Grafika Komputerowa. Geometria 3W

Transkrypt

1 Grafika Komputerowa. Geometria 3W Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk Ò Ù Ô º ÙºÔÐ 1 / 60

2 Geometria 3W liniowar 3 Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem ØØÔ»»Ù Ö ºÔ º ÙºÔл Ò Ù 2 / 60

3 liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera liniowar 3 3 / 60

4 Definicja wektora liniowar 3 Wektorem nazywa się skierowany odcinek. Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy B Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera A Kierunek wektora pokazuje strzałka. PunktAjest poczatkiem wektora PunktB jest końcem wektora Oznaczenie:a = AB 4 / 60

5 Równość wektorów liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Dwa wektory sa równe, jeżeli jeden z nich może zostać otrzymany z drugiego poprzez przesunięcie równoległe. Relcja równości wektorów jest relacja równoważności: a = a (symetryczna) a = b b = a (zwrotna) a = b,b = c a = c (przechodnia) 5 / 60

6 Wektory, cd liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Dwa wektory sa zgodnie kolinearne, jeżeli sa równoległe i maja ten sam zwrot. Dwa wektory sa niezgodnie kolinearne, jeżeli sa równoległe i maja przeciwne zwroty. Długość odcinkaab, przedstawiajacego wektora, nazywa się jego długości a AB = a = a wektor nazywa się zerowym, jeśli jego poczatek i koniec się pokrywaja: AA = 0 6 / 60

7 Dodawanie wektorów liniowar 3 Wektory Suma wektorówaibnazywa się wektora+b, otrymany z tych wektorów badź równych im wektorów jak na poniższym rysunku Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera b a a+b 7 / 60

8 Dodawanie wektorów przemienne i łaczne liniowar 3 a+b = b+a Wektory Iloczyn skalarny a Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera b b+a a+b a b (a+b)+c = a+(b+c) c a+b a b b+c 8 / 60

9 Odejmowanie wektorów liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Wektora b jest wektorem, suma którego zb a b Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera b a 9 / 60

10 Nierówność trójkata liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny a+b a + b a+b+ +c a + b + + c Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera 10 / 60

11 Mnożenie wektora przez liczbę liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Iloczynem wektoraailiczbyλ R jest wektorλa λa = λ a λa iasa zgodnie kolinearne, jeżeliλ > 0 oraz niezgodnie kolinearne, gdyλ < 0 0 a = 0 λ(µa) = (λµ)a (λ+µ)a = λa+µa λ(a+b) = λa+λb 11 / 60

12 Kombinacje liniowe wektorów liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Niech dany będzie układ wektorów{a 1,...,a k } oraz wagi (liczby rzeczywiste)α 1,...,α k Wektor a = α 1 a 1 + +α k a k nazywa się kombinacja liniowa wektorówa 1,...,a k. 12 / 60

13 Iloczyn skalarny wektorów liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Katem między wektorami a ibnawyzamy kat między wektoramia ib, które maja wspólny poczatek Iloczynem skalarnym wektorówaibjest liczbaa b (ab): ab = a b cosϕ (ϕ jest katem międyaib) ab = ba a 2 = aa = a 2 (λa)b = λ(ab) jeżeli e = 1, to(λe)(λe) = λµ ab = 0 a b albo jeden z wektorów jest zerowy 13 / 60

14 Projekcja wektora na prosta liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Rzut (projekcja) wektoraana prosta jest wektorā, którego poczatkiem jest rzut poczatka wektoraana prosta, a końcem rzut końca wektoraana tę prosta. ab = āb, gdzieājest rzutemana prosta, zawierajac (a+b)c = ac+bc ab Jeżelia,b,csa trzema niezerowymi wektorami, nie równoległymi jednocześnie jednej płaszczyźnie, to ar = 0,br = 0,cr = 0 r = 0 14 / 60

15 Iloczyn wektorowy liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Iloczynem wektorowym wektorówaibjest wektora b: 0, jeżeli jeden z wektorów jest zerowy lub wektory sa równoległe Wpozostałych przypadkach a b = b a a bjest prostopadły do płaszczyznya,b długość wektoraa b jest równa polu powierzchni równoległoboku wyznaczonego przez wektorya,b układ wektorówa,b,a bjest zorientowany dodatnio a b = a b sinθ, gdzieθjest k (λa) b = λ(a b) atem międzyaib 15 / 60

16 Projekcja wektora na płaszczyznę liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Rzutem (projekcja) wektoraana płaszczyznę jest wektora, którego poczatek jest rzutem poczatkaana płaszczyznę, a końcem rzut końcaa. Rzutu równych wektorów sa równe Rzut sumy wektorów jest suma rzutów Jeżeli wektora jest rzutemana płaszczyznę, prostopadła dob, to a b = a b (a+b) c = a c+b c 1. c = 0 2. c = 1 Niecha orazb będa rzutami odpowiednioaorazbna płaszczyznę, prostopadła doc. Wtedy mnożenie wektorowe przezcbędzie obrotem o π 2 (a b) 2 = a 2 b 2 ( a b cosθ) 2, gdzieθjest katem między wektorami 16 / 60

17 Współrzędne wektora względem bazy liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Niech dane będa trzy niezerowe, niekomplanarne wektorye 1,e 2,e 3. Wtedy każdy wektorrmoże zostać jednoznacznie przedstawiony jako sumar = r 1 e 1 +r 2 e 2 +r 3 e 3 Niechr = r 1 e 1 +r 2 e 2 +r 3 e 3 będzie inna reprezentacja 1. r jest równoległy do jednego z wektorówe 2. r jest równoległy do płaszczyzny jednej z pary wektorówe 3. r nie jest równoległy do żadnej z par wektorówe Wektorye 1,e 2,e 3 nazywane sa baza przestrzeni wektorów. Liczbyr 1,r 2,r 3 nazywane s a współrzędnymi wektorarwbaziee 1, e 2,e / 60

18 Działania liniowe na wektorach liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Niech dana będzie bazae 1,e 2,e 3. Niech dane będa dwa wektory:rowspółrzędnych(r 1,r 2,r 3 ) orazr o współrzędnych(r 1,r 2,r 3 ). Wtedy wektorr±r będzie miał współrzędne (r 1 ±r 1,r 2 ±r 2,r 3 ±r 3 ). Niech dane będa wektorrowspółrzędnych(r 1,r 2,r 3 ) oraz liczbaλ R. Wtedy wektorλr będzie miał współrzędne(λr 1,λr 2,λr 3 ). 18 / 60

19 Baza kartezjańska liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Niech dana będzie bazai,j,k składajaca się z wektorów jednosktowych, wzajemnie prostopadłych i zorientowanych dodatnio. Baza i, j, k nazywa się baza kartezjańska a = x a i+y a j+z a k = (ai)i+(aj)j+(ak)k Liczbycosα = ai aj ak a,cosβ = a,cosγ = a nazywane sa cosinusy kierunkowe 19 / 60

20 Działania metryczne w bazie kartezjańskiej liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Niech dana będzie kartezjańska bazai,j,k. Wtedy ab = x a x b +y a y b +z a z b a b ma współrzędne y a z a y b z b, x a z a x b z b, x a y a x b y b a b = i j k x a y a z a x b y a z b 20 / 60

21 Zmiana bazy liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Niech dane będa dwie bazy:e = {e 1,e 2,e 3 } orazf = {f 1,f 2,f 3 }. Wtedy a jednoznaczne rozłożenie po Wektory(e 1,e 2,e 3 ) maj e 1 = a 11 f 1 +a 21 f 2 +a 31 f 3, bazie(f 1,f 2,f 3 ): e 2 = a 12 f 1 +a 22 f 2 +a 32 f 3, e 2 = a 13 f 1 +a 23 f 2 +a 33 f 3. ( ) ( ) e 1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 A, gdzieajest macierza kolumn współrzędnych wektorówe w bazief wektorawbazief będzie miał współrzędnea x a y a z a jego współrzędne we. macierzanazywa się macierza zamiany bazy x a y a z a, gdzie ( ) ( ) ( ) Uwaga: ( e 1 ) e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 A f1 f 2 f 3 = 21 / 60

22 Przekształcenia liniowe liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Niech dane będa: układ wektorówe = {e 1,e 2,e 3 } oraz bazaf = {f 1,f 2,f ( ) ( ) 3 }, e 1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 A. przekwształceniem liniowym nawyza się odwzorowanie a = x a y a x a e 1 +y a e 2 +z a e 3 z a współrzędne wektoraapo przekształceniu będa równea A nazywa się macierz a przekształcenia wynik przekształcenia zapisuje sięaa x a y a z a 22 / 60

23 Przekształcenia liniowe. Uwagi liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera macierzaskłada się z kolumn współrzędnych układue w bazief macierzaskłada się z kolumn współrzędnych wektorów bazyf po przekształceniu jeżeli macierzajest odrwacalna, toe też jest baza oraz przekształcenie liniowe zgada się z zamiana bazye F przekształcenieφ : R n R n jest liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy 1. dla dowolnych dwóch wektorówa,b spełniono φ(a+b) = φ(a)+φ(b) 2. dla dowolnego wektoruaoraz dowolnej liczby rzeczywistejλ spełniono φ(λa) = λφ(a) 23 / 60

24 Przekształcenia liniowe. Zamiana bazy* liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Niech dane będa dwie bazy:f = {f 1,f 2,f 3 } orazf = {f 1,f 2,f 3 },( f 1 f 2 f 3) ( ) = f1 f 2 f 3 T Niech przekształcenie liniowe będzie dane w bazief macierz Wtedy w bazief to przkształcenie dane będzie macierzat 1 AT aa Macierze obrotów Eulera 24 / 60

25 Obrót liniowar 3 ¼ ½ Wektory Ó Ò Ò Ó Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza ¼ Przekształcenia liniowe ½ ¼ ¼ ¼ Katy Eulera Macierze obrotów Eulera ÙÖ ÁÁº «Ø Ó ÖÓØ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ Ò Ð º Ì ÓÖ Ò ¼ Ð Ü Ý Ø ÖÓØ Ø ÓÒº R θ = ( ) cosθ sinθ sinθ cosθ 25 / 60

26 Skalowanie liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera S λ1,λ 2 = ( ) λ1 0 0 λ 2 26 / 60

27 Mnożenie przekształceń liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Niech dane będa dwa przekształcenia liniowe:aorazb Iloczynem (superpozycja) przekształceńa B jest przekształcenie liniowe AB(a) = A(Ba) MacierzaA B jest macierzab Dlatego zamiasta B będziemy pisaćab Macierza przekształcenia odwrotnego doajest macierza 1 Twierdzenie 1. Każde przkształcenie liniowe można rozłożyć w iloczyn obrotu oraz skalowania (o różnych współczynnikach) Twierdzenie 2. Każde przkształcenie liniowe sztywne, które nie zmienia orientacji, jest obrotem 27 / 60

28 ÁÁº½ Ì Ú ØÓÖ Ú Ò ÖÓØ Ø ÖÓÙÒ Ùº Ì Ú ØÓÖ Ú½ Ú ³ ÙÖ ÓÒØÓ Ùº Ì Ú ØÓÖ Ú¾ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ú ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ Ùº Ì ÔÖÓ Ø ÓÒ Ú Ú¾ ÖÓØ Ø ¼ Æ ÖÓÙÒ Ùº Ì Ð Ò Ñ ÒØ Ò Ø ÙÖ Ú ØÓÖ Ñ Ø Ø Ö Ø Ò Ð º ÐÐ Obrót 3D liniowar 3 Wektory Ú½ Ê Ù Úµ Iloczyn skalarny Ú Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe ¼ Ù Ú Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Ú¾ 28 / 60

29 Macierz obrotu 3D liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Obrót dookoła osi wychodzacej z poczatku układu współrzędnych w kierunkuu = (u 1,u 2,u 3 ) o katθ stopni. (1 c)u 2 1 +c (1 c)u 1u 2 su 3 (1 c)u 1 u 3 +su 2 (1 c)u 1 u 2 +su 3 (1 c)u 2 2 +c (1 c)u 2u 3 su 1, (1 c)u 1 u 3 su 2 (1 c)u 2 u 3 +su 1 (1 c)u 2 3 +c gdziec = cosθ,s = sinθ. 29 / 60

30 Katy Eulera liniowar 3 Wektory Û Ý Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera Ü È Ø Þ ÊÓÐÐ R = R θy,jr θp,ir θr,k 30 / 60

31 Macierze obrotów Eulera liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy R θp,i R θy,j R θr,k Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera 31 / 60

32 Skalowanie 3D liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe Katy Eulera Macierze obrotów Eulera S λ1,λ 2,λ 3 = λ λ λ 3 32 / 60

33 liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie 33 / 60

34 Odejmowanie punktów liniowar 3 Różnica punktówb iajest wektor AB. Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie A B A = AB A = B B A = 0 (B A)+(C B) = (C A) = AC B 34 / 60

35 Dodanie do punktu wektora liniowar 3 Suma punktuaoraz wektoraajest punktb, który zgadza się z końcem wektoraa, jeżeli poczatek tego wektora umieścić wa. Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót A a B Skalowanie B = A+ AB (A+a 1 )+a 2 = A+(a 1 +a 2 ) Dodanie wektora nazywa się przesunięciem róznoległym 35 / 60

36 Kombinacja afiniczna punktów liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Niech dany będzie układ punktów{a 1,...,A k } oraz wagi (liczby rzeczywiste)α 1,...,α k, takie żeα 1 + +α k = 1 Ustalmy dowolny punkto Kombinacja afiniczna punkitówα 1 A 1 + +α k A k jest punkt O +α 1OA1 + +α k OA k Twierdzenie 3. Kombinacja afiniczna punktów nie zależy od wyboru punktuo 36 / 60

37 Układ współrzędnych liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Wybierzmy dowolny punkto, poczatek układu Przez ten punkt poprowadźmy trzy niekomplanarne proste:ox,oy, Oz, osie współrzędnych Płaszczyzny współrzędnychoxy,oxz,oyz Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednioe 1,e 2, e 3 bazę. Dla każdego punktuawektor OA ma jednoznaczne przedstawienie OX = xe 1 +ye 2 +ze 3 liczbyx,y,z współrzędne punktua układ jest prawym (dodatnim), jeżeli{e 1,e 2,e 3 } jest zorientoany dodatnio układ jest lewym (ujemnym), jeżeli{e 1,e 2,e 3 } jest zorientowany ujemnie kierunki na osiach, zorientowane zgodnie z wektorami bazy, nazywaja się dodatnimi. Kierunki przeciwne ujemnymi 37 / 60

38 Układ współrzędnych kartezjańskich liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Układ współrzędnych nazywa się kartezjańskim, jeżeli osie sa wzajemnie prostopadłe wektorye 1,e 2,e 3 sa jednostkowe (maja jednostkowa długość). Dalej w prezentacji prawie zawsze układ będzie prawym kartezjańskim układem Dla wektorów bazy układu kartezjańskiego czasami stosuje się oznaczeniai,j,k 38 / 60

39 Działania na punktach w układzie współrzędnych liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Odejmowanie punktów: A 2 A 1 = A 1 A 2 = Dodanie wektora: A 1 +a = Kombinacja afiniczna: x 1 +x a y 1 +y a z 1 +z a α 1 A 1 + +α k A k = x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 wzory sa prawidłowe w każdym układzie α 1 x 1 + +α k x k α 1 y 1 + +α k y k α 1 z 1 + +α k z k 39 / 60

40 Podział odcinka w danym stosunku liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Dane sa dwa punktya 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraza 2 (x 2,y 2,z 2 ) Znaleźć punkta(x,y,z), który dzieli odcineka 1 A 2 w stosunkuλ 1 : λ 2 λ 2A1 A λ 1AA2 = 0 OA = λ 2OA 1 +λ 1 OA 2 λ 1 +λ 2 x = λ 2x 1 +λ 1 x 2 λ 1 +λ 2,y = λ 2y 1 +λ 1 y 2 λ 1 +λ 2,z = λ 2z 1 +λ 1 z 2 λ 1 +λ. 2 wzory sa prawidłowe w każdym układzie 40 / 60

41 Odległość między punktami liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Dane sa dwa punktya 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraza 2 (x 2,y 2,z 2 ) A 1 A 2 2 = A 1 A 2 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 wzory sa prawidłowe tylko w układzie kartezjańskim Obrót Skalowanie 41 / 60

42 Zmiana układu współrzędnych liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Niech dane będa dwa ogólne układy współrzędnych:(o,e 1,e 2,e 3 ) oraz(o,f 1,f 2,f 3 ) PunktP ma współrzędne(x,y,z) względem jednego układu oraz (z,y,z ) względem drugiego. a jednoznaczne rozłożenie po Wektory(e 1,e 2,e 3 ) maj e 1 = a 11 f 1 +a 21 f 2 +a 31 f 3, bazie(f 1,f 2,f 3 ): e 2 = a 12 f 1 +a 22 f 2 +a 32 f 3, e 2 = a 13 f 1 +a 23 f 2 +a 33 f 3. ( e 1 e 2 e 3 ) = ( f1 f 2 f 3 ) A PunktO w nowym układzie ma współrzędne(x 0,y 0,z 0 ). x = a 11 x+a 12 y +a 13 z +x 0, Wówczas y = a 21 x+a 22 y +a 23 z +y 0, z = a 31 x+a 32 y +a 33 z +z 0. x x x 0 = A y +. y y 0 42 / 60

43 Przekształcenia afiniczne liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Niech dany będzie układ współrzędnycho,f 1,f 2,f 3 oraz punkto i układ wektorówe 1,e 2,e 3 przekwształceniem afinicznym nawyza się odwzorowanie P = x y O +xe 1 +ye 2 +ze 3 z współrzędne punktuapo przekształceniu będa równe x x 0 A y + y 0, gdzie z z 0 ( ) ( ) e1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 A (x 0,y 0,z 0 ) współrzędne wektora OO 43 / 60

44 Uwagi liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Jeżeli układ wektorówe 1,e 2,e 3 jest baza, to przekształcenie afiniczne zgadza się z zamiana układu współrzędnych Przekwształcenie afiniczneb składa się z przekształcenia linowegoa i przesunięcia równoległegot u,b = T u A Wówczas przesunięciet u oraz przekształcenie liniowea określone sa jednoznacznie. Skalowanie Twierdzenie 4. Każde przkształcenie afiniczne można rozłożyć w iloczyn obrotu, skalowania (o różnych współczynnikach) oraz przesunięcia równoległego Twierdzenie 5. Każde przkształcenie afiniczne sztywne, które nie zmienia orientacji, jest obrotem (afnicznym) lub przesunięciem równoległym 44 / 60

45 Współrzędne jednorodne wr 2 liniowar 3 Działania na punktach Trójka liczbx,y,w R (w 0) reprezentuje punkt o współrzędnych (x/w,y/w) R 2. (2,1) (2 : 1 : 1) (6 : 3 : 3) ( 2 : 1 : 1) Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie 45 / 60

46 Współrzędne jednorodne wr 3 liniowar 3 Działania na punktach Czwórka liczbx,y,z,w R (w 0) reprezentuje punkt o współrzędnych(x/w,y/w,z/w) R 3. (2,1,1) (2 : 1 : 1 : 1) (6 : 3 : 3 : 3) ( 2 : 1 : 1 : 1) Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie 46 / 60

47 Macierz przekształcenia afinicznego wr 2 liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie NiechB ( = ) T u Abędzie ( przekształceniem ) afinicznym, u1 a11 a u =, A = 12. u 2 a 21 a 22 Macierza przekształceniab nazywa się macerz a 11 a 12 u 1 M B = a 21 a 22 u a 11 a 12 u 1 x a 21 a 22 u 2 y = a 11 x+a 12 y +u 1 a 21 x+a 22 y +u / 60

48 Obrót liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie R θ = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ / 60

49 Skalowanie liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie S λ1,λ 2 = λ λ / 60

50 Przesunięcie równoległe liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie T u1,u 2 = 1 0 u u / 60

51 Macierz przekształcenia afinicznego wr 3 liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie a 11 a 12 a 13 u 1 a 21 a 22 a 23 u 2 a 31 a 32 a 33 u a 11 a 12 a 13 u 1 x a 21 a 22 a 23 u 2 y a 31 a 32 a 33 u 3 z = a 11 x+a 12 y +a 13 z +u 1 a 21 x+a 22 y +a 23 z +u 2 a 31 x+a 32 y +a 33 z +u / 60

52 Przesunięcie równoległe liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Przesunięcie o wektoru = (u 1,u 2,u 3 ) u u u Obrót Skalowanie 52 / 60

53 Obrót liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Obrót dookoła osi wychodzacej z poczatku układu współrzędnych w kierunkuu = (u 1,u 2,u 3 ) o katθ stopni. Kierunek obrotu określany jest orientacja. (1 c)u 2 1 +c (1 c)u 1u 2 su 3 (1 c)u 1 u 3 +su 2 0 (1 c)u 1 u 2 +su 3 (1 c)u 2 2 +c (1 c)u 2u 3 su 1 0 (1 c)u 1 u 3 su 2 (1 c)u 2 u 3 +su 1 (1 c)u 2 3 +c gdziec = cosθ,s = sinθ., 53 / 60

54 Skalowanie liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie α α α symetria względem płaszczyznyy z. 54 / 60

55 Jednorodność macierzy przekształcenia afinicznego liniowar 3 MacierzeAorazλA określaja to samo przekształcenie afiniczne. Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie 55 / 60

56 Macierz superpozycji przekształceń liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Niech dane będa dwa przekształcenia afiniczne:aorazb iloczynem (superpozycja) przekształceńa B jest przekształcenie afiniczne AB(a) = A(Ba) MacierzaA B jest macierzab Dlatego zamiasta B będziemy pisaćab Macierza przekształcenia odwrotnego doajest macierza 1 56 / 60

57 Teoria transponowana liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych Przekształcenia afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Wektory i punkty sa zapisywane jako wierszev = (v x,v y,v z ), P = (x : y : x : w) Mnożenie przez macierz przekształcenia po prawej stronie ( vx v y v z ) M, ( x y z w ) A Macierze sa zamieniane na transponowane: przesunięcie o wektoru = (u 1,u 2,u 3 ): , u 1 u 2 u 3 1 etc Mnożenie macierzy w innej kolejności MacierzaA 1 A 2 będziea 2 A 1 57 / 60

58 liniowar 3 rzutowa 58 / 60

59 rzutowa liniowar 3 rzutowa Składa się z czwórek współrzędnych(x : y : z : w) współrzędnych jednorodnych w może być zerem Dwie proporcjonalne czwórki reprezentuja ten sam punkt: (x 1 : y 1 : z 1 : w 1 ) (x 2 : y 2 : z 2 : w 2 ) x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = w 1 w 2 59 / 60

60 Przekształcenia rzutowe liniowar 3 rzutowa Przekształceniem rzutowym (projektywicznym) nazywa się przekształcenie RP 3 RP 3 x x y z A y z, w w gdzieajest dowolna4 4macierz a, przy czymdeta 0 60 / 60