Zadanie 1. (1p.) W grupie 150 losowo wybranych osób zadano pytanie: Ile godzin w tygodniu poświęcasz na uprawianie sportu? 10%

Transkrypt

1 Test Instrukcja dla ucznia Zadania obejmują wiadomości i umiejętności ze statystyki i stereometrii - wielościany. Pisz czytelnie. Przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego rezultatu. Sporządź niezbędne rysunki. Nie posługuj się korektorem, błędne zapisy należy wyraźnie przekreślić. Za rozwiązanie zadań możesz otrzymać 23 punkty oraz 2 punkty za czytelne przedstawienie rozwiązań z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Powodzenia Zadanie. (p.) W grupie 50 losowo wybranych osób zadano pytanie: Ile godzin w tygodniu poświęcasz na uprawianie sportu? 0% 0% Wyniki ankiety przedstawiono na diagramie. 0% % Ile wynosi mediana otrzymanych danych? 30% 30% Zadanie 2. (p.) Średnia arytmetyczna liczb k, l, m, n jest równa 2. Ile wynosi średnia arytmetyczna liczb k, l, m, n, 0? 3 2 Zadanie 3. (2p.) Oblicz odchylenie standardowe dla danych liczbowych: 5, 6, 5, 6, 5, których z dokładnością do 0,0. = 5,4. Wynik podaj Zadanie 4. (p.) Podstawą ostrosłupa czworokątnego jest kwadrat o boku 4. Krawędź boczna o długości 9 jest prostopadła do podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zadanie 5. (3p.) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 8 cm, kąt między wysokościami przeciwległych ścian bocznych ma miarę α = Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zadanie 6. (5p.) W czworokątnym graniastosłupie prawidłowym krawędź podstawy równa się a, zaś kąt między przekątną graniastosłupa i jego ścianą boczną równa się α. Znaleźć objętość graniastosłupa. Zadanie 7. (5p.) W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy długości 8, przekątna ściany bocznej tworzy z sąsiednią ścianą boczną kąt o danej mierze α. Oblicz objętość graniastosłupa. Zadanie 8. (5p.) Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości. Wszystkie ściany boczne są równoramiennymi trójkątami prostokątnymi. Punkt P został wybrany wewnątrz ostrosłupa w ten sposób, że wysokości ostrosłupów ABDP, BCDP, ACDP, ABCP opuszczone z wierzchołka P mają tę samą długość H. Oblicz H.

2 Schemat punktowania Nr zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów. Podanie mediany Uwagi 2. Obliczenie średniej arytmetycznej liczb k, l, m, n, 0 3. Obliczenie wariancji Podanie odchylenia standardowego z dokładnością do 0,0 4. Obliczenie objętości ostrosłupa Sporządzenie kompletnego rysunku bryły z oznaczeniami Obliczenie wysokości ściany bocznej Obliczenie pola powierzchni bocznej ostrosłupa Sporządzenie kompletnego rysunku bryły z oznaczeniami Wyznaczenie przekątnej ściany bocznej Wyznaczenie wysokości bryły Zapisanie objętości graniastosłupa za pomocą danych Uporządkowanie wyrażenia Sporządzenie kompletnego rysunku bryły z oznaczeniami Wyznaczenie długości jednego odcinka niezbędnego do obliczenia wysokości graniastosłupa Wyznaczenie wysokości graniastosłupa Ułożenie zależności umożliwiającej obliczenie objętości graniastosłupa Zapisanie objętości graniastosłupa w postaci uporządkowanego wyrażenia 8. Sporządzenie kompletnego rysunku bryły z oznaczeniami Wyznaczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa Obliczenie objętości ostrosłupa Zapisanie zależności umożliwiającej obliczenie wysokości H Obliczenie H 23p. oraz 2p. za czytelne przedstawienie rozwiązań, z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Razem 25p. Akceptuje się każdy prawidłowy sposób rozwiązania, przyznając za metodę nie ujętą w schemacie: za prawidłowe rozwiązanie zadania maksymalną liczbę punktów, za część rozwiązania konieczną na drodze do całkowitego rozwiązania liczbę punktów proporcjonalnie do pokonanych trudności zadania.

3 Test Instrukcja dla ucznia Zadania obejmują wiadomości i umiejętności ze statystyki i stereometrii - wielościany. Pisz czytelnie. Przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego rezultatu. Sporządź niezbędne rysunki. Nie posługuj się korektorem, błędne zapisy należy wyraźnie przekreślić. Za rozwiązanie zadań możesz otrzymać 23 punkty oraz 2 punkty za czytelne przedstawienie rozwiązań z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Powodzenia Zadanie. (5p.) Na diagramie przedstawiono dane dotyczące miesięcznego wynagrodzenia pracowników banku (0000 zł zarabia dyrektor). a) Ile wynosi średnie miesięczne wynagrodzenie w tym banku? b) Jaką podwyżkę otrzymał dyrektor, jeśli wszyscy pozostali pracownicy dostali po 200 zł podwyżki, a średnie miesięczne wynagrodzenie wzrosło o 0%? Zadanie 2. (2p.) Wyznacz medianę i dominantę danych liczb: 5, 52, 5, 53, 5, 52, 53. Zadanie 3. (6p.) Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 0 cm, a jego wysokość jest równa 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zadanie 4. (5p.) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 3 cm i (3 + 4 ) cm, a jego kąt ostry ma miarę Oblicz objętość graniastosłupa prostego o wysokości 9 cm, którego podstawą jest ten trapez. Zadanie 5. (5p.) Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkątem równoramiennym, w którym ramiona mają długość 2 cm, a kąt między nimi jest równy Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

4 Schemat punktowania Nr zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi a) Wykorzystanie danych z diagramu Obliczenie średniego miesięcznego wynagrodzenia b) Obliczenie średniego wynagrodzenia pracowników po podwyżce Zapisanie zależności pozwalającej obliczyć wysokość podwyżki wynagrodzenia dyrektora Obliczenie, jaką podwyżkę otrzymał dyrektor 2. Podanie mediany i dominanty danych Sporządzenie kompletnego rysunku bryły z oznaczeniami Obliczenie długości najdłuższej przekątnej sześciokąta Obliczenie długości krawędzi podstawy Obliczenie pola podstawy bryły Zapisanie zależności pozwalającej obliczyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa Obliczenie pola powierzchni bocznej ostrosłupa Sporządzenie kompletnego rysunku trapezu z oznaczeniami Zauważenie trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30 0 i 60 0 z przyprostokątną długości 4 cm oraz obliczenie wysokości podstawy Obliczenie pola podstawy graniastosłupa Obliczenie objętości graniastosłupa Zapisanie uporządkowanego wyniku wraz z jednostką 5. Sporządzenie kompletnego rysunku bryły z oznaczeniami Wyznaczenie długości krawędzi podstawy Wyznaczenie wysokości ściany bocznej Zapisanie zależności pozwalającej obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa Obliczenie pola powierzchni bryły 23p. oraz 2p. za czytelne przedstawienie rozwiązań, z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Razem 25p. Akceptuje się każdy prawidłowy sposób rozwiązania, przyznając za metodę nie ujętą w schemacie: za prawidłowe rozwiązanie zadania maksymalną liczbę punktów, za część rozwiązania konieczną na drodze do całkowitego rozwiązania liczbę punktów proporcjonalnie do pokonanych trudności zadania.

5 Test Instrukcja dla ucznia Zadania obejmują wiadomości i umiejętności ze statystyki i stereometrii - wielościany. Pisz czytelnie. Przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego rezultatu. Sporządź niezbędne rysunki. Nie posługuj się korektorem, błędne zapisy należy wyraźnie przekreślić. Za rozwiązanie zadań możesz otrzymać 23 punkty oraz 2 punkty za czytelne przedstawienie rozwiązań z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Powodzenia Zadanie. (4p.) W klasie III a pewnej szkoły przeprowadzono ankietę. Każdy uczeń odpowiedział na pytanie: ile godzin dziennie ogladasz telewizję? Wyniki ankiety przedstawiono na diagramie. Oblicz średnią arytmetyczną, medianę i dominantę zebranych danych. liczba uczniów czas [h] Zadanie 2. (2p.) Średnia arytmetyczna liczb m, n, p, q jest równa 8. Ile wynosi średnia arytmetyczna liczb m, n, p, q, 0? Zadanie 3. (4p.) Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 2, a jego pole powierzchni całkowitej jest równe 24. Oblicz wysokość tego graniastosłupa. Zadanie 4. (3p.) Przekątna prostopadłościanu prawidłowego ma długość 8cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem Oblicz pole podstawy tego prostopadłościanu. Zadanie 5. (5p.) W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy długości 8, przekątna ściany bocznej tworzy z sąsiednią ścianą boczną kąt o danej mierze α. Oblicz objętość graniastosłupa. Zadanie 6. (5p.) Na rysunku przedstawiono fragment siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego pole powierzchni całkowitej jest równe 36( + ) cm 2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

6 60 0 Schemat punktowania Nr zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Odczytanie danych z diagramu Obliczenie średniej arytmetycznej Podanie mediany Podanie dominanty 2. Zapisanie działania umożliwiającego obliczenie żądanej średniej arytmetycznej Obliczenie średniej arytmetycznej liczb m, n, p, q, 0 3. Sporządzenie rysunku bryły z oznaczeniami Zapisanie wzoru na pole powierzchni danego graniastosłupa Wykorzystanie danych do obliczenia wysokości Obliczenie wysokości bryły 4. Sporządzenie rysunku bryły i wyznaczenie długości przekątnej podstawy Wyznaczenie długości krawędzi podstawy Obliczenie pola podstawy prostopadłościanu 5. Sporządzenie kompletnego rysunku bryły z oznaczeniami Wyznaczenie długości jednego odcinka niezbędnego do obliczenia wysokości graniastosłupa Wyznaczenie wysokości graniastosłupa Ułożenie zależności umożliwiającej obliczenie objętości graniastosłupa Zapisanie objętości graniastosłupa w postaci uporządkowanego wyrażenia 6. Rozpoznanie figur tworzących podstawę i ściany boczne ostrosłupa i własności potrzebnych do rozwiązania zadania Zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa Wyznaczenie długości krawędzi ostrosłupa Obliczenie wysokości H Obliczenie objętości ostrosłupa 23p. oraz 2p. za czytelne przedstawienie rozwiązań, z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Razem 25p. Akceptuje się każdy prawidłowy sposób rozwiązania, przyznając za metodę nie ujętą w schemacie: za prawidłowe rozwiązanie zadania maksymalną liczbę punktów, za część rozwiązania konieczną na drodze do całkowitego rozwiązania liczbę punktów proporcjonalnie do pokonanych trudności zadania.

7 Test Instrukcja dla ucznia Zadania obejmują wiadomości i umiejętności ze stereometrii cz.2. Pisz czytelnie. Przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego rezultatu. Sporządź niezbędne rysunki. Nie posługuj się korektorem, błędne zapisy należy wyraźnie przekreślić. Za rozwiązanie zadań możesz otrzymać 23 punkty oraz 2 punkty za czytelne przedstawienie rozwiązań z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Powodzenia Zadanie. (5p.) Czworościan foremny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość podstawy. Jako przekrój otrzymano trójkąt o polu równym 4 cm 2. Oblicz objętość tego czworościanu. Zadanie 2. (3p.) Oblicz objętość metalu użytego do wykonania metalowej rury o wymiarach podanych na rysunku (skala nie jest zachowana). cm 4 cm 2 m Zadanie 3. (5p.) Powierzchnią boczną stożka po rozwinięciu jest wycinek koła o kącie i promieniu 5 cm. Podstawę tego stożka można wyciąć z kwadratu o boku 6 cm. Wyznacz największą możliwą miarę kąta. Zadanie 4. (3p.) Powierzchnia kulistego balonu po dopompowaniu zwiększyła się o 44%. O ile procent wzrosła objętość balonu? Zadanie 5. (4p.) Na kuli o promieniu 2 opisano stożek o kącie rozwarcia Oblicz objętość tego stożka. Zadanie 6. (3p.) W kulę o promieniu R wpisano stożek o wysokości H, gdzie H > R. Wyznacz cosinus kąta rozwarcia stożka.

8 Schemat punktowania Nr zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Sporządzenie kompletnego rysunku bryły z przekrojem i oznaczeniami Obliczenie wysokości ostrosłupa Obliczenie krawędzi bryły Obliczenie objętości czworościanu Zapisanie objętości bryły w postaci uporządkowanej 2. Obliczenie objętości walca mniejszego Obliczenie objętości walca większego Podanie objętości metalu z jednostką 3. Sporządzenie odpowiednich rysunków z oznaczeniami Obliczenie promienia podstawy stożka Obliczenie długości łuku równego obwodowi podstawy stożka Wykorzystanie długości łuku do obliczenia Obliczenie i zapisanie odpowiedzi 4. Obliczenie stosunku powierzchni brył Wyznaczenie stosunku objętości kul Obliczenie, o ile procent wzrosła objętość balonu 5. Sporządzenie odpowiedniego rysunku z oznaczeniami Zauważenie trójkąta równobocznego i obliczenie jego wysokości Wyznaczenie średnicy podstawy stożka Obliczenie objętości stożka 6. Sporządzenie odpowiedniego rysunku i zauważenie kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku Zauważenie trójkąta prostokątnego o danych bokach, potrzebnych do obliczenia cosinusa kąta rozwarcia stożka Zapisanie zależności odpowiadającej wartości cosinusa kąta 23p. oraz 2p. za czytelne przedstawienie rozwiązań, z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Razem 25p. Akceptuje się każdy prawidłowy sposób rozwiązania, przyznając za metodę nie ujętą w schemacie: za prawidłowe rozwiązanie zadania maksymalną liczbę punktów, za część rozwiązania konieczną na drodze do całkowitego rozwiązania liczbę punktów proporcjonalnie do pokonanych trudności zadania.

9 Test Instrukcja dla ucznia Zadania obejmują wiadomości i umiejętności ze stereometrii cz.2. Pisz czytelnie. Przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego rezultatu. Sporządź niezbędne rysunki. Nie posługuj się korektorem, błędne zapisy należy wyraźnie przekreślić. Za rozwiązanie zadań możesz otrzymać 23 punkty oraz 2 punkty za czytelne przedstawienie rozwiązań z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Powodzenia Zadanie. (5p.) Oblicz objętość i pole powierzchni kuli opisanej na sześcianie o objętości 3 cm 3. Zadanie 2. (5p.) Czworościan foremny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość podstawy. Jako przekrój otrzymano trójkąt o polu równym 4 cm 2. Oblicz objętość tego czworościanu. Zadanie 3. (4p.) Wycinek koła o promieniu 2 wyznaczony przez kąt 90 0 zwinięto w powierzchnię boczną stożka. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka. Zadanie 4. (3p.) Dwa walce maja taką samą wysokość. Promień podstawy jednego z nich jest o 50% większy od promienia podstawy drugiego. Oblicz stosunek objętości tych walców. Zadanie 5. (3p.) Ostrosłupy O i O 2 to ostrosłupy podobne. Uzupełnij tabelkę. Zapisz obliczenia. Ostrosłup Wysokość Krawędź podstawy Pole podstawy Objętość O 8 cm 6 cm 36 cm 2 96 cm 3 O 2 44 cm 2 Zadanie 6. (3p.) W kulę o promieniu R wpisano stożek o wysokości H, gdzie H > R. Wyznacz cosinus kąta rozwarcia stożka.

10 Schemat punktowania Nr zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Sporządzenie odpowiedniego rysunku z oznaczeniami Obliczenie krawędzi sześcianu Obliczenie przekątnej sześcianu i wyznaczenie promienia kuli Obliczenie objętości kuli Obliczenie powierzchni kuli 2. Sporządzenie kompletnego rysunku bryły z przekrojem i oznaczeniami Obliczenie wysokości ostrosłupa Obliczenie krawędzi bryły Obliczenie objętości czworościanu Zapisanie objętości bryły w postaci uporządkowanej 3. Sporządzenie odpowiednich rysunków z oznaczeniami Obliczenie promienia podstawy stożka Wskazanie długości tworzącej stożka Obliczenie pola powierzchni całkowitej tego stożka 4. Zapisanie zależności między długościami promieni walców Zapisanie stosunku objętości walców Oblicz stosunku objętości tych walców 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa O 2 Obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa O 2 Obliczenie objętości ostrosłupa O 2 6. Sporządzenie odpowiedniego rysunku i zauważenie kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku Zauważenie trójkąta prostokątnego o danych bokach potrzebnych do obliczenia cosinusa kąta rozwarcia stożka Zapisanie zależności odpowiadającej wartości cosinusa kąta 23p. oraz 2p. za czytelne przedstawienie rozwiązań, z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Razem 25p. Akceptuje się każdy prawidłowy sposób rozwiązania, przyznając za metodę nie ujętą w schemacie: za prawidłowe rozwiązanie zadania maksymalną liczbę punktów, za część rozwiązania konieczną na drodze do całkowitego rozwiązania liczbę punktów proporcjonalnie do pokonanych trudności zadania.

11 Test Instrukcja dla ucznia Zadania obejmują wiadomości i umiejętności z działów: liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne oraz równania i nierówności. Pisz czytelnie. Przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego rezultatu. Nie posługuj się korektorem, błędne zapisy należy wyraźnie przekreślić. Za rozwiązanie zadań możesz otrzymać 23 punkty oraz 2 punkty za czytelne przedstawienie rozwiązań z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Powodzenia Zadanie. (2p.) Wiadomo, że log 9 7 = a. Oblicz log 7 8. Zadanie 2. (2p.) Rozłóż wielomian W(x) = x 6 6x na czynniki możliwie najniższego stopnia. Zadanie 3. (6p.) Ania rozwiązywała przed maturą codziennie taką samą liczbę zadań. W sumie rozwiązała 336 zadań. Gdyby rozwiązywała codziennie o 4 zadania więcej, to tę samą liczbę zadań rozwiązywałaby o 2 dni krócej. Oblicz, ile zadań dziennie rozwiązywała Ania i przez ile dni. Zadanie 4. (4p.) Dana jest liczba trzycyfrowa o cyfrach należących do zbioru {, 2, 3,, 9}. Odejmujemy od niej liczbę, którą otrzymamy przez zapisanie cyfr odjemnej w odwrotnej kolejności. Wykaż, że otrzymana liczba jest podzielna przez 99. Zadanie 5. (3p.) Wykaż, korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu, że liczba niewymierna. jest Zadanie 6. (3p.) Rozwiąż nierówność 5. Zadanie 7. (3p.) Oprocentowanie lokat w pewnym banku, równe początkowo 5% w skali roku, wzrosło o,2 punktu procentowego. O ile procent wzrosło to oprocentowanie?

12 Schemat punktowania Nr zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Skorzystanie z odpowiedniej własności logarytmu Obliczenie log Zapisanie wielomianu w postaci kwadratu różnicy Rozłożenie wielomianu na czynniki 3. Wprowadzenie oznaczeń Zapisanie układu równań Przekształcenie układu do równania kwadratowego z jedną niewiadomą Rozwiązanie równania kwadratowego Rozwiązanie układu z uwzględnieniem założeń 2 Za przekształcenie układu do nieuporządkowanej postaci równania kwadratowego przyznaje się p. 4. Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie liczby trzycyfrowej z wykorzystaniem wprowadzonych symboli Zapisanie liczby z przestawionymi cyframi Obliczenie różnicy liczb Uzasadnienie, że różnica liczb jest podzielna przez Zapisanie wielomianu, którego pierwiastkiem jest dana liczba Zapisanie liczb wymiernych, które mogłyby być pierwiastkami wymiernymi wielomianu Sprawdzenie, że żadna z wymienionych liczb nie jest pierwiastkiem wielomianu i sformułowanie wniosku 6. Zapisanie dziedziny nierówności Przekształcenie nierówności do postaci 0 Rozwiązanie nierówności 7. Zapisanie zależności wynikającej z treści zadania Wykonanie odpowiednich obliczeń Zauważenie, o ile procent wzrosło oprocentowanie 23p. oraz 2p. za czytelne przedstawienie rozwiązań, z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Razem 25p. Akceptuje się każdy prawidłowy sposób rozwiązania, przyznając za metodę nie ujętą w schemacie: za prawidłowe rozwiązanie zadania maksymalną liczbę punktów, za część rozwiązania konieczną na drodze do całkowitego rozwiązania liczbę punktów proporcjonalnie do pokonanych trudności zadania.

13 Test Instrukcja dla ucznia Zadania obejmują wiadomości i umiejętności o funkcjach. Pisz czytelnie. Przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego rezultatu. Sporządź niezbędne rysunki. Nie posługuj się korektorem, błędne zapisy należy wyraźnie przekreślić. Za rozwiązanie zadań możesz otrzymać 23 punkty oraz 2 punkty za czytelne przedstawienie rozwiązań z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Powodzenia Zadanie. (3p.) Oblicz miejsca zerowe funkcji f(x) = Zadanie 2. (3p.) Wyznacz wzór funkcji liniowej f, która dla każdej liczby rzeczywistej x spełnia warunek f(5x + 2) = x + Zadanie 3. (4p.) Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór rozwiązań układu nierówności:. Zadanie 4. (5p.) Sporządź wykres funkcji f(x) = x 2 6x x 2 6x + 5. Zadanie 5. (3p.) Wyznacz wzór funkcji logarytmicznej f wiedząc, że do jej wykresu należy punkt A = (9, 2). Narysuj wykres funkcji określonej wzorem h(x) = f(9x). Zadanie 6. (5p.) Uzasadnij, że dla każdego x R + funkcja f(x) = + przyjmuje wartości nie mniejsze od 2.

14 Schemat punktowania Nr zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów. Znalezienie miejsc zerowych w każdym z przedziałów 3 Uwagi Po p. za każdy przedział Ułożenie odpowiedniego równania z dwiema niewiadomymi Wyznaczenie współczynników a i b Zapisanie wzoru funkcji liniowej Zaznaczenie odpowiednich figur w poszczególnych ćwiartkach układu lub Zaznaczenie zbioru rozwiązań nierówności I Zaznaczenie zbioru rozwiązań nierówności II Zaznaczenie zbioru rozwiązań układu nierówności Zauważenie, że należy rozpatrzyć 3 przypadki w pięciu przedziałach Wyznaczenie wzorów funkcji w poszczególnych przypadkach i wykonanie niezbędnych do sporządzenia wykresu obliczeń Sporządzenie wykresu funkcji Wyznaczenie wzoru funkcji logarytmicznej f Zapisanie wzoru funkcji h w postaci umożliwiającej sporządzenie jej wykresu Sporządzenie wykresu funkcji h Zapisanie nierówności lub Przekształcenie nierówności do postaci 0 Uzasadnienie, że (x 2) 2 Uzasadnienie, że 3x Zapisanie ostatecznego wniosku 23p. oraz 2p. za czytelne przedstawienie rozwiązań, z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Razem 25p. Akceptuje się każdy prawidłowy sposób rozwiązania, przyznając za metodę nie ujętą w schemacie: za prawidłowe rozwiązanie zadania maksymalną liczbę punktów, za część rozwiązania konieczną na drodze do całkowitego rozwiązania liczbę punktów proporcjonalnie do pokonanych trudności zadania.

15 Test Wielomiany Instrukcja dla ucznia Pisz czytelnie. Przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego rezultatu. Nie posługuj się korektorem, błędne zapisy należy wyraźnie przekreślić. Za rozwiązanie zadań możesz otrzymać 23 punkty oraz 2 punkty za czytelne przedstawienie rozwiązań z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Powodzenia Zadanie. (5p.) Dane wielomiany rozłóż na czynniki możliwie najniższego stopnia: w(x) = (x 5 )(8x 4 6) p(m,n) = 25m 2 4n 2 4n g(x,y) = 27x 3 0,00y 3 Zadanie 2. (2 x 3p.) Rozwiąż równania w zbiorze liczb wymiernych: a) 8x 3 (9x 2 + 5x) + 3 = b) x 3 + x 2 x = 0 Zadanie 3. (2 x 3p.) Rozwiąż nierówności: a) 4x 5 4x 4 + x 3 x 2 < 0 b) (6 x x 2 )(x 2 4) 0 Zadanie 4. (3p.) Dany jest wielomian W(x) = ax 20 + bx cx Wyznacz W(20) wiedząc, że W( 20) = 20. Zadanie 5. (3p.) Wielomian w(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, gdzie a oraz b to ustalone liczby rzeczywiste, ma trzy pierwiastki. Suma dwóch pierwiastków tego wielomianu jest równa 0. Wyznacz wartość współczynnika c.

16 Schemat punktowania Nr zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Rozłożenie wielomianu w(x) Zapisanie wielomianu p(m,n) w postaci różnicy kwadratów Rozłożenie wielomianu p(m,n) Zapisanie wielomianu g(x,y) w postaci iloczynowej 2 Przyznaje się po p. za rozłożenie każdego z danych czynników wielomianu w(x) 2a. Skorzystanie z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu i znalezienie jednego z pierwiastków równania Rozłożenie lewej strony równania na dwa czynniki Wyznaczenie pozostałych pierwiastków 2b. Rozwiązanie równania dla x 0 Uzasadnienie, że dla x < 0 równanie nie posiada pierwiastków wymiernych Zapisanie rozwiązań równania 3a 3b. Znalezienie miejsc zerowych Sporządzenie na osi szkicu wykresu wielomianu będącego lewą stroną nierówności Zapisanie rozwiązania nierówności Za bezbłędne rozwiązanie zadania 3 przyznaje się 6p. po 3p. za każdą nierówność 4. Zapisanie W( 20) oraz W(20) dla danego wielomianu Przekształcenie W(20) Wykorzystanie wartości W( 20) i obliczenie W(20) 5. Zapisanie w(x) w postaci iloczynowej, spełniającej warunki zadania dotyczące pierwiastków Porównanie zapisanej postaci wielomianu po jej uporządkowaniu z daną w zadaniu Wyznaczenie wartości współczynnika c 23p. oraz 2p. za czytelne przedstawienie rozwiązań, z pełnym komentarzem oraz poprawne zapisy matematyczne. Razem 25p. Akceptuje się każdy prawidłowy sposób rozwiązania, przyznając za metodę nie ujętą w schemacie: za prawidłowe rozwiązanie zadania maksymalną liczbę punktów, za część rozwiązania konieczną na drodze do całkowitego rozwiązania liczbę punktów proporcjonalnie do pokonanych trudności zadania.