Rachunek róŝniczkowy i całkowy Leibniza

Transkrypt

1 Edward Brniarski Rachunek róŝniczkow i całkow Leibniza Gottfried Wilheim Leibniz ( ) urodził się w Lipsku i spędził większą część swego Ŝcia na dworze w Hanowerze w słuŝbie ksiąŝąt. Bł najbardziej uniwersalnm mślicielem stulecia, jego filozofia obejmowała historię, teologię, lingwistkę, biologię, geologię, matematkę i prace nad wnalazkami. Pierwsz po Pascalu wnalazł masznę do liczenia, projektował takŝe maszn parowe, studiował chińską filozofię i działał politcznie na rzecz zjednoczenia Niemiec. Poszukiwał uniwersalnej metod zdobwania wiedz i robienia wnalazków prz pomoc której zgłębi istotę wszechświata. Chciał stworzć uniwersaln jęzk, któr dzięki rachunkom na smbolach weliminuje błęd mślenia, gdŝ błęd będą się wted ujawniać jako błęd rachunkowe - bł więc prekursorem logiki formalnej. Jego rachunek róŝniczkow naleŝ rozwaŝać w kontekście jego podstaw filozoficznch, jako wnik poszukiwań uniwersalnego jęzka dla badania zmian, a w szczególności ruchu. Leibniz wnalazł swój rachunek w latach pod osobistm wpłwem Hugensa i w oparciu o prace Kartezjusza i Pascala. Pierwsza jego rozprawa naukowa na temat rachunku róŝniczkowego i całkowego, która ukazała się w 1684, zawierała juŝ oznaczenia róŝniczek dx i d oraz reguł róŝniczkowania aŝ do d(uv) = udv + vdu włącznie oraz warunki d = 0 dla wartości ekstremalnej i d 2 = 0 dla punktu przegięcia. Następna praca z 1686 r. zawierała prawa rachunku całkowego oraz stosowała obecnie uŝwan smbol całki. Całka bła zdefiniowana jako operacja odwrotna do róŝniczkowania, dzięki czemu wprowadzenie praw całkowania stawało się banalne. W wmienionej prac, wzor całkowe po raz pierwsz został wkorzstane do sformułowania równania ckloid. Do roku 1700 współpracując z Leibnizem bracia Bernoulli, Jakub i Jan oraz Markiz de L'Hospital - uczeń Jana Bernoulliego, stworzli większą część obecnego elementarnego rachunku róŝniczkowego i całkowego, łącznie z rozwiązwaniem niektórch problemów rachunku wariacjnego. Odtworzenie metod róŝniczek 1. Jęzk Zmienne: x,,z,u,v,r,s,w,...x1,x2,...,1,2,... Stałe liczbowe: a,b,c,d,... a1, a2,... RóŜniczki zmiennch: dx, d, dz,... dx1, dx2,... RóŜnice skończone wartości zmiennch: x,, z,, x1, x2, Całki zmiennch dal dowolnch zmiennch,x: dx

2 WraŜenia artmetczne: 1. zmienne, smbole stałch, dane liczbowe, róŝniczki i róŝnice oraz całki zmiennch są wraŝeniami artmetcznmi, 2. wielomian wielu zmiennch o współcznnikach całkowitch, 3. jeśli A, B, są wraŝeniami artmetcznmi, to A+B, A-B, AB, B A, A:B, A B, A+B +... są wraŝeniami artmetcznmi, 4. wraŝenia powstałe z wraŝeń zawierającch zmienne przez podstawienie za zmienne dowolnch wraŝeń artmetcznch. WraŜenia stosunków: jeśli A i B sa wrŝeniami artmetcznmi, to to stosunki opisują nastepujace wraŝenia: A=B, A<B, A>B, A B, A B, A B, A B, A B. 5. Aksjomat Aksjomat 1. Działania na wraŝeniach artmetcznch podlegają tm samm prawom, co działania na liczbach. Do obu stron równości moŝem dodawać dowolną liczbę lub od obu stron równości ją odejmować. Obie stron równości moŝem pomnoŝć przez dowolna liczbę lub podzielić przez liczbę róŝną od zera. Aksjomat 2. KaŜda wartość wraŝenia artmetcznego równa jest wartości jaką przjmuje jakaś zmienna, za którą to wraŝenie moŝem podstawić, wted zachodzi stosunek równości tego wraŝenia i zmiennej za którą moŝna podstawić to wraŝenie. Równe co do wartości wraŝenia moŝem podstawić za tę samą zmienną. WraŜenie moŝem postawić za dowolna zmienną, o ile za tą zmienną nie zostało wcześniej podstawione, róŝne co do wartości od danego wraŝenia, wraŝenie lub ta zmienna nie wstępuje w stosunku równości, z róŝnm co do wartości od danego wraŝenia, wraŝeniem. Aksjomat 3. Stosunek równości wraŝeń artmetcznch się nie zmieni jeśli kaŝda zmienną zamienim na sumę tej zmiennej i jej róŝniczki. Powstałą w ten sposób równość moŝem dowolnie przekształcać zgodnie z Aksjomatem 1, w kaŝdej otrzmanej równości moŝem wkreślić wszstkie jednomian zawierające iloczn róŝniczek. Aksjomat 4. 1) x 0, 2) x dx,

3 3) dx 0. 4) RóŜniczka zmiennej v równej pewnemu wraŝeniu f(x,,z, ) zawierającemu inne zmienne jest równa wraŝeniu, które jest równe dowolnemu wraŝeniu powstałemu z wraŝenia f(x+ x, +, z+ z,..) f(x,,z, ) przez wkonanie dowolnch przekształceń zgodnch z Aks.1, a następnie zastąpienie wszstkich róŝnic zmiennch ich róŝniczkami. Twierdzenie 1 JeŜeli x=a, to dx=0. ZałóŜm, Ŝe x=a. Z Aks.3 mam x+dx = a. Z załoŝenia i Aks.1, x-a=a-a=0 oraz x-a+dx= a-a. Stąd 0+dx = 0, tj. dx=0. C.n.d. Twierdzenie 2 JeŜeli z = x +, to dz = dx + d. Niech z = x +. Z Aks.3 mam, Ŝe z + dz = (x+dx) + (+d). Stąd i Aks.1, poniewaŝ z załoŝenia i z Aks.1 wnika, Ŝe z-(x+)=0, otrzmujem dz = dx + d. C.n.d. Twierdzenie 3 JeŜeli = ax, to d = adx. Niech = ax. Z Aks.3 i Aks.1 otrzmujem +d = a(x + dx) = ax + adx. Stąd i Aks.1, poniewaŝ ax = 0, mam d = adx. C.n.d. Twierdzenie 4 JeŜeli z =x, to dz = xd + dx. ZałóŜm, Ŝe z = x. Z Aks.3 i Aks.1 otrzmujem z + dz = (x + dx)( + d) = x + xd + dx + dxd, a stąd i Aks.1, wobec z x = 0, mam dz = xd + dx + dxd. Na podstawie Aks.3 moŝem usunąć w otrzmanej równości człon dxd. Tak więc, dz = xd + dx. C.n.d. Twierdzenie 5 JeŜeli zachodzi proporcja x: = u:v, to xdv +dvx = du + du.

4 Proporcja x: = u:v jest równowaŝna równości xv = u. Stą d i z Aks.3 mam (x + dx)(v + dv) = ( + d)(u + du). Korzstając z Aks.1 przekształcam równość otrzmując, wobec xv u = 0, xdv + vdx + dxdv = du + ud + ddu. Wkreślając człon dxdv, ddu mam xdv + vdx = du + ud. C.n.d. Twierdzenie 6 x x' x' JeŜeli z =, to z = 2. x x ZałóŜm, Ŝe z =. Zachodzi proporcja :1 = x:( ). Stąd i z Aks.3 :1 = x:z. Przjmując u=1 mam :u = x:z, a z Tw.1, du=0. Stąd i z Tw.5 otrzmujem, Ŝe x dz + zd = udx + xdu= dx, a dalej dz + d = dx. Korzstając z Aks.1 xd dx moŝem obliczć, Ŝe d = 2. C.n.d. Niech dx>0. Oznaczm: x = d/dx, u x = du/dx, v x = dv/dx, wted analogicznie jak powŝsze twierdzenia dowodzim: Twierdzenie 7 1) JeŜeli =a, to x =0. 2) JeŜeli = u + v, to x = u x + v x. 3) JeŜeli = au, to u x = au x. 4) JeŜeli =uv, to x = uv x + u x v. 5) JeŜeli zachodzi proporcja z: = u:v, to zv x + z x v = u x + x u. u uvx uxv 6) JeŜeli =, to x = 2. v v Twierdzenie 8 JeŜeli = x, to x = 1. Niech = x. Z Aks.3 mam +d = x + dx. Z powŝszego i Aks.4 oraz Aks.1 wnika d = dx>0. Zatem x = 1. Z twierdzeń 7 i 8 dowodzim

5 Twierdzenie 9 1) JeŜeli = ax, to u x = a. 2) JeŜeli = x n, dla n=1,2,3,..., to x = nx n ) JeŜeli =, to x = 2. x x 4) JeŜeli = x m, gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą,, to x = mx m-1. Twierdzenie 10 JeŜeli = x 1/n, dla n=1,2,3,..., to x = (1/n)x (1-n}/n. Stąd, Ŝe = x 1/n i Aks.1 wnika równość n = x. Korzstając z Aks.3 i Aks.4 mam ( +d ) n = x + dx. Stosując wzór Newtona na dwumian otrzmujem n n + n-1 n d n-k (d) k (d) n = x + dx. 1 k Stąd oraz z Aks.1, Aks.3 usuwając wszstkie człon zawierające iloczn (potęgi) rózniczek, dostajem n n-1 d = dx, 1 a więc n n-1 x = 1. Podstawiając z powrotem za = x 1/n otrzmujem n(x 1/n ) n-1 x =1. Stąd x = (1/n)x (1-n}/n. C.n.d