RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A.
|
|
- Nina Mucha
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A. Semestr letni Poniedziałki 12:15-15:00, sala HS. Wykładowca: Ryszard Szekli, pok. 514, konsultacje: poniedziałki 10-12, terminy egzaminów: I termin , (ŚRODA) 10-13, sala HS+WS, II termin do ustalenia (wrzesień). Warunki ukończenia kursu: zaliczenie ćwiczeń: 3 sprawdziany w semestrze (3x20= 60 punktów), aktywność max 30 pkt, e-learning max 20 pkt. ocena 3.0 od 30 pkt. punkty powyżej 60 przechodzą na konto egzaminu w całości. Na listach zadań są zadania obowiązkowe (łatwe), które każdy student jest zobowiazany rozwiązać samodzielnie. Nieznajomość rozwiązania generuje punkty ujemne. Zadania oznaczone (+) na listach mogą być punktowane przez prowadzących, po zrobieniu ich przy tablicy. zdanie egzaminu pisemnego: egzamin testowy max 80 pkt.; 10 zadań testowych: możliwe odpowiedzi a,b,c,d każda prawdziwa lub nie; z ćwiczeń i wykładu. ocena 3.0 od 30 pkt. PLAN WYKŁADU: 1. WPROWADZENIE 1.1 Uwagi historyczne 1.2 Powtórka podstaw rachunku prawdopodobieństwa 2. NIEZALEŻNOŚĆ I CIAGI ZMIENNYCH LOSOWYCH 2.1 Schemat Bernoulliego 2.2 Ciagi nieskończone zmiennych niezależnych 2.3 Błądzenia losowe, prawo arcusa sinusa 2.4 Rekurencje, łańcuchy Markowa 3. ROZKŁADY 3.1 Zmienne losowe, wektory losowe 3.2 Przybliżenia rozkładów 3.3 Gȩstości i dystrybuanty 3.4 Funkcje od zmiennych losowych 3.5 Rozkłady ł aczne i brzegowe 3.6 Sumy niezależnych zmiennych losowych 4. WARTOŚĆ OCZEKIWANA, MOMENTY 4.1 Momenty i funkcje tworz ace 4.2 Wariancja i kowariancja 5. TWIERDZENIA GRANICZNE 5.1 Prawa wielkich liczb 5.2 Centralne twierdzenie graniczne 1
2 Literatura: P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, 1987 W. Feller, Wstep do rachunku prawdopodobieństwa, tom I, PWN, 1977 J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstep do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT, M. Majsnerowska: Elementarny wykład z rachunku prawdopodobieństwa z zadaniami, strona www IM D. Stirzaker, Elementary Probability, Second. ed. Cambridge R. Durrett, Elementary Probability for Applications, Cambridge
3 0.1 Wprowadzenie Zdarzenia i eksperymenty Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem możliwych wyników pewnego eksperymentu. Jeśli Ω jest zbiorem przeliczalnym, to zdarzeniem jest każdy podzbiór Ω. Zbiór zdarzeń oznaczamy F. Ogólnie, zakładamy, że F jest zamkni ety na przeliczalne sumy, przekroje i dopełnienia oraz zawiera Ω Permutacje i kombinacje W wielu przypadkach P (A) jest postaci A / Ω, gdzie A oznacza liczbȩ elementów zbioru A. Zasada mnożenia możliwości. Załóżmy, że wykonano m N eksperymentów, w których k-ty (1 k m) eksperyment ma n k N możliwych wyników, niezależnie od wyników pozostałych eksperymentów. Wtedy ł aczna ilość możliwych wyników wynosi n 1 n m. Permutacje. Z n N elementów można wybrać k (1 k n) elementów ustawionych kolejno na P n,k = n (n 1) (n k + 1) = sposobów. n! (n k)! Kombinacje. Z n N elementów można wybrać k (1 k n) elementów, bez rozróżniania ich kolejności na C n,k = sposobów. n! (n k)!k! = ( ) n k Przykład Zastosowanie C n,k we wzorze dwumianowym dla (a + b) 4. Twierdzenie dwumianowe. Przyjmuj ac 0! = 1, dla każdego a, b R i n N zachodzi: ( ) n n (a + b) n = a k b n k. k k=0 Przykład Prakyczny sposób wyliczania współczynników ( n k),trójk at Pascala:. ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + k k 1 k
4 Współczynniki wielomianowe. Z n N elementów można wybrać m podzbiorów o liczebnościach n 1, n 2,..., n m (n n m = n) na n! n 1! n m! sposobów. Zachodzi wzór: (x x m ) n = {n 1 + +n m =n} n! n 1! n m! xn 1 1 xnm m Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo P jest funkcj a przyporz adkowuj ac a zdarzeniom liczby takie, że (i) Dla A Ω, 0 P (A) 1. (ii) P (Ω) = 1. Dla każdego ci agu {A i } (skończonego lub nieskończonego) zdarzeń rozł acznych P ( i A i ) = i P (A i ). Uwaga Nie dla wszystkich zbiorów Ω można znaleźć nietrywialn a funkcjȩ P o powyższych własnościach, określon a na wszystkich podzbiorach Ω na przykład Ω := [0, 1] oraz P ((a, b]) = b a, 0 a b 1 jest naturaln a funkcj a prawdopodobieństwa na tym zbiorze, jednakże nie można t a funkcj a zmierzyć wszystkich podzbiorów Ω (istniej a zbiory niemierzalne ). Rozważania ogranicza siȩ wtedy do podklasy mierzalnych zbiorów (zdarzeń), które tworz a σ ciało zdarzeń. W przypadku, gdy Ω jest zbiorem przeliczalnym takie trudności nie wystȩpuj a i wtedy wszystkie podzbiory Ω s a mierzalne. Własności wynikaj ace z określenia prawdopodobieństwa: 1. P (A c ) = 1 P (A) 2. P ( ) = 0 3. Jeśli A B, to P (A) P (B) 4. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 5. P ( i A i) i P (A i) 6. Jeśli A 1 A 2 i A = i A i, to P (A i ) i P (A). 7. Jeśli A 1 A 2 i A = i A i, to P (A i ) i P (A). 4
5 0.1.4 Prawdopodobieństwo sumy Zachodzi wzór n n P ( A i ) = P (A i ) P (A i A j ) + i=1 i=1 i<j Nierówności Bonferroniego. n P ( A i ) i=1 n P (A i ) i=1 i<j<k n n P ( A i ) P (A i ) P (A i A j ) i=1 i=1 i<j n n P ( A i ) P (A i ) P (A i A j ) + i=1 i=1 i<j i<j<k P (A i A j A k ) + + ( 1) n+1 P (A 1 A n ) P (A i A j A k ) Wybieranie z urny kolorowych kul jest matematyczn a idealizacj a wielu eksperymentów, w których losowo wybiera siȩ skończon a ilość obiektów różnych typów. Model urnowy. W urnie znajduje siȩ M kul czerwonych i N kul czarnych. Wyci agamy z urny n kul bez zwracania ich. Wtedy prawdopodobieństwo, że wyci agniemy r kul czerwonych wynosi )( N ) ( M r n r ( M+N ) n gdzie dla j < 0 lub j > m przyjmujemy ( m j ) = 0. Przykład (Lotto). Wybieramy 6 liczb ze zbioru {1,..., 54}. 1 nagroda to 6 trafionych, 2 nagroda to 5 trafionych, 3 nagroda 4 trafione. Jakie s a prawdopodobieństwa zdobycia tych nagród? Przykład (Kontrola jakości). Wyprodukowano M żarówek, w tym N wadliwych. Testujemy n żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie testowane żarówki s a dobre? Przykład (Wnioskowanie o wielkości populacji). Student biologii złowił w stawie 60 wodnych chrz aszczy, oznaczył farb a i wypuścił. Po pewnym czasie wrócił i złowił 50 chrz aszczy, w tym znajduj ac 12 oznaczonych farb a. Jak można oszacować wielkość populacji chrz aszczy w tym stawie? Powtarzanie eksperymentów Z urny zawieraj acej K kul ponumerowanych od 1 do K wyci agamy kolejno kule, notuj ac ich numery i zwracaj ac je do urny. Wyciagaj ac k kul, prawdopodobieństwo, że wszystkie kule maj a różne numery wynosi P K,k K k = K k + 1 K K k + 2 K K K Rzuty symetryczn a monet a. Przyjmujemy, że K = 2 (np. K = 1 oznacza orła, K = 2, oznacza reszkȩ). Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie j orłów w k rzutach wynosi ( ) k 1 j 2 k. 5
6 0.2 Prawdopodobieństwo warunkowe Istniej a dwa sposoby rozumienia zdarzeń niezależnych: potoczne i statystyczne (matematyczne). Matematyczne pojȩcie niezależności jest prost a reguł a mnożenia. Definicja Zdarzenia A i B s a niezależne gdy P (A B) = P (A)P (B). Wniosek Zdarzenia A i B o dodatnich prawdopodobieństwach, rozł aczne nie s a niezależne. 2. Ω jest zdarzeniem niezależnym od każdego innego zdarzenia. 3. Zdarzenie jest niezależne od każdego innego zdarzenia. Ci ag zdarzeń A 1,..., A n jest niezależny parami, jeśli P (A i A j ) = P (A i )P (A j ) dla wszystkich i j. Ci ag zdarzeń A 1,..., A n jest niezależny, jeśli P (A i1 A ik ) = P (A i1 ) P (A ik ), dla wszystkich i 1 < i 2 < < i k. Przykład (Rozkład wielomianowy). Przypuśćmy, że kostka do gry ma 1 na trzech ścianach, 2 na dwóch ścianach i 3 na jednej ścianie. Rzucamy tak a kostk a 10 razy. Wyliczamy prawdopodobieństwo uzyskania 5 razy 1, 3 razy 2 i 2 razy 3: 10! 5!3!2! (1/2)5 (1/3) 3 (1/6) 2 Ogólnie, wykonuj ac n niezależnych prób o możliwych k wynikach, przy czym prawdopodobieństwo wyniku typu i (i = 1,..., k) wynosi odpowiednio p i, prawdopodobieństwo uzyskania n 1 wyników typu 1, n 2 wyników typu 2,..., n k wyników typu k (n n k = n) dane jest wzorem n! n 1!...n k! pn pn k k Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe Definicja Dla dowolnego zdarzenia A Ω, takiego, że P (A) > 0 prawdopodobieństwem warunkowym przy warunku A nazywamy funkcjȩ prawdopodobieństwa P ( A) określon a na Ω nastepuj acym wzorem P (B A) = P (A B) P (A) dla zdarzeń B Ω. Łatwo sprwadzić, że P ( A) ma wymagane własności funkcji prawdopodobieństwa: 0 P (B A) 1, dla każdego zdarzenia B Ω, 6
7 P (B 1 B 2 A) = P (B 1 A) + P (B 2 A), dla dowolnych rozł acznych zdarzeń B 1, B 2. P (Ω A) = 1 Zauważmy, że wtedy również P (A A) = 1, to znaczy masa prawdopodobieństwa warunkowego skupiona jest na zdarzeniu wzglȩdem którego warunkujemy. Przykład Wartość P ( A) dla każdego B niezależnego od A pokrywa siȩ z wartościa wyjściowego prawdopodobieństwa P tzn. P (B A) = P (B). Rozwiazanie w powyższym przykładzie można uogólnić. Jeśli B 1,..., B k stanowi a rozbicie rozł aczne Ω, tzn. Ω = B 1... B k oraz B 1... B k =, to zachodzi wzór na prawdopodobieństwo całkowite k P (A) = P (A B i )P (B i ) i=1 dla każdego zdarzenia A Ω Reguła Bayesa Rozwi azanie w powyższym przykładzie sugeruje ogólny wzór: Wzór Bayesa Jeśli B 1,..., B k stanowi a rozbicie rozł aczne Ω, tzn. Ω = B 1... B k oraz B 1... B k =, oraz P (A) > 0, P (B i ) > 0 to P (B i A) = P (B i )P (A B i ) kj=1 P (A B j )P (B j ) dla dowolnego i = 1,..., k. 0.3 NIEZALEŻNOŚĆ: Ciagi Schemat Bernoulliego Przykład (Rozkład dwumianowy). Powtarzamy pewien eksperyment o możliwych wynikach: sukces (S) lub porażka (P), n razy. Jak zdefiniować prawdopodobieństwo P na Ω = {ω = (W 1,..., W n ) : W i {S, P }, i = 1,..., n} gdzie W i oznacza wynik i-tej próby, tak aby zdarzenia : w i -tej próbie sukces, oraz : w i + j- tej próbie porażka (dla wszystkich 1 i < i + j n) były niezależne? Prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w n próbach równa siȩ wtedy ( ) n p k (1 p) n k k gdzie p (0, 1) jest prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie. Przykład (Rozkład geometryczny). Rzucamy kostk a do chwili uzyskania 6. Niech N oznacza ilość potrzebnych rzutów. Wtedy P (N = k) = (5/6) k (1/6). (k = 1, 2,...). Ogólnie liczba prób N potrzebna do uzyskania pierwszego sukcesu jest wielkości a losow a, dla której P (N = k) = (1 p) k 1 p, gdzie p (0, 1) jest prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie oraz k = 1, 2,... 7
8 Przykład (Ujemny rozkład dwumianowy). Powtarzamy próby o możliwych wynikach sukces (S), porażka (P), do czasu uzyskania dokładnie k sukcesów. Wtedy dla T k, liczby potrzebnych prob zachodzi ( ) m + k 1 P (T k = m + k) = (1 p) m p k m dla dowolnego k = 1, 2,... oraz m = 0, 1, 2, Istnienie nieskończonego ci agu zmiennych losowych niezależnych Niech Ω = [0, 1], P = (miara Lebesgue a, miara długości). Zdarzeniami bȩd a wszystkie zbiory borelowskie w [0, 1]. Dla dowolnego ω [0, 1] niech ω = Z Z Z bedzie rozwiniȩciem dwójkowym (dla 3 jednoznaczności przyjmujemy rozwiniecia o skończonej ilości jedynek, jeśli takie s a dopuszczalne). Wtedy ci ag (Z 1, Z 2,...) jest ci agiem niezależnych zmiennych losowych o wartościach 0 i 1. Uzasadnienie: Wystarczy pokazać, że P (Z 1 = d 1,..., Z n = d n ) = P (Z 1 = d 1 )...P (Z n = d n ) dla dowolnego układu zer i jedynek d = (d 1,..., d n ), (d i {0, 1}). Niech A d = {Z 1 = d 1,..., Z n = d n } wtedy Ω = d A d jest rozł aczn a sum a 2 n zbiorów, gdzie sumowanie jest po wszystkich układach zer i jedynek na n miejscach. Rozpatrzmy dwa dowolne takie układy d, d. Niech n d T d,d (ω) i = ω + d i 2 i i=1 dla ω [0, 1]. Wtedy oczywiście T d,d (A d ) = A d, a ponieważ T d,d jest przesuniȩciem i w zwi azku z tym nie zmienia miary P zbioru A d, tzn. P (A d ) = P (T d,d (A d )) = P (A d ), wynika st ad, że wszystkie zbiory A d maj a to samo prawdopodobieństwo niezależnie od indeksu d. Ponieważ jest ich 2 n i w sumie daj a one Ω, wnioskujemy, że P (A d ) = 1 2 dla każdego d. Mamy wiȩc P (Z n 1 = d 1,..., Z n = d n ) = P (A d ) = 1 2. n Zauważmy teraz, że P (Z 1 = d 1 ) = 1/2, bo wystarczy podstawić n = 1 w poprzedniej równości. Ponadto P (Z 2 = d 2 ) = P (Z 1 = 0, Z 2 = 2)+P (Z 1 = 1, Z 2 = d 2 ) = 1/4+1/4 = 1/2, wykorzystuj ac tȩ sam a równość dla n = 2. Rozumujac przy pomocy indukcji matematycznej otrzymujemy ogólnie P (Z n = d n ) = 1/2, a st ad warunek niezależności bezpośrednio wynika. Aby skonstruować ci ag niezależnych zmiennych losowych o rozkładach dowolnych przy użyciu ci agu (Z 1, Z 2,...) ustawiamy go w tablicȩ (Z ik ) i=1,2,...k=1,2,.... Niech teraz U i = Z ik /2 k k=1 Wtedy (U 1, U 2,...) tworz a ci ag niezależnych zmiennych losowych o rozkładach jednostajnych na [0, 1]. Rzeczywiście dla x [0, 1] [x2 ] N gdzie P (U i x) = lim N P (U N i U N i = N Z ik /2 k k=1 x) = lim N 2 N = x Bior ac teraz X i = F 1 (U i ), dla dowolnej ci agłej dystrybuanty F otrzymujemy ciag (X 1, X 2,...) niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie o dystrybuancie F. 8
9 0.3.3 Łańcuchy Markowa, rekurencje Przykład (Łańcuch Markowa o 2 stanach). Załóżmy, że na rynku s a dwa typy pasty do zȩbów: a, b. Klienci kupuj a przy każdym nastȩpnym zakupie pasty ten sam typ z prawdopodobieństwem 3/4 oraz inny typ z prawdopodobieństwem 1/4. Załóżmy, że f k procent klientów przy k-tym zakupie kupuje typ pasty a. Wyliczamy kolejne wartości f k dla k > 1, zakładaj ac, że f 1 = 1/3. Zachodzi f k = (3/4)f k 1 + (1/4)(1 f k 1 ) oraz f k 1/2, gdy k Rekurencje Przykład (Ruina gracza). Rozważmy grȩ, w której wygrywamy 1 z prawdopodobieństwem p (0, 1), przegrywamy 1 z prawdopodobieństwem q = 1 p. Zaczynamy maj ac 50 i kończymy maj ac 100 lub gdy stracimy wszystko. Wyliczamy prawdopodobieństwo zakończenia gry maj ac 100. Zachodzi rekurencja a i = pa i+1 + qa i 1 dla a i prawdopodobieństwa, że kończymy maj ac 100, przy kapitale pocz atkowym 1 i 99, przy czym a 0 = 0, a 100 = 1. Otrzymujemy a i = 1 ( q p )100 1 ((q p )i 1) Wprzypadku ruletki p = 18/38 = , wtedy a 50 = (ok. 5 razy na tysi ac gier wygramy). Przykład Grześ i Andrzej kolejno rzucaj a monet a. Jeśli wypada orzeł wygrywa Andrzej i dostaje od Grzesia 1, jesli wypada reszka wygrywa Grześ i dostaje od Andrzeja 1. Poczatkowo Grześ ma 50, Andrzej 25. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Andrzej straci wszystko? Niech a i oznacza prawdopodobieństwo, że Andrzej straci wszystko, w sytuacji gdy Grześ ma i, a Andrzej 75 i, dla 1 i 74. Przyjmujemy a 0 = 0, a 75 = 1. Zachodzi rekurencja a i = (1/2)a i+1 + (1/2)a i 1 Znajdujemy a i = i/75. St ad Andrzej przegra z prawdopodobieństwem 50/75=2/ Rozkłady Zmienne losowe Definicja Niech Ω bȩdzie zbiorem przeliczalnym. Funkcjȩ X : Ω R nazywamy rzeczywist a zmienn a losow a. Definicja Dla zmiennej losowej X przyjmujacej wartości całkowite, ciag p X (i) = P (X = i) nazywamy funkcj a prawdopodobieństwa zmiennej losowej X (i Z). Każdy ci ag liczbowy {p(i)} i Z o własnościach 1. 0 p(i) 1, i Z 2. i Z p(i) = 1 9
10 jest funkcj a prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej. Uwaga Ci ag {p X (i)} wyznacza funkcjȩ prawdopodobieństwa P X na Z poprzez równość: P X (A) = i A p X (i) określon a dla każdego A Z. Parȩ (Z, P X ) nazywamy kanoniczn a przestrzeni a probabilistyczn a zmiennej X. Przykład (Rozkład hipergeometryczny). W urnie jest M czerwonych i N czarnych kul. Wyci agamy n kul. Niech R oznacza ilość czerwonych kul spośród n wyci agnietych kul. Wtedy p R (r) = P (R = r) = ( M )( N ) r n r ( M+N ) n dla r = 0,..., n. Pozostałe wartości p R (r) przyjmujemy, że s a równe Przybliżenie rozkładu dwumianowego Przykład (Rozkład Poissona). Niech dla λ > 0 λ λi p λ (i) = e i! dla i = 0, 1,..., poza tym 0. Ci ag ten ma własności funkcji prawdopodobieństwa. Nazywamy go rozkładem Poissona z parametrem λ. Rozkład Poissona odgrywa ważn a rolȩ jako przybliżenie innych rozkładów. Przykład Niech S n oznacza liczbȩ sukcesów w n próbach Bernoulliego, przy czym załóżmy, że prawdopodobieństwo sukcesu w n próbach równa siȩ p n (może zmieniać siȩ wraz z ilości a prób). Wtedy wiadomo, że P (S n = k) = ( n k) p k n (1 p n ) n k. Jeśli np n λ > 0, to P (S n = k) p λ (k) przy n, dla każdego k N. Rozkład Poissona stanowi dobre przybliżenie rozkładu dwumianowego, o małym prawdopodobieństwie sukcesu, ale o dużej ilości prób, przy czym pn = λ Gȩstości i dystrybuanty Definicja Zmienna losowa X ma rozkład (absolutnie) ci agły o gȩstości f X : R R gdy P (a X b) = b dla każdego a b R. a f X (y)dy Oczywiście f X(x)dx = 1, zawsze pole pod wykresem gȩstości równa siȩ 1. Uwaga Dla każdej funkcji f nieujemnej, rzeczywistej, takiej, że losowa taka, że f jest jej gȩstości a prawdopodobieństwa. 10 f(x)dx = 1,istnieje zmienna
11 Przykład (Gȩstość Pareto) f(x) = { (α 1)x α gdy x 1 0 poza tym gdzie α > 1 jest parametrem rozkładu. Przykład (Rozkład wykładniczy). f(x) = { λe λx dla x 0 0 poza tym gdzie λ > 0 jest parametrem rozkładu. Przykład (Rozkład standardowy normalny) f(x) = (1/ 2 2π)e x2 /2 gdzie x R. (Dowód, że jest to gȩstość na wykładzie) Bardziej uniwersalnym niż gȩstość probabilistycznym opisem zmiennych losowych jest dystrybuanta. Definicja Dystrybuant a zmiennej losowej X, nazywamy funkcjȩ F X (x) = P (X x) dla x R. Dystrybuanta ma nastȩpuj ace własności: 1. F X jest niemalej aca 2. F X (x) 1, gdy x 3. F X (x) 0, gdy x 4. F X jest prawostronnie ci agła Uwaga Gdy zmienna losowa X ma gȩstość f X,to F X (x) = x f X(y)dy. Przykład (Dystrybuanta Pareto). Gȩstość Pareto f(x) = (α 1)x α I [1, ) (x). Wyliczamy : F (x) = (1 x (α 1) )I [1, ) (x) Uwaga Szansa, że wartości zmiennej losowej X zawarte bȩd a w przedziale [a, b], gdzie a b, można wyrazić przy pomocy dystrybuanty nastȩpuj aco P (a X b) = F (b) F (a) Przykład (Dystrybuanta wykładnicza). Ponieważ gȩstość f(x) = λe λx I [0, ) (x), otrzymujemy F (x) = (1 e λx )I [0, ) (x). 11
12 Uwaga Funkcjȩ F (x) = 1 F (x), x R, nazywamy ogonem dystrybuanty F. W teorii niezawodności F nazywana jest funkcj a niezawodności, gdyż F (x) = P (X > x), można interpretować jako prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy maszyny, gdzie X oznacza wtedy losowy czas pracy maszyny. Przykład (Własność braku pamiȩci rozkładu wykładniczego). Jeśli X to ma rozkład wykładniczy, P (X > t + s X > t) = P (X > s) dla dowolnych t, s 0. Interpretacja: szansa, że dalszy czas pracy maszyny przekroczy s, jeśli maszyna jest sprawna do czasu t, jest taka sama jak szansa, że nowa maszyna przepracuje conajmniej s. Wzór ten można równoważnie zapisać jako F (t + s) = F (t)f (s). Przykład (Dystrybuanta dyskretna). Niech X bȩdzie zmienn a losow a przyjmuj ac a wartości 0, 1, 2, 3, z prawdopodobieństwami odpowiednio 1/8, 3/8, 3/8, 1/8. Odpowiedni a funkcjȩ prawdopodobieństwa można opisać tabelk a (poza tym zero) i p(i) 1/8 3/8 3/8 1/8 Dystrybuanta odpowiadaj aca tej funkcji prawdopodobieństwa może być zapisana na wiele sposobów: F (x) = i x p(i) lub F (x) = p(i) i (,x] lub F (x) = 1 8 I [0,1)(x) I [1,2)(x) I [2,3)(x) + I [3, ) (x) lub F (x) = 1 8 I [0, )(x) I [1, )(x) I [2, )(x) I [3, )(x) Funkcje od zmiennych losowych Niech Y = ψ(x), dla pewnej zmiennej losowej X, o gȩstości f i funkcji (mierzalnej) ψ : R R.. Obliczymy gȩstość zmiennej Y. Przykład Niech X bȩdzie zmienn a o rozkładzie wykładniczym oraz ψ(x) = x 2. Wtedy F Y (y) = (1 e λ 2 y )I [0, ) (y) oraz f Y (y) = (λ/2 2 y)e λ 2 y I (0, ) (y) Ogolnie, jeśli ψ jest róózniczkowalna i ściśle rosn aca na zbiorze wartości zmiennej X, to Y = ψ(x) ma gȩstość f Y (y) = f X (ψ 1 (y))(ψ 1 ) (y) 12
13 Przykład (Niestandardowy rozklad normalny). Niech X ma rozkład standardowy normalny oraz ψ(x) = σx + µ,dla σ > 0, µ R. Wtedy Y = σx + µ ma rozkład o gȩstości f Y (y) = (1/ 2 2πσ 2 )e (x µ)2 /2σ 2 Rozkład ten (lub zmienne o tym rozkładzie) oznaczamy N(µ, σ). Wniosek Jeśli Y ma rozkład normalny N(µ, σ), to X = (Y µ)/σ ma rozkład N(0, 1). Przykład (Rozkład jednostajny). Niech X ma rozkład standardowy wykładniczy oraz ψ(x) = (1 e x )I [0, ) (x). Wtedy Y = ψ(x) ma rozkład jednostajny na [0, 1], tzn. f Y (y) = I [0,1) (y). Ogólnie, jeśli X ma dystrybuantȩ F o gȩstości f, to Y = F (X) ma rozkład jednostajny na [0, 1]. Ci agł a funkcjȩ F można zawsze odwrócić w nastȩpuj acy sposób: F 1 (y) = min{x : F (x) y} Wtedy analogicznie otrzymujemy Wniosek Jeśli Y ma rozkład jednostajny na [0, 1], to X = F 1 (Y ) ma rozkład o dystrybuancie F, przy założeniu, że F jest ci agła Rozkłady ł aczne i brzegowe Rozkłady ł aczne służ a do opisu wektora zmiennych losowych (X 1,..., X n ). Rozważamy najpierw przypadek n = 2 i zamiast (X 1, X 2 ) piszemy (X, Y ). Gdy X, Y przyjmuj a wartości całkowite, określamy (ł aczn a) funkcjȩ prawdopodobieństwa. Definicja Niech X, Y Z, wtedy (ł aczn a) funkcj a prawdopodobieństwa nazywamy p (X,Y ) (i, j) = P (X = i, Y = j) określon a dla i, j Z. Przykład W pewnej populacji mȩżczyzn sklasyfikowano ich wzrost i ciȩżar. Dane ujȩto w kategoriach, dla wzrostu: kategoria wzrost 170 ± 5 180± 190 ± 5 dla ciȩżaru ciała kategoria ciȩżar 60 ± 5 70 ± 5 80 ± 5 90 ± 5 Procentowo ujȩte wyniki ł aczne przedstawiono w tabeli: wzrost\ ciȩżar % 8% 6% 0 2 8% 16% 16% 8% 3 0 8% 10% 12% 13
14 Wybieraj ac losowo osobnika z tej populacji, oznaczmy przez X jego wzrost, przez Y jego ciȩżar. Wtedy ł aczna funkcja prawdopodobieństwa p (X,Y ) (i, j), dla i = 1, 2, 3 oraz j = 0, 1, 2, 3 (poza tym zero) zawarta jest w tabelce p (X,Y ) (i, j) Oczywiście i,j p (X,Y )(i, j) = 1. W przypadku zmiennych losowych typu ci agłego definiujemy (ł aczn a) gȩstość: Definicja Para (wektor) zmiennych losowych (X, Y ) ma gȩstość f(x, y) jeśli P ((X, Y ) A) = f(x, y)dxdy A dla f : R 2 R 2, takiej, że f 0 oraz R 2 f(x, y)dxdy = 1, gdzie A jest obszarem regularnym. W szczególności, gdy A = [x, x + x] [y + y], dla małych dodatnich wartości x, y,wtedy P (x X x + x, y Y y + y) = x+ x y+ y x y f(u, v)dudv f(x, y) x y Przykład Niech f(x, y) = e y I {(x,y):0<x<y} (x, y). Wtedy f(x, y)dxdy = 1. Przykład (Rozkład jednostajny na kole). Wybieramy losowo punkt na kole jednostkowym K = {(x, y) : x 2 + y 2 1}. Niech (X, Y ) oznacza wektor jego współrzȩdnych. Wtedy gȩstość tego wektora f(x, y) = (1/π)I K (x, y) dla wszystkich x, y R. Dystrybuanta dwuwymiarowa Definicja Niech (X, Y ) bȩdzie wektorem zmiennych losowych. Dystrybuant a (X, Y ) nazywamy funkcjȩ F : R 2 [0, 1], określon a wzorem F (x, y) = P (X x, Y y) Uwaga Jeśli (X, Y ) ma gȩstość f(x, y), to F (x, y) = x y f(u, v)dydx Dla dowolnych a 1 < b 1 oraz a 2 < b 2, zwi azek P (X,Y ) ((a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ]) = P (a 1 < X b 1, a 2 < Y b 2 ) określa prawdopodobieństwo P (X,Y ) na płaszczyźnie R 2 (i σ ciele zbiorów borelowskich). Przestrzeń probabilistyczn a Ω (X,Y ) = (R 2, P (X,Y ) ) nazywamy kanoniczn a przestrzeni a probabilistyczn a wektora (X, Y ). Szansȩ uzyskania wartości w prostok acie można wyrazić przy pomocy dystrybuanty: P (a 1 < X b 1, a 2 < Y b 2 ) = F (b 1, b 2 ) + F (a 1, a 2 ) F (a 1, b 2 ) F (b 1, a 2 ) 14
15 Rozkłady brzegowe Niech (X, Y ) bȩdzie wektorem losowym takim, że X, Y Z. Z ł acznej funkcji prawdopodobieństwa p (X,Y ) można wyliczyć funkcje prawdopodobieństwa zmiennych X oraz Y jako zmiennych jednowymiarowych (tzw. rozkłady brzegowe). p X (i) = j P (X = i, Y = j) = j p (X,Y ) (i, j) p Y (j) = i P (X = i, Y = j) = i p (X,Y ) (i, j) Przykład Niech (X, Y ) ma funkcjȩ prawdopodobieństwa zadan a tabel a: p (X,Y ) (i, j) Wtedy p X (1) = 0.22, p X (2) = 0.48, p X (3) = 0.30 oraz p Y (0) = 0.16, p Y (1) = 0.32, p Y (2) = 0.32, p Y (3) = W przypadku zmiennych typu ci agłego, jeśłi (X, Y ) ma gȩstość f(x, y), to gȩstości brzegowe zadane s a przez: f X (x) = f Y (y) = R R f(x, y)dy f(x, y)dx Niezależnośc zmiennych losowych Definicja Niech X, Y Z. Zmienne X, Y s a niezależne jeśli p (X,Y ) (i, j) = p X (i)p Y (j) dla wszystkich i, j Z. Definicja Niech X, Y bȩd a typu ci agłego o gȩstości f (X,Y ). Zmienne X, Y s a niezależne jeśli f (X,Y ) (x, y) = f X (x)f Y (y) dla wszystkich x, y R. W powyższych przypadkach niezależność zmiennych jest równoważna niezależności zdarzeń A = {ω : X(ω) I 1 } i B = {ω : Y (ω) I 2 }, dla dowolnych przedziałów I 1, I 2, tzn. warunkowi P (X I 1, Y I 2 ) = P (X I 1 )P (Y I 2 ) 15
16 Przykład Niech (X, Y ) maj a funkcjȩ prawdopodobieństwa p(i, j) 1 2 p X p Y Zmienne nie sa niezależne, bo 0 = p(1, 2) p X (1)p Y (2) = Przykład Niexh (X, Y ) maj a funkcjȩ prawdopodobieństwa p(i, j) 1 2 p X p Y Zmienne X, Y s a niezależne. Przykład Niech (X, Y ) maj a gȩstość f(x, y) = ((x + y + 1)/2)I (0,1) (0,1) (x, y). Wtedy X, Y nie s a niezależne. Dla wektora n N zmiennych losowych (X 1,..., X n ) niezależność definiujemy analogicznie do przypadku n = 2. Definicja Jeśli (X 1,..., X n ) ma rozkład typu ci agłego o gȩstości f(x 1,..., x n ) wtedy X 1,..., X n s a niezależne gdy f(x 1,..., x n ) = f X1 (x 1 )...f Xn (x n ) dla wszystkich x 1,..., x n R. Definicja Jeśli (X 1,..., X n ) ma rozkład typu dystkretnego o funkcji prawdopodobieństwa p(i 1,..., i n ) wtedy X 1,..., X n s a niezależne, gdy p(i 1,..., i n ) = p X1 (i 1 )...p Xn (i n ) dla wszystkich i 1,..., i n Z. Niezależność (X 1,..., X n ) w obu przypadkach jest równoważna warunkowi P (X 1 A 1,..., X n A n ) = P (X 1 A 1 )...P (X n A n ) dla dowolnych zbiorów A 1,..., A n Sumy niezależnych zmiennych losowych Dla dyskretnych zmiennych losowych P (X + Y = k) = i P (X = i, Y = k i). Przy założeniu niezależności X, Y otrzymujemy P (X + Y = k) = i P (X = i)p (Y = k i) 16
17 Przykład Niech X bȩdzie liczb a sukcesów w n 1 próbach Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu p (0, 1). Niech Y bȩdzie niezależn a od X zmienn a losow a bȩd ac a liczb a sukcesów w n 2 próbach Bernoulliego o tym samym prawdopodobieństwie sukcesu. Wtedy X + Y ma rozkład dwumianowy b(k, n 1 + n 2, p). Przykład Jeśli X, Y s a niezależne i X P oisson(λ) oraz Y P oisson(µ), to X + Y P oisson(λ + µ). Dla zmiennych losowych typu ci agłego X f X oraz Y f Y, jeśli X, Y s a niezależne to X +Y ma gȩstość f X+Y (z) = f X (x)f Y (z x)dx = f Y (x)f X (z x)dx Przykład Niech X U[0, 1] oraz Y U[0, 1] maj a ten sam rozkład jednostajny na [0, 1]. Jeśli X i Y s a niezależne, to z gdy 0 z 1 f X+Y (z) = 2 z gdy 1 z 2 0 poza tym Wykres tej gȩstości: Przykład (Rozkład Erlanga rzȩdu n). Jeśli X 1,..., X n s a niezależne o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ > 0, to f X X n (z) = ((n 1)!/λ n 1 ) 1 z n 1 λe λz I (0, ) (z) Przykład (Proces Poissona) Niech (X 1, X 2,...) bȩdzie nieskończonym ci agiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych z parametrem λ > 0. Wtedy N(t) = max{n : X X n t}, dla dowolnego t 0 liczy ile punktów umieszczonych w odstȩpach kolejno X i, i = 1, 2,... od pocz atku układu współrzȩdnych zmieści siȩ przed t. Zbiór zmiennych losowych (N(t), t 0) nazywamy procesem Poissona. Wtedy P (N(t) = i) = (λt)i e λt i! dla i = 0, 1, 2,..., tzn. zmienne N(t) maj a rozkłady Poissona, których parametr zmienia siȩ wraz z t i równa siȩ λt. 17
18 0.5 WARTOŚĆ OCZEKIWANA Jeśli (X 1, X 2,...) jest ci agiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach, przyjmuj acych wartości ograniczone, to intuicyjnie ich średnia arytmetyczna X X n n dla dostatecznie dużych wartości n powinna być zbieżna do pewnej wartości stałej (pomyśl o rzutach monet a lub kostk a). Uściślenie tej intuicji wymagać bȩdzie określenia co to znaczy tutaj zbieżna (pojȩcie dla zmiennych losowych a nie liczb) oraz motywuje wprowadzenie wartości oczekiwanej, ktora okaże siȩ być t a graniczn a wartości a stał a zależn a jedynie od rozkładu, który jest tutaj wspólny dla wszystkich sumowanych zmiennych losowych. Precyzyjne wysłowienie tego faktu bȩdzie treści a twierdzenia zwanego Prawem Wielkich Liczb. Definicja Jeśli X jestzmienn a losow a przyjmuj ac a wartości całkowite, o funkcji prawdopodobieństwa (p(i), i Z), to wartości a oczekiwan a zmiennej X (lub wartości a oczekiwan a rozkładu p(i)) nazywamy liczbȩ oznaczan a EX, zadan a wzorem EX = ip(i) i Z o ile ta wartość istnieje. Istnienie wartości oczekiwanej skomentujemy później. Przykład Rzut monet a. Niech X = 1, gdy wypadnie orzeł, 0, gdy wypadnie reszka. EX = = 1 2. Zauważmy, że wartość 1/2 nie jest przyjmowana przez X. Przykład Rzut kostk a. EX = 3.5. Przykład Rozkład Poissona z parametrem λ. EX = λ. Definicja Jeśli zmienna X ma gȩstość f, wtedy EX = xf(x)dx o ile ta wartość istnieje. Przykład Rozkład jednostajny na [0, 1]. EX = 1/2. Przykład Gȩstość Erlanga rzȩdu n. EX = n/λ. Przykład Rozkład Cauchyego. f(x) = 1 π(1 + x 2 ) x R. Wartość oczekiwana nie istnieje. (Zmienna losowa o gȩstości symetrycznej nie musi mieć wartości oczekiwanej 0) Przypomnijmy, że x = [x] + + [x], gdzie [x] + = max(o, x) oraz [x] = min(0, x). Dla dowolnej funkcji g, R g(x)dx istnieje i jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy R [g(x)] +dx < (jest skończona) i R [g(x)] dx <. Całka R g(x)dx istnieje i jest nieskończona, gdy R [g(x)] +dx = i R [g(x)] dx < (wtedy g(x)dx = ) lub gdy R [g(x)] +dx < i R [g(x)] dx = (wtedy g(x)dx = ). W przypadku gdy R [g(x)] +dx = i R [g(x)] dx = całka R g(x)dx nie istnieje. 18
19 Przykład (Czas do równowagi) Nieskończona wartość oczekiwana pojawia siȩ w sposób bardzo naturalny: rzucamy monet a, niech H n oznacza ilość orłów w n rzutach, T n = n H n, oznacza ilość reszek w n rzutach. Czas zrównania siȩ ilości orłów i reszek po raz pierwszy możemy zdefiniować jako N = min{n : H n = T n }. EN = +. Do liczenia wartości oczekiwanej nieujemnych zmiennych losowych X o wartościach całkowitych uzyteczny jest wzór: EX = P (X n) n=1 Przykład Rozkład geometryczny na {1, 2,...}. p(i) = (1 p) i 1 p, dla p (0, 1). EX = 1/p Momenty, funkcje tworz ace Niech Y = ψ(x), dla pewnej funkcji ψ : R R. Wtedy EY = i Z ψ(i)p (X = i), dla X typu dyskretnego o wartościach całkowitych. Gdy X f ma gȩstość, to EY = ψ(x)f(x)dx. Jeśli Y przyjmuje (niekoniecznie całkowite) wartości y 1, y 2,... z prawdopodobieństwami p(1), p(2),... odpowiednio, to EY = i=1 y i p(i).\ Przykład Rzut kostk a. X liczba oczek, Y = 2 X. Przykład Momenty rozkładu jednostajnego. X U[0, 1], Y = X k dla k N. (ψ(x) = x k ). EY = 1 k+1. Definicja Dla zmiennej losowej X, wartość EX k <, k N( o ile istnieje i jest skończona) nazywamy k tym momentem X. (Wartość oczekiwana jest pierwszym momentem). Przykład Funkcja tworz aca momenty rozkładu wykładniczego. Niech X Wykładniczy (λ). Wtedy dla Y = e tx, t < λ, EY = λ λ t. Przykład Funkcja tworz aca momenty rozkładu gamma. Niexh X gamma(n, λ). Wtedy dlay = e tx, t < λ, EY = ( λ λ t )n. Definicja Dla zmiennej losowej X funkcjȩ φ X (t) = Ee tx określon a dla t R (być może o wartościach nieskończonych) nazywamy funkcj a tworz ac a momenty zmiennej X. Zw azek tej funkcji z momentami zmiennej X jest nastȩpuj acy EX k = φ (k) X (0) dla k N. Przykład Momenty rozkładu wykładniczego. X Wykładniczy (λ), wtedy EX k = k! λ k. 19
