Modelowanie i obliczenia techniczne. dr inż. Paweł Pełczyński

Transkrypt

1 Modelowanie i obliczenia techniczne dr inż. Paweł Pełczyński ppelczynski@swspiz.pl

2 Literatura Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski: Metody numeryczne, WNT Warszawa, J. Awrejcewicz: Matematyczne modelowanie systemów, WNT Warszawa, W. Tarnowski, S. Bartkiewicz: Modelowanie matematyczne i symulacja komputerowa dynamicznych procesów ciągłych, Feniks, Koszalin, Prezentacje wykładowe dostępne na stronie: 2

3 Program przedmiotu Modelowanie procesów, klasyfikacja procesów Metody modelowania Zastosowanie metod numerycznych w modelowaniu Omówienie wybranych metod numerycznych Optymalizacja Wybrane zagadnienia modelowania procesów Zastosowania praktyczne modelowania 3

4 Ogólna definicja pojęcia Modelowanie Modelowanie - Próba przedstawienia jakiegoś zjawiska, które staramy się zrozumieć lub zbadać, w kategoriach innych zjawisk, które już rozumiemy. Aby dokładniej zrozumieć to zagadnienie zostanie wprowadzone pojęcie systemu i procesu. 4

5 Definicja pojęcia system Wikipedia: System (gr. σύστηµα systema rzecz złożona) jakikolwiek obiekt fizyczny lub abstrakcyjny, w którym można wyróżnić jakieś wzajemnie powiązane dla obserwatora elementy. W tym sensie podział czegoś na systemy jest względny i zależy od tego kto, przy pomocy czego i do czego poklasyfikował jakiś zbiór na systemy. Dlatego też elementy jednego systemu mogą stanowić składniki innych systemów. 5

6 Definicja pojęcia system w technice SYSTEM Zbiór obiektów fizycznych lub abstrakcyjnych, które oddziałują na siebie. System aktywnego zawieszenia System hamulcowy Samochód jako całość Układ samochód - droga Źródło: 6

7 Matematyczna definicja pojęcia system SYSTEM Zbiór elementów i zachodzących między nimi relacji. Zbiór relacji jest określany mianem struktury systemu: S system, X zbiór obiektów, R relacje S = { X, R } 7

8 Budowa systemu System składa się z podsystemów. Niektóre systemy uważa się za niepodzielne i określa się jako podstawowe. System jest budowany z elementów podstawowych. 8

9 System jako część składowa innego systemu Każdy system ma swoje nadsystemy. System posiada wejście i wyjście, stanowiące granice systemu. Nadsystem rozważanego systemu jest jego otoczeniem Inaczej mówiąc: otoczenie pochodzi z systemu, w którym rozważany system jest podsystemem. 9

10 System z jego otoczeniem Otoczenie Wejście System Wyjście 10

11 Proces Wikipedia: Proces uporządkowany w czasie ciąg zmian i stanów zachodzących po sobie. Nośnikiem każdego procesu jest zawsze w efekcie jakiś system fizyczny. Każdy kolejny stan/zmiana systemu spowodowana jest przez stan/zmianę poprzednią albo przez oddziaływanie zewnętrzne na system. 11

12 Proces w funkcji czasu Proces realizowany jest w określonym czasie, czyli ma początek i koniec. Wyróżnia się procesy ciągłe i dyskretne. 12

13 Klasyfikacja procesów Procesy ciągłe to takie, w których w dowolnym, skończonym odcinku czasu możemy wyróżnić nieskończoną liczbę zmian a różnice między nimi są dowolnie małe. Takie procesy opisują wiele podstawowych zjawisk fizycznych. Procesy dyskretne to takie, w których możemy wyróżnić skończoną liczbę zdarzeń/stanów. 13

14 Model Słowo model ma różnorodne znaczenie Źródło: Źródło: W technice model to uproszczona imitacja lub reprezentacja systemu rzeczywistego. 14

15 Model Wikipedia: Model system założeń, pojęć i zależności między nimi, pozwalający opisać (zamodelować) w przybliżony sposób jakiś aspekt rzeczywistości. Na ogół wyrażany w języku matematyki (tzw. model matematyczny). 15

16 Model systemu Modelem systemu jest materialna lub abstrakcyjna struktura, pozostająca w relacji podobieństwa do struktury modelowanego systemu. Badanie modelu może dostarczyć informacji spełniających cele badania, projektowania doskonalenia tego systemu. 16

17 Modelowanie Modelowanie ma szeroki zakres znaczeniowy, np. w grafice 3D proces tworzenia i modyfikacji obiektów trójwymiarowych za pomocą specjalizowanego programu komputerowego, zwanego modelerem. W psychologii modelowanie jest uczeniem się poprzez obserwowanie zachowań innych ludzi. Znaczenie słowa modelowanie zależy od dziedziny, w której jest używane. 17

18 Modelowanie procesu Modelowanie służy do poznania danego procesu, poprzez zastąpienie go uproszczonym układem modelem. Model odzwierciedla jedynie wybrane cechy badanego procesu. Źródło: 18

19 Badanie modelu Badanie modelu przeprowadza się dwustopniowo: model porównuje się z rzeczywistym zjawiskiem i uważa się, że jest on dobry jeżeli otrzymane różnice są niewielkie sprawdza się czy model spełnia stawiane oczekiwania 19

20 Wybór i budowa modelu procesu Proces modelowania sprowadza się do wyznaczenia zależności matematycznej między wielkościami wyjściowymi i wejściowymi: y = f(x,z,u) y - wielkości wyjściowe badanego systemu x, z, u - wielkości wejściowe 20

21 Modelowanie matematyczne Modelowanie matematyczne jest stosowane do badania procesów mających opis matematyczny. s v v = ds dt 21

22 Etapy modelowania matematycznego Proces modelowania matematycznego składa się z trzech etapów: opracowanie formalnego opisu badanego procesu (wyznaczenie modelu matematycznego) ustalenie algorytmu wyznaczenia wartości liczbowych szukanych parametrów sprawdzenie zgodności modelu z procesem 22

23 Sposoby tworzenia modelu matematycznego Proces modelowania matematycznego może być przeprowadzony na dwa sposoby: Na drodze teoretycznej - zakłada się znajomość ogólnych praw rządzących procesem lub systemem Na drodze eksperymentalnej opiera się na obserwacjach (pomiarach) i jest określany mianem identyfikacji modelu 23

24 Cechy modelowania matematycznego Przy wyznaczaniu modelu matematycznego rzeczywiste zjawisko jest upraszczane i przedstawiane w postaci schematycznej. Opis matematyczny modelu przedstawia się w postaci układu równań algebraicznych lub różniczkowych. 24

25 Model matematyczny Model matematyczny jest zbiorem reguł i zależności, na podstawie których można przewidzieć (w drodze obliczeń) przebieg modelowanego procesu. Model matematyczny badanego układu materialnego to taki układ równań, którego rozwiązania są podobne do przebiegów wielkości modelowanej. 25

26 Klasyfikacja modeli matematycznych Model o parametrach rozłożonych - model opisujący procesy, w których zmienne zmieniają się zarówno w czasie i w przestrzeni lub tylko w przestrzeni, ale wielowymiarowej. Model o parametrach skupionych - model w którym podstawowe zmienne procesu są tylko funkcją czasu (nie zmieniają się w przestrzeni). 26

27 Klasyfikacja modeli matematycznych Model statyczny opisuje proces w stanie ustalonym (nie uwzględnia zmian wielkości w czasie). Model dynamiczny opisuje proces w stanie nieustalonym. 27