Analiza matematyczna 2, cze ść dwunasta Tekst poprawiony 4 września 2011, godz. 00:02. o zauważonych b le. dach, poprawie
|
|
- Daniel Tomczak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza matematyczna 2, cze ść dwunasta Tekst poprawiony 4 września 2011, godz 00:02 Zwyk la prośba: prosze o informacje o zauważonych b le dach, poprawie Zajmiemy sie teraz określeniem miary na rozmaitości M IR k Rozpoczniemy od przyk ladu wskazuja cego na pewna trudność Przyk lad Schwarza Niech W oznacza walec o wysokości 1 i którego podstawa ma promień 1 Wykażemy, że w powierzchnie boczna tego walec można wpisać wielościan, który ma dowolnie duża powierzchnie i którego wszystkie krawe dzie sa krótkie Ścianami tego wielościanu be da trójka ty równoramienne, wie c pole be dziemy w stanie znaleźć bez k lopotu Podzielimy walec p laszczyznami równoleg lymi do podstaw na n przystaja cych walców (czyli prowadzimy n 1 p laszczyzn) Mamy wie c n + 1 okre gów W każdy z nich wpisujemy m ka t foremny w ten sposób, że wierzcho lki wieloka ta wpisanego w j + 1 wszy (licza c od do lu) okra g znajduja sie nad środkami luków j tego okre gu wyznaczonych przez sa siednie wierzcho lki wieloka ta wpisanego w j ty okra g Mamy wie c m(n + 1) punktów na powierzchni bocznej walca Rozważamy powierzchnie be da ca suma trójka tów, których dwoma wierzcho lkami sa sa siednie punkty jednego okre gu, a trzecim wierzcho lek znajduja cy sie na sa siednim okre gu nad lub pod środkiem luku wyznaczonego przez dwa pierwsze Otrzymujemy wie c 2m trójka tów mie dzy sa siednimi okre gami, w sumie 2mn trójka tów Pole jednego takiego trójka ta równe jest sin π 1 m n + (1 cos π 2 m )2, zatem pole P m,n powierzchni ca lkowitej wielościanu równe jest 2msin π m 1 + 4n 2 sin 4 π m Przyja wszy n = m otrzymujemy P m,n = 2msin π m 1 + 4m 2 sin 4 π m 2π, m jest to rezultat zgodny z oczekiwaniami: pole wielościanu którego wszystkie krawe dzie sa bardzo krótkie i którego wierzcho lki leża na powierzchni bocznej walca w miare ge sto przybliża pole powierzchni bocznej walca Przyjmijmy teraz n = m 2 Otrzymujemy w tym przypadku P m,n = 2msin π m 1 + 4m 4 sin 4 π m 2π 1 + 4π 4, m a wie c za dużo Niech n = m 3 Teraz P m,n = 2msin π m 1 + 4m 6 sin 4 π m + m Oznacza to, że próba zdefiniowania pola powierzchni bocznej walca przez przybliżanie polami wielościanów wpisanych w te powierzchnie skończy sie niepowodzeniem, chyba że zwie kszymy wymagania wobec nich Przyczyna tych nieco dziwacznych rezultatów jest to, że rozpatrywane trójka ty maja c wierzcho lki na powierzchni bocznej walca i krótkie krawe dzie nie przybliża ly jednak powierzchni bocznej, bo ka t mie dzy p laszczyzna trójka ta i powierzchnia boczna nie da ży l w drugim ani w trzecim przypadku do 0 (w pierwszym tak by lo) Oznacza to, że przy wprowadzaniu definicji należy zadbać również o ten czynnik 146
2 Za lóżmy, że ψ : V M IR k jest parametryzacja pewnego otwartego podzbioru U = ψ(v ) rozmaitości m wymiarowej M Zdefiniujemy najpierw miare borelowska na zbiorze U Przypomnijmy, że wyznacznikiem Grama wektorów v 1, v 2,, v m nazywamy wyznacznik macierzy (v i v j ) 1 i,j m Pe lni on role kwadratu obje tości m wymiarowego równoleg lościanu rozpie tego przez wektory v 1, v 2,, v m Jeśli jest on równy 0, to wektory sa liniowo zależne, co jest zgodne z intuicyjnym pojmowaniem obje tości Zdefiniujmy g(v 1, v 2,, v m, w 1, w 2,, w m ) = det(v i w j ) 1 i,j m dla dowolnych wektorów v 1,, v m, w 1,, w m IR k Mamy wie c g(v 1, v 2,, v m, v 1, v 2,, v m ) = G(v 1, v 2,, v m ) Jasne jest, że funkcja g jest 2m liniowa na (IR k ) 2m funkcja wektorów v 1, v 2,, v m przy ustalonych wektorach w 1, w 2,, w m Jest też antysymetryczna przy ustalonych wektorach v 1, v 2,, v m przy czym jest ona antysymetryczna jako jako funkcja wektorów w 1, w 2,, w m Mamy g(v 1, v 2,, v m + tv 1, v 1, v 2,, v m + tv 1 ) = g(v 1, v 2,, v m, v 1, v 2,, v m ) + + g(v 1, v 2,, tv 1, v 1, v 2,, v m ) + g(v 1, v 2,, v m, v 1, v 2,, tv 1 ) + + g(v 1, v 2,, tv 1, v 1, v 2,, tv 1 ) = = g(v 1, v 2,, v m, v 1, v 2,, v m ) = G(v 1, v 2,, v m ), bo wyznacznik macierzy zawieraja cej proporcjonalne wiersze jest równy 0 Oczywiście wektor v 1 można zasta pić dowolnym z wektorów v 2,, v m 1 W rezultacie: wartość wyznacznika Grama uk ladu wektorów v 1, v 2,, v m nie zmienia sie w wyniku dodania do wektora v m dowolnej kombinacji liniowej wektorów v 1, v 2,, v m 1 Można wie c odja ć od v m rzut tego wektora na podprzestrzeń rozpie ta przez wektory v 1, v 2,, v m 1 zachowuja c wartość wyznacznika Grama Z definicji wynika natychmiast, że jeśli v i v m dla i = 1, 2,, m 1, to zachodzi G(v 1, v 2,, v m ) = G(v 1, v 2,, v m 1 ) v m 2 To żywo przypomina dosyć znany wzór na obje tość równoleg lościanu: obje tość równoleg lościanu to iloczyn pola podstawy i wysokości Druga mi la okoliczność to niezmienniczość wyznacznika Grama przy izometriach: jeśli L: IR k IR k jest izometria liniowa, to G(v 1, v 2,, v m ) = G(Lv 1, Lv 2,, Lv m ) Dla dowolnych wektorów v 1, v 2,, v m IR k istnieje izometria liniowa L: IR k IR k taka, że Lv 1, Lv 2,, Lv m IR m {0,, 0} Dla wektorów }{{} k m v 1, v 2,, v m IR m wyznacznik Grama G(v 1, v 2,, v m ) jest równy kwadratowi wyznacznika macierzy, której kolumnami sa wektory v 1, v 2,, v m, czyli kwadratowi miary Lebesgue a l m równoleg lościanu rozpie tego przez te wektory Rozsa dnie jest wie c przyja ć, że G(v 1, v 2,, v m ) jest kwadratem miary równoleg lościanu rozpie tego przez wektory v 1, v 2,, v m nie tylko w tym przypadku, ale również, gdy sa one po lożone w przestrzeni wyższego wymiaru (np równoleg lobok w IR 3 ma jakieś pole) Jeśli ψ: V IR k jest parametryzacja otwartego podzbioru U rozmaitości M IR k, q V, to różniczka Dψ: IR m IR k odwzorowuje przestrzeń IR m na T ψ M Jeśli Q jest kostka o środku q, to Dψ(Q) T ψ jest m wymiarowym równoleg lościanem, którego obje tość rów- 147
3 na jest Tutaj l M det ( Dψ T Dψ ) l m (Q) To sugeruje naste puja ca definicje : jeśli A V, to l M (ψ(a)) = A det ( Dψ T Dψ ) dl m oznacza miare na rozmaitości, która w laśnie definiujemy Nazywać ja be dziemy miara Lebesgue a Riemanna na M Taka definicja wymaga po pierwsze stwierdzenia, że wynik jest zależny jedynie od zbioru ψ(a), a nie od A, ψ itp Po drugie trzeba wyjaśnić, dla jakich zbiorów określamy miare, po trzecie trzeba rozszerzyć te definicje na zbiory, które nie sa zawarte w dziedzinie jednej mapy, czyli na taki, których nie można sparametryzować za pomoca jednego przekszta lcenia ψ Zaczniemy od pierwszej kwestii Dowód odpowiedniego lematu poprzedzimy dosyć ważnym twierdzeniem opisuja cym strukture przekszta lcenia klasy C r, którego różniczka ma rza d niezależny od punktu Twierdzenie o rze dzie Jeśli ψ: V IR l jest przekszta lceniem klasy C r, r 1 i dla każdego x V IR k zachodzi równość r(dψ) = m, to dla każdego punktu q V V 2 ψ oraz dyfeomorfizmy (na obraz) f: V 1 IR k, g: V 2 IR l Dowód istnieja otwarte otoczenia V 1 q oraz takie, że g ψ f 1 (x 1, x 2,, x k ) = (x 1, x 2,, x m, 0,, 0 ) }{{} l m Niech ψ = (ψ 1, ψ 2,, ψ l ) Niech q V Ponieważ rza d przekszta lcenia Dψ równy jest m, wie c pewien minor wymiaru m macierzy Dψ = ( ψ i x j ) jest różny od 0 Po ewentualnej zmianie numeracji wspó lrze dnych w dziedzinie lub w obrazie można przyja ć, że ψi x j 1 i,j m 0 Niech f = f(x 1, x k ) = ( ) ψ 1, ψ 2,, ψ m, x m+1, x m+2,, x k, oczywiście jeśli m = k, to wspó lrze dnych o numerach wie kszych niż m = k nie ma Przekszta lcenie f jest oczywiście tej samej klasy co ψ (a przynajmniej nie mniejszej) Mamy ψ 1 ψ x 1 1 ψ 1 ψ +1 1 ψ 2 ψ x 1 2 ψ 2 ψ +1 2 Df = ψ m ψ x 1 m ψ m ψ +1 m Wyznacznik tej macierzy równy jest ψ i x j i,j m Wynika sta d (twierdzenie o odwracaniu funkcji), że istnieje otoczenie V 1 punktu q, po obcie ciu do którego f jest dyfeomorfizmem Pierwszych m wspó lrze dnych przekszta lcenia ψ f 1 pokrywa sie z pierwszymi m wspó lrze dnymi przekszta lcenia f f 1 = id Niech ψ(f 1 ) = (x 1,, x m, ψ m+1,, ψ l ) 148
4 Bez trudu stwierdzamy, że D(ψ f 1 ) = ψ m+1 x 2 ψ m+1 ψ m+1 +1 ψ m+1 ψ l x 2 ψ l ψ l +1 ψ l ψ m+1 x 1 ψ l x 1 Z lożenie przekszta lcenia liniowego z izomorfizmem nie zmienia rze du Wobec tego rza d D(ψ f 1 ) jest równy m, czyli taki sam jak macierz jednostkowa znajduja ca sie w lewym górnym rogu macierzy D(ψ f 1 ) Wynika sta d, że Oznacza to, że funkcje ψ m+1, ψ m+2,, ψ l ψ i x j = 0 dla i = m + 1,, l, j = m + 1,, k nie zależa od zmiennych x m+1, x m+2,, x k, po ewentualnym zmniejszeniu V 1 można przyja ć, że f(v 1 ) jest k wymiarowym przedzia lem, wie c nie mam k lopotu z wywnioskowaniem sta lości funkcji, której pochodna jest zerowa Mamy wie c prawo pisać ψ j (x 1,, x m ) zamiast ψ j (x 1,, x m, x m+1,, x k ) w przypadku j = m + 1,, l Definiujemy teraz g(y 1,, y l ) = ( y 1,, y m, y m+1 ψ m+1 (y 1,, y m ),, y l ψ l (y 1,, y m ) ) Można z latwościa przekonać sie o tym, że g ψ f 1 (x 1,, x k ) = (x 1,, x m, 0,, 0) oraz że g jest dyfeomorfizmem: g 1 (y 1,, y l ) = ( y 1,, y m, y m+1 + ψ m+1 (y 1,, y m ),, y l + ψ l (y 1,, y m ) ) Dowód zosta l zakończony Lemat o przechodzeniu od jednej mapy do drugiej mapy Jeśli ψ: V IR k i ψ: Ṽ IR k sa homeomorfizmami klasy C r, r 1, których różniczki we wszystkich punktach sa różnowartościowe, ψ(v ) = ψ(ṽ ), to przekszta lcenie ψ 1 ψ jest dyfeomorfizmem Dowód Niech q V Zgodnie z twierdzeniem o rze dzie istnieja (lokalnie) dyfeomorfizmy g i f takie, że g ψ f 1 (x 1,, x m ) = (x 1,, x m, 0, 0) w pewnym otoczeniu punktu f Przekszta lcenie g ψ f 1 formalnie przekszta lca pewien podzbiór przestrzeni IR m w przestrzeń IR k, ale faktycznie w IR m Można je wie c odwracać, odwrotne jest klasy C r Zachodzi równość ψ 1 ψ = f 1 ( g ψ f 1) 1 g ψ Z niej wynika, że ψ 1 ψ klasy C r, bo jest z lożeniem przekszta lceń takiej klasy (różniczkowalność w punkcie jest w lasnościa lokalna, wie c niczemu w dowodzie nie przeszkadza to, że rozważane z lożenie jest określone jedynie w dostatecznie ma lym otoczeniu punktu f ) Jest to oczywiście prawda również w przypadku przekszta lcenia odwrotnego ψ 1 ψ, zatem jest to dyfeomorfizmdowód zosta l zakończony Lemat o niezależności miary od mapy Jeśli ψ: V IR k i ψ: Ṽ IR k sa homeomorfizmami klasy C r, r 1, których różniczki we 149
5 wszystkich punktach sa różnowartościowe, A ψ(v ) = ψ(ṽ ) jest zbiorem borelowskim, to det ( Dψ ψ 1 (A) T Dψ ) dl m = det ( D ψ ψ 1 (A) T D ψ ) dl m Dowód Skorzystamy z tego, że przekszta lcenie ψ 1 ψ jest dyfeomorfizmem (poprzedni ( lemat) Z twierdzenia o zamianie zmiennych wynika, że we wzorach poniżej q = ( ψ 1 ψ ) ) det ( D ψ ψ 1 (A) T D ψ ) dl m = = det ( D ψ ψ 1 (A) T D ψ ) det D( ψ 1 ψ) dl m = = det ( D ψ ψ 1 (A) T D ψ ) ( det D( ψ 1 ψ) ) 2 dlm = = det ( D( ψ ψ 1 (A) 1 ψ) ) T ( det D ψt D ψ ) det D( ψ 1 ψ)dl m = = det [( D( ψ ψ 1 (A) 1 ψ) ) T D ψt D ψ D( ψ 1 ψ) ] dl m = = det [( D ψ D( ψ ψ 1 (A) 1 ψ) ) T ( D ψ ψ 1 ψ ) ] dl m = = det [( Dψ ) T ] ψ 1 (A) Dψ dlm W tym rozumowaniu korzystaliśmy z tego, że wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych jest iloczynem wyznaczników macierzy oraz, że w mnożenie liczb jest przemienne (mnożenie macierzy niestety przemienne nie jest) Teraz można już zdefiniować miare na rozmaitości M IR k Istnieje na każdej z nich atlas z lożony z nie wie cej niż przeliczalnej liczby map ϕ 1, ϕ 2, Za lóżmy, że ich dziedzinami sa zbiory U 1, U 2, Jeśli A M jest zbiorem borelowskim, to każdy ze zbiorów V 1 := A U 1, V 2 := A U 2 \ U 1, V 3 := A U 3 \ (U 1 U 2 ), jest borelowski, sa one parami roz la czne, wie c można miare określić wzorem l M (A) = l M (V n ), gdzie l M (V n ) = ϕ n(v n) n=1 det ( Dϕ 1 T Dϕ 1 ) dl m Wykazaliśmy, że wynik nie zależy od wyboru mapy Jest jasne, że jest on również niezależny od sposobu rozbicia zbioru A na roz la czne podzbiory mieszcza ce sie w dziedzinach map z jednego atlasu (na dziedzinie jednej mapy l m jest miara, wie c maja c dwa rozbicia przeliczalne rozbicia {V n } i {W m } zbioru A możemy rozważyć rozbicie przeliczalne {V n W m } zbioru A ) Miare określiliśmy na zbiorach borelowskich Można ja uzupe lnić (np korzystaja c z twierdzenia Caratéodory go) do la czaja c do σ cia la podzbiory zbiorów miary 0 Można też od razu przyja ć, że zbiór A jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór ϕ(a U) jest mierzalny dla dowolnej mapy ϕ określonej na zbiorze U Rozumowanie nie ulega zmianie, bo dyfeomorfizmy przekszta lcaja zbiory mierzalne na zbiory mierzalne Przyk lad (sfera) Znajdziemy miare sfery k wymiarowej S k IR k+1 Miara zbiory skończonego jest oczywiście 150
6 równa 0 Rzut stereograficzny przekszta lca sfere bez jednego punktu na IR k Wystarczy wie c znaleźć ca lke det ( Dψ IR T Dψ ) dl k k, gdzie ψ = ( 2x 1+ x, x 2 1) 2 x 2 +1, x = (x1, x 2,, x k ) IR k Zaczniemy od znalezienia Dψ Korzystaja c ze standardowych praw różniczkowania otrzymujemy: Mamy wie c Dψh 2 = Dψh = ( 2h 1+ x 2x 2x h 2 (1+ x 2 ), 2 4x h (1+ x 2 ) 2 ) 4 h 2 (1+ x 2 ) 16(x h)2 2 (1+ x 2 ) + 16 x 2 (x h) 2 3 (1+ x 2 ) + 16(x h)2 4 (1+ x 2 ) = 4 h 2 4 (1+ x 2 ) Wykazaliśmy 2 wie c, że przekszta lcenie liniowe Dψ przekszta lca wektor h na wektor o d lugości 2 h 1+ x 2 Jest wie c podobieństwem w skali 2 1+ x 2 Oznacza to, że kolumny macierzy dψ sa wzajemnie pro- 2 stopad lymi wektorami o d lugości 1+ x, a sta 2 d wynika, że det ( Dψ T Dψ ) = ( ) 2 k 1+ x 2 Miara sfery S k jest wie c równa ( ) 2 k IR k 1+ x 2 dlk Dla obliczenia tej ca lki zastosujemy wspó lrze dne sferyczne (biegunowe) Przyjmujemy wie c jak w cze ści dziewia tej, gdy obliczaliśmy miare kuli k wymiarowej, że x 1 x 2 x 3 =ϱ cos θ 1 cos θ 2 cos θ k 2 cos θ k 1 =ϱ cos θ 1 cos θ 2 cos θ k 2 sin θ k 1 =ϱ cos θ 1 cos θ 2 sin θ k 2 x k 2 =ϱ cos θ 1 cos θ 2 sin θ 3 x k 1 =ϱ cos θ 1 sin θ 2 x k =ϱ sin θ 1 Niech H = {(θ 1, θ 2,, θ k 2, θ k 1 ): θ 1 < π 2, θ 2 < π 2,, θ k 2 < π 2, θ k 1 < π} Z twierdzenia o zamianie zmiennych wynika, że (nie przejmujemy sie zbiorami miary 0 ) l S k(s k ) = ( ) 2 k IR k 1+ x 2 dlk = ( 2 ) ( k (0, ) H 1+ϱ ϱ k 1 cos k 2 θ 2 1 cos k 3 θ 2 cos θ k 2 )dl k = F ubini ======= (0, ) ( 2 1+ϱ 2 ) kϱ k 1 dϱ H cosk 2 θ 1 cos k 3 θ 2 cos θ k 2 dl k 1 = = ( 2 ) kϱ k ϱ dϱ kl 2 k (B(0, 1)) ϱ=tg t ========== dϱ=(1+tg 2 t) = 2 π/2 sin k 1 2tdt kl 0 k (B(0, 1)) = π 0 sink 1 τ dτ kl k (B(0, 1)) = = { k 2 k 1 k 4 2 ( π/2 k 1 2 tg t 0 1+tg t) dt 2 klk (B(0, 1)) = k π kl k(b(0, 1)), jeśli k > 1 jest nieparzyste ; k 2 k 1 k 4 k kl k(b(0, 1)), jeśli k > 2 jest parzyste Możemy wie c napisać l S k(s k ) = Γ( k 2 ) Γ( k+1 2 ) π k l k (B(0, 1)), przy czym ten ostatni wzór zachodzi dla k = 1, 2, do sprawdzenia jego prawdziwości zache cam studentów: przy okazji można przypomnieć sobie czym jest jest funkcja Γ Na wszelki wypadek : Γ( 1 2 ) = π, Γ(x + 1) = xγ dla x > 0 Otrzymaliśmy wie c wzór ma miare sfery wielowymiarowej o promieniu 1 Jasne jest, że z tego 151
7 wzoru bez trudu można otrzymać wzór na miare sfery k wymiarowej o promieniu r > 0 Zadanko Wykazać, że jeśli S r jest k wymiarowa sfera o promieniu r, to Zadanko l Sr (S r ) = r k l S k(s k ) = r k Γ( k 2 ) Γ( k+1 2 ) π k l k (B(0, 1)) Wykazać, że liczba R 0 l S r (S r )dr jest miara k + 1 wymiarowej kuli o promieniu R > 0 Drugie zadanie jest ważne Należy spróbować zrozumieć dlaczego to twierdzenie jest prawdziwe Ono obejmuje wzory, które wszyscy kończa cy licea znaja, ale nieliczni je zauważaja : ( πr 2 ) = 2πr, ( 4 3 πr3) = 4πr 2 W zasadzie niewiele zosta lo tu do zrobienia, wystarczy sie uważnie przyjrzeć temu, co zrobiliśmy W cze ści dziewia tej zdefiniowaliśmy środek cie żkości zbioru borelowskiego A IR k Poje cie to możemy teraz stosować do rozmaitości Można też wykazać twierdzenie Pappusa Guldina dla powierzchni obrotowych Twierdzenie Pappusa Guldina Jeśli A M {x IR 3 : l M, x 2 = 0 < x 1 } jest zbiorem, który ma środek cie żkości wzgle dem miary M jest rozmaitościa, B jest zbiorem, który powstaje w wyniku obrotu zbioru A o ka t 2π wokó l prostej x 1 = x 2 = 0, to l M (B) = 2πrl M (A), gdzie r jest odleg lościa środka cie żkości zbioru A od osi obrotu, M IR 3 jest rozmaitościa powsta la w wyniku obrotu rozmaitości x 1 = x 2 = 0 M wokó l prostej Dowód Zaczniemy oczywiście od wykazania, że M jest rozmaitościa zak ladaja c, że M jest rozmaitościa jednowymiarowa Przypadek dwuwymiarowej rozmaitości M jest obje ty poprzednia wersja tego twierdzenia, rozmaitości wymiaru 0 nie sa przesadnie interesuja ce: sa to przestrzenie dyskretne Niech Ũ be dzie dziedzina mapy ϕ i niech ψ = ϕ 1, Ṽ = ϕ(ũ) Niech ψ = (ψ 1, 0, ψ 3 ) Definiujemy ψ(x, t) = ( ψ 1 cos t, ψ 1 sin t, ψ 3 ) Jeśli liczby t wybierane sa z przedzia lu (α, β) o d lugości mniejszej niż 2π, to przekszta lcenie ψ jest cia g le i różnowartościowe Różnowartościowość wynika natychmiast z różnowartościowości ψ i różnowartościowości przekszta lcenia t (cos t, sin t) na przedziale d lugości < 2π Przekszta lcenie ψ jest homeomorfizmem: jeśli ψ(x n, t n ) ψ(y, s), to ψ 3(x n ) ψ(y) i (ψ1 (y) cos s ) 2 + ( ψ1 (y) sin s ) 2 = ψ(y) (ψ1 ) 2 ( ) 2 ψ 1 (x n ) = (x n ) cos t n + ψ1 (x n ) sin t n Sta d i z cia g lości ϕ wynika, że x n y Co najmniej jedna z liczb cos s, sin s jest różna od 1 Dla ustalenia uwagi niech 1 < cos s < 1 Wtedy w pewnym otoczeniu liczby s funkcja cos jest homeomorfizmem Wobec tego z równości lim cos t n = cos s wynika, że lim t n = s Mamy Pappus ( ), Guldin( ) 152
8 Mamy wie c Dψ(x, t) = ψ 1 cos t ψ 1 sin t ψ 1 sin t ψ 1 cos t ψ 3 0 ( ) ψ Dψ(x, t) T Dψ(x, t) = ψ ψ1 2 Wobec tego det ( Dψ(x, t) T Dψ(x, t) ) = ( ψ ψ 3 2) ψ 1 2 > 0, bo D ψ jest różnowartościowe, zatem Dψ(x, t) również jest różnowartościowe (rza d tego przekszta lcenia liniowego jest równy 2) Wskazaliśmy wie c atlas dla M Możemy teraz znaleźć miare zbioru ψ(ϕ(a) (0, 2π)) Jest ona na mocy definicji równa (ψ ϕ(a) (0,2π) ψ 3 2) ψ 1 2 F ubini ======= 2π ϕ(a) ψ 1 ψ ψ 3 2 dl 1 = = 2π A x 1 1 dl M = 2πl M (A) l M (A) A x 1 dl M 1 Liczba l M (A) A x 1 dl M to pierwsza wspó lrze dna środka cie żkości zbioru A wzgle dem miary l M, zatem jest to odleg lość od prostej x 1 = 0 = x 2, czyli od osi obrotu, jest wie c równa r Widać wie c, że jest to taki sam dowód, jak poprzedniej wersji tego twierdzenia Z tego twierdzenia latwo można wyprowadzić wzory na pole powierzchni bocznej stożka, lub ogólniej stożka ście tego wystarczy stwierdzić, że środkiem cie żkości odcinka jest jego środek Można znaleźć wzór na pole powierzchni torusa, jeśli tylko zdo lamy wykazać, że środkiem cie żkości okre gu (nie ko la!) jest jego środek Wzór jest użyteczny i latwy w dowodzie W zasadzie to szczególny przypadek twierdzenia Fubiniego Warto dodać jeszcze, że jeśli f: M [0, ] jest funkcja mierzalna a zbiór A M jest zawarty w obrazie parametryzacji ψ: V M IR k, to A f dl M = ψ 1 (A) f ψ Dψ T Dψdl m Ten wzór pozwala w wielu przypadkach na ca lkowanie funkcji określonych na rozmaitościach Oczywiście funkcje nieujemna można zasta pić funkcja ca lkowalna lub taka, która ma ca lke, niekoniecznie skończona 153
Miara na rozmaitości w R k Ostatnie poprawiałem ten tekst 23 kwietnia 2015 r. Zwykła prośba: prosz
Miara na rozmaitości w R k Ostatnie poprawiałem ten tekst 23 kwietnia 2015 r. Zwykła prośba: prosz e o informacj e o zauważonych bł edach, poprawi e. Zajmiemy sie teraz określeniem miary na rozmaitości
Bardziej szczegółowoo zauważonych b le dach, poprawie inne ważne zbiory, np. dane równaniem lub uk ladem równań. Zajmiemy sie
Analiza matematyczna 2, cze ść jedenasta Tekst poprawiony 4 września 2011, godz 00:02 Zwyk la prośba: prosze o informacje o zauważonych b le dach, poprawie Oprócz miar na przestrzeni IR k istnieja inne
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2, cze ść dziesia ta
Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Informacja ogólna dla tych, którzy jeszcze ze mna chca rozmawiać o stopniach: zdecydowana wie kszość twierdzeń w matematyce, w analizie w szczególności, sk lada
Bardziej szczegółowoROZDZIA l 13. Zbiór Cantora
ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe w R n
Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoTekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. Być może dojda
Tekst poprawiony 27 XII, godz. 7:56. Być może dojda naste pne zadania Definicja 7. krzywej) Niech P oznacza dowolny przedzia l niezdegenerowany. Przekszta lcenie r: P IR k nazywamy krzywa. Jeśli r jest
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoc a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoGAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne
GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne 4 kwietnia 2017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej 1 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoc ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,
3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowosa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)
Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ
Bardziej szczegółowoFunkcja może mieć lokalne ekstrema jedynie w punktach, w których jej gradient, czyli wektor f = grad f = [ f
Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 005 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie jest bardzo trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoPisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8
EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja
Bardziej szczegółowoZadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2
Zadania z GAL-u Listopad 2004 1 Rozwia zać uk lady równań: 11 12 13 14 15 { 2x + 3y = 1 3x + y = 0 x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y
Bardziej szczegółowo2a )2 a b2. = 2 4a ====== x + b. nawias
Wielomiany kwadratowe Wielomian a + + c nazywamy kwadratowym lu wielomianem drugiego stopnia, jeśli a jest licza różna od 0. W dalszym cia gu zak ladamy, że a i a 0. Możemy napisać a + + c = a ( + a )
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych cia
Funkcje wielu zmiennych g lość Do tej pory zajmowaliśmy sie funkcjami jednej zmiennej W wielu zagadnieniach wyste puja wielkości zależne od wielu czynników, co prowadzi do rozpatrywania funkcji cej niż
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoMiara powierzchniowa na rozmaitościach zanurzonych
Rozdział 6 Miara powierzchniowa na rozmaitościach zanurzonych W tym rozdziale zajmiemy się definicją tzw. miary powierzchniowej na m-wymiarowej rozmaitości zanurzonej M R n oraz opisem własności tej miary.
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
Bardziej szczegółowo13 Zastosowania Lematu Szemerédiego
13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia 18 grudnia 2006 Zasada szufladkowa, zwana też zasada Dirichleta, a w jez. ang.,,pigeonhole Principle może być sformu lowana naste puja co.
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych cia
cia g lość, różniczkowalność Podajemy tu kilka definicji i twierdzeń (z dowodami, które w wie kszości zostana pominie te na wyk ladzie, które pozwola mówić o cia g lości i różniczkowalności funkcji wielu
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoObliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak
Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
Bardziej szczegółowo5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej
Kiedy może być potrzebne numeryczne wyznaczenie pierwszej lub wyższej pochodnej funkcji jednej zmiennej? mamy f(x), nie potrafimy znaleźć analitycznie jej pochodnej, nie znamy postaci f(x), mamy stablicowane
Bardziej szczegółowodkowanych par liczb rzeczywistych postaci z = (a, b). W zbiorze tym wprowadzamy dzia lania +, w naste dziemy z liczba
1. Liczby zespolone Cia lo liczb rzeczywistych be dziemy oznaczać symbolem R, pierścień liczb ca lkowitych symbolem Z, a zbiór liczb naturalnych symbolem N. Przyjmujemy, że 0 / N. Rozważmy zbiór C = R
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowo= (3x 2)(2x 3). Sta d wnioskujemy, że 6x 3 x 2 20x + 12 = =(x + 2)(3x 2)(2x 3), co kończy zadanie.
. Roz lożyć na czynniki 6 0 +. Rozwia zanie. Szukać możemy ca lkowitych lub ogólniej wymiernych pierwiastków tego wielomianu. Jedynymi kandydatami sa u lamki postaci p q przy czym q musi być dzielnikiem
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoMacierze i wyznaczniki
Zdefiniujemy teraz wyznaczniki i omówimy uk lady równań liniowych z wieloma niewiadomymi Zaczniemy od definicji Definicja 8 (macierzy a, a, a,n a, a, a,n Tablice prostoka tna A nazywać be dziemy macierza
Bardziej szczegółowo2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH
2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH Typeset by AMS-TEX 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 7 Zasada bijekcji. Jeżeli istnieje bijekcja f : A B, tj. f jest funkcja różnowartościowa i,,na (tzn.
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoGAL z aweber/zadania/gal2017gw/ Wersja
Przestrzenie rzutowe GAL z 27 http://wwwmimuwedupl/ aweber/zadania/gal27gw/ Wersja 2627 Patrz osobny plik http://wwwmimuwedupl/ aweber/zadania/gal27gw/przestrzenie rzutowe-zadaniapdf Do zrobienia na ćwiczeniach:
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoPojȩcie przestrzeni metrycznej
ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoGAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne
GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne 5 kwietnia 2018 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej 1 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoWersja testu A 15 lutego 2011 r. jest, że a) x R y R y 2 > Czy prawda. b) y R x R y 2 > 1 c) x R y R y 2 > 1 d) x R y R y 2 > 1.
1. Czy prawda jest, że a) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; b) y R x R y 2 > 1 1+x 2 ; c) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; d) x R y R y 2 > 1 1+x 2? 2. Czy naste puja ca relacja na zbiorze liczb rzeczywistych jest relacja
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady
Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowo4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowoWersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?
1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 2. Czy prawda jest, że a) 5 8 1 jest podzielne przez 4 ; b) 5 7 1 jest podzielne przez 4 ; c) 3
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoFunkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016
Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowocie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia
8. UK LADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. DIAGONALIZACJA MACIERZY. W porzednim paragrafie zdefiniowaliśmy poje cie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia zania go, w przypadku, gdy uk lad jest uk ladem
Bardziej szczegółowoczastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw adres strony www, na której znajda
Zadania z równań różniczkowych czastkowych Za l aczam adres strony www, na której znajda Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: http://math.uni.lodz.pl/ karpinw Zadanie 1. Znaleźć wszystkie rozwiazania
Bardziej szczegółowo