Wprowadzenie do grafiki maszynowej. Wprowadenie do geometrii maszynowej
|
|
- Michalina Kruk
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wprowadzenie do grafiki maszynowej. Wprowadenie do geometrii maszynowej Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 1 / 61
2 Wprowadenie do geometrii maszynowej Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem 2 / 61
3 3 / 61
4 Definicja wektora Wektorem nazywa się skierowany odcinek. A Kierunek wektora pokazuje strzałka. Punkt A jest poczatkiem wektora Punkt B jest końcem wektora Oznaczenie: a = AB B 4 / 61
5 Równość wektorów Dwa wektory sa równe, jeżeli jeden z nich może zostać otrzymany z drugiego poprzez przesunięcie równoległe. Relcja równości wektorów jest relacja równoważności: a = a (symetryczna) a = b b = a (zwrotna) a = b,b = c a = c (przechodnia) 5 / 61
6 Wektory, cd Dwa wektory sa zgodnie kolinearne, jeżeli sa równoległe i maja ten sam zwrot. Dwa wektory sa niezgodnie kolinearne, jeżeli sa równoległe i maja przeciwne zwroty. Długość odcinka AB, przedstawiajacego wektor a, nazywa się jego długościa AB = a = a wektor nazywa się zerowym, jeśli jego poczatek i koniec się pokrywaja: AA = 0 6 / 61
7 Dodawanie wektorów Suma wektorów a i b nazywa się wektor a+b, otrymany z tych wektorów badź równych im wektorów jak na poniższym rysunku a b a+b 7 / 61
8 Dodawanie wektorów przemienne i łaczne a+b = b+a a (a+b)+c = a+(b+c) b b+a a+b a b c a+b a b b+c 8 / 61
9 Odejmowanie wektorów Wektor a b jest wektorem, suma którego z b a b b a 9 / 61
10 Nierówność trójkata a+b a + b a+b+ +c a + b + + c 10 / 61
11 Mnożenie wektora przez liczbę Iloczynem wektora a i liczby λ R jest wektor λa λa = λ a λa i a sa zgodnie kolinearne, jeżeli λ > 0 oraz niezgodnie kolinearne, gdy λ < 0 0 a = 0 λ(µa) = (λµ)a (λ+µ)a = λa+µa λ(a+b) = λa+λb 11 / 61
12 Kombinacje wektorów Niech dany będzie układ wektorów {a 1,...,a k } oraz wagi (liczby rzeczywiste) α 1,...,α k Wektor a = α 1 a 1 + +α k a k nazywa się kombinacja liniowa wektorów a 1,...,a k. 12 / 61
13 Iloczyn skalarny wektorów Katem między wektorami a i b nawyzamy kat między wektorami a i b, które maja wspólny poczatek Iloczynem skalarnym wektorów a i b jest liczba a b (ab): ab = a b cosϕ (ϕ jest katem międy a i b) ab = ba a 2 = aa = a 2 (λa)b = λ(ab) jeżeli e = 1, to (λe)(λe) = λµ ab = 0 a b albo jeden z wektorów jest zerowy 13 / 61
14 Projekcja wektora na prosta Rzut (projekcja) wektora a na prosta jest wektor ā, którego poczatkiem jest rzut poczatka wektora a na prosta, a końcem rzut końca wektora a na tę prosta. ab = āb, gdzie ā jest rzutem a na prosta, zawierajac a b (a+b)c = ac+bc Jeżeli a, b, c sa trzema niezerowymi wektorami, nie równoległymi jednocześnie jednej płaszczyźnie, to ar = 0,br = 0,cr = 0 r = 0 14 / 61
15 Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym wektorów a i b jest wektor a b: 0, jeżeli jeden z wektorów jest zerowy lub wektory sa równoległe Wpozostałych przypadkach a b jest prostopadły do płaszczyzny a,b długość wektora a b jest równa polu powierzchni równoległoboku wyznaczonego przez wektory a, b układ wektorów a, b, a b jest zorientowany dodatnio a b = b a a b = a b sinθ, gdzie θ jest katem między a i b (λa) b = λ(a b) 15 / 61
16 Projekcja wektora na płaszczyznę Rzutem (projekcja) wektora a na płaszczyznę jest wektor a, którego poczatek jest rzutem poczatka a na płaszczyznę, a końcem rzut końca a. Rzutu równych wektorów sa równe Rzut sumy wektorów jest suma rzutów Jeżeli wektor a jest rzutem a na płaszczyznę, prostopadła do b, to a b = a b (a+b) c = a c+b c 1. c = 0 2. c = 1 Niech a oraz b będa rzutami odpowiednio a oraz b na płaszczyznę, prostopadła do c. Wtedy mnożenie wektorowe przez c będzie obrotem o π 2 (a b) 2 = a 2 b 2 ( a b cosθ) 2, gdzie θ jest k atem między wektorami 16 / 61
17 Współrzędne wektora względem bazy Niech dane będa trzy niezerowe, niekomplanarne wektory e 1, e 2, e 3. Wtedy każdy wektor r może zostać jednoznacznie przedstawiony jako suma r = r 1 e 1 +r 2 e 2 +r 3 e 3 Niech r = r 1 e 1 +r 2 e 2 +r 3 e 3 będzie inna reprezentacja 1. r jest równoległy do jednego z wektorów e 2. r jest równoległy do płaszczyzny jednej z pary wektorów e 3. r nie jest równoległy do żadnej z par wektorów e Wektory e 1, e 2, e 3 nazywane sa baza przestrzeni wektorów. Liczby r 1, r 2, r 3 nazywane sa współrzędnymi wektora r w bazie e 1, e 2, e / 61
18 Działania na wektorach Niech dana będzie baza e 1, e 2, e 3. Niech dane będa dwa wektory: r o współrzędnych (r 1,r 2,r 3 ) oraz r o współrzędnych (r 1,r 2,r 3 ). Wtedy wektor r±r będzie miał współrzędne (r 1 ±r 1,r 2 ±r 2,r 3 ±r 3 ). Niech dane będa wektor r o współrzędnych (r 1,r 2,r 3 ) oraz liczba λ R. Wtedy wektor λr będzie miał współrzędne (λr 1,λr 2,λr 3 ). 18 / 61
19 Baza kartezjańska Niech dana będzie baza i, j, k składajaca się z wektorów jednosktowych, wzajemnie prostopadłych i zorientowanych dodatnio. Baza i, j, k nazywa się baza kartezjańska a = x a i+y a j+z a k = (ai)i+(aj)j+(ak)k Liczby cosα = ai aj ak a, cosβ = a, cosγ = a nazywane sa cosinusy kierunkowe 19 / 61
20 Działania metryczne w bazie kartezjańskiej Niech dana będzie kartezjańska baza i, j, k. Wtedy ab = x a x b +y a y b +z a z b a b ma współrzędne y a z a y b z b, x a z a x b z b, x a y a x b y b i j k a b = x a y a z a x b y a z b 20 / 61
21 Zmiana bazy Niech dane będa dwie bazy: E = {e 1,e 2,e 3 } oraz F = {f 1,f 2,f 3 }. Wtedy Wektory (e 1,e 2,e 3 ) maja jednoznaczne rozłożenie po e 1 = a 11 f 1 +a 21 f 2 +a 31 f 3, bazie (f 1,f 2,f 3 ): e 2 = a 12 f 1 +a 22 f 2 +a 32 f 3, ( e 2 = a 13 f 1 +a 23 f 2 +a 33 f 3. ) ( ) e 1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 A, gdzie A jest macierza kolumn współrzędnych wektorów E w bazie F wektor a w bazie F będzie miał współrzędne A x a y a z a, gdzie x a y a z a jego współrzędne w E. A nazywa się macierza przejścia od E do F (zmiany bazy) 21 / 61
22 Zmiana bazy. Uwagi ( ) ( ) ( ) ( e 1 e 2 e 3 ) = f1 f 2 f 3 A f1 f 2 f 3 = e1 e 2 e 3 A 1, gdzie A 1 jest macierza odwrotna. Jeżeli obie bazy sa kartezjańskie, to macierz przejścia jest ortogonalna wektory-kolumny sa jednostkowe i wzajemnie prostopadłe to samo dotyczy wierszy dla macierzy ortogonalnych A 1 = A t 22 / 61
23 Przekształcenia Niech dane będa: układ wektorów E = {e 1,e 2,e 3 } oraz baza F = {f 1,f 2,f 3 }, ( ) ( ) e 1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 A. przekwształceniem liniowym nawyza się odwzorowanie a = x a y a z a x a e 1 +y a e 2 +z a e 3 współrzędne wektora a po przekształceniu będa równe A x a y a z a A nazywa się macierza przekształcenia wynik przekształcenia zapisuje się Aa 23 / 61
24 Przekształcenia. Uwagi macierz A składa się z kolumn współrzędnych układu E w bazie F macierz A składa się z kolumn współrzędnych wektorów bazy F po przekształceniu jeżeli macierz A jest odrwacalna, to E też jest baza oraz przekształcenie zgada się z zamiana bazy E F przekształcenie φ : R n R n jest liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy 1. dla dowolnych dwóch wektorów a,b spełniono φ(a+b) = φ(a)+φ(b) 2. dla dowolnego wektoru a oraz dowolnej liczby rzeczywistej λ spełniono φ(λa) = λφ(a) 24 / 61
25 Przekształcenia. Zmiana bazy* Niech dane będa dwie bazy: E = {e 1,e 2,e 3 } oraz F = {f 1,f 2,f 3 }, ( ) ( ) e 1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 T Niech przekształcenie będzie dane w bazie E macierza A Wtedy w bazie F to przekształcenie dane będzie macierza TAT 1 25 / 61
26 Obrót ¼ Ò Ó ¼ ½ ¼ ¼ Ó Ò ½ ¼ Ø ÖÓØ Ø ÓÒº R θ = ÙÖ ÁÁº «Ø Ó ÖÓØ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ Ò Ð º Ì ÓÖ Ò ¼ Ð Ü Ý ( ) cosθ sinθ sinθ cosθ 26 / 61
27 Skalowanie S λ1,λ 2 = ( ) λ1 0 0 λ 2 27 / 61
28 Mnożenie przekształceń Niech dane będa dwa przekształcenia : A oraz B Iloczynem (superpozycja) przekształceń A B jest przekształcenie AB(a) = A(Ba) Macierza A B jest macierz AB Dlatego zamiast A B będziemy pisać AB Macierza przekształcenia odwrotnego do A jest macierz A 1 Twierdzenie 1. Każde przekształcenie można rozłożyć w iloczyn obrotu oraz skalowania (o różnych współczynnikach) Twierdzenie 2. Każde przekształcenie sztywne, które nie zmienia orientacji, jest obrotem 28 / 61
29 ÁÁº½ Ì Ú ØÓÖ Ú Ò ÖÓØ Ø ÖÓÙÒ Ùº Ì Ú ØÓÖ Ú½ Ú ³ ÙÖ ÓÒØÓ Ùº Ì Ú ØÓÖ Ú¾ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ú ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ Ùº Ì ÔÖÓ Ø ÓÒ Ú Ú¾ ÖÓØ Ø ¼ Æ ÖÓÙÒ Ùº Ì Ð Ò Ñ ÒØ Ò Ø ÙÖ Ú ØÓÖ Ñ Ø Ø Ö Ø Ò Ð º ÐÐ Obrót 3D ¼ Ù Ú½ Ú Ê Ù Úµ Ú¾ Ú 29 / 61
30 Macierz obrotu 3D Obrót dookoła osi wychodzacej z poczatku układu współrzędnych w kierunku u = (u 1,u 2,u 3 ) o kat θ stopni. (1 c)u 2 1 +c (1 c)u 1u 2 su 3 (1 c)u 1 u 3 +su 2 (1 c)u 1 u 2 +su 3 (1 c)u 2 2 +c (1 c)u 2u 3 su 1, (1 c)u 1 u 3 su 2 (1 c)u 2 u 3 +su 1 (1 c)u 2 3 +c gdzie c = cosθ, s = sinθ. 30 / 61
31 Katy : odchylenie, pochylenie, przechylenie Û Ý Ü È Ø Þ ÊÓÐÐ R = R θy,jr θp,ir θr,k 31 / 61
32 Macierze obrotów R θp,i R θy,j R θr,k 32 / 61
33 Skalowanie 3D S λ1,λ 2,λ 3 = λ λ λ 3 33 / 61
34 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie 34 / 61
35 Odejmowanie punktów Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Różnica punktów B i A jest wektor AB. A B A = AB A = B B A = 0 (B A)+(C B) = (C A) = AC B 35 / 61
36 Dodanie do punktu wektora Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Suma punktu A oraz wektora a jest punkt B, który zgadza się z końcem wektora a, jeżeli poczatek tego wektora umieścić w A. A B = A+ AB (A+a 1 )+a 2 = A+(a 1 +a 2 ) Dodanie wektora nazywa się przesunięciem róznoległym a B 36 / 61
37 Kombinacja afiniczna punktów Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Niech dany będzie układ punktów {A 1,...,A k } oraz wagi (liczby rzeczywiste) α 1,...,α k, takie że α 1 + +α k = 1 Ustalmy dowolny punkt O Kombinacja afiniczna punkitów α 1 A 1 + +α k A k jest punkt O +α 1OA1 + +α k OA k Twierdzenie 3. Kombinacja afiniczna punktów nie zależy od wyboru punktu O 37 / 61
38 Układ współrzędnych Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Wybierzmy dowolny punkt O, poczatek układu Przez ten punkt poprowadźmy trzy niekomplanarne proste: Ox, Oy, Oz, osie współrzędnych Płaszczyzny współrzędnych Oxy, Oxz, Oyz Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednio e 1, e 2, e 3 bazę. Dla każdego punktu A wektor OA ma jednoznaczne przedstawienie OX = xe 1 +ye 2 +ze 3 liczby x, y, z współrzędne punktu A układ jest prawym (dodatnim), jeżeli {e 1,e 2,e 3 } jest zorientowany dodatnio układ jest lewym (ujemnym), jeżeli {e 1,e 2,e 3 } jest zorientowany ujemnie kierunki na osiach, zorientowane zgodnie z wektorami bazy, nazywaja się dodatnimi. Kierunki przeciwne ujemnymi 38 / 61
39 Układ współrzędnych kartezjańskich Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Układ współrzędnych nazywa się kartezjańskim, jeżeli osie sa wzajemnie prostopadłe wektory e 1, e 2, e 3 sa jednostkowe (maja jednostkowa długość). Dalej w prezentacji prawie zawsze układ będzie prawym kartezjańskim układem Dla wektorów bazy układu kartezjańskiego czasami stosuje się oznaczenia i, j, k 39 / 61
40 Działania na punktach w układzie współrzędnych Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Odejmowanie punktów: A 2 A 1 = x 2 x 1 A 1 A 2 = y 2 y 1 z 2 z 1 Dodanie wektora: x 1 +x a A 1 +a = y 1 +y a z 1 +z a Kombinacja afiniczna: α 1 A 1 + +α k A k = α 1 x 1 + +α k x k α 1 y 1 + +α k y k α 1 z 1 + +α k z k wzory sa prawidłowe w każdym układzie 40 / 61
41 Podział odcinka w danym stosunku Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Dane sa dwa punkty A 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraz A 2 (x 2,y 2,z 2 ) Znaleźć punkt A(x,y,z), który dzieli odcinek A 1 A 2 w stosunku λ 1 : λ 2 λ 2A1 A λ 1AA2 = 0 OA = λ 2OA 1 +λ 1 OA 2 λ 1 +λ 2 x = λ 2x 1 +λ 1 x 2 λ 1 +λ 2, y = λ 2y 1 +λ 1 y 2 λ 1 +λ 2, z = λ 2z 1 +λ 1 z 2 λ 1 +λ 2. wzory sa prawidłowe w każdym układzie 41 / 61
42 Odległość między punktami Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Dane sa dwa punkty A 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraz A 2 (x 2,y 2,z 2 ) A 1 A 2 2 = A 1 A 2 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 wzory sa prawidłowe tylko w układzie kartezjańskim 42 / 61
43 Zmiana układu współrzędnych Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Niech dane będa dwa ogólne układy współrzędnych: (O,e 1,e 2,e 3 ) oraz (O,f 1,f 2,f 3 ) Punkt P ma współrzędne (x,y,z) względem jednego układu oraz (z,y,z ) względem drugiego. Wektory (e 1,e 2,e 3 ) maja jednoznaczne rozłożenie po e 1 = a 11 f 1 +a 21 f 2 +a 31 f 3, bazie (f 1,f 2,f 3 ): e 2 = a 12 f 1 +a 22 f 2 +a 32 f 3, e 2 = a 13 f 1 +a 23 f 2 +a 33 f 3. ( ) ( ) e 1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 A Punkt O w nowym układzie ma współrzędne (x 0,y 0,z 0 ). x = a 11 x+a 12 y +a 13 z +x 0, Wówczas y = a 21 x+a 22 y +a 23 z +y 0, z = a 31 x+a 32 y +a 33 z +z 0. x x x 0 y = A y + y 0. z z z 0 43 / 61
44 Przekształcenia afiniczne Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Niech dany będzie układ współrzędnych O,f 1,f 2,f 3 oraz punkt O i układ wektorów e 1,e 2,e 3 przekwształceniem afinicznym nawyza się x odwzorowanie P = y O +xe 1 +ye 2 +ze 3 z współrzędne punktu A po przekształceniu będa x x 0 równe A y + y 0, gdzie z z 0 ( ) ( ) e1 e 2 e 3 = f1 f 2 f 3 A (x 0,y 0,z 0 ) współrzędne wektora OO 44 / 61
45 Uwagi Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Jeżeli układ wektorów e 1,e 2,e 3 jest baza, to przekształcenie afiniczne zgadza się z zamiana układu współrzędnych Przekwształcenie afiniczne B składa się z przekształcenia linowego A i przesunięcia równoległego T u, B = T u A Wówczas przesunięcie T u oraz przekształcenie A określone sa jednoznacznie. Twierdzenie 4. Każde przekształcenie afiniczne można rozłożyć w iloczyn obrotu, skalowania (o różnych współczynnikach) oraz przesunięcia równoległego Twierdzenie 5. Każde przekształcenie afiniczne sztywne, które nie zmienia orientacji, jest obrotem (afnicznym) lub przesunięciem równoległym 45 / 61
46 Współrzędne jednorodne w R 2 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Trójka liczb x, y, w R (w 0) reprezentuje punkt o współrzędnych (x/w,y/w) R 2. (2,1) (2 : 1 : 1) (6 : 3 : 3) ( 2 : 1 : 1) 46 / 61
47 Współrzędne jednorodne w R 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Czwórka liczb x, y, z, w R (w 0) reprezentuje punkt o współrzędnych (x/w,y/w,z/w) R 3. (2,1,1) (2 : 1 : 1 : 1) (6 : 3 : 3 : 3) ( 2 : 1 : 1 : 1) 47 / 61
48 Macierz przekształcenia afinicznego w R 2 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Niech ( B ) = T u A będzie ( przekształceniem ) afinicznym, u1 a11 a u =, A = 12. u 2 a 21 a 22 Macierz a przekształcenia B nazywa się macerz a 11 a 12 u 1 M B = a 21 a 22 u a 11 a 12 u 1 x a 11 x+a 12 y +u 1 a 21 a 22 u 2 y = a 21 x+a 22 y +u / 61
49 Obrót Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie R θ = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ / 61
50 Skalowanie Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie S λ1,λ 2 = λ λ / 61
51 Przesunięcie równoległe Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie T u1,u 2 = 1 0 u u / 61
52 Macierz przekształcenia afinicznego w R 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie a 11 a 12 a 13 u 1 a 21 a 22 a 23 u 2 a 31 a 32 a 33 u a 11 a 12 a 13 u 1 x a 21 a 22 a 23 u 2 y = a 31 a 32 a 33 u z 1 a 11 x+a 12 y +a 13 z +u 1 a 21 x+a 22 y +a 23 z +u 2 a 31 x+a 32 y +a 33 z +u / 61
53 Przesunięcie równoległe Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Przesunięcie o wektor u = (u 1,u 2,u 3 ) u u u / 61
54 Obrót Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Obrót dookoła osi wychodzacej z poczatku układu współrzędnych w kierunku u = (u 1,u 2,u 3 ) o kat θ stopni. Kierunek obrotu określany jest orientacja. (1 c)u 2 1 +c (1 c)u 1u 2 su 3 (1 c)u 1 u 3 +su 2 0 (1 c)u 1 u 2 +su 3 (1 c)u 2 2 +c (1 c)u 2u 3 su 1 0 (1 c)u 1 u 3 su 2 (1 c)u 2 u 3 +su 1 (1 c)u 2 3 +c gdzie c = cosθ, s = sinθ., 54 / 61
55 Skalowanie Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie α α α symetria względem płaszczyzny y z. 55 / 61
56 Jednorodność macierzy przekształcenia afinicznego Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierze A oraz λa określaj a to samo przekształcenie afiniczne. 56 / 61
57 Macierz superpozycji przekształceń Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Niech dane będa dwa przekształcenia afiniczne: A oraz B iloczynem (superpozycja) przekształceń A B jest przekształcenie afiniczne AB(a) = A(Ba) Macierza A B jest macierz AB Dlatego zamiast A B będziemy pisać AB Macierz a przekształcenia odwrotnego do A jest macierz A 1 57 / 61
58 Teoria transponowana Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Wektory i punkty sa zapisywane jako wiersze v = (v x,v y,v z ), P = (x : y : x : w) Mnożenie przez macierz przekształcenia po prawej stronie ( ) ( ) v x v y v z M, x y z w A Macierze sa zamieniane na transponowane: przesunięcie o wektor u = (u 1,u 2,u 3 ): , u 1 u 2 u 3 1 etc Mnożenie macierzy w innej kolejności Macierza A 1 A 2 będzie A 2 A 1 58 / 61
59 rzutowa 59 / 61
60 rzutowa rzutowa Składa się z czwórek współrzędnych (x : y : z : w) współrzędnych jednorodnych w może być zerem Dwie proporcjonalne czwórki reprezentuja ten sam punkt: (x 1 : y 1 : z 1 : w 1 ) (x 2 : y 2 : z 2 : w 2 ) x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = w 1 w 2 60 / 61
61 Przekształcenia rzutowe rzutowa Przekształceniem rzutowym (projektywicznym) nazywa się przekształcenie RP 3 RP 3 x x y z A y z, w w gdzie A jest dowolna 4 4 macierza, przy czym deta 0 61 / 61
Elementy grafiki komputerowej. Elementy geometrii afinicznej
Elementy grafiki komputerowej. Elementy geometrii j Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 denisjuk@matman.uwm.edu.pl 1 / 28 Elementy geometrii j Najnowsza wersja
Bardziej szczegółowoWektory. Algebra. Aleksander Denisiuk. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk
Algebra Wektory Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Wektory Najnowsza wersja
Bardziej szczegółowoModelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki. Transformacje. Aleksander Denisiuk. denisjuk@matman.uwm.edu.pl
Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki Transformacje Aleksander Denisiuk denisjuk@matman.uwm.edu.pl Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki ul. Słoneczna 54 10-561
Bardziej szczegółowoGeometria Analityczna w Przestrzeni
Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045
Bardziej szczegółowoGrafika Komputerowa. Geometria 3W
Grafika Komputerowa. Geometria 3W Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Ò Ù Ô º ÙºÔÐ 1 / 60 Geometria 3W liniowar
Bardziej szczegółowoModelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Geometria 3W
Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Geometria 3W Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 denisjuk@matman.uwm.edu.pl 1 / 66 Geometria 3W liniowar 3 Najnowsza wersja
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych, macierze, Google
Układ równań linowych { x+2y = 6, 3x y = 4 (0) Spotkania z Matematyka Układy równań liniowych, macierze, Google Aleksander Denisiuk denisjuk@matman.uwm.edu.pl Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoAlgebra linowa w pigułce
Algebra Algebra linowa w pigułce Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Algebra
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do grafiki maszynowej. Wprowadenie do teksturowania
Wprowadzenie do grafiki maszynowej. Wprowadenie do teksturowania Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 denisjuk@matman.uwm.edu.pl 1 / 19 Wprowadenie do teksturowania
Bardziej szczegółowoWykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25
Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria
Bardziej szczegółowoUkłady współrzędnych
Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych
Bardziej szczegółowoWektory. dr Jolanta Grala-Michalak. Teoria
Wektory dr Jolanta Grala-Michalak Teoria Uważa się, że pierwszym podręcznikiem geometrii jest dzieło Euklidesa Elementy, napisane w III wieku p.n.e. Opisywana w nim płaszczyzna i przestrzeń zawierają różne
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoIloczyn wektorowy. Autorzy: Michał Góra
Iloczyn wektorowy Autorzy: Michał Góra 019 Iloczyn wektorowy Autor: Michał Góra DEFINICJA Definicja 1: Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym wektorów v = ( v x, v y, v z ) R 3 oraz w = ( w x, w y, w z
Bardziej szczegółowoGrafika Komputerowa Podstawy animacji
Grafika Komputerowa Podstawy animacji Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Grafika Komputerowa
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoR n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia geometryczne w grafice komputerowej. Marek Badura
Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej Marek Badura PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE W GRAFICE KOMPUTEROWEJ Przedstawimy podstawowe przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie R 2 (przestrzeń
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Algebra Przekształcenia liniowe Aleksandr Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowo1 Geometria analityczna
1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoGRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel.
GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. (12) 617 46 37 Plan wykładu 1/4 ZACZNIEMY OD PRZYKŁADOWYCH PROCEDUR i PRZYKŁADÓW
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoALGEBRA Tematyka LITERATURA
ALGEBRA Tematyka Podstawowe pojęcia algebry: działania, własności działań. Struktury algebraiczne: grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe. Ciała liczbowe: ciało liczb wymiernych, ciało liczb rzeczywistych,
Bardziej szczegółowoWektory. dr Jolanta Grala-Michalak. Teoria
Wektory dr Jolanta Grala-Michalak Teoria Uważa się, że pierwszym podręcznikiem geometrii jest dzieło Euklidesa Elementy, napisane w III wieku p.n.e. Opisywana w nim płaszczyzna i przestrzeń zawierają różne
Bardziej szczegółowo19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI
FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoKrystalochemia białek 2016/2017
Zestaw zadań 4. Grupy punktowe. Składanie elementów symetrii. Translacyjne elementy symetrii grupy punktowe, składanie elementów symetrii, translacyjne elementy symetrii: osie śrubowe, płaszczyzny ślizgowe
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz
Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia geometryczne. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej
Przekształcenia geometryczne Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Akademia Górniczo Hutnicza w Krakowie Przekształcenia elementarne w przestrzeni D Punkty p w E na płaszczyźnie
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoNotacja Denavita-Hartenberga
Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoElementy grafiki komputerowej. Elementy krzywych Béziera
Elementy grafiki komputerowej. Elementy krzywych Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 denisjuk@matman.uwm.edu.pl 1 / 36 Elementy krzywych Najnowsza wersja tego dokumentu
Bardziej szczegółowo= [6; 2]. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku.
ZADANIE 1 (5 PKT) Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkata jeżeli środki jego boków maja współrzędne: P = (1, 3), Q = ( 5, 4), R = ( 6, 7). ZADANIE 2 (5 PKT) Dla jakich wartości parametru α odległość
Bardziej szczegółowoEndomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 4. TEMATYKA: Rzutowanie
TEMATYKA: Rzutowanie Ćwiczenia nr 4 DEFINICJE: Rzut na prostą: rzutem na prostą l (zwaną rzutnią) w kierunku rzutowania k (k l) nazywamy przekształcenie płaszczyzny przyporządkowujące: a) Punktom prostej
Bardziej szczegółowo1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.
Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i
Bardziej szczegółowoz = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowo