Zastosowanie metod numerycznych. Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN. reginska/wyklady2011

Transkrypt

1 Zastosowanie metod numerycznych Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN reginska/wyklady2011 Wykład, CSZ PW, semestr letni 2013 Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 1/55

2 Aproksymacja pochodnej - metoda wygładzania Korzystaja c z zaburzonych danych f δ wyznaczyć gladka aproksymacjȩ g δ funkcji f Poszukiwana pochodna f aproksymować pochodna (g δ ). Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 2/55

3 Założenia: niech f C 2 [0, 1] niech := {x i } i=0,,n ; x i = ih; h = 1 n zamiast f(x i ) znamy { f i }, i = 0,, n takie, że f(x i ) f i δ Problem 1 - minimum warunkowe Wyznaczyć funkcjȩ g realizuja ca minimum: min{ g L 2 (0,1) g C 2 (0, 1), g(0) = f(0), g(1) = f(1)} przy warunku n 1 1 (W) ( n 1 f i g(x i )) 2 δ 2 i=1 Jako aproksymacjȩ f bierzemy pochodna g. Teresa Regińska 3/55

4 Uwagi: Każda funkcja g spełniaja ca (W) może być kandydatem na rozwia zanie. Wśród nich szukamy funkcji najbardziej gładkiej. Jeżeli g jest rozwia zaniem Problemu 1 a nierówność (W) dla g jest ostra, to g jest funkcja liniowa interpoluja ca wartości brzegowe, tzn. g (x) = f(0) + x(f(1) f(0)) (rozwia zanie trywialne) Poza tym przypadkiem g spełnia warunek (W) z równościa. Zatem można zastosować metodȩ Lagrange a. Niech 1 α bȩdzie mnożnikiem Lagrange a dla (W). Otrzymujemy nastȩpuja ce równoważne sformułowanie Problemu 1: Teresa Regińska 4/55

5 Definiujemy funkcjonał regularyzacyjny: Φ α (g) := 1 n 1 ( n 1 f i g(x i )) 2 + α g 2 i=1 Problem 2 - minimum funkcjonału regularyzacyjnego Niech g α := arg min{φ α (g) g C 2 (0, 1), g(0) = f(0), g(1) = f(1)} Jeśli α(δ) jest takie, że g α(δ) spełnia warunek (K) n 1 1 ( n 1 f i g α(δ) (x i )) 2 = δ 2, i=1 to jako aproksymacjȩ f bierzemy pochodna g α(δ). Teresa Regińska 5/55

6 Warunek (K) jest kryterium wyboru parametru regularyzacji α. Lemat Jeśli α(δ) wybrane jest zgodnie z kryterium (K), to g = g α(δ), Jaki jest bła d aproksymacji f przez g? Teresa Regińska 6/55

7 W pracy [M. Hanke, O. Scherzer, Amer. Math. Monthly, vol.6, , 2001] udowodniono nastȩpuja ce twierdzenia: Twierdzenie 1 Załóżmy, że f L 2 (0, 1). Jeżeli g α(δ) minimalizuje funkcjonał Φ α (g) na zbiorze funkcji C 2 [0, 1], a parametr regularyzacji α(δ) jest wybrany zgodnie z kryterium (K), to f g α(δ) L 2 ( 8 h f L 2 + ) δ f 1 2 L 2. Teresa Regińska 7/55

8 Twierdzenie 2 Φ α (g) := 1 n 1 ( n 1 f i g(x i )) 2 + α g 2 i=1 Funkcja g α minimalizuja ca funkcjonał Φ α (g) na C 2 [0, 1] jest naturalnym splajnem kubicznym na równomiernej siatce spełniaja cym warunki: g (x i +) g (x i ) = 1 ( f i g (x i )), i = 1,, n 1 α(n 1) Teresa Regińska 8/55

