GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne
|
|
- Magda Jakubowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne 5 kwietnia 2018 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej 1 Przestrzenie Afiniczne [Kos roz 4, 1] 11 Definicja przestrzeni afinicznej: (E, V, ω), gdzie E zbiór, V przestrzeń liniowa, ω : E E V odwzorowanie, które spe lnia 1 ω(p, q) + ω(q, r) = ω(p, r) 2 p E α V!q E : v = ω(p, q) tzn p E odwzorowanie ω(p, ) : E V jest bijekcja Przestrzeń V nazywamy przestrzenia styczna i oznaczamy przez T E 12 Czasami wektor ω(p, q) jest oznaczany pq 13 Naczelny przyk lad: V przestrzeń wektorowa, ( E = V, V, ω(p, q) = q p ) 14 Operacja : E V E zdefiniowana przez warunek p ω(p, q) = q: 1 ) (p v) w = p (v + w) dla p E, v, w V 2 ) p E, V v p v E jest bijekcja 15 Ćwiczenie: (p v) w = p (v + w) 16 Mamy ω(p, p) = 0, ω(p, q) = ω(q, p) oraz p 0 = p dla p, q E 17 Kombinacje afiniczne, czyli środki cie żkości (barycentry) k i=0 a i p i := q k i=1 a i = 1 Niezależność od q E ( k i=0 a i ω(q, p i )) dla (W dalszej cze ści nie be dziemy już używać specjalnego, tylko zwyk ly +) 2 Bazy punktowe, podprzestrzenie adiniczne 21 Uk lady rozpinaja ce, niezależne uk lady punktów, bazy punktowe 22 p 0, p 1,, p n jest niezależny/rozpinaja cy/jest baza E wtedy i tylko wtedy gdy ω(p 0, p 1 ), ω(p 0, p 2 ), ω(p 0, p n ) jest niezależny/rozpinaja cy/jest baza V 23 Wniosek: Trzy warunki równoważne p 0, p 1,, p n jest baza punktowa p 0, p 1,, p n to minimalnym uk ladem rozpinaja cym, p 0, p 1,, p n to maksymalnym uk ladem niezależnym 24 Wspó lrze dne baryczentryczne w bazie punktowej 1
2 25 Maja ć baze punktowa p 0, p 1,, p n można utożsamiać E z podzbiorem K n+1 {(,,, x n ) K n x n = 1} 26 Definicja: Niech F E, W V, ω = ω F F Trójka (F, W, ω ) jest podprzestrzenia (E, V, ω) gdy p, q F ω(pq) W p F funkcja ω(p, ) : F W, q ω(p, q) jest bijekcja 27 Podzbiór F E jest podprzestrzenia (a ściślej: istnieje W V takie, że (F, W, ω F F ) jest podprzestrzenia ) wtedy i tylko wtedy, gdy F jest zamknie ty ze wzgle du na branie kombinacji afinicznych Dow ( ): Definiujemy W = {ω(p, q) p, q F } Sprawdzamy, że W jest podprzestrzenia liniowa aω(p, q) = ω(p, q ) dla q = (1 a)p + aq, ω(p, q) + ω(r, s) = ω(p, q) + ω(r, p) + ω(p, s) = ω(p, q) ω(p, r) + ω(p, s) = ω(p, q ) dla q = 1 q + ( 1)r + 1 s Przy okazji zauważamy, że dla ustalonego p, k lada c p = q, przestrzeń {ω(p, q ) q F } jest równa W Zatem przekszta lcenie F W, q ω(p, q) jest,,na i oczywiście jest różnowartościowe 28 Za lóżmy char(k) 2 Zbiór zamknie ty ze wzgle du na dwuelementowe kombinacje afiniczne jest podprzestrzenia 29 Każda podprzestrzeń F E jest postaci p + W, gdzie W jest podprzestrzenia liniowa w T E Przestrzeń liniowa W nie zależy od wyboru p F 210 Każda podprzestrzeń afiniczna w E jest postaci p + W, gdzie p E, W V = T E 211 Parametryczne przedstawienie: np prosta L(p, q) = {p + tω(p, q) t K} 212 Każda podprzestrzeń afiniczna w K n jest opisana niejednorodnym uk ladem równań liniowych 213 Cze ść wspólna rodziny podprzestrzeni jest pusta lub jest podprzestrzenia 214 Istnieje najmniejsza podprzestrzeń af(a) zawieraja ca dany zbiór A Sk lada sie ona z kombinacji afinicznych punktów z A 215 Równoloegóść: F 1 jest s labo równole le do F 2 gdy T F 1 T F 2 (to jest relacja kwaziporza dku) F 1 jest silnie równole le do F 2 gdy T F 1 = T F 2 (to jest relacja równoważności) 216 Podprzestrzenie F 1 i F 2 sa skośne jeśli F 1 F 2 = i T F 1 T F 2 = {0} 217 Ćwiczenie: jeśli F 1 i F 2 sa skośne to dim(f 1 ) + dim(f 2 ) < dim(e) 218 Ćwiczenie: Jeśli F 1 jest s labo równole le do F 2, oraz F 1 F 2 to F 1 F 2 = 2
3 3 Afiniczne przekszta lcenia 31 Definicja 1 Przekszta lcenie przestrzeni afinicznych (E, V, ω E ) (F, W, ω F ) to para przekszta lceń φ : E F Dφ : V W (przekszta lcenie zbiorów) (przekszta lcenie liniowe) takie, że ω F (φ(p), φ(q)) = Dφ(ω E (p, q)) 32 Definicja 2/Twierdzenie: Przekszta lcenie φ : E F jest afiniczne jeśli przeprowadza kombinacje afiniczne na kombinacje afiniczne obrazów Dow Trzeba skonstruować przekszta lcenie liniowe przestrzeni stycznychh φ = Dφ : T E T F Dφ(v) := ω(φ(p), φ(p + v)) (Sprawdzamy, że definicja nie zależy od wyboru p E, oraz że Dφ jest liniowe kombinacja 1p + 1(p + v) + ( 1)p) Wsk: p + v jest 33 Przekszta lcenie styczne (pochodna) Dφ i wybór φ(p) F dla ustalonego p E definiuje przekszta lcenie afiniczne, tzn jeśli dane jest przekszta lacenie liniowe φ 0 : T E T F oraz dowolne punkty p E, q F, to istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie φ : E F takie, że φ(p) = q oraz Dφ = φ 0 34 Przekszta lcenie afiniczne jest zadane przez wybór obrazów bazy punktowej 35 We dnych: przekszta lcenia afiniczne K n K m sa postaci φ(, x 2,, x n ) = (f 1 (, x 2,, x n ) + b 1, f 2 (, x 2,, x n ) + b 2,, f m (, x 2,, x n ) + b m ) gdzie Dφ = (f 1, f 2,, f m ) : K n K m jest przekszta lceniem liniowym, φ(0, 0,, 0) = (b 1, b 2,, b m ) 36 Przekszta lcenie afiniczne φ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy Dφ jest izomorfizmem liniowym 37 Wybieramy p E i p F Wtedy przekszta lcenia afiniczne(e, F ) T F L(T E, T F ), φ (ω(p, φ(p)), Dφ) ( q p + v + Dφ(ω(p, q)) ) (v, Dφ) 38 Dany wektor v V = T E Przez T v oznaczamy przesunie cie T v (p) = p + v 39 Każde przekszta lcenie afiniczne jest z lożeniem przekszta lcenia liniowego i przesunie cia 3
4 310 Jeśli Dφ jest izomorfizmem, to φ jest izomorfizmem Każde dwie przestrzenie tego samego wymiaru sa izomorficzne W szczeglnoci jeśli dim E = n, to E K n Izomorfizm zależy od wyboru punktu p E i wyboru bazy w T E 311 Przeciwobraz podprzestrzeni afinicznej przy przekszta lceniu afinicznym jest podprzestrzenia Każda podprzestrzeń w K n jest przeciwobrazem 0 przy pewnym przekszta lceniu afinicznym K n K m 312 Sk ladanie przekszta lceń Wybieramy p E E, p F F oraz w p G G co pozwala nam utożsamić E T E, F T F i G T G T F L(T E, T F ) Aff(E, F ) = przekszta lcenia afiniczne(e, F ), (v, Dφ) = T v Dφ T G L(T F, T G) Aff(F, G) = przekszta lcenia afiniczne(f, G), (w, Dψ) = T w Dψ T G L(T E, T G) Aff(E, G) = przekszta lcenia afiniczne(e, G), (w, Dψ) (v, Dφ) = T w Dψ T v Dφ u Dφ(u) + v Dψ(Dφ(u) + v) + w = Dψ(Dφ(u)) + (Dψ(v) + w) Zatem z lożeniu o dpowiada para 313 Wniosek: D(ψ φ) = Dψ Dφ (w, Dψ) (v, Dφ) = (w + Dψ(v), Dψ Dφ) Odsy lacz do grupy przekszta lceń: Kostrikin Roz 4, Grupa izomorfizmów afinicznych Aff o (E) Aff(E, E) Odwzorowanie D : Aff o (E) GL(T E) jest homomorfizmem, tzn 315 Odwzorowanie D jest epimorfizmem Mamy cia g przekszta lceń D(φ ψ) = D(φ) D(ψ), D(Id E ) = Id T E ker(d) = {φ Aff o (E) Dφ = Id T E } = {T v v T E} T E v mono i Aff(E) epi GL(T E) T v φ Dφ Mówimy, że ten cia g jest dok ladny (warunek im(i) = ker(d)) 316 Jeśli utożsamić Aff(E) z T E GL(T E) (wybieraja c punkt bazowy w E) to sk ladanie zadane jest wzorem (w, ψ 0 ) (v, φ 0 ) = (w + ψ 0 (v), ψ 0 φ 0 ) Grupa z takim dzia laniem sk ladania jest szczególnym przypadkiem tzw produktu pó lprostego T E GL(T E) 4
5 317 Niezmienniki przekszta lceń afinicznych: - wspó lliniowość (koplanarność, etc) punktów - równoleg lość podprzestrzeni (s laba i silna) - proporcje podzia lu odcinka - np przecinanie sie trzech prostych L(p i, q i ), i = 1, 2, 3 w jednym punkcie 4 Różne rachunki w przestrzeniach afinicznych 41 Dane punkty [p 1, p 2, p 3 ], [q 1, q 2, q 3 ], [r 1, r 2, r 3 ] K 3, które sa afinicznie niezależne Wzór na powierzchnnie af(p, q, r) det p 1 q 1 r 1 p 2 q 2 r 2 x 2 = 0 p 3 q 3 r 3 x 3 Można traktować ten wzór jako otrzymany ze wzoru na przestrzeń liniowa w K 4 rozpie ta przez wektory (1, p 1, p 2, p 3 ), (1, q 1, q 2, q 3 ), (1, r 1, r 2, r 3 ) 42 Pe k p laszczyzn: każda p laszczyzna zawieraja ca proste L = {x K 3 a 0 + a 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0, b 0 + b 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = 0} ma równanie postaci {x K 3 λ(a 0 + a 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 ) + µ(b 0 + b 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 ) = 0} dla pewnych (λ, µ) (0, 0) Można wykorzystać to szukaja c równania p laszczyzny zawieraja cej dany punkt p oraz L 43 Czy każde dwie trójki prostych w K 3 parami skośnych sa afinicznie równoważne? TAK, jeśli ich przestrzenie styczne rozpinaja przestrzeń liniowa K 3 44 Przyk lad przekszta lcenia: rzutownie afiniczne Niech F E, T E = T F V Istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie afiniczne φ, które jest sta le na F oraz Dφ jest rzutowaniem wzgle dem T F wzd luż V Przestrzenie rzutowe 45 Dana przestrzeń wektorowa V nad cia lem K Zbiór prostych (przechodza cych przez 0) w V oznaczamy przez P(V ) Mamy P(V ) = (V \ {0})/, gdzie v w gdy istnieje λ K, λ 0, v = λw 46 Oznaczenie P(K n+1 ) = P n (K) Elementy przestrzeni rzutowej sa oznaczane przez [ : : : x n ] (to jest klasa wektora (,,, x n ), czyli prosta rozpie ta przez ten wektor, albo inaczej wektor z dok ladnościa do proporcjonalności) 5
6 47 Niech K n K n+1 be dzie podprzestrzenia liniowa rozpie ta przez ostatnie n dnych Niech E = (1, 0, 0, 0,, 0) + K n, Każda prosta nie zawarta w K n przecina E w dok ladnie jednym punkcie To daje utożsamienie P(K n+1 ) \ P(K n ) z E Swoja droga E K n 48 Ogólniej Niech E V be dzie podprzestrzenia, 0 E, dim V dim E = 1 Dope lnienie P(V ) \ P(T E) można utożsamić z E 49 P n (K) = (K n+1 \{0})/ można pokryć zbiorami U i = {x i 0} W zbiorze U i mamy wspóżze dne 410 Przyk lad P 1 (K): u = dna w U 0, v = dna w U 1 Mamy u = 1/v (tam gdzie to ma sens) 411 Przyk lad P 2 (K): u 1 =, u 2 = x 2 dne w U 0, v 0 =, v 2 = x 2 dne w U 1, w 0 = x 2, w 1 = x 2 dne w U 2 Mamy (tam gdzie to ma sens) u 0 = x i, u 1 = x i,, bez u i, u n = xn x i u 1 = 1 v 0 = w 1 w 0, u 2 = v 2 v 0 = 1 w Zobaczyć jak wygla da okra g (u 1 ) 2 + (u 2 ) 2 = 1 we dnych v 0, v 2 oraz we dnych w 0, w 1 5 Przestrzenie rzutowe 51 Przygla damy sie krzywym na p laszczyźnie rzutowej P 2 (K) w różnych uk ladach dnych Dana parabola u 2 = u 2 1 (tzn = ( ) 2 ) Zobaczyć jakie jest jej przecie cie z,,prosta w nieskończoności zadanaa przez równanie = 0 we dnych v 0 =, v 2 = x 2 Ćw: Dane proste w K2 ze dnymi u 1, u 2 zadane równaniami u 2 = a i u 2 = b, a b Jako proste afiniczne sa równoleg le (nie przecinaja sie ) Utożsamiamy K 2 z U 0 P 2 (K) Zobaczyć jak wygla daja te proste we dnych v 0 = 1/u 1, v 2 = u 2 /u 1 52 Przekszta lcenia rzutowe przestrzeni rzutowej: [ : : : x n ] [f 0 (x) : f 1 (x) : : f n (x)], gdzie x = (,,, x n ) oraz f = (f 0, f 1, f n ) : K n+1 K n+1 jest izomorfizmem liniowym 53 Przekszta lcenia rzutowe przestrzeni afinicznej K n utożsamianej z U 0 (jest nie wsze dzie określone): (u 1, u 2,, u n ) ( f 1 f 0, f 2 f 0,, f n f0 ), gdzie f i : K n K, i = 0, 1,, n sa funkcjami afinicznymi powsta lymi z funkcji liniowych f i : K n+1 K przez podstawienie = 1 w (52)) 6
7 54 Przyk lad: φ(u 1, u 2 ) = (1/u 1, u 2 /u 1 ), przeciwobraz okre gu (u 1 )2 + (u 2 )2 = 1 jest hiperbola 55 Przekszta lcenia przestrzeni rzutowej zadane izomorfizmem liniowym przestrzeni V sa oznaczane przez P GL(V ), lub gdy V = K n+1 przez P GL n+1 (K) Mamy P GL(V ) = GL(V )/, gdzie φ ψ gdy φψ 1 = λid V 56 Przekszta lcenie (u 1, u 2 ) ( 2u 1 1+u 2, 1 u 2 1+u 2 ) przekszta laca parabole u 2 = u 2 1 na okra g 57 Przekszta lcenia rzutowe P n (K) zachowuja ce U 0 = { 0}, sa indukowane przez φ GL(K n+1 ), φ(,,, x n ) = (f 0 (,,, x n ), f 1 (,,, x n ),, f n (,,, x n )) takie, że f 0 (1,,, x n ) 0 Czyli takie, że f 0 (1,,, x n ) = a 0,0 Tzn macierz φ ma w,,zerowym wierszu tylko,,zerowy wyraz różny od zera Takie przekszta lcenie rzutowe ma wzór we spó lrze dnych afinicznych (, x 2,, x n ) Zatem jest przekszta lceniem afinicznym (Inna charakteryzacja: φ({ = 0}) = { = 0}, tzn zachowuje hiperp laszczyzne w nieskończoności) 58 Mamy {φ Aff(K n ) φ(0) = 0} = GL(K n ) ( f0 (1,, x 2,, x n ), f 1(1,, x 2,, x n ),, f ) n(1,, x 2,, x n ), a 0,0 a 0,0 a 0,0 {φ Przekszta lcenia rzutowe φ({ = 0}) = { = 0} } = Aff(K n ) 59 Przekszta lcenie prostej rzutowej: x a 10+a 11 x a 00 +a 11 x można przedstawić jako z lożenie przekszta lceń afinicznych i x 1/x bo a 10+a 11 x a 00 +a 11 x = α(1 + β 1 x+γ ) dla pewnych α, β, γ K (Przekszta lcenia postaci a ax+b cx+d (ad bc 0) nazywamy homografiami) 510 Przekszta lcenia liniowe zachowuja proporcje a := α/β, dla α = aβ Przekszta lcenia afiniczne zachowuja stosunek λ(p, q, r) := λ = p r p q gdy r = (1 λ)p + λq 511 Niech L P(V ) be dzie prosta w przestrzeni rzutowej Wprowadzamy wspó lre dna na prostej, tzn utożsamić L z K { } Dla p, q, r, s K definiujemy dwustosunek: (p, q; r, s) := λ(p, s, r) λ(q, s, r) = p r p s q s q r K 512 Tw: Przekszta lcenia rzutowe zachowuja dwustosunek (Dw: Bo przekszta lcenia afiniczne zachowuja stosunek trzech punktów na prostej Wystarczy sprawdzić dla x 1/x) 513 Przekszta lcenie liniowe jest wyznaczone przez wartośći na n wektorach liniowo niezależnych (n = dim(v )) 514 Przekszta lcenie afiniczne jest wyznaczone przez wartośći na n+1 punktach afinicznie niezależnych (n = dim(e)) 7
8 515 Niecv dim V = n + 1 Punkty p 0, p 1,, p n+1 P(V ) sa w po lożeniu ogólnym, gdy żadne n + 1 z nich nie leży w przestrzeni rzutowej mniejszego wymiaru (Warunek na po lożenie ogólne w je zyku przestrzeni liniowych: Niech L i = lin{v i }, i = 0, 1, n + 1; zak ladamy, że każde n + 1 wektorów v i jest liniowo niezależnych) 516 Tw: Przekszta lcenie rzutowe P n (K) jest wyznaczone przez wartości na n+2 punktach po lożeniu ogólnym 6 cd Dowód: niech p i = [ε i ] P n (K) dla 0 i n be dzie prosta rozpie ta przez standardowy i-ty wektor bazowy K n+1 oraz p n+1 = [1 : 1 : : 1] Dany q i = [w i ] inny uk lad prostych, takich, że każde n + 1 spośród wektorów w i sa liniowo niezależne Istnieje przekszta lcenie liniowe K n+1 przekszta lcaja ce ε i na w i dla i n Dlatego można za lożyć, że w i = ε i dla i n Niech (a 0, a 1,, a n ) be da dnymi wektora w n+1 Przekszta lcenie o macierzy diagonalnej z a 0, a 1,, a n na przeka tnej przeprowadza (1, 1,, 1) na w n+1 Z dok ladnościa do proporcjonalności przekszta lcenie to jest jedyne, jeśli ma zachowywać osie w K n+1, a obraz (1, 1,, 1) ma być proporcjonalny do w n+1 61 Dla n = 1, tzn dla P 1 (K) = P(K 2 ), w jezyku przestrzeni liniowych: przekszta lcenie liniowe K 2 jest wyznaczone jednoznacznie z dok ladnościa do skalara przez warunek na trójce prostych: φ(k) = K, φ(l) = L, φ(m) = M (pod warunkiem, że K, L, M sa parami różne) 62 Twierdzenie Pappusa Aleksandryjskiego ne (patrz wyk lad Hitchina poniżej) (Dowód stosuja cy Tw 516) 63 Wie cej o przestrzeniach rzutowych Wyk lad Hitchina geometry/chapter 1 Projective geometrypdf 64 Ćwiczenie: P2 (R) = Sfera/antypodyzm = dysk wte ga Möbusa 65 Zbiory algebraiczne 1) w przestrzeni afiniczniej K n, 2) w przestrzeni rzutowej P n (K) Podstawianie = 1 w równaniu pozwala przechodzić z 2) do 1) Przejście 1) do 2): operacja ujednoradniania równań 66 Suma i cze ść wspólna zbiorów algebraicznych jest zbiorem algebraicznym 67 Przyk lady: krzywe stożkowe, krzywe eliptczne w postaci Weierstrassa y 2 = x 3 +px+q (postać rzutowa x 2 2 (x3 1 +px2 0 +qx 3 0 ) = 0) 68 Ćwiczenie: dana jest krzywa Q P2 (K) zadana równaniem x x2 2 x2 0 = 0 (czyli afinicznie równanie okre gu) Podać przekszta lcenie wielomianowe P 1 (K) P 2 (K) zadaja ce bijekcje P 1 (K) Q (Nad dowolnym cia lem!!!) 8
9 69 Formy jednorodne Formy kwadratowe = formy jednorodne stopnia Twierdzenie: Zak ladamy, że charakterystyka cia la jest różna od 2 Dana forma kwadratow f w K n Istnieje liniowa zamiana zmiennych w K n taka, że f(, x 2,, x n ) = r a i x 2 i i=1 przy czym a i Wniosek: Jeśli cia lo jest algebraicznie domknie te (wystarczy, że można wycia gać pierwiastki), to f(, x 2,, x n ) = w pewnych dnych Liczba r to rza d formy Ta liczba w pe lni charakteryzuje forme r i=1 x 2 i Wniosek: Jeśli cia lo K = R, to f(, x 2,, x n ) = r + i=1 x 2 i r i=1+r + x 2 i w pewnych dnych Liczba r i r + w pe lni charakteryzuja forme (To jest twierdzenie o bezw ladności, be dzie później) 614 Uwaga: dla odmiany klasyfikacja form trzeciego stopnia (dla trzech zmienych) jest o wiele bardziej skomplikowana Patrz,,j-invariant dla krzywej eliptycznej Dla postaci Weierstrassa j = p 3 4p 3 +27q Zadania o przestrzeniach rzutowych: aweber/zadania/gal2017gw/przestrzenie rzutowe-zadaniapdf Do zrobienia na ćwiczeniach: zadania 533, 534, 5314, 5316, 5322(!!!) 9
GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne
GAL, konspekt wyk ladów: Przestrzenie afiniczne 4 kwietnia 2017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej 1 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoZadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2
Zadania z GAL-u Listopad 2004 1 Rozwia zać uk lady równań: 11 12 13 14 15 { 2x + 3y = 1 3x + y = 0 x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y
Bardziej szczegółowoGAL, konspekt wyk ladów: Tensory
GAL, konspekt wyk ladów: Tensory 8.6.2017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk. [Kos roz. 6]. Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej. 1 Iloczyn tensorowy
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoGAL z aweber/zadania/gal2017gw/ Wersja
Przestrzenie rzutowe GAL z 27 http://wwwmimuwedupl/ aweber/zadania/gal27gw/ Wersja 2627 Patrz osobny plik http://wwwmimuwedupl/ aweber/zadania/gal27gw/przestrzenie rzutowe-zadaniapdf Do zrobienia na ćwiczeniach:
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoR n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoc ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,
3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowoc a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Bardziej szczegółowoGAL z Konspekt wyk ladów: Formy 2-liniowe [Kos roz.1 4], [Tor VII] 1 zadane wzorem φ # (w) = φ(, w). W bazach:
GAL z 2017 Konspekt wyk ladów: Formy 2-liniowe [Kos roz1 4], [Tor VII] 242017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk Materia l mniej standardowy jest opisany dok
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowoGAL, konspekt wyk ladów: Tensory
GAL, konspekt wyk ladów: Tensory 15.6.2018 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk. [Kos roz. 6]. Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej. 1 Iloczyn
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoZadania o grupach Zadania zawieraja
Zadania o grupach 18112014 Zadania zawieraja odsy lacze do podre czników [BT] A Bojanowska, P Traczyk, Algebra I (skrypt) http://wwwmimuwedupl/%7eaboj/algebra/algfinv1pdf [Br] J Browkin, Teoria cia, BiblMat49,
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowoZadania z GAL-u 2004/2005
1 Rozwia zać uk lady równań: { 2x + 3y = 1 11 3x + y = 0 x + y = 1 12 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 13 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 14 3x + 4y + 2z = 2 4x + 2y + 3z = 3 x + y
Bardziej szczegółowo10 czerwiec aweber/zadania/gal2017gw/ przestrzeni liniowej. Oznaczenie V/W.
10 czerwiec 018 GAL z, konspekt wyk ladów: Endomorfizmy http://www.mimuw.edu.pl/ aweber/zadania/gal017gw/ Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk. Materia l mniej
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoo zauważonych b le dach, poprawie inne ważne zbiory, np. dane równaniem lub uk ladem równań. Zajmiemy sie
Analiza matematyczna 2, cze ść jedenasta Tekst poprawiony 4 września 2011, godz 00:02 Zwyk la prośba: prosze o informacje o zauważonych b le dach, poprawie Oprócz miar na przestrzeni IR k istnieja inne
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoSeria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Bardziej szczegółowoWarunki dzia lań na wektorach - aksjomaty przestrzeni liniowej a) b) daja podobnie do wektorów: strza lki, si la, pre
PRZESTRZENIE LINIOWE V = V, +,,, 0, K Warunki dzia lań na wektorach - aksjomaty przestrzeni liniowej a) b) c) d) e) f) g) h) v V v V u V u V (v + u = u + v) w V v V (v + 0 = v) (v + v V v = 0) (1 v = v)
Bardziej szczegółowosa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)
Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowo1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2, cze ść dwunasta Tekst poprawiony 4 września 2011, godz. 00:02. o zauważonych b le. dach, poprawie
Analiza matematyczna 2, cze ść dwunasta Tekst poprawiony 4 września 2011, godz 00:02 Zwyk la prośba: prosze o informacje o zauważonych b le dach, poprawie Zajmiemy sie teraz określeniem miary na rozmaitości
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady
Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoEndomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowo4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowoWyk lad z Algebry Liniowej dla studentów WNE UW. Rok akademicki 2017/2018. Przyk lady zadań na ćwiczenia. 1. Które z cia
Wyk lad z Algebry Liniowej dla studentów WNE UW. Rok akademicki 2017/2018. Przyk lady zadań na ćwiczenia. 1. Które z cia gów: ( 1, 1, 1, 1), (2, 3, 1, 4), (4, 3, 2, 1), (4, 0, 3, 1) sa rozwia 2 zaniami
Bardziej szczegółowoKryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Bardziej szczegółowoTekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. Być może dojda
Tekst poprawiony 27 XII, godz. 7:56. Być może dojda naste pne zadania Definicja 7. krzywej) Niech P oznacza dowolny przedzia l niezdegenerowany. Przekszta lcenie r: P IR k nazywamy krzywa. Jeśli r jest
Bardziej szczegółowoROZDZIA l 13. Zbiór Cantora
ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowo2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH
2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH Typeset by AMS-TEX 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 7 Zasada bijekcji. Jeżeli istnieje bijekcja f : A B, tj. f jest funkcja różnowartościowa i,,na (tzn.
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoW poszukiwaniu kszta ltów kulistych
W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Bardziej szczegółowoWersja testu A 15 lutego 2011 r. jest, że a) x R y R y 2 > Czy prawda. b) y R x R y 2 > 1 c) x R y R y 2 > 1 d) x R y R y 2 > 1.
1. Czy prawda jest, że a) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; b) y R x R y 2 > 1 1+x 2 ; c) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; d) x R y R y 2 > 1 1+x 2? 2. Czy naste puja ca relacja na zbiorze liczb rzeczywistych jest relacja
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowo1 Znaleźć wszystkie możliwe tabelki dzia lań grupowych na zbiorze 4-elementowym.
Algebra I Bardzo dobrym źród lem zadań (ze wskazówkami do rozwia zań) jest M Bryński, J Jurkiewicz - Zbiór zadań z algebry, doste pny w bibliotece Moje zadania dla studentów z *: https://wwwmimuwedupl/%7eaweber/zadania/algebra2014/grupyzadpdf
Bardziej szczegółowoZWIĄZKI ROZMAITOŚCI SCHUBERTA Z REPREZENTACJAMI KOŁCZANÓW
ZWIĄZKI ROZMAITOŚCI SCHUBERTA Z REPREZENTACJAMI KOŁCZANÓW NA PODSTAWIE REFERATU GRZEGORZA ZWARY Przez cały referat zakładamy, że K jest ustalonym ciałem algebraicznie domkniętym. 1. Rozmaitości flag Dla
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowo5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej
Kiedy może być potrzebne numeryczne wyznaczenie pierwszej lub wyższej pochodnej funkcji jednej zmiennej? mamy f(x), nie potrafimy znaleźć analitycznie jej pochodnej, nie znamy postaci f(x), mamy stablicowane
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoFunkcja może mieć lokalne ekstrema jedynie w punktach, w których jej gradient, czyli wektor f = grad f = [ f
Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 005 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie jest bardzo trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,
Bardziej szczegółowocie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia
8. UK LADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. DIAGONALIZACJA MACIERZY. W porzednim paragrafie zdefiniowaliśmy poje cie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia zania go, w przypadku, gdy uk lad jest uk ladem
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowo6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych
konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowo