Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz

Transkrypt

1 Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść druga Anna Romanowska 22 października 2015 Pierścienie i cia la.1 Idea ly i pierścienie ilorazowe Definicja.11. Pierścień, w którym wszystkie idea ly sa g lówne, nazywamy pierścieniem idea lów g lównych. Przyk lad.12. Każdy z niżej podanych zbiorów tworzy pierścień idea lów g lównych. (a) Zbiór Z liczb ca lkowitych, przy czym każdy idea l ma postać (n) = nz. (b) Zbiór F [x] wielomianów o wspó lczynnikach w ciele F, przy czym każdy idea l (p(x)) sk lada sie z wielomianów podzielnych przez wielomian p(x). Każdy pierścień ilorazowy F [x]/i jest postaci F [x]/(p(x)), gdzie p(x) F [x]. Relacje I nazywa sie w tym przypadku również relacja przystawania modulo (p(x)), i stosuje notacje f(x) g(x) mod(p(x)) na oznaczenie, że f(x) i g(x) należa do jednej klasy tej relacji. Przy tym f(x) I g(x) f(x) g(x) mod(p(x)) f(x) g(x) (p(x)). Lemat.1. f(x) g(x) (mod p(x)) f(x) i g(x) maja te same reszty przy dzieleniu przez p(x). Twierdzenie.14. Niech p(x) F [x] b edzie wielomianem stopnia n > 0. Niech P := (p(x)). Elementy pierścienia F [x]/p można przedstawić dok ladnie w jeden sposób w postaci P + a 0 + a 1 x +... a n 1 x n 1, 1

2 PIERŚCIENIE I CIA LA 2 gdzie a 0, a 1,..., a n 1 F. Lemat.15. Przecie cie niepustej rodziny idea lów pierścienia jest idea lem. Stwierdzenie.16. Niech A be dzie podzbiorem pierścienia R. Istnieje najmniejszy idea l pierścienia R zawieraja cy A. Najmniejszy idea l zawieraja cy A oznaczamy symbolem (A) i nazywamy idea lem generowanym przez A. Zbiór A nazywamy zbiorem generatorów idea lu (A). W przypadku, gdy A = {a 1,..., a n }, piszemy (a 1,..., a n ) zamiast ({a 1,..., a n }). W szczególności, symbol (a) oznacza idea l g lówny generowany przez pojedyńczy element a A. W dalszym cia gu tego paragrafu, zak ladamy, że wszystkie rozważane pierścienie sa pierścieniami przemiennymi z jedynka. Twierdzenie.17. Niech A be dzie niepustym podzbiorem pierścienia R. Wówczas (A) = {a 1 r a n r n n Z +, a i A, r i R}. Przyk lad.18. Dla dowolnego cia la F, idea l (x, y) F [x, y], nie jest idea lem g lównym. A zatem pierścień F [x, y] nie jest pierścieniem idea lów g lównych. Pierścień nazywamy pierścieniem Noether, jeśli każdy jego idea l jest generowany przez skończony zbiór elementów. Twierdzenie.19. (Hilberta o bazie) Jeśli R jest pierścieniem Noether, to również pierścień wielomianów R[x] jest pierścieniem Noether. Idea l I pierścienia R nazywamy pierwszym, gdy I R oraz spe lniony jest naste puja cy warunek. Jeśli a, b R i ab I, to a I lub b I. Twierdzenie.110. Idea l I pierścienia R jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy jest on ja drem homomorfizmu pierścienia R na pierścień ca lkowity. Idea l I pierścienia R nazywamy idea lem maksymalnym, jeśli I R oraz spe lniony jest naste puja cy warunek. Jeśli idea l J pierścienia R zawiera idea l I, to J = I lub J = R. Twierdzenie.111. Idea l I pierścienia R jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest on ja drem homomorfizmu R na cia lo. Wniosek.112. Każdy idea l maksymalny jest pierwszy.

3 PIERŚCIENIE I CIA LA.2 Pierścienie Euklidesa Definicja.21. Pierścieniem Euklidesa nazywamy pierścień ca lkowity R, w którym dla każdego niezerowego elementu a istnieje taka nieujemna liczba ca lkowita d(a), że (a) jeśli a, b R, a, b 0, to d(a) d(ab), (b) (Algorytm dzielenia) dla każdej pary elementów a, b R, b 0, istnieja elementy q, r R, takie, że a = qb+r, gdzie r = 0 lub d(r) < d(b). Przyk lad.22. Każdy z niżej podanych zbiorów tworzy pierścień Euklidesa. (a) Zbiór Z liczb ca lkowitych, przy czym d(a) = a. (b) Każde cia lo, przy czym d(a) = 1 dla każdego a 0. (c) Zbiór F [x] wielomianów o wspó lczynnikach w ciele F, przy czym d(f(x)) = st f(x). Twierdzenie.2. (Algorytm dzielenia dla wielomianów) Niech F bedzie cia lem i niech f(x), g(x) F [x]. Jeśli g(x) 0, to istnieja jednoznacznie wyznaczone wielomiany q(x), r(x) F [x] takie, że f(x) = q(x) g(x) + r(x), gdzie albo r(x) = 0, albo st r(x) < st g(x). Twierdzenie.24. (o reszcie) W pierścieniu F [x], reszta z podzielenia f(x) F [x] przez x a jest równa f(a). Twierdzenie.25. (Bezout a) W pierścieniu F [x], wielomian x a jest czynnikiem f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy f(a) = 0. Definicja.26. Element a nazywa si e pierwiastkiem wielomianu f(x), jeśli f(a) = 0. Twierdzenie.27. Wieloman stopnia n nad cia lem F ma co najwyżej n pierwiastków w F. Niech R b edzie pierścieniem ca lkowitym i niech a, b, q R. Mówimy, że b dzieli a lub, że b jest czynnikiem a i piszemy b a, jeśli a = qb.

4 PIERŚCIENIE I CIA LA 4 Stwierdzenie.28. Niech R bedzie pierścieniem ca lkowitym i niech a, b, c, r R. Wtedy (a) a b, a c a (b + c), (b) a b a br, (c) a b, b c a c. Definicja.29. Niech R b edzie pierścieniem ca lkowitym i niech a, b R. Element g R nazywamy najwi ekszym wspólnym dzielnikiem a i b i oznaczamy symbolem g = NW D(a, b), jeśli (a) g a, (b) c a, g b, c b c g. Element l R nazywamy najmniejsza wspólna wielokrotnościa a i b i oznaczamy symbolem l = NW W (a, b), jeśli (c) a l, (d) a k, b l, b k l k. Twierdzenie.210. Dowolne dwa elementy a i b pierścienia Euklidesa R posiadaja NW D(a, b). Ponadto, istnieja elementy s, t R takie, że NW D(a, b) = sa + tb. Twierdzenie.211. (algorytm Euklidesa) Niech a oraz b bed a elementami pierścienia Euklidesa R. Niech b 0. Wtedy a = bq 1 + r 1, d(r 1 ) < d(b) b = r 1 q 2 + r 2, d(r 2 ) < d(r 1 ) r 1 = r 2 q + r, d(r ) < d(r 2 ).. r k 2 = r k 1 q k + r k, d(r k ) < d(r k 1 ) r k 1 = r k q k Jeśli r 1 = 0, to b = NW D(a, b). Jeśli r 1 0, to r k = NW D(a, b). Aby znaleźć elementy s, t R spe lniaja ce NW D(a, b) = sa + tb, wystarczy zacza ć od równania r k = r k 2 r k 1 q k i posuwać sie w góre, za każdym razem zaste puja c r i podobna reprezentacja przez elementy r i 1 oraz r i 2. Twierdzenie.212. Niech a i b bed a liczbami ca lkowitymi. Równanie ax n b ma ca lkowite rozwiazanie wtedy i tylko wtedy, gdy NW D(a, n) b. Jeśli takie rozwiazanie istnieje, to istnieje NW D(a, n) rozwiazań nierównoważnych mod n.

5 PIERŚCIENIE I CIA LA 5 Twierdzenie.21. (chińskie twierdzenie o resztach) Niech m = m 1 m 2 m r, gdzie NW D(m i, m j ) = 1 dla i j. Wtedy uk lad równań x m1 a 1, x m2 a 2,..., x mr a r ma ca lkowite rozwiazanie. Jeśli liczba t jest rozwiazaniem, to każde inne rozwiazanie z spe lnia warunek z m t. Definicja.214. Niech R b edzie pierścieniem przemiennym z 1. Element u R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element v R taki, że uv = 1. Elementy a, b R nazywamy stowarzyszonymi (piszemy a b), jeśli a b i b a. Relacja stowarzyszenia jest relacja równoważności. Elementy odwracalne pierścienia R sa to elementy stowarzyszone z 1. Elementy a, b pierścienia ca lkowitego R sa stowarzyszone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w R odwracalny element c taki, że ac = b. Elementy odwracalne w pierścieniu przemiennym R tworza grupe przemienna ze wzgle du na mnożenie. Definicja.215. Nieodwracalny element p pierścienia Euklidesa R nazywamy nierozk ladanym, jeśli zachodzi nastepuj acy warunek p = ab a lub b jest odwracalny w R Twierdzenie.216. (o jednoznacznym rozk ladzie) Każdy niezerowy element pierścienia Euklidesa jest albo odwracalny albo jest iloczynem skończonej liczby elementów nierozk ladalnych. Sa one wyznaczone jednoznacznie z dok ladnościa do kolejności czynników i mnożenia przez elementy odwracalne. Pierścienie spe lniajace warunek sformu lowany w Twierdzeniu.216. nazywaja sie pierścieniami z jednoznacznościa rozk ladu. Wielomian f(x) stopnia dodatniego jest rozk ladalny nad cia lem F, jeśli jest iloczynem dwóch wielomianów stopni dodatnich nad F. Wielomian f(x) jest nierozk ladalny nad F, jeśli f(x) nie da sie przedstawić w taki sposób. Twierdzenie.217. (Zasadnicze twierdzenie algebry) Jeśli f(x) C[x] ma stopień dodatni, to f(x) ma pierwiastek w C. Twierdzenie.218. (a) Jedynymi nierozk l adalnymi wielomianami w C[x] sa wielomiany stopnia pierwszego. (b) Jedynymi nierozk ladalnymi wielomianami w R[x] sa wielomiany stopnia pierwszego i wielomiany stopnia drugiego ax 2 + bx + c, dla których b 2 < 4ac.

6 PIERŚCIENIE I CIA LA 6 Przypomnijmy, że pierścień, w którym każdy idea l jest g lówny, nazywa si e pierścieniem idea lów g lównych. Twierdzenie.219. Każdy pierścień Euklidesa jest pierścieniem idea lów g lównych. Twierdzenie.220. Niech a b edzie elementem pierścienia Euklidesa R. Pierścień ilorazowy R/(a) jest cia lem wtedy i tylko wtedy, gdy a jest nierozk ladalny. Wniosek.221. Pierścień Z p = Z/(p) jest cia lem wtedy i tylko wtedy, gdy p jest liczba pierwsza. Wniosek.222. Pierścień F [x]/(p(x)) jest cia lem wtedy i tylko wtedy, gdy p(x) jest wielomianem nierozk ladalnym nad F.. Rozszerzenia cia l i cia la skończone Definicja.1. Podcia lem cia la K nazywamy podpierścień F, który jest również cia lem. Cia lo K nazywamy rozszerzeniem cia la F. Przypomnijmy, że jeśli F jest cia lem, to pierścień F [x]/(p(x)) zawiera podpierścień izomorficzny z F. Jeśli p(x) jest wielomianem nierozk ladalnym nad F, to cia lo K = F [x]/(p(x)) jest rozszerzeniem cia la F. Stwierdzenie.2. Niech K b edzie rozszerzeniem cia la F. Wtedy K ma również struktur e przestrzeni wektorowej nad F. Definicja.. Stopniem rozszerzenia K cia la F (oznaczanym symbolem [K : F ]) nazywamy wymiar przestrzeni wektorowej K nad F. Mówimy, że K jest rozszerzeniem skończonym F, jeśli wymiar tej przestrzeni jest skończony. Np. [C : R] = 2. Twierdzenie.4. Jeśli p(x) jest nierozk ladalnym wielomianem stopnia n nad cia lem F i K = F [x]/(p(x)), to [K : F ] = n. Twierdzenie.5. Niech L b edzie skończonym rozszerzeniem cia la K i K skończonym rozszerzeniem cia la F. Wtedy L jest skończonym rozszerzeniem F oraz [L : F ] = [L : K][K : F ].

7 PIERŚCIENIE I CIA LA 7 Definicja.6. Niech K bedzie rozszerzeniem cia la F i niech a K. Najmniejsze podcia lo cia la K zawierajace F {a} nazywamy rozszerzeniem F o element a. Oznaczamy to rozszerzenie symbolem F (a). Np. R(i) = C. Cia lo F (a) jest przecieciem wszystkich podcia l cia la K zawierajacych F {a}. Definicja.7. Niech K bedzie rozszerzeniem cia la F. Element k K nazywamy algebraicznym nad F, jeśli istnieja a, a 1,..., a n F, nie wszystkie równe 0 i takie, że a 0 + a 1 k a n k n = 0. Element k K jest algebraiczny nad F, jeśli jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu w F [x]. Elementy, które nie sa algebraiczne nad F, nazywamy przestepnymi nad F. Twierdzenie.8. Niech α b edzie elementem algebraicznym nad F. Niech p(x) b edzie nierozk ladalnym wielomianem stopnia n nad F, którego pierwiastkiem jest α. Wtedy Ponadto F (α) = F [x]/(p(x)). F (α) = {c 0 + c 1 α c n 1 α n 1 c i F }. Wniosek.9. Jeśli α jest pierwiastkiem wielomianu p(x) stopnia n, nierozk ladalnego nad F, to [F (α) : F ] = n. Twierdzenie.10. Jeśli f(x) jest wielomianem nad cia lem F, to istnieje skończone rozszerzenie K cia la F, nad którym f(x) rozk lada si e na czynniki liniowe. Stwierdzenie.11. Jeśli F jest skończonym rozszerzeniem cia la R liczb rzeczywistych, to F = R lub F = C. Definicja.12. Cia lo F ma charakterystyke 0, jeśli nie istnieje dodatnie ca lkowite n takie, że n 1 = 0. Jeśli takie n istnieje, to charakterystyka cia la F nazywamy najmniejsza liczbe n o tej w lasności. Charakterystyke F oznaczamy symbolem ch(f ).

8 PIERŚCIENIE I CIA LA 8 Stwierdzenie.1. Charakterystyka ch(f ) jest zawsze liczba pierwsza lub zerem. Np. ch(q) = ch(r) = ch(c) = 0, ch(z p ) = p. Definicja.14. Cia lo, które nie zawiera podcia l nietrywialnych, nazywamy cia lem prostym. Stwierdzenie.15. Każde cia lo zawiera podcia lo proste. Każde cia lo proste jest izomorficzne z cia lem Q lub z cia lem Z p, gdzie p jest liczba pierwsza. Stwierdzenie.16. Jeśli cia lo F ma charakterystyke równa liczbie pierwszej p, to F zawiera podcia lo izomorficzne z Z p. Jeśli charakterystyka F jest równa 0, to F zawiera podcia lo izomorficzne z cia lem Q. Charakterystyka cia la skończonego jest niezerowa. Twierdzenie.17. Każde cia lo skończone zawiera p m elementów dla pewnej liczby pierwszej p i pewnej liczby naturalnej m. Definicja.18. Cia lo skończone zawierajace p m elementów nazywamy cia lem Galois rzedu p m i oznaczamy symbolem GF (p m ). Można wykazać, że z dok ladnościa do izomorfizmu, istnieje dok ladnie jedno cia lo rzedu p m. Jeśli m = 1, to GF (p) = Z p jest cia lem Galois rzedu p. Przypomnijmy, że cia la Z p i Z p sa izomorficzne. Cia lo GF (p m ) możemy wie c traktować jako rozszerzenie cia la Z p stopnia m. Można je zatem skonstruować przez znalezienie odpowiedniego wielomianu q(x) stopnia m, nierozk ladanego w Z p [x]. A zatem GF (p m ) = Z p [x]/(q(x)). Istnieje ponadto element α w GF (p m ) taki, że q(α) = 0 oraz Zauważmy też, że GF (p m ) = Z p (α). GF (p m ) = {a 0 + a 1 α a n 1 α m 1 a i Z p }.

9 PIERŚCIENIE I CIA LA 9 Twierdzenie.19. Niech GF (q) bedzie zbiorem niezerowych elementów cia la Galois GF (q). Wtedy (GF (q),, 1, 1) jest grupa cykliczna rzedu q 1. Generator grupy GF (q) nazywamy elementem pierwotnym cia la GF (q). Jeśli α jest elementem pierwotnym cia la GF (q), gdzie q jest poteg a liczby pierwszej p, to GF (q) = Z p (α) oraz GF (q) = {1, α, α 2,..., α q 2 }, GF (q) = {0, 1, α, α 2,..., α q 2 }..4 Kody wykrywajace i korygujace b l edy W wie kszości komputerów i kana lów informacyjnych komunikaty wiadomości przedstawione sa zazwyczaj w postaci cia gów zero-jedynkowych, podzielonych na bloki określonej jednakowej d lugości, powiedzmy z lożone z k cyfr. Bloki te nazywamy s lowami wiadomości. Kodowanie polega na dopisaniu do każdego s lowa wiadomości dalszych n k cyfr ze zbioru {0, 1}. Otrzymane ciagi n-elementowe nazywaja sie s lowami kodowymi. W czasie transmisji moga nastapić b l edy. Przyjmuje sie przy tym, że prawdopodobieństwo zamiany 0 na 1 jest takie samo, jak prawdopodobieństwo zamiany 1 na 0. 1 Jeśli otrzymany ciag zero-jedynkowy nie jest s lowem kodowym, wiadomo, że przy przesy laniu powsta ly b l edy. Można wtedy zażadać powtórnej transmisji, lub też wybrać jako wys lane s lowo kodowe, s lowo najmniej różniace sie od otrzymanego ciagu. Od dobrego kodowania oczekuje sie, że jeśli w trakcie transmisji wystepuje ma lo b l edów, to daje ono metode ich wykrycia, i odtworzenia s lów wys lanych. Schemat kodowania Wiadomość Wiadomość zakodowana (c 1,..., c k ) kodowanie (d 1,..., d n k, c 1,..., c k ) Cyfry d 1,..., d n k nazywaja sie cyframi kontrolnymi, u lamek R = k/n nazywa sie wskaźnikiem informacji. Wiadomo, że dla każdego kana lu informacyjnego istnieje pewna wielkość C taka, że dla dowolnego R < C, istnieje kod o wskaźniku R, dla którego zwiekszenie n powoduje zmniejszenie prawdopodobieństwa b l ednego odkodowania. 1 Pomija si e inne b l edy.

10 PIERŚCIENIE I CIA LA 10 Definicja.41. Niech A bedzie niepustym zbiorem skończonym i k, n Z +, gdzie k < n. Różnowartościowe przekszta lcenie c : A k A n nazywamy funkcja kodujac a. Przekszta lcenie d : A n A k takie, że d(c(x)) = x dla każdego x A k, nazywamy funkcja dekodujac a. (n, k)-kodem nazywamy pare (A, c), gdzie c : A k A n jest funkcja kodujac a. W przypadku, gdy A = {0, 1} = Z 2, kod (A, c) nazywa sie kodem binarnym. Rozważa sie również kody, które nie sa binarne. Czesto przyjmuje sie, że A = GF (q). Tutaj bedziemy rozważać tylko kody binarne. Ciagi a A k nazywamy s lowami wiadomości, a ciagi c(a) s lowami kodowymi. W (n, k)- kodzie binarnym istnieje 2 k s lów kodowych. Przyk lad.42. (a) ((k + 1, k)-kod kontroli parzystości) Funkcja kodujaca dana jest wzorem c : Z k 2 Z k+1 2, (a 1,..., a k ) ( k ) a i (mod 2), a 1,..., a k Ciag (b 1,..., b k+1 ) otrzymany po transmisji ( k 1 a i(mod 2), a 1,..., a k ) należy do c(z2 k) wtedy i tylko wtedy, gdy k+1 1 b i = 0(mod 2) lub równoważnie, gdy (b 1,..., b k+1 ) zawiera parzysta liczbe 1. Kod ten pozwala wykrywać pojedyncze b l edy w przes lanych wiadomościach, ale nie wiecej. (b) ((n, 1)-kod) powtórkowy Funkcja kodujaca dana jest wzorem c : Z 2 Z n 2 ; a (a,..., a) Ciag (b 1,..., b n ) otrzymany po transmisji ciagu (a,..., a) należy do c(z 2 ) wtedy i tylko wtedy, gdy b 1 = b 2 =... = b n. Kod ten pozwala wykryć do n 1 b l edów w przesy lanych wiadomościach. Może być również użyty do poprawienia b l edów. Jeśli otrzymane s lowo zawiera wiecej 1, przyjmuje sie, że wys lano 1, jeśli wiecej 0, to za wys lana wiadomość przyjmuje sie 0. Definicja.4. Odleg lościa Hamminga miedzy dwoma s lowami kodowymi c(a) i c(b), gdzie a, b Z2 n, (n, k)-kodu C = (Z 2, c) nazywamy liczbe miejsc, na których s lowa te różnia sie miedzy soba. Oznaczamy ja symbolem d(c(a), c(b)). Waga s lowa c(a) nazywamy liczbe jedynek w c(a). Ozmaczamy ja symbolem wt(c(a)). Odleg lościa (n, k)-kodu C nazywamy liczbe d(c) := min{d(c(a), c(b)) a, b Z2 n}. 1

11 PIERŚCIENIE I CIA LA 11 Przyk lad.44. W (, 2)-kodzie kontroli parzystości C d(101, 011) = 2, wt(101) = 2, d(c) = 2 Twierdzenie.45. (n, k)-kod C wykrywa wszystkie zbiory co najwyżej t b l edów w przys lanej wiadomości wtedy i tylko wtedy, gdy odleg lość Hamminga kodu C jest równa co najmniej t + 1. Twierdzenie.46. (n, k)-kod C jest w stanie poprawić każdy zbiór co najwyżej t b l edów w przys lanej wiadomości wtedy i tylko wtedy, gdy odleg lość Hamminga kodu C jest równa co najmniej 2t + 1. Przyk lad.47. Kod C d(c) Liczba Liczba Wspó lczynnik b l edów b l edów informacji wykrywalnych poprawialnych (, 2)-kod / (, 1)-kod 2 1 1/ (n, k)-kod d d 1 (d 1)/2 k/n Kody wielomianowe Opiszemy pewien sposób kodowania, w którym wykorzystuje si e wielomiany z pierścienia Z 2 [x]. Niech m : Z n 2 Z 2 [x] : (a 0, a 1,..., a n 1 ) a 0 + a 1 x a n 1 x n 1. Funkcja m ustala wzajemnie jednoznaczne przyporzadkowanie miedzy zbiorem Z2 n i zbiorem wielomianów stopnia mniejszego lub równego n 1 w Z 2 [x]. Definicja.48. Niech p(x) Z 2 [x] b edzie wielomianem stopnia n k. Kodem wielomianowym generowanym przez p(x) nazywamy (n, k)-kod C, którego s lowami kodowymi sa dok ladnie te wielomiany stopnia minejszego niż n, które sa podzielne przez p(x). Funkcje kodujac a c : Z2 k Zn 2 takiego kodu wielomianowego buduje sie nastepuj aco:

12 PIERŚCIENIE I CIA LA 12 1) wiadomości (a 0,..., a k 1 ) przyporzadkowujemy wielomian 2) tworzymy wielomian x n k m(x); m(x) := a 0 + a 1 x a k 1 x k 1 ; ) obliczamy reszt e r(x) z podzielenia x n k m(x) przez p(x); 4) tworzymy wielomian v(x) = r(x) + x n k m(x) = r 0 + r 1 x r n k 1 x n k 1 + a 0 x n k a k 1 x n 1 ; 5) wiadomość zakodowana ma postać c(a 0,..., a k 1 ) := (r 0, r 1,..., r n k 1, a 0,..., a k 1 ). Wielomian v(x) nazywamy wielomianem kodowym. zawsze podzielny przez p(x). Istotnie Wielomian v(x) jest v(x) = r(x) + x n k m(x) = r(x) + x n k m(x) = q(x) p(x), przy czym st r(x) < n k lub r(x) = 0. Jeśli wielomian u(x) odpowiadajacy otrzymanej wiadomości b jest podzielny przez p(x), to można przyjać u(x) jako wielomian kodowy. Jeżeli nie, to wiadomo, że przy przesy laniu informacji nastapi l b l ad. Przyk lad.49. Wielomian p(x) = 1 + x generuje (n, n 1)-kod kontroli parzystości. Wielomian p(x) stopnia m, nierozk ladalny nad Z 2, jest pierwotny, jeśli p(x) 1 + x 2m 1, ale p(x) 1 + x k dla k < 2 m 1. Twierdzenie.410. Jeśli p(x) jest wielomianem pierwotnym stopnia m i n 2 m 1, to (n, n m)-kod generowany przez p(x) wykrywa wszystkie b l edy pojedyncze i podwójne. Wniosek.411. Jeśli p 1 (x) jest wielomianem pierwotnym stopnia m i n 2 m 1, to (n, n m 1)-kod generowany przez p(x) = (1 + x)p 1 (x) wykrywa wszystkie b l edy podwójne i dowolna nieparzysta ilość b l edów.

