Zestaw zadań powtórzeniowych dla maturzystów

Transkrypt

1 Zestaw zadań powtórzeniowych dla maturzystów LICZBY RZECZYWISTE Zad Ze zbioru liczb {,; 8; ; 0,; 0, (); ; ; π ; 0; 8; 8%; } wybierz liczby: a) naturalne b) niewymierne Zad Oblicz: a) : b) ( ) : +,8 Zad Oblicz: a), b) :, c), d) ( ), e) Zad Doprowadź do najprostszej postaci, a następnie oblicz wartość wyrażenia: a) ( x + y) (x y) (x y) dla x i y 8 ( ) ( ) b) ( x + ) + x( x + )( x ) + ( x ) dla x Zad Doprowadź do najprostszej postaci: a) ( + ) b) + 0 c) + 8 c) ( + ) d) + 8 Zad Usuń niewymierność z mianownika: a) Zad Oblicz: a), b) ( ), c), b), c) + ( ) ( ) ( ) Zad8 Zapisz w postaci potęgi o podstawie : a) Zad Zamień na ułamek zwykły: a), (), b),0() d) d) + b) 8 Zad0 Liczbę 8, zaokrąglij do : a) części setnych, b) dziesiątek Zad Oblicz błąd bezwzględny i względny każdego z podanych przybliżeń: zł 00zł,0zł 0zł i Zad Wyznacz; a) % liczby 0, b) liczbę o 0% większą od, c) liczbę o 0% mniejszą od, d) liczbę, której 0% wynosi Zad Jaki podatek zapłaci osoba, która wpłaciła 00 zł na lokatę roczna, jeśli oprocentowanie wynosi % Ile będzie wynosił podatek od odsetek, jeśli oprocentowanie lokaty wzrośnie o, punktu procentowego Zad Andrzej zarabia 00 zł, natomiast Jacek 00 zł a) O ile procent więcej od Andrzeja zarabia Jacek? b) O ile procent mniej od Jacka zarabia Andrzej? Zad Wyznacz zbiory : A B, A B, A \ B, B \ A a) A (,0), B, ), b) A,, B, + ) Zad Rozwiąż: a) x +, b) x +0, c) x, d) x, e) x + 8 Zad Porównaj liczby: a) 0,8i b) i + c) π i π FUNKCJE Zad Funkcja f jest określona w formie tabelki Podaj jej dziedzinę, zbiór wartości funkcji, miejsca zerowe i wartość najmniejszą i największą Narysuj wykres funkcji f x f(x) 0 0 -

2 Zad Wyznacz dziedzinę funkcji a) x ( x) x f b) ( x) Zad Wyznacz miejsce zerowe funkcji x f c) f ( x) x x + f ( x) x x 8 d) f ( x) x 0 Zad Naszkicuj wykres funkcji, która długości boku prostokąta o obwodzie 0 przyporządkowuje długość sąsiedniego boku Zad Sporządź wykres funkcji f określonej wzorem f ( x) x + x dla x dla x Z wykresu funkcji odczytaj: a) dziedzinę i zbiór wartości funkcji, b) miejsca zerowe funkcji c) przedziały monotoniczności d) zbiór argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości : ujemne, dodatnie Zad Korzystając z wykresu funkcji ( x) x a) x f sporządź wykresy funkcji: y, b) y x +, c) y x + d) y ( x + ) FUNKCJA LINIOWA ZadDana jest funkcja liniowa określona wzorem f ( x) x + a) Wyznacz miejsce zerowe funkcji f b) Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych c) Oblicz, dla jakiego argumentu wartość funkcji wynosi d) Sprawdź rachunkowo, czy punkty: A (, ), B (,) należą do wykresu funkcji f e) Wyznacz zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie f) Sporządź wykres funkcji f Zad Dane są punkty: A (,), B (,) a) Oblicz współczynnik kierunkowy prostej, do której należą punkty A i B b) Wyznacz równanie prostej w postaci kierunkowej oraz ogólnej przechodzącej przez punkty A i B Zad Wyznacz wzór funkcji liniowej, jeśli do jej wykresu należy punkt (,) i przyjmuje ona wartości ujemne tylko dla x Zad Dana jest prosta l : x + 8y 0 Wyznacz równanie prostej prostopadłej do proste l i przechodzącej przez punkt A (,) Zad Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań x + y x y Zad Z miast A i B wyruszają jednocześnie naprzeciw siebie pociągi jadące ze stałą prędkością Jeden z nich jedzie z prędkością dwukrotnie większą niż drugi Spotykają się po godzinie i 0 minutach Gdyby wolniejszy pociąg jechał z prędkością 0 0 km/h większą, to spotkanie nastąpiłoby po godzinie i minutach Jaka jest odległość z A i B? Zad Sporządź wykres funkcji określonej wzorem ( ) ( ) przedziały monotoniczności funkcji f Zad Funkcja f jest określona wzorem ( x) x x FUNKCJA KWADRATOWA f x x + Wyznacz zbiór wartości i f Wyznacz: a) współrzędne wierzchołka paraboli, b) miejsca zerowe funkcji f, c) współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych, d) równanie osi symetrii Narysuj wykres funkcji f Zad Wyznacz postacie funkcji f określonej wzorem f ( x) x x x + x, b) x 0, c) x, d) ( x ) x x x +, b) ( x ) ( + x) 0, c) x + x + 0, d) + x 0 Zad Rozwiąż: a) ( ) ( x + ) Zad Rozwiąż: a) 0 Zad Wyznacz najmniejsza i największą wartość funkcji f w przedziale,, jeśli : a) f ( x) x x +, b) f ( x) ( x ) ( x + ) x

3 Zad Wykresem funkcji f ( x) x + bx + c jest parabola o wierzchołku (,) W Wyznacz współczynniki b i c oraz zapisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej Zad8 Wyznacz współczynniki b i c funkcji f ( x) x + bx + c wiedząc, że m zerowymi funkcji f są liczby i - Zad Oblicz pole i obwód prostok, którego przekątna ma długość cm, a jeden z boków jest o cm dłuższy od drugiego f x x x + Zad0 Wyznacz dziedzinę funkcji określonej wzorem ( ) ( ) ( ) Zad Dla jakich liczb x i y ich iloczyn przyjmuje najmniejszą wartość, jeżeli różnica tych liczb jest równa Zad Z krawędzi dachu podrzucono kamień, który po dwóch sekundach spadł Wysokość (wyrażoną w m), na jakiej znajdował się kamień po upływie t sekund od chwili podrzucenia, opisuje funkcja h( t) t + t + 0, gdzie t 0, a) Podaj, z jakiej wysokości (od ziemi) kamień został podrzucony b) Oblicz, po jakim czasie od momentu podrzucenia kamień osiągnął największą wysokość c) Oblicz największą wysokość (od ziemi), na jaką wzniósł się ten kamień WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE Zad Dane są wielomiany: w ( x) x + x, p ( x) x + x Wyznacz: a) w ( x) + p( x), b) w( x) p( x) c) ( x) p( x) Zad Rozłóż wielomian na czynniki : w a) w( x) x x b) w ( x) + 8x c) w ( x) x + x + x + Zad Rozwiąż równania: x + x, b) x x x + 0, c) x x a) x x 0 Zad Długość x jednego boku prostokąta o ustalonym polu jest odwrotnie proporcjonalna do długości drugiego boku Zapisz tę proporcjonalność i narysuj jej wykres Zad Wykonaj działania: a) x x + x Zad b) x x x : + x + x x + x Narysuj wykres funkcji określonej wzorem f ( x) i na podstawie wykresu omów własności: y TRYGONOMETRIA Zad Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta α trójkąta ABC, jeśli: BC 8 i AC 0 ABC 0, α BCA, Zad W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów ostrych ma wartość Oblicz długości przyprostokątnych tego cm trójkąta, wiedząc, że przeciwprostokątna ma długość Zad Rozwiąż trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości i Miary kątów zapisz stopniach i minutach Zad Korzystając z podstawowych tożsamości trygonometrycznych, wyznacz wartości pozostałych funkcji kąta α, wiedząc, że jest on kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, takim, że: a) sin α b) Zad Wykaż tożsamość + tg α cos α Zad Drabina oparta o ścianę tworzy z nią kąt drabiny Wynik podaj w centymetrach Zad Pole trójkąta równobocznego wynosi cm Oblicz długość boku oraz wysokości tg α c) sin ( 0 α ) 0 Jej dolny koniec jest oddalony od ściany o m Oblicz długość Zad8 Długości boków równoległoboku wynoszą cm i cm, zaś miara kąta rozwartego wynosi 0 Oblicz: a) pole równoległoboku b) długości wysokości równoległoboku Zad W trapezie równoramiennym krótsza podstawa ma długość cm, zaś ramię ma długość 8 cm Miara kąta ostrego wynosi Oblicz pole i obwód trapezu Zad0 Cięciwa łącząca punkty łuku wyznaczonego przez punkty A i B A i B leżące na okręgu o promieniu ma długość Oblicz długość krótszego w

4 Zad Oblicz: a), 0,0, Zad Zapisz w postaci potęgi liczby : a) b) Zad Oblicz: a) log, log, Zad Oblicz: a) log Zad Wiedząc, że log x, oblicz: a) FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY b) +, ( ) log, log, log c) 8 b) 8 log log, log + b) log log log x b) log x log b) log + 0, Zad Przedstaw w postaci jednego logarytmu: a) Zad Wiedząc, że x, y 0 doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie:, log + y log x + log Zad8 Sporządź wykresy funkcji Podaj równanie asymptoty poziomej oraz zbiór wartości funkcji x + a) f ( x) x x b) f ( x) c) f ( x) Zad Korzystając z własności f wykładniczej uporządkuj liczby od najmniejszej do największej:, 8, Zad Dany jest ciąg ( ) n CIĄGI a n n n a określony wzorem a) Wyznacz piaty wyraz tego ciągu b) Które wyrazy tego ciągu są równe 0? c) Ile wyrazów ujemnych ma ten ciąg? Zad a) Zbadaj, czy ciąg ( ) n a określony wzorem n jest arytmetyczny? b) Zbadaj, czy ciąg ( b ) n określony wzorem a n b n n jest geometryczny? Zad Sprawdź, czy w ciągu, 8,,,, występuje liczba, a jeśli tak, to na którym miejscu, x, x jest geometryczny Wyznacz te ciągi Zad Znajdź liczbę x, dla której ciąg ( ) Zad W ciągu arytmetycznym ( ) n Zad W ciągu geometrycznym ( ) n a : a i a 0 0 Wyznacz: a) ai r, b) wzór ogólny ciągu, c) S a dane są: a i a 8 Wyznacz: a) a i q, b) wzór ogólny ciągu, c) S Zad Trzy początkowe wyrazy ciągu (,, y, ) Oblicz x i y x tworzą ciąg geometryczny, a trzy ostatnie ciąg arytmetyczny Zad8 Do jakiej kwoty wzrośnie kapitał w wysokości 000 zł złożony na lata, jeśli oprocentowanie w skali roku wynosi 8%, a odsetki są kapitalizowane: a) co pół roku, b) kwartalnie Podatek od odsetek wynosi 0% Zad Wykopanie pierwszego metra studni kosztuje 8 zł, a każdego następnego o zł drożej a) Ile kosztuje wykopanie studni o głębokości m? b) Wykopanie studni kosztowało 8 zł Jaka była jej głębokość?

5 Geometria analityczna Zad Dana jest prosta l: y x Wyznacz równanie prostej k prostopadłej do prostej l i przechodzącej przez punkt A (, ) Zad Dana jest prosta l: y x + Wyznacz równanie prostej k równoległej do prostej l i przechodzącej przez punkt A (, ) Zad Punkt A (, ) jest końcem odcinka AB, którego środek ma współrzędne S (,) Wyznacz współrzędne punktu B Zad Środek odcinka o końcach A (, ), B (, ) jest środkiem okręgu o promieniu r8 Napisz równanie tego okręgu Zad Dany jest kwadrat o przeciwległych wierzchołkach A (,), C (,) Wyznacz długość boku tego kwadratu Zad Napisz równanie okręgu o środku S (,) i promieniu równym długości odcinka o końcach : A (, ), B (, ) Zad Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach y x + 8 i y x + Zad8 Wykaż, że punkty: A (, ), B (, ), C (,) są współliniowe Zad Dany jest trójkąt o wierzchołkach : A (,), B ( 0,), C (, ) a) Wyznacz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka B b) Oblicz pole trójkąta Planimetria Zad Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A B C Kąty przy wierzchołkach C i C są proste Najdłuższy bok trójkąta A B C ma długość, a dwa krótsze boki trójkąta ABC mają długości i Oblicz skalę podobieństwa tych trójkątów Zad Wysokość trójkąta równobocznego jest równa Oblicz pole tego trójkąta Zad Kąt środkowy i wpisany oparte są na tym samym łuku Suma miar tych kątów jest równa 0 Oblicz miarę kąta środkowego Zad Jedna z przyprostokątnych trójkąta jest trzy razy dłuższa od drugiej przyprostokątnej Długość przeciwprostokątnej jest równa 0 Wyznacz długość krótszej przyprostokątnej Zad W trójkącie dane są: AB, AC, BC 8 Poprowadzono prostą równoległą do boku AB, która przecięła bok AC w punkcie E odległym od punktu C o, a bok BC przecięła w punkcie F Wyznacz obwód trójkąta EFC Zad Dany jest bok rombu a0 i kąt wewnętrzny 0 Oblicz wysokość tego rombu Zad Jedna z przekątnych rombu o polu jest równa Oblicz długość boku oraz wysokości tego rombu Zad8 Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 0 oraz Miara kąta ostrego wynosi 0 Oblicz pole trapezu Zad Trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej AB jest wpisany w okrąg Kąt CAB ma miarę 0 Wyznacz kąt między styczną do okręgu poprowadzoną w punkcie B i bokiem BC tego trójkąta Stereometria Zad W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ma długość 0 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α 0 Oblicz V i P c Zad W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość cm Kąt między ścianą boczną a podstawą ostrosłupa ma miarę α 0 Oblicz V i P c Zad Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 0 cm i tworzy z podstawą walca kąt α taki, że Oblicz V i P c Zad Kąt rozwarcia stożka ma miarę 0, a pole jego powierzchni bocznej wynosi 8 π cm Oblicz V i P c tg α

6 Zad Naczynie służące do pomiaru opadów deszczowych ma kształt walca o średnicy 0 cm i wysokości mającej cm Przyjmując, że krople deszczu są w kształcie kuli o średnicy mm, oblicz, ile kropli deszczu napełni naczynie Odp 0 Zad Z wycinka koła o promieniu 0 cm chcemy utworzyć powierzchnię boczną stożka, którego wysokość ma być równa cm Jaki powinien być kąt środkowy tego wycinka Odp Zad Dane są dwie kule Objętość pierwszej jest równa π cm, a druga ma promień dwa razy dłuższy od promienia pierwszej kuli Oblicz objętość drugiej kuli Jaki jest stosunek ich pól powierzchni? 88 Prawdopodobieństwo Zad Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek mniejszej od sześciu Zad W urnie znajdują się kul białych oraz 8 kul czarnych Losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwracania Oblicz prawdopodobieństwo, że wyjmiemy co najmniej jeden raz kulę białą Zad Rzucamy trzy razy sześcienną kostką do gry Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest równa co najwyżej Zad Sześciu pasażerów wsiada do tramwaju złożonego z trzech wagonów Każdy losowo wybiera wagon Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszyscy wsiądą do jednego wagonu Zad Rzucamy dwa razy sześcienna kostką do gry Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest równa 8 lub iloczyn wyrzuconych oczek jest równy Statystyka Zad Oblicz średnią arytmetyczną, medianę i modę zestawu liczb: a),,,,,,,, b),,,,,,, Zad Oblicz średnią arytmetyczną, medianę i modę zestawu danych dotyczących długości snu uczniów pewnej klasy: Liczba godzin snu 8 0 Liczba wskazań Zad Oblicz wariancję i odchylenie standardowe zestawu wag plecaków uczniowskich: kg, kg, kg, kg, kg, 8 kg Zad Oblicz średnią ważoną liczb (z wagą ), (z wagą ) i (z wagą ) Zad W zarządzie pewnej firmy pracują trzy osoby, które zarabiają przeciętnie 00 zł miesięcznie Oprócz zarządu w tej firmie pracują jeszcze: 0 osób w dziale zaopatrzenia i osób w dziale technicznym Średnia płaca w dziale zaopatrzenia wynosi 00 zł, a w dziale technicznym 00 zł Jaka jest średnia zarobków w tej firmie? Odp, zł Zad Ocena roczna wystawiana przez pewnego nauczyciela, jest średnią ważoną (zaokrągloną do liczby całkowitej) ocen: za pierwszy semestr z wagą 0, i za drugi semestr z wagą 0, Jaką ocenę roczną uzyskał Tomek, jeśli w I semestrze uzyskał, zaś w II semestrze Zad Średnie miesięczne wynagrodzenie w pewnej firmie zatrudniającej 0 pracowników wynosiło 00 zł Zatrudniono nowego pracownika Ile zarabia nowo zatrudniony pracownik, jeśli obecnie średnie miesięczne wynagrodzenie w firmie jest o % niższe niż poprzednio Odp8 zł