Modelowanie oligopolu metodami fizyki statystycznej. Praca magisterska. Andrzej Pilarczyk. Wydział Fizyki i Astronomii Uniwersytet Wrocławski

Transkrypt

1 Wydział Fizyki i Astronomii Uniwersytet Wrocławski Andrzej Pilarczyk Modelowanie oligopolu metodami fizyki statystycznej Praca magisterska Opiekun: dr hab. Katarzyna Sznajd-Weron Wrocław 2009

2 Streszczenie W tej pracy wprowadzam dwa mikroskopowe modele opisujące dynamikę rynku oligopolistycznego oraz stosuję je do zbadania sytuacji, gdy na równo podzielony pomiędzy dwie firmy rynek wchodzi trzeci przedsiębiorca. Na decyzje klientów tych firm oddziałują dwie siły: wpływ społeczny (lokalny zasięg oddziaływania) oraz reklama (globalny zasięg oddziaływania). Sprawdzam zachowanie modeli przy użyciu symulacji Monte Carlo oraz przybliżenia pola średniego. Otrzymane wyniki porównuję do wyników otrzymanych z modelu Sznajdów przez Weron i Włoszczowską. 2

3 Modeling oligopoly markets by the methods of statistical physics. Abstract In this paper I introduce two microscopic models of opinion dynamics in oligopoly markets and apply them to a situation, where a new company is entering the market which is divided by two company s. Two forces influence customer s choice: social interactions (local) and advertising (global). I study behavior of the models using the Monte Carlo simulations and Mean Field Approximation. I compare my results to results from Sznajd model recived by Weron and Włoszczowska. 3

4 0. Spis treści Spis treści 1. Wstęp Opis rynku Historia telefonii komórkowej w Polsce Stan obecny Modele Model Isinga Model Voter Model majority Model Sznajdów Modele z trójstanowymi spinami oraz zewnętrznym polem Model Sznajdów z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym Model Votera z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym Model majority z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym Wyniki Symulacja Monte Carlo Wyniki symulacji MC dla modelu Votera Wyniki symulacj MC dla modelu majority Przybliżenie pola średniego MFA Wyniki MFA dla modelu Votera Wyniki MFA dla modelu majority Porównanie do wyników uzyskanych z modelu Sznajdów Podsumowanie Literatura

5 1. Wstęp 1. Wstęp W ostatnich latach metody i modele fizyki statystycznej zostały z powodzeniem zastosowane do badania zjawisk, którymi dotychczas zajmowały się inne nauki (np. ekonomia, socjologia). Za przykład niech posłuży zastosowanie modeli isingowskich do badania wyborów politycznych. Modele isingowskie oraz metoda pola średniego zostały też wykorzystane do badania szerszej klasy zjawisk ekonomiczno-społecznych [1]. Jednym z poruszanych przez fizyków tematów jest marketing, a w szczególności wpływ reklamy na decyzje konsumenckie. W pracy [2] zostały przedstawione badania na temat rynku oligopolistycznego w sytuacji, gdy mamy tylko dwie firmy. W pracach [3, 4] został zaproponowany model do opisu i badania rynku oligopolistycznego z trzema graczami na przykładzie rynku telefonii komórkowej w Polsce. Model ten jest zmodyfikowanym modelem Sznajdów [5]. Przedmiotem pracy będzie analiza rynku oligopolistycznego z trzema firmami, analogicznie jak w [3, 4], lecz ze zmienionym typem oddziaływań. Celem tej pracy jest sprawdzenie jak na wyniki wpływa zastosowanie innego typu oddziaływań (przy niezmienionych cechach rynku). W [3, 4] zastosowano oddziaływanie takie jak w modelu Sznajdów ( na zewnątrz ang. outflow dynamics). W tej pracy badam dwa modele pierwszy z oddziaływaniami takimi jak w modelu wyborcy (ang. Voter model), a drugi z oddziaływaniami typu reguły większościowej (ang. majority model). Praca ta składa się z sześciu rozdziałów. Pierwszym jest niniejszy wstęp. W drugim rozdziale opisuję historię rynku telefonii komórkowej w Polsce, przedstawiam obecną strukturę tego rynku oraz opisuję wpływ reklamy na kształtowanie się rynku. W trzecim rozdziale przedstawiam użyte w niniejszej pracy modele oraz opisuję model Sznajdów, gdyż do wyników otrzymanych w ramach modelu Sznajdów będę porównywał rezultaty swojej pracy. Czwarty rozdział jest poświęcony zaprezentowaniu własnych modeli, opartych na zaproponowanym w [3, 4]. Będą to, opisane w rozdziale 3, modele Votera i majority, ale ze zmodyfikowanymi regułami oddziaływań. W piątym rozdziale przedstawiam i analizuję otrzymane, zarówno na drodze symulacji Monte Carlo, jak i z użyciem teorii pola średniego, wyniki. Rozdział szósty jest podsumowaniem niniejszej pracy. 5

6 2. Opis rynku 2. Opis rynku Oligopol jest słowem pochodzenia greckiego (gr. oligos kilka) i oznacza formę struktury rynkowej, w której występuje tylko kilka firm konkurujących ze sobą w danej branży. Cechami charakterystycznymi rynku oligopolistycznego są występujące silne bariery wejścia na taki rynek oraz to, że ceny produktów (usług) oferowanych przez kilku producentów (usługodawców) są bardzo podobne. Konkurencja na rynku oligopolistycznym występuje na kilku polach. Są to jakość produktów bądź usług, wprowadzanie nowości na rynek, różnicowanie produktów, reklama. Ważną cechą rynku oligopolistycznego jest to, że konkurencja cenowa jest tu znikoma. Przyczyną takiego stanu rzeczy jest fakt, że przedsiębiorstwa są ze sobą bardzo silnie powiązane. Gdy jedna z firm obniży ceny swojego produktu to konkurenci natychmiast zareagują dostosowując się do nowego poziomu cen. W efekcie zysk pierwszej firmy będzie niewielki. Gdyby natomiast, któryś z konkurentów zdecydował się zwiększyć zysk przez podniesienie cen, to uzyskany efekt będzie odwrotny do zamierzonego. Zysk się zmniejszy, gdyż konsumenci odejdą do konkurencji, która nawet nie musi zmieniać swoich cen. Skoro konkurencja na polu cen jest niewielka lub też nie ma jej wcale, to firmy na rynku oligopolistycznym muszą szukać możliwości zdobycia klienta przy użyciu innych metod (wymienionych powyżej). Jednym z głównych pól konkurencji, które pozostaje do dyspozycji firm, jest reklama. Zadaniem reklamy jest wstępne przedstawienie oferty przędsiębiorstwa. Ma ona podkreślić różnice między produktami konkurujących firm uwypuklając zalety jednego produktu i wady produktu konkurencji. Różnice podkreślane przez reklamę często są tylko pozorne. Reklama powinna też ułatwić podjęcie decyzji konsumentowi. Oczywistym jest, że reklama jest środkiem budowania marki. Nie podlega wątpliwości również to, że reklama jest konieczna zarówno przy wprowadzaniu nowego produktu na rynek, jak również, w sytuacji gdy na rynek próbuje wejść nowa firma. Wiele osób uważa, że wszelkie decyzje dotyczące zakupów podejmuje w pełni świadomie. Gdyby zapytać przypadkowe osoby o wpływ reklam na ich decyzje dotyczące zakupów, większość odpowiedziałaby, że reklama nie ma na te decyzje żadnego wpływu. Uważa się jednak, że reklama ma znaczący wpływ na nasze decyzje [6, 7]. Nie można przecież powiedzieć, że żyjąc we współczesnym świecie, nie jesteśmy poddani wpływowi reklamy. Z reklamą spotykamy się na każdym kroku. Idąc ulicą widzimy billboardy, oglądane przez nas programy telewizyjne i słuchane audycje radiowe przerywane są blokami reklamowymi, na witrynach internetowych co raz pojawiają się nam banery reklamowe. Specjaliści od marketingu każdego dnia stosują coraz wymyślniejsze sposoby na dotarcie do naszej podświadomości. I dlatego właśnie nie możemy powiedzieć, że wszystkie zakupy są podejmowane w 100 % z racjonalnych powodów bez żadnego wpływu reklamy. Dlatego też firmy poświęcają wiele środków finansowych na kampanie reklamowe. Bardzo dobrym przykładem oligopolu (rynku oligopolistycznego) jest rynek telefonii komórkowej w Polsce. 6

7 2.1 Historia telefonii komórkowej w Polsce 2.1. Historia telefonii komórkowej w Polsce Historia telefonii komórkowej w Polsce sięga roku 1992, kiedy to Polska Telefonia Komórkowa (PTK) uruchomiła pierwszą analogową sieć komórkową pod nazwą Centertel. Sieć ta pracowała w standardzie NMT450i. Pierwsze aparaty telefoniczne były bardzo duże, a koszty ich zakupu wysokie. Dopiero w 1996 roku na polski rynek weszło dwóch kolejnych operatorów. Była to Polska Telefonia Cyfrowa (PTC) oraz Polkomtel. PTC uruchomiła sieć pod nazwą Era, a Polkomtel pod nazwą Plus. Obie sieci szybko zyskiwały nowych abonentów między innymi dlatego, że były to sieci tzw. drugiej generacji. Oznacza to, że pracowały w cyfrowym standardzie GSM 900 MHz, który zapewniał lepszą jakość połączeń. Z tego też względu PTK zaczęła tracić swoich dotychczasowych klientów. Aby ich odzyskać w 1998 roku PTK uruchomiło sieć cyfrową pod marką Idea Centertel pracującą w standardzie GSM 1800 MHz. Sieć analogowa nie została całkowicie zlikwidowana jednak jej działanie zostało ograniczone. Obecnie wykorzystywana jest ona głównie przez rybaków oraz przez Telekomunikację Polską na terenach gdzie nie jest opłacalne kładzenie kabli. Również w 1998 roku wszyscy trzej operatorzy wprowadzili do swojej oferty tzw. telefony na kartę. Polkomtel wprowadził markę Simplus, PTC markę Tak Tak, a PTK markę POP. Oferta pre-paidowa nie wymagała podpisywania umowy co ułatwiło dostęp do telefonów komórkowych szerokiemu gronu odbiorców. Kolejnym krokiem w rozwoju sieci komórkowych w Polsce było przyznanie operatorom dodatkowych częstotliwości. Polkomtel i PTC otrzymali dostęp do częstotliwości 1800 MHz, a Polska Telefonia Komórkowa do częstotliwości 900 MHz. W 2004 roku na rynek weszła telefonia komórkowa trzeciej generacji (UMTS ang. Universal Mobile Telecommunications System) jednak jej wprowadzenie, wbrew przewidywaniom, nie spowodowało drastycznej zmiany ilości klientów. W 2005 roku Idea zmieniła nazwę na Orange. W ostatnich latach na rynek zostały wprowadzone kolejne marki działających już operatorów (Heyah, Sami Swoi), a także powstali pierwsi wirtualni operatorzy. Wartym wspomnienia jest również to, że w 2007 roku na rynek wszedł czwarty operator firma P4 który wprowadził markę Play. Liczba abonentów sieci komórkowych bardzo szybko rosła. Wzrost ten został przedstawiony na rysunku 1 (rysunek przygotowany na podstawie danych GUS [8]). Wykorzystane dane zawierają sumaryczną liczbę klientow wszystkich operatorów. Dane te uwzględniają zarówno klientów abonamentowych, jak i tych, którzy korzystają z usług przedpłaconych (czyli na kartę ) Stan obecny Obecnie na polskim rynku swoje usługi oferuje czterech operatorów. Są to: - Polska Telefonia Komórkowa Centertel sp. z o.o. (marka Orange), - Polska Telefonia Cyfrowa sp. z o.o. (marki: Era, Tak Tak, Heyah), - Polkomtel S.A. (marki: Plus, Simplus, Sami Swoi), - P4 sp. z o.o. (marka: Play). Oprócz wyżej wymienionych na rynku działają operatorzy wirtualni (ang. MVNO Mobile Virtual Network Operator). Jest ich aż jedenastu. Jednak ich udział w rynku jest znikomy 7

8 2.2 Stan obecny Rys. 1. Liczba abonentów sieci komórkowych w latach (poniżej 1 %). Można powiedzieć, że rynek jest podzielony pomiędzy cztery wymienione wyżej firmy. Ich udziały w rynku są przedstawione na rysunku 2 (na podstawie [9]). Jak widać, udział marki Play w rynku jest nadal niewielki, choć dość szybko rośnie. Uważam jednak, iż udział ten jest na tyle niski, że zasadnym będzie rozpatrywanie rynku, na którym mamy tylko trzy firmy. Takie podejście umożliwi mi również porównanie otrzymanych wyników do wyników z [3, 4]. Sądzę również, że rozpatrzenie rynku oligopolistycznego, na którym mielibyśmy cztery firmy mogłoby dać ciekawe rezultaty i być może będzie przedmiotem przyszłej pracy. Przez wiele lat operatorzy utrzymywali wysokie ceny. Dopiero w ostatnich latach wysokie nasycenie (a wręcz przesycenie) rynku zmusiło firmy do zaoferowania tańszych połączeń tak aby z ich oferty mogły skorzystać osoby o niższych dochodach. Ta oferta była jednak skierowana tylko do nowych klientów. Wzrost popularności ofert na kartę oraz ustalenie przez Urząd Komunikacji Elektronicznej maksymalnej opłaty jaką operator może pobrać za przeniesienie numeru do innej sieci spowodowało, że firmy obniżyły ceny również dla wcześniej pozyskanych klientów. Łatwość zmiany operatora wymusiła to, że firmy muszą dbać o dobre imię swojej marki, gdyż klient niezadowolony odejdzie do konkurencji. Pomimo ciągłych zmian cen obecna oferta operatorów jest dość podobna, dlatego też, firmy walczą o klienta reklamami. Operatorzy zdecydowali się, oprócz tradycyjnych kampanii reklamowych w mediach i na billboardach, prezentować swoją markę wspierając sportowców i drużyny (lub związki) sportowe. Polkomtel wspiera polskie reprezentacje siatkówki, PTC Polski Komitet Olimpijski, PTK natomiast ekstraklasę piłkarską. Natężenie reklam z jakim spotyka się potencjalny klient jest więc ogromne. 8

9 2.2 Stan obecny Rys. 2. Udziały w rynku poszczególnych firm na koniec 2008 roku. Ze względu na nasycenie rynku oraz na koszty niezbędnej do prowadzenia działalności infrastruktury sprzętowej, rynek telefonii komórkowej posiada bardzo silne bariery wejścia. Jak widać, rynek ten spełnia wszystkie cechy rynku oligopolistycznego. 9

10 3. Modele 3. Modele W pracy tej do symulacji wykorzystane zostały dwa modele sieciowe model Votera i model majority. Obydwa modele oparte są na modelu Isinga. W dalszym ciągu rozważał będę modele na dwuwymiarowej sieci kwadratowej o L 2 węzłach. W każdym węźle znajduje się jeden spin w pracy jeden spin symbolizuje jedną osobę (klienta wybranego operatora). Czy jednak za pomocą symulacji komputerowej na regularnej sieci można odwzorować zachowania i preferencje zakupowe ludzi? Na pierwszy rzut oka wydawałoby się, że nie można. Przecież człowiek jest istotą bardzo złożoną i decyzje podejmowane przez niego zależą od wielu czynników. Przypatrując się chociażby powodom dokonywania takich, a nie innych zakupów, możemy znaleźć conajmniej kilka czynników, od których zależy wybór konkretnego produktu. Są to: sugestie znajomych i rodziny, zaufanie do marki, jakość produktu, wspomniana wcześniej reklama i wiele innych. Czy w takim razie jest jakikolwiek sens komputerowego modelowania ludzkich wyborów przy pomocy prostej sieci? Może zamiast sieci regularnej (bo taką jest sieć kwadratowa) powinna zostać użyta bardziej złożona sieć? Może model powinnien zawierać skomplikowane i uwzględniające wiele czynników reguły ewolucji? Okazuje się, że ludzkie wybory można przyrównać do rzutów monetą lub kostką. Jeden rzut jest nieprzewidywalny, ale jeśli wykonamy tych rzutów kilkaset, czy kilka tysięcy, to wówczas możemy z dużym prawdopodobieństwem przewidzieć wynik. A do badania ludzkich wyborów najlepsze okazują się symulacje komputerowe, gdyż przy ich użyciu można z łatwościa wielokrotnie powtarzać badanie zachowując losowość próbki. Okazuje się również, że prosta sieć regularna (kwadratowa, trójkątna, heksagonalna) w zupełności wystarcza do podstawowych symulacji wyniki otrzymane z symulacji na takich sieciech są całkiem dobre. Oczywiście użycie sieci o bardziej skomplikowanej topologii jak sieci Małego Świata, czy też sieci Barabasiego-Alberta dałoby lepsze wyniki, ale jednocześnie znacznie utrudniłoby (lub wręcz uniemożliwiłoby) rozpoznanie na ile poprawa jakości wyników jest zasługą oddziaływań w użytym modelu, a na ile jest to zasługa innej topologii sieci. Zmiana typu oddziaływań w użytym modelu z prostych na o wiele bardziej skomplikowane i uwzględniające więcej rzeczywistych parametrów również mogłaby poprawić jakość otrzymanych wyników. Jednak często ta poprawa byłaby niewspółmierna do kosztów jakie ponosimy wprowadzając zmiany oddziaływań. Te koszty to m.in. znacznie wydłużony czas obliczeń oraz znacznie większe skomplikowanie modelu utrudniające jego analizę. W kolejnych podrozdziałach opisuję użyte modele. Przedstawiam również model Isinga, jako model, z którego wywodzą się używane przeze mnie modele, oraz model Sznajdów, do którego będę porównywał uzyskane wyniki Model Isinga Model Isinga został zaproponowany przez Wilhelma Lenza jako model do badania ciągłego przejścia fazowego para-ferromagnetyk. Modelem tym zainteresował się i w swojej pracy doktorskiej z 1924 roku [10] opisał niemiecki fizyk Ernst Ising. Model ten jest najpopularniejszym modelem mikroskopowym fizyki statystycznej. W podstawowej wersji, opisanej przez Isinga, rozpatrywany jest łańcuch momentów magnetycznych, z których 10

11 3.2 Model Voter każdy może przyjmować tylko dwie wartości (w górę lub w dół). Oddziaływanie jest tylko do najbliższego sąsiada. Teoretycznie łańcuch spinów jest nieskończenie długi, a w praktyce na tyle długi, abyśmy mogli zaniedbać wpływ warunków brzegowych, które z reguły przyjmuje się periodyczne. Oznacza to, że utożsamiamy ze sobą pierwszy i ostatni spin, tworząc w ten sposób nieskończony łańcuch. Ernst Ising pokazał, że w takim przypadku (jednowymiarowym) nie występuje przejście fazowe. Blisko dwadzieścia lat póżniej w 1944 roku Lars Onsager, fizyk duński, podał analityczne rozwiązanie dwuwymiarowego modelu Isinga. W dwuwymiarowym przypadku występuje przejście fazowe. Z tego wynika, że lokalne, mikroskopowe oddziaływania prowadzą do zmian w skali makroskopowej. Model Isinga obecnie jest stosowany nie tylko do badania ferromagnetyzmu. Zastosowania dla tego modelu (lub modeli zbudowanych na bazie modelu Isinga) zostały znalezione również w wielu innych niż fizyka dziedzinach nauki. Jest on z powodzeniem stosowany przez biologów, genetyków, ekonomów czy socjologów. Dzięki temu, że spiny w tym modelu mogą przyjmować tylko dwie wartości, dostajemy wiele możliwości ich interpretacji. Mogą to być zajęte/wolne miejsca w teorii perkolacji, zdrowe/chore osobniki, kroki dół/góra w badaniach DNA, zwolennicy/przeciwnicy partii politycznej, czy też zwolennicy/przeciwnicy jakiegoś produktu. range 3.2. Model Voter Model wyborcy (Voter model) był po raz pierwszy rozważany w 1973 roku przez P. Clifforda i A. Sudburego w [11]. Nazwa pochodzi od tego, że narzucającą się interpretacją jest dynamika opinii, choć model ten ma także wiele innych zastosowań. Jest to model typu isingowskiego. Rozważamy łańcuch N spinów, z których każdy może przyjmować dwie wartości: s i = ±1. Początkowo wszystkie spiny mają przypisaną opinię nie ma węzłów o nieustalonej opinii. W każdym kroku wybierany jest spin i oraz losowo jeden z dwóch jego sąsiadów j (j = i 1 lub j = i + 1), a następnie opinia spinu j jest przypisywana spinowi i, czyli s i = s j. Model ten został uogólniony do przypadku dwuwymiarowego. Możliwe wartości są takie same jak w przypadku jednowymiarowym. Na sieci kwadratowej w kroku ewolucji sąsiad węzła 1 (i, j) jest wybierany losowo spośród czterech sąsiadów: (i 1, j) węzeł powyżej, (i + 1, j) węzeł poniżej, (i, j 1) węzeł z lewej strony oraz (i, j + 1) węzeł z prawej strony. Przyjmuje się periodyczne warunki brzegowe. Dynamika Votera, uruchomiona w stanie początkowym całkowicie nieuporządkowanym, będzie w kolejnych krokach dążyła do zwiększenia uporządkowania w układzie. Przykładowa ewolucja dla dwuwymiarowego modelu Votera jest przedstawiona na rysunku 3. Górny rysunek przedstawia ewolucję od stanu uporządkowanego, w którym spiny ustawione w jednym kierunku tworzą kroplę. Dolny rysunek przedstawia natomiast sytuację, gdy startujemy ze stanu całkowicie nieuporządkowanego. Na jednowymiarowej sieci (łańcuch spinów) dynamika Votera zachowuję się tak samo jak zero temperaturowa dynamika Glaubera [12]. Model Votera doczekał się wielu modyfikacji, których opis można znaleźć w [1]. Dynamika Votera była rozważana również na sieciach złożonych (nieregularnych). 1 Numeracja węzłów rozpoczyna się od lewego górnego rogu siatki tam znajduje się węzeł (1, 1). 11

12 3.3 Model majority Rys. 3. Ewolucja w dwuwymiarowym modelu Votera dla dwóch stanów początkowych (rysunek pochodzi z [1]) Ważną charakterystyką modeli takich jak model Votera jest exit probability. Dla modelu Votera jest ono przedstawione na rysunku 4 linia przerywana Model majority Podobnie jak w przypadku poprzedniego modelu rozważamy N węzłów, z których każdy może być w dwóch stanach: s i = 1 lub s i = 1 (nie ma węzłów o nieustalonej opinii). Ewolucja układu przebiega w następujących krokach: 2 1. Wybierz grupę G składającą się z nieparzystej liczby węzłów. 2. Wylicz opinię s G = i G s i. - Jeśli s G 1, to s G = 1. - Jeśli s G 1, to s G = 1. - Jeśli s G = 0, to pomiń Przypisz opinię grupy s G wszystkim spinom z G, czyli s i G s i = s G. 4. Wróć do 1. Takie reguły dla tego modelu zostały zaproponowane przez Galama w 2002 roku w [14] do opisu dyskusji publicznych. Grupa dyskusyjna G w powyższym algorytmie jest wybierana nieparzysta, gdyż przy takim wyborze zawsze będzie możliwa do uzyskania większościowa opinia grupy. Są również modyfikacje, w których liczność grupy może być parzysta. Ich autorzy proponują różne sposoby rozwiązywania sytuacji takich, że dokładnie połowa grupy popiera jedną opcję, a druga połowa drugą opcję. Jednym ze sposobów jest preferowanie jednej z opinii. Takie rozwiązanie zostało po raz pierwszy zastosowane przez Galama w prostym modelu do opisu hierarchicznego głosowania [15, 16]. Model majority z ustalonym rozmiarem r grupy G ma rozwiązanie analityczne w granicy pola średniego. Rozwiązanie to podali Krapivsky i Redner w 2003 roku [13]. Istnieje wiele modyfikacji tego modelu. Przykładowe modyfikacje to takie, w których 2 Patrz również rysunek 5. 12

13 3.3 Model majority Rys. 4. Exit probability dla modelu Votera linia przerywana, oraz dla modelu majority linia kropkowana (rysunek pochodzi z [13]) Rys. 5. Reguła przejścia w modelu majority dla trzy spinowej grupy dyskusyjnej (rysunek pochodzi z [1]) 13

14 3.4 Model Sznajdów Rys. 6. Reguły przejścia w modelu Sznajdów w dwóch wymiarach zaproponowane przez Stauffera górny rysunek, oraz Galama dolny rysunek (rysunek pochodzi z [18]) spin może przyjmować więcej niż dwie wartości, lub też taka, że spiny mogą poruszać się po sieci. Inne przykłady modyfikacji to sytuacje, gdy spiny mogą kontaktować się ze zmienną liczbą innych spinów, czy też gdy część spinów nigdy nie zmienia swojej opinii. Różne modyfikacje modelu majority przedstawione są w [1] oraz pracach tam cytowanych. Exit probability dla modelu majority jest przedstawione na rysunku 4 linia ciągła Model Sznajdów Model Sznajdów został zaproponowany w 2000 roku przez wrocławskich fizyków: Katarzynę Sznajd-Weron i Józefa Sznajda w pracy [5]. Podobnie jak w innych modelach isingowskich (np. opisanych wyżej) tak i w modelu Sznajdów spiny mogą przyjmować dwie wartości, najczęściej s i = ±1. Model ten został przez autorów nazwany USDF od maksymy zgoda buduje, niezgoda rujnuje (ang. United we Stand, Divided we Fall). Nazwa ta pochodzi od tego, że w podstawowej wersji rozpatrujemy dwa spiny, które wpływają na swoich sąsiadów. Jeśli rozpatrywane spiny są zgodne, to ich sąsiedzi są ustawiani zgodnie z nimi (zgoda buduje), w przeciwnym przypadku sąsiedzi ustawiani są niezgodnie (niezgoda rujnuje). Cechą charakterystyczną modelu Sznajdów jest to, że oddziaływanie w modelu jest skierowane na zewnątrz. Model ten został zmodyfikowany przez Dietricha Stauffera, który w pracy [17] zaproponował jego dwuwymiarową wersję. W tej wersji rozpatrywane są klastry złożone z czterech położonych w swoim sąsiedztwie spinów. Stauffer jest również autorem obecnie używanej nazwy tego modelu. Inne uogólnienie do dwóch wymiarów modelu Sznajdów zaproponował Galam. Uogólnienie to zostało również opisane przez Stauffera w [17]. Polega ono na tym, że klaster złożony z czterech spinów jest rozpatrywany jako 14

15 3.4 Model Sznajdów Rys. 7. Exit probability dla modelu Sznajdów. Symbolami, oraz oznaczono wyniki symulacji, a linią ciągłą wynik analityczny (rysunek pochodzi z [19]) cztery jednowymiarowe przypadki (patrz rysunek 6). Model ten został wykorzystany jako podstawa do budowy modelu rynku oligopolistycznego w pracach [3, 4]. Exit probability dla modelu Sznajdów jest przedstawiony na rysunku 7 przy czym symbolami, oraz oznaczono wyniki symulacji, natomiast linią ciągłą narysowano wynik analityczny. 15

16 4. Modele z trójstanowymi spinami oraz zewnętrznym polem 4. Modele z trójstanowymi spinami oraz zewnętrznym polem Zastosowanie modelu Sznajdów z zewnętrznym polem do modelowania rynku oligopolistycznego zostało zaproponowane w [2]. W tej pracy rolę zewnętrznego pola spełnia reklama, a przyjęcie przez spin jednej z dwóch wartości jest traktowane jak wybór przez osobę (która jest reprezentowana w modelu przez spin) jednego z dwóch produktów/usług. Autorzy otrzymali wyniki, które pokazują, że w takim układzie istnieją krytyczne wartości koncentracji początkowej klientów jednej z firm i natężenia reklamy tej firmy pozwalające opanować jej rynek Model Sznajdów z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym Kolejnym krokiem w badaniach rynku oligopolistycznego było zmodyfikowanie dwuwymiarowego modelu Sznajdów do wersji z trójstanowymi spinami. Idealnym do badań okazał się być w tej sytuacji rynek telefonii komórkowej w Polsce, którym ja również się zajmuję. W trójstanowym modelu Sznajdów każdy spin może przyjąć jedną z trzech wartości: i s i (1, 2, 3). Początkowo wszystkim spinom na siatce nadawane są wartości losowe zgodnie z zadanymi koncentracjami początkowymi: c 1 0, c 2 0, c 3 0 (c i 0 oznacza koncentracje początkową firmy i-tej). Rolę pola zewnętrznego, podobnie jak w wersji z dwuwartościowymi spinami, spełnia reklama. Każdej z firm jest również przypisany parametr h i, gdzie i (1, 2, 3), oznaczający natężenie reklamy i-tej firmy. Kolejnym parametrem modelu jest p, czyli prawdopodobieństwo, że osoba zostanie przekonana przez grupę (prawdopodobieństwo konformizmu). Jak widać w tak sformułowanym modelu mamy siedem parametrów. Aby zmniejszyć liczbę parametrów wprowadzone zostały warunki na koncentacje początkową oraz natężenie reklamy. Koncentracje początkowe muszą spełniać warunek (1) c c c 3 0 = 1, który oznacza, że każdy spin na siatce ma ustaloną wartośc początkową. Jednocześnie koncentracje drugiej i trzeciej firmy są początkowo sobie równe, czyli (2) c 2 0 = c 3 0. Drugie założenie wynika z rzeczywistej sytuacji rynkowej. Jak pokazuje Włoszczowska w [4] udział poszczególnych operatorów w rynku jest mniej więcej równy. Natężenie reklamy, podobnie jak koncentracja początkowa, musi spełniać warunek normalizacji do jedynki, czyli (3) 3 h i = 1. i=1 Drugim warunkiem dotyczącym natężenia reklamy jest to, że wartość reklamy dwóch firm (drugiej i trzeciej) jest równa, czyli (4) h 2 = h 3. 16

17 4.2 Model Votera z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym Założenie (4) wynika z tego, że wszyscy operatorzy mają podobne nakłady na reklamę. 3 Przyjęcie warunków (1) (4) pozwala zmniejszyć liczbę parametrów do trzech, gdyż dzięki warunkom (1) oraz (2) można napisać, że (5) c 1 0 = 1 2c 2 0, czyli (6) c 1 0 = 1 2c p, gdzie c p oznacza wartość koncentracji początkowej drugiej i trzeciej firmy. Podobnie z warunków (3) oraz (4) wynika analogiczne równanie dla natężenia reklamy: (7) h 1 = 1 2h 0, gdzie h 0 oznacza natężenie reklamy drugiego i trzeciego operatora. Widać z tego, że pozostałe parametry to: 1. koncentracja początkowa c p, 2. natężenie reklamy h 0, 3. prawdopodobieństwo konformizmu p. Ewolucja w takim modelu jest w dużej mierze zależna od prawdopodobieństwa p, gdyż decyzję o sposobie zmiany spinów podejmujemy w zależności od tego prawdopodobieństwa. - Z prawdopodobieństwem p spin zmienia swój stan pod wpływem grupy swoich sąsiadów. - Z prawdopodobieństwem 1 p na spin działa reklama. Przebieg symulacji jest następujący: 1. Wybierz spin s i i utwórz grupę G. 2. Z prawdopodobieństwem p zrób: - Jeśli w G panuje jedność, to zmień sąsiadów na zgodnych z członkami grupy G. - Jeśli w G nie ma jedności, to nic nie rób. 3. Z prawdopodobieństwem 1 p zrób: - Z prawdopodobieństwem h 1 zmień spiny z G na korzyść firmy pierwszej. - Z prawdopodobieństwem h 2 zmień spiny z G na korzyść firmy drugiej. - Z prawdopodobieństwem h 3 zmień spiny z G na korzyść firmy trzeciej. 4. Wróc do kroku 1. Ważne w tym modelu jest to, że tylko całkowicie zgodna grupa G ma zdolność do przekonania innych Model Votera z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym Celem tej pracy jest zbadanie jak dwa inne modele sprawdzą się w modelowaniu zachowań rynkowych. Pierwszym z nich jest model Votera, który po modyfikacjach dokonanych na potrzeby tej pracy wygląda następująco: 3 Źródło: raporty tygodniowe firmy AGB Nielsen Media Research dostępne na wirynie firmy. 17

18 4.3 Model majority z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym - Każdy spin może przyjąć jedną z trzech wartości: i s i (1, 2, 3). - Wszystkie spiny mają przypisaną wartość. - Początkowo wszystkie spiny mają przypisane wartości losowe zgodnie z zadanymi koncentracjami początkowymi c i 0. - Koncentracje początkowe spełniają te same warunki co w modelu Sznajdów, czyli warunki (1) oraz (2). - Spiny rozłożone są na sieci kwadratowej o rozmiarze L L. - Zastosowano cykliczne warunki brzegowe. Dodatkowo do modelu zostało wprowadzone pole zewnętrzne, którego rolę pełni oczywiście reklama. Może ona działać na każdy ze spinów nie ma osób odpornych na działanie reklamy. Każdy z operatorów ma przypisane natężenie reklamy h i, które spełnia warunki (3) i (4). Ewolucja w tak zmodyfikowanym modelu jest, podobnie jak w modelu Sznajdów z 4.1, zależna w znacznym stopniu od prawdopodobieństwa konformizmu p, a sam model ma trzy parametry (c p, h 0 oraz p). Sąsiadami węzła o współrzędnych (i, j) są te same spiny co w orginalnym dwuwymiarowym modelu Votera, czyli tak jak to opisano w 3.2. Kolejne kroki modelu przedstawiają się następująco: 1. Wylosuj spin s i. 2. Wybierz losowo jednego z czterech jego sąsiadów s j i w zależności od p zrób: - Z prawdopodobieństwem p: s i = s j. - Z prawdopodobieństwem 1 p wykonaj: Z prawdopodobieństwem h 1 : s i = 1. Z prawdopodobieństwem h 2 : s i = 2. Z prawdopodobieństwem h 3 : s i = Wróć do 1. Jak widać z powyższych reguł ewolucji, może wystąpić sytuacja, kiedy wybrany spin s i nie zmieni się w danym kroku. Taka sytuacja występuje, gdy jego sąsiad s j korzysta z usług tego samego operatora, lub gdy zostanie przekonany przez reklamę operatora, z którego usług korzystał dotychczas. Oczywiście jest to prawidłowe i odpowiadające rzeczywistemu zachowanie, gdyż nie zawsze po zakończeniu umowy zmieniamy operatora. Czasem decydujemy się nadal korzystać z usług dotychczasowego Model majority z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym Model majority jest podobny do modelu Sznajdów. W nim również wokół wybranego spinu tworzymy grupę dyskusyjną i od opinii grupy zależy zmiana spinów. Są jednak dwie zasadnicze różnice między tymi dwoma modelami. Pierwsza różnica jest taka, że w modelu Sznajdów grupa G przekonywała swoich sąsiadów, a w modelu majority grupa ta przekonuje sama siebie. Druga różnica polega na tym, że w modelu Sznajdów grupa miała zdolność przekonania innych, tylko wówczas, gdy była jednomyślna. W modelu majority grupa nie musi być jednomyślna aby móc przekonywać wystarczy, że w grupie G jest większość popierająca jedną z opcji. Oznacza to przyjęcie zasady, że większość ma rację. Na potrzeby tej pracy do orginalnego modelu zostało wprowadzonych kilka zmian. Po tych modyfikacjach model przedstawia się następująco: 18

19 4.3 Model majority z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym Tabela 1. Opinia s G grupy G w modelu majority w zależności od liczby spinów o poszczególnych wartościach dla grupy o liczności 4. Liczba spinów Opinia grupy s G s i = 1 s i = 2 s i = Każdy spin może przyjąć jedną z trzech wartości: i s i (1, 2, 3). - Wszystkie spiny mają przypisaną wartość. - Początkowo wszystkie spiny mają przypisane wartości losowe zgodnie z zadanymi koncentracjami początkowymi c i 0. - Koncentracje początkowe spełniają te same warunki co w modelu Sznajdów, czyli warunki (1) oraz (2). - Spiny rozłożone są na sieci kwadratowej o rozmiarze L L. - Występują cykliczne warunki brzegowe. - Liczność grupy G wynosi cztery. - Sąsiadami spinu o współrzędnych (i, j) w grupie G są spiny, których jedna lub obie współrzędne są większe o jeden. W modelu występuje również reklama, która spełnia role zewnętrznego pola. Spełnia ona, podobnie jak w dwóch poprzednich modelach, warunki (3) i (4). W tym modelu również nie ma spinów odpornych na działanie reklamy. Również tutaj mamy te same trzy parametry: c p, h 0 oraz p. Jednak ze względu na to, że bierzemy pod uwagę grupę, a nie pojedyncze spiny to kolejne kroki ewolucji wyglądają trochę inaczej niż w modelu Votera. Przedstawiają się one następująco: 1. Wybierz losowo spin s i,j. 2. Utwórz grupę G, w której skład wchodzą spiny: s i,j, s i,j+1, s i+1,j oraz s i+1,j Z prawdopodobieństwem p wykonaj: - Wylicz opinię s G grupy G. 19

20 4.3 Model majority z trójstanowymi spinami i polem zewnętrznym - Dla każdego s i G wykonaj Znajdź odpowiadający składowi grupy wiersz k w tabeli 1. Jeśli w k-tym wierszu s G = 0, to przejdź to kroku 5. Jeśli w k-tym wierszu s G 0, to s i G s i = s G. 4. Z prawdopodobieństwem 1 p wykonaj: - Z prawdopodobieństwem h 1 : s i G s i = 1. - Z prawdopodobieństwem h 2 : s i G s i = 2. - Z prawdopodobieństwem h 3 : s i G s i = Wróć do 1. Podobnie jak w modelu Votera, tak i w modelu majority możliwa jest sytuacja, gdy w danym kroku żaden ze spinów nie zmieni operatora. Jest tak, gdy wszystkie spiny są jednomyślne, a przejście następuje zgodnie z konformizmem. Taka sytuacja występuje również wtedy, gdy jednomyślna grupa jest poddana działaniu reklamy firmy, z której usług obecnie korzystają. Trzecim przypadkiem, w którym nie nastąpi zmiana wartości żadnego ze spinów to sytuacja, w której jednocześnie spełnione są następujące warunki: 1. W grupie dwie osoby korzystają z usług operatora i, a pozostałe dwie z usług operatora j, gdzie i, j (1, 2, 3) oraz i j. 2. Na grupę działa konformizm społeczny. Gdy opisana w dwóch powyższych punktach sytuacja zachodzi to grupa nie może się dogadać i żaden z jej członków nie zmienia operatora. Warto zauważyć, że działanie reklamy jest we wszystkich trzech modelach równoległe z działaniem konformizmu społecznego. 20

21 5. Wyniki 5. Wyniki Aby zbadać zachowanie modelu Votera i modelu majority w przypadku zastosowania ich do polskiego rynku telefonii komórkowej opisanego w podrozdziale 2.2 przeprowadzono symulacje Monte Carlo oraz obliczenia analityczne przy użyciu przybliżenia pola średniego. Ich wyniki przedstawione są w dwóch kolejnych podrozdziałach Symulacja Monte Carlo Metodę Monte Carlo stworzył polski matematyk Stanisław Ulam. Metoda ta jest stosowana do analizy złożonych problemów, takich, które nie dają się (lub też jest to bardzo trudne) rozwiązywać analitycznie. Idea metody Monte Carlo polega na obliczeniu parametrów układu za pomocą liczb losowych wygenerowanych ze znanego rozkładu. Wszystkie przedstawione poniżej wyniki zostały uzyskane dla sieci Początkowe koncentracje klientów Polkomtela i Polskiej Telefonii Cyfrowej wynosiły c p, a początkowa koncentracja klientów Polskiej Telefonii Komórkowej wyniosła, zgodnie z (6), 1 2c p. We wszystkich symulacjach, przez cały czas ich trwania, natężenie reklamy dla wszystkich trzech operatorów było stałe i wynosiło: h 0 dla Polkomtela oraz PTC oraz, zgodnie z (7), 1 2h 0 dla PTK. Wszystkie symulacje przeprowadzone zostały 10 2 razy, a otrzymane wyniki uśrednione. Na wszystkich poniższych wykresach c_0 (tzn. c_0 = 1 2c p ) oznacza koncentrację początkową firmy wchodzącej na rynek, h (tzn. h = 1 2h 0 ) natężenie reklamy firmy wchodzącej na rynek, a c_k koncentrację końcową firmy wchodzącej na rynek Wyniki symulacji MC dla modelu Votera Zależność koncentracji końcowej od natężenia reklamy c k (h) dla modelu Votera jest całkowicie liniowa dla prawie wszystkich prawdopodobieństw konformizmu (rysunki od 8 do 13). Nawet dla wysokich wartości prawdopodobieństwa konformizmu p (rysunki od 9 do 13) zależność pozostaje liniowa, co odróżnia wyniki uzyskane za pomocą modelu Votera od wyników z modelu majority i modelu Sznajdów. Wynik taki nie jest dziwny jeśli zwrócimy uwagę na to, że prawdopodobieństwo wyjścia (ang. exit probability) w modelu Votera jest również liniowe. 4 Dla prawdopodobieństw p 0, 995 nie występuje zależność od koncentracji początkowej. Bez względu na wybór początkowej koncentracji osiągane udziały w rynku są identyczne, zależne tylko od poziomu reklamy. Dla p = 1, czyli sytuacji, gdy nie działa reklama, następuje całkowite odwrócenie zależności od parametrów. Funkcja koncentracji końcowej z zależności od natężenia reklamy przechodzi w zależność od koncentracji początkowej: c k (h) c k (c 0 ) (rysunek 14). Jest to oczywiście prawidłowe zachowanie, gdyż przy tej wartości p nie działa reklama i koncentracja końcowa musi zależeć od koncentracji początkowej. 4 Patrz rysunek 4 21

22 5.1 Symulacja Monte Carlo Rys. 8. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera. Symbolami + oznaczono p = 0, 1; p = 0, 3; p = 0, 5; p = 0, 7; p = 0, 9. Rys. 9. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera dla p = 0,

23 5.1 Symulacja Monte Carlo Rys. 10. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera dla p = 0, 97. Rys. 11. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera dla p = 0,

24 5.1 Symulacja Monte Carlo Rys. 12. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera dla p = 0, 99. Rys. 13. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera dla p = 0,

25 5.2 Przybliżenie pola średniego MFA Rys. 14. Wyniki symulacji MC dla modelu Votera dla p = Wyniki symulacj MC dla modelu majority W modelu majority zależność koncentracji końcowej dla niskich p (dla p 0, 5) jest liniową funkcji natężenia reklamy h. Jak widać na rysunku 15, począwszy od około p = 0, 5 możemy zaobserwować zmianę tej tendencji. Odchylenie od zachowania liniowego rośnie wraz ze wzrostem prawdopodobieństwa konformizmu. Dla p = 0, 96 i wyższych (rysunki 17, 18) można zaobserwować krytyczną wartość koncentracji początkowej c 0 poniżej której, firma nie ma szans na utrzymanie się na rynku, bez względu na początkowe udziały. (8) c k = 0 dla c 0 < c 0 c k > 0 dla c 0 > c 0 Dla wysokich p możemy również zauważyć, że koncentracja końcowa jest funkcją nie tylko natężenia reklamy i prawdopodobieństwa, ale zależy również od koncentracji początkowej: c k (p, h, c 0 ) rysunki 17, 18. Oczywiście również dla modelu majority przy p = 1 funkcja koncentracji końcowej przestaje zależeć od pola zewnętrznego: c k (p, c 0 ). Jest to całkowicie zgodne z oczekiwaniami zachowanie, gdyż dla p = 1 jedyny wpływ na stan spinów mają inne spiny brak jest pola zewnętrznego Przybliżenie pola średniego MFA Przybliżenie pola średniego (ang. Mean Field Approximation) jest to przybliżenie, w którym oddziaływanie spinu z sąsiadami traktuje się jako oddziaływanie tego spinu 25

26 5.2 Przybliżenie pola średniego MFA Rys. 15. Wyniki symulacji MC dla modelu majority. Symbolami + oznaczono p = 0, 1; p = 0, 3; p = 0, 5; p = 0, 7; p = 0, 9. Rys. 16. Wyniki symulacji MC dla modelu majority dla p = 0,

27 5.2 Przybliżenie pola średniego MFA Rys. 17. Wyniki symulacji MC dla modelu majority dla p = 0, 96. Rys. 18. Wyniki symulacji MC dla modelu majority dla p = 0,

28 5.2 Przybliżenie pola średniego MFA Rys. 19. Wyniki symulacji MC dla modelu majority dla p = 1. z pewnym uśrednionym polem generowanym przez sąsiadów. Wprowadźmy kilka oznaczeń przydatnych przy analizie obu modeli. Niech N 1 (t), N 2 (t) oraz N 3 (t) oznaczają odpowiednio klientów operatora pierwszego, drugiego oraz trzeciego w chwili t. Przez c 1 (t) = N 1(t), c L 2 2 (t) = N 2(t) i c L 2 3 (t) = N 3(t) oznaczę koncentracje (procentowy udział w rynku) odpowiednio pierwszego, drugiego i trzeciego operatora. W żadnym L 2 kroku ewolucji spin nie może zostać bez przydziału do operatora, czyli zakładamy, że jeśli ktoś posiada już telefon komórkowy to nie rezygnuje z jego użytkowania. Jednocześnie pamiętając, że początkowo we wszystkich modelach koncentracje sumowały się do jedności (warunek (1)) otrzymuję warunek normalizacji koncentracji: (9) t 3 c i (t) = 1 i=1 Równanie bilansu w postaci ogólnej przedstawia się następująco: (10) N i (t + 1) N i (t) = L 2 ( ), Gdzie i oznaczają odpowiednio zmiany na korzyść i niekorzyść i-tego operatora. Zakładamy, że układ jest jednorodny (tzn. przestrzenne fluktuacje koncentracji są bliskie zeru), co odpowiada przybliżeniu średniego pola. Metodę średniego pola wykorzystam do wyliczenia prawdopodobieństw zajścia zdarzeń na korzyść i niekorzyść operatora. Prawdopodobieństwa te są iloczynami średniej koncentracji klientów poszczególnych operatorów, siły reklamy tych operatorów oraz prawdopodobieństwa konformizmu. Szczegółowe wyliczenia przedstawione są poniżej. 28

29 5.2 Przybliżenie pola średniego MFA Wyniki MFA dla modelu Votera Zmiany na korzyść i niekorzyść w modelu Votera rozpatrzymy na przykładzie operatora pierwszego. 5 Są cztery przejścia na korzyść i cztery na niekorzyść tej firmy. Możliwe zmiany na jej korzyść wraz z prawdopodobieństwami zajścia takich zdarzeń przedstawiają się następująco: - Klient PTC został przekonany przez klienta Polkomtela prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi pc 1 (t)c 2 (t). - Klient PTK został przekonany przez klienta Polkomtela prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi pc 1 (t)c 3 (t). - Klient PTC został przekonany przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi (1 p)h 1 c 2 (t). - Klient PTK został przekonany przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi (1 p)h 1 c 3 (t). Podobnie zmiany na niekorzyść Polkomtela wraz z prawdopodobieństwami zajścia można zapisać następująco: - Klient Polkomtela został przekonany przez klienta PTC prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi pc 2 (t)c 1 (t). - Klient Polkomtela został przekonany przez klienta PTK prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi pc 3 (t)c 1 (t). - Klient Polkomtela został przekonany przez reklamę PTC prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi (1 p)h 2 c 1 (t). - Klient Polkomtela został przekonany przez reklamę PTK prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi (1 p)h 3 c 1 (t). Zmiany dla pozostałych firm można zapisać analogicznie. Wobec tego, po uwzględnieniu powyższych ośmiu zmian, równanie bilansu (10) dla modelu Votera można zapisać jako: (11) N 1 (t + 1) N 1 (t) = L 2 [pc 1 (t)c 2 (t) + pc 1 (t)c 3 (t) + (1 p)h 1 c 2 (t)+ +(1 p)h 1 c 3 (t) pc 2 (t)c 1 (t) pc 3 (t)c 1 (t) (1 p)h 2 c 1 (t) (1 p)h 3 c 1 (t)]. Dla skrócenia zapisu wprowadzę dodatkowe oznaczenia. Niech c i oznacza c i (t) oraz niech c i oznacza c i (t+1). Po podzieleniu równania (11) obustronnie przez L 2 i dokonaniu prostych przekształceń otrzymuję (12) c 1 c 1 = (1 p)h 1 c 2 + (1 p)h 1 c 3 (1 p)h 2 c 1 (1 p)h 3 c 1, a następnie wyciągając wspólne czynniki przed nawias i stosując warunki normalizacji (3) i (9) równanie bilansu mogę zapisać w postaci: (13) c 1 c 1 = (1 p)h 1 (1 c 1 ) (1 p)c 1 (1 h 1 ), z którego łatwo można otrzymać końcowe równanie bilansu dla pierwszego operatora: (14) c 1 c 1 = (1 p) (h 1 c 1 ). 5 Dla uproszczenia zapisu przyjmę, że operator pierwszy to Polkomtel, drugi to PTC, a trzeci PTK. 29

30 5.2 Przybliżenie pola średniego MFA Analogicznymi równaniami możemy przedstawić zmiany dla pozostałych dwóch operatorów. Wobec tego kompletne równania ewolucji dla modelu Votera przedstawiają się następująco: (15) c 1 c 1 = (1 p) (h 1 c 1 ), c 2 c 2 = (1 p) (h 2 c 2 ), c 3 c 3 = (1 p) (h 3 c 3 ). Obliczając punkty stałe c i c i = 0 otrzymuję: (16) (1 p) (h i c i ) = 0 Dla p 1 zerować musi się drugi nawias, czyli: (17) c i = h i Jak widać z powyższego równania zależność końcowej koncentracji od reklamy w modelu Votera jest całkowicie liniowa. Taki rezultat jest całkowicie zgodny z wynikami otrzymanymi za pomocą symulacji Monte Carlo, które opisano w Wyniki MFA dla modelu majority Możliwych zmian w modelu majority jest aż czterdzieści jeden (dziewiętnaście na korzyść firmy i dwadzieścia dwa na jej niekorzyść). Tak duża liczba możliwych zachowań wynika z tego, że rozpatrujemy tutaj grupę spinów, która (w przeciwieństwie do modelu Sznajdów) nie musi być jednomyślna aby nastąpiła zmiana. Podobnie jak w modelu Votera rozpiszę tylko zmiany na korzyść i niekorzyść pierwszej firmy, gdyż zmiany dla pozostałych firm są analogiczne. Możliwe zmiany na korzyść Polkomtela wraz z prawdopodobieństwami zajścia tych zdarzeń przedstawione są poniżej: - Klient PTC został przekonany przez trzech klientów Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4pc 3 1(t)c 2 (t). - Klient PTK został przekonany przez trzech klientów Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4pc 3 1(t)c 3 (t). - Jeden klient PTC i jeden klient PTK zostali przekonani przez dwóch klientów Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 24pc 2 1(t)c 2 (t)c 3 (t). - Czterech klientów PTC zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4(1 p)c 4 2(t)h 1. - Czterech klientów PTK zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4(1 p)c 4 3(t)h 1. - Trzech klientów PTC zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 p)c 1 (t)c 3 2(t)h 1. - Trzech klientów PTC i jeden klient PTK zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 16(1 p)c 3 2(t)c 3 (t)h 1. - Trzech klientów PTK zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 p)c 1 (t)c 3 3(t)h 1. 30

31 5.2 Przybliżenie pola średniego MFA - Trzech klientów PTK i jeden klient PTC zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 16(1 p)c 2 (t)c 3 3(t)h 1. - Dwóch klientów PTC i jeden klient PTK zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1 p)c 1 (t)c 2 2(t)c 3 (t)h 1. - Dwóch klientów PTC i dwóch klienów PTK zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 48(1 p)c 2 2(t)c 2 3(t)h 1. - Dwóch klientów PTC zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 p)c 2 1(t)c 2 2(t)h 1. - Dwóch klientów PTK i jeden klient PTC zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1 p)c 1 (t)c 2 (t)c 2 3(t)h 1. - Dwóch klientów PTK zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 p)c 2 1(t)c 2 3(t)h 1. - Jeden klient PTC został przekonany przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4(1 p)c 3 1(t)c 2 (t)h 1. - Jeden klient PTC i jeden klient PTK zostali przekonani przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 48(1 p)c 2 1(t)c 2 (t)c 3 (t)h 1. - Jeden klient PTC i dwóch klientów PTK zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1 p)c 1 (t)c 2 (t)c 2 3(t)h 1. - Jeden klient PTK został przekonany przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4(1 p)c 3 1(t)c 3 (t)h 1. - Jeden klient PTK i dwóch klientów PTC zostało przekonanych przez reklamę Polkomtela prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1 p)c 1 (t)c 2 2(t)c 3 (t)h 1. W sposób analogiczny można zapisać zmiany na niekorzyść Polkomtela wraz z ich prawdopodobieństwami zajścia: - Klient Polkomtela został przekonany przez trzech klientów PTC prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4pc 1 (t)c 3 2(t). - Klient Polkomtela został przekonany przez trzech klientów PTK prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4pc 1 (t)c 3 3(t). - Klient Polkomtela oraz klient PTK zostali przekonani przez dwóch klientów PTC prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12pc 1 (t)c 2 2(t)c 3 (t). - Klient Polkomtela oraz klient PTC zostali przekonani przez dwóch klientów PTK prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12pc 1 (t)c 2 (t)c 2 3(t). - Czterech klientów Polkomtela zostało przekonanych przez reklamę PTC prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4(1 p)c 4 1(t)h 2. - Czterech klientów Polkomtela zostało przekonanych przez reklamę PTK prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4(1 p)c 4 1(t)h 3. - Trzech klientów Polkomtela zostało przekonanych przez reklamę PTC prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 p)c 3 1(t)c 2 (t)h 2. - Trzech klientów Polkomtela i jeden klient PTK zostało przekonanych przez reklamę PTC prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 16(1 p)c 3 1(t)c 3 (t)h 2. - Trzech klientów Polkomtela zostało przekonanych przez reklamę PTK prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 p)c 3 1(t)c 3 (t)h 3. 31

32 5.3 Porównanie do wyników uzyskanych z modelu Sznajdów - Trzech klientów Polkomtela i jeden klient PTC zostało przekonanych przez reklamę PTK prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 16(1 p)c 3 1(t)c 2 (t)h 3. - Dwóch klientów Polkomtela i jeden klient PTK zostało przekonanych przez reklamę PTC prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1 p)c 2 1(t)c 2 (t)c 3 (t)h 2. - Dwóch klientów Polkomtela i dwóch klientów PTK zostało przekonanych przez reklamę PTC prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 24(1 p)c 2 1(t)c 2 3(t)h 2. - Dwóch klientów Polkomtela zostało przekonanych przez reklamę PTC prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 p)c 2 1(t)c 2 2(t)h 2. - Dwóch klientów Polkomtela i jeden klient PTC zostało przekonanych przez reklamę PTK prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1 p)c 2 1(t)c 2 (t)c 3 (t)h 3. - Dwóch klientów Polkomtela i dwóch klientów PTC zostało przekonanych przez reklamę PTK prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 24(1 p)c 2 1(t)c 2 2(t)h 3. - Dwóch klientów Polkomtela zostało przekonanych przez reklamę PTK prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 12(1 p)c 2 1(t)c 2 3(t)h 3. - Klient Polkomtela został przekonany przez reklamę PTC prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4(1 p)c 1 (t)c 3 2(t)h 2. - Klient Polkomtela i klient PTK zostali przekonani przez reklamę PTC prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 24(1 p)c 1 (t)c 2 2(t)c 3 (t)h 2. - Klient Polkomtela i dwóch klientów PTK zostało przekonanych przez reklamę PTC prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1 p)c 1 (t)c 2 (t)c 2 3(t)h 2. - Klient Polkomtela został przekonany przez reklamę PTK prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 4(1 p)c 1 (t)c 3 3(t)h 3. - Klient Polkomtela i klient PTC zostali przekonani przez reklamę PTK prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 24(1 p)c 1 (t)c 2 (t)c 2 3(t)h 3. - Klient Polkomtela i dwóch klientów PTC zostało przekonanych przez reklamę PTK prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia wynosi 36(1 p)c 1 (t)c 2 2(t)c 3 (t)h 3. Po prawej stronie równania bilansu (10) dla modelu majority jest aż czterdzieści jeden składników (tyle, co możliwych zachowań układu) i próba ich analizy nie prowadzi do prostych uproszczeń zachowanie modelu jest bardzo złożone Porównanie do wyników uzyskanych z modelu Sznajdów Wyniki uzyskane z obydwu modeli (Voter model i majority model) pokazują, że podobnie jak rezultaty uzyskane z modelu Sznajdów w [3] dla niskich p zależność koncentracji końcowej od parametrów modelu jest tylko funkcją prawdopodobieństwa konformizmu p i reklamy, czyli c k = f(h, p). Przesunięciu uległa tylko wartość tego granicznego prawdopodobieństwa. Dla modelu Sznajdów było to około p = 0, 7, a dla badanych przeze mnie modeli wartość ta osiągneła p = 0, 9. W modelu majority, podobnie jak w modelu Sznajdów, zależność od pola zewnętrznego jest nieliniowa dla wyższych wartości prawdopodobieństwa konformizmu p. Wyniki uzyskane z modelu Votera różnią się znacznie do wyników z modelu Sznajdów. Dla modelu wyborcy dopiero przy bliskiej jedynce wartości prawdopodobieństwa konformizmu ujawnia się zależność koncentracji końcowej od koncentracji początkowej. W modelu majority, podobnie jak w modelu Sznajdów, koncentracja 32