Stefan Banach urodzony 30 marca 1892 roku w Krakowie jako syn Stefana

Transkrypt

1 Adam Zapora Stefan Banach urodzony 30 marca 1892 roku w Krakowie jako syn Stefana Greczka i Katarzyny Banach; po urodzeniu został oddany na wychowanie; prawdopodobnie początkowo do matki ojca w Ostrowsku pod Nowym Targiem, następnie do domu Franciszki Płowej i jej córki Marii Puchalskiej w Krakowie. Jako pierwszy na zdolnościach młodego Banacha poznał się opiekun Marii Puchalskiej Juliusz Mien, z pochodzenia Francuz, tłumacz literatury polskiej, który to prawdopodobnie pierwszy zaczął kształtować go matematycznie i uczyć francuskiego. W wieku dziesięciu lat, po ukończeniu szkoły ludowej, Stefan Banach zostaje uczniem gimnazjum. Zmuszony skromnymi warunkami materialnymi udziela korepetycji; kolegom z klasy pomaga bezinteresownie; jest bardzo pilnym uczniem. Po latach Banach stwierdził, że największy wpływ na rozwój i ukształtowanie jego matematycznych zainteresowań miał Kamil Kraft doktor wszechnauk lekarskich, uczący matematyki i fizyki. Z matematyki i nauk przyrodniczych zdobywa oceny celujące, z pozostałych nauk bardzo dobre i dobre; już w gimnazjum potrafi swoimi pytaniami wprowadzić w zakłopotanie, jak choćby tym, adresowanym do gimnazjalnego księdza: Czy Pan Bóg wszechmogący mógłby stworzyć taki kamień, którego sam nie mógłby unieść?. W 1910 przed maturą wskutek przeciążenia pracą grozi mu osiem ocen niedostatecznych i przechodzi przez egzaminy końcowe dzięki poparciu uzyskanemu właśnie ze strony księdza, po czym przekonany, iż matematyka jest rozwinięta do takiego stopnia, że nie da się już w niej nic nowego zrobić - udaje się na studia techniczne na Politechnice Lwowskiej; w 1914 uzyskuje półdyplom poświadczający zaliczenie dwóch lat studiów. Po wybuchu wojny Banach wyjeżdża ze Lwowa i gdzieś w Galicji dostaje pracę polegającą na nadzorowaniu małej grupy robotników przy budowie dróg. W 1916 przybywa do Krakowa, gdzie podczas jednej z dysput z przyjacielem Otto Nikodymem zostaje przypadkowo podsłuchany przez Hugo Steinhausa, który usłyszawszy słowa całka Lebesgue a proponuje współpracę. Po jakimś czasie Steinhaus przedstawia Banachowi problem, z którym nie może uporać się już od dłuższego czasu. Po kilku dniach Banach przynosi rozwiązanie, które we wspólnej nocie ze Steinhausem zostaje opublikowane przez S. Zarembę w Biuletynie Akademii Krakowskiej w 1918 roku ( O zbieżności w średniej szeregu

2 Strona 2 z 11 Fouriera ). Pod wpływem znajomości ze Steinhausem, Banach zaczyna nawiązywać kontakty z elitarnym środowiskiem matematyków. W 1919 zostaje jednym z członkówzałożycieli Towarzystwa Matematycznego w Krakowie, a w asystentem przy katedrze matematyki pod kierownictwem prof. Łomnickiego na Politechnice Lwowskiej. W 1920 zaczyna pisać pracę doktorską O operacjach na zbiorach abstrakcyjnych i ich zastosowaniach do równań całkowych, opublikowaną w 1922 w Fundamenta Mathematicae. W tym właśnie okresie rozwoju dziejów zaczyna się formować nowa dziedzina matematyki analiza funkcjonalna. Aby odpowiedzieć na pytanie jaki jest udział Banacha w jej współtworzeniu, a także dlaczego przestrzenie służące za obiekt badań w tej dziedzinie nazwano jego imieniem prześledźmy pokrótce początki rozwoju analizy funkcjonalnej. Dzieło Banacha, to stworzenie teorii analizy funkcjonalnej. Teorię tę jednak zapoczątkowali już m. in. Riesz, czy Fréchet. Do roku 1920 n-wymiarowe przestrzenie liniowe (wektorowe) były już znane od dawna (pierwszy aksjomatyczną definicję przestrzeni liniowej wymiaru skończonego lub nie, nad ciałem liczb rzeczywistych wprowadził G. Peano, 1888). Zbiór A jest przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem F, jeśli: (1) każdemu elementowi a A nazywanemu wektorem lub punktem i dowolnemu skalarowi λ F odpowiada element λa A (określone jest mnożenie wektorów przez skalary), (2) każdym dwóm elementom a, b A odpowiada element c = a + b A, nazywany ich sumą (określone jest dodawanie wektorów) oraz zbiór A wraz z tym dodawaniem jest grupą abelową i zachodzą zwykłe reguły łączności i rozdzielności: (3) λ(μa) = (λμ)a, (4) 1a = a, 0a = 0,

3 Strona 3 z 11 (5) λa + μa = (λ + μ)a, (6) λ(a + b) = λa + λb. Mówi się, że przestrzeń liniowa A jest n-wymiarowa, jeśli ma bazę a1,, an A, tj. jeżeli każdy element a A może być przedstawiony jako kombinacja liniowa a = λ1a1 + + λnan, gdzie λ1,, λn F. Jeżeli nie ma takiej skończonej bazy, przestrzeń liniowa A nazywa się nieskończenie wymiarową. Znane już były m. in. przestrzenie liniowe R n, C([a, b]), l 2, L 2 itp., ale ze względu na zbyt ogólne pojęcie przestrzeni liniowej fakt ten nie był powszechnie wykorzystywany, co wkrótce miało doprowadzić do odkrycia przestrzeni liniowych unormowanych zupełnych. Decydujące kroki poczyniło trzech matematyków niemal w tym samym czasie, ale niezależnie od siebie: Norbert Wiener ( ) z Bostonu, Hans Hahn ( ) z Wiednia, Stefan Banach ( ) ze Lwowa. W 1921 ukazał się artykuł Wienera, w którym rozważa pewną, niejasno zdefiniowaną klasę elementów K i zbiór Σ wszystkich przekształceń K w siebie. Rozpatrywał w nim kilka szczególnych systemów nazwanych przez niego (J1), w których zbiór Σ był grupą. Jego głównym celem było ustalenie, które z systemów są systemami (J1). Zdefiniował system wektorowy jako system elementów K w relacji z systemem σ jednostek i operacji,, określonej przez pewne właściwości. W dzisiejszej terminologii σ był przestrzenią liniową z normą (nieujemną podaddytywną funkcją rzeczywistą). Nowym elementem wprowadzonym przez Wienera była norma (on tego terminu nie używał) oznaczana, lecz wśród jego aksjomatów znajdował się jeden dziwnie sformułowany: m ξ = m ξ, zamiast dziś powszechnego: m ξ = m ξ.

4 Strona 4 z 11 Zaniedbując tę różnicę można powiedzieć, że Wiener zdefiniował przestrzeń liniową unormowaną. Nie wymagał zupełności, więc nie zdefiniował przestrzeni Banacha. Nie wyjaśnił też wystarczająco swoich podstawowych pojęć ani nie rozwinął żadnej ogólnej teorii opartej na tych pojęciach (J. Dieudonné w History of Functional Analysis, 1981, nawet nie wspomina o Wienerze). Na drodze do ukształtowania dzisiejszego pojęcia normy odnajdujemy pracę Eduarda Helly ego ( ) z Wiednia zajmującego się poszukiwaniem warunków koniecznych i dostatecznych rozwiązalności nieskończonych układów równań liniowych z nieskończenie wieloma niewiadomymi: (a n, x) = cn, n = 1, 2, gdzie a n są znanymi ciągami, cn są znanymi liczbami, x jest szukanym rozwiązaniem. Przygotowując rozwiązanie tego zagadnienia, u podstaw swoich rozważań zdefiniował metrykę (dziś powiedzielibyśmy raczej właśnie: normę) jako funkcję rzeczywistą D określoną na pewnych (niekoniecznie wszystkich) elementach x należących do przestrzeni ciągów liczb rzeczywistych lub zespolonych i posiadającą następujące własności : a) jeśli D(x) jest zdefiniowana, wtedy zdefiniowana jest D(λx) dla wszystkich liczb λ i D(λx) = λ D(x); b) jeśli D(x) i D(y) są zdefiniowane, wtedy zdefiniowana jest D(x + y) i D(x + y) D(x) + D(y); c) jeśli D(x) = 0, wtedy x = 0. W dużej mierze za wynikami Helly ego podążył Hahn; możemy traktować jego pracę jako kontynuację pracy tego pierwszego. Punktem wyjścia dla jego badań była przestrzeń liniowa, tj. zbiór A elementów (jakiejkolwiek natury), na którym zdefiniowane jest dodawanie oraz skalarne mnożenie ze zwykłymi własnościami łączności i rozdzielności (3) (6), i który jest algebraicznie zamknięty ze względu

5 Strona 5 z 11 na te operacje. Teraz, jak Helly, zaproponował funkcję o wartościach rzeczywistych D zdefiniowaną na wszystkich elementach a A i spełniającą warunki: a) D(a) 0 i D(a) = 0 gdy a = 0; b) D(λa) = λ D(a); c) D(a + b) D(a) + D(b). Powyższa funkcja D jest dokładnie tym, co dziś nazywamy normą (definicja Wienera różniła się w punkcie b), Helly natomiast nie określił jej dla wszystkich elementów). Hahn zauważył, że biorąc odległość D(a b) między dwoma elementami a, b A funkcja D indukuje metrykę na A, która z kolei pozwala wyróżnić ciągi Cauchy ego {an} jako te, których lim D(a b) = 0 i w konsekwencji zażądał, by A był zupełny w metryce indukowanej przez D. W ten sposób Hahn podał wszystkie aksjomaty przestrzeni liniowej unormowanej zupełnej, czyli przestrzeni Banacha. Jednak nie zaczął budować ich teorii; można za to powiedzieć, że ogólna teoria przez niego rozwinięta poszła za daleko w swej złożoności i jej zastosowania były raczej ograniczone. Tak więc w skrócie: Wiener podał definicję przestrzeni liniowej unormowanej z definicją normy nieco odmienną od dzisiejszej, Helly podał definicję normy, która nie miała ogólności (nie musiała być zdefiniowana dla wszystkich elementów przestrzeni), natomiast Hahn podał już definicję przestrzeni liniowych unormowanych zupełnych, ale nie rozwinął ich teorii podążając w innym kierunku. Co uczynił Banach? Otóż, niech E będzie zbiorem elementów (jakiejkolwiek natury) oznaczanych X, Y, Z, (nazywanych wektorami) oraz niech a, b, c, oznaczają liczby rzeczywiste. Każdej parze wektorów X, Y odpowiada wektor X + Y nazywany ich sumą, a każdemu wektorowi X i każdej liczbie a odpowiada wektor ax. Niech zbiór E spełnia trzy grupy aksjomatów:

6 Strona 6 z 11 grupa I grupa II grupa III 13 aksjomatów wymagających, by E był przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych; 4 aksjomaty wymagające, by E posiadał normę dla każdego wektora X (oznaczaną X ): II1. X 0, II2. X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy X=0, II3. ax = a X, II4. X + Y X + Y ; aksjomat wymagający od E zupełności ze względu na normę, tzn. jeśli *Xn} jest ciągiem Cauchy ego elementów ze zbioru E, tj. jeśli lim Xn - Xm = 0, to w E istnieje element X taki, że lim Xn - X = 0; mówimy wtedy, że ciąg {Xn} jest zbieżny do X i oznaczamy lim Xn = X. Zbiór E spełniający wszystkie trzy grupy aksjomatów nazywamy przestrzenią liniową unormowaną zupełną lub przestrzenią Banacha. W tym właśnie momencie drogi matematyków badających przestrzenie liniowe się rozchodzą. Banach pokazał, że te trzy grupy aksjomatów to wystarczająca podstawa do rozwoju ogólnej teorii z ważnymi zastosowaniami do szczególnych przestrzeni funkcyjnych. Zarys tej teorii stworzył w swej pracy doktorskiej i kontynuował pracę nad nią do końca życia, stając się jednym z twórców polskiej szkoły matematycznej (będąc liderem szkoły lwowskiej). Po opublikowaniu pracy doktorskiej Banacha, Wiener opublikował krótki artykuł, w którym pokazał, że zastąpienie w oryginalnej definicji Banacha dziedziny liczb rzeczywistych przez dziedzinę liczb zespolonych daje inną klasę przestrzeni, które również pozwalają na wartościowe uogólnienia. W swej autobiografii ( I am a Mathematician ) Wiener pisze, że praca Banacha zawiera rezultaty praktycznie identyczne z tymi, które ja opublikowałem; ani bardziej, ani mniej ogólne ; niemniej, przyznaje jednak, że publikacja Banacha uprzedziła w czasie jego koncepcje, a on sam zarzucił działalności na tym polu i stwierdza mimo iż uważał się za przynajmniej jednego z ojców tej teorii - że obecnie przestrzenie te są całkowicie słusznie nazwane wyłącznie imieniem Banacha. Stwierdzenie Wienera ani bardziej,

7 Strona 7 z 11 ani mniej ogólne jest nie do końca słuszne. Jego pojęcie jest bardziej ogólne, ponieważ nie założył zupełności przestrzeni; poza tym było też inne ze względu na osobliwy aksjomat. Pewien rodzaj rywalizacji - mimo że nigdy się nie spotkali - występował również między Hahnem a Banachem. Po artykule (1922), w którym Hahn podał swój system aksjomatów i udowodnił wczesną wersję zasady jednakowej ograniczoności, jego inny artykuł (1927) zawierał m. in. pierwszą wersję tego, co później nazwano twierdzeniem Hahna-Banacha (o rozszerzaniu funkcjonału liniowego); Hahn udowodnił je pierwszy, ale Banach udowodnił je w mocniejszej wersji i systematycznie stosował. Za Dunfordem i Schwartzem ( Linear Operators, Part I: General Theory ) są trzy podstawowe zasady analizy funkcjonalnej: Zasada Jednakowej Ograniczoności (twierdzenie Banacha-Steinhausa), Twierdzenie Hahna-Banacha (o rozszerzaniu funkcjonału liniowego), Zasada Wewnętrznego Odwzorowania (twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym) z jej natychmiastowym wynikiem twierdzeniem Banacha o wykresie domkniętym (Closed Graph Theorem). Banach miał swój udział w każdej, a ostatnia była wyłącznie osiągnięciem jego i szkoły lwowskiej. Podsumowując krótki rys historii narodzin analizy funkcjonalnej, lata można uznać jako odkrywczy okres dla teorii przestrzeni liniowych unormowanych zupełnych (krótko: przestrzeni Banacha). Była to niezależna praca trzech matematyków. W 1920 Wiener opracował aksjomaty przestrzeni liniowej unormowanej zbliżając się w ten sposób do przestrzeni Banacha, lecz zaniechał dalszych badań. W 1921 Hahn podał swoje aksjomaty przestrzeni liniowej unormowanej zupełnej, ale zagmatwał obraz kontynuując badania w innym kierunku. W 1920 Banach obronił swoją pracę doktorską z wykazem aksjomatów dla przestrzeni liniowych unormowanych zupełnych i zaczął rozwijać ich teorię (publikacja 1922). Były to trzy niezależne prace, powstające mniej więcej w tym samym czasie. Jednakże Wiener zaoferował tylko zbyt ogólną definicję, podczas gdy Hahn rozmazał definicję przez dalsze wymagania, czyniąc ją w ten sposób zbyt szczególną. Tylko Banach znalazł właściwą równowagę i kontynuował

8 Strona 8 z 11 prace, wkrótce przewyższając osiągnięcia zarówno Wienera, jak i Hahna. Tak więc udział Banacha stał się decydujący. *** W 1922 Banach habilituje się i zostaje mianowany profesorem nadzwyczajnym matematyki Uniwersytetu Jana Kazimierza we Lwowie. Publikuje kolejne prace, z których wywodzą się m. in. całka Banacha z dowolnej funkcji ograniczonej, granica uogólniona Banacha; prace jego są źródłem wielu prac matematyków na całym świecie; jest wybierany członkiem wielu towarzystw naukowych, zapraszany do wygłaszania wykładów. Prowadzi działalność dydaktyczną na Uniwersytecie Jana Kazimierza i na Politechnice Lwowskiej; wykłada m. in. mechanikę ogólną i mechanikę teoretyczną, a także teorię ruchu Ziemi dookoła Słońca, rachunek wariacyjny, teorię funkcji wielu zmiennych rzeczywistych, teorię operacji; pisze też (również wraz z Sierpińskim i Stożkiem) podręczniki arytmetyki, algebry, geometrii dla szkół średnich. W 1924 zostaje członkiem-korespondentem Akademii Umiejętności; wyjeżdża do Paryża w celu kontynuowania prac matematycznych. W tym samym roku zostaje mianowany profesorem zwyczajnym. W latach publikuje dwa tomy podręczników akademickich: Rachunek różniczkowy i całkowy. Mimo że Banach był wybitną indywidualnością matematyczną, to jednak nie można mówić o nim nie wspominając słowem choćby o tzw. polskiej szkole matematycznej, a zwł. szkole lwowskiej. Inicjatorem Polskiej Szkoły Matematycznej był Zygmunt Janiszewski, który postulował założenie pisma ściśle naukowego, poświęconego wyłącznie jednej z gałęzi matematyki, w których mamy pracowników wybitnych, prawdziwie twórczych i licznych. Idee te zawarł w liście - będącym programem mającym za cel zdobycie samodzielnego stanowiska dla matematyki polskiej - rozesłanym po całym świecie O Potrzebach matematyki w Polsce. Pismo zatytułowano Fundamenta Mathematicae i zaczęto je wydawać w roku Jedynym kierunkiem dociekań matematyków polskich była teoria mnogości z topologią.

9 Strona 9 z 11 W wyniku szybkiego rozwoju szkoły lwowskiej, w roku 1929 Banach wspólnie ze Steinhausem założyli periodyk Studia Mathematica, poświęcony zwł. teorii operacji oraz kilku innym dziedzinom uprawianym we Lwowie. Wśród współpracowników byli m. in. Stefan Kaczmarz ( ), Stanisław Mazur ( ), Władysław Orlicz ( ), Juliusz Schauder ( ), Marek Kac ( ), Stanisław Ulam ( ), Antoni Zygmund ( ). W 1932 po opublikowaniu w pierwszym tomie monografii Banacha - Teorja operacyj. Tom I. Operacje liniowe - przedstawiającej syntezę wszystkich dotąd uzyskanych rezultatów dotyczących przestrzeni wektorowych unormowanych zupełnych, obejmujących wkład szkoły lwowskiej, doszło do ugruntowania międzynarodowego uznania dla Banacha. Nie do przecenienia jest wpływ książki Banacha, jaki miała na rozwój analizy funkcjonalnej. Obejmując dużo szersze pole matematycznych zagadnień niż uwzględnione w teorii przestrzeni Hilberta, prawdopodobnie przyczyniła się do większej ilość publikacji matematycznych niż razem wzięte książki Stone a i von Neumanna. [ ] Książka ta została szybko uznana za apogeum długiego szeregu prac zainicjowanych przez Volterra ę, Hadamarda, Frécheta i F. Riesza. [ ] Poszła daleko w kierunku tworzenia analizy funkcjonalnej jako rozległego i niezależnego pola badań. (G. Birkhoff, E. Kreyszig The establishment of Functional Analysis, Hist. Math. 11 (1984), pp ). W 1932 zostaje Banach wiceprezesem Polskiego Towarzystwa Matematycznego, które to w owym czasie stanowiło łącznik w kontaktach matematyków polskich z uznanymi osobistościami środowiska matematycznego na całym świecie, takimi jak: Borel, Cartan, Fréchet, Lebesgue, Łuzin, Riesz, Zermelo. W 1936 na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym powierzono mu odczyt plenarny Teoria operacji i jej znaczenie w analizie. W 1939 zostaje prezesem PTM. Największe sukcesy polskiej szkoły matematycznej dotyczą działalności na terenie analizy funkcjonalnej i topologii; ponadto szkoła ta przyczyniła

10 Strona 10 z 11 się w znacznym stopniu do rozwoju teorii funkcji rzeczywistych (zwł. teorii szeregów trygonometrycznych, teorii miary i tzw. opisowej teorii funkcji), teorii mnogości i logiki matematycznej; ponadto matematycy polscy osiągnęli wartościowe wyniki w równaniach różniczkowych, geometrii wraz z teorią przekształceń, teorii funkcji analitycznych, teorii liczb, rachunku prawdopodobieństwa, statystyce matematycznej; także w mechanice, w szczególności w hydrodynamice, teorii figur równowagi i w związku z zagadnieniami trzech ciał. Charakterystyczną cechą szkoły lwowskiej było jej życie towarzyskie skupione w znanej Kawiarni Szkockiej. Zwyczajem stały się codzienne spotkania i rozmowy o matematyce przy kawiarnianym stoliku, gdzie stawiano problemy, za których rozwiązanie fundowano dość osobliwe, zwł. jak na grono naukowców, ale zrywające tym samym z utartym stereotypem uczonego nagrody od piwa do żywej gęsi. Problemy, uwagi, rozwiązania były zapisywane w tzw. Księdze Szkockiej (od 1933 albo 1934), która ze 193 problemami pokazuje jak żywo, przyjaźnie i matematycznie zorientowana była szkoła lwowska. Mówiąc o kawiarnianym stylu pracy polskich matematyków podkreślano fakt pracy zespołowej, w której to uczestniczyli m. in. Banach, Steinhaus, Kaczmarz, Żyliński, Mazur, Ulam, Nikliborc, Knaster, Auerbach, Kuratowski, Orlicz, Sierpiński, Tarski, Łomnicki, Nikodym. Jako jedną z najważniejszych metod miar osiągnięć we współczesnej nauce stosuje się wskaźnik cytowań. Amerykańscy informatycy obliczyli, że słowo Banach wystąpiło w ciągu półwiecza w tytułach ponad 11 tysięcy prac, zaś prac z cytatami Banacha jest wielokrotnie więcej. Hilbert doczekał się zaledwie 7 tysięcy takich prac. Prace Banacha miały ogromne znaczenie dla rozwoju nauk przyrodniczych, zwł. fizyki; wpłynęły na rozwój teorii kwantów, ogromny postęp techniki oraz badania kosmiczne.

11 Strona 11 z 11 Źródła: 1. Bourbaki, Nicolas Elementy historii matematyki PWN, Warszawa Duda, Roman The Discovery of Banach Spaces w History of Mathematics In Poland 3. Kałuża, Roman Stefan Banach Wyd. GZ, Warszawa Kordos, Marek Wykłady z historii matematyki Script, Warszawa Kozielecki, Józef Banach, geniusz ze Lwowa Wydawnictwo Akademickie Żak, Warszawa Wortal Stefana Banacha,