Zastosowanie metod numerycznych. Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN. reginska/wyklady2011
|
|
- Agnieszka Kołodziej
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zastosowanie metod numerycznych Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN reginska/wyklady2011 Wykład cz.iii, CSZ PW, semestr letni 2013 Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 1/44
2 Czȩść III Przykłady zagadnień źle postawionych Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 2/44
3 Zagadnienie odwrotne dla wia zki laserowej Model fizyczny Model matematyczny Metody regularyzacji Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 3/44
4 Model wia zki laserowej Typowy kształt wia zki laserowej Źródło światła x Γ Powierzchnia, na której stosunek natężenia pola elektrycznego do jego maksymalnej wartości na przecięciu jest stały S y Ω z S - laser Przykład: Wia zka Gausowska - natȩżenie pola elektrycznego jest funkcja Gaussa odległości od osi wia zki. Zadanie dane sa pomiary pola elektromagnetycznego na powierzchni Γ Ω, wyznaczyć pole w obszarze Ω Teresa Regińska 4/44
5 Układ pomiarowy Generator Impulsów prądowych Platforma obrotowa α α laser R β? detektory Przetwarzacze detectorowe Zasilacz platformy α kompilator komputer Schemat ilustruja cy zasadȩ pomiaru rozkładu natȩżenia pola generowanego przez lasery półprzewodnikowe Teresa Regińska 5/44
6 Informacja o rozkładzie przestrzennym pola jest bardzo ważna z wielu wzglȩdów: umożliwia ona dobre zaprojektowanie układu optycznego przyrza du, w którym laser jest użyty (ogniskowanie, usuniȩcie astygmatyzmu, redukcja modów bocznych itp.), umożliwia projektowanie lasera pod ka tem uzyskania poża danych przez projektanta własności optycznych pozwala też precyzyjnie określić zakres zastosowań danego lasera Teresa Regińska 6/44
7 Model matematyczny Proces stacjonarny, ω= const pole elektryczne D(r, t) = e iωt D(r) pole magnetyczne B(r, t) = e iωt B(r) równania Maxwella równania Helmholtza D(r) + k 2 D(r) = 0, r Ω R 3 B(r) + k 2 B(r) = 0, r Ω R 3 gdzie ( ) ω 2 k 2 = c Jeżeli warunki brzegowe dla pól D(r) i B(r) sa liniowe, to każda ich składowa również spełnia zagadnienie brzegowe dla równania Helmholtza. Teresa Regińska 7/44
8 PROBLEM KLASYCZNY u ustalona składowa pola elektromagnetycznego. Ω ograniczony otwarty obszar w R 3 Równanie Helmholtza 0 < µ = k 2, k - liczba falowa Typowe warunki brzegowe u + µu = 0 on Ω warunki Dirichleta na brzegu Ω of Ω, warunki Neumanna na brzegu Ω of Ω, Teresa Regińska 8/44
9 PROBLEM ODWROTNY Warunki brzegowe na czȩści brzegu Niech Γ Ω oraz g, h L 2 (Γ). Zagadnienie Cauchy ego dla równania Helmholtza wyznaczyć u D H 1 (Ω) takie, że (D bȩdzie określone) u + µu = 0, w Ω CP(g, h) u = g na Γ, u ν = h na Γ. Examples Ω Γ Ω Γ X Γ 0 Ω Γ 0 d z y Teresa Regińska 9/44
10 Jednoznaczność Główne pytania: Założenie: g, h L 2 (Γ) takie, że istnieje rozwia zanie u H 1 (Ω) problemu CP(g, h). Czy rozwia zanie jest jednoznaczne? Metoda rekonstrukcji u Mamy pomiary g δ i h δ na powierzchni Γ takie, że f δ f L 2 (Γ) + g δ g L 2 (Γ) δ Jak wyznaczyć przybliżone rozwia zanie na Ω oraz jaka dokładność można uzyskać? Teresa Regińska 10/44
11 Równanie Helmholtza na nieskończonej warstwie w R 2 y d u=g, u y =0 Γ u+k 2 u=0 Ω 0 x CP1 2 u + 2 u + k x 2 y 2 u = 0, dla x R, y (0, d) 2 u(x, d) = g(x) dla x R, u y (x, d) = 0 dla x R. Teresa Regińska 11/44
12 Narzȩdzie do analizy tego zagadnienia: Transformata Fouriera funkcji v L 2 (R) ˆv(ξ) := 1 v(x)e iξx dx 2π Własności: v 2 L 2 = R v(x) 2 dx = R ˆv(ξ) 2 dξ = ˆv 2 L 2 v x (ξ) = iξˆv(ξ) 2 v x 2 (ξ) = ξ 2ˆv(ξ) R Teresa Regińska 12/44
13 Równoważne sformułowanie w przestrzeni czȩstotliwości CP2 û yy (ξ, y) = (ξ 2 k 2 )û(ξ, y), dla ξ R, y (0, d) û(ξ, d) = ĝ(ξ) dla ξ R, û y (ξ, d) = 0 dla ξ R. Równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzȩdu ze wzglȩdu na y. Rozwia zanie ogólne: w(ξ, y) = α 1 (ξ)e y ξ 2 k 2 + α 2 (ξ)e y ξ 2 k 2 Teresa Regińska 13/44
14 Jeśli w(ξ, y) ma spełniać warunki brzegowe CP2, to w(ξ, y) = 1 2ĝ(ξ) ( e (d y) ξ 2 k 2 + e (d y) ξ 2 k 2 ) ( ) = ĝ cosh (d y) ξ 2 k 2 cosh x = ex +e x 2 cosh ix = cos x Wzór na rozwia zanie CP2 û(ξ, y) w y = y 0 ( ) û(ξ, y 0 ) = cosh (d y 0 ) ξ 2 k 2 ĝ(ξ) Teresa Regińska 14/44
15 û(ξ, y 0 ) jest rozwia zaniem równania: A(y 0 )û(ξ, y 0 ) = ĝ(ξ), gdzie A(y 0 ) jest operatorem mnożenia przez funkcjȩ a(ξ) A(y 0 )v(ξ) := a(ξ)v(ξ) a(ξ) = 1 cosh ((d y 0 ) ) ξ 2 k 2 A(y) : L 2 (R) L 2 (R) jest ograniczony lub nieograniczony w zależności od d y oraz k A(y) 1 jest nieograniczony Jeśli rozwia zanie istnieje, to jest jednoznaczne Teresa Regińska 15/44
16 Jeżeli k(d y) < π 2 A(z) jest ograniczony Fig. 1: funkcja a( ξ ) = 1 cosh [ (d y) ξ 2 k 2] dla d = 1, k = 2 i różnych y a( ξ ) y = 0.8 y = 0.6 y = 0.4 y = 0.3 ξ Teresa Regińska 16/44
17 Jeżeli k(d z) > π 2 A(z) nieograniczony Fig. 2: funkcja a( ξ ) = 1 cosh [ (d y) ξ 2 k 2] dla d = 1, y = 0.1 i k = 6 a( ξ ) ξ Teresa Regińska 17/44
18 Bła d najlepszej aproksymacji Jeẋeli to g g δ L 2 δ R u(x, 0) 2 dx E 2, Tw. 3.2 i Tw. 3.6 z pracy: u(, y 0 ) u δ opt E d y 0 d δ y 0 d T. Regińska and U. Tautenhahn, (2009), Conditional stability estimates and regularization with applications to Cauchy problems for the Helmholtz equation Numer. Funct. Anal. and Optimiz. 30 (9-10), Teresa Regińska 18/44
19 Metody regularyzacji - schemat ϕ(a) := 1 a û(ξ, y) = ϕ(a(ξ))ĝ(ξ) {ϕ α (a)} α (0,α0 ) rodzina regularyzuja ca ϕ α (a) ϕ(a) gdy α 0 α 0 ϕ α (a) ograniczona funkcja na R rozwia zanie zregularyzowane û δ α(ξ, y) := ϕ α (a(ξ))ĝ δ (ξ) Teresa Regińska 19/44
20 Metody regularyzacji - przykłady metoda Tichonowa: (A A + α)v δ α = A f δ metoda "spektralna" ϕ α (a) = ϕ α = a a 2 + α { 1 a a α 0 a < α metoda "spektralna zmodyfikowana" { 1 a a α ϕ α = a < α 1 αa û δ α(ξ, y) := ϕ α (a(ξ))ĝ δ (ξ) Teresa Regińska 20/44
