Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Transkrypt

1 Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku

2

3 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa 11 Zdarzenia Podstawowym pojȩciem rachunku prawdopodobieństwa jest przestrzeń zdarzeń elementarnych, któr a najczȩściej bȩdziemy oznaczać przez W tej ksi ażce ograniczymy siȩ do przypadków, gdy jest zbiorem skończonym Dziȩki temu bȩdziemy mogli ograniczyć siȩ to prostych rozważań Elementy przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi Przestrzeń zdarzeń czȩsto zwi azana jest z jakimś eksperymentem losowym (probabilistycznym) Przykład 11 a) Przypuśćmy, że rzucamy monet a Przestrzeń zdarzeń elementarnych może być wtedy określona jako, gdzie oznacza wypadniȩcie orła, a reszki b) W przypadku rzutu dwoma (rozróżnialnymi) monetami przestrzeń zdarzeń elementarnych może być określona jako, gdzie oznacza, że wypadły dwa orły;, że na pierwszej monecie wypadł orzeł, a na drugiej reszka;, że na pierwszej reszka, a na drugiej orzeł; a, że na obu monetach wypadły reszki c) Przypuśćmy, że mamy urnȩ z sześcioma ponumerowanymi kulami, i że kule o numerach 1 i 2 s a białe, a kule o numerach 3,4,5 i 6 s a czarne Przestrzeń zdarzeń elementarnych może być zdefiniowana jako! d) Przy rzucie kostk a "# $ % #!# e) Przy rzucie dwiema (rozróżnialnymi) kostkami &(*)",+(/021)" 3+41!5 Zdarzenie *)",+( odpowiada wynikowi, gdzie na pierwszej kostce wypadło ) oczek, a na drugiej + f) Przy rzucie monet a i kostk a # " 5 " 6$ 5!$ 5 5 6$ 5!# ; na przykład! opisuje wynik, gdzie na monecie wypadł orzeł, a na kostce 6 oczek 3

4 4 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa g) W przypadku rzutu (rozróżnialnymi) monetami przestrzeń zdarzeń elementarnych może być określona jako zbiór wszystkich elementowych ci agów z wartościami lub h) Przypuśćmy, że mamy urnȩ z dwoma kulami białymi i trzema czarnymi, i że losujemy dwie kule z tej urny Oznaczmy te kule przez,,, i Przestrzeni a zdarzeń elementarnych może tu być albo zbiór dwuelementowych podzbiorów zbioru kul, lub zbiór dwuelementowych ci agów bez powtórzeń Zależy to od tego, czy bȩdziemy rozpatrywać zdarzenia, w których rozróżniamy wylosowane kule, czy nie rozróżniamy Można też rozpatrywać przestrzenie zdarzeń nie zwi azane z eksperymentem: Przykład 12 Przestrzeni a zdarzeń elementarnych może być: a) Zbiór liter lub słów wystȩpuj acych w jakimś tekście, ksi ażce lub liście b) Zbiór możliwych haseł potrzebnych do uzyskania dostȩpu do danych lub systemu Jeżeli zbiór możliwych haseł jest zbyt mały, to łatwo można złamać zabezpieczenia c) Zbiór możliwych wyliczeń algorytmu probabilistycznego (algorytmu, który korzysta z funkcji losuj acej) Dowolny podzbior nazywamy zdarzeniem Pamiętajmy, że rozważamy tylko skończone przestrzenie zdarzeń elementranych W przypadku, gdy nie jest zbiorem skończonym, konieczna jest inna definicja zdarzenia Cały zbiór nazywamy zdarzeniem pewnym, a zbiór pusty zdarzeniem niemożliwym Zdarzenia rozł aczne,, nazywamy wykluczaj acymi siȩ Zdarzenie nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia Przykład 13 a) W przykładzie 11b, z rzutem dwoma monetami, ", mamy!4 zdarzeń Zbiór jest zdarzeniem polegaj acym na tym, że na pierwszej monecie wypadł orzeł b) W przykładzie 11e, z rzutem dwoma kostkami, mamy 5 5 *$ zdarzeń Zbiór jest zdarzeniem, że suma oczek na obu kostkach wynosi 5 c) W przykładzie 11c, z kulami, " oznacza zdarzenie, że wylosowano kulȩ biał a d) Rzut czteroma monetami, przykład 11g z, zdarzenie, że na pierwszej i trzeciej monecie wypadły orły to " ", a zdarzenie, że na pierwszej " 6 i trzeciej monecie wypadło to samo to

5 12 Prawdopodobieństwo 12 Prawdopodobieństwo 5 Definicja 14 Prawdopodobieństwo, lub rozkład prawdopodobieństwa, jest funkcj a określon a na zbiorze zdarzeń (w naszym przypadku na zbiorze wszystkich podzbiorów ) Każdemu zdarzeniu przypisujemy liczbȩ rzeczywist a, jego prawdopodobieństwo Funkcja ta musi spełniać warunki: Aksjomaty prawdopodobieństwa A1) 5 dla każdego, A2),, A3) Jeżeli zdarzenia i s a rozł aczne, to Zbiór zdarzeń elementarnych wraz z określonym na nim prawdopodobieństwem bȩdziemy nazywać przestrzeni a probabilistyczn a W przypadku, gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym, wystarczy określić prawdopodobieństwa dla zdarzeń elementarnych Musz a być tylko spełnione dwa warunki: A4) $ dla każdego, A5), Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest wtedy równe Łatwo można sprawdzić, że tak zdefiniowane prawdopodobieństwo spełnia aksjomaty definicji 14 W przypadku, gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem wszystkich możliwych wyników jakiegoś eksperymentu, najczȩściej przyjmuje siȩ, że funkcja prawdopodobieństwa przypisuje, każdemu zdarzeniu elementarnemu tak a sam a wartość Mamy wtedy do czynienia z klasyczn a definicj a prawdopodobieństwa W tej ksi ażce bȩdziemy najczȩściej używać klasycznej definicji, a w razie odstȩpstwa od tej umowy, bȩdziemy to specjalnie zaznaczać Definicja 15 Rozkład prawdopodobieństwa, w którym każde zdarzenie elementarne ma takie samo prawdopodobieństwo nazywamy rozkładem jednostajnym Przykład 16 a) Dla rzutu dwoma monetami (przykład 11b możemy określić prawdopodobieństwo według klasycznej definicji: mamy wtedy, # 5 #

6 6 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa Ale oczywiście funkcja prawdopodobieństwa może być dowoln a funkcj a spełniaj ac a warunki A4 i A5 Na przykład # $ 5 " # 5 lub 5, $ 5 b) W przykładzie 12a, ze zbiorem wszystkich liter w tekście, prawdopodobieństwo może być zdefiniowane jako czȩstości wystȩpowania poszczególnych liter w tym tekście Na podstawie czȩstości wystȩpowania liter można zgadywać w jakim jȩzyku napisany jest tekst Podobnie można rozpatrywać czȩstość wystȩpowania słów w tekście i na tej podstawie zgadywać autorstwo tekstu W nastȩpuj acym twierdzeniu zebrano kilka prostych wniosków wynikaj acych z aksjomatów prawdopodobieństwa Twierdzenie 17 a) b) Jeżeli, to 1 oraz c) d) 1 Dowód: a) Z aksjomatu A3 mamy spełniaj ac a równość, a 0 jest jedyn a liczb a b) Jeżeli, to oraz, a wiȩc z aksjomatu A3 c) Mamy oraz a wiȩc z aksjomatu A3 /, a ponieważ, z wniosku 17b mamy d) wynika bezpośrednio z c) Przykład 18 (kontynuacja przykładu 13d) z czteroma monetami) Jeżeli założymy rozkład jednostajny, to prawdopodobieństwo że na pierwszej i trzeciej monecie wypadł orzeł wynosi, a prawdopodobieństwo, że na pierwszej i trzeciej monecie wypadnie to samo wynosi Podobnie w przypadku, gdy rzucamy monetami (przykład 11g) Przestrzeń zdarzȩ elementarnych zawiera ci agów, z czego sprzyja zdarzeniu, że na pierwszej i trzeciej monecie wypadnie orzeł, a sprzyja zdarzeniu, że na pierwszej i trzeciej monecie jest to samo Tak wiȩc otrzymamy takie same prawdopodobieństwa jak w przypadku rzutu czteroma monetami

7 13 Prawdopodobieństwo warunkowe i zdarzenia niezależne 7 Twierdzenie 19 Niech bȩdzie rodzin a parami rozł acznych zdarzeń ( ) dla każdej pary indeksów + ) Wtedy 3 Dowód przez indukcjȩ: Dla twierdzenie zachodzi w sposób trywialny Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej rodziny zbiorów Rozpatrzmy Ponieważ z aksjomatu A3 i z założenia indukcyjnego wynika 6 Twierdzenie 110 Dla dowolnej rodziny zbiorów mamy 1 3, (niekoniecznie parami rozł acznych) Dowód przez indukcjȩ: Dla twierdzenie zachodzi w sposób trywialny Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej rodziny zbiorów Z twierdzenia 17c i z założenia indukcyjnego mamy Prawdopodobieństwo warunkowe i zdarzenia niezależne Definicja 111 Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia pod warunkiem, że zaszło zdarzenie oznaczane przez określamy jako Ma to sens tylko wtedy gdy

8 8 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa Możemy powiedzieć, że jest to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w sytuacji, gdy mamy pewność, że zaszło zdarzenie Przy klasycznej definicji, gdy prawdopodobieństwo oznacza czȩstość wyst apienia, to prawdopodobieństwo oznacza jaka czȩść elementów zbioru należy do zbioru Wniosek 112 Jeżeli, to mówimy, że zdarzenie jest niezależne od zdarzenia W takim przypadku zajście zdarzenia nie zależy od tego, czy zaszło zdarzenie Jeżeli i s a zdarzeniami o niezerowych prawdopodobieństwach i jest niezależne od, to jest niezależne od Rzeczywiście poci aga, a to poci aga Dlatego można mówić, że w takim przypadku zdarzenia i s a niezależne Definicja 113 Mówimy, że zdarzenia i s a niezależne, jeżeli Przykład 114 (Kontynuacja przykładu 11c, z sześcioma kulami) Zdarzenie wylosowania kuli białej i zdarzenie! wylosowania kuli z parzystym numerem s a niezależne, ponieważ oraz Po prostu czȩstość wystȩpowania kuli białej wśród kul o parzystych numerach (1 na 3) jest taka sama jak czȩstość wystȩpowania kuli białej wśród wszytkich kul (2 na 6) Jeżeli mamy wiȩcej zdarzeń, to mówimy, że s a one parami niezależne,, jeżeli każde dwa zdarzenia s a niezależne, to znaczy gdy dla każdej pary ) + Definicja 115 Zdarzenia, s a niezależne jeżeli dla każdego podzbioru mamy Przykład 116 (Kontynuacja przykładu 11b, z rzutem dwoma monetami) Niech bȩdzie zdarzeniem, że na pierwszej monecie wypadł orzeł,, że na drugiej monecie wypadł orzeł, a, że na obu monetach wypadło to samo Mamy Jak widać zdarzenia te s a parami niezależne, ponieważ dla każdej pary indeksów 1 ) +1 mamy Ale zdarzenia te nie s a niezależne, ponieważ

9 14 Prawdopodobieństwo całkowite 9 Przykład 117 W przypadku rzutu monetami, niech oznacza, że na ) tej monecie wypadł orzeł Wtedy zdarzenia s a niezależne Łatwo sprawdzić, że dla każdego ),, dla każdej pary ) +, dla każdej trójki ) +,, itd prawdopodobieństwo, że wypadn a same orły, wynosi 14 Prawdopodobieństwo całkowite Twierdzenie 118 (wzór na prawdopodobieństwo całkowite) Niech bȩd a zdarzeniami takimi, że: 3, dla każdego 61) 1, 1), dla + 1 (zdarzenia s a parami rozł aczne), 0 (zdarzenia daj a w sumie cał a przestrzeń), Wtedy prawdopodobieństo dowolnego zdarzenia wynosi Dowód Mamy Ponadto 3 dla ) + wiȩc na mocy twierdzenia 19 mamy Z wniosku 112 mamy ; co daje tezȩ twierdzenia W przypadku dwóch zdarzeń uzupełniaj acych siȩ i wzór z twierdzenia 118 wygl ada nastȩpuj aco: (11)

10 10 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa Przykład 119 Wyobraźmy sobie urnȩ z trzema kulami: 1 biał a i 2 czarnymi Przypuśćmy, że pierwsza osoba wylosowała jedn a kulȩ i schowała j a Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga osoba wylosuje kulȩ biał a? Niech oznacza, że pierwsza osoba wylosowała biał a kulȩ, wtedy oznacza, że wylosowała czarn a kulȩ Niech oznacza, że druga osoba wylosowała biał a kulȩ Mamy,, oraz Razem daje to A jakie jest prawdopodobieństwo, że po drugim losowaniu w urnie zostanie biała kula? Zajdzie to wtedy, gdy obie osoby wylosuj a kulȩ czarn a Z wniosku 112 mamy Jak widać prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jest takie samo dla pierwszego, drugiego i trzeciego losuj acego Ponieważ przestrzeń zdarzeń jest tutaj mała, wiȩc można nasz wynik sprawdzić bezpośrednio Oznaczmy kule przez, i Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych bȩdzie (, Zakładamy, że każdy z tych wyników jest równie prawdopodobny Widać teraz, że zdarzenia: ", ( oraz ( " s a równo prawdopodobne Rozważmy teraz przypadek, gdy w urnie jest kul z czego białych Znowu zakładamy, że każdy wynik dwóch losowań jest równie prawdopodobny Mamy 5,, # oraz 5 Razem daje to Czyli w tym przypadku, również druga osoba ma tak a sam a szansȩ wylosowania kuli białej co pierwsza Przykład 120 Wyobraźmy sobie dwie urny z kulami W pierwszej urnie jest jedna kula biała i jedna czarna, a w drugiej urnie dwie białe i jedna czarna Rzucamy monet a Jeżeli wypadnie orzeł, to losujemy kulȩ z pierwszej urny, jeżeli reszka, to losujemy z drugiej urny Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulȩ biał a? Niech oznacza wylosowanie kuli białej, a wypadniȩcie orła na monecie, wtedy oznacza, że na monecie wypadła reszka Mamy oraz jest to prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej pod warunkiem, że wypadł orzeł i losowaliśmy z pierwszej urny 2 jest to prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej pod warunkiem, że wypadła reszka i losowaliśmy z drugiej urny Korzystaj ac teraz ze wzoru (11) mamy

11 15 Zmienna losowa 11 Zastanówmy siȩ teraz jak powinna wygl adać przestrzeń probabilistyczna w tym przykładzie Niech zawiera wszystkie możliwe wyniki eksperymentu ( " " Aby być w zgodzie z intuicj a i naszymi poprzednimi wyliczeniami rozkład prawdopodobieństwa powinien być nastȩpuj acy: (O,1b) (O,2b) (R,1b) (R,2b) (R,3c)}!!! Rozkład jednostajny nie jest w tym przykładzie dobry, bo mielibyśmy prawdopodobieństwo, wypadniȩcia orła równe 15 Zmienna losowa Definicja 121 Zmienna losowa jest to dowolna funkcja z przestrzeni zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych Trzeba tutaj przypomnieć, że w tej książce rozważamy tylko skończone przestrzenie zdarzeń elementarnych W przypadku, gdy jest zbiorem nieskończonym definicja zmiennej losowej jest inna Przykład 122 a) Rozważmy rzut monet a, (przykład 11a) Zmienna losowa jest określona tabel a O R Inny przykład to zmienna określona tabel a O R b) Rozważmy rzut dwoma monetami, (przykład 11b) " Niech i bȩd a dwoma zmiennymi losowymi określonymi w tabeli OO OR RO RR Zmienna określa wynik rzutu na pierwszszej monecie,, jeżeli wypadł orzeł, i, jeżeli wypadła reszka W podobny sposób zmienna losowa określa wynik rzutu na drugiej monecie

12 12 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa c) Rozważmy rzut monetami, (przykład 11g) Dla każdego ), 1 ) 1 określamy zmienn a ;, jeżeli na ) tej monecie wypadł orzeł, oraz, jeżeli wypadła reszka d) Rozważmy 5 $ $ "#!5 losowanie ( jednej kuli z urny zawieraj acej siedem ponumerowanych kul Niech zmienna losowa bedzie zdefiniowana jako # a zmienna losowa jako ( 3) Wartości tych dwóch zmiennych zebrane s a w tabeli jest reszt a z dzielenia numeru kuli przez 2, a Możemy teraz określić inne zmienne losowe, na przykład, Ich wartości zebrano w tabeli reszt a z dzielenia przez , e) Rozważmy rzut dwoma kostkami (przykład 11e) (*)",+( (1) 3+ 1!# Niech oznacza wynik rzutu na pierwszej kostce, wynik rzutu na drugiej kostce Wtedy zmienna określa sumȩ oczek na obu kostkach Maj ac zmienn a losow a i liczbȩ rzeczywist a definiujemy zdarzenie jako Zauważmy, że jeżeli liczba nie należy do zbioru wartości zmiennej, to zdarzenie jest zdarzeniem niemożliwym Prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi Definicja 123 Funkcjȩ nazywamy funkcj a gȩstości (rozkładu) prawdopodobieństwa zmiennej losowej

13 15 Zmienna losowa 13 5!# $ ( 5 # Zmienna losowa posiada wiȩc rozkład Podobnie zmienna ma rozkład 0 1 Przykład 124 (Kontynuacja przykładu 122d) Dla zmiennej mamy trzy niepuste zdarzenia, Ponieważ, jak założyliśmy jest zbiorem skończonym, to zbiór wartości zmiennej też jest skończony Dla mamy Tak wiȩc funkcja gȩstości przyjmuje wartości niezerowe tylko dla skończenie wielu argumentów Zauważmy, że jeżeli, to zdarzenia i wykluczaj a siȩ Mamy przy tym Lemat 125 Jeżeli jest funkcj a gȩstości zmiennej losowej, to dla każdego Dowód Sumȩ rozumiemy jako skończon a sumȩ po zbiorze wartości zmiennej Zauważmy, że ostatnia podwójna suma jest sum a po wszystkich elementach pogrupowanych według wartości zmiennej Mamy wiȩc bȩdziemy roz W dalszej czȩści przedstawiaj ac funkcjȩ gȩstości zmiennej losowej ważać tylko te, dla których Przykład 126 a) Zmienna losowa z przykładu 122a posiada rozkład 1 1

14 14 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa b) Niech oznacza sumȩ wartości oczek w rzucie dwoma kostkami, przykład 122e Gȩstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej przedstawia nastȩpuj aca tabela: !!!!!!!!!!!! Maj ac funkcjȩ gȩstości rozkładu zmiennej zdarzeń opisywanych za pomoc a zmiennej możemy określać prawdopodobieństwa Przykład 127 a) Dla zmiennej losowej z przykładu 124 mamy lub pamiȩtajmy, że zdarzenia oraz b) Dla zmiennej z przykładu 126b mamy s a rozł aczne!!! W przypadku dwóch zmiennych losowych i określonych na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych mamy tak zwany ł aczny rozkład prawdopodobieństwa, którego gȩstość jest określona jako i i jest innym zapisem zdarzenia Przykład 128 a) Ł aczny rozkład zmiennych losowych i, z przykładu 122b jest przedstawiony w tabeli b) Dla zmiennych i z przykładu 122d ł aczny rozkład prawdopodobieństwa przedstawiony jest w tabeli: Lemat 129 Niech , bȩdzie gȩstości a łacznego rozkładu zmiennych i Wtedy

15 15 Zmienna losowa 15 a) b) Dowód Zauważmy, że ponieważ Z drugiej strony Podobnie można pokazać, że i Przykład 130 Sumuj ac wiersze tabeli z przykładu 128b można otrzymać gȩstość rozkładu zmiennej, a sumuj ac kolumny gȩstość rozkładu Podobnie jak dla jednej zmiennej, maj ac gȩstość ł acznego rozkładu prawdopodobieństwa dwóch zmiennych i można obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń opisywanych przez te zmienne Przykład 131 Weźmy zmienne i z przykładu 130 Wtedy i lub i i i 6 oraz i lub i lub i

16 16 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa 16 Niezależność zmiennych losowych Definicja 132 Zmienny losowe i s a niezależne jeżeli dla każdej pary liczb, mamy lub inaczej, gdy i gdzie oznacza gȩstość rozkładu ł acznego, zmiennej gȩstość zmiennej, a gȩstość Przykład 133 Zmienne losowe i z przykładu 128a s a niezależne, natomiast zmienne i z przykładu 128b nie s a niezależne Oczywiście może być wiȩcej zmiennych losowych określonych na jednej przestrzeni Dla trzech zmiennych losowych,, ł aczny rozkład prawdopodobieństwa, zdefiniowany jest jako i i Mamy przy tym oraz na przykład i ich ł aczny rozkład prawdo W ogólnym przypadku zmiennych losowych podobieństwa określony jest jako Podobnie jak poprzednio łatwo można pokazać, że i Definicja 134 Zmienne losowe,, s a niezależne jeżeli dla każdej trójki liczb, i mamy Podobnie mamy w przypadku zmiennych losowych

17 ) 16 Niezależność zmiennych losowych 17 Definicja 135 Zmienne losowe zachodzi s a niezależne jeżeli dla każdej tki liczb Przykład 136 Wróćmy do przykładu z rzutem monetami, przykład 122c Dla każdego zmienna losowa jest równa jeżeli na ) tej monecie wypadł orzeł, i 1 jeżeli na ) tej monecie wypadła reszka Zmienne s a niezależne Pokażemy teraz, że jeżeli zmienne losowe i s a niezależne, to niezależne s a też zdarzenia opisywane przez te zmienne Dokładniej Twierdzenie 137 Niech i bȩd a niezależnymi zmiennymi losowymi, a i dowolnymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych Wtedy zdarzenia oraz s a niezależne Dowód Ponieważ zbiór wartości zmiennej elementy zbioru Niech jest skończony, możemy wypisać wszystkie 6 Podobnie niech 6, Mamy zatem dla jakiegoś ) dla jakiegoś +$ oraz istniej a )",+ takie, że oraz czyli i Ponieważ sumowane zdarzenia wykluczaj a siȩ wzajemnie mamy i

18 18 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa a ponieważ i s a niezależne ale oraz, Teza twierdzenia wynika z prostego faktu, że 17 Wartość oczekiwana, średnia Definicja 138 Wartość oczekiwana (średnia) zniennej losowej Przykład 139 Dla zmiennej losowej to liczba z przykładu 124 wartość oczekiwana wynosi Jeżeli zmienna posiada jednostajny rozkład prawdopodobieństwa, to jej wartość oczekiwana jest zwykł a średni a arytmetyczn a jej wartości W ogólnym przypadku wartość oczekiwana jest nazywana średni a ważon a Lemat 140 Dowód Jeżeli pogrupujemy wyrazy sumy, to otrzymamy według wartości zmiennej

19 17 Wartość oczekiwana, średnia 19 Przykład 141 Przypuśćmy, że mamy informacjȩ, że w jakiejś grupie studenckiej połowa studentów otrzymała ocenȩ 5 z matematyki dyskretnej, jedna trzecia otrzymała ocenȩ 4, a jedna szósta ocenȩ 3 Jaka jest średnia ocena w tej grupie? Przyjmujemy, że grupa jest przestrzeni a losow a, a zmienna losowa jest ocen a studenta Wtedy wartość oczekiwana zmiennej jest średni a ocen a w tej grupie Wniosek 142 Dla każdej zmiennej losowej istnieje zdarzenie elementarne takie, że oraz Podobnie istnieje zdarzenie takie, że 1 oraz Dowód: Udowodnimy tylko pierwsz a czȩść twierdzenia, drug a można udowodnić w podobny sposób Przypuśćmy, że dla każdego z dodatnim prawdopodobieństwemmamy Ale to prowadzi do sprzeczności!!! W przypadku klasycznej definicji wniosek 142 opisuje prosty fakt, że zawsze istnieje przynajmniej jedna wartość mniejsza od lub równa wartości średniej oraz wartość wiȩksza od lub równa średniej W poniższym twierdzeniu zebrano podstawowe własności wartości oczekiwanej Twierdzenie 143 a) b) Jeżeli jest liczb a rzeczywist a, to c) Jeżeli zmienne i s a niezależne, to d) Jeżeli, to Dowód: a) b) c)

20 20 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa Pogrupujmy składniki sumy według wartości zmiennych i d) Jeżeli dla każdego, i, to Twierdzenie 144 Wartość oczekiwana sumy zmiennych Twierdzenie 145 Jeżeli zmienne iloczynu równa siȩ, jest równa s a niezależne, to wartość oczekiwana ich Twierdzenie 146 (Nierówność Markowa) Jeżeli zmienna losowa nieujemne, to dla dowolnej liczby rzeczywistej 1 przyjmuje waretści Dowód: Zauważmy, że nierówność Markowa jest użyteczna tylko kiedy bowiem 1, to mamy trywialne oszacowanie 1 1 Jeżeli Przykład 147 Nierówność Markowa wyraża dość prosty fakt Przypuśćmy, że określa liczbȩ pieniȩdzy posiadan a przez studenta Jeżeli wartość średnia zmiennej wynosi 100 złotych, to tylko połowa studentów może mieć 200 lub wiȩcej złotych Przypuśćmy bowiem że czȩść studentów posiada 200 (lub wiȩcej) złotych Wtedy udział tej bogatej czȩści studentów w średniej wynosi co najmniej, i wartość średnia nie może wynosić 100 złotych, jeżeli zmienna ujemnych nie przyjmuje wartości

21 17 Wartość oczekiwana, średnia 21 Pokażemy teraz jak można wykorzystać prawdopodobieństwo do rozważań kombinatorycznych Udowodnimy nastȩpuj ace: Twierdzenie 148 Wierzchołki dowolnego grafu można pokolorować dwoma kolarami (białym i czarnym) w taki sposób, że przynajmniej połowa krawȩdzi ma swoje końce w różnych kolorach Zanim przejdziemy do dowodu wyjaśnjmy kilka rzeczy: Definicja 149 Graf jest to dowolny skończony zbiór wierzchołków wraz ze zbiorem krawȩdzi, gdzie krawȩdzie to pary wierzchołków %0 % 0 $ Dla krawȩdzi mówimy, że wierzchołki i s a końcami krawȩdzi lub, że krawȩdż ł aczy i Graf czȩsto przedstwiamy na rysunku jako zbiór punktów poł aczonych łukami Na przykład rysunek 11 przedstawia graf ze zbiorem wierzchołków i zbiorem krawȩdzi % % Rysunek 11: Przykład grafu Łatwo jest pokolorować każdy graf tak, aby każda krawȩdź miała oba końce w jednym kolorze Wystarczy wszystkie wierzchołki pokolorować tym samym kolorem Graf z rysunku 11 można pokolorować tak, aby każda krawȩdź była dwukolorowa Trzeba pokolorować na biało wierzchołki,, i i na czarno wierzchołki, i Ale nie dla każdego grafu jest możliwe takie pokolorowanie, w którym każda krawȩdż ma końce "# # w różnych kolorach Na # przykład dla # trójk ata, 5 # czyli grafu z wierzchołkami i krawȩdziami (patrz rysunek 12) nie istnieje takie pokolorowanie

22 22 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa Rysunek 12: Trójk at Dowód twierdzenia 148: Przypuśćmy, że graf ma wierzchołków i krawȩdzi Rozważmy przestrzeń zdarzeń elementarnych złożon a ze wszystkich możliwych pokolorowań wierzchołków grafu Jest ich 0 $ Dla każdej krawȩdzi określmy zmienn a losow a w nastȩpuj acy sposób:, jeżeli w kolorowaniu oba końce krawȩdzi maj a różne kolory i w przeciwnym przypadku, ponieważ w połowie kolorowań końce maj a różne kolory W jednej czwartej kolorowań oba końce s a białe (kolorowań, w któtych i maj a kolor biały, jest, bo na tyle sposobów można pokolorować pozostałe wierzchołków) oraz w jednej czwartej kolorowań oba s a czarne Mamy wiȩc Rozważmy teraz sumȩ zmiennych losowych Wartość zmiennej to liczba różnokolorowych krawȩdzi w kolorowaniu Ale Dlatego, zgodnie z wnioskiem 142 musi istnieć kolorowanie, dla którego Średnia liczba różnokolorowych krawȩdzi w kolorowaniu może być obliczona bez używania terminologii rachunku prawdopodobieństwa Policzmy ile we wszystkich kolorowaniach jest różnokolorowych krawȩdzi Z jednej strony jest to liczba różnokolorowych krawȩdzi w kolorowaniu Z drugiej strony liczba kolorowań, w których krawȩdź jest różnokolorowa Przedostatnia równość wynika z tego, że liczba kolorowań, w których jest różnokolorowa wynosi (połowa wszystkich) Średnia liczba różnokolorowych krawȩdzi w kolorowaniu wynosi wiȩc

23 18 Wariancja 18 Wariancja 23 Definicja 150 Wariancj a zmiennej losowej o wartości oczekiwanej nazywamy liczbȩ Wariancja jest miar a tego jak bardzo wartości zmiennej s a oddalone od średniej Im wiȩksze rozrzucenie wartości tym wiȩksza wariancja W poniższym twierdzeniu zebrano podstawowe własności wariancji Twierdzenie 151 a) b) c) d) Jeżeli zmienne i s a niezależne, to e) Jeżeli zmienne s a parami niezależne, to Dowód a) wynika z faktu, że zmienna przyjmuje tylko nieujemne wartości, b) d) ponieważ zmienne s a niezależne, to z twierdzenia 143c Z drugiej strony po odjȩciu stronami dwóch ostatnich równości Twierdzenie 152 (Nierówność Czebyszewa) Dla zmiennej losowej oraz liczby rzeczywistej mamy 1 z wartości a oczekiwan a

24 24 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa Dowód: Rozważmy zmienn a losow a Ponieważ to Stosuj ac nierówność Markowa dla zmiennej mamy 1 ale 19 Rozkład jednopunktowy Z rozkładem jednopunktowym mamy do czynienia, wtedy gdy całe prawdopodobieństwo jest skupione w jednym punkcie Definicja 153 Zmienna losowa ma rozkład jednopunktowy, jeżeli dla jekiegoś Ponieważ, to dla każdego Wartość oczekiwana zmiennej wynosi, to zmien Lemat 154 Jeżeli jakaś zmienna przyjmuje wartości nieujemne i na losowa ma rozkład jednopunktowy, to znaczy czyli dla każdego, jeżeli, to Dowód: Pokażemy, że dla każdego, jeżeli bowiem, że istnieje, takie, że twierdzenie 146, mamy 1 1, to Przypuśćmy Wtedy z nierówności Markowa, Założenie, że zmienna przyjmuje tylko wartości nieujemne jest istotne we wniosku 154 Pokazuje to nastȩpuj acy przykład

25 110 Rozkład zerojedynkowy 25 Przykład 155 Zmienna losowa ma wartość oczekiwan a Wariancja zmiennej losowej Ale i na odwrót z przykładu 126a z funkcj a gȩstości: 1 1 z rozkładem jednopunktowym wynosi Lemat 156 Jeżeli, to zmienna losowa posiada rozkład jednopunktowy Dowód Ponieważ, to z lematu 154 wynika, że Wniosek 157 Niech będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi i niech Wtedy przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ) Dowód: Niech będzie przestrzenią z jednostajnym rozkładem prawdopodobieństwa i niech będzie zmienną losową określoną wzorem *) Wtedy jest wartością oczekiwaną zmiennej, a jej wariancją, która jest nieujemna i równa zeru tylko dla rozkładu jednopunktowego 110 Rozkład zerojedynkowy Zmienna losowa ma rozkład zerojedynkowy, jeżeli prawdopodobieństwo jest skupione tylko w dwóch punktach 0 i 1 Gȩstość rozkładu prawdopodobieństwa ma wtedy postać 0 1 dla pewnych dodatnich 0 spełniaj acych warunek / Wartość oczekiwana zmiennej wynosi a wariancja

26 26 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa 111 Rozkład dwumianowy Bernoulliego Przypuśćmy, że mamy seriȩ niezależnych doświadczeń i w każdym doświadczeniu dwa możliwe wyniki: sukces z prawdopodobieństwem i porażka z prawdopodobieństwem Niech bȩdzie zmienn a losow a równ a liczbie sukcesów w tej serii Zmienna losowa posiada rozkład dwumianowy (Bernouliego) z parametrami i & Dla uproszczenia rozważań załóżmy, że Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wyst api sukces, porażka, sukces i porażka wynosi, ponieważ wyniki doświadczeń s a niezależne Dokładnie dwa sukcesy w serii czterech doświadczeń bȩdziemy mieli, jeżeli wyst api jeden z ci agów, w których na dwóch pozycjach wystȩpuj a sukcesy: (sukces, sukces, porażka, porażka), (sukces, porażka, sukces, porażka), (sukces, porażka, porażka, sukces), (porażka, sukces, sukces, porażka), (porażka, sukces, porażka, sukces), (porażka, porażka, sukces,! sukces) Takich ci agów jest, bo na tyle sposobów można wybrać dwie pozycje, na których bȩd a sukcesy Każdy z tych ci agów ma takie samo prawdopodobieństwo równe I ponieważ te ci agi s a zdarzeniami wykluczaj acymi siȩ, prawdopodobieństwo, że wyst api któryś z nich wynosi Podobnie dla dowolnego 1 1, prawdopodobieństwo, że w serii czterech doświadczeń wypadnie sukcesów wynosi W podobny sposób można uzasadnić, że dla dowolnego rozkład dwumianowy z parametrami i ma postać 5 maj acej rozkład dwu Twierdzenie 158 Wartość oczekiwana zmiennej losowej mianowy o parametrach i wynosi Dowód: Rozważmy funkcjȩ: ze wzoru Newtona mamy Zróżniczkujmy t a funkcjȩ

27 112 Krańce rozkładu dwumianowego 27 Jeżeli teraz podstawimy to otrzymamy Rozważmy ci ag niezależnych zmiennych losowych zero jedynkowym oraz Suma tych zmiennych, każda o rozkładzie ma rozkład dwumianowy o parametrach i Wartość oczekiwana, każdej ze zmiennych wynosi, wiȩc wartość oczekiwana zmiennej wynosi Wariancja zmiennej wynosi Ponieważ zmienne s a niezależne to wariancja ich sumy wynosi, mamy wiȩc Twierdzenie 159 Wariancja zmiennej losowej z rozkładem dwumianowym o parametrach i wynosi 112 Krańce rozkładu dwumianowego Twierdzenie 160 (Nierówności Chernoff a) Niech zmienna losowa posiada rozkład dwumianowy o parametrach i Oznaczmy wartość oczekiwan a tego rozkładu przez Wtedy dla dowolnej liczby rzeczywistej, 1 1, mamy 1 oraz Problem dnia urodzin Zastanówmy siȩ ile osób musi znajdować siȩ w pokoju, aby była duża szansa, że dwie osoby maj a urodziny tego samego dnia Dla prostoty przyjmujemy, że problem dnia urodzin jest równoważnu! problemowi wylosowania ci agu liczb, każda spośród możliwości, tak aby wyst apiło w nim jakieś powtórzenie Oznaczmy przez zdarzenie przeciwne, że wszystkie wylosowane liczby s a różne Jeżeli założymy, że wszystkie ci agi s a równo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo, że otrzymamy ci ag różnowartościowy wynosi

28 1 28 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa Skorzystamy teraz z nierówności 1 1 Prawdopodobieństwo to jest mniejsze od wtedy gdy, a to zachodzi wtedy gdy! Dla, zachodzi to dla Tak wiȩc jeśli w pokoju znajduj a siȩ co najmniej 24 osoby, to z prawdopodobieństwem wiȩkszym od dwie spośród nich maj a urodziny w tym samym dniu 114 Zadania 1 Zaproponuj przestrzeń zdarzeń elementarnych dla losowania dwóch kul z urny zawieraj acej 3 kule białe i 4 czarne Przedstaw zdarzenie, że wylosowano: a) dwie kule białe, b) kule w różnych kolorach 2 Zaproponuj przestrzeń zdarzeń elementarnych dla ustawienia czterech liter,, i w ci ag Przedstaw zdarzenie, że a) i stoj a obok siebie; b) i s a rozdzielone jedn a liter a 3 Zaproponuj przestrzeń zdarzeń elementarnych dla nastȩpuj acych doświadczeń: 4 a) Losowanie karty z talii 52 kart b) Losowanie 13 kart z talii 52 kart c) Wypełnienie kuponu totolotka d) Wypełnienie kuponu totalizatora piłkarskiego, i s a zdarzeniami Zapisać za pomoc a działań na zbiorach zdarzenia: a) zachodz a wszystkie trzy zdarzenia; b) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń, lub ; c) zachodz a dokładnie dwa ze zdarzeń,, ; d) zachodz a co najmniej dwa spośród zdarzeń,, 5 Cyfry 5 ustawiono losowo Jakie jest prawdopodobieństwo, a) że i stoj a obok siebie; b) że pomiȩdzy i stoj a dwie cyfry; c) że, i stoj a obok siebie

29 6 Pokazać, że 114 Zadania 29 7 Dane s a, i & Obliczyć, i 8 Dane s a 2 i 2, wiadomo też, że 2 Obliczyć oraz 9 W urnie s a 4 kule białe i 3 czarne Losujemy dwie Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowane kule bȩd a w różnych kolorach? 10 Jakie jest prawdopodobieństwo, że na przyjȩciu, na którym jest osób, znajdzie siȩ osoba, która ma urodziny tego samego dnia co ja? 11 Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy okr agłym stole wybrane na pocz atku dwie osoby usi ad a obok siebie? 12 Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych bȩdzie zbiorem 3 elementowych ci agów zerojedynkowych Wypisz zdarzenia: a) na pierwszej współrzȩdnej jest zero; b) na pierwszej i trzeciej współrzȩdnej s a zera; c) na pierwszej i trzeciej współrzędnej mamy różne wartości; d) na wszystkich współrzȩdnych jest to samo Oblicz prawdopodobieństwa tych zdarzeń (rozkład jednostajny) Czy zdarzenia te s a niezależne? Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych bȩdzie zbiorem elementowych ci agów zerojedynkowych (rozkład jednostajny) Oblicz prawdopodobieństwa tych samych zdarzeń 13 Rzucamy trzema kostkami Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypada szóstka, jeżeli na każdej kostce wypada inna liczba oczek 14 Mamy dwie urny z kulami W pierwszej urnie s a dwie kule białe i cztery czarne, a w drugiej urnie trzy białe i trzy czarne Rzucamy kostk a do gry Jeżeli wypadnie 1 lub 2, to losujemy kulȩ z pierwszej urny, jeżeli 3,4,5 lub 6, to losujemy z drugiej urny Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulȩ biał a? Zaproponuj przestrzeń zdarzeń elementarnych i rozkład prawdopodobieństwa 15 W urnie jest kul w tym białych osób po kolei losuje jedn a kulȩ bez zwracania a) Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej dla trzeciej osoby? b) Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej dla każdej z losuj acych osób?

30 30 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa 16 Udowodnij, że jeżeli zdarzenia i s a niezależne, to niezależne s a także i oraz i 17 Zmienna losowa posiada rozkład: #! #! Oblicz, Oblicz wartość oczekiwan a, wariancjȩ oraz 18 Zmienna jest określona na przestrzeni # z jednostajnym rozkładem Podaj jej rozkład, wartość oczekiwan a oraz 19 Podaj rozkład czȩstości wystȩpowania liter w zdaniu: "Podzbiory przestrzeni zdarzeń losowych nazywamy zdarzeniami" 20 Ł aczny rozkład zmiennych losowych i przedstawiony jest w tabeli 0 1 Oblicz rozkłady zmiennych,, Oblicz,,, Czy zmienne i s a niezależne? Oblicz prawdopodobieństwa, 1 0 1!!!,,, 21 Ł aczny rozkład zmiennych losowych i przedstawiony jest w tabeli (! ( Czy można tak dobrać liczby, i, aby zmienne i były niezależne? 22 W dwóch tabelach przedstawiono ł aczny rozkład zmiennych, i Pierwsza tabela zawiera wartości, a druga wartości Z= #! ( 1 # 1

31 114 Zadania 31 Z= ( # # 1 ( ( # 1 Oblicz rozkłady brzegowe zmiennych, i Oblicz,, Czy zmienne, i s a niezależne? Jeżeli nie, to zmień prawdopodobieństwa w pierwszej tabeli tak, żeby były niezależne,, Czy zmienne te s a niezależne? 23 Na przestrzeni # z jednostajnym rozkładem określamy trzy zmienne 24 Mamy trzy niezależne zmienne losowe, i (określone na jakiejś przestrzeni probabilistycznej) Udowodnij, że każde dwie też s a niezależne 25 Mamy niezależnych zmiennych losowych zmienne też są niezależne Podobnie każdy podzbiór tych zmiennych jest niezależny istnieje zmienna losowa 26 Pokazać, że dla każdego oraz Pokazać, że dla każdego taka, że 27 Pokazać, że jeżeli ma rozkład symetryczny, tzn dla pewnego, dla każdego, to 28 Pokazać, że jezeli mamy zmienna losow a z rozkładem jednopunktowym i dowoln a inn a zmienn a, to i s a niezależne 29 Pokaż, że jeżeli zmienne losowe i s a niezależne, to dla dowolnych liczb i, zdarzenia oraz s a niezależne 30 Pokaż, że jeżeli zmienne losowe i s a niezależne, to dla dowolnych funkcji i, zmienne i też s a niezależne 31 Pokazać, że 32 Podać przykład dwóch zmiennych i o różnych rozkładach takich, że i 33 Przypuśćmy, że zmienna losowa przyjmuje wartości każde z dodatnim prawdopodobieństwem a) Czy jest możliwe b) Czy jest możliwe lub? lub? c) Czy b) jest możliwe jeżeli ma rozkład jednostajny?

32 32 Rozdział 1 Rachunek prawdopodobieństwa 34 Kowariancja zmiennych losowych i równa siȩ Pokazać, że a) jeżeli i s a niezależne to b), c) ; 35 Rzucano monet a 10 razy Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadł co najmniej raz? 36 Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby sukcesów w ci agu prób Bernoulliego, jeżeli prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi: a) 1/2, b) 37 Jakie jest prawdopodobieństwo, że w serii sześciu rzutów kostk a suma oczek bȩdzie parzysta 38 Pokazać, że jeżeli ) +, to 0 ) 0,+( ) + 0 ) ; a jeżeli, to,+(, gdzie ) to rozkład dwumianowy 39 Niech zmienna losowa ma rozkład dwumianowy z parametrami, Oszacuj prawdopodobieństwo! (za pomocą nierówności Markowa, Czebyszewa i Chernoff a)