Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
|
|
- Iwona Kruk
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra
2 Źródła błędów numerycznych Wyniki obliczeń numerycznych obarczone sa błędami. Ich najważniejszymi źródłami sa 1. Błędy grube, pomyłki zawinione przez człowieka. Czasami trudno je wyeliminować, ale teoretycznie wszystkie można usunać, dlatego też, zalecajac ostrożność i staranność autorom programów numerycznych, w analizie algorytmów pomijamy wpływ tych błędów. 2. Błędy algorytmu, wynikajace z zastapienia idealnego problemu matematycznego przez jakieś przybliżenie, na przykład zastapienie zagadnienia obliczania całki oznaczonej przez obliczanie skończonego ciagu sum. W analizie numerycznej staramy się oszacować wpływ takich błędów. Algorytm, którego błędu nie umiemy oszacować, można uznać za bezwartościowy. Copyright c P. F. Góra 1 2
3 Dla niektórych problemów istnieja tak zwane algorytmy dokładne, które dałyby matematycznie ścisłe wyniki, gdyby można było pominać Konsekwencje błędów zaokraglenia, wynikajacych z tego, że nie wszystkie liczby daja się reprezentować na skończonych komputerach w sposób dokładny, a zatem obliczenia prowadzone sa ze skończona precyzja (dokładnościa). Tych błędów, poza bardzo szczególnymi przypadkami, nie daje się całkowicie wyeliminować, należy natomiast umieć szacować ich wpływ oraz go minimalizować. W ogólnym przypadku wpływ błędu algorytmu i błędu zaokraglenia moga się na siebie nakładać i wzajemnie wzmacniać. Copyright c P. F. Góra 1 3
4 Bład zaokraglenia Sposoby reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych patrz wykład z Teoretycznych Podstaw Informatyki. W sposób ścisły można reprezentować w komputerze tylko liczby całkowite (z pewnego zakresu) oraz liczby wymierne, posiadajace skończone rozwinięcia binarne (z pewnego zakresu). Wszystkie inne liczby można reprezentować tylko w sposób przybliżony. Sa one zatem obarczone pewnym błędem, zwanym błędem zaokraglenia. Copyright c P. F. Góra 1 4
5 Cyfry znaczace Niech x będzie liczba rzeczywista, majac a ogólnie nieskończone rozwinięcie dziesiętne. Cyfry tego rozwinięcia numerujemy w sposób naturalny : cyfra jedności ma numer zero, cyfra dziesiatek ma numer jeden, cyfra setek ma numer dwa itd. Cyfry części ułamkowej rozwinięcia dziesiętnego maja numery ujemne. Liczba x jest poprawnie zaokraglona na d-ej pozycji do liczby, która oznaczamy x (d), jeśli bład zaokraglenia ε jest taki, że ε = x x (d) d. (1) Copyright c P. F. Góra 1 5
6 Na przykład jeśli x = , x ( 3) = 6.744, x ( 7) = Jeśli x jest przybliżeniem dokładnej wartości x, to k-ta cyfrę dziesiętna liczby x nazwiemy znaczac a, jeśli x x k (2) oraz y 10 k (części ułamkowe rozinięcia maja numery ujemne!). Wynika stad, że każda cyfra poprawnie zaokraglonej liczby, poczawszy od pierwszej cyfry różnej od zera, jest znaczaca. Liczba cyfr znaczacych jest pewna miara błędu zaokraglenia. Copyright c P. F. Góra 1 6
7 Propagacja błędu Niech x będzie poprawnie zaokraglonym do d przybliżeniem dokładnej liczby x. Można powiedzieć, że x = x + ε, gdzie ε jest liczba losowa o rozkładzie jednostajnym w przedziale [ d, d]. Weźmy teraz dwie liczby x = x + ε x oraz y = ȳ + ε y. Co można powiedzieć o błędach powstałych w wyniku elementarnych obliczeń artymetycznych? x + y = x + ȳ + ε x + ε y }{{} ε +. (3) Liczba ε + jest liczba losowa. Jeżeli obie liczby ε x, ε y maja rozkład jednostajny na przedziale [ d, d], liczba ε + ma rozkład trójkatny na przedziale [ 10 d, 10 d]. Copyright c P. F. Góra 1 7
8 Jeśli będziemy sumować N >> 1 liczb o błędach zaokraglenia pochodza- cych z tego samego rozkładu, bład sumy będzie dażył do rozkładu normalnego o szerokości proporcjonalnej do N 10 d. W wypadku mnożenia, x y x ȳ + xε y + ȳε x. (4) Jeżeli x ȳ lub ȳ x, może to spowodować znaczny wzrost błędu (niewielki bład multiplikuje się). Copyright c P. F. Góra 1 8
9 W wypadku dzielenia, x y x ȳ + 1 ȳ ε x + x ȳ 2ε y. (5) Jeżeli ȳ x, bład dzielenia może być bardzo duży! Dzielenie przez (względnie) małe liczby obarczone błędem, może powodować pojawienie się znacznego błędu ilorazu. Copyright c P. F. Góra 1 9
10 Wpływ błędów zaokraglenia Błędy zaokraglenia fakt, że na komputerach pracujemy w arytmetyce ze skończona dokładnościa maja wpływ na prowadzone obliczenia. Wynik może zależeć od kolejności przeprowadzanych działań: dodawanie na komputerze nie jest łaczne! Przykład: Przypuśćmy, że prowadzac obliczenia z dokładnościa do czterech cyfr znaczacych chcemy znaleźć wartość sumy (6) Copyright c P. F. Góra 1 10
11 Zaczynamy sumować od lewej. Suma dwu pierwszych składników wynosi Ta liczba ma pięć cyfr znaczacych, więc zostanie zaokraglona do czterech cyfr znaczacych. I tak okazuje się, że w przyjętej dokładności, = Widać zatem, że przy tym sposobie prowadzenia obliczeń, wartość całej sumy (6) wynosi Sumujmy teraz od prawej = = i tak dalej. Suma dziesięciu pierwszych (od prawej) składników wynosi Gdy teraz dodamy tę wielkość do składnika ostatniego od prawej, otrzymamy Ta liczba ma cztery cyfry znaczace, co mieści się w przyjętej dokładności i wyniku nie trzeba zaokra- glać. Copyright c P. F. Góra 1 11
12 Inny przykład Rozważmy ciag zadany przepisem x n+1 = 4x n 1 x 0 = 1 3. (7) Jak łatwo sprawdzić, ciag (7) jest ciagiem stałym, którego wszystkie wyrazy sa równe 3 1. Co jednak się stanie, jeśli wyrazy tego ciagu będziemy obliczali posługujac się arytmetyka przybliżona, zachowujac osiem cyfr znaczacych? Copyright c P. F. Góra 1 12
13 Mamy zatem x 0 = (8a) 4x 0 = (8b) Ostatnia cyfra w powyższym wyrażeniu byłaby dziewiat a cyfra znaczac a nie mamy miejsca na jej przechowywanie, a więc musimy ja odrzucić. Zatem 4x 0 = (8c) x 1 = (8d) W podobny sposób wyliczamy x 2 = Wyniki kolejnych iteracji przedstawia poniższa tabela: Copyright c P. F. Góra 1 13
14 n x n Jak widzimy, w wyniku prowadzenia obliczeń ze skończona precyzja, ciag stały zamienił się w ciag monotonicznie rozbieżny do. Gdybyśmy Copyright c P. F. Góra 1 14
15 prowadzili obliczenia z większa ale wciaż skończona precyzja, rezultat byłby taki sam, choć liczba stanów przejściowych, gdy wyrazy ciagu wciaż sa bliskie ścisłej wartości 3 1, zwiększyłaby się. Copyright c P. F. Góra 1 15
16 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele razy różniczkowalna i niech x R n. Definicja: Mówimy, że zagadnienie obliczenia ϕ(x) jest numerycznie dobrze uwarunkowane, jeżeli niewielkie względne zmiany danych daja niewielkie względne zmiany rozwiazania. Zagadnienia, które nie sa numerycznie dobrze uwarunkowane, nazywamy źle uwarunkowanymi. Copyright c P. F. Góra 1 16
17 Przykład Rozważmy problem znalezienia rozwiazań równania x 2 + bx + c = 0, (9) przy czym zakładamy, że b 2 4c > 0. Wiadomo, że rozwiazania maja w tym wypadku postać x 1,2 = 1 2 ( b ± ) b 2 4c. (10) Jak dobrze uwarunkowane jest zagadnienie obliczania (10)? Danymi sa tu współczynniki trójmianu, b, c. Zaburzmy te współczynniki: b b + ε 2, c c + ε 3. Copyright c P. F. Góra 1 17
18 Rozwiazaniami sa teraz x 1,2 = ( b + ε 2 ± b ± (b + ε 2 ) 2 4(c + ε 3 ) b 2 4c + ε 2 ± 2bε 2 4ε 3 2 b 2, (11) 4c gdzie dokonaliśmy rozwinięcia Taylora do pierwszego rzędu w ε 1,2. Widzimy, że bład względny x 1,2 x 1,2 x 1,2 ) (12) rośnie nieograniczenie, gdy b 2 4c 0 +. Problem wyznaczania pierwiastków trójmianu (9) jest wówczas numerycznie źle uwarunkowany. Problem ten jest dobrze uwarunkowany, gdy b 2 4c 0. Copyright c P. F. Góra 1 18
19 Norma wektora Niech V będzie pewna przestrzenia wektorowa nad ciałem C (lub R). Norma wektora nazywam funkcję : V R, spełniajac a następujace warunki (x, y V): 1. x 0 x = 0 x = α x = α x α C. 3. x + y x + y. Mówiac niezbyt prezycyjnie, norma jest uogólnieniem pojęcia wartości bezwzględnej na przypadek wektorów. Copyright c P. F. Góra 1 19
20 Przykłady norm wektorów W naszych rozważaniach przestrzeń liniowa V najczęściej będzie przestrzenia R n. Można w niej definiować wiele (różnych) norm. Najczęściej używa się jednej z trzech: Norma taksówkowa: Norma Euklidesowa: x 1 = x 1 + x x n x 2 = x T x = Norma maximum (worst offender): x = x x x2 n max x i i=1,...,n (13a) (13b) (13c) Jeżeli nie zaznaczymy inaczej, przez normę wektorowa będziemy rozumieć normę Euklidesowa. Copyright c P. F. Góra 1 20
21 Współczynnik uwarunkowania Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja, x R n dokładna wartościa argumentu, a x R n znanym numerycznym przybliżeniem x. Definicja: Jeżeli istnieje κ R taka, że x, x: ϕ(x) ϕ( x) R m ϕ(x) R m κ x x R n x R n (14) nazywamy ja współczynnikiem uwarunkowania zagadnienia wyliczenia wartości ϕ( ) (względem zadanych norm). Copyright c P. F. Góra 1 21
22 Współczynnik uwarunkowania mówi jak bardzo bład względny wyniku obliczeń przekracza bład względny samej różnicy przybliżenia i wartości dokładnej. Spodziewamy się, że jeżeli przybliżenie znacznie różni się od wartości dokładnej, także wyniki obliczeń będa się znacznie różnić. W zagadnieniach numerycznie źle uwarunkowanych może się zdarzyć, że nawet niewielkie odchylenie przybliżenia od wartości dokładnej doprowadzi do znacznej różnicy wyników. Copyright c P. F. Góra 1 22
23 Układy równań liniowych Niech A R n n będzie macierza, x, b R n. Rozpatrujemy równanie Ax = b, (15) Zakładamy, że macierz A oraz wektor wyrazów wolnych b sa znane. Poszukujemy wektora x. Równanie (15) jest równoważne następujacemu układowi równań liniowych: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b 3. a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x a nn x n = b n (16) gdzie a ij sa elementami macierzy A, natomiast x j, b j sa elementami wektorów, odpowiednio, x, b. Copyright c P. F. Góra 1 23
24 Rozwiazywanie układów równan liniowych rzadko stanowi samoistny problem numeryczny. Zagadnienie to występuje jednak bardzo często jako pośredni etap wielu problemów obliczeniowych. Dlatego też dogłębna znajomość algorytmów numerycznego rozwiazywania układów równań liniowych jest niezwykle ważna. Copyright c P. F. Góra 1 24
25 Rozwiazywalność układów równań liniowych Układ równań (15) ma jednoznaczne rozwiazanie wtedy i tylko wtedy, gdy det A 0. (17) Z elementarnej algebry wiadomo, że rozwiazania można wówczas skonstruować posługujac się wzorami Cramera. Uwaga: Numeryczne korzystanie ze wzorów Cramera jest koszmarnie drogie i dlatego w praktyce korzystamy z innych algorytmów. Jak dobrze uwarunkowane jest zagadnienie rozwiazania równania (15)? Copyright c P. F. Góra 1 25
26 Przykład Rozważmy następujace układy równań: 2x + 6y = 8 2x y = x + 6y = 8 2x y = Współczynniki tych układów równan różnia się co najwyżej o = Rozwiazaniem pierwszego sa liczby (1, 1), drugiego liczby (10, 2). Widzimy, że mała zmiana współczynników powoduje, że różnica rozwiazań jest 10 6 razy większa, niż zaburzenie współczynników. Powyższe układy równań sa źle uwarunkowane. Copyright c P. F. Góra 1 26
27 Norma macierzy Niech A R N N. Norma macierzy (indukowana) nazywam A = max { } Ax x : x RN, x 0 = max { Ax } (18) x =1 Promieniem spektralnym macierzy A R N N nazywam ρ = AA T (19) Copyright c P. F. Góra 1 27
28 Współczynnik uwarunkowania układu równań liniowych Rozwiazujemy układ rownań (det A 0) Ay = b (20a) Przypuśćmy, że wyraz wolny b jest obarczony jakimś błędem b, czyli rozwiazujemy Aỹ = b + b (20b) Zauważmy, że ỹ y = A 1 (b + b) A 1 b = A 1 b. Copyright c P. F. Góra 1 28
29 Jak bład wyrazu wolnego wpływa na rozwiazanie? Obliczamy ỹ y A 1 b A 1 b = y y y Z drugiej strony (21a) b = Ay A y skad wynika, że 1 y A b (21b) Ostatecznie ỹ y y A A 1 b }{{} b κ (21c) Copyright c P. F. Góra 1 29
30 Współczynnik uwarunkowania macierzy symetrycznej, rzeczywistej Niech A R N będzie odwracalna macierza symetryczna, rzeczywista. W takim wypadku jej wartości własne sa rzeczywiste a jej unormowane wektory własne {e i } n i=1 stanowi a bazę ortogonaln a w Rn. Oznaczmy wartości własne tej macierzy przez {λ i } n i=1. Weźmy dowolny x Rn taki, że x = 1. Wówczas Ax = n A i=1 n i=1 x = α i e i n i=1 α i e i, = n i=1 α i Ae i α 2 i max(λ2 i ) = max i n i=1 α 2 i = 1. (22) = n i=1 n λ i i=1 α i λ i e i = n α 2 i λ2 i i=1 α 2 i = max i λ i (23) Copyright c P. F. Góra 1 30
31 Uwzględniajac (18), widzimy, że A = max i λ i : norma odwracalnej macierzy symetrycznej, rzeczywistej jest równa największemu modułowi spośród jej wartości własnych. Rozważmy teraz macierz A 1. Ma ona te same wektory własne, co A, natomiast jej wartości własne sa odwrotnościami wartości własnej macierzy nieodwróconej, A 1 e i = λ 1 e i i. Postępujac jak powyżej, łatwo możemy pokazać, że A 1 = max i 1 λ i = 1 min λ i. (24) i Copyright c P. F. Góra 1 31
32 Widzimy zatem, że Współczynnik uwarunkowania macierzy A R n n wynosi κ = A A 1 (25) Dla macierzy symetrycznych, rzeczywistych sprowadza się to do κ = max λ i i min λ i, (26) i gdzie λ i oznaczaja wartości własne macierzy. Copyright c P. F. Góra 1 32
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Sposoby reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych patrz wykład z Teoretycznych Podstaw
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Źródła błędów numerycznych Wyniki obliczeń numerycznych obarczone sa błędami. Ich najważniejszymi
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennoprzecinkowe i błędy
i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 2
Obliczenia naukowe Wykład nr 2 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoBŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowoW wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku.
W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku. Nie wolno dzielić przez zero i należy sprawdzić, czy dzielna nie jest równa zeru. W dziedzinie liczb
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Metoda gradientów sprzężonych motywacja Rozważmy funcję f : R N R f(x) = 1 2
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne Wykład 4
Technologie Informacyjne Wykład 4 Arytmetyka komputerów Wojciech Myszka Jakub Słowiński Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Wydział Mechaniczny Politechnika Wrocławska 30 października 2014 Część
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łan Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 2 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Arytmetyka zmiennopozycyjna
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowo7 zaokr aglamy do liczby 3,6. Bład względny tego przybliżenia jest równy A) 0,8% B) 0,008% C) 8% D) 100
ZADANIE 1 (1 PKT) Dane sa zbiory A = ( 6 7, 6) i B = N liczb naturalnych dodatnich. Wówczas iloczyn zbiorów A B jest równy A) {1, 2,, 4, 5} B) (, 5 C) {1, 2,, 4, 5, 6} D) (, 6) ZADANIE 2 (1 PKT) Jeśli
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Bardziej szczegółowoSamodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Numeryczne zagadnienie własne
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Numeryczne zagadnienie własne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wektory i wartości własne definicje Niech A C N N. Jeżeli
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Układy równań algebraicznych Niech g:r N równanie R N będzie funkcja klasy co najmniej
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 5. Numeryczne zagadnienie własne. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 5. Numeryczne zagadnienie własne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Zagadnienie własne Definicja: Niech A C N N. Liczbę λ C nazywam wartościa własna macierzy
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych. Krzysztof Patan
Wprowadzenie do metod numerycznych Krzysztof Patan Metody numeryczne Dział matematyki stosowanej Każde bardziej złożone zadanie wymaga opracowania indywidualnej metody jego rozwiązywania na maszynie cyfrowej
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61
Metody numeryczne I Dokładność obliczeń numerycznych. Złożoność obliczeniowa algorytmów Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61 ... the purpose of
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Metody iteracyjne Rozwiazanie układu równań liniowych, uzyskane
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoRozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b
Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2018 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoprzybliżeniema Definicja
Podstawowe definicje Definicje i podstawowe pojęcia Opracowanie danych doświadczalnych Często zaokraglamy pewne wartości np. kupujac telewizor za999,99 zł. dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 6
Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
Bardziej szczegółowoWykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
Bardziej szczegółowo10. Metody obliczeniowe najmniejszych kwadratów
10. Metody obliczeniowe najmniejszych kwadratów 1. Dowód twierdzenia o faktoryzacji macierzy Twierdzenie 1 Każdadodatniookreślon aisymetryczn amacierzm można przedstawíc wpostaci M = PP T gdzie P jest
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne i metoda gradientów. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne i metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Metody iteracyjne W metodach dokładnych otrzymane rozwiazanie jest dokładne
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych SVD, metody iteracyjne i metoda gradientów. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych SVD, metody iteracyjne i metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Współczynnik uwarunkowania macierzy symetrycznej Twierdzenie 1. Niech
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.
Metody numeryczne Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/2002 23:02 p.1/63 Plan wykładu 1. Dokładność w obliczeniach numerycznych 2. Złożoność
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metoda diagramowa. Obszary stabilności. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metoda diagramowa. Obszary stabilności. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Metoda diagramowa Ręczne wyprowadzanie równan wiaż acych współczynniki
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9. Miejsca zerowe wielomianów. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9. Miejsca zerowe wielomianów P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Podstawowe Twierdzenie Algebry Rozwiazywanie równań wielomianowych P n (z) = a n z n + a n
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Inne rodzaje faktoryzacji. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Inne rodzaje faktoryzacji P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł
Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Problem Cauchy ego dy dx = f(x, y) (1) y(x
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Bardziej szczegółowoPostać Jordana macierzy
Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoCiagi liczbowe wykład 4
Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowo