Ekonometria Finansowa II EARF. Michał Rubaszek

Transkrypt

1 Ekonometria Finansowa II EARF Michał Rubaszek 1

2 Cele - Zapoznanie z charakterystykami szeregów finansowych - Omówienie jednowymiarowych metod liczenia VaR - Omówienie wielowymiarowych metod liczenia VaR - Backtesting - Programowanie w pakiecie R - Liczenie VaR jako projekt badawczy 2

3 Literatura 3

4 Spotkanie 1 Ryzyko dla pojedynczego aktywa 4

5 Stopy zwrotu Prosta stopa zwrotu: = + = exp 1 Logarytmiczna stopa zwrotu (=stopa o ciągłej kapitalizacji): = ln + ln = ln (1 + ) 5

6 Stopy zwrotu Stopy proste: Łatwiejsze przy liczeniu stóp zwrotu z portfela Inwestorzy zainteresowani stopami prostymi Stopy logarytmiczne Symetryczność Sumowalność Wygodne dla modelowania ekonometrycznego 6

7 Charakterystyki szeregów finansowych 1. Grupowanie zmienności (volatility clustering) 2. Grube ogony (fat tails) wariancja = ryzyko : jedynie dla rozkładu normalnego 3. Brak autokorelacji stóp zwrotu, = 0 4. Nieliniowe zależności autokorelacyjne brak korelacji niezależność, 0: grupowanie zmienności, 0: efekt dźwigni 7

8 Przykład: EUR/PLN 8

9 Grube ogony: rozkład t-studenta Rozkład t-studenta: - dla = rozkład normalny - dla < 2 brak wariancji (która ogólnie wynosi ) - Ogólnie, rozkład ma momenty stopnia do 1 - Dla cen akcji, zazwyczaj 5 - Jak uzyskać zmienną o rozkładzie t-studenta? 5% wartość krytyczna rozkładu t-studenta dla różnej wartości v t*

10 Grube ogony - testowanie 1. Test Jarque-Bera Porównanie skośności i kurtozy do teoretycznych wartości dla rozkładu normalnego 2. Test Kolmogorova-Smirnova Porównanie teoretycznej i empirycznej dystrybuanty 3. Wykres QQ (quantile-quantile plot) Wykres empirycznych percentyli względem percentyli dla teoretycznego rozkładu 4. Wykres rekursywnych momentów Weryfikacja czy moment k-tego rzędu ma asymptotę [zauważ, że dla rozkładu ( ) istnieją momenty rzędu do -1] 10

11 Metody szacowania wariancji A. Średnia ruchoma (moving average, MA) B. Średnia wykładnicza (exponentially weighted MA, EWMA) C. Zmienność implikowana (implied volatility) D. Modele klasy GARCH E. Modele zmienności stochastycznej (stochastic volatility, SV) 11

12 A. Średnia ruchoma, MA Wariancja liczona jako: Opcja ze średnią: = Opcja bez średniej: = Ważne!!! - Oszacowanie wariancji zależy od wyboru okna estymacji - Wszystkie obserwacje traktujemy jednakowo 12

13 B. Średnia wykładnicza, EWMA Zaproponowane przez JP Morgan w 1993, znane równiez jako RiskMetrics Wariancja jako średnia ważona przeszłych obserwacji: = Można to sprowadzić do postaci IGARCH(1,1): = + W ramach EWMA nie estymujemy, ale przyjmujemy, że =. [dla danych dziennych, kalibracja JP Morgan] 13

14 C. Zmienność implikowana, IV Model Blacka-Scholesa: =,,,, Zmienność implikowana: = (,,,, ) Ale, zależy od wyboru opcji Zmienność dla WIG20 implikowana z cen opcji notowanych na GPW 14

15 D. Modele klasy GARCH Podstawowy model GARCH(1,1): = +, h = + gdzie > 0,, 0. + h 0, h Wariancja bezwarunkowa: Rozszerzenia: rozkład bezwarunkowy jest -Studenta wpływ na h zależy od znaku : GJR-GARCH, EGARCH h ma wpływ na : GARCH-in-mean 15

16 E. Modele SV Podstawowy model SV: = +, 0, h h = exp + ln h + (0, ) gdzie > 0, 0. Ważne!!! - W modelu GARCH h w momencie jest deterministyczne, a w modelu SV stochastyczne - Model SV trudniejszy do oszacowania niż model GARCH 16

17 Ryzyko Wartość oczekiwana i wariancja to nie wszystko Trzy szeregi z ( ) = 0 i ( ) = 1 (za Danielson, 2012) 17

18 Ryzyko Value at Risk i Expected Shortfall Wariancja pozwala mierzyć ryzyko gdy rozkład stóp zwrotu jest normalny W innym przypadku lepsze są inne miary: Wartość zagrożona (Value at Risk, VaR) = Oczekiwana strata (Expected shortfall, ES) lub prościej = = ( ) lub trudniej ES = Wartości dla rozkładu normalnego = 18

19 Ryzyko Value at Risk i Expected Shortfall 19

20 Ryzyko Value at Risk i Expected Shortfall Etapy liczenia VaR/ES a. Ustalenie p b. Ustalenie horyzontu (square root method) c. Ustalenie okna estymacji/kalibracji oraz częstotliwości danych d. Wybór modelu e. Metoda weryfikacji modelu Basel ii/iii: Basel iv: miarą ryzyka jest VaR plany zamiany miary ryzyka na ES 20

21 Ryzyko Value at Risk i Expected Shortfall Quantitative standards Basel II a. 99th percentile VaR must be computed on a daily basis b. In calculating VaR the minimum holding period will be ten trading days. Banks may use VaR numbers calculated according to shorter holding periods scaled up to ten days by the square root of time c. The choice of sample period for calculating VaR is constrained to a minimum length of one year. d. banks will be free to use models based, for example, on variance-covariance matrices, historical simulations, or Monte Carlo simulations e. The multiplication factor will be set by individual supervisory authorities on the basis of their assessment of the quality of the bank s risk management system, subject to an absolute minimum of 3. Banks will be required to add to this factor a plus directly related to the ex-post performance of the model, thereby introducing a builtin positive incentive to maintain the predictive quality of the model. The plus will range from 0 to 1 based on the outcome of so-called backtesting. 21

22 Metody szacowania VaR/ES A. Modele nieparametryczne B. Modele parametryczne C. Symulacje Monte-Carlo 22

23 A. Modele nieparametryczne Symulacja historyczna - Zakładamy, że rozkład stóp zwrotu w przeszłości dobrze przybliża rozkład stóp w przyszłości. - Porządkujemy stopy zwrotu od najmniejszej do największej: < - Wartość VaR( ) ustalana na podstawie empirycznego rozkład z ostatnich obserwacji, tj. bierzemy = ( )-tą stopę ( ) = - Wartość ( ) liczona jako średnia stopa zwrotu dla stóp mniejszych niż ( ) = 1 23

24 A. Modele nieparametryczne Symulacja historyczna + Nie potrzebujemy założeń odnoście DGP - Wartości VaR / ES zależą od wyboru - Problemy w przypadku zmian strukturalnych [np. jeżeli panują warunki podwyższonej niepewności] 24

25 B. Modele parametryczne - Poszukujemy postaci rozkładu gęstości stóp zwrotu w przyszłości - Znając ten rozkład, możemy analitycznie obliczyć VaR i ES = oraz ( ) = - Możemy wykorzystać proste modele (mean-variance, rozkład normalny) - Lub bardziej zaawansowane (EWMA, GARCH, SV) - Jak liczyć zmienność dla dalszych horyzontów? - zasada kciuka, tj. Squared root of time - metody Monte Carlo 25

26 C. Symulacje Monte Carlo - Załóżmy, ze znamy model opisujący DGP ale nie potrafimy wyprowadzić analitycznej postaci rozkładu - Aby obliczyć VaR(p) oraz ES(p) możemy wykorzystać metody Monte Carlo. W tym celu: 1. Generujemy sztucznych, przyszłych stóp zwrotu dla = 1,2,, 2. Porządkujemy te stopy od najmniejszej do największej 3. Dla = ( ) liczymy : = oraz = 26

27 Zadanie domowe, spotkanie 1 1. Wybierz surowiec 2. Oblicz VaR i ES na kolejny dzień wykorzystując 7 metod omówionych na wykładzie (inwestycja warta 1mln USD). Przedstaw wyniki obliczeń w tabeli 3. Oblicz VaR i ES dla horyzontu od 1 to 25 dla 2 metod (rozkład normalny, zasada square root of time oraz symulacje MC z modelem GARCH) 4. Stwórz wykres dla (VaR/ES vs horyzont prognozy) dla dwóch metod 5. Omów uzyskane wyniki 27