SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)

Transkrypt

1 Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Analiza rzeczywista Kod przedmiotu/ modułu* Wydział (nazwa jednostki prowadzącej kierunek) Nazwa jednostki realizującej przedmiot Kierunek studiów Poziom kształcenia Profil Forma studiów Wydział Matematyczno - Przyrodniczy Wydział Matematyczno - Przyrodniczy Matematyka studia drugiego stopnia ogólnoakademicki niestacjonarne Rok i semestr studiów rok I, semestr 1 Rodzaj przedmiotu Koordynator Imię i nazwisko osoby prowadzącej / osób prowadzących * - zgodnie z ustaleniami na wydziale przedmiot podstawowy dr Katarzyna Halik 1.2.Formy zajęć dydaktycznych, wymiar godzin i punktów ECTS Wykł. Ćw. Konw. Lab. Sem. ZP Prakt. Inne ( jakie?) Liczba pkt ECTS Sposób realizacji zajęć zajęcia w formie tradycyjnej zajęcia realizowane z wykorzystaniem metod i technik kształcenia na odległość 1.4. Forma zaliczenia przedmiotu/ modułu ( z toku) ( egzamin, zaliczenie z oceną, zaliczenie bez oceny) EGZAMIN 2.WYMAGANIA WSTĘPNE Znajomość analizy matematycznej (rachunku różniczkowego i całkowego) w zakresie funkcji rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej, logiki i teorii mnogości oraz topologii w zakresie przestrzeni metrycznych i topologicznych. 3. CELE, EFEKTY KSZTAŁCENIA, TREŚCI PROGRAMOWE I STOSOWANE METODY DYDAKTYCZNE 3.1. Cele przedmiotu/modułu C1 Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami i twierdzeniami analizy rzeczywistej oraz ich zastosowaniami.

2 C2 C3 Wykształcenie umiejętności posługiwania się metodami analizy rzeczywistej do sformułowania i rozwiązywania wybranych problemów. Wyposażenie studentów w narzędzia niezbędne do dalszego kształcenia matematycznego, w szczególności dotyczące takich teorii jak rachunek prawdopodobieństwa oraz analiza funkcjonalna. 3.2 EFEKTY KSZTAŁCENIA DLA PRZEDMIOTU/ MODUŁU ( WYPEŁNIA KOORDYNATOR) EK ( efekt kształcenia) EK_01 EK_02 EK_03 EK_04 EK_05 EK_06 EK_07 Treść efektu kształcenia zdefiniowanego dla przedmiotu (modułu) STUDENT MA POGŁĘBIONĄ WIEDZĘ Z ZAKRESU ANALIZY RZECZYWISTEJ, ZNA JEJ NAJWAŻNIEJSZE TWIERDZENIA I UMIE TĘ WIEDZĘ UMIEJSCOWIĆ W ROZWOJU MATEMATYKI. STUDENT ZNA PODSTAWOWE METODY DOWODZENIA WŁAŚCIWE DLA ANALIZY RZECZYWISTEJ. STUDENT UGRUNTOWUJE ROLĘ I ZNACZENIE ROZUMOWAŃ MATEMATYCZNYCH, ZNA FORMALNĄ STRUKTURĘ ANALIZY RZECZYWISTEJ. STUDENT POTRAFI KONSTRUOWAĆ ROZUMOWANIA MATEMATYCZNE Z ZAKRESU ANALIZY RZECZYWISTEJ DOWODZIĆ TWIERDZENIA I OBALAĆ HIPOTEZY POPRZEZ ODPOWIEDNIE KONSTRUKCJE I DOBÓR KONTRPRZYKŁADÓW, POTRAFI SPRAWDZAĆ POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ. STUDENT ZNA KONSTRUKCJĘ MIARY I CAŁKI LEBESGUE A I ICH ZASTOSOWANIE W INNYCH ZAGADNIENIACH TEORETYCZNYCH I PRAKTYCZNYCH. STUDENT UMIE KORZYSTAĆ Z LITERATURY DOTYCZĄCEJ ANALIZY RZECZYWISTEJ W JĘZYKU POLSKIM I OBCYM W PROCESIE SAMOKSZTAŁCENIA. STUDENT POTRAFI PRACOWAĆ W ZESPOLE, SFORMUŁOWAĆ PYTANIA DOTYCZĄCE ANALIZY RZECZYWISTEJ, ROZUMIE POTRZEBĘ USTAWICZNEGO SAMOKSZTAŁCENIA. Odniesienie do efektów kierunkowych (KEK) K_W01; K_W03: K_W05 K_W02 K_U01; K_U02 K_U04 K_U19: K_K01; K_K02; K_K TREŚCI PROGRAMOWE (wypełnia koordynator) A. Problematyka wykładu Treści merytoryczne Rodziny podzbiorów dowolnego ustalonego zbioru (pierścienie, -pierścienie, ciała, -ciała, rodziny multiplikatywne i monotoniczne). Rodziny generowane przez ustaloną rodzinę zbiorów. Pojęcie zbiorów borelowskich. Hierarchia podrodzin rodziny zbiorów borelowskich. Miara nieujemna, przestrzeń miarowa definicja i przykłady. Miara skończona, -skończona i zupełna. Własności miary. Miara zewnętrzna definicja, przykłady i własności. Miara zewnętrzna generowana przez dowolną miarę. Twierdzenie Caratheodory ego. Miara zewnętrzna Lebesgue a. Miara Lebesgue a w i oraz jej własności. Zbiory mierzalne w sensie Lebesgue a. Zbiory miary Lebesgue a zero (w szczególności zbiór Cantora). Zbiory niemierzalne w sensie Lebesgue a. Funkcje równe prawie wszędzie. Funkcje mierzalne definicja, przykłady i własności. Działania na funkcjach mierzalnych. Funkcje borelowskie. Istnienie funkcji niemierzalnych Zbieżność ciągów funkcyjnych w przestrzeniach miarowych. Zbieżność prawie wszędzie, według miary. Własności zbieżności prawie wszędzie i według miary; przykłady. Ciągi

3 Cauchy ego prawie wszędzie i według miary. Twierdzenia Jegorowa, Łuzina i Riesza. Pojęcie funkcji charakterystycznej i funkcji prostej. Całka z funkcji prostej nieujemnej po dowolnej mierze definicja, przykłady i własności. Funkcje mierzalne nieujemne. Aproksymacja funkcji mierzalnych nieujemnych przez funkcje proste. Całka z funkcji mierzalnej nieujemnej definicja, własności i przykłady. Lemat Fatou i twierdzenie Lebesgue a o zbieżności monotonicznej oraz wynikające z nich wnioski. Całka z funkcji o wartościach rzeczywistych definicje, własności i przykłady. Funkcje całkowalne. Przestrzenie. Twierdzenie Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej. Całka Lebesgue a a całka Riemanna. Twierdzenie Lebesgue a o rozkładzie miar. B. Problematyka ćwiczeń audytoryjnych, konwersatoryjnych, laboratoryjnych, zajęć praktycznych Treści merytoryczne Repetytorium z algebry zbiorów, teorii mocy, topologii przestrzeni metrycznych. Pierścień, -pierścień, ciało, -ciało, rodziny multiplikatywne i monotoniczne zależności między nimi. Rodziny generowane przez ustaloną rodzinę zbiorów. Zbiory otwarte i domknięte, zbiory typu,,,... Zbiory borelowskie. Miara nieujemna zadania. Badanie skończoności, -skończoności i zupełności miar. Miara zewnętrzna zadania. Twierdzenie Caratheodory ego i jego zastosowanie do wyznaczania zbiorów mierzalnych w sensie Caratheodory ego. Miara zewnętrzna Lebesgue a i miara Lebesgue a zadania. Zbiory mierzalne i niemierzalne w sensie Lebesgue a. Funkcje mierzalne i borelowskie zadania. Badanie zbieżności ciągów funkcyjnych (zbieżność wszędzie, prawie wszędzie, jednostajna i według miary). Obliczanie całek po dowolnej mierze. Zastosowanie twierdzeń Lebesgue a do obliczania całek. 3.4 METODY DYDAKTYCZNE Wykład: wykład problemowy Ćwiczenia: wyjaśnianie, komentowanie i interpretacja zagadnień przedstawionych na wykładzie, rozwiązywanie zadań, omawianie przykładów i kontrprzykładów, dyskusja. 4 METODY I KRYTERIA OCENY 4.1 Sposoby weryfikacji efektów kształcenia Symbol efektu Metody oceny efektów kształcenia ( np.: kolokwium, egzamin ustny, egzamin pisemny, projekt, sprawozdanie, obserwacja w trakcie zajęć) EK_ 01 obserwacja w trakcie zajęć, egzamin ustny W. EK_ 02 obserwacja w trakcie zajęć, egzamin ustny W. EK_03 obserwacja w trakcie zajęć, egzamin ustny W. EK_04 kolokwium ĆW. EK_05 kolokwium ĆW. EK_06 egzamin ustny W EK_07 obserwacja w trakcie zajęć, egzamin ustny W., ĆW Forma zajęć dydaktycznych ( w, ćw, ) 4.2 Warunki zaliczenia przedmiotu (kryteria oceniania)