20 Definicja Dla zmiennej X o wartościach {0, 1, 2,...} funkcjȩ γ X (z) = E(z X ) = z i p(i) i=0 dla z [0, 1] nazywamy funkcj a tworz ac a. Zwi azek tej funkcji z momentami jest nastȩpuj acy γ (k) X (z) = E(X(X 1)...(X k + 1)) dla k N. Przykład Mediana rozkładu. Właściciel bufetu sprzedaje kawȩ. Dzienny popyt na kawȩ określony jest przez zmienn a X o gȩstości f. Właściciel płaci c zł za litr kawy, otrzymuje b zł (b > c) i jeśli zabraknie mu kawy traci a zł na każdym brakuj acym litrze. Ile kawy powinien on kupić, aby zmaksymalizować (w sensie wartości średniej) swój zysk. Odp.: należy kupić v litrów kawy, gdzie v jest takie, że P (X > v) = c a+b. Gdy a = b = c = 1 wartość t a nazywamy median a rozkładu zmiennej X. Definicja Niech X bȩdzie taka, ze E X <. Median a rozkładu zmiennej X jest liczba v, taka,,że E X c E X v dla wszystkich c R. Własności wartości oczekiwanej 1. E(aX + b) = aex + b, dla a, b R 2. E(X + Y ) = EX + EY 3. X Y EX EY 4. Jeśłi X 1,..., X n s a niezależne, to E(X 1...X n ) = EX 1...EX n 5. Jeśłi X 1,..., X n s a niezależne, to E(g 1 (X 1 )...g n (X n )) = Eg(X 1 )...Eg n (X n ), dla dowolnych funkcji g 1,..., g n. 6. Jeśłi X 1,..., X n s a niezależne, to φ X1 +...X n (t) = φ X1 (t)...φ Xn (t), dla funkcji tworz acych momenty Przykład Warunek E(XY ) = EXEY nie implikuje niezależności X i Y. X\Y p X /4 0 1/4 0 1 /4 1 /4 1 /4 3/4 p Y 1/4 1/2 1/4 wtedy EXY = 0 oraz EXY = EXEY, ale X, Y nie s a niezależne. Funkcje tworz ace wyznaczaj a jednoznacznie rozkłady zmiennych losowych: Jeśli φ X (t) = φ Y (t), t R, to F X = F Y. Jeśli γ X (z) = γ Y (z), z (0, 1), to p X (i) = p Y (i), i Z +. 20
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A. Semestr letni 2015. Środy 9:15-12:00, sala EM. Wykładowca: Ryszard Szekli, pok. 514, konsultacje: poniedziałki 12-13, środy 12-13 terminy egzaminów: I termin 17.06.2014,
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoPROBABILISTYKA - test numery zestawów 1,3,5,7,9,...,41
1 numery zestawów 1,3,5,7,9,...,41 (a) Jeśli P (A) = 0.5 oraz P (B) = 0.3 oraz B A, to P (B \ A) = 0.2. (b) Przy jednokrotnym rzucie kostk a prawdopodobieństwo, że wypadnie szóstka pod warunkiem, że wypad
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowo6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 6. Momenty zmiennych losowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8.11.2018 1 / 47 Funkcje zmiennych losowych Mierzalna funkcja Y
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )
Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoi=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoRozkład wykładniczy. Proces Poissona.
Wykład 3 Rozkład wykładniczy. Proces Poissona. 3.1 Własności rozkładu wykładniczego 3.1.1 Rozkład geometryczny: Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p (, 1) jeśli P(Xi)p(1 p)
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 12. Przynależność do grupy przedmiotów: Prawdopodobieństwo i statystyka
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20152016 4. Forma
Bardziej szczegółowoWstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Cz. 1 / William Feller. wyd. 6, dodr. 4. Warszawa, Spis treści
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Cz. 1 / William Feller. wyd. 6, dodr. 4. Warszawa, 2012 Spis treści Od Wydawnictwa 5 Z przedmowy autora do wydania pierwszego 7 Z przedmowy autora do wydania drugiego
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoZadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoWstęp. Kurs w skrócie
Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. Forma prowadzenia zajęć. Odniesienie do efektów dla kierunku studiów K1A_W02
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20182019 4. Forma
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoLista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.
Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)
Bardziej szczegółowoLista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoPrzykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Przykłady 6. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Transformacje zmiennej losowej. Opracowanie:
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski
Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa 11 Zdarzenia Podstawowym pojȩciem rachunku prawdopodobieństwa jest przestrzeń zdarzeń elementarnych,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowo