L A TEX krok po kroku

Transkrypt

1 L A TEX krok po kroku Imię i nazwisko Spis treści 1 Sekcja pierwsza Lista numerowana Wymagania podstawowe Lista numerowana Troszkę matematyki 4 4 Równania 4 5 Układ Cramera 6 1 Sekcja pierwsza Wielomiany ortogonalne stanowią ważną klasę układów ortogonalnych, które mają duże znaczenie w analizie, głównie dzięki możliwości rozwijania dowolnych funkcji należących do bardzo obszernych klas funkcji w szeregi według funkcji ortogonalnych. Przykładami takich szeregów mogą być szeregi Fouriera, szeregi Fouriera-Bessela itd. Wzór wystawiony x + y = 5 + 4y 3x 2. Niniejsza praca poświęcona jest wielomianom ortogonalnym. Celem pracy jest przedstawienie licznych wspólnych własności wielomianów ortogonalnych. Najważniejsza z nich jest ta, iż tworzą one układ ortogonalny funkcji w pewnym przedziale (a, b) z ustalona wagą (funkcja wagowa), która jest nieujemna funkcja ciągła w (a, b), mająca wszystkie osobliwości danej grupy wielomianów ortogonalnych. Do wielomianów ortogonalnych należą między innymi wielomiany trygonometryczne, wielomiany Legendrea, Hermitea, Laguerrea, Czebyszewa, Jacobiego i innych. 1.1 Lista numerowana W niniejszej pracy rozważamy teorie wybranych wielomianów ortogonalnych. Praca zawiera podstawowe wiadomości o, tak często spotykanych w zastoso- 1

2 waniach, funkcjach specjalnych, jak wielomiany trygonometryczne, wielomiany Legendrea, Hermitea i Laguerrea. To jest numerowanie: 1. Metody porównawcze stosuje się w wielu dziedzinach geometrii. licencjata, inżyniera, magistra inżyniera, magistra (jednolite studia magisterskie lub magisterskie studia uzupełniające). Akredytacji podlegają jednocześnie wszystkie poziomy kształcenia (licencjackie, inżynierskie, magisterskie jednolite, magisterskie uzupełniające) oraz systemów studiów (dziennych, wieczorowych, zaocznych i eksternistycznych) prowadzone przez daną jednostkę na kierunku Zarządzanie i Marketing. Uzyskanie przez jednostkę organizacyjną akredytacji kierunku Zarządzanie i Marketing jest wyrazem wysokiej jakości kształcenia. Akredytacji udziela się na dwa lub pięć lat. Akredytacja na dwa lata jest udzielana tylko raz, a jednostka musi spełniać wszystkie wymagania podstawowe. Po dwóch latach jednostka organizacyjna może ubiegać się jedynie o akredytację na okres pięciu lat. Akredytację na pięć lat otrzymuje jednostka organizacyjna, która spełnia wszystkie wymagania podstawowe oraz uzyskała wysoką ocenę KAUT w zakresie wymagań dodatkowych z grupy A i B. Warunkiem koniecznym uzyskania akredytacji na pięć lat dla jednostki prowadzącej studia magisterskie, jest posiadanie praw do nadawania stopnia naukowego doktora w dyscyplinie podstawowej Nauki o Zarządzaniu. 2 Wymagania podstawowe Wymagania podstawowe dotyczą: kadry nauczającej, treści i programów nauczania, systemu i organizacji kształcenia oraz warunków kształcenia. O akredytację może wystąpić jednostka, w której wypromowano, w systemie studiów dziennych, co najmniej dwa roczniki absolwentów kierunku Zarządzanie i Marketing na najwyższym, spośród realizowanych w jednostce, poziomie kształcenia. 2.1 Lista numerowana 1. Metody porównawcze stosuje się w wielu dziedzinach geometrii. 2. Jednostka ubiegająca się o akredytację musi spełniać, w dniu, w którym podejmowana jest przez KAUT uchwała o udzieleniu akredytacji, wymagania dotyczące proporcji liczby studentów (łącznie na wszystkich poziomach kształcenia i systemach studiów prowadzonych przez jednostkę) do liczby nauczycieli akademickich posiadających tytuł naukowy profesora 2

3 lub stopień naukowy doktora habilitowanego prowadzących zajęcia dydaktyczne na kierunku Zarządzanie i Marketing (przy ustalonym przez KAUT sposobie obliczania) określone rozporządzeniem wydanym przez ministra właściwego do spraw szkolnictwa wyższego. 3. Jednostka prowadząca studia magisterskie posiada prawo do nadawania stopnia naukowego doktora w dyscyplinie podstawowej Nauki o Zarządzaniu lub w dyscyplinach pokrewnych Ekonomia lub Towaroznawstwo. 4. Jednostka (lub jej jednostka nadrzędna) prowadząca studia magisterskie posiada nie niższą niż czwartą kategorię w systemie ocen parametrycznych KBN. 5. Zajęcia z przedmiotów specjalistycznych są prowadzone przez specjalistów z udokumentowanym dorobkiem naukowym i zawodowym z zakresu dyscyplin menedżerskich i technicznych. 6. Programy nauczania dla wszystkich systemów studiów (dziennych, wieczorowych, zaocznych, eksternistycznych) i poziomów kształcenia (licencjackich, inżynierskich, magisterskich jednolitych, magisterskich uzupełniających) realizowanych przez jednostkę na akredytowanym kierunku studiów muszą spełniać, w dniu, w którym podejmowana jest przez KAUT uchwała o udzieleniu akredytacji, wymogi standardu nauczania dla kierunku Zarządzanie i Marketing zawarte w obowiązującym rozporządzeniu ministra właściwego do spraw szkolnictwa wyższego. 7. Jednostka ubiegająca się o akredytację dla kierunku Zarządzanie i Marketing ma opracowaną i opublikowaną sylwetkę absolwenta. 8. Programy studiów dziennych uwzględniają następujące minima godzinowe: (a) studia licencjacie godzin (co najmniej 6 semestrów), (b) studia inżynierskie godzin (co najmniej 7 semestrów), (c) studia magisterskie godzin (co najmniej 9 semestrów), kończą się uzyskanie tytułu zawodowego magistra, (d) studia uzupełniające magisterskie godzin (co najmniej 4 semestry), kończą się uzyskanie tytułu zawodowego magistra, (e) studia magistersko-inżynierskie godzin (co najmniej 10 semestrów), kończą się uzyskanie tytułu zawodowego magistra inżyniera, (f) studia uzupełniające magisterskie dla inżynierów godzin (co najmniej 5 semestrów). 9. Przedmioty specjalnościowe dla studiów licencjackich na kierunku Zarządzanie i Marketing ustalone są przez uczelnię w liczbie nie mniejszej niż 30% ogólnej liczby godzin. Zaleca się, aby przedmioty te były adekwatne do wymagań rynku pracy i pozwalające na uzyskanie założonej sylwetki absolwenta. 3

4 10. Przedmioty specjalnościowe dla studiów magisterskich na kierunku Zarządzanie i Marketing ustalone są przez uczelnię w liczbie nie mniejszej niż 20% ogólnej liczby godzin. Zaleca się, aby przedmioty te były adekwatne do wymagań rynku pracy i pozwalające na uzyskanie założonej sylwetki absolwenta. 11. Programy studiów są jednolite na wszystkich systemach studiów tj. dziennych, wieczorowych, zaocznych i eksternistycznych. 12. W programie studiów są uwzględnione praktyki i tak: na studiach licencjackich i inżynierskich - 6 tygodni, na studiach magisterskich - 4 tygodnie, na studiach magistersko-inżynierskich - 8 tygodni. 13. Program studiów uzupełniających magisterskich zapewnia studentom wykształcenie zgodne z wymogami minimum programowego dla studiów magisterskich na kierunku Zarządzanie i Marketing. 14. Plan i program studiów kończonych dyplomem z tytułem zawodowym inżyniera lub magistra inżyniera uwzględnia wymogi akredytacji inżynierskiej FEANI (przedmioty kształcenia ogólnego 10%, przedmioty podstawowe, kierunkowe i specjalnościowe o charakterze nietechnicznym 35% oraz przedmioty podstawowe, kierunkowe i specjalnościowe o charakterze technicznym 55%). 3 Troszkę matematyki W tekście x X, a potem równanie y = x 4 i na koniec dwa wzory wystawione: x 2 + y 2 x y = x 2 y 2 x 2 + x y oraz i=1 log n n + 2 = lim n (sinn +2). 4 Równania Równanie diafonatyczne x 2 yz 1 = 0 (1) zasługuje na uwagę mimo swojej prostoty. Intrygujący jest mianowicie związek między rozwiązaniami tego równania w liczbach naturalnych a operacją największego wspólnego dzielnika, Na fakt ten zwrócił uwagę prof. A. Schnitzel, który w artykule pisze między innymi: Nie są znane żadne wzory zależne od skończenie 4

5 wielu niezależnych parametrów, które dawałyby wszystkie rozwiązania równania (1) i nie zawierałaby w jakiejś formie operacji największego wspólnego dzielnika. O ile zawiera dopuści się tę operacje, wystarczy przyjąć x = t 1, y = (t 2, t 2 1 1), z = t2 1 1 t 2, t 2 (2) 1 1. Aby wyznaczyć wzory rozwiązań równania (1), czyniąc zadość wyżej postawionym warunkom, wystarczyłoby zatem zdefiniować operację największego wspólnego dzielnika za pomocą odpowiednich działań na liczbach całkowitych. W niniejszej nocie zdefiniujemy tę operację i wyznaczymy wzory rozwiązań równania (1) czyniące zadość wyżej postawionym warunkom. Niech m, n będą danymi liczbami naturalnymi. W zbiorze liczb całkowitych określamy funkcje f m (n) : f m (n) (x) = (x m) (x 2m)... (x nm). Funkcja ta ma następującą własność: dla każdej liczby naturalnej k m f (n) m (kn) = 0 [m, n] kn, (3) gdzie [m, n] jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb naturalnych m i n. Uwaga: przez liczby naturalne rozumiemy tu liczby całkowite większe od zera. Niech z kolei F będzie funkcją określoną w zbiorze liczb całkowitych następującym wzorem Tak określona funkcja ma własność: F (x) = ( 1)2x2. f(x) = { 1, x 0 0, x = 0 (4) Dla dowolnych liczb naturalnych m, n: (m, n) = m m k=1 F (f m (n) (kn)) Dowód. Niech m, n będą danymi liczbami naturalnymi. Zgodnie z własnością (3), dla każdej liczby naturalnej k m mamy f m (n) [m, n] (kn) = 0 n k. (5) Stąd zgodnie z (4), otrzymujemy f (n) m (kn) = 1 [m, n] n k. (6) 5

6 oraz f (n) m (kn) = 0 [m, n] n k. (7) dla dowolnej liczby naturalnej k m. A ponieważ wszystkich liczb naturalnych, które są wielokrotnościami liczby [m, n]/n jest dokładnie (m, n), więc m k=1 F (f (n) m (kn)) = m (m, ), co kończy dowód. Podane wyżej wzory rozwiązania równania (1) nie zawierają wprawdzie operacji największego wspólnego dzielnika, ale oprócz działań +,,, 1 oraz potęgowania x y dla y > 0, zawierają operatory dodawania i mnożenia zmiennej liczby wyrazów. 5 Układ Cramera Układ n równań o n niewiadomych a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n nazywamy układem Cramera, gdy wyznacznik jego macierzy det A 0. Układ Cramera jest układem oznaczonym, czyli ma dokładnie jedno rozwiązanie x = (x 1, x 2,..., x n ), którego współrzędne określone są wzorem x j = det A j, j = 1, 2,..., n. det A gdzie A j jest macierzą kwadratowa stopnia n powstała z macierzy A przez zastąpienie j-tej kolumny kolumna wyrazów wolnych, tzn. a 11 a a ij 1 b 1 a 1j+1... a 1n A j = a 21 a a 2j 1 b 2 a 2j+1... a 2n a n1 a n2... a nj 1 b n a nj+1... a nn. Rozwiążemy układ równań x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 6 4x 1 + x 2 + 4x 3 = 9 3x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 5 Macierzą tego układu jest A =

7 Jej wyznacznik jest równy det A = = = Zatem jest to układ Cramera, który na podstawie powyższego twierdzenia ma dokładnie jedno rozwiązanie x = (x 1, x 2, x 3 ), gdzie det A 1 = x 1 = det A 1 det A, x 2 = det A 2 det A, x 3 = det A 3 det A, = 16, det A = = 1, det A 1 = Zatem jedynym rozwiązaniem tego układu jest punkt x = ( 16 41, 1 41, 76 41). = 76. 7