RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A."

Transkrypt

1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A. Semestr letni Poniedziałki 12:15-15:00, sala HS. Wykładowca: Ryszard Szekli, pok. 514, konsultacje: poniedziałki 10-12, terminy egzaminów: I termin , (ŚRODA) 10-13, sala HS+WS, II termin do ustalenia (wrzesień). Warunki ukończenia kursu: zaliczenie ćwiczeń: 3 sprawdziany w semestrze (3x20= 60 punktów), aktywność max 30 pkt, e-learning max 20 pkt. ocena 3.0 od 30 pkt. punkty powyżej 60 przechodzą na konto egzaminu w całości. Na listach zadań są zadania obowiązkowe (łatwe), które każdy student jest zobowiazany rozwiązać samodzielnie. Nieznajomość rozwiązania generuje punkty ujemne. Zadania oznaczone (+) na listach mogą być punktowane przez prowadzących, po zrobieniu ich przy tablicy. zdanie egzaminu pisemnego: egzamin testowy max 80 pkt.; 10 zadań testowych: możliwe odpowiedzi a,b,c,d każda prawdziwa lub nie; z ćwiczeń i wykładu. ocena 3.0 od 30 pkt. PLAN WYKŁADU: 1. WPROWADZENIE 1.1 Uwagi historyczne 1.2 Powtórka podstaw rachunku prawdopodobieństwa 2. NIEZALEŻNOŚĆ I CIAGI ZMIENNYCH LOSOWYCH 2.1 Schemat Bernoulliego 2.2 Ciagi nieskończone zmiennych niezależnych 2.3 Błądzenia losowe, prawo arcusa sinusa 2.4 Rekurencje, łańcuchy Markowa 3. ROZKŁADY 3.1 Zmienne losowe, wektory losowe 3.2 Przybliżenia rozkładów 3.3 Gȩstości i dystrybuanty 3.4 Funkcje od zmiennych losowych 3.5 Rozkłady ł aczne i brzegowe 3.6 Sumy niezależnych zmiennych losowych 4. WARTOŚĆ OCZEKIWANA, MOMENTY 4.1 Momenty i funkcje tworz ace 4.2 Wariancja i kowariancja 5. TWIERDZENIA GRANICZNE 5.1 Prawa wielkich liczb 5.2 Centralne twierdzenie graniczne 1

2 Literatura: P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, 1987 W. Feller, Wstep do rachunku prawdopodobieństwa, tom I, PWN, 1977 J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstep do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT, M. Majsnerowska: Elementarny wykład z rachunku prawdopodobieństwa z zadaniami, strona www IM D. Stirzaker, Elementary Probability, Second. ed. Cambridge R. Durrett, Elementary Probability for Applications, Cambridge

3 0.1 Wprowadzenie Zdarzenia i eksperymenty Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem możliwych wyników pewnego eksperymentu. Jeśli Ω jest zbiorem przeliczalnym, to zdarzeniem jest każdy podzbiór Ω. Zbiór zdarzeń oznaczamy F. Ogólnie, zakładamy, że F jest zamkni ety na przeliczalne sumy, przekroje i dopełnienia oraz zawiera Ω Permutacje i kombinacje W wielu przypadkach P (A) jest postaci A / Ω, gdzie A oznacza liczbȩ elementów zbioru A. Zasada mnożenia możliwości. Załóżmy, że wykonano m N eksperymentów, w których k-ty (1 k m) eksperyment ma n k N możliwych wyników, niezależnie od wyników pozostałych eksperymentów. Wtedy ł aczna ilość możliwych wyników wynosi n 1 n m. Permutacje. Z n N elementów można wybrać k (1 k n) elementów ustawionych kolejno na P n,k = n (n 1) (n k + 1) = sposobów. n! (n k)! Kombinacje. Z n N elementów można wybrać k (1 k n) elementów, bez rozróżniania ich kolejności na C n,k = sposobów. n! (n k)!k! = ( ) n k Przykład Zastosowanie C n,k we wzorze dwumianowym dla (a + b) 4. Twierdzenie dwumianowe. Przyjmuj ac 0! = 1, dla każdego a, b R i n N zachodzi: ( ) n n (a + b) n = a k b n k. k k=0 Przykład Prakyczny sposób wyliczania współczynników ( n k),trójk at Pascala:. ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + k k 1 k

4 Współczynniki wielomianowe. Z n N elementów można wybrać m podzbiorów o liczebnościach n 1, n 2,..., n m (n n m = n) na n! n 1! n m! sposobów. Zachodzi wzór: (x x m ) n = {n 1 + +n m =n} n! n 1! n m! xn 1 1 xnm m Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo P jest funkcj a przyporz adkowuj ac a zdarzeniom liczby takie, że (i) Dla A Ω, 0 P (A) 1. (ii) P (Ω) = 1. Dla każdego ci agu {A i } (skończonego lub nieskończonego) zdarzeń rozł acznych P ( i A i ) = i P (A i ). Uwaga Nie dla wszystkich zbiorów Ω można znaleźć nietrywialn a funkcjȩ P o powyższych własnościach, określon a na wszystkich podzbiorach Ω na przykład Ω := [0, 1] oraz P ((a, b]) = b a, 0 a b 1 jest naturaln a funkcj a prawdopodobieństwa na tym zbiorze, jednakże nie można t a funkcj a zmierzyć wszystkich podzbiorów Ω (istniej a zbiory niemierzalne ). Rozważania ogranicza siȩ wtedy do podklasy mierzalnych zbiorów (zdarzeń), które tworz a σ ciało zdarzeń. W przypadku, gdy Ω jest zbiorem przeliczalnym takie trudności nie wystȩpuj a i wtedy wszystkie podzbiory Ω s a mierzalne. Własności wynikaj ace z określenia prawdopodobieństwa: 1. P (A c ) = 1 P (A) 2. P ( ) = 0 3. Jeśli A B, to P (A) P (B) 4. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 5. P ( i A i) i P (A i) 6. Jeśli A 1 A 2 i A = i A i, to P (A i ) i P (A). 7. Jeśli A 1 A 2 i A = i A i, to P (A i ) i P (A). 4

5 0.1.4 Prawdopodobieństwo sumy Zachodzi wzór n n P ( A i ) = P (A i ) P (A i A j ) + i=1 i=1 i<j Nierówności Bonferroniego. n P ( A i ) i=1 n P (A i ) i=1 i<j<k n n P ( A i ) P (A i ) P (A i A j ) i=1 i=1 i<j n n P ( A i ) P (A i ) P (A i A j ) + i=1 i=1 i<j i<j<k P (A i A j A k ) + + ( 1) n+1 P (A 1 A n ) P (A i A j A k ) Wybieranie z urny kolorowych kul jest matematyczn a idealizacj a wielu eksperymentów, w których losowo wybiera siȩ skończon a ilość obiektów różnych typów. Model urnowy. W urnie znajduje siȩ M kul czerwonych i N kul czarnych. Wyci agamy z urny n kul bez zwracania ich. Wtedy prawdopodobieństwo, że wyci agniemy r kul czerwonych wynosi )( N ) ( M r n r ( M+N ) n gdzie dla j < 0 lub j > m przyjmujemy ( m j ) = 0. Przykład (Lotto). Wybieramy 6 liczb ze zbioru {1,..., 54}. 1 nagroda to 6 trafionych, 2 nagroda to 5 trafionych, 3 nagroda 4 trafione. Jakie s a prawdopodobieństwa zdobycia tych nagród? Przykład (Kontrola jakości). Wyprodukowano M żarówek, w tym N wadliwych. Testujemy n żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie testowane żarówki s a dobre? Przykład (Wnioskowanie o wielkości populacji). Student biologii złowił w stawie 60 wodnych chrz aszczy, oznaczył farb a i wypuścił. Po pewnym czasie wrócił i złowił 50 chrz aszczy, w tym znajduj ac 12 oznaczonych farb a. Jak można oszacować wielkość populacji chrz aszczy w tym stawie? Powtarzanie eksperymentów Z urny zawieraj acej K kul ponumerowanych od 1 do K wyci agamy kolejno kule, notuj ac ich numery i zwracaj ac je do urny. Wyciagaj ac k kul, prawdopodobieństwo, że wszystkie kule maj a różne numery wynosi P K,k K k = K k + 1 K K k + 2 K K K Rzuty symetryczn a monet a. Przyjmujemy, że K = 2 (np. K = 1 oznacza orła, K = 2, oznacza reszkȩ). Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie j orłów w k rzutach wynosi ( ) k 1 j 2 k. 5

6 0.2 Prawdopodobieństwo warunkowe Istniej a dwa sposoby rozumienia zdarzeń niezależnych: potoczne i statystyczne (matematyczne). Matematyczne pojȩcie niezależności jest prost a reguł a mnożenia. Definicja Zdarzenia A i B s a niezależne gdy P (A B) = P (A)P (B). Wniosek Zdarzenia A i B o dodatnich prawdopodobieństwach, rozł aczne nie s a niezależne. 2. Ω jest zdarzeniem niezależnym od każdego innego zdarzenia. 3. Zdarzenie jest niezależne od każdego innego zdarzenia. Ci ag zdarzeń A 1,..., A n jest niezależny parami, jeśli P (A i A j ) = P (A i )P (A j ) dla wszystkich i j. Ci ag zdarzeń A 1,..., A n jest niezależny, jeśli P (A i1 A ik ) = P (A i1 ) P (A ik ), dla wszystkich i 1 < i 2 < < i k. Przykład (Rozkład wielomianowy). Przypuśćmy, że kostka do gry ma 1 na trzech ścianach, 2 na dwóch ścianach i 3 na jednej ścianie. Rzucamy tak a kostk a 10 razy. Wyliczamy prawdopodobieństwo uzyskania 5 razy 1, 3 razy 2 i 2 razy 3: 10! 5!3!2! (1/2)5 (1/3) 3 (1/6) 2 Ogólnie, wykonuj ac n niezależnych prób o możliwych k wynikach, przy czym prawdopodobieństwo wyniku typu i (i = 1,..., k) wynosi odpowiednio p i, prawdopodobieństwo uzyskania n 1 wyników typu 1, n 2 wyników typu 2,..., n k wyników typu k (n n k = n) dane jest wzorem n! n 1!...n k! pn pn k k Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe Definicja Dla dowolnego zdarzenia A Ω, takiego, że P (A) > 0 prawdopodobieństwem warunkowym przy warunku A nazywamy funkcjȩ prawdopodobieństwa P ( A) określon a na Ω nastepuj acym wzorem P (B A) = P (A B) P (A) dla zdarzeń B Ω. Łatwo sprwadzić, że P ( A) ma wymagane własności funkcji prawdopodobieństwa: 0 P (B A) 1, dla każdego zdarzenia B Ω, 6

7 P (B 1 B 2 A) = P (B 1 A) + P (B 2 A), dla dowolnych rozł acznych zdarzeń B 1, B 2. P (Ω A) = 1 Zauważmy, że wtedy również P (A A) = 1, to znaczy masa prawdopodobieństwa warunkowego skupiona jest na zdarzeniu wzglȩdem którego warunkujemy. Przykład Wartość P ( A) dla każdego B niezależnego od A pokrywa siȩ z wartościa wyjściowego prawdopodobieństwa P tzn. P (B A) = P (B). Rozwiazanie w powyższym przykładzie można uogólnić. Jeśli B 1,..., B k stanowi a rozbicie rozł aczne Ω, tzn. Ω = B 1... B k oraz B 1... B k =, to zachodzi wzór na prawdopodobieństwo całkowite k P (A) = P (A B i )P (B i ) i=1 dla każdego zdarzenia A Ω Reguła Bayesa Rozwi azanie w powyższym przykładzie sugeruje ogólny wzór: Wzór Bayesa Jeśli B 1,..., B k stanowi a rozbicie rozł aczne Ω, tzn. Ω = B 1... B k oraz B 1... B k =, oraz P (A) > 0, P (B i ) > 0 to P (B i A) = P (B i )P (A B i ) kj=1 P (A B j )P (B j ) dla dowolnego i = 1,..., k. 0.3 NIEZALEŻNOŚĆ: Ciagi Schemat Bernoulliego Przykład (Rozkład dwumianowy). Powtarzamy pewien eksperyment o możliwych wynikach: sukces (S) lub porażka (P), n razy. Jak zdefiniować prawdopodobieństwo P na Ω = {ω = (W 1,..., W n ) : W i {S, P }, i = 1,..., n} gdzie W i oznacza wynik i-tej próby, tak aby zdarzenia : w i -tej próbie sukces, oraz : w i + j- tej próbie porażka (dla wszystkich 1 i < i + j n) były niezależne? Prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w n próbach równa siȩ wtedy ( ) n p k (1 p) n k k gdzie p (0, 1) jest prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie. Przykład (Rozkład geometryczny). Rzucamy kostk a do chwili uzyskania 6. Niech N oznacza ilość potrzebnych rzutów. Wtedy P (N = k) = (5/6) k (1/6). (k = 1, 2,...). Ogólnie liczba prób N potrzebna do uzyskania pierwszego sukcesu jest wielkości a losow a, dla której P (N = k) = (1 p) k 1 p, gdzie p (0, 1) jest prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie oraz k = 1, 2,... 7

8 Przykład (Ujemny rozkład dwumianowy). Powtarzamy próby o możliwych wynikach sukces (S), porażka (P), do czasu uzyskania dokładnie k sukcesów. Wtedy dla T k, liczby potrzebnych prob zachodzi ( ) m + k 1 P (T k = m + k) = (1 p) m p k m dla dowolnego k = 1, 2,... oraz m = 0, 1, 2, Istnienie nieskończonego ci agu zmiennych losowych niezależnych Niech Ω = [0, 1], P = (miara Lebesgue a, miara długości). Zdarzeniami bȩd a wszystkie zbiory borelowskie w [0, 1]. Dla dowolnego ω [0, 1] niech ω = Z Z Z bedzie rozwiniȩciem dwójkowym (dla 3 jednoznaczności przyjmujemy rozwiniecia o skończonej ilości jedynek, jeśli takie s a dopuszczalne). Wtedy ci ag (Z 1, Z 2,...) jest ci agiem niezależnych zmiennych losowych o wartościach 0 i 1. Uzasadnienie: Wystarczy pokazać, że P (Z 1 = d 1,..., Z n = d n ) = P (Z 1 = d 1 )...P (Z n = d n ) dla dowolnego układu zer i jedynek d = (d 1,..., d n ), (d i {0, 1}). Niech A d = {Z 1 = d 1,..., Z n = d n } wtedy Ω = d A d jest rozł aczn a sum a 2 n zbiorów, gdzie sumowanie jest po wszystkich układach zer i jedynek na n miejscach. Rozpatrzmy dwa dowolne takie układy d, d. Niech n d T d,d (ω) i = ω + d i 2 i i=1 dla ω [0, 1]. Wtedy oczywiście T d,d (A d ) = A d, a ponieważ T d,d jest przesuniȩciem i w zwi azku z tym nie zmienia miary P zbioru A d, tzn. P (A d ) = P (T d,d (A d )) = P (A d ), wynika st ad, że wszystkie zbiory A d maj a to samo prawdopodobieństwo niezależnie od indeksu d. Ponieważ jest ich 2 n i w sumie daj a one Ω, wnioskujemy, że P (A d ) = 1 2 dla każdego d. Mamy wiȩc P (Z n 1 = d 1,..., Z n = d n ) = P (A d ) = 1 2. n Zauważmy teraz, że P (Z 1 = d 1 ) = 1/2, bo wystarczy podstawić n = 1 w poprzedniej równości. Ponadto P (Z 2 = d 2 ) = P (Z 1 = 0, Z 2 = 2)+P (Z 1 = 1, Z 2 = d 2 ) = 1/4+1/4 = 1/2, wykorzystuj ac tȩ sam a równość dla n = 2. Rozumujac przy pomocy indukcji matematycznej otrzymujemy ogólnie P (Z n = d n ) = 1/2, a st ad warunek niezależności bezpośrednio wynika. Aby skonstruować ci ag niezależnych zmiennych losowych o rozkładach dowolnych przy użyciu ci agu (Z 1, Z 2,...) ustawiamy go w tablicȩ (Z ik ) i=1,2,...k=1,2,.... Niech teraz U i = Z ik /2 k k=1 Wtedy (U 1, U 2,...) tworz a ci ag niezależnych zmiennych losowych o rozkładach jednostajnych na [0, 1]. Rzeczywiście dla x [0, 1] [x2 ] N gdzie P (U i x) = lim N P (U N i U N i = N Z ik /2 k k=1 x) = lim N 2 N = x Bior ac teraz X i = F 1 (U i ), dla dowolnej ci agłej dystrybuanty F otrzymujemy ciag (X 1, X 2,...) niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie o dystrybuancie F. 8

9 0.3.3 Łańcuchy Markowa, rekurencje Przykład (Łańcuch Markowa o 2 stanach). Załóżmy, że na rynku s a dwa typy pasty do zȩbów: a, b. Klienci kupuj a przy każdym nastȩpnym zakupie pasty ten sam typ z prawdopodobieństwem 3/4 oraz inny typ z prawdopodobieństwem 1/4. Załóżmy, że f k procent klientów przy k-tym zakupie kupuje typ pasty a. Wyliczamy kolejne wartości f k dla k > 1, zakładaj ac, że f 1 = 1/3. Zachodzi f k = (3/4)f k 1 + (1/4)(1 f k 1 ) oraz f k 1/2, gdy k Rekurencje Przykład (Ruina gracza). Rozważmy grȩ, w której wygrywamy 1 z prawdopodobieństwem p (0, 1), przegrywamy 1 z prawdopodobieństwem q = 1 p. Zaczynamy maj ac 50 i kończymy maj ac 100 lub gdy stracimy wszystko. Wyliczamy prawdopodobieństwo zakończenia gry maj ac 100. Zachodzi rekurencja a i = pa i+1 + qa i 1 dla a i prawdopodobieństwa, że kończymy maj ac 100, przy kapitale pocz atkowym 1 i 99, przy czym a 0 = 0, a 100 = 1. Otrzymujemy a i = 1 ( q p )100 1 ((q p )i 1) Wprzypadku ruletki p = 18/38 = , wtedy a 50 = (ok. 5 razy na tysi ac gier wygramy). Przykład Grześ i Andrzej kolejno rzucaj a monet a. Jeśli wypada orzeł wygrywa Andrzej i dostaje od Grzesia 1, jesli wypada reszka wygrywa Grześ i dostaje od Andrzeja 1. Poczatkowo Grześ ma 50, Andrzej 25. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Andrzej straci wszystko? Niech a i oznacza prawdopodobieństwo, że Andrzej straci wszystko, w sytuacji gdy Grześ ma i, a Andrzej 75 i, dla 1 i 74. Przyjmujemy a 0 = 0, a 75 = 1. Zachodzi rekurencja a i = (1/2)a i+1 + (1/2)a i 1 Znajdujemy a i = i/75. St ad Andrzej przegra z prawdopodobieństwem 50/75=2/ Rozkłady Zmienne losowe Definicja Niech Ω bȩdzie zbiorem przeliczalnym. Funkcjȩ X : Ω R nazywamy rzeczywist a zmienn a losow a. Definicja Dla zmiennej losowej X przyjmujacej wartości całkowite, ciag p X (i) = P (X = i) nazywamy funkcj a prawdopodobieństwa zmiennej losowej X (i Z). Każdy ci ag liczbowy {p(i)} i Z o własnościach 1. 0 p(i) 1, i Z 2. i Z p(i) = 1 9

10 jest funkcj a prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej. Uwaga Ci ag {p X (i)} wyznacza funkcjȩ prawdopodobieństwa P X na Z poprzez równość: P X (A) = i A p X (i) określon a dla każdego A Z. Parȩ (Z, P X ) nazywamy kanoniczn a przestrzeni a probabilistyczn a zmiennej X. Przykład (Rozkład hipergeometryczny). W urnie jest M czerwonych i N czarnych kul. Wyci agamy n kul. Niech R oznacza ilość czerwonych kul spośród n wyci agnietych kul. Wtedy p R (r) = P (R = r) = ( M )( N ) r n r ( M+N ) n dla r = 0,..., n. Pozostałe wartości p R (r) przyjmujemy, że s a równe Przybliżenie rozkładu dwumianowego Przykład (Rozkład Poissona). Niech dla λ > 0 λ λi p λ (i) = e i! dla i = 0, 1,..., poza tym 0. Ci ag ten ma własności funkcji prawdopodobieństwa. Nazywamy go rozkładem Poissona z parametrem λ. Rozkład Poissona odgrywa ważn a rolȩ jako przybliżenie innych rozkładów. Przykład Niech S n oznacza liczbȩ sukcesów w n próbach Bernoulliego, przy czym załóżmy, że prawdopodobieństwo sukcesu w n próbach równa siȩ p n (może zmieniać siȩ wraz z ilości a prób). Wtedy wiadomo, że P (S n = k) = ( n k) p k n (1 p n ) n k. Jeśli np n λ > 0, to P (S n = k) p λ (k) przy n, dla każdego k N. Rozkład Poissona stanowi dobre przybliżenie rozkładu dwumianowego, o małym prawdopodobieństwie sukcesu, ale o dużej ilości prób, przy czym pn = λ Gȩstości i dystrybuanty Definicja Zmienna losowa X ma rozkład (absolutnie) ci agły o gȩstości f X : R R gdy P (a X b) = b dla każdego a b R. a f X (y)dy Oczywiście f X(x)dx = 1, zawsze pole pod wykresem gȩstości równa siȩ 1. Uwaga Dla każdej funkcji f nieujemnej, rzeczywistej, takiej, że losowa taka, że f jest jej gȩstości a prawdopodobieństwa. 10 f(x)dx = 1,istnieje zmienna

11 Przykład (Gȩstość Pareto) f(x) = { (α 1)x α gdy x 1 0 poza tym gdzie α > 1 jest parametrem rozkładu. Przykład (Rozkład wykładniczy). f(x) = { λe λx dla x 0 0 poza tym gdzie λ > 0 jest parametrem rozkładu. Przykład (Rozkład standardowy normalny) f(x) = (1/ 2 2π)e x2 /2 gdzie x R. (Dowód, że jest to gȩstość na wykładzie) Bardziej uniwersalnym niż gȩstość probabilistycznym opisem zmiennych losowych jest dystrybuanta. Definicja Dystrybuant a zmiennej losowej X, nazywamy funkcjȩ F X (x) = P (X x) dla x R. Dystrybuanta ma nastȩpuj ace własności: 1. F X jest niemalej aca 2. F X (x) 1, gdy x 3. F X (x) 0, gdy x 4. F X jest prawostronnie ci agła Uwaga Gdy zmienna losowa X ma gȩstość f X,to F X (x) = x f X(y)dy. Przykład (Dystrybuanta Pareto). Gȩstość Pareto f(x) = (α 1)x α I [1, ) (x). Wyliczamy : F (x) = (1 x (α 1) )I [1, ) (x) Uwaga Szansa, że wartości zmiennej losowej X zawarte bȩd a w przedziale [a, b], gdzie a b, można wyrazić przy pomocy dystrybuanty nastȩpuj aco P (a X b) = F (b) F (a) Przykład (Dystrybuanta wykładnicza). Ponieważ gȩstość f(x) = λe λx I [0, ) (x), otrzymujemy F (x) = (1 e λx )I [0, ) (x). 11

12 Uwaga Funkcjȩ F (x) = 1 F (x), x R, nazywamy ogonem dystrybuanty F. W teorii niezawodności F nazywana jest funkcj a niezawodności, gdyż F (x) = P (X > x), można interpretować jako prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy maszyny, gdzie X oznacza wtedy losowy czas pracy maszyny. Przykład (Własność braku pamiȩci rozkładu wykładniczego). Jeśli X to ma rozkład wykładniczy, P (X > t + s X > t) = P (X > s) dla dowolnych t, s 0. Interpretacja: szansa, że dalszy czas pracy maszyny przekroczy s, jeśli maszyna jest sprawna do czasu t, jest taka sama jak szansa, że nowa maszyna przepracuje conajmniej s. Wzór ten można równoważnie zapisać jako F (t + s) = F (t)f (s). Przykład (Dystrybuanta dyskretna). Niech X bȩdzie zmienn a losow a przyjmuj ac a wartości 0, 1, 2, 3, z prawdopodobieństwami odpowiednio 1/8, 3/8, 3/8, 1/8. Odpowiedni a funkcjȩ prawdopodobieństwa można opisać tabelk a (poza tym zero) i p(i) 1/8 3/8 3/8 1/8 Dystrybuanta odpowiadaj aca tej funkcji prawdopodobieństwa może być zapisana na wiele sposobów: F (x) = i x p(i) lub F (x) = p(i) i (,x] lub F (x) = 1 8 I [0,1)(x) I [1,2)(x) I [2,3)(x) + I [3, ) (x) lub F (x) = 1 8 I [0, )(x) I [1, )(x) I [2, )(x) I [3, )(x) Funkcje od zmiennych losowych Niech Y = ψ(x), dla pewnej zmiennej losowej X, o gȩstości f i funkcji (mierzalnej) ψ : R R.. Obliczymy gȩstość zmiennej Y. Przykład Niech X bȩdzie zmienn a o rozkładzie wykładniczym oraz ψ(x) = x 2. Wtedy F Y (y) = (1 e λ 2 y )I [0, ) (y) oraz f Y (y) = (λ/2 2 y)e λ 2 y I (0, ) (y) Ogolnie, jeśli ψ jest róózniczkowalna i ściśle rosn aca na zbiorze wartości zmiennej X, to Y = ψ(x) ma gȩstość f Y (y) = f X (ψ 1 (y))(ψ 1 ) (y) 12

13 Przykład (Niestandardowy rozklad normalny). Niech X ma rozkład standardowy normalny oraz ψ(x) = σx + µ,dla σ > 0, µ R. Wtedy Y = σx + µ ma rozkład o gȩstości f Y (y) = (1/ 2 2πσ 2 )e (x µ)2 /2σ 2 Rozkład ten (lub zmienne o tym rozkładzie) oznaczamy N(µ, σ). Wniosek Jeśli Y ma rozkład normalny N(µ, σ), to X = (Y µ)/σ ma rozkład N(0, 1). Przykład (Rozkład jednostajny). Niech X ma rozkład standardowy wykładniczy oraz ψ(x) = (1 e x )I [0, ) (x). Wtedy Y = ψ(x) ma rozkład jednostajny na [0, 1], tzn. f Y (y) = I [0,1) (y). Ogólnie, jeśli X ma dystrybuantȩ F o gȩstości f, to Y = F (X) ma rozkład jednostajny na [0, 1]. Ci agł a funkcjȩ F można zawsze odwrócić w nastȩpuj acy sposób: F 1 (y) = min{x : F (x) y} Wtedy analogicznie otrzymujemy Wniosek Jeśli Y ma rozkład jednostajny na [0, 1], to X = F 1 (Y ) ma rozkład o dystrybuancie F, przy założeniu, że F jest ci agła Rozkłady ł aczne i brzegowe Rozkłady ł aczne służ a do opisu wektora zmiennych losowych (X 1,..., X n ). Rozważamy najpierw przypadek n = 2 i zamiast (X 1, X 2 ) piszemy (X, Y ). Gdy X, Y przyjmuj a wartości całkowite, określamy (ł aczn a) funkcjȩ prawdopodobieństwa. Definicja Niech X, Y Z, wtedy (ł aczn a) funkcj a prawdopodobieństwa nazywamy p (X,Y ) (i, j) = P (X = i, Y = j) określon a dla i, j Z. Przykład W pewnej populacji mȩżczyzn sklasyfikowano ich wzrost i ciȩżar. Dane ujȩto w kategoriach, dla wzrostu: kategoria wzrost 170 ± 5 180± 190 ± 5 dla ciȩżaru ciała kategoria ciȩżar 60 ± 5 70 ± 5 80 ± 5 90 ± 5 Procentowo ujȩte wyniki ł aczne przedstawiono w tabeli: wzrost\ ciȩżar % 8% 6% 0 2 8% 16% 16% 8% 3 0 8% 10% 12% 13

14 Wybieraj ac losowo osobnika z tej populacji, oznaczmy przez X jego wzrost, przez Y jego ciȩżar. Wtedy ł aczna funkcja prawdopodobieństwa p (X,Y ) (i, j), dla i = 1, 2, 3 oraz j = 0, 1, 2, 3 (poza tym zero) zawarta jest w tabelce p (X,Y ) (i, j) Oczywiście i,j p (X,Y )(i, j) = 1. W przypadku zmiennych losowych typu ci agłego definiujemy (ł aczn a) gȩstość: Definicja Para (wektor) zmiennych losowych (X, Y ) ma gȩstość f(x, y) jeśli P ((X, Y ) A) = f(x, y)dxdy A dla f : R 2 R 2, takiej, że f 0 oraz R 2 f(x, y)dxdy = 1, gdzie A jest obszarem regularnym. W szczególności, gdy A = [x, x + x] [y + y], dla małych dodatnich wartości x, y,wtedy P (x X x + x, y Y y + y) = x+ x y+ y x y f(u, v)dudv f(x, y) x y Przykład Niech f(x, y) = e y I {(x,y):0<x<y} (x, y). Wtedy f(x, y)dxdy = 1. Przykład (Rozkład jednostajny na kole). Wybieramy losowo punkt na kole jednostkowym K = {(x, y) : x 2 + y 2 1}. Niech (X, Y ) oznacza wektor jego współrzȩdnych. Wtedy gȩstość tego wektora f(x, y) = (1/π)I K (x, y) dla wszystkich x, y R. Dystrybuanta dwuwymiarowa Definicja Niech (X, Y ) bȩdzie wektorem zmiennych losowych. Dystrybuant a (X, Y ) nazywamy funkcjȩ F : R 2 [0, 1], określon a wzorem F (x, y) = P (X x, Y y) Uwaga Jeśli (X, Y ) ma gȩstość f(x, y), to F (x, y) = x y f(u, v)dydx Dla dowolnych a 1 < b 1 oraz a 2 < b 2, zwi azek P (X,Y ) ((a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ]) = P (a 1 < X b 1, a 2 < Y b 2 ) określa prawdopodobieństwo P (X,Y ) na płaszczyźnie R 2 (i σ ciele zbiorów borelowskich). Przestrzeń probabilistyczn a Ω (X,Y ) = (R 2, P (X,Y ) ) nazywamy kanoniczn a przestrzeni a probabilistyczn a wektora (X, Y ). Szansȩ uzyskania wartości w prostok acie można wyrazić przy pomocy dystrybuanty: P (a 1 < X b 1, a 2 < Y b 2 ) = F (b 1, b 2 ) + F (a 1, a 2 ) F (a 1, b 2 ) F (b 1, a 2 ) 14

15 Rozkłady brzegowe Niech (X, Y ) bȩdzie wektorem losowym takim, że X, Y Z. Z ł acznej funkcji prawdopodobieństwa p (X,Y ) można wyliczyć funkcje prawdopodobieństwa zmiennych X oraz Y jako zmiennych jednowymiarowych (tzw. rozkłady brzegowe). p X (i) = j P (X = i, Y = j) = j p (X,Y ) (i, j) p Y (j) = i P (X = i, Y = j) = i p (X,Y ) (i, j) Przykład Niech (X, Y ) ma funkcjȩ prawdopodobieństwa zadan a tabel a: p (X,Y ) (i, j) Wtedy p X (1) = 0.22, p X (2) = 0.48, p X (3) = 0.30 oraz p Y (0) = 0.16, p Y (1) = 0.32, p Y (2) = 0.32, p Y (3) = W przypadku zmiennych typu ci agłego, jeśłi (X, Y ) ma gȩstość f(x, y), to gȩstości brzegowe zadane s a przez: f X (x) = f Y (y) = R R f(x, y)dy f(x, y)dx Niezależnośc zmiennych losowych Definicja Niech X, Y Z. Zmienne X, Y s a niezależne jeśli p (X,Y ) (i, j) = p X (i)p Y (j) dla wszystkich i, j Z. Definicja Niech X, Y bȩd a typu ci agłego o gȩstości f (X,Y ). Zmienne X, Y s a niezależne jeśli f (X,Y ) (x, y) = f X (x)f Y (y) dla wszystkich x, y R. W powyższych przypadkach niezależność zmiennych jest równoważna niezależności zdarzeń A = {ω : X(ω) I 1 } i B = {ω : Y (ω) I 2 }, dla dowolnych przedziałów I 1, I 2, tzn. warunkowi P (X I 1, Y I 2 ) = P (X I 1 )P (Y I 2 ) 15

16 Przykład Niech (X, Y ) maj a funkcjȩ prawdopodobieństwa p(i, j) 1 2 p X p Y Zmienne nie sa niezależne, bo 0 = p(1, 2) p X (1)p Y (2) = Przykład Niexh (X, Y ) maj a funkcjȩ prawdopodobieństwa p(i, j) 1 2 p X p Y Zmienne X, Y s a niezależne. Przykład Niech (X, Y ) maj a gȩstość f(x, y) = ((x + y + 1)/2)I (0,1) (0,1) (x, y). Wtedy X, Y nie s a niezależne. Dla wektora n N zmiennych losowych (X 1,..., X n ) niezależność definiujemy analogicznie do przypadku n = 2. Definicja Jeśli (X 1,..., X n ) ma rozkład typu ci agłego o gȩstości f(x 1,..., x n ) wtedy X 1,..., X n s a niezależne gdy f(x 1,..., x n ) = f X1 (x 1 )...f Xn (x n ) dla wszystkich x 1,..., x n R. Definicja Jeśli (X 1,..., X n ) ma rozkład typu dystkretnego o funkcji prawdopodobieństwa p(i 1,..., i n ) wtedy X 1,..., X n s a niezależne, gdy p(i 1,..., i n ) = p X1 (i 1 )...p Xn (i n ) dla wszystkich i 1,..., i n Z. Niezależność (X 1,..., X n ) w obu przypadkach jest równoważna warunkowi P (X 1 A 1,..., X n A n ) = P (X 1 A 1 )...P (X n A n ) dla dowolnych zbiorów A 1,..., A n Sumy niezależnych zmiennych losowych Dla dyskretnych zmiennych losowych P (X + Y = k) = i P (X = i, Y = k i). Przy założeniu niezależności X, Y otrzymujemy P (X + Y = k) = i P (X = i)p (Y = k i) 16

17 Przykład Niech X bȩdzie liczb a sukcesów w n 1 próbach Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu p (0, 1). Niech Y bȩdzie niezależn a od X zmienn a losow a bȩd ac a liczb a sukcesów w n 2 próbach Bernoulliego o tym samym prawdopodobieństwie sukcesu. Wtedy X + Y ma rozkład dwumianowy b(k, n 1 + n 2, p). Przykład Jeśli X, Y s a niezależne i X P oisson(λ) oraz Y P oisson(µ), to X + Y P oisson(λ + µ). Dla zmiennych losowych typu ci agłego X f X oraz Y f Y, jeśli X, Y s a niezależne to X +Y ma gȩstość f X+Y (z) = f X (x)f Y (z x)dx = f Y (x)f X (z x)dx Przykład Niech X U[0, 1] oraz Y U[0, 1] maj a ten sam rozkład jednostajny na [0, 1]. Jeśli X i Y s a niezależne, to z gdy 0 z 1 f X+Y (z) = 2 z gdy 1 z 2 0 poza tym Wykres tej gȩstości: Przykład (Rozkład Erlanga rzȩdu n). Jeśli X 1,..., X n s a niezależne o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ > 0, to f X X n (z) = ((n 1)!/λ n 1 ) 1 z n 1 λe λz I (0, ) (z) Przykład (Proces Poissona) Niech (X 1, X 2,...) bȩdzie nieskończonym ci agiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych z parametrem λ > 0. Wtedy N(t) = max{n : X X n t}, dla dowolnego t 0 liczy ile punktów umieszczonych w odstȩpach kolejno X i, i = 1, 2,... od pocz atku układu współrzȩdnych zmieści siȩ przed t. Zbiór zmiennych losowych (N(t), t 0) nazywamy procesem Poissona. Wtedy P (N(t) = i) = (λt)i e λt i! dla i = 0, 1, 2,..., tzn. zmienne N(t) maj a rozkłady Poissona, których parametr zmienia siȩ wraz z t i równa siȩ λt. 17

18 0.5 WARTOŚĆ OCZEKIWANA Jeśli (X 1, X 2,...) jest ci agiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach, przyjmuj acych wartości ograniczone, to intuicyjnie ich średnia arytmetyczna X X n n dla dostatecznie dużych wartości n powinna być zbieżna do pewnej wartości stałej (pomyśl o rzutach monet a lub kostk a). Uściślenie tej intuicji wymagać bȩdzie określenia co to znaczy tutaj zbieżna (pojȩcie dla zmiennych losowych a nie liczb) oraz motywuje wprowadzenie wartości oczekiwanej, ktora okaże siȩ być t a graniczn a wartości a stał a zależn a jedynie od rozkładu, który jest tutaj wspólny dla wszystkich sumowanych zmiennych losowych. Precyzyjne wysłowienie tego faktu bȩdzie treści a twierdzenia zwanego Prawem Wielkich Liczb. Definicja Jeśli X jestzmienn a losow a przyjmuj ac a wartości całkowite, o funkcji prawdopodobieństwa (p(i), i Z), to wartości a oczekiwan a zmiennej X (lub wartości a oczekiwan a rozkładu p(i)) nazywamy liczbȩ oznaczan a EX, zadan a wzorem EX = ip(i) i Z o ile ta wartość istnieje. Istnienie wartości oczekiwanej skomentujemy później. Przykład Rzut monet a. Niech X = 1, gdy wypadnie orzeł, 0, gdy wypadnie reszka. EX = = 1 2. Zauważmy, że wartość 1/2 nie jest przyjmowana przez X. Przykład Rzut kostk a. EX = 3.5. Przykład Rozkład Poissona z parametrem λ. EX = λ. Definicja Jeśli zmienna X ma gȩstość f, wtedy EX = xf(x)dx o ile ta wartość istnieje. Przykład Rozkład jednostajny na [0, 1]. EX = 1/2. Przykład Gȩstość Erlanga rzȩdu n. EX = n/λ. Przykład Rozkład Cauchyego. f(x) = 1 π(1 + x 2 ) x R. Wartość oczekiwana nie istnieje. (Zmienna losowa o gȩstości symetrycznej nie musi mieć wartości oczekiwanej 0) Przypomnijmy, że x = [x] + + [x], gdzie [x] + = max(o, x) oraz [x] = min(0, x). Dla dowolnej funkcji g, R g(x)dx istnieje i jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy R [g(x)] +dx < (jest skończona) i R [g(x)] dx <. Całka R g(x)dx istnieje i jest nieskończona, gdy R [g(x)] +dx = i R [g(x)] dx < (wtedy g(x)dx = ) lub gdy R [g(x)] +dx < i R [g(x)] dx = (wtedy g(x)dx = ). W przypadku gdy R [g(x)] +dx = i R [g(x)] dx = całka R g(x)dx nie istnieje. 18

19 Przykład (Czas do równowagi) Nieskończona wartość oczekiwana pojawia siȩ w sposób bardzo naturalny: rzucamy monet a, niech H n oznacza ilość orłów w n rzutach, T n = n H n, oznacza ilość reszek w n rzutach. Czas zrównania siȩ ilości orłów i reszek po raz pierwszy możemy zdefiniować jako N = min{n : H n = T n }. EN = +. Do liczenia wartości oczekiwanej nieujemnych zmiennych losowych X o wartościach całkowitych uzyteczny jest wzór: EX = P (X n) n=1 Przykład Rozkład geometryczny na {1, 2,...}. p(i) = (1 p) i 1 p, dla p (0, 1). EX = 1/p Momenty, funkcje tworz ace Niech Y = ψ(x), dla pewnej funkcji ψ : R R. Wtedy EY = i Z ψ(i)p (X = i), dla X typu dyskretnego o wartościach całkowitych. Gdy X f ma gȩstość, to EY = ψ(x)f(x)dx. Jeśli Y przyjmuje (niekoniecznie całkowite) wartości y 1, y 2,... z prawdopodobieństwami p(1), p(2),... odpowiednio, to EY = i=1 y i p(i).\ Przykład Rzut kostk a. X liczba oczek, Y = 2 X. Przykład Momenty rozkładu jednostajnego. X U[0, 1], Y = X k dla k N. (ψ(x) = x k ). EY = 1 k+1. Definicja Dla zmiennej losowej X, wartość EX k <, k N( o ile istnieje i jest skończona) nazywamy k tym momentem X. (Wartość oczekiwana jest pierwszym momentem). Przykład Funkcja tworz aca momenty rozkładu wykładniczego. Niech X Wykładniczy (λ). Wtedy dla Y = e tx, t < λ, EY = λ λ t. Przykład Funkcja tworz aca momenty rozkładu gamma. Niexh X gamma(n, λ). Wtedy dlay = e tx, t < λ, EY = ( λ λ t )n. Definicja Dla zmiennej losowej X funkcjȩ φ X (t) = Ee tx określon a dla t R (być może o wartościach nieskończonych) nazywamy funkcj a tworz ac a momenty zmiennej X. Zw azek tej funkcji z momentami zmiennej X jest nastȩpuj acy EX k = φ (k) X (0) dla k N. Przykład Momenty rozkładu wykładniczego. X Wykładniczy (λ), wtedy EX k = k! λ k. 19

20 Definicja Dla zmiennej X o wartościach {0, 1, 2,...} funkcjȩ γ X (z) = E(z X ) = z i p(i) i=0 dla z [0, 1] nazywamy funkcj a tworz ac a. Zwi azek tej funkcji z momentami jest nastȩpuj acy γ (k) X (z) = E(X(X 1)...(X k + 1)) dla k N. Przykład Mediana rozkładu. Właściciel bufetu sprzedaje kawȩ. Dzienny popyt na kawȩ określony jest przez zmienn a X o gȩstości f. Właściciel płaci c zł za litr kawy, otrzymuje b zł (b > c) i jeśli zabraknie mu kawy traci a zł na każdym brakuj acym litrze. Ile kawy powinien on kupić, aby zmaksymalizować (w sensie wartości średniej) swój zysk. Odp.: należy kupić v litrów kawy, gdzie v jest takie, że P (X > v) = c a+b. Gdy a = b = c = 1 wartość t a nazywamy median a rozkładu zmiennej X. Definicja Niech X bȩdzie taka, ze E X <. Median a rozkładu zmiennej X jest liczba v, taka,,że E X c E X v dla wszystkich c R. Własności wartości oczekiwanej 1. E(aX + b) = aex + b, dla a, b R 2. E(X + Y ) = EX + EY 3. X Y EX EY 4. Jeśłi X 1,..., X n s a niezależne, to E(X 1...X n ) = EX 1...EX n 5. Jeśłi X 1,..., X n s a niezależne, to E(g 1 (X 1 )...g n (X n )) = Eg(X 1 )...Eg n (X n ), dla dowolnych funkcji g 1,..., g n. 6. Jeśłi X 1,..., X n s a niezależne, to φ X1 +...X n (t) = φ X1 (t)...φ Xn (t), dla funkcji tworz acych momenty Przykład Warunek E(XY ) = EXEY nie implikuje niezależności X i Y. X\Y p X /4 0 1/4 0 1 /4 1 /4 1 /4 3/4 p Y 1/4 1/2 1/4 wtedy EXY = 0 oraz EXY = EXEY, ale X, Y nie s a niezależne. Funkcje tworz ace wyznaczaj a jednoznacznie rozkłady zmiennych losowych: Jeśli φ X (t) = φ Y (t), t R, to F X = F Y. Jeśli γ X (z) = γ Y (z), z (0, 1), to p X (i) = p Y (i), i Z +. 20

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Przegląd ważniejszych rozkładów

Przegląd ważniejszych rozkładów Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

Diagramy Venna. Uwagi:

Diagramy Venna. Uwagi: Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT, wykład dr hab. A. Jurlewicz Przykłady - Lista nr : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.. Hasło potrzebne

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi od łacińskiego słowa status, które oznacza

Bardziej szczegółowo

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję. Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Wykład 4. 4.1 Proces zliczajacy

Proces Poissona. Wykład 4. 4.1 Proces zliczajacy Wykład 4 roces oissona 4.1 roces zliczajacy roces stochastyczny {N t ;t } nazywamy zliczaj acym, gdy N t jest równe całkowitej ilości zdarzeń które zdarzyły się do momentu t. rzekładami procesów zliczajacychn

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2011/2012

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2011/2012 Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu Karta Instytut Pedagogiczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 011/01 Kierunek studiów: Matematyka Profil: Ogólnoakademicki Forma

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia Wojciech Kordecki Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu Wrocław 2012 Materiał wyłącznie do użytku edukacyjnego. Reprodukcja do

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3 Analiza Algorytmów Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1 Niech k będzie dodatnią liczbą całkowitą. Rozważ następującą zmienną losową Pr[X = k] = (6/π 2

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 1. Oprocentowanie lokat i kredytów - zna pojęcie procentu prostego i składanego; - oblicza

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie

Bardziej szczegółowo

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Komisja

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2014/2015 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 STATYSTYKA

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu

Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu Moduł MF / Rachunek prawdopodobieństwa II kształcenia/ przedmiotu Kod modułu kształcenia/ przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

Bardzo często podejmujemy decyzję, nie wiedząc, co się stanie w przyszłości:

Bardzo często podejmujemy decyzję, nie wiedząc, co się stanie w przyszłości: 1 Prawdopodobieństwo Bardzo często podejmujemy decyzję, nie wiedząc, co się stanie w przyszłości: 1. Czy zainwestować pieniądze na giełdzie? 2. Czy ubezpieczyć laptop przed uszkodzeniami mechanicznymi?

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, 25.06.2009 Biomatematyka

EGZAMIN MAGISTERSKI, 25.06.2009 Biomatematyka Biomatematyka 80...... Zadanie 1. (8 punktów) Rozpatrzmy prawo Hardy ego Weinberga dla loci związanej z chromosomem X o dwóch allelach A 1 i A 2. Załóżmy, że początkowa częstość allelu A 2 u kobiet jest

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 64130 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wielomian P(x)

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 1. 3. Z 24 kart wybieramy 5. Jaka jest szansa, że otrzymamy fulla? Jaka jest szansa, że otrzymamy

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 1. 3. Z 24 kart wybieramy 5. Jaka jest szansa, że otrzymamy fulla? Jaka jest szansa, że otrzymamy Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 1 1. (rozgrzewka) Na przyjęciu urodzinowym jest n dzieci i n prezentów (przy czym każdy prezent jest inny). Na ile sposobów można rozdać prezenty dzieciom

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej

Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej RYSZARD ZIELIŃSKI Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej Zadania zweryfikowała oraz wskazówkami i rozwiązaniami uzupełniła Agata Boratyńska WARSZAWA 2004 Siedem wykładów wprowadzających

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się.

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się. 1 Wstęp Będziemyrozważaćgeneratorytypux n+1 =f(x n,x n 1,...,x n k )(modm). Zakładamy,żeargumentamifunkcjifsąliczbycałkowitezezbioru0,1,...,M 1. Dla ustalenia uwagi mogą to być generatory liniowe typu:

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Wpływ stałej (odejmujemy 20) Liniowa transformacja zmiennych, cd. Liniowa transformacja zmiennych, cd. Liniowa transformacja zmiennych, cd.

Wykład 2. Wpływ stałej (odejmujemy 20) Liniowa transformacja zmiennych, cd. Liniowa transformacja zmiennych, cd. Liniowa transformacja zmiennych, cd. Wykład 2 Wpływ przekształceń Co się stanie ze średnią i odchyleniem standardowym gdy zmienimy jednostki? stopnie Celsiusza stopnie Fahrenheita dolary 1,000 dolarów wartość faktyczna odległość od minimum

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2015/2016 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 2 godz/tyg 30 = 60 godzin Rozkład materiału nauczania Temat I. LOGARYTMY

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ubezpieczenia majątkowe 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6

KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ubezpieczenia majątkowe 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6 KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ubezpieczenia majątkowe 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 5 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7.

Bardziej szczegółowo

1.Funkcja logarytmiczna

1.Funkcja logarytmiczna Kryteria oceniania z matematyki dla klasy IV TI poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 1.Funkcja logarytmiczna -potrafi obliczyć logarytm liczby dodatniej; -zna i potrafi stosować

Bardziej szczegółowo

E2 - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania

E2 - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania E - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania Parametr k = liczba trzycyfrowa dwie ostatnie cyfry to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu pierwsza cyfra to pierwsza cyfra liczby liter pierwszego imienia. Poszczególne

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 dr Przemysław Szczepaniak Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 ZLICZANIE 1.ZmiastaAdomiastaBprowadzipięćdróg.Ilomasposobamimożnaodbyćpodróż A B Apodwarunkiem,żeniemożnawracaćtąsamądrogą?

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania i jej zastosowania Tomasz Mostowski Zajęcia 31.03.2008 Plan 1 PWL 2 3 Plan PWL 1 PWL 2 3 Przypomnienie PWL Istnieje wiele wariantów praw wielkich liczb. Wspólna ich cecha jest asymptotyczne zachowanie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Sprawdź, czy wektor x 0 = (0,5,,0,0) jest rozwiązaniem dopuszczalnym zagadnienia programowania liniowego: Zminimalizować 3x 1 +x +x 3 +4x 4 +6x 5, przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa.losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; 21.05.07 Struktury danych w R c.d.

Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; 21.05.07 Struktury danych w R c.d. Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; 21.05.07 Struktury danych w R c.d. Oprócz zmiennych i wektorów strukturami danych w R są: macierze; ramki (ang. data frames); listy; klasy S3 1 Macierze Macierze

Bardziej szczegółowo