Szacowanie miary zagrożenia Expected Shortfall dla wybranych instrumentów polskiego rynku kapitałowego
|
|
- Krzysztof Turek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Radosław Pietrzyk Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Szacowanie miary zagrożenia Expected Shortfall dla wybranych instrumentów polskiego rynku kapitałowego 1. Wprowadzenie Koniec XX w. zaowocował na rynkach finansowych dużą niestabilnością. Kryzysy finansowe w wielu państwach, spektakularne upadki spółek powodowały duże straty inwestorów. Stosowane metody szacowania i prognozowania ryzyka rynkowego zostały poddane krytyce. Pojawiła się potrzeba poszukiwania nowych metod oraz modyfikacji dotychczasowych. Poszukiwanie to ma na celu znalezienie modeli uwzględniających zdarzenia na rynku, które powodują występowanie stóp zwrotu znacznie różniących się od średniej. Zdarzenia takie często nazywane są zdarzeniami ekstremalnymi. Odpowiedzią na to wyzwania może być zastosowanie teorii wartości ekstremalnych (extreme value theory - EVT). EVT pozwala na budowanie modeli, które uwzględniają pojawiające się rzadko, obserwacje znacznie odbiegające od pozostałych. Teoria wartości ekstremalnych znalazła liczne zastosowania, w szczególności w ubezpieczeniach i finansach. Teoria wartości ekstremalnych została szczegółowo przedstawiona na przykład w [3]. Celem artykułu jest przedstawienie możliwości zastosowania EVT do konstrukcji miary zagrożenia Expected Shortfall, która w literaturze [por. 9] przedstawiana jest jako miara ryzyka ekstremalnego. W pierwszej części pracy zostanie zaprezentowana miara Expected Shortfall jako uzupełnienie koncepcji wartości zagrożonej oraz przedstawiona zostanie jedna z metod jej estymacji oparta na uogólnionym rozkładzie Pareto. Druga część artykułu zostanie poświęcona zaprezentowaniu wyników badań przeprowadzonych na danych pochodzących z Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie. 2. Expected Shortfall miara ryzyka ekstremalnego
2 Miary ryzyka ekstremalnego są definiowane jako miary związane z ogonem rozkładu. Typowym przykładem takiej miary jest wartość zagrożona (Value at Risk VaR). Do innych miar można zaliczyć między innymi Expected Shorfall (ES). Zdefiniowanie miary Expected Shortfall wymaga wcześniejszego zdefiniowania Value at Risk, gdyż miary te są ściśle ze sobą związane. Value at Risk Wartość zagrożona, zwana również wartością narażoną na ryzyko jest definiowana jako kapitał wystarczający (w większości przypadków) do pokrycia strat z portfela inwestycyjnego posiadanego przez określoną liczbę dni [por. 9, s. 2]. Inaczej VaR jest określany jako strata wartości rynkowej portfela, taka, że prawdopodobieństwo osiągnięcia jej lub przekroczenia w zadanym przedziale czasowym jest równe zadanemu poziomowi tolerancji [12, s. 134]. Można go wyrazić za pomocą równania: P( W W0 VaR ) p, (1) W wartość portfela na koniec okresu, W0 wartość obecna portfela, p poziom tolerancji, = 1 p. Można wykazać, że: Rp kwantyl rozkładu stóp zwrotu, VaR R, (2) pw 0 Wynika z tego, że do obliczenia VaR niezbędna jest znajomość kwantyla rozkładu stóp zwrotu. Expected Shortfall Miara Expected Shortfall (ES) stanowi doskonałe uzupełnienie dla miary Value at Risk. W literaturze jest przedstawiana jako alternatywa dla VaR, gdyż wartość zagrożona posiada wiele wad [por. 10]. Jedna z nich jest brak subaddytywności, co powoduje, że VaR nie jest
3 miarą koherentną. Podawane są przykłady, dla których suma VaR poszczególnych składników portfela jest niższa niż VaR dla całego portfela. Drugim zarzutem wspomnianym wcześniej, jest to, że VaR nie mówi nic o potencjalnym rozmiarze strat, jeżeli straty przekroczą poziom VaR. Z problemem tym radzi sobie miara ES, która szacuje poziom strat, po przekroczeniu poziomu VaR. ES określa oczekiwaną wielkość straty, pod warunkiem, że strata przekroczyła poziom VaR. Miara Expected Shortfall jest ściśle związana z wartością zagrożoną, a sama jej konstrukcja opiera się na szacowaniu VaR. Można ją zatem traktować jako uzupełnienie VaR, a nie jej alternatywę i wykorzystywać tylko w połączeniu z wartością zagrożoną. Expected Shortfall możemy określić następującą zależnością: ES E X X VaR. (3) Aby wskazać zależność miary ES od VaR, wzór (3) można przedstawić w postaci: ES VaR E X VaR X VaR. (4) 3. Estymacja Expected Shortfall Konstrukcja miary zagrożenia Expected Shortfall wiąże się z warunkowym rozkładem przekroczenia (conditional excess distribution), którego dystrybuanta przyjmuje postać [11, s. 3]: F u ( y) P( X u y X u) 0 y (xf u), (5) X strata, zmienna losowa pochodząca z rozkładu o dystrybuancie F, u ustalony próg, y wartość, o którą strata przekracza próg u, xf kres górny dziedziny funkcji F. Jest to więc prawdopodobieństwo, że strata przekroczy pewien próg u o wartość nie przekraczającą y, przy założeniu, że w ogóle ten próg przekroczy. Mamy więc do czynienia z rozkładem warunkowym zależnym od wybranego progu u.
4 Dystrybuantę Fu(.) możemy zapisać w zależności od dystrybuanty F [9, s. 5]: F u y F( u y) F( u) F( x) F( u). (6) 1 F( u) 1 F( u) Twierdzenie Pickandsa-Balkemy-de Haana umożliwia znalezienie postaci rozkładu Fu(.). Twierdzenie Pickandsa-Balkemy-de Haana [9, s. 6]. Dla szerokiej klasy rozkładów danych dystrybuantą F, warunkowy rozkład przekroczenia, dla dużej wartości u, może być aproksymowany przy pomocy F u ( y) G, ( y) u, y, 0 G, ( y) (7) y 1 e, 0, dla 0 y (xf u ), jest uogólnionym rozkładem Pareto (Generalized Pareto Distribution - GPD), β parametr skali (β > 0), ξ parametr kształtu (indeks ogona). Parametr ξ określa trzy postaci uogólnionego rozkładu Pareto [por. 11, s. 3]. Dla ξ > 0 otrzymujemy rozkład Pareto, dla ξ = 0 otrzymujemy rozkład wykładniczy, a dla ξ < 0 tzw. rozkład Pareto II typu. Uogólniony rozkład Pareto dla ξ > 0 charakteryzuje się grubymi ogonami. Może mieć zatem znaczenie w analizie wartości ekstremalnych, a kwantyl tego rozkładu może być zastosowany do estymacji miar zagrożenia dla ryzyka ekstremalnego. Jednym z podstawowych problemów, oprócz estymacji parametrów rozkładu GPD, jest właściwy wybór progu, powyżej którego obserwacje są zaliczane do ogona rozkładu. Obserwacje znajdujące się powyżej progu, a więc pochodzące z ogona rozkładu posłużą do estymacji parametrów uogólnionego rozkładu Pareto. Wyższa wartość progu oznacza, że więcej obserwacji pochodzi z ogona rozkładu, ale jednocześnie obserwacji jest mniej, co utrudnia estymację parametrów. Znalezienie właściwego poziomu progu nie jest więc
5 zadaniem łatwym i często estymuje się parametry rozkładu dla wielu progów i dokonuje wyboru na podstawie wiedzy eksperckiej. Propozycją rozwiązania tego problemu opisaną między innymi w [9, s. 10] jest zastosowanie graficznej metody wyznaczania progu u. Polega ona na stworzeniu wykresu zależności wartości oczekiwanej en(u) od u. Estymator funkcji wartości oczekiwanej progu en(u) może być zdefiniowany jako: e ( u) n ik ( x i u) n, (8) n k 1 k = min{i xi>u}, n-k+1 liczba obserwacji przekraczających próg u. Po przekroczeniu progu u musi zachodzić liniowa zależność między funkcją wartości oczekiwanej a progiem u. Można zatem przyjąć próg u na poziomie, przy którym rozpoczyna się liniowa zależność. Korzystając ze wzoru (6) dokonując przekształcenia i za Fu podstawiamy dystrybuantę GPD, a za F(u) estymator postaci (n-nu)/n, gdzie n liczba wszystkich obserwacji zmiennej losowej, X, Nu liczba obserwacji przekraczających próg u, otrzymujemy funkcję F(x) postaci: N F( x) 1 n u 1 ( x u) 1. (9) Po przekształceniu wzoru (5) otrzymujemy dla danego prawdopodobieństwa 1 p, kwantyl rozkładu F, który jest oszacowaniem VaR, opartym na uogólnionym rozkładzie Pareto. Ostatecznie oszacowanie VaR możemy wyrazić wzorem: n VaR u (1 ) 1. (10) N u To podejście do szacowania wartości zagrożonej na podstawie uogólnionego rozkładu Pareto różni się od podejść klasycznych tym, że do obliczenia VaR stosujemy nie rozkład straty, ale warunkowy rozkład przekroczenia. Wykorzystując wzór (4), w którym drugi składnik jest wartością średnią rozkładu przekroczenia FVaR(y), powyżej progu VaR. Korzystając z faktu, że dla <1 [por. 9, s. 7]:
6 u e ( u) EX u X u, β+ u>0. (11) 1 Otrzymana funkcja pozwala na oszacowanie średniej wartości przekroczenia poziomu VaR: ˆ ˆ( VaR ˆ ˆ u ) VaR u ES VaR. (12) 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ Obliczenie tak zdefiniowanego przybliżonego oszacowania ES wymaga znajomości parametrów uogólnionego rozkładu Pareto. Standardową metodą estymacji parametrów rozkładu GPD jest zastosowanie estymatorów największej wiarygodności. Polega ona na maksymalizacji funkcji największej wiarygodności dla posiadanych danych. Opis tej metody można znaleźć w [3, s.256]. Procedura ta opiera się przeważnie na bardzo małym zbiorze danych, gdyż brane pod uwagę są jedynie obserwacje przekraczające założony próg. Dlatego też warto przy estymacji parametrów uogólnionego rozkładu Pareto porównać otrzymane wyniki z wynikami otrzymanymi przy zastosowaniu innych metod. Przykładem takiej metody może być zastosowanie estymatora nieparametrycznych, na przykład estymatora Hilla. Szerzej o tym podejściu można przeczytać między innymi w pracy [3, rozdział 6]. W niniejszej pracy parametry rozkładu GPD zostaną oszacowane metodą największej wiarygodności. 4. Expected Shortfall na polskim rynku badania empiryczne Badaniu zostały poddane dwa podstawowe indeksy Giełdy Papierów Wartościowych S.A. WIG i WIG20 oraz akcje spółek PKN Orlen, Agora, KGHM oraz TPSA. Akcje te charakteryzują się dużą płynnością i dużymi obrotami. Dane do estymacji parametrów rozkładu Pareto pochodzą z okresu od 4 października 1994 r. do 12 marca 2004 r. (dla indeksów WIG i WIG20 łącznie 2357 notowań). W przypadku akcji dane pochodzą z okresu od początku ich notowań do 12 marca 2004 r. Liczba obserwacji dla poszczególnych walorów wynosi: Agora 1225, KGHM 1668, PKN Orlen 1073, TPSA 1329 notowań. Badania zostały przeprowadzone na podstawie dziennych logarytmicznych stóp zwrotów z wybranych indeksów i akcji.
7 W tabeli 1 zostały przedstawione podstawowe statystyki dla zaobserwowanych stóp zwrotu. Jak można zaobserwować, wartość kurtozy świadczy, że należy odrzucić założenie o normalności rozkładu stóp zwrotu na polskim rynku. Podobne wnioski można znaleźć między innymi w [7]. Empiryczne rozkłady charakteryzują się również znaczną skośnością. Tabela 1. Podstawowe statystyki dla rozkładu dziennych logarytmicznych stóp zwrotu indeksów WIG i WIG 20 oraz spółek Agora, KGHM, PKN Orlen i TPSA. WIG WIG20 Agora KGHM PKN Orlen TPSA Średnia % % 0.010% % % 0.000% Odchylenie standardowe 1.748% 2.059% 2.730% 3.011% 1.895% 2.601% Skośność Kurtoza Minimum % % % % % % Max % % % % 7.163% % 1 kwartyl % % % % % % Mediana % 0.032% 0.170% 0.000% 0.000% 0.000% 3 kwartyl 0.899% 1.097% 1.425% 1.669% 1.274% 1.560% Potwierdzeniem tych spostrzeżeń są również wykresy kwantylowe dla indeksów i spółek. Przykładowe wykresy dla indeksu WIG20 oraz spółki Agora przedstawia rysunek 1. Na rysunkach widać, że występuje znaczne odchylanie się empirycznego wykresu od prostej, która obrazuje rozkład normalny. Rys. 1. Wykres kwantylowy dziennych stóp zwrotu indeksów WIG20 (po lewej) oraz Agora (po prawej)
8 Estymację parametrów ξ i β uogólnionego rozkładu Pareto dokonano za pomocą metody największej wiarygodności. W tym celu wykorzystano zaimplementowane funkcje w środowisku XploRe. Korzystając ze wzoru (8) wyznaczono wartość oczekiwaną en(u). Na tej podstawie zostały sporządzone wykresy zależności funkcji wartości oczekiwanej en(u) od u wyznaczono progi u dla indeksów WIG i WIG20 odpowiednio na poziomach: 2,1%, 2,7%, 4,33% i 4,9% oraz 2,5%, 3,11%, 3,9% i 4,63%. oraz spółek Agora 3,73% i 4,81%, KGHM 4,11% i 6,45%, PKN Orlen 4.2%, TPSA 4,98%. Wykresy zależności en(u) od u dla indeksu WIG20 oraz spółki Agora przedstawiają rysunki 2 i 3. Rys. 2. Wykres (u, e(u)) dla WIG20 en(u) % 0.2% 0.4% 0.6% 0.8% 1.0% 1.2% 1.4% 1.6% 1.8% 2.0% 2.2% 2.4% 2.6% 2.8% 3.0% 3.2% 3.4% 3.6% 3.8% 4.0% 4.2% 4.4% 4.6%
9 Rys. 3. Wykres (u, e(u)) dla Agory en(u) % 0.3% 0.6% 0.9% 1.2% 1.5% 1.8% 2.1% 2.4% 2.7% 3.0% 3.3% 3.6% 3.9% 4.2% 4.5% 4.8% 5.1% 5.4% 5.7% 6.0% 6.3% 6.6% 6.9% Tabele 2 i 3 prezentuje uzyskane oszacowania parametrów GPD wraz z progami, dla jakich wartości te zostały wyestymowane. Nu oznacza liczę obserwacji znajdujących się w ogonie (powyżej progu u). Tabela 2. Wyestymowane parametry uogólnionego rozkładu Pareto dla indeksu WIG i WIG20 WIG WIG 20 u Nu F(u) ξ β u Nu F(u) ξ β 2.10% % % % % % % % Tabela 3. Wyestymowane parametry uogólnionego rozkładu Pareto dla Agory, KGHM, PKN Orlen i TPSA. Spółka u Nu F(u) ξ β Agora 3.73% % KGHM 4.11% % PKN Orlen 4.20% TPSA 4.98%
10 Korzystając ze wzoru (11) oszacowano wartości VaR dla poziomów 95%, 99%, 99,5%. Oszacowania te pozwolą następnie na estymację miary Expected Shortfall. Miary te zostały oszacowane na tych samych poziomach tolerancji, co miary VaR. Uzyskane wyniki prezentuje tabela 4. Tabela 4. Oszacowania VaR i ES dla WIG, WIG20, Agory, KGHM, PKN Orlen i TPSA. u VaR-99.5% VaR-99% VaR-95% ES-99.5% ES-99% ES-95% WIG 2.10% 4.864% 4.121% 2.583% 6.10% 5.27% 3.56% 2.70% 4.421% 3.840% 2.734% 5.50% 4.80% 3.46% 4.33% 4.894% 4.510% 3.795% 5.62% 5.15% 4.26% 4.90% 5.600% 4.764% 2.907% 6.87% 6.00% 4.07% WIG % 5.258% 4.544% 3.165% 6.68% 5.83% 4.19% 3.11% 7.187% 5.220% 0.347% 11.83% 9.37% 3.27% 3.90% 5.014% 4.362% 3.157% 6.09% 5.27% 3.75% 4.63% 5.303% 4.913% 4.233% 6.12% 5.60% 4.69% Agora 3.73% 6.215% 5.379% 3.905% 7.95% 6.84% 4.89% 4.81% 5.958% 5.449% 4.647% 7.21% 6.44% 5.22% KGHM 4.11% 6.659% 5.810% 4.333% 8.46% 7.31% 5.33% 6.45% 8.583% 7.458% 5.067% 10.39% 9.17% 6.58% PKN Orlen 4.20% 4.562% 4.336% 3.917% 5.00% 4.72% 4.19% TPSA 4.98% 6.864% 6.099% 4.347% 7.99% 7.21% 5.44% Uzyskane wyniki pokazują oczekiwane straty, jakie mogą ponieść inwestorzy, jeżeli dzienny spadek wartości instrumentu finansowego przekroczy poziom VaR. Oszacowania zaprezentowane w tabeli 4 wskazują, że spadek wartości może osiągnąć poziom 10% (KGHM), a nawet 11% (WIG20). Prawdopodobieństwo zajścia takiej sytuacji jest jednak niewielkie i wynosi jedynie 0,5%. Poziom wybranego w badaniach progu wpływa w znacznej mierze na otrzymane wyniki. Różnice te w kilku przypadkach są znaczne i tak na przykład w przypadku akcji KGHM sięgają 2%, a indeksu WIG20 nawet 5%. Oznacza to, że właściwy wybór progu jest kluczowym zagadnieniem w szacowaniu miary ES. 5. Podsumowanie Badania zaprezentowane w niniejszym artykule wskazują na możliwość zastosowania tej miary na polskim rynku. Miara Expected Shortfall stanowi dobre uzupełnienie dla miary VaR i przynosi zarządzającym ryzykiem wiele dodatkowych informacji o ryzyku inwestycji w instrumenty finansowe. W szczególności informuje o oczekiwanej starcie, jeżeli przekroczy ona poziom VaR.
11 Zaprezentowane w artykule przykłady oszacowania ES w oparciu o uogólniony rozkład Pareto są jedynie ilustracją możliwości zastosowania tej miary w analizie ryzyka rynkowego. Dalszych badań wymaga jeszcze zastosowanie innych metod estymacji tej miary oraz zweryfikowanie uzyskanych wyników. Będzie to stanowiło przedmiot dalszych badań. Literatura [1] Dowd K. (1998), Beyond Value At Risk, John Wiley & Sons, Chichester [2] Embrechts P. (2000), Extreme Value Theory: Potential And Limitations As An Integrated Risk Management Tool, maszynopis, ETHZ Zurich. [3] Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosch T, (1997), Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer, Berlin. [4] Emmer S., Klüppelberg C., Trüstedt M., VaR a measure for the extreme risk [5] Jajuga K. (2000), Miary ryzyka rynkowego część trzecia, Rynek Terminowy 8, str [6] Jajuga K. (2001), Podstawy analizy wartości ekstremalnych na rynkach finansowych. Rynek Terminowy, 11, s [7] Jajuga K., Kuziak K., Papla D., Rokita P.(2001), Ryzyko wybranych instrumentów polskiego rynku finansowego część druga, Rynek Terminowy 11, str [8] Jorion P. (2001), Value at Risk: the new benchmark for managing financial risk, Chicago, 2 nd edition, McGraw-Hill. [9] Këllezi E., Gilli M. (2000), Extreme Value Theory for Tail-Related Risk Measures, maszynopis. [10] McNeil A. (1999), Extreme Value Theory for Risk Managers, maszynopis, ETHZ, Zurich. [11] McNeil A., Saladin T. (1997), The Peaks over Thresholds Method for Estimating High Quantiles of Loss Distributions, maszynopis, ETHZ, Zurich. [12] Metody ekonometryczne t statystyczne w analizie rynku kapitałowego (2000), Red. Jajuga K., AE Wrocław.
EXPECTED SHORTFALL W OCENIE RYZYKA AKCYJNYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH
Radosław Pietrzyk Uniwersytet Ekonomiczny We Wrocławiu EXPECTED SHORTFALL W OCENIE RYZYKA AKCYJNYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH 1. Wstęp Rok 2008 zapoczątkował kryzys na rynkach finansowych. Duża niestabilność
Bardziej szczegółowoEKSTREMALNE RYZYKO CENOWE NA RYNKU ZBÓŻ W POLSCE
Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 297 2016 Małgorzata Just Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu Wydział Ekonomiczno-Społeczny Katedra Finansów
Bardziej szczegółowoMetody oceny ryzyka operacyjnego
Instytut Matematyki i Informatyki Wrocław, 10 VII 2009 Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego Umowa Kapitałowa - 1988 Opracowanie najlepszych praktyk rynkowych w zakresie zarządzania ryzykiem Nowa Umowa
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 640 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 640 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 38 2011 JERZY GWIZDAŁA METODA SZACOWANIA VaR W ZARZĄDZANIU RYZYKIEM BANKU Wprowadzenie W roku 1994 bank inwestycyjny
Bardziej szczegółowoPorównanie metod szacowania Value at Risk
Porównanie metod szacowania Value at Risk Metoda wariancji i kowariancji i metoda symulacji historycznej Dominika Zarychta Nr indeksu: 161385 Spis treści 1. Wstęp....3 2. Co to jest Value at Risk?...3
Bardziej szczegółowodr hab. Renata Karkowska 1
dr hab. Renata Karkowska 1 Czym jest ryzyko? Rodzaje ryzyka? Co oznacza zarządzanie? Dlaczego zarządzamy ryzykiem? 2 Przedmiot ryzyka Otoczenie bliższe/dalsze (czynniki ryzyka egzogeniczne vs endogeniczne)
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowo7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu
Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność
Bardziej szczegółowoWykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak
Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka
Bardziej szczegółowoZ Wikipedii, wolnej encyklopedii.
Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowodr hab. Renata Karkowska 1
dr hab. Renata Karkowska 1 Miary zmienności: obrazują zmiany cen, stóp zwrotu instrumentów finansowych, opierają się na rozproszeniu ich rozkładu, tym samym uśredniają ryzyko: wariancja stopy zwrotu, odchylenie
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.
Bardziej szczegółowoInne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak
Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe
Bardziej szczegółowoGenerowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport
Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport Michał Krzemiński Streszczenie Projekt dotyczy metod generowania oraz badania własności statystycznych ciągów liczb pseudolosowych.
Bardziej szczegółowoKolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Bardziej szczegółowoKrzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH
Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informatyki Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH rozprawa doktorska Promotor: prof.
Bardziej szczegółowoStatystyki opisowe i szeregi rozdzielcze
Statystyki opisowe i szeregi rozdzielcze - ćwiczenia ĆWICZENIA Piotr Ciskowski ramka-wąsy przykład 1. krwinki czerwone Stanisz W eksperymencie farmakologicznym analizowano oddziaływanie pewnego preparatu
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia
Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: dr Rafał Kusy Poziom studiów (I lub II stopnia): I stopnia Tryb studiów: Niestacjonarne
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoO ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ
Od średniej w modelu gaussowskim do kwantyli w podstawowym modelu nieparametrycznym IMPAN 1.X.2009 Rozszerzona wersja wykładu: O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla
Bardziej szczegółowoValue at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE. Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) / 16
Value at Risk (VaR) Jerzy Mycielski WNE 2018 Jerzy Mycielski (Institute) Value at Risk (VaR) 2018 1 / 16 Warunkowa heteroskedastyczność O warunkowej autoregresyjnej heteroskedastyczności mówimy, gdy σ
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoWykład 1 Sprawy organizacyjne
Wykład 1 Sprawy organizacyjne 1 Zasady zaliczenia Prezentacja/projekt w grupach 5 osobowych. Każda osoba przygotowuje: samodzielnie analizę w excel, prezentację teoretyczną w grupie. Obecność na zajęciach
Bardziej szczegółowoMetody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2
Metody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2 Dr hab. inż. Agnieszka Wyłomańska Faculty of Pure and Applied Mathematics Hugo Steinhaus Center Wrocław University of Science and
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny 2. Zmienne losowe i teoria prawdopodobieństwa 3. Populacje i próby danych 4. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne
Bardziej szczegółowoO ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ
O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowoStatystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Bardziej szczegółowoWykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego
Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoInwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.
Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.
Bardziej szczegółowoInteligentna analiza danych
Numer indeksu 150946 Michał Moroz Imię i nazwisko Numer indeksu 150875 Grzegorz Graczyk Imię i nazwisko kierunek: Informatyka rok akademicki: 2010/2011 Inteligentna analiza danych Ćwiczenie I Wskaźniki
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoZarządzanie ryzykiem finansowym
Zarządzanie projektami Wrocław, 30 października 2013 Spis treści Motywacja Rachunek prawdopodobieństwa Koherentne miary ryzyka Przykłady zastosowań Podsumowanie Po co analizować ryzyko na rynkach finansowych?
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoTEORIA WARTOŚCI EKSTREMALNYCH ZASTOSOWANIE DO SEKTORA SUROWCÓW ENERGETYCZNYCH
STUDIA OECONOMICA POSNANIENSIA 2013, vol. 1, no. 10 (259) Karolina Siemaszkiewicz Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informatyki i Gospodarki Elektronicznej, Katedra Matematyki Stosowanej karolina.koziorowska@ue.poznan.pl
Bardziej szczegółowoSzacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE. Joanna Sawicka
Szacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE Joanna Sawicka Plan prezentacji Model Poissona-Gamma ze składnikiem regresyjnym Konstrukcja optymalnego systemu Bonus- Malus Estymacja
Bardziej szczegółowoRYZYKO INWESTYCJI W SPÓŁKI GIEŁDOWE SEKTORA ENERGETYCZNEGO
Alicja Ganczarek-Gamrot Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach RYZYKO INWESTYCJI W SPÓŁKI GIEŁDOWE SEKTORA ENERGETYCZNEGO Wprowadzenie Liberalizacja polskiego rynku energii elektrycznej wpłynęła na rozwój
Bardziej szczegółowoR ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych
R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa- cd.
12.03.2017 Wydział Inżynierii Produkcji I Logistyki Statystyka opisowa- cd. Wykład 4 Dr inż. Adam Deptuła HISTOGRAM UNORMOWANY Pole słupka = wysokość słupka x długość przedziału Pole słupka = n i n h h,
Bardziej szczegółowoStatystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych
Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Dorota Pekasiewicz Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Dorota
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka
Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +
Bardziej szczegółowoAnaliza metod prognozowania kursów akcji
Analiza metod prognozowania kursów akcji Izabela Łabuś Wydział InŜynierii Mechanicznej i Informatyki Kierunek informatyka, Rok V Specjalność informatyka ekonomiczna Politechnika Częstochowska izulka184@o2.pl
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.
Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna
Bardziej szczegółowoTop 5 Polscy Giganci
lokata ze strukturą Top 5 Polscy Giganci Pomnóż swoje oszczędności w bezpieczny sposób inwestując w lokatę ze strukturą Top 5 Polscy Giganci to możliwy zysk nawet do 45%. Lokata ze strukturą Top 5 Polscy
Bardziej szczegółowoWłasności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4
Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności
Bardziej szczegółowoMETODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Bardziej szczegółowo1. Klasyfikacja stóp zwrotu 2. Zmienność stóp zwrotu 3. Mierniki ryzyka 4. Mierniki wrażliwości wyceny na ryzyko rynkowe
I Ryzyko i rentowność instrumentów finansowych 1. Klasyfikacja stóp zwrotu 2. Zmienność stóp zwrotu 3. Mierniki ryzyka 4. Mierniki wrażliwości wyceny na ryzyko rynkowe 1 Stopa zwrotu z inwestycji w ujęciu
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE METODY VALUE AT RISK W ESTYMACJI RYZYKA INWESTYCYJNEGO W SPÓŁKI BRANŻY METALURGICZNEJ
WYKORZYSTANIE METODY VALUE AT RISK W ESTYMACJI RYZYKA INWESTYCYJNEGO W SPÓŁKI BRANŻY METALURGICZNEJ Ewa Miłoś 1 Streszczenie Celem opracowania jest analiza zasadności wykorzystania metody Valua at Risk
Bardziej szczegółowoWYKŁAD: Szeregi czasowe II. Zaawansowane Metody Uczenia Maszynowego
WYKŁAD: Szeregi czasowe II Zaawansowane Metody Uczenia Maszynowego Zwroty indeksów finansowych Y t : indeks finansowy w momencie t (wartość waloru, kurs walutowy itp). Określimy zwrot indeksu finansowego
Bardziej szczegółowoFORECASTING THE DISTRIBUTION OF AMOUNT OF UNEMPLOYED BY THE REGIONS
FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Folia Univ. Agric. Stetin. 007, Oeconomica 54 (47), 73 80 Mateusz GOC PROGNOZOWANIE ROZKŁADÓW LICZBY BEZROBOTNYCH WEDŁUG MIAST I POWIATÓW FORECASTING THE DISTRIBUTION
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Bardziej szczegółowoAnaliza regresji - weryfikacja założeń
Medycyna Praktyczna - portal dla lekarzy Analiza regresji - weryfikacja założeń mgr Andrzej Stanisz z Zakładu Biostatystyki i Informatyki Medycznej Collegium Medicum UJ w Krakowie (Kierownik Zakładu: prof.
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ. Dr Wioleta Drobik-Czwarno
WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ Dr Wioleta Drobik-Czwarno REGRESJA LOGISTYCZNA Zmienna zależna jest zmienną dychotomiczną (dwustanową) przyjmuje dwie wartości, najczęściej 0 i 1 Zmienną zależną może być:
Bardziej szczegółowo166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Bardziej szczegółowoKorzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)
Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD
Bardziej szczegółowoWycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek
Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowoAnaliza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI
Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem Frank K. Reilly, Keith C. Brown SPIS TREŚCI TOM I Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa do wydania amerykańskiego O autorach Ramy książki CZĘŚĆ I. INWESTYCJE
Bardziej szczegółowoPRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR. Wojciech Zieliński
PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR Wojciech Zieliński Katedra Ekonometrii i Statystyki SGGW Nowoursynowska 159, PL-02-767 Warszawa wojtek.zielinski@statystyka.info
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,
Bardziej szczegółowoWykład 5: Statystyki opisowe (część 2)
Wykład 5: Statystyki opisowe (część 2) Wprowadzenie Na poprzednim wykładzie wprowadzone zostały statystyki opisowe nazywane miarami położenia (średnia, mediana, kwartyle, minimum i maksimum, modalna oraz
Bardziej szczegółowoModelowanie rynków finansowych
Modelowanie rynków finansowych Jerzy Mycielski WNE UW 5 października 2017 Jerzy Mycielski (WNE UW) Modelowanie rynków finansowych 5 października 2017 1 / 12 Podstawowe elementy teorii 1 racjonalne oczekiwania
Bardziej szczegółowo12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:
Bardziej szczegółowoDetekcja rozkładów o ciężkich ogonach
Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach J. Śmiarowska, P. Jamer Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 24 kwietnia 2012 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoExcel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym Pomiar ryzyka. Pomiar ryzyka
Pomiar ryzyka Miary obiektywne stosowane w kwantyfikacji ryzyka rynkowego towarzyszącego zaangażowaniu środków w inwestycjach finansowych obejmują: Miary zmienności, Miary zagrożenia, Miary wrażliwości.
Bardziej szczegółowoPoziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W E, 2L PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Zapoznanie studentów z podstawowymi metodami i technikami analizy finansowej na podstawie nowoczesnych instrumentów finansowych
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowo12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoEkonomiczny Uniwersytet Dziecięcy
Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Młody inwestor na giełdzie Strategie inwestycyjne dr Radosław Pietrzyk Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu 11 maja 2015 r. Plan prezentacji 1. Co to jest rynek i giełda?
Bardziej szczegółowoStatystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoAnaliza zależności ekstremalnych
Zeszyty Naukowe nr 726 Akademii Ekonomicznej w Krakowie 2006 Katedra Statystyki Analiza zależności ekstremalnych. Wprowadzenie W dobie globalizacji gospodarki zarządzający ryzykiem w instytucjach finansowych
Bardziej szczegółowoEkonometria. Zajęcia
Ekonometria Zajęcia 16.05.2018 Wstęp hipoteza itp. Model gęstości zaludnienia ( model gradientu gęstości ) zakłada, że gęstość zaludnienia zależy od odległości od okręgu centralnego: y t = Ae βx t (1)
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których
Bardziej szczegółowoStrategie VIP. Opis produktu. Tworzymy strategie oparte o systemy transakcyjne wyłącznie dla Ciebie. Strategia stworzona wyłącznie dla Ciebie
Tworzymy strategie oparte o systemy transakcyjne wyłącznie dla Ciebie Strategie VIP Strategia stworzona wyłącznie dla Ciebie Codziennie sygnał inwestycyjny na adres e-mail Konsultacje ze specjalistą Opis
Bardziej szczegółowoKalibracja. W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowagę: Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1
Kalibracja Kalibracja - nazwa pochodzi z nauk ścisłych - kalibrowanie instrumentu oznacza wyznaczanie jego skali (np. kalibrowanie termometru polega na wyznaczeniu 0C i 100C tak by oznaczały punkt zamarzania
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 5 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Zadanie 1. Wykorzystując dane me.medexp3.dta przygotuj model regresji kwantylowej 1. Przygotuj model regresji kwantylowej w którym logarytm wydatków
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Bardziej szczegółowoJak długo żyją spółki na polskiej giełdzie? Zastosowanie statystycznej analizy przeżycia do modelowania upadłości przedsiębiorstw
Jak długo żyją spółki na polskiej giełdzie? Zastosowanie statystycznej analizy przeżycia do modelowania upadłości przedsiębiorstw dr Karolina Borowiec-Mihilewicz Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Zastosowania
Bardziej szczegółowoKOMPUTEROWA SYMULACJA PROCESÓW ZWIĄZANYCH Z RYZYKIEM PRZY WYKORZYSTANIU ŚRODOWISKA ADONIS
KOMPUTEROWA SYMULACJA PROCESÓW ZWIĄZANYCH Z RYZYKIEM PRZY WYKORZYSTANIU ŚRODOWISKA ADONIS Bogdan RUSZCZAK Streszczenie: Artykuł przedstawia metodę komputerowej symulacji czynników ryzyka dla projektu inwestycyjnego
Bardziej szczegółowoImmunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych
Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE WARUNKOWEGO MODELU MAKSIMÓW BLOKOWYCH DO POMIARU VALUE AT RISK
Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 295 2016 Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu Wydział Informatyki i Gospodarki Elektronicznej Katedra Badań Operacyjnych
Bardziej szczegółowoUogolnione modele liniowe
Uogolnione modele liniowe Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Uogolnione modele liniowe grudzien 2013 1 / 17 (generalized linear model - glm) Zakładamy,
Bardziej szczegółowo