9 Splajny (funkcje sklejane) - wprowadzenie Dla uproszczenia: przedzial [0, 1] i siatka równomierna := {x i } i=0,,n ; 0 = x 0 < x 2 < < x n = 1; x i+1 x i = h najprostsze to splajny liniowe: funkcje cia głe na [0,1] i liniowe na przedziałach [x i, x i+1 ], i = 0,, n 1 S 1 := {g C[0, 1] : g [xi,x i+1 ] jest wielomianem stopnia 1} splajny kubiczne to funkcje cia głe wraz z druga pochodna na [0,1] i bȩda ce wielomianami stopnia 3 na przedziałach [x i, x i+1 ], i = 0,, n 1 S 3 := {g C 2 [0, 1] : g [xi,x i+1 ] jest wielomianem stopnia 3} Teresa Regińska 9/55

10 Splajny (funkcje sklejane) - wprowadzenie cd. Dla jednoznacznego wyznaczenia splajnu kubicznego na n + 1 wȩzłach potrzeba n + 3 równań. Wprowadza siȩ wiȩc tzw. naturalny splajn kubiczny, na wyznaczenie którego wystarcza n + 1 równań. Naturalny splajn kubiczny to splajn kubiczny spełniaja cy dwa dodatkowe warunki: drugie pochodne na końcach przedziału [0,1] sa równe 0. S 3 := {g S 3 : g (0) = g (1) = 0} Teresa Regińska 10/55

11 Przykład zastosowania różniczkowania numerycznego Problem rekonstrukcji współczynnika dyfuzji z eksperymentlnych pomiarów rozkładu temperatury Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 11/55

12 Rozkład temperatury u w jednowymiarowym jednorodnym ośrodku, w którym współczynnik dyfuzji a zależy od temperatury, opisany jest przez równanie paraboliczne: u t = (a(u)u x ) x, 0 < x < 1, 0 < t < T z odpowiednimi warunkami brzegowymi. "direct problem": wyznaczyć rozkład temperatury gdy znamy a(u) zadanie odwrotne: wyznaczyć współczynnik dyfuzji a(u) z eksperymentalnych danych, np. z dyskretnych pomiarów temperatury przykład: mierniki temperatury w punktach x i, pomiary w chwilach t j, przybliżone dane ũ(x i, t j ) Wyznaczyć przybliżona funkcjȩ u t(x i, t) Teresa Regińska 12/55

13 [M. Hanke, O. Scherzer, Amer. Math. Monthly, v.6, 2001] Rys.1 Rys.2 Rys.1. kółeczka - pomiary u(0, t j ); linia cia gła - wygładzaja cy splajn kubiczny Rys.2. linia przerywana - iloraz różnicowy; linia cia gła - pochodna splajnu wygładzaja cego. Teresa Regińska 13/55

14 Metody regulazyzacji Idea pochodzi od A.N. Tichonowa (lata 60-te) A.N.Tikhonov, V.Y.Arsenin, Solutions of ill-posed problems, John Wiley and Sons, New York, 1977 (tłumaczenie z rosyjskiego) Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 14/55

15 Zadanie źle postawione (*) Au = f, A : X Y, AX Y f f δ Y δ; zakładamy, że dla dokładnego f rozwia zanie u istnieje. Rodzina zadań dobrze postawionych Zadanie źle postawione zastȩpujemy rodzina zadań dobrze postawionych: B α u = f, α (0, α 0 ) taka, że istnieje funkcja α(δ), dla której u δ α(δ) := B 1 α(δ) f δ u gdy δ 0 Teresa Regińska 15/55

16 Metoda regularyzacji {B 1 α } α (0,α0 ) - rodzina regularyzuja ca dla (*) metoda wyboru parametru regularyzacji α(δ). Kluczowa sprawa jest właściwy wybór parametru regularyzacji. u δ α(δ) u 0 gdy δ 0 Teresa Regińska 16/55

17 Przykłady A m n, X = R n, Y = R m : wtedy = A - rodzina jednoelementowa B 1 α Zadanie obliczenia pochodnej; zastosowanie ilorazu różnicowego D h f(x) := f(x+h) f(x h) 2h : u δ h = D hf δ i u u δ h = O(h + δ h ) gdy f C2. Jeśli h(δ) = δ to zbieżność Rodzina regularyzuja ca - {D h } h (0,h0 ) Zadanie obliczenia pochodnej metoda wygładzania: u δ α = g α, gdzie g α C 2 minimalizuje funkcjonal φ α (g) Φ α (g) := 1 n 1 ( n 1 f i g(x i )) 2 + α g 2 i=1 Dla każdego α jest to zadanie dobrze postawione. Teresa Regińska 17/55

18 Konstrukcja rodziny regularyzuj acej dla równania całkowego Au(x) := Ω K(x, y)u(y)dy = f(x) gdy Ω Ω K(x, y) 2 dxdy < ( ) Au = f, A : L 2 (Ω) L 2 (Ω), f f δ δ Przypomnijmy: min u L 2 Au f δ L 2 nie zawsze istnieje gdy A macierz m n, to min u R n Au f δ R m może nie być jednoznaczne istnieje, ale Teresa Regińska 18/55

19 Metoda Tichonowa: Definicja: Funkcjonał regularyzuja cy dla (*) Rozwia zanie zregularyzowane F α (u, f) := Au f 2 L 2 + α u 2 L 2 u δ α := arg min u L 2 F α(u, f δ ) α nazywamy parametrem regularyzacji Teresa Regińska 19/55

20 u δ α := arg min u L 2 F α(u, f δ ) Sformułowanie równoważne gdzie (**) A Au + αu = A f A f(x) := Ω K(y, x)f(y)dy jest operatorem sprzȩżonym do Au(x) := Ω K(x, y)u(y)dy, tj. (Au, v) L 2 := Ω Au(x)v(x)dx = Ω u(x)a v(x)dx = (u, A v) L 2 Czyli rozwia zanie zregularyzowane metoda Tichonowa jest postaci: u δ α = (A A + α) 1 A f δ Teresa Regińska 20/55

21 Pytania: Czy dla każdego α (0, α 0 ) zadanie (**) jest dobrze postawione? Czy dla każdego f L 2 (Ω) istnieje rozwia zanie (**)? Czy rozwia zanie jest jednoznaczne? Czy u δ α u α 0 gdy δ 0? Jak wybrać α w zależności od poziomu błȩdu δ aby mieć możliwie najlepsze przybliżenie rozwia zania dokładnego? Odpowiedzi na te pytania w przypadku ogólnym można znaleźć np. w monografii H.W. Engl, M. Hanke, A. Neubauer, Regularization of Inverse Problems, Kluwer 1996 Teresa Regińska 21/55

22 Równanie (**) dla operatora całkowego Au(x) := Ω K(x, y)u(y)dy, A f(x) := Ω K(y, x)f(y)dy, to A Au(x) = K(z, x)k(z, y)dz u(y)dy Ω Ω }{{} Zatem równanie (**) ma postać: Ω K(x, y) K(x, y)u(y)dy + αu(x) = Ω K(y, x)f(y)dy. Jest to równanie całkowe drugiego rodzaju, które jest dobrze postawione w przestrzeni L 2 (Ω). Teresa Regińska 22/55

23 Metoda Tichonowa dla zadania wyznaczenia pochodnej funkcji, któr a znamy w przybliżeniu. Sformułowanie zadania w postaci całkowej: Au(x) := 1 0 K(x, y)u(y)dy = f(x) przy założeniu, że f(0) = 0 i Au(x) = x 0 K(x, y) = { 1 x y 0 x < y u(y)dy oraz A v(x) = K(x, y) = Równanie Tichonowa ma postać: 1 0 { 1 x x y 1 y x < y K(x, z)u(z)dz + αu(x) = 1 x 1 x u(y)dy. f δ (y)dy Teresa Regińska 23/55

24 Twierdzenie 1 (zbieżność regularyzacji Tichonowa) Jeżeli u δ α = (A A + α) 1 A f δ, a parametr regularyzacji spełnia warunki asymptotyczne: to δ lim α(δ) = 0 oraz lim = 0, δ 0 δ 0 α(δ) lim δ 0 uδ α(δ) u L 2 = 0 Twierdzenie nie odpowiada na pytanie jak wybrać α dla danego poziomu błȩdu δ. Teresa Regińska 24/55

25 Twierdzenie 2 (oszacowanie błȩdu) Założenia jak w Tw.1 + założenia dodatkowe: v L 2 (Ω) takie, że u = A v oraz v E α(δ) = c δ E, to Jeśli natomiast u δ α(δ) u L 2 ( 1 2 c + ) c δe v L 2 (Ω) takie, że u = A Av oraz v E α(δ) = c ( δ E ) 2/3, to u δ α(δ) u L 2 ( 1 2 c + c)e1/3 δ 2/3 Ważna jest informacja a priori o rozwi azaniu 2 Teresa Regińska 25/55

26 Maksymalny rza d zbieżności Jeżeli metoda Tichonowa dana jest wzorem: to u δ α = (A A + α) 1 A f δ, δ 2 3 jest maksymalnym rzȩdem zbieżności met. Tichonowa Twierdzenie 3 Jeżeli lim δ 0 uδ α(δ) u L 2δ 2 3 = 0, dla każdego f δ takiego, że f f δ δ, to u = 0. Teresa Regińska 26/55

27 Wygładzanie Regularyzacja zadanie dyskretne uwarunkowanie Przykład 1 Zad.odwrotne Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 27/55

28 Dyskretyzacja zadania źle postawionego metoda różnicowa, metoda elementu skończonego, metody rzutowe itp.; w wyniku otrzymuje siȩ dyskretne zadanie źle postawione (rodzinȩ zadań); należy zbadać istnienie rozwia zania dyskretnego dla danych dokładnych oraz to, w jaki sposób aproksymuje ono rozwia zanie dokładne zależność rozwia zania dyskretnego od błȩdów danych Regularyzacja dyskretnego zadania źle postawionego Teresa Regińska 28/55

29 Metody rzutowe Au = f, A : X X, X = L 2 (Ω) Metoda najmniejszych kwadratów na X n Niech {X i } skończenie wymiarowa aproksymacja X X 1 X 2 X oraz n X n = X Wyznaczyć u n X n o minimalnej normie takie, że Au n f 2 Av n f 2 dla każdego v n X n u n w n dla każdego w n takiego, że Au n f = Aw n f Jeśli f f δ, to rozwia zanie to oznaczamy przez u δ n. Teresa Regińska 29/55

30 Niech P n - rzut ortogonalny X na X n, tzn. P n P n = P n (rzut) oraz Niech (P n v, (I P n )w) L 2 = 0 dla każdego v, w X Y n := AX n, oraz Q n : X AX n rzut ortogonalny na Y n Zadanie dyskretne LSQ Wyznaczyć rozwia zanie uogólnione równania A n u δ n = Q n f δ gdzie A n = A Xn : X n Y n n u δ n istnieje, bo dim X n <, ale nawet przy δ = 0 u n nie musi zbiegać do u gdy Au = f jest zadaniem źle postawionym. Teresa Regińska 30/55

31 Twierdzenie, T.I. Seidmann, J Optimiz Theory App, 30,4, 1980 Dla prawie każdego f AX istnieje cia g podprzestrzeni X n taki, że cia g rozwiazań u n otrzymanych metoda LSQ jest nieograniczony ( u n ). Konieczna duża ostrożność przy wyborze dyskretyzacji! Teresa Regińska 31/55

32 Przykład Seidman a {e i } i=1 baza ortonormalna X: X n := span{e 1,, e n } Równanie Au = f Jeśli v = ξ i e i, to Av := (α 1 ξ i + β i ξ 1 )e i, i=1 i=1 gdzie α i = 1 i dla i parzystych i α i = 1 i 5 dla nieparzystych; β 1 = 0, β i = 1 i dla i > 1 Równanie Au = f dla f = ( αi ) i=1 i + β i ei ma rozwia zanie u = i 1 e i i=1 n P n u = i 1 e i i=1 Teresa Regińska 32/55

33 Przykład Seidman a, cd Rozwia zanie LSQ na X n n u n = ξ i,n e i, i=1 ( ni=1 gdzie ξ 1,n,.ξ n,n minimalizuje A ξ ) i,n e i f 2 Obliczamy ξ i,n, i = 1,..., n i otrzymujemy u n P n u 2 = ( n i=1 1 ) (α i i) 2 i=n α i i 2 + u n P n u n cia g u n nie jest zbieżny 2 1 i i=n+1 2. Teresa Regińska 33/55

34 Dualna metoda najmniejszych kwadratów Niech {Y i } skończenie wymiarowa aproksymacja AX Y 1 Y 2 AX oraz n Y n = AX Niech Q n - rzut ortogonalny X na Y n oraz A n := Q n A. Wyznaczyć u n, które jest rozwia zaniem uogólnionym równania A n u n = f n, gdzie f n = Q n f u n jest najlepszym możliwym przybliżeniem u w X n := A Y n. Teresa Regińska 34/55

35 Twierdzenie o zbieżności Jeżeli f AX, u jest rozwia azaniem AU = f, a u n jest rozwia zaniem uogólnionym Q n Au = Q n f, to u n = P n u, gdzie P n - rzut ortogonalny X na podprzestrzeń X n := A Y n oraz f f δ i f f δ δ u u n X 0 gdy n. Niech u δ n - rozwia zanie uogólnione Q n Au = Q n f δ. u δ n u u u n + u n u δ n Jeżeli µ n jest minimalna 0 wartościa szczególna A n, to u δ n u (I P n )u + δ µ n. Dualna metoda LSQ jest jednocześnie metoda regularyzacji: wybór n(δ. Teresa Regińska 35/55

36 Wrażliwość rozwia zania dyskretnego na zaburzenia danych Skończenie wymiarowe zadanie dyskretne można sprowadzić do układu równań algebraicznych z macierza A n R n m. A n u n = f n Niech u n i u n,δ oznaczaja rozwia zanie uogólnine dla prawej strony f n i f δ n Bła d wzglȩdny u n u n,δ u n κ(a n ) f n f δ n f n κ(a n ) - wskaźnik uwarunkowania Teresa Regińska 36/55

37 Wskaźnik uwarunkowania zadania dyskretnego Przypomnienie (str. 24 czȩść I) κ(a n ) := A n A n = max i=1,,r σ i min i=1,,r σ i A n - norma macierzy indukowana przez normȩ euklidesowa wektora u := u 2 i. A n := sup u =1 { A n u } σ 1,, σ r niezerowe wartości szczególne A n, tzn. σ i = λ i, gdzie λ i sa wartościami własnymi A n A n (A n rzeczywista) Teresa Regińska 37/55

38 Regularyzacja Tichonowa zadania dyskretnego Przypomnijmy: gdy A macierz m n, to min u R n Au f δ R m istnieje, ale może nie być jednoznaczne. Minimum to jest rozwia zaniem równania A Au = A f δ metoda regularyzacji Tichonowa ( ) u δ α := arg min Au f δ 2 u R n R m + α u 2 R n parametr regularyzacji α (0, α 0 ) rozwia zanie zregularyzowane u δ α jest rozwia zaniem równania (**) A Au + αu = A f δ Teresa Regińska 38/55

39 Regularyzacja Tichonowa zastosowana do dyskretnego zadania źle postawionego A n A n u δ n,α + αu δ n,α = A n f δ n u δ n,α rozwia zanie zregularyzowane dla prawej strony f δ n u n,α rozwia zanie zregularyzowane dla prawej strony f n Pytanie: Czy poprawia siȩ uwarunkowanie zregularyzowanego ukladu równań? u δ n,α u n,α? Czy u δ n,α aproksymuje rozwia zanie dokładne u? Teresa Regińska 39/55

40 Jak zmienia siȩ z α uwarunkowanie zad. zregularyzowanego? u n,α u δ n,α u n,α κ n,α f n f n,δ f n σ min (σmax+α) 2 σ max(σmin 2 +α) α (0, σmin 2 ), σmax 2 +α 2σ κ n,α = max α α [σmin 2, σ maxσ min ], σmin 2 +α 2σ min α α [σ max σ min, σmax], 2 σ max(σmin 2 +α) σ min (σmax 2 +α) α (σmax, 2 ). σ min = min{σ i : σ i > 0} Uwarunkowanie przed regularyzacja κ n = κ(a n ) = σ max σ min Teresa Regińska 40/55

41 Funkcja κ n (α) := κ n,α w przypadku, gdy n = 10, σ 1 = 1, σ n = 0.1 Teresa Regińska 41/55

42 Optymalny wybór parametru regularyzacji ze wzglȩdu na uwarunkowanie α n = σ min (A n )σ max (A n ) κ opt n := κ n,αn = 1 ( ) κ(a n ) κ(an ) 1 2 < κ(a n ) 2 κ n,α κ n,0 as α 0 or α Teresa Regińska 42/55

43 Zbieżność u δ n,α do u gdy δ 0? n lub α lub oba parametry jednocześnie musza zależeć od δ Jeśli α = α n (tj. α n = σ min (A n )σ max (A n )), to n musi zależeć od δ Oszacowanie błȩdu można badać dla ustalonej metody dyskretyzacji Ilustracja numeryczna z pracy T. R, (2004), Regularization of discrete ill-posed problems BIT Numer. Math. 44 Teresa Regińska 43/55

44 Porównanie błȩdu metody z regularyzacja i bez dla szczególnego przypadku metody Galerkina i operatora A o wartościach szczególnych σ j = 1 j. Rozwia zania u, u n, u n,α i u δ n,α sa w tej samej przestrzeni. linia przerywana - u δ n u dla δ = 0, 01 i δ = 0, 05 linia cia gła - u δ n,α n u dla δ = 0, 01 i δ = 0, 05 Teresa Regińska 44/55

45 Oprogramowanie: Prof. Per Christian Hansen (Dept. of Informatics and Mathematical Modelling, Technical Univ. of Denmark) udostȩpnił pakiet algorytmów w MATLABie do regularyzacji Per Christian Hansen A Matlab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems, Numerical Algorithms 6 (1994) Zzipowany plik z programami na stronie pch/regutools/ Ponadto jest tam Table of contents (pdf file) pch/regutools/contents.pdf Complete manual (pdf file); pch/regutools/rtv4manual.pdf Teresa Regińska 45/55

46 Klasa zadań źle postawionych z operatorem mnożenia Wyznaczyć u L 2 (0, 1) a(x)u(x) = f(x) gdzie a C[0, 1], f L 2 (0, 1) Jeżeli a(x) a 0 > 0, to zadanie jest dobrze postawione Jeżeli 1 a nie jest funkcja całkowalna z kwadraten, to zadanie jest źle postawione Przykład: a(x) = x Teresa Regińska 46/55

47 Metody regularyzacji - schemat ϕ(a) := 1 a u(x) = ϕ(a(x))f(x) {ϕ α (a)} α (0,α0 ) rodzina regularyzuja ca ϕ α (a) ϕ(a) gdy α 0 α 0 ϕ α (a) ograniczona funkcja na R rozwia zanie zregularyzowane u δ α(x) := ϕ α (a)(x)f δ (x) Teresa Regińska 47/55

48 Metody regularyzacji - przykłady metoda Tichonowa: (A A + α)v δ α = A f δ metoda "spektralna" ϕ α (a) = ϕ α = a a 2 + α { 1 a a α 0 a < α metoda "spektralna zmodyfikowana" { 1 a a α ϕ α = a < α 1 αa u δ α(x) := ϕ α (a)(x)f δ (x) Teresa Regińska 48/55

49 Zbieżność metody spektralnej Założenia: f jest takie, że rozwia zanie dokładne jest ograniczone w normie sup przez C f f δ L 2 δ u δ α(x) = ϕ α (a(x))f δ To u δ α u L 2 C {x (0,1): a(x) α} 1dx + δ α Przykład: a(x) = x. Wówczas a(x) α gdy x α. u δ α u L 2 C α + δ α Teresa Regińska 49/55

50 Zagadnienia odwrotne Zestawienie przykładów zadań źle postawionych Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 50/55

51 Problem podstawowy, przykład Zagadnienie brzegowe dla równania ciepłoprzewodnictwa dobrze postawione przy odpowiednich założeniach u t + (au x ) x = f, 0 < x < 1, 0 < t < T, (D) u(0, x) = ϕ(x), dla x (0, 1) u x (t, 0) = g 0 (t), u x (t, 1) = g 1 (t) dla t (0, T ) Problemy odwrotne do D Klasyfikacja ze wzglȩdu na funkcje niewiadome (I 1 ) Dane: a, f, g 0, g 1. Wyznaczyć u oraz warunek pocza tkowy ϕ przy dodatkowej informacji: u(t, 0) = h 0 (t), u(t, 1) = h 1 (t), dla t (0, T ). (I 2 ) Dane: a, f, ϕ. Wyznaczyć u oraz warunki brzegowe g 0 i g 1. Teresa Regińska 51/55

52 (D) u t + (au x ) x = f, 0 < x < 1, 0 < t < T, u(0, x) = ϕ(x), dla x (0, 1) u x (t, 0) = g 0 (t), u x (t, 1) = g 1 (t) dla t (0, T ) lub u(t, 0) = h 0 (t), u(t, 1) = h 1 (t) dla t (0, T ) Problemy odwrotne do D, c.d. (I 3 ) Dane: a, f, ϕ, g 0, h 0. Wyznaczyć u (I 4 ) Dane: a, ϕ, g 0, g 1, h 0, h 1. Wyznaczyć u oraz f. (I 5 ) Dane: f, ϕ, g 0, g 1, h 0, h 1. Wyznaczyć a oraz u. (I 6 ) Dane: a, f, g 0, g 1 oraz v(x) = u(t, x). Wyznaczyć u itp Teresa Regińska 52/55

53 Klasyfikacja ze wzglȩdu na równanie równanie ciepłoprzewodnictwa u t (au x ) x = f równanie Laplace a u = f równanie Helmholtza u + k 2 u = f równanie falowe u tt u = f Niech q reprezentuje nieznane funkcje, a f wszystkie dane w zadaniu funkcje. Wówczas problem można zapisać Aq = f, gdzie A jest operatorem działaja cym z przestrzeni X nieznanych funkcji na przestrzeñ F danych pomiarowych. Teresa Regińska 53/55

54 Przykłady zadań źle postawionych (prawa kolumna), odwrotnych do zadań dobrze postawionych (lewa kolumna) Problem dobrze postawiony Problem źle postawiony Algebra Mnożenie przez macierz: gdy i det lub Analiza matematyczna Całkowanie Różniczkowanie Równania całkowe Równanie całkowe Fredholma II rodzaju Równanie całkowe Fredholma I rodzaju Równania eliptyczne Problem Dirichleta ( Neumana, mieszany ) Problem Cauchy ego lub lub dla Teresa Regińska 54/55

55 Problem dobrze postawiony Problem źle postawiony Równania paraboliczne Backwards heat eq. Sedeways heat eq. Równania hiperboliczne Wyznaczyd u i q(x) Teresa Regińska 55/55