Teoria Liczb Rzeczywistych

Transkrypt

1 Matematyka Teoria Liczb Rzeczywistych Aleksander Denisiuk Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag Matematyka p. 1

2 Teoria Liczb Rzeczywistych Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem Matematyka p. 2

3 Zbiory Liczbowe N = {1,2,...} zbiór liczb naturalnych, Z zbiór liczb całkowitych, Q zbiór liczb wymiernych, R zbiór liczb rzeczywistych. Matematyka p. 3

4 Liczby wymierne Q = { m n } m,n Z, n 0, m 1 n 1 m 2 n 2 m 1 n 2 = m 2 n 1, Q = Q /, Q jest ciałem ułamków ciała Z. Matematyka p. 4

5 Dodawanie liczb wymiernych Definicja 1. m 1 n 1 + m 2 n 2 = m 1n 2 +n 1 m 2 n 1 n 2 Własności dodawania x,y Q x+y = y +x (przemienność dodawania), x,y,z Q (x+y)+z = x+(y+z) (łaczność dodawania), Istnieje liczba 0 Q, taka że x Q x+0 = 0+x = x (liczba neutralna), x Q istnieje liczba przeciwna ( x) Q, taka że x+( x) = ( x)+x = 0. Matematyka p. 5

6 Mnożenie liczb wymiernych Definicja 2. m 1 n 1 m2 n 2 = m 1m 2 n 1 n 2 Własności mnożenia x,y Q xy = yx (przemienność mnożenia), x,y,z Q (xy)z = x(yz) (łaczność mnożenia), Istnieje liczba 1 Q, taka że x Q 1 x = x 1 = x. x,y,z Q x(y +z) = xy +xz oraz (x+y)z = xz +yz (rozdzielność mnożenia względem dodawania), x Q, x 0 x 1 Q (element odwrotny) taki że x x 1 = x 1 x = 1 Matematyka p. 6

7 Porównywanie liczb wymiernych Definicja 3. ( m1 n 2 < m 2 n 1 in 1 n 2 > 0 ) m 1 n 1 < m 2 n 2 albo ( m1 n 2 > m 2 n 1 in 1 n 2 < 0 ) Własności relacji uporzadkowania a > b a+c > b+c, a > b,c > 0 ac > bc. Matematyka p. 7

8 Aksjomat Archimedesa Twierdzenie 4. Dla dowolnej liczby a Q jedynkę(1) można powtórzyć tyle razy, że suma zostanie większa oda. Nieograniczoność zbioru liczb wymiernych. Dowolny odcinek jest krótszy od pewnej wielokrotności każdego innego odcinka. Matematyka p. 8

9 Podstawowe własnoći liczb wymiernych Dowolna własność liczb wymiernych jest wnioskiem 16 podstawowych. Przykład 5. Niecha > b orazc > d. Wtedya+c > b+d. Matematyka p. 9

10 Niezupełność zbioru liczb wymiernych Twierdzenie 6. 2 Q Dowód. Załóżmy, że 2 = m n (ułamek nieskracalny). (1) Wtedym 2 = 2n 2 czylimjest liczba parzysta,m = 2m 1. Podstawiajac do (1), otrzymamy po skróceniu czylinteż jest liczba parzysta. Sprzeczność. 2m 2 1 = n 2, Matematyka p. 10

11 Niezupełność zbioru liczb wymiernych A E D B C Matematyka p. 11

12 Niezupełność zbioru liczb wymiernych A E D B C Matematyka p. 12

13 Liczby rzeczywiste Zbiór R jest uzupełnieniem zbioru Q: jest polem względem dodawania i mnożenia, okreslona relacja mniejszoćsi, spełniony jest aksjomat Archimedesa, spełniony jest aksjomat ciagłości Aksjomat ciagłości Aksjomat 7. Niech zbiór R będzie podzielony na dwa niepuste podzbiory A ib:r = A B w ten sposób, że każda liczbaajest mniejsza od każdej liczbyb, to wówczas zachodzi jedna z dwóch możliwości: albo w zbiorzea istnieje największy element, albo w zbiorze B istnieje najmniejszy element. Matematyka p. 13

14 Liczby rzeczywiste. Sposób konstruktywny a = a 0,a 1 a 2 a 3..., a i {0,1,2,...,9} dla i > 0, a 0,a 1 a 2 a 3...a n = a 0,a 1 a 2 a 3...(a n 1) , = 0, Matematyka p. 14

15 Kresy zbioru Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych, A R. Definicja 8. Zbiór A jest ograniczonycm z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczba M R, taka że x A x M (względniex M ). Zbiór, ograniczony z dołu i z góry nazywa się ograniczonym. Definicja 9. Element M A nazywa się maksymalnym (minimalnym), jeżeli x A x M (x M ): M = maxa (mina). Definicja 10. Najmniejsza z liczbm R, takich że x A x M, jest górnym kresem zbiorua: M = supa. Definicja 11. Największa z liczbm R, takich że x A x M, jest dolnym kresem zbiorua: M = infa. Matematyka p. 15

16 Kresy zbioru. twierdzenie Twierdzenie 12. Niepusty zbiór ograniczony z góry (z dołu) ma górny (dolny) kres. Dowód. Rozważamy zbiór ograniczony z góry. Określimy dwa podzbioryr:a1 = {y R x A,x y} ia 2 = {z R x A,x > z}. A 1 jest dopełnieniem A 2. A 1 jest niepustym. A 2 jest niepustym. y A 1, z A 2 spełnia się nierównośćz < y, ponieważ x A, z < x ix y. Za moca aksjomatu ciagłości istnieje albo najmniejszy elementa1, albo verte największy elementa 2. Matematyka p. 16

17 Kresy zbioru, cd Dowód. cd. A 2 nie ma największego elementu. A więcmina1 = supa. Przykład 13. NiechA = {1/n n N} R. Wtedy: supa = 1, infa = 0, maxa = 1, mina nie istnieje. Matematyka p. 17

18 Wartość bezwzględna Definicja 14. x = { x, x 0 x, x < 0 Twierdzenie a+b a + b. 1. ab = a b, Dowód. a a a, b b b ( a + b ) a+b ( a + b ) Matematyka p. 18

19 Podzbiory R Definicja 16. Zbiór{x R a x b}, gdziea < b, nazywa się przedziałem domkniętym, oznacza się przez[a,b]. Punktyaib to sa kresy albo końce przedziału, a dowolna liczbax,a < x < b jest punktem wewnętrznym przedziału. Zbiór{x R a < x < b}, gdziea < b, nazywa się przedziałem otwartym, oznacza się przez(a, b). Zbiór{x R a x < b} ({x R a < x b}) nazywa się przedziałem półotwartym, oznacza się przez[a, b) (względnie(a, b]). ZbiórRoznaczamy przez(,+ ), nazywamy również prosta. Jeżelix < y, to mówimy, żexjest po lewej ody,y jest po prawej odx. Zbiór{x R a x} ({x R x b}) nazywa się półprosta, oznacza się przez[a, + ) (względnie(, b]). Zbiór{x R a < x} ({x R x < b}) nazywa się półprosta otwarta, oznacza się przez(a, + ) (względnie(, b)). Matematyka p. 19

20 Otoczenia punktu Definicja 17. punktu a. Przedział(a ε,a+ε) (gdzieε > 0) jestε-otoczeniem Dowolny przedział otwarty, zawierajacy punktajest otoczeniem punktu a. Przedział(a εa) (a,a+ε) (gdzieε > 0) jestε-sasiedztwem punktu a. Dowolny przedział otwarty, zawierajacy punktazwyłaczeniem jego samego jest sasiedztwem punktu a. Przedział(a ε,a) (gdzieε > 0) jest lewym otoczeniem punktua. Przedział(a,a+ε) (gdzieε > 0) jest prawym otoczeniem punktua. Matematyka p. 20

21 Otoczenie nieskończoności Definicja 18. Zbiór{x R A < x }, gdziea > 0, nazywa się otoczeniem nieskończoności ( ). Zbiór{x R A < x}, gdziea > 0, nazywa się otoczeniem plus nieskończoności (+ ). Zbiór{x R x < A}, gdziea > 0, nazywa się otoczeniem minus nieskończoności ( ). Uwaga 19. Przedział nazywa się również odcinkiem. Zamiast nawiasów kwadratowych[] używa się również nawiasów katowych:. Matematyka p. 21