RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A."

Transkrypt

1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A. Semestr letni Poniedziałki 12:15-15:00, sala HS. Wykładowca: Ryszard Szekli, pok. 514, konsultacje: poniedziałki 10-12, terminy egzaminów: I termin , (ŚRODA) 10-13, sala HS+WS, II termin do ustalenia (wrzesień). Warunki ukończenia kursu: zaliczenie ćwiczeń: 3 sprawdziany w semestrze (3x20= 60 punktów), aktywność max 30 pkt, e-learning max 20 pkt. ocena 3.0 od 30 pkt. punkty powyżej 60 przechodzą na konto egzaminu w całości. Na listach zadań są zadania obowiązkowe (łatwe), które każdy student jest zobowiazany rozwiązać samodzielnie. Nieznajomość rozwiązania generuje punkty ujemne. Zadania oznaczone (+) na listach mogą być punktowane przez prowadzących, po zrobieniu ich przy tablicy. zdanie egzaminu pisemnego: egzamin testowy max 80 pkt.; 10 zadań testowych: możliwe odpowiedzi a,b,c,d każda prawdziwa lub nie; z ćwiczeń i wykładu. ocena 3.0 od 30 pkt. PLAN WYKŁADU: 1. WPROWADZENIE 1.1 Uwagi historyczne 1.2 Powtórka podstaw rachunku prawdopodobieństwa 2. NIEZALEŻNOŚĆ I CIAGI ZMIENNYCH LOSOWYCH 2.1 Schemat Bernoulliego 2.2 Ciagi nieskończone zmiennych niezależnych 2.3 Błądzenia losowe, prawo arcusa sinusa 2.4 Rekurencje, łańcuchy Markowa 3. ROZKŁADY 3.1 Zmienne losowe, wektory losowe 3.2 Przybliżenia rozkładów 3.3 Gȩstości i dystrybuanty 3.4 Funkcje od zmiennych losowych 3.5 Rozkłady ł aczne i brzegowe 3.6 Sumy niezależnych zmiennych losowych 4. WARTOŚĆ OCZEKIWANA, MOMENTY 4.1 Momenty i funkcje tworz ace 4.2 Wariancja i kowariancja 5. TWIERDZENIA GRANICZNE 5.1 Prawa wielkich liczb 5.2 Centralne twierdzenie graniczne 1

2 Literatura: P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, 1987 W. Feller, Wstep do rachunku prawdopodobieństwa, tom I, PWN, 1977 J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstep do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT, M. Majsnerowska: Elementarny wykład z rachunku prawdopodobieństwa z zadaniami, strona www IM D. Stirzaker, Elementary Probability, Second. ed. Cambridge R. Durrett, Elementary Probability for Applications, Cambridge

3 0.1 Wprowadzenie Zdarzenia i eksperymenty Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem możliwych wyników pewnego eksperymentu. Jeśli Ω jest zbiorem przeliczalnym, to zdarzeniem jest każdy podzbiór Ω. Zbiór zdarzeń oznaczamy F. Ogólnie, zakładamy, że F jest zamkni ety na przeliczalne sumy, przekroje i dopełnienia oraz zawiera Ω Permutacje i kombinacje W wielu przypadkach P (A) jest postaci A / Ω, gdzie A oznacza liczbȩ elementów zbioru A. Zasada mnożenia możliwości. Załóżmy, że wykonano m N eksperymentów, w których k-ty (1 k m) eksperyment ma n k N możliwych wyników, niezależnie od wyników pozostałych eksperymentów. Wtedy ł aczna ilość możliwych wyników wynosi n 1 n m. Permutacje. Z n N elementów można wybrać k (1 k n) elementów ustawionych kolejno na P n,k = n (n 1) (n k + 1) = sposobów. n! (n k)! Kombinacje. Z n N elementów można wybrać k (1 k n) elementów, bez rozróżniania ich kolejności na C n,k = sposobów. n! (n k)!k! = ( ) n k Przykład Zastosowanie C n,k we wzorze dwumianowym dla (a + b) 4. Twierdzenie dwumianowe. Przyjmuj ac 0! = 1, dla każdego a, b R i n N zachodzi: ( ) n n (a + b) n = a k b n k. k k=0 Przykład Prakyczny sposób wyliczania współczynników ( n k),trójk at Pascala:. ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + k k 1 k

4 Współczynniki wielomianowe. Z n N elementów można wybrać m podzbiorów o liczebnościach n 1, n 2,..., n m (n n m = n) na n! n 1! n m! sposobów. Zachodzi wzór: (x x m ) n = {n 1 + +n m =n} n! n 1! n m! xn 1 1 xnm m Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo P jest funkcj a przyporz adkowuj ac a zdarzeniom liczby takie, że (i) Dla A Ω, 0 P (A) 1. (ii) P (Ω) = 1. Dla każdego ci agu {A i } (skończonego lub nieskończonego) zdarzeń rozł acznych P ( i A i ) = i P (A i ). Uwaga Nie dla wszystkich zbiorów Ω można znaleźć nietrywialn a funkcjȩ P o powyższych własnościach, określon a na wszystkich podzbiorach Ω na przykład Ω := [0, 1] oraz P ((a, b]) = b a, 0 a b 1 jest naturaln a funkcj a prawdopodobieństwa na tym zbiorze, jednakże nie można t a funkcj a zmierzyć wszystkich podzbiorów Ω (istniej a zbiory niemierzalne ). Rozważania ogranicza siȩ wtedy do podklasy mierzalnych zbiorów (zdarzeń), które tworz a σ ciało zdarzeń. W przypadku, gdy Ω jest zbiorem przeliczalnym takie trudności nie wystȩpuj a i wtedy wszystkie podzbiory Ω s a mierzalne. Własności wynikaj ace z określenia prawdopodobieństwa: 1. P (A c ) = 1 P (A) 2. P ( ) = 0 3. Jeśli A B, to P (A) P (B) 4. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 5. P ( i A i) i P (A i) 6. Jeśli A 1 A 2 i A = i A i, to P (A i ) i P (A). 7. Jeśli A 1 A 2 i A = i A i, to P (A i ) i P (A). 4

5 0.1.4 Prawdopodobieństwo sumy Zachodzi wzór n n P ( A i ) = P (A i ) P (A i A j ) + i=1 i=1 i<j Nierówności Bonferroniego. n P ( A i ) i=1 n P (A i ) i=1 i<j<k n n P ( A i ) P (A i ) P (A i A j ) i=1 i=1 i<j n n P ( A i ) P (A i ) P (A i A j ) + i=1 i=1 i<j i<j<k P (A i A j A k ) + + ( 1) n+1 P (A 1 A n ) P (A i A j A k ) Wybieranie z urny kolorowych kul jest matematyczn a idealizacj a wielu eksperymentów, w których losowo wybiera siȩ skończon a ilość obiektów różnych typów. Model urnowy. W urnie znajduje siȩ M kul czerwonych i N kul czarnych. Wyci agamy z urny n kul bez zwracania ich. Wtedy prawdopodobieństwo, że wyci agniemy r kul czerwonych wynosi )( N ) ( M r n r ( M+N ) n gdzie dla j < 0 lub j > m przyjmujemy ( m j ) = 0. Przykład (Lotto). Wybieramy 6 liczb ze zbioru {1,..., 54}. 1 nagroda to 6 trafionych, 2 nagroda to 5 trafionych, 3 nagroda 4 trafione. Jakie s a prawdopodobieństwa zdobycia tych nagród? Przykład (Kontrola jakości). Wyprodukowano M żarówek, w tym N wadliwych. Testujemy n żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie testowane żarówki s a dobre? Przykład (Wnioskowanie o wielkości populacji). Student biologii złowił w stawie 60 wodnych chrz aszczy, oznaczył farb a i wypuścił. Po pewnym czasie wrócił i złowił 50 chrz aszczy, w tym znajduj ac 12 oznaczonych farb a. Jak można oszacować wielkość populacji chrz aszczy w tym stawie? Powtarzanie eksperymentów Z urny zawieraj acej K kul ponumerowanych od 1 do K wyci agamy kolejno kule, notuj ac ich numery i zwracaj ac je do urny. Wyciagaj ac k kul, prawdopodobieństwo, że wszystkie kule maj a różne numery wynosi P K,k K k = K k + 1 K K k + 2 K K K Rzuty symetryczn a monet a. Przyjmujemy, że K = 2 (np. K = 1 oznacza orła, K = 2, oznacza reszkȩ). Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie j orłów w k rzutach wynosi ( ) k 1 j 2 k. 5

6 0.2 Prawdopodobieństwo warunkowe Istniej a dwa sposoby rozumienia zdarzeń niezależnych: potoczne i statystyczne (matematyczne). Matematyczne pojȩcie niezależności jest prost a reguł a mnożenia. Definicja Zdarzenia A i B s a niezależne gdy P (A B) = P (A)P (B). Wniosek Zdarzenia A i B o dodatnich prawdopodobieństwach, rozł aczne nie s a niezależne. 2. Ω jest zdarzeniem niezależnym od każdego innego zdarzenia. 3. Zdarzenie jest niezależne od każdego innego zdarzenia. Ci ag zdarzeń A 1,..., A n jest niezależny parami, jeśli P (A i A j ) = P (A i )P (A j ) dla wszystkich i j. Ci ag zdarzeń A 1,..., A n jest niezależny, jeśli P (A i1 A ik ) = P (A i1 ) P (A ik ), dla wszystkich i 1 < i 2 < < i k. Przykład (Rozkład wielomianowy). Przypuśćmy, że kostka do gry ma 1 na trzech ścianach, 2 na dwóch ścianach i 3 na jednej ścianie. Rzucamy tak a kostk a 10 razy. Wyliczamy prawdopodobieństwo uzyskania 5 razy 1, 3 razy 2 i 2 razy 3: 10! 5!3!2! (1/2)5 (1/3) 3 (1/6) 2 Ogólnie, wykonuj ac n niezależnych prób o możliwych k wynikach, przy czym prawdopodobieństwo wyniku typu i (i = 1,..., k) wynosi odpowiednio p i, prawdopodobieństwo uzyskania n 1 wyników typu 1, n 2 wyników typu 2,..., n k wyników typu k (n n k = n) dane jest wzorem n! n 1!...n k! pn pn k k Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe Definicja Dla dowolnego zdarzenia A Ω, takiego, że P (A) > 0 prawdopodobieństwem warunkowym przy warunku A nazywamy funkcjȩ prawdopodobieństwa P ( A) określon a na Ω nastepuj acym wzorem P (B A) = P (A B) P (A) dla zdarzeń B Ω. Łatwo sprwadzić, że P ( A) ma wymagane własności funkcji prawdopodobieństwa: 0 P (B A) 1, dla każdego zdarzenia B Ω, 6

7 P (B 1 B 2 A) = P (B 1 A) + P (B 2 A), dla dowolnych rozł acznych zdarzeń B 1, B 2. P (Ω A) = 1 Zauważmy, że wtedy również P (A A) = 1, to znaczy masa prawdopodobieństwa warunkowego skupiona jest na zdarzeniu wzglȩdem którego warunkujemy. Przykład Wartość P ( A) dla każdego B niezależnego od A pokrywa siȩ z wartościa wyjściowego prawdopodobieństwa P tzn. P (B A) = P (B). Rozwiazanie w powyższym przykładzie można uogólnić. Jeśli B 1,..., B k stanowi a rozbicie rozł aczne Ω, tzn. Ω = B 1... B k oraz B 1... B k =, to zachodzi wzór na prawdopodobieństwo całkowite k P (A) = P (A B i )P (B i ) i=1 dla każdego zdarzenia A Ω Reguła Bayesa Rozwi azanie w powyższym przykładzie sugeruje ogólny wzór: Wzór Bayesa Jeśli B 1,..., B k stanowi a rozbicie rozł aczne Ω, tzn. Ω = B 1... B k oraz B 1... B k =, oraz P (A) > 0, P (B i ) > 0 to P (B i A) = P (B i )P (A B i ) kj=1 P (A B j )P (B j ) dla dowolnego i = 1,..., k. 0.3 NIEZALEŻNOŚĆ: Ciagi Schemat Bernoulliego Przykład (Rozkład dwumianowy). Powtarzamy pewien eksperyment o możliwych wynikach: sukces (S) lub porażka (P), n razy. Jak zdefiniować prawdopodobieństwo P na Ω = {ω = (W 1,..., W n ) : W i {S, P }, i = 1,..., n} gdzie W i oznacza wynik i-tej próby, tak aby zdarzenia : w i -tej próbie sukces, oraz : w i + j- tej próbie porażka (dla wszystkich 1 i < i + j n) były niezależne? Prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w n próbach równa siȩ wtedy ( ) n p k (1 p) n k k gdzie p (0, 1) jest prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie. Przykład (Rozkład geometryczny). Rzucamy kostk a do chwili uzyskania 6. Niech N oznacza ilość potrzebnych rzutów. Wtedy P (N = k) = (5/6) k (1/6). (k = 1, 2,...). Ogólnie liczba prób N potrzebna do uzyskania pierwszego sukcesu jest wielkości a losow a, dla której P (N = k) = (1 p) k 1 p, gdzie p (0, 1) jest prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie oraz k = 1, 2,... 7

8 Przykład (Ujemny rozkład dwumianowy). Powtarzamy próby o możliwych wynikach sukces (S), porażka (P), do czasu uzyskania dokładnie k sukcesów. Wtedy dla T k, liczby potrzebnych prob zachodzi ( ) m + k 1 P (T k = m + k) = (1 p) m p k m dla dowolnego k = 1, 2,... oraz m = 0, 1, 2, Istnienie nieskończonego ci agu zmiennych losowych niezależnych Niech Ω = [0, 1], P = (miara Lebesgue a, miara długości). Zdarzeniami bȩd a wszystkie zbiory borelowskie w [0, 1]. Dla dowolnego ω [0, 1] niech ω = Z Z Z bedzie rozwiniȩciem dwójkowym (dla 3 jednoznaczności przyjmujemy rozwiniecia o skończonej ilości jedynek, jeśli takie s a dopuszczalne). Wtedy ci ag (Z 1, Z 2,...) jest ci agiem niezależnych zmiennych losowych o wartościach 0 i 1. Uzasadnienie: Wystarczy pokazać, że P (Z 1 = d 1,..., Z n = d n ) = P (Z 1 = d 1 )...P (Z n = d n ) dla dowolnego układu zer i jedynek d = (d 1,..., d n ), (d i {0, 1}). Niech A d = {Z 1 = d 1,..., Z n = d n } wtedy Ω = d A d jest rozł aczn a sum a 2 n zbiorów, gdzie sumowanie jest po wszystkich układach zer i jedynek na n miejscach. Rozpatrzmy dwa dowolne takie układy d, d. Niech n d T d,d (ω) i = ω + d i 2 i i=1 dla ω [0, 1]. Wtedy oczywiście T d,d (A d ) = A d, a ponieważ T d,d jest przesuniȩciem i w zwi azku z tym nie zmienia miary P zbioru A d, tzn. P (A d ) = P (T d,d (A d )) = P (A d ), wynika st ad, że wszystkie zbiory A d maj a to samo prawdopodobieństwo niezależnie od indeksu d. Ponieważ jest ich 2 n i w sumie daj a one Ω, wnioskujemy, że P (A d ) = 1 2 dla każdego d. Mamy wiȩc P (Z n 1 = d 1,..., Z n = d n ) = P (A d ) = 1 2. n Zauważmy teraz, że P (Z 1 = d 1 ) = 1/2, bo wystarczy podstawić n = 1 w poprzedniej równości. Ponadto P (Z 2 = d 2 ) = P (Z 1 = 0, Z 2 = 2)+P (Z 1 = 1, Z 2 = d 2 ) = 1/4+1/4 = 1/2, wykorzystuj ac tȩ sam a równość dla n = 2. Rozumujac przy pomocy indukcji matematycznej otrzymujemy ogólnie P (Z n = d n ) = 1/2, a st ad warunek niezależności bezpośrednio wynika. Aby skonstruować ci ag niezależnych zmiennych losowych o rozkładach dowolnych przy użyciu ci agu (Z 1, Z 2,...) ustawiamy go w tablicȩ (Z ik ) i=1,2,...k=1,2,.... Niech teraz U i = Z ik /2 k k=1 Wtedy (U 1, U 2,...) tworz a ci ag niezależnych zmiennych losowych o rozkładach jednostajnych na [0, 1]. Rzeczywiście dla x [0, 1] [x2 ] N gdzie P (U i x) = lim N P (U N i U N i = N Z ik /2 k k=1 x) = lim N 2 N = x Bior ac teraz X i = F 1 (U i ), dla dowolnej ci agłej dystrybuanty F otrzymujemy ciag (X 1, X 2,...) niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie o dystrybuancie F. 8

9 0.3.3 Łańcuchy Markowa, rekurencje Przykład (Łańcuch Markowa o 2 stanach). Załóżmy, że na rynku s a dwa typy pasty do zȩbów: a, b. Klienci kupuj a przy każdym nastȩpnym zakupie pasty ten sam typ z prawdopodobieństwem 3/4 oraz inny typ z prawdopodobieństwem 1/4. Załóżmy, że f k procent klientów przy k-tym zakupie kupuje typ pasty a. Wyliczamy kolejne wartości f k dla k > 1, zakładaj ac, że f 1 = 1/3. Zachodzi f k = (3/4)f k 1 + (1/4)(1 f k 1 ) oraz f k 1/2, gdy k Rekurencje Przykład (Ruina gracza). Rozważmy grȩ, w której wygrywamy 1 z prawdopodobieństwem p (0, 1), przegrywamy 1 z prawdopodobieństwem q = 1 p. Zaczynamy maj ac 50 i kończymy maj ac 100 lub gdy stracimy wszystko. Wyliczamy prawdopodobieństwo zakończenia gry maj ac 100. Zachodzi rekurencja a i = pa i+1 + qa i 1 dla a i prawdopodobieństwa, że kończymy maj ac 100, przy kapitale pocz atkowym 1 i 99, przy czym a 0 = 0, a 100 = 1. Otrzymujemy a i = 1 ( q p )100 1 ((q p )i 1) Wprzypadku ruletki p = 18/38 = , wtedy a 50 = (ok. 5 razy na tysi ac gier wygramy). Przykład Grześ i Andrzej kolejno rzucaj a monet a. Jeśli wypada orzeł wygrywa Andrzej i dostaje od Grzesia 1, jesli wypada reszka wygrywa Grześ i dostaje od Andrzeja 1. Poczatkowo Grześ ma 50, Andrzej 25. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Andrzej straci wszystko? Niech a i oznacza prawdopodobieństwo, że Andrzej straci wszystko, w sytuacji gdy Grześ ma i, a Andrzej 75 i, dla 1 i 74. Przyjmujemy a 0 = 0, a 75 = 1. Zachodzi rekurencja a i = (1/2)a i+1 + (1/2)a i 1 Znajdujemy a i = i/75. St ad Andrzej przegra z prawdopodobieństwem 50/75=2/ Rozkłady Zmienne losowe Definicja Niech Ω bȩdzie zbiorem przeliczalnym. Funkcjȩ X : Ω R nazywamy rzeczywist a zmienn a losow a. Definicja Dla zmiennej losowej X przyjmujacej wartości całkowite, ciag p X (i) = P (X = i) nazywamy funkcj a prawdopodobieństwa zmiennej losowej X (i Z). Każdy ci ag liczbowy {p(i)} i Z o własnościach 1. 0 p(i) 1, i Z 2. i Z p(i) = 1 9

10 jest funkcj a prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej. Uwaga Ci ag {p X (i)} wyznacza funkcjȩ prawdopodobieństwa P X na Z poprzez równość: P X (A) = i A p X (i) określon a dla każdego A Z. Parȩ (Z, P X ) nazywamy kanoniczn a przestrzeni a probabilistyczn a zmiennej X. Przykład (Rozkład hipergeometryczny). W urnie jest M czerwonych i N czarnych kul. Wyci agamy n kul. Niech R oznacza ilość czerwonych kul spośród n wyci agnietych kul. Wtedy p R (r) = P (R = r) = ( M )( N ) r n r ( M+N ) n dla r = 0,..., n. Pozostałe wartości p R (r) przyjmujemy, że s a równe Przybliżenie rozkładu dwumianowego Przykład (Rozkład Poissona). Niech dla λ > 0 λ λi p λ (i) = e i! dla i = 0, 1,..., poza tym 0. Ci ag ten ma własności funkcji prawdopodobieństwa. Nazywamy go rozkładem Poissona z parametrem λ. Rozkład Poissona odgrywa ważn a rolȩ jako przybliżenie innych rozkładów. Przykład Niech S n oznacza liczbȩ sukcesów w n próbach Bernoulliego, przy czym załóżmy, że prawdopodobieństwo sukcesu w n próbach równa siȩ p n (może zmieniać siȩ wraz z ilości a prób). Wtedy wiadomo, że P (S n = k) = ( n k) p k n (1 p n ) n k. Jeśli np n λ > 0, to P (S n = k) p λ (k) przy n, dla każdego k N. Rozkład Poissona stanowi dobre przybliżenie rozkładu dwumianowego, o małym prawdopodobieństwie sukcesu, ale o dużej ilości prób, przy czym pn = λ Gȩstości i dystrybuanty Definicja Zmienna losowa X ma rozkład (absolutnie) ci agły o gȩstości f X : R R gdy P (a X b) = b dla każdego a b R. a f X (y)dy Oczywiście f X(x)dx = 1, zawsze pole pod wykresem gȩstości równa siȩ 1. Uwaga Dla każdej funkcji f nieujemnej, rzeczywistej, takiej, że losowa taka, że f jest jej gȩstości a prawdopodobieństwa. 10 f(x)dx = 1,istnieje zmienna

11 Przykład (Gȩstość Pareto) f(x) = { (α 1)x α gdy x 1 0 poza tym gdzie α > 1 jest parametrem rozkładu. Przykład (Rozkład wykładniczy). f(x) = { λe λx dla x 0 0 poza tym gdzie λ > 0 jest parametrem rozkładu. Przykład (Rozkład standardowy normalny) f(x) = (1/ 2 2π)e x2 /2 gdzie x R. (Dowód, że jest to gȩstość na wykładzie) Bardziej uniwersalnym niż gȩstość probabilistycznym opisem zmiennych losowych jest dystrybuanta. Definicja Dystrybuant a zmiennej losowej X, nazywamy funkcjȩ F X (x) = P (X x) dla x R. Dystrybuanta ma nastȩpuj ace własności: 1. F X jest niemalej aca 2. F X (x) 1, gdy x 3. F X (x) 0, gdy x 4. F X jest prawostronnie ci agła Uwaga Gdy zmienna losowa X ma gȩstość f X,to F X (x) = x f X(y)dy. Przykład (Dystrybuanta Pareto). Gȩstość Pareto f(x) = (α 1)x α I [1, ) (x). Wyliczamy : F (x) = (1 x (α 1) )I [1, ) (x) Uwaga Szansa, że wartości zmiennej losowej X zawarte bȩd a w przedziale [a, b], gdzie a b, można wyrazić przy pomocy dystrybuanty nastȩpuj aco P (a X b) = F (b) F (a) Przykład (Dystrybuanta wykładnicza). Ponieważ gȩstość f(x) = λe λx I [0, ) (x), otrzymujemy F (x) = (1 e λx )I [0, ) (x). 11

12 Uwaga Funkcjȩ F (x) = 1 F (x), x R, nazywamy ogonem dystrybuanty F. W teorii niezawodności F nazywana jest funkcj a niezawodności, gdyż F (x) = P (X > x), można interpretować jako prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy maszyny, gdzie X oznacza wtedy losowy czas pracy maszyny. Przykład (Własność braku pamiȩci rozkładu wykładniczego). Jeśli X to ma rozkład wykładniczy, P (X > t + s X > t) = P (X > s) dla dowolnych t, s 0. Interpretacja: szansa, że dalszy czas pracy maszyny przekroczy s, jeśli maszyna jest sprawna do czasu t, jest taka sama jak szansa, że nowa maszyna przepracuje conajmniej s. Wzór ten można równoważnie zapisać jako F (t + s) = F (t)f (s). Przykład (Dystrybuanta dyskretna). Niech X bȩdzie zmienn a losow a przyjmuj ac a wartości 0, 1, 2, 3, z prawdopodobieństwami odpowiednio 1/8, 3/8, 3/8, 1/8. Odpowiedni a funkcjȩ prawdopodobieństwa można opisać tabelk a (poza tym zero) i p(i) 1/8 3/8 3/8 1/8 Dystrybuanta odpowiadaj aca tej funkcji prawdopodobieństwa może być zapisana na wiele sposobów: F (x) = i x p(i) lub F (x) = p(i) i (,x] lub F (x) = 1 8 I [0,1)(x) I [1,2)(x) I [2,3)(x) + I [3, ) (x) lub F (x) = 1 8 I [0, )(x) I [1, )(x) I [2, )(x) I [3, )(x) Funkcje od zmiennych losowych Niech Y = ψ(x), dla pewnej zmiennej losowej X, o gȩstości f i funkcji (mierzalnej) ψ : R R.. Obliczymy gȩstość zmiennej Y. Przykład Niech X bȩdzie zmienn a o rozkładzie wykładniczym oraz ψ(x) = x 2. Wtedy F Y (y) = (1 e λ 2 y )I [0, ) (y) oraz f Y (y) = (λ/2 2 y)e λ 2 y I (0, ) (y) Ogolnie, jeśli ψ jest róózniczkowalna i ściśle rosn aca na zbiorze wartości zmiennej X, to Y = ψ(x) ma gȩstość f Y (y) = f X (ψ 1 (y))(ψ 1 ) (y) 12

13 Przykład (Niestandardowy rozklad normalny). Niech X ma rozkład standardowy normalny oraz ψ(x) = σx + µ,dla σ > 0, µ R. Wtedy Y = σx + µ ma rozkład o gȩstości f Y (y) = (1/ 2 2πσ 2 )e (x µ)2 /2σ 2 Rozkład ten (lub zmienne o tym rozkładzie) oznaczamy N(µ, σ). Wniosek Jeśli Y ma rozkład normalny N(µ, σ), to X = (Y µ)/σ ma rozkład N(0, 1). Przykład (Rozkład jednostajny). Niech X ma rozkład standardowy wykładniczy oraz ψ(x) = (1 e x )I [0, ) (x). Wtedy Y = ψ(x) ma rozkład jednostajny na [0, 1], tzn. f Y (y) = I [0,1) (y). Ogólnie, jeśli X ma dystrybuantȩ F o gȩstości f, to Y = F (X) ma rozkład jednostajny na [0, 1]. Ci agł a funkcjȩ F można zawsze odwrócić w nastȩpuj acy sposób: F 1 (y) = min{x : F (x) y} Wtedy analogicznie otrzymujemy Wniosek Jeśli Y ma rozkład jednostajny na [0, 1], to X = F 1 (Y ) ma rozkład o dystrybuancie F, przy założeniu, że F jest ci agła Rozkłady ł aczne i brzegowe Rozkłady ł aczne służ a do opisu wektora zmiennych losowych (X 1,..., X n ). Rozważamy najpierw przypadek n = 2 i zamiast (X 1, X 2 ) piszemy (X, Y ). Gdy X, Y przyjmuj a wartości całkowite, określamy (ł aczn a) funkcjȩ prawdopodobieństwa. Definicja Niech X, Y Z, wtedy (ł aczn a) funkcj a prawdopodobieństwa nazywamy p (X,Y ) (i, j) = P (X = i, Y = j) określon a dla i, j Z. Przykład W pewnej populacji mȩżczyzn sklasyfikowano ich wzrost i ciȩżar. Dane ujȩto w kategoriach, dla wzrostu: kategoria wzrost 170 ± 5 180± 190 ± 5 dla ciȩżaru ciała kategoria ciȩżar 60 ± 5 70 ± 5 80 ± 5 90 ± 5 Procentowo ujȩte wyniki ł aczne przedstawiono w tabeli: wzrost\ ciȩżar % 8% 6% 0 2 8% 16% 16% 8% 3 0 8% 10% 12% 13

14 Wybieraj ac losowo osobnika z tej populacji, oznaczmy przez X jego wzrost, przez Y jego ciȩżar. Wtedy ł aczna funkcja prawdopodobieństwa p (X,Y ) (i, j), dla i = 1, 2, 3 oraz j = 0, 1, 2, 3 (poza tym zero) zawarta jest w tabelce p (X,Y ) (i, j) Oczywiście i,j p (X,Y )(i, j) = 1. W przypadku zmiennych losowych typu ci agłego definiujemy (ł aczn a) gȩstość: Definicja Para (wektor) zmiennych losowych (X, Y ) ma gȩstość f(x, y) jeśli P ((X, Y ) A) = f(x, y)dxdy A dla f : R 2 R 2, takiej, że f 0 oraz R 2 f(x, y)dxdy = 1, gdzie A jest obszarem regularnym. W szczególności, gdy A = [x, x + x] [y + y], dla małych dodatnich wartości x, y,wtedy P (x X x + x, y Y y + y) = x+ x y+ y x y f(u, v)dudv f(x, y) x y Przykład Niech f(x, y) = e y I {(x,y):0<x<y} (x, y). Wtedy f(x, y)dxdy = 1. Przykład (Rozkład jednostajny na kole). Wybieramy losowo punkt na kole jednostkowym K = {(x, y) : x 2 + y 2 1}. Niech (X, Y ) oznacza wektor jego współrzȩdnych. Wtedy gȩstość tego wektora f(x, y) = (1/π)I K (x, y) dla wszystkich x, y R. Dystrybuanta dwuwymiarowa Definicja Niech (X, Y ) bȩdzie wektorem zmiennych losowych. Dystrybuant a (X, Y ) nazywamy funkcjȩ F : R 2 [0, 1], określon a wzorem F (x, y) = P (X x, Y y) Uwaga Jeśli (X, Y ) ma gȩstość f(x, y), to F (x, y) = x y f(u, v)dydx Dla dowolnych a 1 < b 1 oraz a 2 < b 2, zwi azek P (X,Y ) ((a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ]) = P (a 1 < X b 1, a 2 < Y b 2 ) określa prawdopodobieństwo P (X,Y ) na płaszczyźnie R 2 (i σ ciele zbiorów borelowskich). Przestrzeń probabilistyczn a Ω (X,Y ) = (R 2, P (X,Y ) ) nazywamy kanoniczn a przestrzeni a probabilistyczn a wektora (X, Y ). Szansȩ uzyskania wartości w prostok acie można wyrazić przy pomocy dystrybuanty: P (a 1 < X b 1, a 2 < Y b 2 ) = F (b 1, b 2 ) + F (a 1, a 2 ) F (a 1, b 2 ) F (b 1, a 2 ) 14

15 Rozkłady brzegowe Niech (X, Y ) bȩdzie wektorem losowym takim, że X, Y Z. Z ł acznej funkcji prawdopodobieństwa p (X,Y ) można wyliczyć funkcje prawdopodobieństwa zmiennych X oraz Y jako zmiennych jednowymiarowych (tzw. rozkłady brzegowe). p X (i) = j P (X = i, Y = j) = j p (X,Y ) (i, j) p Y (j) = i P (X = i, Y = j) = i p (X,Y ) (i, j) Przykład Niech (X, Y ) ma funkcjȩ prawdopodobieństwa zadan a tabel a: p (X,Y ) (i, j) Wtedy p X (1) = 0.22, p X (2) = 0.48, p X (3) = 0.30 oraz p Y (0) = 0.16, p Y (1) = 0.32, p Y (2) = 0.32, p Y (3) = W przypadku zmiennych typu ci agłego, jeśłi (X, Y ) ma gȩstość f(x, y), to gȩstości brzegowe zadane s a przez: f X (x) = f Y (y) = R R f(x, y)dy f(x, y)dx Niezależnośc zmiennych losowych Definicja Niech X, Y Z. Zmienne X, Y s a niezależne jeśli p (X,Y ) (i, j) = p X (i)p Y (j) dla wszystkich i, j Z. Definicja Niech X, Y bȩd a typu ci agłego o gȩstości f (X,Y ). Zmienne X, Y s a niezależne jeśli f (X,Y ) (x, y) = f X (x)f Y (y) dla wszystkich x, y R. W powyższych przypadkach niezależność zmiennych jest równoważna niezależności zdarzeń A = {ω : X(ω) I 1 } i B = {ω : Y (ω) I 2 }, dla dowolnych przedziałów I 1, I 2, tzn. warunkowi P (X I 1, Y I 2 ) = P (X I 1 )P (Y I 2 ) 15

16 Przykład Niech (X, Y ) maj a funkcjȩ prawdopodobieństwa p(i, j) 1 2 p X p Y Zmienne nie sa niezależne, bo 0 = p(1, 2) p X (1)p Y (2) = Przykład Niexh (X, Y ) maj a funkcjȩ prawdopodobieństwa p(i, j) 1 2 p X p Y Zmienne X, Y s a niezależne. Przykład Niech (X, Y ) maj a gȩstość f(x, y) = ((x + y + 1)/2)I (0,1) (0,1) (x, y). Wtedy X, Y nie s a niezależne. Dla wektora n N zmiennych losowych (X 1,..., X n ) niezależność definiujemy analogicznie do przypadku n = 2. Definicja Jeśli (X 1,..., X n ) ma rozkład typu ci agłego o gȩstości f(x 1,..., x n ) wtedy X 1,..., X n s a niezależne gdy f(x 1,..., x n ) = f X1 (x 1 )...f Xn (x n ) dla wszystkich x 1,..., x n R. Definicja Jeśli (X 1,..., X n ) ma rozkład typu dystkretnego o funkcji prawdopodobieństwa p(i 1,..., i n ) wtedy X 1,..., X n s a niezależne, gdy p(i 1,..., i n ) = p X1 (i 1 )...p Xn (i n ) dla wszystkich i 1,..., i n Z. Niezależność (X 1,..., X n ) w obu przypadkach jest równoważna warunkowi P (X 1 A 1,..., X n A n ) = P (X 1 A 1 )...P (X n A n ) dla dowolnych zbiorów A 1,..., A n Sumy niezależnych zmiennych losowych Dla dyskretnych zmiennych losowych P (X + Y = k) = i P (X = i, Y = k i). Przy założeniu niezależności X, Y otrzymujemy P (X + Y = k) = i P (X = i)p (Y = k i) 16

17 Przykład Niech X bȩdzie liczb a sukcesów w n 1 próbach Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu p (0, 1). Niech Y bȩdzie niezależn a od X zmienn a losow a bȩd ac a liczb a sukcesów w n 2 próbach Bernoulliego o tym samym prawdopodobieństwie sukcesu. Wtedy X + Y ma rozkład dwumianowy b(k, n 1 + n 2, p). Przykład Jeśli X, Y s a niezależne i X P oisson(λ) oraz Y P oisson(µ), to X + Y P oisson(λ + µ). Dla zmiennych losowych typu ci agłego X f X oraz Y f Y, jeśli X, Y s a niezależne to X +Y ma gȩstość f X+Y (z) = f X (x)f Y (z x)dx = f Y (x)f X (z x)dx Przykład Niech X U[0, 1] oraz Y U[0, 1] maj a ten sam rozkład jednostajny na [0, 1]. Jeśli X i Y s a niezależne, to z gdy 0 z 1 f X+Y (z) = 2 z gdy 1 z 2 0 poza tym Wykres tej gȩstości: Przykład (Rozkład Erlanga rzȩdu n). Jeśli X 1,..., X n s a niezależne o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ > 0, to f X X n (z) = ((n 1)!/λ n 1 ) 1 z n 1 λe λz I (0, ) (z) Przykład (Proces Poissona) Niech (X 1, X 2,...) bȩdzie nieskończonym ci agiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych z parametrem λ > 0. Wtedy N(t) = max{n : X X n t}, dla dowolnego t 0 liczy ile punktów umieszczonych w odstȩpach kolejno X i, i = 1, 2,... od pocz atku układu współrzȩdnych zmieści siȩ przed t. Zbiór zmiennych losowych (N(t), t 0) nazywamy procesem Poissona. Wtedy P (N(t) = i) = (λt)i e λt i! dla i = 0, 1, 2,..., tzn. zmienne N(t) maj a rozkłady Poissona, których parametr zmienia siȩ wraz z t i równa siȩ λt. 17

18 0.5 WARTOŚĆ OCZEKIWANA Jeśli (X 1, X 2,...) jest ci agiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach, przyjmuj acych wartości ograniczone, to intuicyjnie ich średnia arytmetyczna X X n n dla dostatecznie dużych wartości n powinna być zbieżna do pewnej wartości stałej (pomyśl o rzutach monet a lub kostk a). Uściślenie tej intuicji wymagać bȩdzie określenia co to znaczy tutaj zbieżna (pojȩcie dla zmiennych losowych a nie liczb) oraz motywuje wprowadzenie wartości oczekiwanej, ktora okaże siȩ być t a graniczn a wartości a stał a zależn a jedynie od rozkładu, który jest tutaj wspólny dla wszystkich sumowanych zmiennych losowych. Precyzyjne wysłowienie tego faktu bȩdzie treści a twierdzenia zwanego Prawem Wielkich Liczb. Definicja Jeśli X jestzmienn a losow a przyjmuj ac a wartości całkowite, o funkcji prawdopodobieństwa (p(i), i Z), to wartości a oczekiwan a zmiennej X (lub wartości a oczekiwan a rozkładu p(i)) nazywamy liczbȩ oznaczan a EX, zadan a wzorem EX = ip(i) i Z o ile ta wartość istnieje. Istnienie wartości oczekiwanej skomentujemy później. Przykład Rzut monet a. Niech X = 1, gdy wypadnie orzeł, 0, gdy wypadnie reszka. EX = = 1 2. Zauważmy, że wartość 1/2 nie jest przyjmowana przez X. Przykład Rzut kostk a. EX = 3.5. Przykład Rozkład Poissona z parametrem λ. EX = λ. Definicja Jeśli zmienna X ma gȩstość f, wtedy EX = xf(x)dx o ile ta wartość istnieje. Przykład Rozkład jednostajny na [0, 1]. EX = 1/2. Przykład Gȩstość Erlanga rzȩdu n. EX = n/λ. Przykład Rozkład Cauchyego. f(x) = 1 π(1 + x 2 ) x R. Wartość oczekiwana nie istnieje. (Zmienna losowa o gȩstości symetrycznej nie musi mieć wartości oczekiwanej 0) Przypomnijmy, że x = [x] + + [x], gdzie [x] + = max(o, x) oraz [x] = min(0, x). Dla dowolnej funkcji g, R g(x)dx istnieje i jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy R [g(x)] +dx < (jest skończona) i R [g(x)] dx <. Całka R g(x)dx istnieje i jest nieskończona, gdy R [g(x)] +dx = i R [g(x)] dx < (wtedy g(x)dx = ) lub gdy R [g(x)] +dx < i R [g(x)] dx = (wtedy g(x)dx = ). W przypadku gdy R [g(x)] +dx = i R [g(x)] dx = całka R g(x)dx nie istnieje. 18

19 Przykład (Czas do równowagi) Nieskończona wartość oczekiwana pojawia siȩ w sposób bardzo naturalny: rzucamy monet a, niech H n oznacza ilość orłów w n rzutach, T n = n H n, oznacza ilość reszek w n rzutach. Czas zrównania siȩ ilości orłów i reszek po raz pierwszy możemy zdefiniować jako N = min{n : H n = T n }. EN = +. Do liczenia wartości oczekiwanej nieujemnych zmiennych losowych X o wartościach całkowitych uzyteczny jest wzór: EX = P (X n) n=1 Przykład Rozkład geometryczny na {1, 2,...}. p(i) = (1 p) i 1 p, dla p (0, 1). EX = 1/p Momenty, funkcje tworz ace Niech Y = ψ(x), dla pewnej funkcji ψ : R R. Wtedy EY = i Z ψ(i)p (X = i), dla X typu dyskretnego o wartościach całkowitych. Gdy X f ma gȩstość, to EY = ψ(x)f(x)dx. Jeśli Y przyjmuje (niekoniecznie całkowite) wartości y 1, y 2,... z prawdopodobieństwami p(1), p(2),... odpowiednio, to EY = i=1 y i p(i).\ Przykład Rzut kostk a. X liczba oczek, Y = 2 X. Przykład Momenty rozkładu jednostajnego. X U[0, 1], Y = X k dla k N. (ψ(x) = x k ). EY = 1 k+1. Definicja Dla zmiennej losowej X, wartość EX k <, k N( o ile istnieje i jest skończona) nazywamy k tym momentem X. (Wartość oczekiwana jest pierwszym momentem). Przykład Funkcja tworz aca momenty rozkładu wykładniczego. Niech X Wykładniczy (λ). Wtedy dla Y = e tx, t < λ, EY = λ λ t. Przykład Funkcja tworz aca momenty rozkładu gamma. Niexh X gamma(n, λ). Wtedy dlay = e tx, t < λ, EY = ( λ λ t )n. Definicja Dla zmiennej losowej X funkcjȩ φ X (t) = Ee tx określon a dla t R (być może o wartościach nieskończonych) nazywamy funkcj a tworz ac a momenty zmiennej X. Zw azek tej funkcji z momentami zmiennej X jest nastȩpuj acy EX k = φ (k) X (0) dla k N. Przykład Momenty rozkładu wykładniczego. X Wykładniczy (λ), wtedy EX k = k! λ k. 19

20 Definicja Dla zmiennej X o wartościach {0, 1, 2,...} funkcjȩ γ X (z) = E(z X ) = z i p(i) i=0 dla z [0, 1] nazywamy funkcj a tworz ac a. Zwi azek tej funkcji z momentami jest nastȩpuj acy γ (k) X (z) = E(X(X 1)...(X k + 1)) dla k N. Przykład Mediana rozkładu. Właściciel bufetu sprzedaje kawȩ. Dzienny popyt na kawȩ określony jest przez zmienn a X o gȩstości f. Właściciel płaci c zł za litr kawy, otrzymuje b zł (b > c) i jeśli zabraknie mu kawy traci a zł na każdym brakuj acym litrze. Ile kawy powinien on kupić, aby zmaksymalizować (w sensie wartości średniej) swój zysk. Odp.: należy kupić v litrów kawy, gdzie v jest takie, że P (X > v) = c a+b. Gdy a = b = c = 1 wartość t a nazywamy median a rozkładu zmiennej X. Definicja Niech X bȩdzie taka, ze E X <. Median a rozkładu zmiennej X jest liczba v, taka,,że E X c E X v dla wszystkich c R. Własności wartości oczekiwanej 1. E(aX + b) = aex + b, dla a, b R 2. E(X + Y ) = EX + EY 3. X Y EX EY 4. Jeśłi X 1,..., X n s a niezależne, to E(X 1...X n ) = EX 1...EX n 5. Jeśłi X 1,..., X n s a niezależne, to E(g 1 (X 1 )...g n (X n )) = Eg(X 1 )...Eg n (X n ), dla dowolnych funkcji g 1,..., g n. 6. Jeśłi X 1,..., X n s a niezależne, to φ X1 +...X n (t) = φ X1 (t)...φ Xn (t), dla funkcji tworz acych momenty Przykład Warunek E(XY ) = EXEY nie implikuje niezależności X i Y. X\Y p X /4 0 1/4 0 1 /4 1 /4 1 /4 3/4 p Y 1/4 1/2 1/4 wtedy EXY = 0 oraz EXY = EXEY, ale X, Y nie s a niezależne. Funkcje tworz ace wyznaczaj a jednoznacznie rozkłady zmiennych losowych: Jeśli φ X (t) = φ Y (t), t R, to F X = F Y. Jeśli γ X (z) = γ Y (z), z (0, 1), to p X (i) = p Y (i), i Z +. 20

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa 11 Zdarzenia Podstawowym pojȩciem rachunku prawdopodobieństwa jest przestrzeń zdarzeń elementarnych,

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

Przegląd ważniejszych rozkładów

Przegląd ważniejszych rozkładów Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 0/5 () Nazwa Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka () Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot ()

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

Wykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej

Wykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej Wykład 4, 5 i 6 Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

1 Rozklady dyskretne. Rachunek p-stwa Przeksztalcenia zmiennych losowych. 2. Rozklad dwumianowy. 3. Rozklad Poissona

1 Rozklady dyskretne. Rachunek p-stwa Przeksztalcenia zmiennych losowych. 2. Rozklad dwumianowy. 3. Rozklad Poissona Rachunek p-stwa 2010-2011 1 Rozklady dyskretne 1. Przeksztalcenia zmiennych losowych 2. Rozklad dwumianowy 3. Rozklad Poissona 4. Inne rozklady dyskretne 1 Przeksztalcenia zmiennych losowych Zmienna losowa

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 21 marca 2011 Zmienna losowa wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być na

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5 Warunki zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej: Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie

Bardziej szczegółowo

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F; Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty) Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2017 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Rachunek prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty

Bardziej szczegółowo

Informatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA

Informatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Informatyka Zbiór przykªadowych prac kontrolnych oraz przykªadowych zada«egzaminacyjnych z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Sprawdzian 1, M09-02 Zadanie 1 (1p) W rzucie dwiema kostkami obliczy prawdopodobie«stwo

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

Diagramy Venna. Uwagi:

Diagramy Venna. Uwagi: Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa WZ-ST1-AG--16/17Z-RACH. Liczba godzin stacjonarne: Wykłady: 15 Ćwiczenia: 30. niestacjonarne: Wykłady: 9 Ćwiczenia: 18

Rachunek prawdopodobieństwa WZ-ST1-AG--16/17Z-RACH. Liczba godzin stacjonarne: Wykłady: 15 Ćwiczenia: 30. niestacjonarne: Wykłady: 9 Ćwiczenia: 18 Karta przedmiotu Wydział: Wydział Zarządzania Kierunek: Analityka gospodarcza I. Informacje podstawowe Nazwa przedmiotu Rachunek prawdopodobieństwa Nazwa przedmiotu w j. ang. Język prowadzenia przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród

Bardziej szczegółowo

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

X P 0,2 0,5 0,2 0,1

X P 0,2 0,5 0,2 0,1 Zadanie 1 Zmienna losowa X ma rozkład: x -2 0 1 p 0,2 0,5 0,3 Wyznaczyć i narysować dystrybuantę tej zmiennej losowej. Zadanie 2 Zmienna losowa X ma rozkład: X -10 0 10 40 P 0,2 0,5 0,2 0,1 Podać wartość

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3. Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA. Spis pojȩċ teoretycznych

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA. Spis pojȩċ teoretycznych 1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA Spis pojȩċ teoretycznych 1. Podstawowe pojȩcia: doświadczenie losowe, zdarzenie elementarne, zdarzenie losowe, przestrzeń zdarzeń elementarnych, zbiór zdarzeń

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO dla studiów magisterskich kierunku ogrodnictwo Wykład 1 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi

Bardziej szczegółowo

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Rozdział 06: Zmienne losowe. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest

Bardziej szczegółowo

Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL?

Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL? Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa (Fizyka i Optyka) Lista zadań Marek Klonowski Wrocław 2015/16 Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL? 2. Ile jest ciągów bitowych

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Pojęcie przestrzeni probabilistycznej

Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Definicja (przestrzeni probabilistycznej) Uporządkowany układ < Ω, S, P> nazywamy przestrzenią probabilistyczną jeśli (Ω) Ω jest niepustym zbiorem zwanym przestrzenia

Bardziej szczegółowo

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp. Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (

Bardziej szczegółowo

P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.

P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne. Wykład Prawdopodobieństwo warunkowe Dwukrotny rzut symetryczną monetą Ω {OO, OR, RO, RR}. Zdarzenia: Awypadną dwa orły, Bw pierwszym rzucie orzeł. P (A) 1 4, 1. Jeżeli już wykonaliśmy pierwszy rzut i wiemy,

Bardziej szczegółowo

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008 STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT, wykład dr hab. A. Jurlewicz Przykłady - Lista nr : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.. Hasło potrzebne

Bardziej szczegółowo

5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3

5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3 LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest

Bardziej szczegółowo