartość VaR) jest dostatecznie małe i równe pewnemu zadanemu poziomowi tolerancji (α > 0). Definicję tę moŝna zapisać następująco 3 : ZS < 0 P ZS = V V VaR = α, (1) ( t, t+ t ) gdzie: ZS t, funcja zysów ( ZS t, > 0 ) lub strat ( ZS t, < 0 ) w wartości rynowej V t + (np. portfela), w momencie czasu odległym o oresów od chwili obecnej t, ZS 0 VaR < < 0 wartość zagroŝona dla horyzontu czasu oresów, obliczona dla potencjalnych strat. Przez analogię moŝna podać podobną definicje dla prognozowanych zysów: ZS > 0 P ZS = V V VaR = α, (2) gdzie: ( t, t+ t ) ZS 0 VaR > > 0 - wartość zagroŝona dla horyzontu czasu oresów, obliczona dla potencjalnych zysów. Metodologia ClearHorizon jest jedną z metod parametrycznych obliczania prognoz długoterminowych dla wartości zagroŝonej VaR. Wyorzystuje ona model hybrydowy, będący optymalną mieszaniną dwóch podstawowych modeli szeregów czasowych: błądzenia losowego (random wal) i powracania do średniej (mean reversion). W modelu błądzenia losowego 4 załada się, Ŝe wahania dla logarytmicznych (przyszłych) wartości instrumentów finansowych: p = ln( V ), w mo- t+ t+ mencie czasu t+, odległym o oresów od chwili obecnej są zmienną losową 3 Jajuga K., Miary ryzya rynowego część trzecia. Miary zagroŝenia. Ryne Terminowy, 2000, nr 8, s. ( ). 4 Pisula T., Mentel G., Prognozy długooresowe..., op. cit., s. (309).

3 TOMASZ PISULA OCENA EFEKTYW N OŚCI DŁ UGO TERMIN OW YC H PR OG N OZ 127 RW RW o rozładzie normalnym: pt + ~ N ( µ, σ ). Parametry tego rozładu moŝna wyznaczyć ze wzorów: ( RW ) 2( RW ) 2 µ = pt + µ, σ = σ, (3) gdzie: µ jest parametrem dryfu (trendu) dla jednooresowych zmian: pt p t 1 = µ + σ ε, t (4) dla logarytmicznych wartości modelowanych instrumentów finansowych, zaś σ jest parametrem zmienności (odchyleniem standardowym) dla tych wahań, ε ~ N(0,1) załócenia losowe o rozładzie normalnym standaryzowanym. t W modelu rewersji do średniej 5 załada się, Ŝe wahania logarytmicznych (przyszłych) wartości badanych instrumentów finansowych: p = ln( V ), w t+ t+ momencie czasu t+, odległym o oresów od chwili obecnej są zmienną losową o rozładzie normalnym: pt + M Re v M Rev ~ N ( µ, σ ). Parametry tego rozładu moŝna wyznaczyć ze wzorów: 1 α ( Re ) 0 ( 1 γ ) ( 1 M v β γ γ ) (5) µ = + ( t + ) γ ( t + 1) + γ pt, γ γ γ σ 2 ( M Re v) σ = ( 1 γ ) γ, gdzie: α0 = θ p0 + µ (1 θ ), β = µ θ, γ = 1 θ, p0 = ln( V0 ) = p, θ [0,1] jest parametrem oreślającym prędość rewersji (powracania do średniej), µ jest parametrem trendu, zaś σ jest parametrem zmienności (odchyleniem standardowym) dla jednooresowych zmian: pt = pt 1 + µ + θ p0 + µ ( t 1 ) pt 1 + σ εt = α0 + β t + γ pt 1 + σ εt, (6) dla logarytmicznych wartości modelowanych instrumentów finansowych, ε ~ N(0,1) - załócenia losowe o rozładzie normalnym standaryzowanym. t Dla modelu błądzenia losowego oraz powracania do średniej moŝna wyznaczyć ja szybo zmienia się w czasie ich wariancja, w zaleŝności od długości horyzontu prognozy. W tym celu w metodologii zaproponowanej przez RisMetrics wprowadzono wsaźni Variance Ratio (VR), zdefiniowany następująco: 2 σ VR =. (7) 2 σ 1 5 Ibidem, s. (310)

4 128 RYNEK KAPITAŁOWY SKUTECZNE INWESTOWANIE Na podstawie analizy wartości wsaźnia Variance Ratio wynia, Ŝe zmienność dowolnego szeregu czasowego, opisującego flutuację wartości badanego instrumentu finansowego moŝna modelować odpowiednim modelem hybrydowym, tóry jest optymalną mieszaniną modeli random wal (RW) i mean reversion (MRev). Wagi ω [0,1] oraz (1 ω) [0,1] w modelu hybrydowym są dobierane w tai sposób, aby ja najlepiej salibrować wariancję dla modelu hybrydowego, w stosunu do obserwowanej wariancji historycznej. Wariancję historyczną dla horyzontu czasowego oresów wyznacza się orzystając ze wzoru: n 2 n σ ( ) 2 = pt pt r1, (8) ( n )( n + 1) t = + 1 gdzie: n liczba dostępnych obserwacji historycznych, r 1 jest średnią wartością dla miesięcznych logarytmicznych stóp zwrotu: r, t,1 = pt pt 1 t = 2,..., n badanych atywów finansowych Wagi dla modelu hybrydowego wyznacza się (orzystając ze wsaźnia Variance Ratio - VR) rozwiązując zadanie optymalizacyjne: s ( Hist ) ( RW ) ( M Re v) ( VR (1 ) ) 2 ω VR ω VR min, (9) gdzie: VR = 1 ( Hist ) jest wsaźniiem Variance Ratio, dla wariancji historycznej ( ) (obliczonym na podstawie wzorów (7) i (8)), zaś VR RW i VR ( M Re v) są analogicznymi wsaźniami dla modelu błądzenia losowego i rewersji do średniej (obliczonymi na podstawie wzorów (3), (5) i (7)). W modelu hybrydowym załada się, Ŝe wahania logarytmicznych (przyszłych) wartości badanych instrumentów finansowych: p = ln( V ), w mo- t+ t+ mencie czasu t+, odległym o oresów od chwili obecnej podlegają rozładowi normalnemu: pt + Mix Mix ~ N ( µ, σ ). Za parametr średniej przyjmuje się Mix M Rev µ = µ, tóry moŝna wyznaczyć ze wzoru (5). Parametr odchylenia standardowego moŝna natomiast wyznaczyć ze wzoru: Mix RW M Rev σ = ω σ + (1 ω) σ. (10) PoniewaŜ logarytmy p = ln( V ) podlegają rozładowi normalnemu, to t t+ t+ V +, a tym samym ZS t, podlega rozładowi logarytmiczno-normalnemu, tórego parametry moŝna teraz stosunowo łatwo oszacować, orzystając z otrzymanych wcześniej oszacowań dla rozładu normalnego.

5 TOMASZ PISULA O C ENA EFEKTYW N OŚCI DŁ UGO TERMIN OW YC H PR OG N OZ 129 Na podstawie definicji wartości zagroŝonej (1) prognozy długoterminowe dla wartości zagroŝonej VaR, dla potencjalnych strat (np. dla wartości portfela) oblicza się ze wzoru: ZS < 0 ( Zα ) VaR = e µ + σ V, (11) gdzie: Mix M Rev µ = µ = µ i σ = σ są prognozami wyznaczonymi ze Mix wzorów (5) oraz (10), odpowiednio dla wartości średniej oraz odchylenia standardowego, zaś Z α jest wantylem rzędu α dla rozładu standaryzowanego normalnego. Podobnie na podstawie wzoru (2) prognozy długooresowe dla wartości zagroŝonej VaR, dla potencjalnych zysów oblicza się ze wzoru: ZS > 0 ( Z1 α ) VaR = e µ + σ Vt, (12) gdzie: µ i σ interpretuje się podobnie ja we wzorze (11), zaś Z1 α - jest wantylem rzędu 1 α dla rozładu normalnego standaryzowanego. Wyorzystanie modelu hybrydowego w ocenie ryzya inwestowania w acje Rozpatrzmy portfel sładający się z acji 5 spółe notowanych na GPW w Warszawie. Jest to portfel utworzony w i słada się z: 705 acji spółi Ban Millenium, 40 acji spółi Dębica, 88 acji spółi Irena, 52 acji spółi Stal-Export oraz 52 acji spółi Swarzędz. Załada się, Ŝe sład portfela w przyszłości nie ulega zmianie, zmieniają się tylo ceny notowań spółe tworzących ten portfel. Dla rozpatrywanego przyładowego portfela acji wyznaczono długooresowe prognozy VaR, dla potencjalnych strat lub zysów w jego wartości. Prognozy wsteczne wyznaczono w dwóch przypadach: dla wartości portfela w dniu (wynoszącej 7130,1zł) i horyzontu prognozy =72 miesięcy (ores 6 lat) oraz dla wartości portfela dniu (wynoszącej 16529,8zł) przy horyzoncie prognozy wynoszącym =24 miesięcy (ores 2 lat). Procedura wyznaczania długoterminowych prognoz dla wartości zagroŝonej VaR dla przyładowego portfela acji, z zastosowaniem omawianego modelu hybrydowego przebiegała następująco: 1. Na podstawie notowań miesięcznych spółe tworzących portfel wyznaczono wartości symulowanego portfela acji w oresie od do (152 miesięczne obserwacje). t

6 130 RYNEK KAPITAŁOWY SKUTECZNE INWESTOWANIE 2. Obliczono oszacowania parametrów modelu random wal (RW) (model (4)) oraz mean reversion (MRev) (model (6)). Dla prognoz w dniu oszacowania obliczono na podstawie 98 dostępnych obserwacji historycznych, dla wartości symulowanego portfela, zaś dla prognoz w dniu obliczone oszacowania były wyznaczone w oparciu o 145 dostępne obserwacje historyczne. Otrzymane oszacowania przedstawia tabela 1. W tabeli 1 podano taŝe wartości statystyi Chowa, dla testu stałości wartości oszacowanych parametrów w oresie prognozy, na tóry będą wyznaczane prognozowane wartości VaR. Wyorzystano tutaj statystyę testową postaci 6 : * SS ( SS1 + SS2) /, (13) Chow T = * ( SS1 + SS2 ) / ( T 2 ) * gdzie: SS suma wadratów reszt dla modelu random wal (wzór (4)) lub modelu mean reversion (wzór (6)), dla oszacowań parametrów obejmujących wszystie T = 152 dostępne obserwacje, SS * 1 suma wadratów reszt odpowiedniego modelu dla oszacowań parametrów obejmujących tylo ores próby ( T = 98 lub T = 145 obserwacje), SS 2 suma wadratów reszt odpowiedniego modelu dla oszacowań parametrów obejmujących ores po próbie (odpowiednio obserwacje od T=99 do T=152 oraz od T=146 do T=152), na tóry wyznaczane są prognozy VaR, liczba szacowanych metodą najmniejszych wadratów parametrów modelu wraz z wyrazem wolnym. Statystya (13) posiada rozład F Snedecora ze stopniami swobody * (, T 2 ). Zatem dla modelu błądzenia losowego (RW), gdzie tylo jeden parametr jest szacowany metodą najmniejszych wadratów, wartość rytyczna dla poziomu istotności 0,05 wynosi F * (1,150) = 3,9, zaś dla modelu rewersji do średniej (MRev), gdzie aŝ trzy parametry są szacowane metodą najmniejszych wadratów wartość rytyczna wynosi F * (3,146) = 2,67. Hipotezę, Ŝe oszacowane parametry modeli nie zmieniły swoich wartości w oresie na tóry przeprowadzana jest prognoza naleŝy odrzucić, gdy wartość obliczonej statystyi Chowa jest więsza lub równa od odczytanej z tablic wartości rytycznej. Z tabeli (tab. 1) wynia, Ŝe oszacowane parame- 6 Chow G. C., Test of Equality between Sets of Coefficients in Two Linear Regressions. Econometrica, 1960, nr 28(3), s. ( ).

7 TOMASZ PISULA O C ENA EFEKTYW N OŚCI DŁ UGO TERMIN OW YC H PR OG N OZ 131 try modelu powracania do średniej są stabilne, taŝe na ores prognozy, zaś parametry modelu błądzenia losowego dla prognozy wyznaczanej w dniu nie są stabilne. Ma to oczywiście wpływ na jaość otrzymanych prognoz VaR dla przyładowego portfela acji (zob. rys. 2). Tabela 1. Oszacowania parametrów modeli random wal i mean reversion dla analizowanego przyładowego portfela acji Parametry obliczone w dniu Statystya testu Chowa Model (RW) µ = 0,0009 σ = 0,109 Chow T = 0,07 Model (MRev) α 0 = 0,856 β = -0,0005 γ = 0,91 σ = 0,107 Chow T = 0,86 Parametry obliczone w dniu Statystya testu Chowa Model (RW) µ = 0,0064 σ = 0,099 Chow T = 4,59 Model (MRev) α 0 = 0,374 β = 0,0002 γ = 0,96 σ = 0,099 Chow T = 0,74 Źródło: opracowanie własne Rys. 1. Wartości parametru zmienności σ dla modelu błądzenia losowego, rewersji do średniej i modelu hybrydowego, w porównaniu do oszacowanej zmienności historycznej. Źródło: opracowanie własne 3. W oparciu o obliczone wartości parametrów dla obu modeli obliczono prognozy dla długooresowej zmienności σ (wzór (3) model błądzenia losowego oraz wzór (5) model rewersji do średniej). Następnie wyznaczono długooresową zmienność historyczną ze wzoru (8). Korzystając ze wsaźnia Variance Ratio (wzór (7)) rozwiązano zadanie optymalizacyjne (9), uzysując w ten sposób wagi 7 dla optymalnej mieszaniny modelu błądzenia losowego i powracania do średniej. Następnie obliczono oszacowania dla oresowej zmienności w modelu hybrydowym, z wyorzystaniem wzoru 10). Rys. 1 przedstawia porównanie oszacowanej miesięcznej zmienności 2 7 wynoszące odpowiednio ω = 0,86 i (1 ω) = 0,14 dla prognozy wyznaczonej w dniu oraz ω = 1 i (1 ω) = 0 dla prognozy wyznaczonej w dniu

8 132 RYNEK KAPITAŁOWY SKUTECZNE INWESTOWANIE dla modelu błądzenia losowego, rewersji do średniej i modelu hybrydowego w porównaniu do oszacowanej zmienności historycznej. 4. Na podstawie wzorów (11) oraz (12) wyznaczono 72 miesięczne granice VaR dla potencjalnych strat i zysów badanego portfela (dla wartości portfela w dniu obserwacja T=98) oraz analogiczne 24 miesięczne granice VaR (dla wartości tego portfela w dniu obserwacja T=145). Obliczone granice VaR przedstawia rysune (rys. 2). Rys. 2. Prognozowane granice VaR (poziom tolerancji 5%) dla potencjalnych strat (zysów) w wartości symulowanego portfela acji (obliczone w dniu i ) dla modelu hybrydowego, błądzenia losowego oraz rewersji do średniej. Źródło: opracowanie własne. Empiryczna analiza doładności prognoz dla modelu hybrydowego Aby zbadać na ile efetywne i suteczne są oszacowania dla prognozowanych granic VaR z zastosowaniem modelu hybrydowego, przeprowadzono badania empiryczne weryfiujące jaość tych oszacowań. Korzystając z testu liczby przeroczeń przeprowadzono testowanie wsteczne, dla obliczonych z wyorzystaniem omawianej metodologii długoterminowych prognoz wstecznych, dla wartości zagroŝonej VaR dla ursów 32 spółe giełdowych 8 notowanych na GPW w Warszawie i mających dostatecznie długą historię notowań. Szeregi czasowe na podstawie tórych przeprowadzono testowanie wsteczne zawierały miesięczne notowania tych spółe w oresie od do Dla aŝdej spółi wyznaczono roczące prognozy wsteczne dla długooresowych dolnych granic VaR, począwszy od (parametry 8 Alma Marets, Ban BPH, Ban Millennium, Bre-Ban, Budimex, Bz-Wb, Dębica, DZ Ban Polsa, Efet, Eletrim, EletromontaŜ-Ex, Fortis-Ban, Indypol, ING Ban Śląsi, Irena, Jutrzena, Kable SFK, Kredyt Ban, Krosno, Mostostal Export, Mostostal W-wa, Mostostal Zabrze, Novita, Prochem, Próchni, Provimi Rolimpex, Rafao, Rema, Stalexport, Swarzędz, Vistula, śywiec.

9 TOMASZ PISULA O C ENA EFEKTYW N OŚCI DŁ UGO TERMIN OW YC H PR OG N OZ 133 modeli szacowano w oparciu o 88 historyczne wartości aŝdego szeregu czasowego, zaś prognozy wyznaczane były na olejne 57 obserwacje historyczne niemal 5 letni horyzont prognoz wstecznych), a sończywszy na (parametry modeli szacowano w oparciu o 121 historyczne wartości aŝdego szeregu czasowego, zaś prognozy wyznaczane były na olejne 24 obserwacje historyczne 2 letni horyzont prognoz wstecznych). Efetywność obliczonych prognoz wstecznych zbadano z wyorzystaniem testu liczby przeroczeń, dla tórego statystya testowa podana jest wzorem 9 : X N α, (14) Z = N α (1 α) gdzie: X liczba przeroczeń prognozowanych granic VaR dla badanego modelu, N liczba prognoz objętych testem wstecznym, α wymagany poziom tolerancji dla prognozowanych granic VaR. Statystya testowa Z dla dostatecznie duŝej wartości N posiada rozład normalny standaryzowany. Najczęściej model uznaje się jao niewłaściwy i naleŝy go odrzucić, jeŝeli obliczona ze wzoru (14) wartość statystyi przeracza wartość progową, będącą wantylem rzędu q1 α dla rozładu N(0,1). Czasami jedna zbyt mała liczba przeroczeń świadczy o tym, Ŝe prognozowane granice VaR są zbyt obszerne, a zastosowany w prognozie model źle salibrowany. W tej sytuacji moŝna przeprowadzić test dwustronny, w tórym wyznacza się dwie wartości progowe: q1 α oraz q1 α. JeŜeli obliczona ze wzoru (14) wartość statystyi dla testu liczby przeroczeń q1 α Zobl q1 α, to testowany model uznaje się za właściwy i dobrze salibrowany. Oczywiście dla Zobl > q1 α model naleŝy odrzucić jao niewłaściwy, a dla Zobl < q1 α jao właściwy, ale słabo salibrowany. Dla testu dwustronnego ufność (wynosząca 1 2 α ) zapewnia, Ŝe poprawny model nie zostanie błędnie odrzucony. Tabela 2 przedstawia podsumowanie wyniów badań dotyczących suteczności prognoz długooresowych dla wartości zagroŝonej na poziomach tolerancji: α=5[%], α=1[%] oraz α=10[%], obliczonych z zastosowaniem modelu będącego optymalną mieszaniną modeli RW i MRev. W tabeli przedstawiono wynii jaości modeli, otrzymane dla prognoz wstecznych obliczonych w dwóch wariantach. Wariant 1 dotyczył wszystich przypadów prognozy (bez badania stabil- 9 Best P., Wartość naraŝona na ryzyo. Obliczanie i wdraŝanie modelu VaR. Dom Wydawniczy ABC, Kraów 2000, s. (108).

10 134 RYNEK KAPITAŁOWY SKUTECZNE INWESTOWANIE ności oszacowań parametrów modeli na ores prognozy). W wariancie 2 brano pod uwagę tylo prognozy dla tych przypadów, w tórych oszacowane parametry modeli nie zmieniały się w oresie prognozowanym (na podstawie przeprowadzonego testu Chowa wzór (13)). Tabela 2. Doładność prognoz dla modelu hybrydowego w porównaniu do modelu błądzenia losowego i rewersji do średniej Wszystie przypadi: liczba prognoz: (wariant 1) Poziom tolerancji α = 5[%] Stabilne oszacowania: liczba prognoz: (wariant 2) Dopuszczalna liczba przeroczeń [ ] [ ] (test dwustronny) Model RW MRev MiX RW MRev MiX Procent przeroczeń [%] 1,6 4,4 2,7 2,6 6,4 4,3 Liczba przeroczeń: Statystya testowa Z = (wartość graniczna: 1,65) -32-5, ,1-4,4 Poziom tolerancji α = 1[%] Dopuszczalna liczba przeroczeń (test dwustronny) [ ] [ ] Model RW MRev MiX RW MRev MiX Procent przeroczeń [%] 0,1 2 0,7 0,1 2,6 0,9 Liczba przeroczeń: Statystya testowa Z = (wartość graniczna: 2,33) ,4-5, ,7 Poziom tolerancji α = 10[%] Dopuszczalna liczba przeroczeń (test dwustronny) [ ] [ ] Model RW MRev MiX RW MRev MiX Procent przeroczeń [%] 2,8 6,7 4,8 4,4 9,9 7,4 Liczba przeroczeń: Statystya testowa Z = ,47-12 (wartość graniczna: 1,28) Źródło: opracowanie własne Porównując jaość wyznaczonych prognoz wstecznych dla modelu hybrydowego (zob. tabela 2) moŝna zauwaŝyć, Ŝe w obu analizowanych wariantach model hybrydowy (MiX) jest modelem, tóry dobrze prognozuje granice VaR (dwustronny test liczby przeroczeń nie odrzuca go jao niewłaściwy). Empiryczny procent przeroczeń w wariancie 1 (bez analizy stabilności oszacowań parametrów) wynosi 2,7[%], natomiast dla wariantu 2 (stabilnych oszacowań parametrów) wynosi 4,3[%], co jest bardzo blisie załadanemu poziomowi tolerancji 5[%]. Gdy oszacowania parametrów modelu hybrydowego pozostają stabilne na ores prognozy, to model hybrydowy jest znacznie lepiej salibro-

11 TOMASZ PISULA O C ENA EFEKTYW N OŚCI DŁ UGO TERMIN OW YC H PR OG N OZ 135 wany niŝ model błądzenia losowego (RW) oraz model powracania do średniej (MRev), tóry naleŝy odrzucić jao niewłaściwy (zob. tabela 2). Dla prognoz wyznaczonych dla poziomu tolerancji α = 1[%] empiryczny procent przeroczeń dla modelu hybrydowego wyniósł 0,7[%], w przypadu testowania wstecznego w oparciu o wszystie wyznaczone prognozy wsteczne oraz aŝ 0,9[%], w przypadu tylo stabilnych oszacowań parametrów. Świadczy to o bardzo dobrej alibracji modelu hybrydowego w tym przypadu. Model rewersji do średniej (zob. tab. 2) w obu rozpatrywanych wariantach naleŝy odrzucić jao niewłaściwy, zaś model błądzenia losowego dawał znacznie zawyŝone oszacowania dla prognozowanych granic VaR niŝ model hybrydowy. Dla prognoz wyznaczonych dla poziomu tolerancji α = 10[%] empiryczny procent przeroczeń dla modelu hybrydowego wyniósł 4,8[%], w przypadu testowania jaości modelu w oparciu o wszystie wyznaczone prognozy wsteczne oraz 7,4[%], w przypadu stabilnych oszacowań parametrów. Dla tego poziomu tolerancji model hybrydowy jest trochę słabiej salibrowany niŝ model powracania do średniej, ale znacznie lepiej salibrowany niŝ model błądzenia losowego. Otrzymane wynii świadczą, Ŝe omawiana metodologia moŝe być z powodzeniem stosowana w pratyce, do oszacowania prognoz długoterminowych dla wartości zagroŝonej Value at Ris. Literatura 1. Best P., Wartość naraŝona na ryzyo. Obliczanie i wdraŝanie modelu VaR. Dom Wydawniczy ABC, Kraów Chow G. C., Test of Equality between Sets of Coefficients in Two Linear Regressions. Econometrica, 1960, nr 28(3). 3. Jajuga K., Miary ryzya rynowego część III. Miary zagroŝenia. Ryne Terminowy, 2000, nr Kim J., Mina J., ClearHorizon Technical Document. Forecasting methodology for horizons beyond two years, Ris Metrics Group, New Yor Pisula T., Mentel G., Prognozy długooresowe dla wartości zagroŝonej Value at Ris w ocenie ryzya inwestowania w acje, [w:] Rona-Chmielowiec W., Jajuga K. [red.], Inwestycje finansowe i ubezpieczenia tendencje światowe a polsi ryne. Wydawnictwo AE we Wrocławiu, Wrocław 2007.

12 136 RYNEK KAPITAŁOWY SKUTECZNE INWESTOWANIE STRESZCZENIE Artyuł jest próbą odpowiedzi na pytanie: na ile suteczne i efetywne są prognozy długoterminowe dla wartości zagroŝonej VaR, obliczone z zastosowaniem metodologii ClearHorizon, wyorzystującej model hybrydowy będący optymalną mieszaniną modelu błądzenia losowego (random wal) i rewersji do średniej (mean reversion). W pierwszej części artyułu przedstawiono teoretyczne aspety omawianej metodologii oraz poazano moŝliwości pratycznego jej wyorzystania na polsim rynu finansowym. Druga część artyułu przedstawia badania empiryczne (z wyorzystaniem prognoz wstecznych), mające na celu ocenę efetywności uzysanych prognoz długoterminowych dla wartości zagroŝonej VaR, obliczonych z zastosowaniem omawianego modelu hybrydowego. EFFICIENCY ASSESSMENT OF LONG-TERM ESTIMATES FOR VALUE AT RISK (VAR) DETERMINED WITH THE USE OF CLEARHORIZON METHODOLOGY SUMMARY The article is the revert to the question: how efficient and effective are long-term estimates for Value at Ris (VaR), calculated with the application of ClearHorizon methodology and the hybrid model which is the optimum mix-ture of random wal and mean reversion. In the first part of the article there have been presented the theoretical aspects of the methodology and its practical application on Polish financial maret. The second part features the empirical research (with the use of bacward estimates) which aim at efficiency evaluation of the obtained long-term estimates for the Various at Ris (VaR) with the use of already discussed hybrid model. Translated by T. Pisula Dr Tomasz Pisula Politechnia Rzeszowsa tpisula@prz.rzeszow.pl