13 PIERŚCIENIE I CIA LA 1 Kody liniowe Definicja.412. (n, k)-kod nazywamy kodem liniowym, jeśli funkcja kodujaca c : Z2 k Zn 2 jest przekszta lceniem liniowym. Stwierdzenie.41. Kody wielomianowe sa kodami liniowymi. Macierz G przekszta lcenia liniowego c : Z2 k Zn 2 nazywa sie macierz a kodujac a. Jeśli m Z2 k, to c(m) = Gm, c(zk 2 ) Zn 2 i kolumny G tworz a baze c(z2 k). Wektor v Z2 n jest s lowem kodowym wtedy i tylko wtedy, gdy jest kombinacja liniowa kolumn macierzy G. Przyk lad.414. Rozważmy (, 2)-kod kontroli parzystości. W kodzie tym c(10) = 110, c(01) = 101. Stad ( ) m 1 + m 2 G = 1 0, c(m) = Gm = 1 0 m1 = m m m 2 Uwaga. Macierz kodujaca jest zawsze postaci G = ( P I k ), gdzie P jest macierza wymiaru (n k) k oraz I k jest macierza jednostkowa stopnia k. Twierdzenie.415. Niech c : Z2 k Zn 2 bedzie funkcj a kodujac a liniowego (n, k)-kodu o macierzy kodujacej G = ( P I k ). Niech d : Z2 n Zn k 2 bedzie przekszta lceniem liniowym o macierzy H = (I n k P ) wymiaru (n k) n. Wtedy (a) Ker d = c(z k 2 ); (b) otrzymany wektor u jest s lowem kodowym wtedy i tylko wtedy, gdy Hu = 0. Macierz H nazywamy macierza kontroli parzystości (n, k)-kodu liniowego. Jeśli Hu 0, to u nie jest s lowem kodowym i przy przesy laniu wiadomości nastapi l b l ad. Niech c : Z2 k Zn 2 be dzie funkcja koduja ca (n, k)-kodu liniowego. Niech V = c(z2 k). Przypuśćmy, że w wys lanym s lowie v V pojawi l sie w trakcie transmisji b la d e, w wyniku którego otrzymano wiadomość u = v+e. Zauważmy, że e = v + u = v + u. A zatem e V + u. Urza dzenie dekoduja ce znajduje najbardziej prawdopodobne s lowo transmitowane znajduja c

14 PIERŚCIENIE I CIA LA 14 najbardziej prawdopodobny b la d, jaki móg l pojawić sie w trakcie transmisji. Taki najbardziej prawdopodobny b la d może być określony w różny sposób w zależności od kana lu przesy lowego, i nazywa sie liderem warstwy V +u. Warstwy Z2 n wzgle dem podprzestrzeni V można scharakteryzować przy pomocy macierzy kontroli parzystości H. Podprzestrzeń V pokrywa sie z ja drem Ker d homomorfizmu d : Z2 n Zn k 2. Na mocy Twierdzenia o Izomorfizmie, Z2 n/v = d(z2 n), przy tym V + u Hu. Dla danego u Zn 2, s lowo Hu nazywa sie syndromem s lowa u. Dwa s lowa należa do tej samej warstwy wtedy i tylko wtedy, gdy maja te same syndromy. Aby odkodować otrzymane s lowo u poste puje sie naste puja co. (i) Oblicza sie syndrom Hu. (ii) Znajduje sie lidera warstwy e V + u. (iii) Tworzy sie s lowo u e = u + e. (iv) Odrzuca sie cyfry kontrolne w s lowie u + e.