4 dst db bdb Student potrafi sformułować podstawowe definicje i twierdzenia omówione na zajęciach oraz wykazuje ich dostateczne zrozumienie; potrafi podać typowe przykłady; pamięta podstawowe wzory; zna metody rozwiązywania podstawowych zagadnień; potrafi rozwiązać typowe zadania o umiarkowanym stopniu trudności Student potrafi sformułować ważniejsze definicje i twierdzenia omówione na zajęciach oraz wykazuje ich dobre zrozumienie; potrafi podać zarówno typowe jak i mniej typowe oraz trudniejsze przykłady; pamięta podstawowe wzory; zna metody rozwiązywania podstawowych i trudniejszych zagadnień; potrafi rozwiązać zadania o średnim stopniu trudności omówione na zajęciach Student potrafi sformułować i właściwie zinterpretować wszystkie istotne definicje i twierdzenia omówione na zajęciach oraz wykazuje ich pełne zrozumienie; potrafi omówić wszystkie istotne przykłady; pamięta wszystkie istotne wzory; zna metody rozwiązywania i umie omówić większość dyskutowanych zagadnień; potrafi rozwiązać większość zadań dyskutowanych na zajęciach, w tym także zadań o większym stopniu trudności 5. Całkowity nakład pracy studenta potrzebny do osiągnięcia założonych efektów w godzinach oraz punktach ECTS Aktywność godziny zajęć wg planu z nauczycielem 40 przygotowanie do zajęć 55 udział w konsultacjach 4 przygotowanie do egzaminu 50 udział w egzaminie 4 SUMA GODZIN 153 SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS 6 Liczba godzin/ nakład pracy studenta 6. PRAKTYKI ZAWODOWE W RAMACH PRZEDMIOTU/ MODUŁU wymiar godzinowy zasady i formy odbywania praktyk nie dotyczy nie dotyczy 7. LITERATURA Literatura podstawowa: 1. P. R. Halmos, Measure Theory, Van Nostrand Reinhold, New York A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa S. Hartman, J. Mikusiński, Teoria miary i całki Lebesgue a, PWN, Warszawa A. E. Taylor, General Theory of Functions and Integration, Dover Publications INC, New York J. Niewiarowski, Zadania z teorii miary, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź F. M. Filipczak, Teoria miary i całki. Skrypt ze zbiorem zadań, Wydawnictwo

5 Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź Literatura uzupełniająca: 1. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa R. Sikorski, Funkcje rzeczywiste, t.1., PWN, Warszawa J. Muszyński, Teoria całki. Miara i całka, PWN, Warszawa K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa J. Krzyszkowski, E. Turdza, Elementy topologii, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 2007.