21 Metoda spektralna û δ cosh ((d y 0 ) ) ξ 2 k 2 ĝ δ (ξ) gdy (*) α(ξ, y 0 ) = 0 gdy ( ) (*) a α, tzn. cosh ((d y 0 ) ) ξ 2 k 2 1 α (**) a < α, tzn. cosh ((d y 0 ) ) ξ 2 k 2 Twierdzenie o zbieżności Jeżeli R u2 (x, 0)dx E 2, R spełnia równanie to R > 1 α ( g(x) g δ (x)) 2 dx δ i α(δ) α(δ) k 2 = 1 d ln δ 2E ( ) 2 u(x, y 0 ) u δ d y 0 α(x, y 0 ) dx CE d Teresa Regińska 21/44 δ y 0 d
22 Ilustracja numeryczna - skutki złego wyboru parametru regularyzacji Obliczenia numeryczne dla zagadnienia Cauchy ego dla równania Helmholtza na warstwie w R 3 Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 22/44
23 u + k 2 u = 0, na R 2 (0, d) CP(g, 0) u(x, y, d) = g(x, y) dla (x, y) R 2, u z (x, y, d) = 0 dla (x, y) R2. y Γ 0 X A(z) Γ 0 z 0 d z Γz Teresa Regińska 23/44
24 Obliczenia przy nastȩpuja cych założeniach: Rozwia zanie zregularyzowane: k = 4, d = 1, z = 0, 8 u δ α(x, y, z) = T 1 (cosh ((d z) ξ 2 k 2 )T (gα)) δ ĝ δ α = {ĝδ (ξ) ξ 2 α 0 ξ 2 > α Transformata Fouriera jest zasta piona szybka transforrmata Fouriera. Teresa Regińska 24/44
25 Warstwa w R2 Przykład 2 Ilustracja w R3 funkcja g na brzegu Γ π2 g(x, y) = exp 2 π x2 Przykład 3 Regularyzacja funkcja gδ na brzegu Γ! π2 exp 2 π y2!, na ( π, π)2 δ = 0.001, Teresa Regińska 25/44
26 Warstwa w R2 Przykład 2 Ilustracja w R3 Przykład 3 Regularyzacja uδα (x, y, 0.8) dla gδ uα (x, y, 0.8) dla g α = 50 δ = Teresa Regińska 26/44
27 Przykład 2 Warstwa w R2 Ilustracja w R3 Przykład 3 Regularyzacja rozwia zanie zregularyzowane uδα (x, y, 0.8) dla α = 10 Teresa Regińska uδα (x, y, 0.8) dla α = 2 27/44
28 Odwrotne zagadnienie ciepłoprzewodnictwa Model fizyczny Model matematyczny Metody regularyzacji Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Teresa Regińska 28/44
29 Optymalizacja procesu schniȩcia lakieru L - powierzchnia lakierowana Temperatura i jej gradient ma wpływ na czas schniȩcia i jakość pokrywy lakieru pomiary temperatury na powierzchni L niedostȩpne Teresa Regińska 29/44
30 Model matematyczny Zadanie klasyczne t uxx=ut u(0,t)=f(t) u(1,t)=g(t) 0 u(x,0)=0 1 x Zadanie odwrotne "sideways heat equation" t (SHE) uxx=ut u(1,t)=g(t) ux(1,t)=h(t) 0 u(x,0)=0 1 x Teresa Regińska 30/44
31 Zadanie odwrotne na półpłaszczyźnie (SHE) t u xx =u t u(1,t)=g(t) u(x,.) ograniczone gdy x 0 u(x,0)=0 1 x u(x,t)=0 u(1,t)=g(t)=0 Założenia dodatkowe istnieje rozwia zanie i u(0, ) L 2 (R) M g(t) g m (t), g m g δ Teresa Regińska 31/44
32 Modelowe zadanie odwrotne SHE1(g) u xx (x, t) = u t (x, t), dla x > 0, t R u(1, t) = g(t) dla t R, u x ograniczone. Narzȩdzie do analizy tego zagadnienia: Transformata Fouriera wzglȩdem zmiennej t ˆv(ξ) := 1 v(t)e iξt dt 2π R Teresa Regińska 32/44
33 Równanie na û(x, ξ) SHE2(ĝ) û xx (x, ξ) = iξû(x, ξ), dla x > 0, t R û(1, ξ) = ĝ(ξ) dla t R, û x ograniczone. Równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzȩdu ze wzglȩdu na x. Rozwia zanie ogólne: w(x, ξ) = α 1 (ξ)e x iξ + α 2 (ξ)e x iξ gdzie + ξ i) iξ = 2 ξ 0 (1 (1 i) ξ 2 ξ < 0 Teresa Regińska 33/44
34 Wzór na rozwia zanie: û(x, ξ) = e (1 x) iξĝ(ξ) Dla x > 1, t R zadanie jest dobrze postawione Dla 0 < x < 1, t R zadanie jest źle postawione: x (0, 1) û(x, ) L 2 (R) e ξ /2ĝ(ξ) L 2 (R) g m g L 2 δ e ξ /2ĝ m (ξ) L 2 (R) Teresa Regińska 34/44
35 Metoda I Metoda Fouriera (spektralna) Niech α (0, α 0 ) e (1 x) iξû(x, ξ) = ĝ(ξ) û = ϕ(a)ĝ gdzie ϕ(a) = 1 a. ( û δ α(x, ξ) := ϕ α e (1 x) ) iξ ĝ m, gdzie ( ϕ α e (1 x) ) iξ = e (1 x) iξ ξ 1 α 0 ξ > 1 α Teresa Regińska 35/44
36 Twierdzenie Niech u(0, ) L 2 M oraz g g m L 2 δ. Jeżeli wybierzemy α = α(δ) takie, że 1 α = 2 ln2 ( M δ ) to u(x, ) u δ α(x, ) L 2 2M (1 x) δ x Teresa Regińska 36/44
37 Metoda II Metoda Galerkina wprowadzenie Rozpatrujemy równanie różniczkowe Lu = f w L 2 (Ω) Wybieramy funkcje bazowe (testowe) ϕ n 1,, ϕn n, lnz n u n := c i ϕ n i i 1 Na ogół Lu n f. Szukamy {c i } i=1,,n tak, aby Lu n f była mała. (Lu n f, ϕ n i ) = 0 i = 1,, n Przy pewnych założeniach o L i {ϕ n i } rozwia zanie u n istnieje i u u n C inf n wn= u w h (Lemat Cea) 1 βiϕn i Metoda zależy od wyboru funkcji bazowych {ϕ n i }. Teresa Regińska 37/44
38 Metoda Galerkina dla SHE Równanie u xx u t = 0 na R + R i warunek u(1, ) = g. Niech n u δ n(x, t) = c δ i (x)ϕ n i (t) i=1 x R +, t R {c δ i (x)} maja być takie, że ( ) 2 R u x δ n(x, t) 2 t uδ n(x, t) ϕ n i (t)dt = 0 R uδ n(1, t)ϕ n i (t)dt = R g m(t)ϕ n i (t)dt i = 1,, n i = 1,, n Dla uproszczenia załóżmy, że ϕ n i (t)ϕ n j (t)dt = δ ij R Teresa Regińska 38/44
39 Układ równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzȩdu Oznaczenia: d ij := R d dt ϕn i (t)ϕn j (t)dt, γδ i := R g m(t)ϕ i (t)dt C(x) = c 1 (x). c n (x), D = d 11 d 1n..... d n1 d nn Zapis macierzowy C δ (x) DC δ(x) = 0 C δ (1) = γ δ C δ ograniczone gdy x, γ δ = γ δ 1. γ δ n Teresa Regińska 39/44
40 Wybór funkcji testowych Pytanie 1: jak wybrać funkcje testowe {ϕ n i } dla SHE? Pytanie 2: jak wybrać liczbȩ n w zależności od błȩdu danych δ, aby u δ n(x, ) u(x, ) 0 gdy δ 0 Jedna z możliwości jest zastosowanie funkcji falkowych Meyera T. R.and L.Eldén, (1997), Solving the sideways heat equation by a wavelet-galerkin method Inverse Problems 13 Teresa Regińska 40/44
41 Funkcje falkowe - wprowadzenie Falka (wavelet) - jest to funkcja ψ L 2 (R), taka, że jej przesuniȩcia i dylatacje tworza bazȩ w L 2 (R) ψ j,k (t) = 2 j 2 ψ(2 j t k) Falka Haara Proste wzory, ale brak regularności. Fa 2 ψ 14 1 Ψ(t) ,5 t -1 2 Teresa Regińska 41/44
42 Teresa Regińska 42/ Falka Meyera ψ(ξ) = e i ξ 2 b(ξ), [ ( )] 1 2π sin π 2 ν 3 2π ξ 1, dla 2π 3 ξ 4π 3, [ ( )] b(ξ) = 1 2π cos π 2 ν 3 4π ξ 1, dla 4π 3 ξ 8π 3, 0, dla pozostałych
43 n u δ n = c δ j,k(x)ψ j,k (t) j=0 k Z Twierdzenie - Zbieżność metody Meyera - Galerkina Niech u(0, ) L 2 M oraz g g m L 2 δ. Jeżeli 2 n 1 π ( ln M δ ) 2 to u δ n(x, ) u(x, ) cδ x s M 1 x 3 Teresa Regińska 43/44
44 Regularyzacja SHE Test 1 Test 2 Metoda Fouriera (spektralna) Linia ciągła rozwiązanie dokładne dla x=0 Linia przerywana rozwiązanie zregularyzowane dla x=0 Linia czerwona temperatura mierzona w punkcie x=1 Metoda Galerkina (falki Meyera) Teresa Regińska 44/44
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoZastosowanie metod numerycznych. Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN. reginska/wyklady2011
Zastosowanie metod numerycznych Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN E-mail: reginska@impan.pl http://www.impan.pl/ reginska/wyklady2011 Wykład, CSZ PW, semestr letni 2013 Wykład jest współfinansowany
Bardziej szczegółowoElementy równań różniczkowych cząstkowych
Elementy równań różniczkowych cząstkowych Magdalena Jakubek kwiecień 2016 1 Równania różniczkowe cząstkowe Problem brzegowy i problem początkowy Klasyfikacja równań Rodzaje warunków brzegowych Najważniejsze
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoZastosowanie metod numerycznych. Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN. Wykład, CSZ PW, semestr letni 2013
Zastosowanie metod numerycznych Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN E-mail: reginska@impan.pl Wykład, CSZ PW, semestr letni 2013 Wykład jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoZastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D
Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoWykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych
Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe. Wojciech Szewczuk
Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe - wstęp u x = lim x u(x + x, y) u(x, y) x u u(x, y + y) u(x, y) y = lim y y () (2) 2 u x 2 + 2xy 2 u y 2 + u = 3 u x 2 y + x 2 u + 8u = 5y
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warszawski Wydział Fizyki. Światłowody
Uniwersytet Warszawski Wydział Fizyki Marcin Polkowski 251328 Światłowody Pracownia Fizyczna dla Zaawansowanych ćwiczenie L6 w zakresie Optyki Streszczenie Celem wykonanego na Pracowni Fizycznej dla Zaawansowanych
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych
Metody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański 6 Wrzesień 2016 Zastosowania równań hiperbolicznych Nieliniowe równania hiperboliczne wykorzystywane
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoKATEDRA TELEKOMUNIKACJI I FOTONIKI
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY W SZCZECINIE WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY KATEDRA TELEKOMUNIKACJI I FOTONIKI OPROGRAMOWANIE DO MODELOWANIA SIECI ŚWIATŁOWODOWYCH PROJEKTOWANIE FALOWODÓW PLANARNYCH (wydrukować
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoZagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1
Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1 Tomasz Chwiej 6 czerwca 2016 1 Równania różniczkowe zwyczajne Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów różnicowych: iloraz
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.
OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Bardziej szczegółowoInżynierskie metody numeryczne II. Konsultacje: wtorek 8-9:30. Wykład
Inżynierskie metody numeryczne II Konsultacje: wtorek 8-9:30 Wykład Metody numeryczne dla równań hiperbolicznych Równanie przewodnictwa cieplnego. Prawo Fouriera i Newtona. Rozwiązania problemów 1D metodą
Bardziej szczegółowo1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoRóżne reżimy dyfrakcji
Fotonika Wykład 7 - Sposoby wyznaczania obrazu dyfrakcyjnego - Przykłady obrazów dyfrakcyjnych w polu dalekim obliczonych przy użyciu dyskretnej transformaty Fouriera - Elementy dyfrakcyjne Różne reżimy
Bardziej szczegółowoŁagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych
Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki 10 XII 2009 - część I 17 XII 2009 -
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoPropagacja w przestrzeni swobodnej (dyfrakcja)
Fotonika Wykład 7 - Sposoby wyznaczania obrazu dyfrakcyjnego - Przykłady obrazów dyfrakcyjnych w polu dalekim obliczonych przy użyciu dyskretnej transformaty Fouriera - Elementy dyfrakcyjne Propagacja
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoRównania Maxwella. Wstęp E B H J D
Równania Maxwella E B t, H J D t, D, B 0 Równania materiałowe B 0 H M, D 0 E P, J E, gdzie: 0 przenikalność elektryczną próżni ( 0 8854 10 1 As/Vm), 0 przenikalność magetyczną próżni ( 0 4 10 7 Vs/Am),
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) 1. Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe
Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki. Metoda propagacji wiązki BPM Modelowanie propagacji
Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki Metoda propagacji wiązki BPM Modelowanie propagacji Równanie BPM Równanie Helmholtza: n k 0 =0 Rozwiązanie zapisujemy jako: r =A r exp i k z Fala nośna k =n k
Bardziej szczegółowoModel odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I
Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział
Bardziej szczegółowoTRANSFORMATA FOURIERA
TRANSFORMATA FOURIERA. Wzór całkowy Fouriera Wzór ten wykorzystujemy do analizy funkcji nieokresowych; funkcje te mogą opisywać np.przebiegi eleektryczne. Najpierw sformułujmy tzw. warunki Dirichleta.
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programu COMSOL do analizy zmiennych pól p l temperatury. Tomasz Bujok promotor: dr hab. Jerzy Bodzenta, prof. Politechniki Śląskiej
Wykorzystanie programu COMSOL do analizy zmiennych pól p l temperatury metodą elementów w skończonych Tomasz Bujok promotor: dr hab. Jerzy Bodzenta, prof. Politechniki Śląskiej Plan prezentacji Założenia
Bardziej szczegółowoTENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY
TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
23. Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Magdalena
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 1 / 11 Reprezentacja
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoWykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji
Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoWidmo fal elektromagnetycznych
Czym są fale elektromagnetyczne? Widmo fal elektromagnetycznych dr inż. Romuald Kędzierski Podstawowe pojęcia związane z falami - przypomnienie pole falowe część przestrzeni objęta w danej chwili falą
Bardziej szczegółowoPYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A
PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej
Bardziej szczegółowoczastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw adres strony www, na której znajda
Zadania z równań różniczkowych czastkowych Za l aczam adres strony www, na której znajda Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: http://math.uni.lodz.pl/ karpinw Zadanie 1. Znaleźć wszystkie rozwiazania
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki
Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki https://www.igf.fuw.edu.pl/pl/courses/lectures/metody-obliczen-95-021c/ Podstawy metody różnic skończonych (Basics of finite-difference methods) Podstawy metody
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoWykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji
Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,
Bardziej szczegółowoSpis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Bardziej szczegółowo11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.
Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Bardziej szczegółowoAproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.
Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoModelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R
Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R Metody numeryczne i symulacje stochastyczne Mateusz Topolewski woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki UMK Plan działania 1 Całkowanie
Bardziej szczegółowo