Układy równań liniowych metoda gaussowskiej eliminacji

Transkrypt

1 Wykład4(29X2009) Układy równań liniowych metoda gaussowskiej eliminacji Treść wykładu Teoria układów równań liniowych, I Przykłady prowadzenia eliminacji niewiadomych metodą Gaussa, Wprowadzenie języka macierzowego do opisu układu równań liniowych, pojęcie macierzy głównej układu, układy jednorodne i niejednorodne Rozwiązanie układu, klasyfikacja układów względem liczby rozwiązań 41 Wiadomości wstępne i pierwsze przykłady Wiele praktycznych zagadnień występujących w technice czy gospodarce daje się wypowiedzieć i przez to rozwiązać w postaci następującego, abstrakcyjnie sformułowanego problemu algebry liniowej Danyjestukładpewnychwielkościu,v,w,,z,jaknaprzykładwielkościprodukcjiwwybranychdziałach gospodarki lub też wielkości charakteryzujące przepływy w sieciach natężenia prądu elektrycznego, strumienie wody w sieci wodnej, ilości towarów transportowanych siecią drogową lub inną Wielkości te związane są zależnościami liniowymi postaci a 1 u+ b 1 v+ c 1 w++ d 1 z =f 1 a 2 u+ b 2 v+ c 2 w++ d 2 z =f 2 a m u+b m v+c m w++d m z =f m, (41) zeznanymiwspółczynnikamiliczbowymia 1,b 1,c 1,Ṗoszukiwanesątakiewartościzmiennychu,v,w,,z, które po podstawieniu ich do każdego z tych równań zamieniają je w tożsamość Zagadnienie będziemy uważać zarozwiązane,jeśliudasięwyznaczyćwszystkiewartościzmiennychu,v,w,,zotejwłasności 411 Przypadek pojedynczego równania W przypadku jednego równania o n niewiadomych(gdzie n jest dowolną liczbą naturalną), które zapisujemy wpostaci a 1 x 1 +a 2 x 2 ++a n x n =b, (42) rozwiązania możemy otrzymać za pomocą następującej procedury Jeśli współczynnik przy niewiadomej o numerzekjestróżnyodzera,a k 0,(wprzyszłościtakąniewiadomąbędziemynazywaćgłówną),tomożemy równanierozwiązaćwzględemtejwłaśnieniewiadomejx k otrzymującdlaniejwyrażenie x k = 1 a k ( b a1 x 1 a k 1 x k 1 a k+1 x k+1 a n x n ) Wzórtenpozwalaobliczyćx k poprzypisaniudowolnychwartościpozostałymniewiadomym,aotrzymanyw tensposóbukładliczbx 1,,x n będziespełniałrównanie(42)inaczejmówiąc,rozwiązaniategorównania 35

2 36 ALiGA Wykład 4 mają postać x 1 =u 1,, x k 1 =u k 1, x k+1 =u k,, x n =u n 1 (43) x k = 1 a k ( b a1 u 1 a k 1 u k 1 a k+1 u k a n u n 1 ), (44) gdzieu 1,,u n 1 sądowolniedanymiliczbami Oniewiadomychx i dlai k,którymprzypisaliśmydowolnewartości,będziemymówić,żesąniewiadomymi wolnymi Podział na niewiadome wolne i główne nie ma jednak absolutnego znaczenia w tym przypadku jako niewiadomą główną można wziąć każdą niewiadomą, której odpowiada w równaniu współczynnik różny od zera Wartości podstawione na miejsce niewiadomych wolnych nazywamy często parametrami określającymi rozwiązanie równania Dla wyznaczenia jednego rozwiązania pojedynczego równania o n niewiadomych wymagane jest więc podanie wartości n 1 parametrów W ogólnym przypadku zadanie rozwiązania układu równań liniowych(41) będziemy uważali za rozwiązane, jeśli podamy:(i) minimalną liczbę parametrów potrzebnych do otrzymania dowolnego rozwiązania oraz(ii) sposób, w jaki niewiadome są wyznaczone przez wartości parametrów 412 Eliminacja niewiadomych operacje elementarne nad układem Pomysłem umożliwiającym dojście do efektywnych metod rozwiązywania układów równań liniowych jest podanie pewnych prostych sposobów takich modyfikacji układu, przy których nie ulegają zmianie jego rozwiązania Reguły te, nazywane operacjami elementarnymi, są następujące: typ(i) zamiana miejscami dwóch równań bez zmiany pozostałych; typ(ii) dodanie do jednego równania innego równania, pomnożonego przez stałą; typ(iii) pomnożenie równania przez niezerową stałą Sposób zastosowania tych przekształceń układu równań zilustrujemy kilkoma przykładami Przykład 411 Poszukamy rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych z czterema niewiadomymi x, y, z, t 2x 4y+ z+0t=0 x+0y 2z+ t=0 x 3y+2z t=0 (45) Wyeliminujemy kolejno z równań II i III niewiadomą x przez zastosowanie operacji typu III i II W tym celu mnożymy równanie II przez 2 i od uzyskanego równania odejmujemy równanie I Następnie odejmujemy równanie I od pomnożonego przez 2 równania III W wyniku otrzymujemy układ o postaci 2x 4y+ z+0t0; 0x+4y 5z+2t0; 0x 2y+3z 2t0; (46) w którym niewiadoma x występuje tylko w pierwszym równaniu Do równań II i III z układu(46) zastosujemy podobne operacje dla wyeliminowania y z równania III W rezultatcie otrzymamy układ, równoważny wyjściowemu, o postaci 2x 4y+ z+0t0; 0x+4y 5z+2t0; 0x+0y+ z 2t0 (47) Na tym procedura eliminacji się kończy Zauważamy teraz, że z równania III można wyznaczyć z przyjmując dla t dowolną wartość, powiedzmyt=c,codaje z=2c Te wartości niewiadomych podstawiamy do równania II i z niego wyznaczamy y za pomocą wzoru y= 1 4 (5z 2t)=1 4 (10c 2c)=2c Po podstawieniu tych wartości do równania I otrzymujemy dla niewiadowej x wyrażenie x= 1 2 (4y z)=1 2 (8c 2c)=3c W ten sposób wartość dowolnego rozwiązania wyznaczona jest jednoznacznie przez podanie stałej c wzorami x=3c, y=2c, z=2c, t=c

3 A Strasburger Konspekt wykładów ALiGA(przygotowany 13 listopada 2009 roku) 37 Nieco bardziej złożony jest przykład następujący Przykład 412 Rozważymy układ równań liniowych z niewiadomymi x, y, z, t, u w postaci 2x+4y z+2t+3u=b 2 x+0y+3z+ t 2u=b 3 2x 4y+ z+0t 3u=b 4 2x 2y+5z+0t 5u=b 5 (48) W pierwszym etapie redukcji, przez dodawanie do równań od drugiego do piątego odpowiedniej wielokrotności równania pierwszego doprowadzamy do wyzerowania wyrazów przy pierwszej zmiennej w równaniach od drugiego do piątego 0x+0y+3z+0t 3u=b 2+2b 1 0x+2y+ z+2t+ u=b 3 b 1 0x+0y 3z+2t+3u=b 4 2b 1 0x+2y+ z+2t+ u=b 5 2b 1 (49) Po zamianie równania drugiego z trzecim otrzymamy 0x+2y+ z+2t+ u=b 3 b 1 0x+0y+3z+0t 3u=b 2+2b 1 0x+0y 3z+2t+3u=b 4 2b 1 0x+2y+ z+2t+ u=b 5 2b 1 (410) Teraz przeprowadzamy drugi i trzeci etap redukcji, zerując wyrazy przy drugiej zmiennej poniżej drugiego równania i następnie przy trzeciej zmiennej poniżej trzeciego równania To prowadzi do układu 0x+2y+ z+2t+ u=b 3 b 1 0x+0y+3z+0t 3u=b 2+2b 1 0x+0y+0z+2t+0u=b 4+b 2 0x+0y+0z+0t+0u=b 5 b 1 b 3, (411) którego macierz rozszerzona ma postać b b 3 b b 2+2b b 4+b b 5 b 1 b 3 (412) W ostatnim równaniu wszystkie współczynniki przy niewiadomych są zerami, więc jeśli wyraz wolny po prawej stronie jest różny odzera,tootrzymanerównanie(awrazznimcałyukład)jestsprzecznezatemtylkojeślib 5=b 1+b 3układjestniesprzeczny Załóżmy więc, że tak jest i spróbujmy wyznaczyć rozwiązania tego układu Zaczynamy od czwartego równania 2t+0u=b 4+b 2, którejestostatnimrównaniemzawierającymniezerowywspółczynnikprzyjednejzniewiadomychtutajprawastrona,b 4+b 2,jest zadana, więc widać, że równanie to będzie spełnione dla wartości niewiadomych t= 1 2( b2+b 4 ), u=dowolnastała Te wartości podstawiamy do trzeciego od dołu równania o postaci z którego możemy wyznaczyć niewiadomą z w postaci 3z+0t 3u=b 2+2b 1, z=u+ 1 3( 2b1+b 2 ) Wyznaczone wartości z, t, u podstawiamy do drugiego równania, skąd wyznaczamy y za pomocą y= 1 2 z t 1 2 u+1 2 ( ) 5b 1 4b 2+3b 3 3b 4 b3 b 1 = u+ 6 W ostatnim kroku podstawiamy wyznaczone wartości niewiadomych do pierwszego równania otrzymując x=2y 2z+t+3u+b 1= u+ 4b1 3b2+2b3 b4 2

4 38 ALiGA Wykład 4 42 Układy równań liniowych w postaci ogólnej Sam zapis problemu jak też opis jego rozwiązań staje się o wiele bardziej przejrzysty dzięki użyciu notacji wskaźnikowej i możliwości zapisania układu(41) w postaci macierzowej Oznaczmy zatem interesujące nas wielkościjakox 1,,x n zamiastu,v,witdwspółczynnikiwystępującewkolejnychrównaniachoznaczymy symbolema ij zdwomawskaźnikamii,j,zktóychpierwszybędzieoznaczałkolejnynumerrównaniaukładu, a drugi będzie numerem niewiadomej, przy której ten współczynnik występuje Dodajmy, że równania można ustawić w dowolnej kolejności, ale po każdej zmianie kolejności należy odpowiednio dopasować wartości wskaźników W takich oznaczeniach układ równań liniowych zapisuje się w postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 ++ a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 ++ a 2n x n =b 2 a m1 x 1 +a m2 x 2 ++a mn x n =b m (413) Współczynnikib 1,,b m występującewrównaniachpoprawejstronieznakurównościnazywamywyrazami wolnymi(lubprawymistronami)układujeśliwszystkiewyrazywolnesąrównezeru,b 1 =b 2 ==b m =0, to mówimy, że układ(413) jest jednorodny, w przeciwnym przypadku nazywamy go niejednorodnym Układnliczb(x 1,,x n ),którespełniająkażdezrównańukładu(413)będziemynazywaćrozwiązaniem układu 421 Zapis macierzowy układu równań liniowych Formalizm macierzowy dostarcza wygodnego, bo oszczędnego sposobu zapisu układów równań liniowych, a w konsekwencji pozwala na badanie ich własności i ich opis w przejrzystej formie W tym celu wprowadzimy tak zwanąmacierzukładuaowymiarachm n,gdziemjestliczbąrównańukładu,anliczbąniewiadomych, którejwyrazamibędąwspółczynnikiukładua ij,orazwektorkolumnowyborozmiarachm 1,złożonyz wyrazówwolnychb 1,,b m,którybędziemynazywaćwektoremprawychstronukładumamyzatem a 11 a 12 a 1n b 1 a A= 21 a 22 a 2n, b= b 2 (414) a m1 a m2 a mn Wówczas, zgodnie z definicją iloczynu macierzy, lewe strony układu(413) można zapisać w postaci a 11 x 1 +a 12 x 2 ++a 1n x n a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 ++a 2n x n = a 21 a 22 a 2n x 2 a m1 x 1 +a m2 x 2 ++a mn x n a m1 a m2 a mn x n a to pozwala zapisać układ(413) jako równość macierzową a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn lub skrótowo, x 1 x 2 x n = b 1 b 2 b m b m, (415) Ax=b (416) Macierz A i wektor b wspólnie stanowią dane określające układ(413) Czasem wygodnie podawać te dane w postaci jednej macierzy a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 [A b]=, (417) a m1 a m2 a mn b m

5 A Strasburger Konspekt wykładów ALiGA(przygotowany 13 listopada 2009 roku) 39 którą będziemy określać mianem macierzy rozszerzonej układu(413) Aby przejść od danego układu zapisanego w postaci rozwiniętej(413) do jego postaci macierzowej(415) należyzewspółczynnikówwrównaniach(413)utworzyćmacierza M m n (R)układu,zprawychstrontych równańutworzyćwektorb R m prawychstron,awkońcuzapisaćniewiadomex 1,,x n wpostaciwektora x R n Zkoleizrównaniamacierzowego(415)przezwypisanieiloczynumacierzowegoAxiprzyrównaniego współrzędna po współrzędnej do wektora b otrzymujemy z powrotem układ równań(413) 422 Klasyfikacja układów względem liczby rozwiązań Definicja 41(Zbiór rozwiązań układu liniowego) Będziemy oznaczać symbolem R(A, b) zbiór rozwiązań układu równań liniowych(413) o macierzy rozszerzonej[ A b] Symbolicznie: R(A,b)={x R n Ax=b}, (418) Zbiórtenmożebyćpusty,cooznacza,żeukład(413)niemażadnegorozwiązania wtymprzypadkumówimy, że jest on układem sprzecznym, a w przeciwnym przypadku mówimy, że jest to układ niesprzeczny Z kolei układy niesprzeczne dzielimy na dwie kategorie: układy oznaczone to takie, dla których zbiór R(A, b) ma dokładnie jeden element(układ ma dokładnie jedno rozwiązanie) i układy nieoznaczone, dla których zbiór R(A, b) ma więcej niż jeden element(układ ma więcej niż jedno rozwiązanie) Szczególną rolę odgrywają układy, dla których liczba równań m jest równa liczbie niewiadomych n, m = n o nich mówimy, że są to układy kwadratowe, lub układy o macierzy kwadratowej Dodatkowo ze względu na wymiary macierzy układu wyróżniamy układy podokreślone, gdy m < n i nadokreślone, gdy m > n Zaobserwujmy, że układ jednorodny ma zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie, a mianowicie takie, w którym każda z niewiadomych przyjmuje wartość 0 takie rozwiązanie nazywamy zerowym lub trywialnym W konsekwencji przyjętej terminologii możemy więc od razu wypowiedzieć następujące twierdzenie Twierdzenie 12 Każdy jednorodny układ równań liniowych jest niesprzeczny W tej perspektywie można postawić dwa zagadnienia dotyczące równania Ax = b: DladanejmacierzywspółczynnikówA M m n (R)układurównańscharakteryzowaćzbiórwektorówb R m, przy których równanie Ax = b jest niesprzeczne; DladanejmacierzyA M m n (R)opisaćzbiórrozwiązańukładujednorodnegoAx=0 423 Metoda Gaussa Jordana rozwiązania układu równań liniowych Naszkicujemy teraz pochodzącą od C F Gaussa(Carl Friedrich Gauss ) algorytmiczną metodę rozwiązywania układów równań liniowych, zwaną metodą gaussowskiej eliminacji lub metodą redukcji wierszowej Metoda gaussowskiej eliminacji jest procedurą rekurencyjną, dopuszczającą sformułowanie w postaci algorytmicznej, która polega na wykonywaniu krok po kroku pewnej sekwencji operacji elementarnych na blokach złożonych z równań rozważanego układu Celem tych operacji jest doprowadzenie układu do równoważnej z wyjściową postaci zredukowanej, dzięki której odczytanie własności układu i ewentualna konstrukcja jego rozwiązań dają się przeprowadzić w niemal mechaniczny sposób W ogólnym przypadku układu m równań o n niewiadomych macierz zredukowanego układu przybiera tak zwaną postać schodkową, 0 a 1k a 1l a 1p a 1q a 1s a 1n 0 0 a 2l a 2p a 2q a 2s a 2n a 3p a 3q a 3s a 3n A= 0 a r 1q a r 1s a r 1n (419) a rs a rn Wiersze macierzy w postaci schodkowej rozpoczynają się ciągiem wyrazów zerowych, którego długość wzrasta wcorazniżejpołożonychwierszachmacierzywyrazya 1k,a 2l,następującebezpośredniopociąguwyrazów

6 40 ALiGA Wykład 4 zerowych są różne od zera i noszą nazwę współczynników wiodących(lub głównych) Odpowiadający takiej macierzy układ ma postać a 1k x k ++a 1l x l ++ a 1q x q ++ a 1s x s ++ a 1n x n =b 1 a 2l x l ++ a 2q x q ++ a 2s x s ++ a 2n x n =b 2 a r 1q x q ++a r 1s x s ++a r 1n x n =b r 1 a rs x s ++ a rn x n =b r 0=b r+1 = 0=b m (420) gdziewartościprawychstronukładuoznaczoneprzezb k dlak =1,2,,msąkombinacjamiliniowymi współczynnikówb 1,,b m otrzymanymiwtrakcieeliminacji DO UZUPEŁNIENIA