Zastosowanie metod numerycznych. Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN. reginska/wyklady2011

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zastosowanie metod numerycznych. Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN. E-mail: reginska@impan.pl http://www.impan.pl/ reginska/wyklady2011"

Transkrypt

1 Zastosowanie metod numerycznych Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN reginska/wyklady2011 Wykład cz.iii, CSZ PW, semestr letni 2013 Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 1/44

2 Czȩść III Przykłady zagadnień źle postawionych Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 2/44

3 Zagadnienie odwrotne dla wia zki laserowej Model fizyczny Model matematyczny Metody regularyzacji Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 3/44

4 Model wia zki laserowej Typowy kształt wia zki laserowej Źródło światła x Γ Powierzchnia, na której stosunek natężenia pola elektrycznego do jego maksymalnej wartości na przecięciu jest stały S y Ω z S - laser Przykład: Wia zka Gausowska - natȩżenie pola elektrycznego jest funkcja Gaussa odległości od osi wia zki. Zadanie dane sa pomiary pola elektromagnetycznego na powierzchni Γ Ω, wyznaczyć pole w obszarze Ω Teresa Regińska 4/44

5 Układ pomiarowy Generator Impulsów prądowych Platforma obrotowa α α laser R β? detektory Przetwarzacze detectorowe Zasilacz platformy α kompilator komputer Schemat ilustruja cy zasadȩ pomiaru rozkładu natȩżenia pola generowanego przez lasery półprzewodnikowe Teresa Regińska 5/44

6 Informacja o rozkładzie przestrzennym pola jest bardzo ważna z wielu wzglȩdów: umożliwia ona dobre zaprojektowanie układu optycznego przyrza du, w którym laser jest użyty (ogniskowanie, usuniȩcie astygmatyzmu, redukcja modów bocznych itp.), umożliwia projektowanie lasera pod ka tem uzyskania poża danych przez projektanta własności optycznych pozwala też precyzyjnie określić zakres zastosowań danego lasera Teresa Regińska 6/44

7 Model matematyczny Proces stacjonarny, ω= const pole elektryczne D(r, t) = e iωt D(r) pole magnetyczne B(r, t) = e iωt B(r) równania Maxwella równania Helmholtza D(r) + k 2 D(r) = 0, r Ω R 3 B(r) + k 2 B(r) = 0, r Ω R 3 gdzie ( ) ω 2 k 2 = c Jeżeli warunki brzegowe dla pól D(r) i B(r) sa liniowe, to każda ich składowa również spełnia zagadnienie brzegowe dla równania Helmholtza. Teresa Regińska 7/44

8 PROBLEM KLASYCZNY u ustalona składowa pola elektromagnetycznego. Ω ograniczony otwarty obszar w R 3 Równanie Helmholtza 0 < µ = k 2, k - liczba falowa Typowe warunki brzegowe u + µu = 0 on Ω warunki Dirichleta na brzegu Ω of Ω, warunki Neumanna na brzegu Ω of Ω, Teresa Regińska 8/44

9 PROBLEM ODWROTNY Warunki brzegowe na czȩści brzegu Niech Γ Ω oraz g, h L 2 (Γ). Zagadnienie Cauchy ego dla równania Helmholtza wyznaczyć u D H 1 (Ω) takie, że (D bȩdzie określone) u + µu = 0, w Ω CP(g, h) u = g na Γ, u ν = h na Γ. Examples Ω Γ Ω Γ X Γ 0 Ω Γ 0 d z y Teresa Regińska 9/44

10 Jednoznaczność Główne pytania: Założenie: g, h L 2 (Γ) takie, że istnieje rozwia zanie u H 1 (Ω) problemu CP(g, h). Czy rozwia zanie jest jednoznaczne? Metoda rekonstrukcji u Mamy pomiary g δ i h δ na powierzchni Γ takie, że f δ f L 2 (Γ) + g δ g L 2 (Γ) δ Jak wyznaczyć przybliżone rozwia zanie na Ω oraz jaka dokładność można uzyskać? Teresa Regińska 10/44

11 Równanie Helmholtza na nieskończonej warstwie w R 2 y d u=g, u y =0 Γ u+k 2 u=0 Ω 0 x CP1 2 u + 2 u + k x 2 y 2 u = 0, dla x R, y (0, d) 2 u(x, d) = g(x) dla x R, u y (x, d) = 0 dla x R. Teresa Regińska 11/44

12 Narzȩdzie do analizy tego zagadnienia: Transformata Fouriera funkcji v L 2 (R) ˆv(ξ) := 1 v(x)e iξx dx 2π Własności: v 2 L 2 = R v(x) 2 dx = R ˆv(ξ) 2 dξ = ˆv 2 L 2 v x (ξ) = iξˆv(ξ) 2 v x 2 (ξ) = ξ 2ˆv(ξ) R Teresa Regińska 12/44

13 Równoważne sformułowanie w przestrzeni czȩstotliwości CP2 û yy (ξ, y) = (ξ 2 k 2 )û(ξ, y), dla ξ R, y (0, d) û(ξ, d) = ĝ(ξ) dla ξ R, û y (ξ, d) = 0 dla ξ R. Równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzȩdu ze wzglȩdu na y. Rozwia zanie ogólne: w(ξ, y) = α 1 (ξ)e y ξ 2 k 2 + α 2 (ξ)e y ξ 2 k 2 Teresa Regińska 13/44

14 Jeśli w(ξ, y) ma spełniać warunki brzegowe CP2, to w(ξ, y) = 1 2ĝ(ξ) ( e (d y) ξ 2 k 2 + e (d y) ξ 2 k 2 ) ( ) = ĝ cosh (d y) ξ 2 k 2 cosh x = ex +e x 2 cosh ix = cos x Wzór na rozwia zanie CP2 û(ξ, y) w y = y 0 ( ) û(ξ, y 0 ) = cosh (d y 0 ) ξ 2 k 2 ĝ(ξ) Teresa Regińska 14/44

15 û(ξ, y 0 ) jest rozwia zaniem równania: A(y 0 )û(ξ, y 0 ) = ĝ(ξ), gdzie A(y 0 ) jest operatorem mnożenia przez funkcjȩ a(ξ) A(y 0 )v(ξ) := a(ξ)v(ξ) a(ξ) = 1 cosh ((d y 0 ) ) ξ 2 k 2 A(y) : L 2 (R) L 2 (R) jest ograniczony lub nieograniczony w zależności od d y oraz k A(y) 1 jest nieograniczony Jeśli rozwia zanie istnieje, to jest jednoznaczne Teresa Regińska 15/44

16 Jeżeli k(d y) < π 2 A(z) jest ograniczony Fig. 1: funkcja a( ξ ) = 1 cosh [ (d y) ξ 2 k 2] dla d = 1, k = 2 i różnych y a( ξ ) y = 0.8 y = 0.6 y = 0.4 y = 0.3 ξ Teresa Regińska 16/44

17 Jeżeli k(d z) > π 2 A(z) nieograniczony Fig. 2: funkcja a( ξ ) = 1 cosh [ (d y) ξ 2 k 2] dla d = 1, y = 0.1 i k = 6 a( ξ ) ξ Teresa Regińska 17/44

18 Bła d najlepszej aproksymacji Jeẋeli to g g δ L 2 δ R u(x, 0) 2 dx E 2, Tw. 3.2 i Tw. 3.6 z pracy: u(, y 0 ) u δ opt E d y 0 d δ y 0 d T. Regińska and U. Tautenhahn, (2009), Conditional stability estimates and regularization with applications to Cauchy problems for the Helmholtz equation Numer. Funct. Anal. and Optimiz. 30 (9-10), Teresa Regińska 18/44

19 Metody regularyzacji - schemat ϕ(a) := 1 a û(ξ, y) = ϕ(a(ξ))ĝ(ξ) {ϕ α (a)} α (0,α0 ) rodzina regularyzuja ca ϕ α (a) ϕ(a) gdy α 0 α 0 ϕ α (a) ograniczona funkcja na R rozwia zanie zregularyzowane û δ α(ξ, y) := ϕ α (a(ξ))ĝ δ (ξ) Teresa Regińska 19/44

20 Metody regularyzacji - przykłady metoda Tichonowa: (A A + α)v δ α = A f δ metoda "spektralna" ϕ α (a) = ϕ α = a a 2 + α { 1 a a α 0 a < α metoda "spektralna zmodyfikowana" { 1 a a α ϕ α = a < α 1 αa û δ α(ξ, y) := ϕ α (a(ξ))ĝ δ (ξ) Teresa Regińska 20/44

21 Metoda spektralna û δ cosh ((d y 0 ) ) ξ 2 k 2 ĝ δ (ξ) gdy (*) α(ξ, y 0 ) = 0 gdy ( ) (*) a α, tzn. cosh ((d y 0 ) ) ξ 2 k 2 1 α (**) a < α, tzn. cosh ((d y 0 ) ) ξ 2 k 2 Twierdzenie o zbieżności Jeżeli R u2 (x, 0)dx E 2, R spełnia równanie to R > 1 α ( g(x) g δ (x)) 2 dx δ i α(δ) α(δ) k 2 = 1 d ln δ 2E ( ) 2 u(x, y 0 ) u δ d y 0 α(x, y 0 ) dx CE d Teresa Regińska 21/44 δ y 0 d

22 Ilustracja numeryczna - skutki złego wyboru parametru regularyzacji Obliczenia numeryczne dla zagadnienia Cauchy ego dla równania Helmholtza na warstwie w R 3 Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 22/44

23 u + k 2 u = 0, na R 2 (0, d) CP(g, 0) u(x, y, d) = g(x, y) dla (x, y) R 2, u z (x, y, d) = 0 dla (x, y) R2. y Γ 0 X A(z) Γ 0 z 0 d z Γz Teresa Regińska 23/44

24 Obliczenia przy nastȩpuja cych założeniach: Rozwia zanie zregularyzowane: k = 4, d = 1, z = 0, 8 u δ α(x, y, z) = T 1 (cosh ((d z) ξ 2 k 2 )T (gα)) δ ĝ δ α = {ĝδ (ξ) ξ 2 α 0 ξ 2 > α Transformata Fouriera jest zasta piona szybka transforrmata Fouriera. Teresa Regińska 24/44

25 Warstwa w R2 Przykład 2 Ilustracja w R3 funkcja g na brzegu Γ π2 g(x, y) = exp 2 π x2 Przykład 3 Regularyzacja funkcja gδ na brzegu Γ! π2 exp 2 π y2!, na ( π, π)2 δ = 0.001, Teresa Regińska 25/44

26 Warstwa w R2 Przykład 2 Ilustracja w R3 Przykład 3 Regularyzacja uδα (x, y, 0.8) dla gδ uα (x, y, 0.8) dla g α = 50 δ = Teresa Regińska 26/44

27 Przykład 2 Warstwa w R2 Ilustracja w R3 Przykład 3 Regularyzacja rozwia zanie zregularyzowane uδα (x, y, 0.8) dla α = 10 Teresa Regińska uδα (x, y, 0.8) dla α = 2 27/44

28 Odwrotne zagadnienie ciepłoprzewodnictwa Model fizyczny Model matematyczny Metody regularyzacji Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 28/44

29 Optymalizacja procesu schniȩcia lakieru L - powierzchnia lakierowana Temperatura i jej gradient ma wpływ na czas schniȩcia i jakość pokrywy lakieru pomiary temperatury na powierzchni L niedostȩpne Teresa Regińska 29/44

30 Model matematyczny Zadanie klasyczne t uxx=ut u(0,t)=f(t) u(1,t)=g(t) 0 u(x,0)=0 1 x Zadanie odwrotne "sideways heat equation" t (SHE) uxx=ut u(1,t)=g(t) ux(1,t)=h(t) 0 u(x,0)=0 1 x Teresa Regińska 30/44

31 Zadanie odwrotne na półpłaszczyźnie (SHE) t u xx =u t u(1,t)=g(t) u(x,.) ograniczone gdy x 0 u(x,0)=0 1 x u(x,t)=0 u(1,t)=g(t)=0 Założenia dodatkowe istnieje rozwia zanie i u(0, ) L 2 (R) M g(t) g m (t), g m g δ Teresa Regińska 31/44

32 Modelowe zadanie odwrotne SHE1(g) u xx (x, t) = u t (x, t), dla x > 0, t R u(1, t) = g(t) dla t R, u x ograniczone. Narzȩdzie do analizy tego zagadnienia: Transformata Fouriera wzglȩdem zmiennej t ˆv(ξ) := 1 v(t)e iξt dt 2π R Teresa Regińska 32/44

33 Równanie na û(x, ξ) SHE2(ĝ) û xx (x, ξ) = iξû(x, ξ), dla x > 0, t R û(1, ξ) = ĝ(ξ) dla t R, û x ograniczone. Równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzȩdu ze wzglȩdu na x. Rozwia zanie ogólne: w(x, ξ) = α 1 (ξ)e x iξ + α 2 (ξ)e x iξ gdzie + ξ i) iξ = 2 ξ 0 (1 (1 i) ξ 2 ξ < 0 Teresa Regińska 33/44

34 Wzór na rozwia zanie: û(x, ξ) = e (1 x) iξĝ(ξ) Dla x > 1, t R zadanie jest dobrze postawione Dla 0 < x < 1, t R zadanie jest źle postawione: x (0, 1) û(x, ) L 2 (R) e ξ /2ĝ(ξ) L 2 (R) g m g L 2 δ e ξ /2ĝ m (ξ) L 2 (R) Teresa Regińska 34/44

35 Metoda I Metoda Fouriera (spektralna) Niech α (0, α 0 ) e (1 x) iξû(x, ξ) = ĝ(ξ) û = ϕ(a)ĝ gdzie ϕ(a) = 1 a. ( û δ α(x, ξ) := ϕ α e (1 x) ) iξ ĝ m, gdzie ( ϕ α e (1 x) ) iξ = e (1 x) iξ ξ 1 α 0 ξ > 1 α Teresa Regińska 35/44

36 Twierdzenie Niech u(0, ) L 2 M oraz g g m L 2 δ. Jeżeli wybierzemy α = α(δ) takie, że 1 α = 2 ln2 ( M δ ) to u(x, ) u δ α(x, ) L 2 2M (1 x) δ x Teresa Regińska 36/44

37 Metoda II Metoda Galerkina wprowadzenie Rozpatrujemy równanie różniczkowe Lu = f w L 2 (Ω) Wybieramy funkcje bazowe (testowe) ϕ n 1,, ϕn n, lnz n u n := c i ϕ n i i 1 Na ogół Lu n f. Szukamy {c i } i=1,,n tak, aby Lu n f była mała. (Lu n f, ϕ n i ) = 0 i = 1,, n Przy pewnych założeniach o L i {ϕ n i } rozwia zanie u n istnieje i u u n C inf n wn= u w h (Lemat Cea) 1 βiϕn i Metoda zależy od wyboru funkcji bazowych {ϕ n i }. Teresa Regińska 37/44

38 Metoda Galerkina dla SHE Równanie u xx u t = 0 na R + R i warunek u(1, ) = g. Niech n u δ n(x, t) = c δ i (x)ϕ n i (t) i=1 x R +, t R {c δ i (x)} maja być takie, że ( ) 2 R u x δ n(x, t) 2 t uδ n(x, t) ϕ n i (t)dt = 0 R uδ n(1, t)ϕ n i (t)dt = R g m(t)ϕ n i (t)dt i = 1,, n i = 1,, n Dla uproszczenia załóżmy, że ϕ n i (t)ϕ n j (t)dt = δ ij R Teresa Regińska 38/44

39 Układ równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzȩdu Oznaczenia: d ij := R d dt ϕn i (t)ϕn j (t)dt, γδ i := R g m(t)ϕ i (t)dt C(x) = c 1 (x). c n (x), D = d 11 d 1n..... d n1 d nn Zapis macierzowy C δ (x) DC δ(x) = 0 C δ (1) = γ δ C δ ograniczone gdy x, γ δ = γ δ 1. γ δ n Teresa Regińska 39/44

40 Wybór funkcji testowych Pytanie 1: jak wybrać funkcje testowe {ϕ n i } dla SHE? Pytanie 2: jak wybrać liczbȩ n w zależności od błȩdu danych δ, aby u δ n(x, ) u(x, ) 0 gdy δ 0 Jedna z możliwości jest zastosowanie funkcji falkowych Meyera T. R.and L.Eldén, (1997), Solving the sideways heat equation by a wavelet-galerkin method Inverse Problems 13 Teresa Regińska 40/44

41 Funkcje falkowe - wprowadzenie Falka (wavelet) - jest to funkcja ψ L 2 (R), taka, że jej przesuniȩcia i dylatacje tworza bazȩ w L 2 (R) ψ j,k (t) = 2 j 2 ψ(2 j t k) Falka Haara Proste wzory, ale brak regularności. Fa 2 ψ 14 1 Ψ(t) ,5 t -1 2 Teresa Regińska 41/44

42 Teresa Regińska 42/ Falka Meyera ψ(ξ) = e i ξ 2 b(ξ), [ ( )] 1 2π sin π 2 ν 3 2π ξ 1, dla 2π 3 ξ 4π 3, [ ( )] b(ξ) = 1 2π cos π 2 ν 3 4π ξ 1, dla 4π 3 ξ 8π 3, 0, dla pozostałych

43 n u δ n = c δ j,k(x)ψ j,k (t) j=0 k Z Twierdzenie - Zbieżność metody Meyera - Galerkina Niech u(0, ) L 2 M oraz g g m L 2 δ. Jeżeli 2 n 1 π ( ln M δ ) 2 to u δ n(x, ) u(x, ) cδ x s M 1 x 3 Teresa Regińska 43/44

44 Regularyzacja SHE Test 1 Test 2 Metoda Fouriera (spektralna) Linia ciągła rozwiązanie dokładne dla x=0 Linia przerywana rozwiązanie zregularyzowane dla x=0 Linia czerwona temperatura mierzona w punkcie x=1 Metoda Galerkina (falki Meyera) Teresa Regińska 44/44

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie metod numerycznych. Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN. reginska/wyklady2011

Zastosowanie metod numerycznych. Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN.    reginska/wyklady2011 Zastosowanie metod numerycznych Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN E-mail: reginska@impan.pl http://www.impan.pl/ reginska/wyklady2011 Wykład, CSZ PW, semestr letni 2013 Wykład jest współfinansowany

Bardziej szczegółowo

Elementy równań różniczkowych cząstkowych

Elementy równań różniczkowych cząstkowych Elementy równań różniczkowych cząstkowych Magdalena Jakubek kwiecień 2016 1 Równania różniczkowe cząstkowe Problem brzegowy i problem początkowy Klasyfikacja równań Rodzaje warunków brzegowych Najważniejsze

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia stacjonarne

Zagadnienia stacjonarne Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie metod numerycznych. Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN. Wykład, CSZ PW, semestr letni 2013

Zastosowanie metod numerycznych. Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN.   Wykład, CSZ PW, semestr letni 2013 Zastosowanie metod numerycznych Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN E-mail: reginska@impan.pl Wykład, CSZ PW, semestr letni 2013 Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych

Wstęp do równań różniczkowych Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011 Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna część 5

Analiza Matematyczna część 5 [wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych

Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe. Wojciech Szewczuk

Równania różniczkowe cząstkowe. Wojciech Szewczuk Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe - wstęp u x = lim x u(x + x, y) u(x, y) x u u(x, y + y) u(x, y) y = lim y y () (2) 2 u x 2 + 2xy 2 u y 2 + u = 3 u x 2 y + x 2 u + 8u = 5y

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych

Wstęp do równań różniczkowych Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Wydział Fizyki. Światłowody

Uniwersytet Warszawski Wydział Fizyki. Światłowody Uniwersytet Warszawski Wydział Fizyki Marcin Polkowski 251328 Światłowody Pracownia Fizyczna dla Zaawansowanych ćwiczenie L6 w zakresie Optyki Streszczenie Celem wykonanego na Pracowni Fizycznej dla Zaawansowanych

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić

Bardziej szczegółowo

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja 19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Metody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych

Metody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych Metody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański 6 Wrzesień 2016 Zastosowania równań hiperbolicznych Nieliniowe równania hiperboliczne wykorzystywane

Bardziej szczegółowo

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga! Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y) Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie. Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

KATEDRA TELEKOMUNIKACJI I FOTONIKI

KATEDRA TELEKOMUNIKACJI I FOTONIKI ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY W SZCZECINIE WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY KATEDRA TELEKOMUNIKACJI I FOTONIKI OPROGRAMOWANIE DO MODELOWANIA SIECI ŚWIATŁOWODOWYCH PROJEKTOWANIE FALOWODÓW PLANARNYCH (wydrukować

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1

Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1 Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1 Tomasz Chwiej 6 czerwca 2016 1 Równania różniczkowe zwyczajne Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów różnicowych: iloraz

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd. 4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające

Bardziej szczegółowo

Inżynierskie metody numeryczne II. Konsultacje: wtorek 8-9:30. Wykład

Inżynierskie metody numeryczne II. Konsultacje: wtorek 8-9:30. Wykład Inżynierskie metody numeryczne II Konsultacje: wtorek 8-9:30 Wykład Metody numeryczne dla równań hiperbolicznych Równanie przewodnictwa cieplnego. Prawo Fouriera i Newtona. Rozwiązania problemów 1D metodą

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza

Bardziej szczegółowo

Różne reżimy dyfrakcji

Różne reżimy dyfrakcji Fotonika Wykład 7 - Sposoby wyznaczania obrazu dyfrakcyjnego - Przykłady obrazów dyfrakcyjnych w polu dalekim obliczonych przy użyciu dyskretnej transformaty Fouriera - Elementy dyfrakcyjne Różne reżimy

Bardziej szczegółowo

Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych

Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki 10 XII 2009 - część I 17 XII 2009 -

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach

Bardziej szczegółowo

Propagacja w przestrzeni swobodnej (dyfrakcja)

Propagacja w przestrzeni swobodnej (dyfrakcja) Fotonika Wykład 7 - Sposoby wyznaczania obrazu dyfrakcyjnego - Przykłady obrazów dyfrakcyjnych w polu dalekim obliczonych przy użyciu dyskretnej transformaty Fouriera - Elementy dyfrakcyjne Propagacja

Bardziej szczegółowo

x y

x y Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka

Bardziej szczegółowo

Równania Maxwella. Wstęp E B H J D

Równania Maxwella. Wstęp E B H J D Równania Maxwella E B t, H J D t, D, B 0 Równania materiałowe B 0 H M, D 0 E P, J E, gdzie: 0 przenikalność elektryczną próżni ( 0 8854 10 1 As/Vm), 0 przenikalność magetyczną próżni ( 0 4 10 7 Vs/Am),

Bardziej szczegółowo

Metoda rozdzielania zmiennych

Metoda rozdzielania zmiennych Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) 1. Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki. Metoda propagacji wiązki BPM Modelowanie propagacji

Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki. Metoda propagacji wiązki BPM Modelowanie propagacji Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki Metoda propagacji wiązki BPM Modelowanie propagacji Równanie BPM Równanie Helmholtza: n k 0 =0 Rozwiązanie zapisujemy jako: r =A r exp i k z Fala nośna k =n k

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY

ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMATA FOURIERA

TRANSFORMATA FOURIERA TRANSFORMATA FOURIERA. Wzór całkowy Fouriera Wzór ten wykorzystujemy do analizy funkcji nieokresowych; funkcje te mogą opisywać np.przebiegi eleektryczne. Najpierw sformułujmy tzw. warunki Dirichleta.

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie programu COMSOL do analizy zmiennych pól p l temperatury. Tomasz Bujok promotor: dr hab. Jerzy Bodzenta, prof. Politechniki Śląskiej

Wykorzystanie programu COMSOL do analizy zmiennych pól p l temperatury. Tomasz Bujok promotor: dr hab. Jerzy Bodzenta, prof. Politechniki Śląskiej Wykorzystanie programu COMSOL do analizy zmiennych pól p l temperatury metodą elementów w skończonych Tomasz Bujok promotor: dr hab. Jerzy Bodzenta, prof. Politechniki Śląskiej Plan prezentacji Założenia

Bardziej szczegółowo

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice 23. Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Magdalena

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Fizyki II

Matematyczne Metody Fizyki II Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 1 / 11 Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s. Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe

Bardziej szczegółowo

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Widmo fal elektromagnetycznych

Widmo fal elektromagnetycznych Czym są fale elektromagnetyczne? Widmo fal elektromagnetycznych dr inż. Romuald Kędzierski Podstawowe pojęcia związane z falami - przypomnienie pole falowe część przestrzeni objęta w danej chwili falą

Bardziej szczegółowo

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej

Bardziej szczegółowo

czastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw adres strony www, na której znajda

czastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami:   karpinw adres strony www, na której znajda Zadania z równań różniczkowych czastkowych Za l aczam adres strony www, na której znajda Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: http://math.uni.lodz.pl/ karpinw Zadanie 1. Znaleźć wszystkie rozwiazania

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki

Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki https://www.igf.fuw.edu.pl/pl/courses/lectures/metody-obliczen-95-021c/ Podstawy metody różnic skończonych (Basics of finite-difference methods) Podstawy metody

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44 Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły

Bardziej szczegółowo

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.

Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji . Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja

Bardziej szczegółowo

Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R

Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R Metody numeryczne i symulacje stochastyczne Mateusz Topolewski woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki UMK Plan działania 1 Całkowanie

Bardziej szczegółowo