q(x)= a ij x i x j, gdzie x R n, (10.1)
|
|
- Bronisław Muszyński
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład10(11V2011) Formy kwadratowe, własności i zastosowania Treść wykładu. Formy kwadratowe, redukcja form, postacie kanoniczne Macierz formy, zapis macierzowy formy, wyznaczenie współczynników, Sprowadzanie do postaci kanonicznej metodą uzupełniania do kwadratu(lagrange a); Zamiana zmiennych w formie kwadratowej, zależność między macierzami formy względem par układów zmiennych; Twierdzenie o bezwładności 10.1 Postać kanoniczna formy kwadratowej Macierz formy kwadratowej Wprowadziliśmyjuzpoprzedniopojęciefunkcjikwadratowychna R n szczególnymiprzypadkami takichfunkcjisąfunkcjepostaci(x 1,...,x n )=x x 1 x 2,lubx x 2 1 iimpodobneiloczynypar współrzędnych. Za pomocą kombinacji liniowych takich funkcji można otrzymać dowolną formę kwadratową, jak to pokazuje następująca definicja. Definicja 10.1(Forma kwadratowa i jej macierz) NiechA=[a ij ] M n (R)będziemacierząkwadratowąowspółczynnikachliczbowych.Funkcjęq: R n R daną wzorem q(x)= a ij x i x j, gdzie x R n, (10.1) nazywamy formą kwadratową n zmiennych(lub bardziej poprawnie, formą kwadratową określoną na R n ).Liczbya ij nazywamywspółczynnikamiformykwadratowej,a=[a ij ] M n (R) jejmacierzą. Ten sposób przedstawienia formy kwadratowej jest bardzo wygodny z zagadnieniach teoretycznych, gdyż związanie ich z macierzami daje możliwość stosowania pełnego aparatu algebry macierzy do badania ich własności. Tę możliwość będziemy intensywnie wykorzystywać w dalszym ciągu, jednak zanim do tego przejdziemy, trzeba wyjaśnić pewną niejednoznaczność, która obciąża ten zapis. Ze względu na przemiennośćmnożeniafunkcjetakiejakx 1 x 2 ix 2 x 1 sąjednakowe ogólniemówiączachodząrównościx i x j =x j x i dlawszystkichi,j {1,...,n}iztegopowoduróżnymmacierzommożeodpowiadać jedna i ta sama forma kwadratowa. Dla ilustracji rozważymy przypadek dwóch zmiennych(n = 2) i zbudujemy zgodnie ze wzorem (10.1) formy kwadratowe odpowiadające macierzom B= [ ] [ ] [ ] , A=, C=
2 58 ALiGA Wykład 10. Forma kwadratowa o współczynnikach danych macierzą B wyraża się wzorem q(x)=2x 2 1 x 1x 2 +3x 2 x 1 4x 2 2 Biorącpoduwagęrównośćx 1 x 2 =x 2 x 1 możemyzredukowaćwyrazypodobneotrzymując q(x)=2x x 1x 2 4x 2 2. (10.2) Do takiej samej postaci można doprowadzić formy o współczynnikach danych macierzą A lub C q(x)=2x 2 1 +x 1x 2 +x 2 x 1 4x 2 2 =2x2 1 +2x 1x 2 4x 2 2, q(x)=2x 2 1+2x 2 x 1 4x 2 2=2x 2 1+2x 1 x 2 4x 2 2. W praktycznych zagadnieniach, w których mamy do czynienia z formami kwadratowymi o współczynnikach danych przez konkretne liczby, stosuje się zazwyczaj sposób zapisu uwzględniający równości typu x 1 x 2 =x 2 x 1.Stwarzatoproblemwyboru którązmacierzya,b,c(lubnieskończeniewieluinnych macierzyodpowiadającychformie(10.2))wybraćdoprzedstawieniaformyq(x)=2x 2 1+2x 1 x 2 4x 2 2? Rozpatrzmy ten problem dla ogólnej formy kwadratowej, ograniczając się do przypadku dwóch zmiennych. Wzór(10.1) przybiera postać q(x)= 2 a ij x i x j =a 11 x 2 1 +a 12x 1 x 2 +a 21 x 2 x 1 +a 22 x 2 2 aporedukcjiwyrazówpodobnych(zuwzględnieniemx 1 x 2 =x 2 x 1 )otrzymamy q(x)=a 11 x 2 1 +(a 12+a 21 )x 1 x 2 +a 22 x 2 2. Widzimy więc, że informacja, którą dysponujemy z praktycznego punktu widzenia, pozwala wyznaczyć wyrazydiagonalnemacierzya 11,a 22 isumęa 12 +a 21 współczynnikówpołożonychpozadiagonalą. Dla uniknięcia takich niejednoznaczności podaną wyżej definicję uzupełniamy przez konwencję, że macierz A współczynników formy kwadratowej jest macierzą symetryczną, tj. dla wszystkich i,j 1,...,nzachodząrównościa ij =a ji.przytymdodatkowymzałożeniumacierzomsymetrycznym stopnia n odpowiadają wzajemnie jednoznacznie formy kwadratowe n zmiennych. Ogólną formę kwadratową będziemy więc zapisywali wzorem q(x)= a ij x i x j =x t Ax, (10.3) traktującx R n jakowektorkolumnowyizakładając,żemacierzajestsymetryczna,tj.a=a t. Na zakończenie tych wstępnych rozważań wyodrębnimy klasę form kwadratowych o szczególnym znaczeniu. Definicja 10.2(Forma kwadratowej w postaci kanonicznej) Powiemy, że forma kwadratowa n zmiennych q(x) ma postać kanoniczną, jeśli q(x)=λ 1 x 2 1+λ 2 x λ n x 2 n= λ i x 2 i, gdzie λ i R. i=1 Inaczejmówiąc,formamapostaćkanoniczną,jeżeliwyrazymieszanepostacix i x j zi jwystępują tylko z zerowymi współcznynnikami, lub jeszcze inaczej, jeżeli macierzą formy jest macierz diagonalna.
3 A. Strasburger Konspekt wykładów ALiGA(przygotowany 17 czerwca 2011 roku) Zamiana zmiennych w formie kwadratowej Przy badaniu własności form kwadratowych podstawową rolę odgrywają(liniowe) przekształcenia układu współrzędnych zamiany zmiennych. Można by powiedzieć, że własności form kwadratowych odsłaniają się w pełni dopiero w odpowiednio dobranym układzie współrzędnych. Poszukiwania takiego układu stanowią motyw przewodni obecnego wykładu. Definicja 10.3(Równoważność form kwadratowych względem liniowej zamiany zmiennych) Formykwadratoweq(x)iq (x)nzmiennychnazywamyrównoważnymi,jeśliistniejeodwracalneodwzorowanieliniowe(zamianazmiennych)p: R n R n,takieże q (x)=q(px)=q P(x). (10.4) JeśliAiA odpowiedniosąsymetrycznymimacierzamiformqiq,toformytesąrównoważnewtedyi tylkowtedy,gdya =P t AP Redukcja formy kwadratowej do postaci kanonicznej. Twierdzenie o bezwładności formy Twierdzenie 10(O możliwości sprowadzenia formy kwadratowej do postaci kanonicznej) Każdą formę kwadratową n zmiennych q(x) można sprowadzić do postaci kanonicznej za pomoca liniowej zamiany zmiennych. Dokładniej, jeśli q(x)= a ij x i x j =x t Ax, gdzie x R n, ia=[a ij ] M n (R)jestmacierząsymetryczną,toistniejetakamacierzodwracalnaP=[p ij ] M n (R), że P t AP=diag(λ 1,λ 2,...,λ n ), iwówczasprzyzamianiezmiennychx=px zachodzi q P(x )=q(px )= λ i (x i) 2. i=1 Twierdzenie 11(Twierdzenie o bezwładności formy kwadratowej) Jeśli formę kwadratową sprowadzić do postaci kanonicznej za pomocą różnych liniowych zamian zmiennych, to liczba dodatnich, odpowiednio ujemnych, współczynników w każdej z tych postaci jest taka sama (nie zależy od sposobu sprowadzenia formy do postaci kanonicznej) Sygnatura i rząd formy kwadratowej. Określoność formy Definicja 10.4(Sygnatura i rząd formy kwadratowej) Jeśli p jest liczbą dodatnich współczynnikówformyqwpostacikanonicznejir liczbąujemnychwspółczynników,toparę(p,r)nazywamy sygnaturą formy kwadratowej q i oznaczamy sgn(q) =(p, r). Rzędem formy kwadratowej nazywamy rg(q) = p + r liczbę niezerowych współczynników w postaci kanonicznej. Definicja 10.5(Formy określone dodatnio(ujemnie)) Niech q będzie formą kwadratową n zmiennych.jeślisgn(q)=(p,0),gdziep<n,toqnazywamyformąnieujemną(lubdodatniopółokreśloną),ajeślisgn(q)=(n,0) formądodatniookreśloną. Analogicznie definiujemy formy niedodatnie(ujemnie określone).
4 60 ALiGA Wykład 10. Zauważmy,żejeśliformaqjestokreślonadodatnio,todlakażdegoróżnegoodzerax R n mamy q(x)>0,ajeśliformaqjest(tylko)półokreślonadodatnio,todlakażdegox R n mamyq(x) 0,a przytymistniejetakix 0,żeq(x)=0. Nazwy te stosujemy również do macierzy symetrycznych nazywając taką macierz określoną dodatnio (ujemnie), jeśli odpowiadająca jej forma kwadratowa jest określona dodatnio, odpowiednio ujemnie. Tę samą zasadę stosujemy w przypadku form kwadratowych półokreślonych, odnosząc tę nazwę do odpowiadających im symetrycznych macierzy. Wniosek 13(Dodatnia(ujemna) określoność macierzy) Symetryczna macierz kwadratowa A M n (R)jestmacierzą: dodatniookreślonągdyx t Ax= n a jm x j x m >0dlakażdegox 0; ujemnieokreślonągdyx t Ax= n a jm x j x m <0dlakażdegox 0. Macierz symetryczna odpowiada formie półokreślonej, jeśli w powyższych warunkach zamiast nierówności ostrych występują nietrywialnie nierówności nieostre nietrywialnie, to znaczy przynajmniej dla jednego niezerowego wektora nie ma miejsca nierównośc ostra Metoda Lagrange a redukcji formy kwadratowej Przykłady redukcji formy kwadratowej do postaci kanonicznej metodą Lagrange a Rozważamy formę kwadratową a w zapisie macierzowym f(x,y,z)=4x 2 +3y 2 2z 2 8xy+2yz, (10.5) t x x f(x,y,z)= y y. z z Przez uzupełnianie do kwadratu w wyrażeniu po prawej będziemy eliminować kolejne zmienne. Zaczniemyodprzekształceniasumywszystkichskładnikówzawierającychzmiennąx,tj.od4x 2 8xy,za pomocą dobrze znanego sposobu uzupełniania do pełnego kwadratu. Mamy 4x 2 8xy=4(x y) 2 4y 2. Podstawiając to wyrażenie do wyjściowej formy otrzymamy 4x 2 +3y 2 2z 2 8xy+2yz=4(x y) 2 y 2 +2yz 2z 2. Otrzymaliśmy nową postać formy, która zawiera pełny kwadrat liniowej funkcji x y, a pozostała część sumy,tj.2yz y 2 2z 2 jestformąkwadratowązmiennychyiz.ponieważniejestonapełnymkwadratem, ani do niego proporcjonalna, raz jeszcze zastosujemy podobny chwyt uzupełniania do kwadratu otrzymując 2yz y 2 2z 2 = (y z) 2 z 2. Wyjściową formę możemy zatem zapisać w postaci f(x,y,z)=4x 2 +3y 2 2z 2 8xy+2yz=4(x y) 2 (y z) 2 z 2. W ten sposób wykazaliśmy, że podstawienie zmiennych w postaci x =x y y =y z z =z z odwróceniem w postaci x =x +y +z y =y +z z =z
5 A. Strasburger Konspekt wykładów ALiGA(przygotowany 17 czerwca 2011 roku) 61 sprowadza formę do postaci kanonicznej x t x f P(x,y,z )= y y z z x t x = y y z z =4(x ) 2 (y ) 2 (z ) 2. Nakreślona powyżej metoda nie jest jednoznaczna, moglibyśmy na przykład w drugim kroku zastosować formułę co doprowadziłoby nas do odmiennego wyniku. 2yz y 2 2z 2 = 2(z 1 2 y)2 1 2 y2, f(x,y,z)=4x 2 +3y 2 2z 2 8xy+2yz=4(x y) 2 2(z 1 2 y)2 1 2 y2. W ogólności możliwe jest przeprowadzenie redukcji na wiele innych sposobów, przez uzupełnianie do pełnego kwadratu innych grup zmiennych. Otrzymane na różnych drogach wyniki(postacie kanoniczne formy kwadratowej) mogą być odmienne. Zilustrujemy to przeprowadzając redukcję innym niż poprzedni sposobem.tymrazemrozpoczniemyproceduręoduzupełnieniaodkwadratuwyrażenia3y 2 8xy+2yz, które obejmuje wszystkie składniki zawierające zmienną y. Mamy 3y 2 8xy+2yz=3(y xy+2 3 yz)=3(y 4 3 x+1 3 z) xz 16 3 x2 1 3 z2. co pozwala formę z równania(10.5) przepisać w postaci f(x,y,z)=3(y 4 3 x+1 3 z) xz+( )x2 ( )z2. Trzy ostatnie składniki sumy po prawej stronie nie zawierają już zmiennej y i przedstawiają formę kwadratową zmiennych x, z, którą można zapisać w postaci 8 3 xz+( )x2 ( )z2 = 4 3 (x2 2xz+z 2 ) z 2 Grupując uzyskane częściowe wyniki otrzymamy 4 3 (x z)2 z 2. f(x,y,z)=3(y 4 3 x+1 3 z)2 4 3 (x z)2 z 2. Wprowadzimy teraz nowe zmienne za pomocą wzorów x =x z y =y 4 3 x+1 3 z z =z z odwróceniem w postaci x =x +z y = 4 3 x +y +z z =z lub w postaci macierzowej x x y =Q y 4, gdzie Q= 1 1 z z
6 62 ALiGA Wykład 10. To pozwoli wyjściową formę kwadratową(10.5) zapisać w postaci kanonicznej f Q(x,y,z )=3(y ) (x ) 2 (z ) 2. Porównując otrzymane różnymi drogami wyniki widzimy, że wyjściową formę można przedstawić w postaci 4x 2 +3y 2 2z 2 8xy+2yz=4(x y) 2 (y z) 2 z 2 =4(x y) 2 2(z 1 2 y)2 1 2 y2 =3(y 4 3 x+1 3 z)2 4 3 (x z)2 z 2. Jednak choć otrzymane postaci są różne, liczby dodatnich i ujemnych współczynników stojących przy pełnych kwadratach, są w każdym przypadku jednakowe Wyznacznikowe kryterium dodatniej określoności macierzy NiechA M n (R)będziemacierząkwadratowąstopnian.Dlak=1,...,nprzezD k (A)oznaczmy minor główny stopnia k macierzy A, tj. minor złożony z elementów macierzy A występujących w pierwszychkkolumnachipierwszychkwierszach.ogólnied k (A)=det[a jl ] j k,l k,awszczególności dlak=1,2,3mamy D 1 (A)=a 11, a D 2 (A)= 11 a 12 a 21 a 22 =a 11a 22 a 12 a 21, a 11 a 12 a 13 D 3 (A)= a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 +a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 32 a 23. Stwierdzenie16NiechA M n (R)będziemacierząsymetryczną,tzn.A t =A.Wówczas x t Ax= x t Ax= a jm x j x m >0, dlawszystkichx 0, D k (A)>0 dlak=1,...,n; (10.6) a jm x j x m <0, dlawszystkichx 0, ( 1) k D k (A)>0 dlak=1,...,n. Przykład Rozważmyiloczynx t Axdlamacierzysymetrycznej [ ] 1 2 A= idowolnegowektora x= 2 5 Prosty rachunek daje [ x1 ] R 2. x 2 x t Ax= [ ] [ ][ ] 1 2 x1 x 1 x 2 = [ ] [ x x 2 5 x 1 +2x 2 2x 1 +5x 1 2 ]=x 2 x x 1x 2 +5x 2 2 =(x 1+2x 2 ) 2 +x (10.7) Toostatniewyrażeniejestdodatniedlakażdegoróżnegoodzerawektorax R 2,codowodzi,żemacierzAjestdodatnio określona. Z drugiej strony minory główne macierzy A spełniają D 1 (A)=1>0, D 2 (A)= =1>0, zgodnie z treścią Stwierdzenia 16.
Formy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoMetoda Karusha-Kuhna-Tuckera
Badania operacyjne i teoria optymalizacji Poznań, 2015/2016 Plan 1 Sformułowanie problemu 2 3 Warunki ortogonalności 4 Warunki Karusha-Kuhna-Tuckera 5 Twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera 6 Ograniczenia w
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 12, 08.01.2014 Typeset by Jakub Szczepanik. Motywacje 2/10 W celu wykonania obliczeń numerycznych w zagadnieniach
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoWyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3
3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych metoda gaussowskiej eliminacji
Wykład4(29X2009) Układy równań liniowych metoda gaussowskiej eliminacji Treść wykładu Teoria układów równań liniowych, I Przykłady prowadzenia eliminacji niewiadomych metodą Gaussa, Wprowadzenie języka
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe
Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Zbiory i funkcje wypukłe Zad. 1 Pokazać, że następujące zbiory są wypukłe: a) płaszczyzna S = {x
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowo