Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Geometria 3W
|
|
- Dawid Wolski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Geometria 3W Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 denisjuk@matman.uwm.edu.pl 1 / 66
2 Geometria 3W liniowar 3 Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem ØØÔ»»ÛÑ ºÙÛѺ ÙºÔл Ò Ù»ÙÛÑ 2 / 66
3 liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia liniowar 3 3 / 66
4 Definicja wektora liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Wektorem nazywa się skierowany odcinek. A Kierunek wektora pokazuje strzałka. Punkt A jest poczatkiem wektora Punkt B jest końcem wektora Oznaczenie:a= AB B 4 / 66
5 Równość wektorów liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Dwa wektory sa równe, jeżeli jeden z nich może zostać otrzymany z drugiego poprzez przesunięcie równoległe. Relcja równości wektorów jest relacja równoważności: a=a (symetryczna) a=b b=a (zwrotna) a=b,b=c a=c (przechodnia) 5 / 66
6 Wektory, cd liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Dwa wektory sa zgodnie kolinearne, jeżeli sa równoległe i maja ten sam zwrot. Dwa wektory sa niezgodnie kolinearne, jeżeli sa równoległe i maja przeciwne zwroty. Długość odcinkaab, przedstawiajacego wektora, nazywa się a AB = a = a jego długości wektor nazywa się zerowym, jeśli jego poczatek i koniec się pokrywaja: AA=0 6 / 66
7 Dodawanie wektorów liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Suma wektorówaibnazywa się wektora+b, otrymany z tych wektorów badź równych im wektorów jak na poniższym rysunku b a a+b 7 / 66
8 Dodawanie wektorów przemienne i łaczne liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia a+b=b+a a b b+a a+b (a+b)+c=a+(b+c) c a b a+b a b b+c 8 / 66
9 Odejmowanie wektorów liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Wektora b jest wektorem, suma którego zb a b b a 9 / 66
10 Nierówność trójkata liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia a+b a + b a+b+ +c a + b + + c 10 / 66
11 Mnożenie wektora przez liczbę liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Iloczynem wektoraailiczbyλ R jest wektorλa λa = λ a λa iasa zgodnie kolinearne, jeżeliλ>0 oraz niezgodnie kolinearne, gdyλ<0 0 a=0 λ(µa)=(λµ)a (λ+µ)a=λa+µa λ(a+b)=λa+λb 11 / 66
12 Kombinacje liniowe wektorów liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dany będzie układ wektorów{a 1,...,a k } oraz wagi (liczby rzeczywiste)α 1,...,α k Wektor a=α 1 a 1 + +α k a k nazywa się kombinacja liniowa wektorówa 1,...,a k. 12 / 66
13 Iloczyn skalarny wektorów liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Katem między wektoramia ibnawyzamy kat między wektorami a ib, które maja wspólny poczatek Iloczynem skalarnym wektorówaibjest liczbaa b(ab): ab= a b cosϕ (ϕ jest katem międyaib) ab=ba a 2 =aa= a 2 (λa)b=λ(ab) jeżeli e = 1, to(λe)(λe) = λµ ab=0 a b albo jeden z wektorów jest zerowy 13 / 66
14 Projekcja wektora na prosta liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Rzut (projekcja) wektoraana prosta jest wektorā, którego poczatkiem jest rzut poczatka wektoraana prosta, a końcem rzut końca wektoraana tę prosta. ab = āb, gdzie ā jest rzutem a na prosta, zawierajac (a+b)c=ac+bc Jeżelia,b,cs a trzema niezerowymi wektorami, nie równoległymi jednocześnie jednej płaszczyźnie, to ar=0,br=0,cr=0 r=0 ab 14 / 66
15 Iloczyn wektorowy liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Iloczynem wektorowym wektorówaibjest wektora b: 0, jeżeli jeden z wektorów jest zerowy lub wektory sa równoległe Wpozostałych przypadkach a bjest prostopadły do płaszczyznya,b długość wektoraa bjest równa polu powierzchni równoległoboku wyznaczonego przez wektorya,b układ wektorówa,b,a b jest zorientowany dodatnio a b= b a a b = a b sinθ, gdzieθ jest k (λa) b=λ(a b) atem międzyaib 15 / 66
16 Projekcja wektora na płaszczyznę liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Rzutem (projekcja) wektoraana płaszczyznę jest wektora, którego poczatek jest rzutem poczatkaana płaszczyznę, a końcem rzut końcaa. Rzutu równych wektorów sa równe Rzut sumy wektorów jest suma rzutów Jeżeli wektora jest rzutemana płaszczyznę, prostopadła dob, toa b=a b (a+b) c=a c+b c 1. c=0 2. c =1 Niecha orazb będa rzutami odpowiednioaorazbna płaszczyznę, prostopadła doc. Wtedy mnożenie wektorowe przezcbędzie obrotem o π 2 (a b) 2 = a 2 b 2 ( a b cosθ) 2, gdzieθ jest katem między wektorami 16 / 66
17 Współrzędne wektora względem bazy liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dane będa trzy niezerowe, niekomplanarne wektorye 1, e 2,e 3. Wtedy każdy wektorrmoże zostać jednoznacznie przedstawiony jako sumar=r 1 e 1 +r 2 e 2 +r 3 e 3 Niechr=r 1 e 1+r 2 e 2+r 3 e 3 będzie inna reprezentacja 1. r jest równoległy do jednego z wektorówe 2. r jest równoległy do płaszczyzny jednej z pary wektorówe 3. r nie jest równoległy do żadnej z par wektorówe Wektorye 1,e 2,e 3 nazywane sa baza przestrzeni wektorów. Liczbyr 1,r 2,r 3 nazywane sa współrzędnymi wektorar w baziee 1,e 2,e / 66
18 Działania liniowe na wektorach liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dana będzie bazae 1,e 2,e 3. Niech dane będa dwa wektory:rowspółrzędnych(r 1,r 2,r 3 ) orazr o współrzędnych(r 1,r 2,r 3 ). Wtedy wektorr±r będzie miał współrzędne (r 1 ±r 1,r 2±r 2,r 3±r 3 ). Niech dane będa wektorrowspółrzędnych(r 1,r 2,r 3 ) oraz liczbaλ R. Wtedy wektorλr będzie miał współrzędne (λr 1,λr 2,λr 3 ). 18 / 66
19 Baza kartezjańska liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dana będzie bazai,j,k składajaca się z wektorów jednosktowych, wzajemnie prostopadłych i zorientowanych dodatnio. Bazai,j,k nazywa się baza kartezjańska a=x a i+y a j+z a k=(ai)i+(aj)j+(ak)k Liczbycosα= ai aj a,cosβ= a,cosγ=ak sa cosinusy kierunkowe a nazywane 19 / 66
20 Działania metryczne w bazie kartezjańskiej liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dana będzie kartezjańska bazai,j,k. Wtedy ab=x a x b +y a y b +z a z b a bma współrzędne y a z a y b z b, x a z a x b z b, x a y a x b y b a b= i j k x a y a z a x b y a z b 20 / 66
21 Zmiana bazy liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dane będa dwie bazy:e={e 1,e 2,e 3 } orazf={f 1,f 2,f 3 }. Wtedy Wektory(e 1,e 2,e 3 ) maj e 1 =a 11 f 1 +a 21 f 2 +a 31 f 3, bazie(f 1,f 2,f 3 ): e 2 =a 12 f 1 +a 22 f 2 +a 32 f 3, e 2 =a 13 f 1 +a 23 f 2 +a 33 f 3. ) ) (e 1 e 2 e 3 = (f 1 f 2 f 3 a jednoznaczne rozłożenie po kolumn współrzędnych wektorówe w bazief A, gdzieajest macierza wektorawbazief będzie miał współrzędnea x a y a z a jego współrzędne we. x a y a z a, gdzie A nazywa się macierza przejścia ode dof (zmiany bazy) 21 / 66
22 Zmiana bazy. Uwagi liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia ) ) ) (e 1 e 2 e 3 = (f 1 f 2 f 3 A (f 1 f 2 f 3 = ) (e 1 e 2 e 3 A 1, gdziea 1 jest macierza odwrotna. Jeżeli obie bazy sa kartezjańskie, to macierz przejścia jest ortogonalna wektory-kolumny sa jednostkowe i wzajemnie prostopadłe to samo dotyczy wierszy dla macierzy ortogonalnycha 1 =A t 22 / 66
23 Przekształcenia liniowe liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dane będ a: układ wektorówe={e ) 1,e 2,e 3 } oraz ) bazaf={f 1,f 2,f 3 }, (e 1 e 2 e 3 = (f 1 f 2 f 3 przekształceniem liniowym nawyza się odwzorowanie a= x a y a z a x a e 1 +y a e 2 +z a e 3 współrzędne wektoraapo przekształceniu będa równe A x a y a z a A nazywa się macierza przekształcenia wynik przekształcenia zapisuje sięaa A. 23 / 66
24 Przekształcenia liniowe. Uwagi liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia macierzaskłada się z kolumn współrzędnych układue w bazief macierzaskłada się z kolumn współrzędnych wektorów bazyf po przekształceniu jeżeli macierzajest odrwacalna, toe też jest baza oraz przekształcenie liniowe zgada się z zamiana bazye F przekształcenieφ:r n R n jest liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy 1. dla dowolnych dwóch wektorówa,b spełniono φ(a+b)=φ(a)+φ(b) 2. dla dowolnego wektoruaoraz dowolnej liczby rzeczywistejλ spełniono φ(λa) = λφ(a) 24 / 66
25 Przekształcenia sztywne liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia przekształcenie nazywa się sztywnym, jeżeli nie zmienia ono odległości między punktami a więc i katów między liniami i, na ogół, kształtów obiektów macierz przekształcenia sztywnego jest ortogonalna 25 / 66
26 Obrót liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia ¼ Ò Ó ¼ ¼ ¼ ½ Ó Ò ½ ¼ ÙÖ ÁÁº «Ø Ó ÖÓØ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ Ò Ð º Ì ÓÖ Ò ¼ Ð Ü Ý Ø ÖÓØ Ø ÓÒº R θ = ( ) cosθ sinθ sinθ cosθ 26 / 66
27 Skalowanie liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia S λ1,λ 2 = ( ) λ1 0 0 λ 2 27 / 66
28 Mnożenie przekształceń liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dane będa dwa przekształcenia liniowe:aorazb Iloczynem (superpozycja) przekształceń A B jest przekształcenie liniowe AB(a) = A(Ba) MacierzaA B jest macierzab Dlatego zamiasta B będziemy pisaćab Macierza przekształcenia odwrotnego doajest macierza 1 Twierdzenie 1. Każde przekształcenie liniowe można rozłożyć w iloczyn obrotu oraz skalowania (o różnych współczynnikach) Twierdzenie 2. Każde przekształcenie liniowe sztywne, które nie zmienia orientacji, jest obrotem 28 / 66
29 ÁÁº½ Ì Ú ØÓÖ Ú Ò ÖÓØ Ø ÖÓÙÒ Ùº Ì Ú ØÓÖ Ú½ Ú ³ ÙÖ ÓÒØÓ Ùº Ì Ú ØÓÖ Ú¾ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ú ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ Ùº Ì ÔÖÓ Ø ÓÒ Ú Ú¾ ÖÓØ Ø ¼ Æ ÖÓÙÒ Ùº Ì Ð Ò Ñ ÒØ Ò Ø ÙÖ Ú ØÓÖ Ñ Ø Ø Ö Ø Ò Ð º ÐÐ Obrót 3D liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Ú½ Ù Ú ¼ Ê Ù Úµ Ú Ú¾ 29 / 66
30 Macierz obrotu 3D liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Obrót dookoła osi wychodzacej z poczatku układu współrzędnych w kierunkuu=(u 1,u 2,u 3 ) o katθstopni. (1 c)u 2 1 +c (1 c)u 1u 2 su 3 (1 c)u 1 u 3 +su 2 (1 c)u 1 u 2 +su 3 (1 c)u 2 2 +c (1 c)u 2u 3 su 1, (1 c)u 1 u 3 su 2 (1 c)u 2 u 3 +su 1 (1 c)u 2 3 +c gdziec=cosθ,s=sinθ. 30 / 66
31 Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Û Ý Ü È Ø Þ ÊÓÐÐ R=R θy,jr θp,ir θr,k 31 / 66
32 Macierze obrotów Eulera liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia R θp,i R θy,j R θr,k 32 / 66
33 Skalowanie 3D liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia S λ1,λ 2,λ 3 = λ λ λ 3 33 / 66
34 Przekształcenia liniowe. Zmiana bazy liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dane będ a dwie bazy:e={e 1,e ) 2,e 3 } ) orazf={f 1,f 2,f 3 }, (e 1 e 2 e 3 = (f 1 f 2 f 3 T Niech przekształcenie liniowe będzie dane w baziee macierz Wtedy w bazief to przekształcenie dane będzie macierz a TAT 1 aa 34 / 66
35 Przykład. Skalowanie wzdłuż przekatnej liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Macierz skalowania na płaszczyźnie ze współczynnikiem 2 wzdłuż przekatnej 35 / 66
36 Przykład. Skalowanie wzdłuż przekatnej liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Macierz skalowania na płaszczyźnie ze współczynnikiem 2 wzdłuż ( ) przekatnej / 66
37 liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana 36 / 66
38 Odejmowanie punktów liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Różnica punktówb iajest wektor AB. A B A= AB A=B B A=0 (B A)+(C B)=(C A)= AC B 37 / 66
39 Dodanie do punktu wektora liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Suma punktuaoraz wektoraajest punktb, który zgadza się z końcem wektoraa, jeżeli poczatek tego wektora umieścić wa. A B=A+ AB (A+a 1 )+a 2 =A+(a 1 +a 2 ) Dodanie wektora nazywa się przesunięciem róznoległym a B 38 / 66
40 Kombinacja afiniczna punktów liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Niech dany będzie układ punktów{a 1,...,A k } oraz wagi (liczby rzeczywiste)α 1,...,α k, takie żeα 1 + +α k =1 Ustalmy dowolny punkto Kombinacja afiniczna punkitówα 1 A 1 + +α k A k jest punkt O+α 1OA1 + +α k OA k Twierdzenie 3. Kombinacja afiniczna punktów nie zależy od wyboru punktuo 39 / 66
41 Układ współrzędnych liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Wybierzmy dowolny punkto, poczatek układu Przez ten punkt poprowadźmy trzy niekomplanarne proste:ox, Oy,Oz, osie współrzędnych Płaszczyzny współrzędnychoxy,oxz,oyz Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednioe 1,e 2, e 3 bazę. Dla każdego punktuawektor przedstawienie OA ma jednoznaczne OX=xe 1 +ye 2 +ze 3 liczbyx,y,z współrzędne punktua układ jest prawym (dodatnim), jeżeli{e 1,e 2,e 3 } jest zorientoany dodatnio układ jest lewym (ujemnym), jeżeli{e 1,e 2,e 3 } jest zorientowany ujemnie kierunki na osiach, zorientowane zgodnie z wektorami bazy, nazywaja się dodatnimi. Kierunki przeciwne ujemnymi 40 / 66
42 Układ współrzędnych kartezjańskich liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Układ współrzędnych nazywa się kartezjańskim, jeżeli osie sa wzajemnie prostopadłe wektorye 1,e 2,e 3 sa jednostkowe (maja jednostkowa długość). Dalej w prezentacji prawie zawsze układ będzie prawym kartezjańskim układem Dla wektorów bazy układu kartezjańskiego czasami stosuje się oznaczeniai,j,k 41 / 66
43 Działania na punktach w układzie współrzędnych liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Odejmowanie punktów: A 2 A 1 = A 1 A 2 = Dodanie wektora: x 1 +x a A 1 +a= y 1 +y a z 1 +z a Kombinacja afiniczna: α 1 A 1 + +α k A k = x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 wzory sa prawidłowe w każdym układzie α 1 x 1 + +α k x k α 1 y 1 + +α k y k α 1 z 1 + +α k z k 42 / 66
44 Podział odcinka w danym stosunku liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Dane sa dwa punktya 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraza 2 (x 2,y 2,z 2 ) Znaleźć punkta(x,y,z), który dzieli odcineka 1 A 2 w stosunkuλ 1 :λ 2 λ 2A1 A λ 1AA2 =0 OA= λ 2OA 1 +λ 1 OA 2 λ 1 +λ 2 x= λ 2x 1 +λ 1 x 2 λ 1 +λ 2,y= λ 2y 1 +λ 1 y 2 λ 1 +λ 2,z= λ 2z 1 +λ 1 z 2 λ 1 +λ. 2 wzory sa prawidłowe w każdym układzie 43 / 66
45 Odległość między punktami liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Dane sa dwa punktya 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraza 2 (x 2,y 2,z 2 ) A 1 A 2 2 = A 1 A 2 2 =(x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 wzory sa prawidłowe tylko w układzie kartezjańskim 44 / 66
46 Zmiana układu współrzędnych liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Niech dane będa dwa ogólne układy współrzędnych: (O,e 1,e 2,e 3 ) oraz(o,f 1,f 2,f 3 ) PunktP ma współrzędne(x,y,z) względem jednego układu oraz(z,y,z ) względem drugiego. Wektory(e 1,e 2,e 3 ) maja jednoznaczne rozłożenie po e 1 =a 11 f 1 +a 21 f 2 +a 31 f 3, bazie(f 1,f 2,f 3 ): e 2 =a 12 f 1 +a 22 f 2 +a 32 f 3, e 2 =a 13 f 1 +a 23 f 2 +a 33 f 3. ) ) (e 1 e 2 e 3 = (f 1 f 2 f 3 A PunktOw nowym układzie ma współrzędne(x 0,y 0,z 0 ). x =a 11 x+a 12 y+a 13 z+x 0, Wówczas y =a 21 x+a 22 y+a 23 z+y 0, z =a 31 x+a 32 y+a 33 z+z 0. x y x x 0 =A y + y 0. z z z 45 / 66
47 Przekształcenia afiniczne liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Niech dany będzie układ współrzędnycho,f 1,f 2,f 3 oraz punkt O i układ wektorówe 1,e 2,e 3 przekwształceniem afinicznym nawyza się odwzorowanie x P= y O +xe 1 +ye 2 +ze 3 z współrzędne punktuapo przekształceniu będa równe x x 0 A y + y 0, gdzie z z 0 ) ) (e 1 e 2 e 3 = (f 1 f 2 f 3 A (x 0,y 0,z 0 ) współrzędne wektoraoo 46 / 66
48 Uwagi liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Jeżeli układ wektorówe 1,e 2,e 3 jest baza, to przekształcenie afiniczne zgadza się z zamiana układu współrzędnych Przekwształcenie afiniczneb składa się z przekształcenia linowegoaiprzesunięcia równoległegot u,b=t u A Wówczas przesunięciet u oraz przekształcenie liniowea określone sa jednoznacznie. Twierdzenie 4. Każde przekształcenie afiniczne można rozłożyć w iloczyn obrotu, skalowania (o różnych współczynnikach) oraz przesunięcia równoległego Twierdzenie 5. Każde przekształcenie afiniczne sztywne, które nie zmienia orientacji, jest obrotem (afnicznym) lub przesunięciem równoległym 47 / 66
49 Współrzędne jednorodne wr 2 liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Trójka liczb x, y, w R (w 0) reprezentuje punkt o współrzędnych(x/w,y/w) R 2. (2,1) (2:1:1) (6:3:3) ( 2: 1: 1) 48 / 66
50 Współrzędne jednorodne wr 3 liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Czwórka liczbx,y,z,w R (w 0) reprezentuje punkt o współrzędnych(x/w,y/w,z/w) R 3. (2,1,1) (2:1:1:1) (6:3:3:3) ( 2: 1: 1: 1) 49 / 66
51 Macierz przekształcenia afinicznego wr 2 liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana NiechB=T ( ) u Abędzie ( przekształceniem ) afinicznym, u1 a11 a u=, A= 12. u 2 a 21 a 22 Macierz a przekształceniab nazywa się macerz a 11 a 12 u 1 M B = a 21 a 22 u a 11 a 12 u 1 x a 11 x+a 12 y+u 1 a 21 a 22 u 2 y = a 21 x+a 22 y+u / 66
52 Obrót liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana R θ = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ / 66
53 Skalowanie liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana S λ1,λ 2 = λ λ / 66
54 Przesunięcie równoległe liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana T u1,u 2 = 1 0 u u / 66
55 Macierz przekształcenia afinicznego wr 3 liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana a 11 a 12 a 13 u 1 a 21 a 22 a 23 u 2 a 31 a 32 a 33 u a 11 a 12 a 13 u 1 x a 21 a 22 a 23 u 2 y a 31 a 32 a 33 u 3 z = a 11 x+a 12 y+a 13 z+u 1 a 21 x+a 22 y+a 23 z+u 2 a 31 x+a 32 y+a 33 z+u / 66
56 Przesunięcie równoległe liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Przesunięcie o wektoru=(u 1,u 2,u 3 ) u u u / 66
57 Obrót liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Obrót dookoła osi wychodzacej z poczatku układu współrzędnych w kierunkuu=(u 1,u 2,u 3 ) o katθstopni. Kierunek obrotu określany jest orientacja. (1 c)u 2 1 +c (1 c)u 1u 2 su 3 (1 c)u 1 u 3 +su 2 0 (1 c)u 1 u 2 +su 3 (1 c)u 2 2 +c (1 c)u 2u 3 su 1 0 (1 c)u 1 u 3 su 2 (1 c)u 2 u 3 +su 1 (1 c)u 2 3 +c 0 gdziec=cosθ,s=sinθ , 56 / 66
58 Skalowanie liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana α α α symetria względem płaszczyznyy z / 66
59 Jednorodność macierzy przekształcenia afinicznego liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana MacierzeAorazλA określaja to samo przekształcenie afiniczne. 58 / 66
60 Macierz superpozycji przekształceń liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Niech dane będa dwa przekształcenia afiniczne:aorazb iloczynem (superpozycja) przekształceń A B jest przekształcenie afiniczne AB(a) = A(Ba) MacierzaA B jest macierzab Dlatego zamiasta B będziemy pisaćab Macierza przekształcenia odwrotnego doajest macierza 1 59 / 66
61 Macierz zmiany układu współrzędnych liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Niech dane będa dwa układy współrzędnych: E={O,(e 1,e 2,e 3 )} orazf={o,(f 1,f 2,f 3 )} Punkt P ma współrzędne(x, y, z) względem układu E oraz (z,y,z ) względemf. ) ) (e 1 e 2 e 3 = (f 1 f 2 f 3 A PunktOw nowym układzie ma współrzędne(x 0,y 0,z 0 ). x x y z =T y z 1 1 Macerz przejścia ofe dof (zmiany układu wszpółrzędnych) x 0 x A y T= 0 y z 0 z Wszystkie uwagi dotyczace macierzy przekształceń 60 / 66
62 Przekształcenia afiniczne. Zmiana układu współrzędnych liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Niech dane będa dwa układy współrzędnych: E=(O,e 1,e 2,e 3 ) orazf=(o,f 1,f 2,f 3 ) Niech T będzie macierza przejścia ode dof. Niech przekształcenie afiniczne będzie w układziee miało macierza Wtedy w układzief to przekształcenie będzie miało macierz TAT 1 61 / 66
63 Przykład. Obrót afiniczny liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Obrót na płaszczyźnie o90 dookoła punktu(1,2) 62 / 66
64 Przykład. Obrót afiniczny liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Obrót na płaszczyźnie o90 dookoła punktu(1,2) / 66
65 Teoria transponowana liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Wektory i punkty sa zapisywane jako wierszev=(v x,v y,v z ), P=(x:y:x:w) Mnożenie przez ) macierz ( przekształcenia ) po prawej stronie (v x v y v z M, x y z w A Macierze sa zamieniane na transponowane: przesunięcie o wektoru=(u 1,u 2,u 3 ): , u 1 u 2 u 3 1 etc Mnożenie macierzy w innej kolejności MacierzaA 1 A 2 będziea 2 A 1 63 / 66
66 liniowar 3 rzutowa 64 / 66
67 rzutowa liniowar 3 rzutowa Składa się z czwórek współrzędnych(x:y:z:w) współrzędnych jednorodnych w może być zerem Dwie proporcjonalne czwórki reprezentuja ten sam punkt: (x 1 :y 1 :z 1 :w 1 ) (x 2 :y 2 :z 2 :w 2 ) x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = w 1 w 2 65 / 66
68 Przekształcenia rzutowe liniowar 3 rzutowa Przekształceniem rzutowym (projektywicznym) nazywa się przekształcenie RP 3 RP 3 x x y z A y z, w w gdzieajest dowolna4 4macierz a, przy czymdeta 0 66 / 66
Grafika Komputerowa. Geometria 3W
Grafika Komputerowa. Geometria 3W Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Ò Ù Ô º ÙºÔÐ 1 / 60 Geometria 3W liniowar
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do grafiki maszynowej. Wprowadenie do geometrii maszynowej
Wprowadzenie do grafiki maszynowej. Wprowadenie do geometrii maszynowej Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 denisjuk@matman.uwm.edu.pl 1 / 61 Wprowadenie do geometrii
Bardziej szczegółowoElementy grafiki komputerowej. Elementy geometrii afinicznej
Elementy grafiki komputerowej. Elementy geometrii j Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 denisjuk@matman.uwm.edu.pl 1 / 28 Elementy geometrii j Najnowsza wersja
Bardziej szczegółowoWektory. Algebra. Aleksander Denisiuk. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk
Algebra Wektory Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Wektory Najnowsza wersja
Bardziej szczegółowoModelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki. Transformacje. Aleksander Denisiuk. denisjuk@matman.uwm.edu.pl
Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki Transformacje Aleksander Denisiuk denisjuk@matman.uwm.edu.pl Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki ul. Słoneczna 54 10-561
Bardziej szczegółowoGeometria Analityczna w Przestrzeni
Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych, macierze, Google
Układ równań linowych { x+2y = 6, 3x y = 4 (0) Spotkania z Matematyka Układy równań liniowych, macierze, Google Aleksander Denisiuk denisjuk@matman.uwm.edu.pl Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoWykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25
Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n
Bardziej szczegółowoAlgebra linowa w pigułce
Algebra Algebra linowa w pigułce Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Algebra
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Algebra Przekształcenia liniowe Aleksandr Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoGrafika Komputerowa Podstawy animacji
Grafika Komputerowa Podstawy animacji Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Grafika Komputerowa
Bardziej szczegółowoWektory. dr Jolanta Grala-Michalak. Teoria
Wektory dr Jolanta Grala-Michalak Teoria Uważa się, że pierwszym podręcznikiem geometrii jest dzieło Euklidesa Elementy, napisane w III wieku p.n.e. Opisywana w nim płaszczyzna i przestrzeń zawierają różne
Bardziej szczegółowoGRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel.
GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. (12) 617 46 37 Plan wykładu 1/4 ZACZNIEMY OD PRZYKŁADOWYCH PROCEDUR i PRZYKŁADÓW
Bardziej szczegółowoR n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do grafiki maszynowej. Wprowadenie do teksturowania
Wprowadzenie do grafiki maszynowej. Wprowadenie do teksturowania Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 denisjuk@matman.uwm.edu.pl 1 / 19 Wprowadenie do teksturowania
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia geometryczne w grafice komputerowej. Marek Badura
Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej Marek Badura PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE W GRAFICE KOMPUTEROWEJ Przedstawimy podstawowe przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie R 2 (przestrzeń
Bardziej szczegółowoUkłady współrzędnych
Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych
Bardziej szczegółowoNotacja Denavita-Hartenberga
Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoKrystalochemia białek 2016/2017
Zestaw zadań 4. Grupy punktowe. Składanie elementów symetrii. Translacyjne elementy symetrii grupy punktowe, składanie elementów symetrii, translacyjne elementy symetrii: osie śrubowe, płaszczyzny ślizgowe
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz
Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 4. TEMATYKA: Rzutowanie
TEMATYKA: Rzutowanie Ćwiczenia nr 4 DEFINICJE: Rzut na prostą: rzutem na prostą l (zwaną rzutnią) w kierunku rzutowania k (k l) nazywamy przekształcenie płaszczyzny przyporządkowujące: a) Punktom prostej
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia geometryczne. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej
Przekształcenia geometryczne Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Akademia Górniczo Hutnicza w Krakowie Przekształcenia elementarne w przestrzeni D Punkty p w E na płaszczyźnie
Bardziej szczegółowoWektory. dr Jolanta Grala-Michalak. Teoria
Wektory dr Jolanta Grala-Michalak Teoria Uważa się, że pierwszym podręcznikiem geometrii jest dzieło Euklidesa Elementy, napisane w III wieku p.n.e. Opisywana w nim płaszczyzna i przestrzeń zawierają różne
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowoElementy grafiki komputerowej. Elementy krzywych Béziera
Elementy grafiki komputerowej. Elementy krzywych Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 denisjuk@matman.uwm.edu.pl 1 / 36 Elementy krzywych Najnowsza wersja tego dokumentu
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowo19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowoGrafika Komputerowa. Teksturowanie
Grafika Komputerowa. Teksturowanie Aleksander Denisiuk Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Ò Ù Ô º ÙºÔÐ 1 / 19 Teksturowanie Najnowsza
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoALGEBRA Tematyka LITERATURA
ALGEBRA Tematyka Podstawowe pojęcia algebry: działania, własności działań. Struktury algebraiczne: grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe. Ciała liczbowe: ciało liczb wymiernych, ciało liczb rzeczywistych,
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria
Bardziej szczegółowoWyznaczniki. Algebra. Aleksander Denisiuk
Algebra Wyznaczniki Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Wyznaczniki
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoOPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA
OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA Wprowadzenie W robotyce przez pojęcie manipulacji rozumiemy przemieszczanie w przestrzeni przedmiotów i narzędzi za pomocą specjalnego mechanizmu. W związku z tym pojawia
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej
Bardziej szczegółowoIloczyn wektorowy. Autorzy: Michał Góra
Iloczyn wektorowy Autorzy: Michał Góra 019 Iloczyn wektorowy Autor: Michał Góra DEFINICJA Definicja 1: Iloczyn wektorowy Iloczynem wektorowym wektorów v = ( v x, v y, v z ) R 3 oraz w = ( w x, w y, w z
Bardziej szczegółowo1 Geometria analityczna
1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowo1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.
Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowo