EXPECTED SHORTFALL W OCENIE RYZYKA AKCYJNYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH

Transkrypt

1 Radosław Pietrzyk Uniwersytet Ekonomiczny We Wrocławiu EXPECTED SHORTFALL W OCENIE RYZYKA AKCYJNYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH 1. Wstęp Rok 2008 zapoczątkował kryzys na rynkach finansowych. Duża niestabilność na rynkach powodowała duże straty inwestorów. Z oczywistych powodów kryzys dotknął również fundusze inwestycyjne lokujące swoje aktywa głównie na rynkach akcji. W obliczu zaistniałych zdarzeń dotychczasowe metody szacowania i prognozowania ryzyka rynkowego zostały poddane krytyce. Pojawiła się potrzeba poszukiwania nowych metod oraz modyfikacji dotychczasowych. Poszukiwanie to ma na celu znalezienie modeli uwzględniających zdarzenia na rynku, które powodują występowanie stóp zwrotu znacznie różniących się od średniej. Zdarzenia takie często nazywane są zdarzeniami ekstremalnymi. Odpowiedzią na te wyzwania może być zastosowanie teorii wartości ekstremalnych (extreme value theory - EVT). EVT pozwala na budowanie modeli, które uwzględniają pojawiające się rzadko, znacznie odbiegające od pozostałych obserwacje. Teoria wartości ekstremalnych znalazła liczne zastosowania, w szczególności w ubezpieczeniach i finansach. Celem artykułu jest przedstawienie możliwości zastosowania EVT do konstrukcji miary zagrożenia Expected Shortfall, która w literaturze [por. Këllezi, Gilli, (2000)] przedstawiana jest jako miara ryzyka ekstremalnego. W pierwszej części pracy została zaprezentowana miara Expected Shortfall jako uzupełnienie koncepcji wartości zagrożonej oraz przedstawiona została jedna z metod jej estymacji oparta na uogólnionym rozkładzie Pareto. Druga część artykułu została poświęcona zaprezentowaniu wyników badań przeprowadzonych na danych pochodzących z polskiego rynku funduszy inwestycyjnych akcyjnych. 2. Expected Shortfall miara ryzyka ekstremalnego Miary ryzyka ekstremalnego są definiowane jako miary związane z ogonem rozkładu. Typowym przykładem takiej miary jest wartość zagrożona (Value at Risk VaR). Do innych miar można zaliczyć między innymi Expected Shortfall (ES). Zdefiniowanie miary Expected Shortfall wymaga wcześniejszego zdefiniowania Value at Risk, gdyż miary te są ściśle ze sobą związane. Wartość zagrożona, zwana również wartością 191

2 narażoną na ryzyko jest definiowana jako kapitał wystarczający (w większości przypadków) do pokrycia strat z portfela inwestycyjnego posiadanego przez określoną liczbę dni. Inaczej VaR jest określany jako strata wartości rynkowej portfela, taka, że prawdopodobieństwo osiągnięcia jej lub przekroczenia w zadanym przedziale czasowym jest równe zadanemu poziomowi tolerancji. Można go wyrazić za pomocą równania: P( W W0 VaR ) p, (1) gdzie: W wartość portfela na koniec okresu, W0 wartość obecna portfela, p poziom tolerancji, = 1 p. Miarę VaR można przedstawić również jako kwanty rozkładu stopy zwrotu (Rp): VaR R, (2) pw 0 Miara Expected Shortfall (ES) stanowi doskonałe uzupełnienie dla miary Value at Risk. W literaturze jest przedstawiana jako alternatywa dla VaR, gdyż wartość zagrożona posiada wiele wad. Jedną z nich jest brak subaddytywności, co powoduje, że VaR nie jest miarą koherentną. Podawane są przykłady, dla których suma VaR poszczególnych składników portfela jest niższa niż VaR dla całego portfela. Drugim zarzutem wspomnianym wcześniej, jest to, że VaR nie mówi nic o potencjalnym rozmiarze strat, jeżeli straty przekroczą poziom VaR. Z problemem tym radzi sobie miara ES, która szacuje poziom strat, po przekroczeniu poziomu VaR. ES określa oczekiwaną wielkość straty, pod warunkiem, że strata przekroczyła poziom VaR. Miara Expected Shortfall jest ściśle związana z wartością zagrożoną, a sama jej konstrukcja opiera się na szacowaniu VaR. Można ją zatem traktować jako uzupełnienie VaR, a nie jej alternatywę i wykorzystywać tylko w połączeniu z wartością zagrożoną. Expected Shortfall możemy określić następującą zależnością: ES E X X VaR. (3) Aby wskazać zależność miary ES od VaR, wzór (3) można przedstawić w postaci: ES VaR E X VaR X VaR. (4) 3. Estymacja Expected Shortfall 192

3 Konstrukcja miary zagrożenia Expected Shortfall wiąże się z warunkowym rozkładem przekroczenia (conditional excess distribution), którego dystrybuanta przyjmuje postać [McNeil, Saladin (1997), s. 3]: F u ( y) P( X u y X u) 0 y (xf u), (5) gdzie: X strata, zmienna losowa pochodząca z rozkładu o dystrybuancie F, u ustalony próg, y wartość, o którą strata przekracza próg u, xf kres górny dziedziny funkcji F. Jest to więc prawdopodobieństwo, że strata przekroczy pewien próg u o wartość nie przekraczającą y, przy założeniu, że w ogóle ten próg przekroczy. Mamy więc do czynienia z rozkładem warunkowym zależnym od wybranego progu u. Dystrybuantę Fu(.) możemy zapisać w zależności od dystrybuanty F: F u y F( u y) F( u) F( x) F( u). (6) 1 F( u) 1 F( u) Twierdzenie Pickandsa-Balkemy-de Haana Dla szerokiej klasy rozkładów danych dystrybuantą F, warunkowy rozkład przekroczenia, dla dużej wartości u, może być aproksymowany przy pomocy F u ( y) G, ( y) u, gdzie: y, 0 G, ( y) (7) y 1 e, 0, dla 0 y (xf u ), jest uogólnionym rozkładem Pareto (Generalized Pareto Distribution - GPD), gdzie: β parametr skali (β > 0), ξ parametr kształtu (indeks ogona). Parametr ξ określa trzy postaci uogólnionego rozkładu Pareto [por. McNeil, Saladin (1997), s. 3]. Dla ξ > 0 otrzymujemy rozkład Pareto, dla ξ = 0 otrzymujemy rozkład wykładniczy, a dla ξ < 0 tzw. rozkład Pareto II typu. Uogólniony rozkład Pareto dla ξ > 0 charakteryzuje się grubymi ogonami. Może mieć zatem znaczenie w analizie wartości ekstremalnych, a kwantyl tego rozkładu może być zastosowany do estymacji miar zagrożenia dla ryzyka ekstremalnego. 193

4 Jednym z podstawowych problemów, oprócz estymacji parametrów rozkładu GPD, jest właściwy wybór progu, powyżej którego obserwacje są zaliczane do ogona rozkładu. Obserwacje znajdujące się powyżej progu, a więc pochodzące z ogona rozkładu posłużą do estymacji parametrów uogólnionego rozkładu Pareto. Wyższa wartość progu oznacza, że więcej obserwacji pochodzi z ogona rozkładu, ale jednocześnie obserwacji jest mniej, co utrudnia estymację parametrów. Znalezienie właściwego poziomu progu nie jest więc zadaniem łatwym i często estymuje się parametry rozkładu dla wielu progów i dokonuje wyboru na podstawie wiedzy eksperckiej. Propozycją rozwiązania tego problemu jest zastosowanie graficznej metody wyznaczania progu u. Polega ona na stworzeniu wykresu zależności wartości oczekiwanej od u. Estymator funkcji wartości oczekiwanej progu może być zdefiniowany jako: e ( u) n ik ( x i u) n, (8) n k 1 gdzie: k = min{i xi>u}, n-k+1 liczba obserwacji przekraczających próg u. Po przekroczeniu progu u musi zachodzić liniowa zależność między funkcją wartości oczekiwanej a progiem u. Można zatem przyjąć próg u na poziomie, przy którym rozpoczyna się liniowa zależność. Korzystając ze wzoru (6) dokonując przekształcenia i za Fu podstawiamy dystrybuantę GPD, a za F(u) estymator postaci (n-nu)/n, gdzie n liczba wszystkich obserwacji zmiennej losowej, X, Nu liczba obserwacji przekraczających próg u, otrzymujemy funkcję F(x) postaci: N F( x) 1 n u 1 ( x u) 1. (9) Po przekształceniu wzoru (5) otrzymujemy dla danego prawdopodobieństwa 1 p, kwantyl rozkładu F, który jest oszacowaniem VaR, opartym na uogólnionym rozkładzie Pareto. Ostatecznie oszacowanie VaR możemy wyrazić wzorem: VaR u n N u (1 ) 1. (10) 194

5 To podejście do szacowania wartości zagrożonej na podstawie uogólnionego rozkładu Pareto różni się od podejść klasycznych tym, że do obliczenia VaR stosujemy nie rozkład straty, ale warunkowy rozkład przekroczenia. Wykorzystując wzór (4), w którym drugi składnik jest wartością średnią rozkładu przekroczenia FVaR(y), powyżej progu VaR. Korzystając z faktu, że dla <1 [por. 9, s. 7]: e( u) E X u X u u 1, β+ u>0. (11) Otrzymana funkcja pozwala na oszacowanie średniej wartości przekroczenia poziomu VaR: ES VaR ˆ ˆ( VaR 1 ˆ u ) VaR ˆ ˆ u 1 ˆ 1 ˆ. (12) Obliczenie tak zdefiniowanego przybliżonego oszacowania ES wymaga znajomości parametrów uogólnionego rozkładu Pareto. Standardową metodą estymacji parametrów rozkładu GPD jest zastosowanie estymatorów największej wiarygodności. Polega ona na maksymalizacji funkcji największej wiarygodności dla posiadanych danych. Opis tej metody można znaleźć w pracy Embrechtsa, Klüppelberg i Mikoscha (1997). Procedura ta opiera się przeważnie na bardzo małym zbiorze danych, gdyż brane pod uwagę są jedynie obserwacje przekraczające założony próg. Dlatego też warto przy estymacji parametrów uogólnionego rozkładu Pareto porównać otrzymane wyniki z wynikami otrzymanymi przy zastosowaniu innych metod. Przykładem takiej metody może być zastosowanie estymatora nieparametrycznych, na przykład estymatora Hilla. W niniejszej pracy parametry rozkładu GPD zostaną oszacowane metodą największej wiarygodności. 4. Expected Shortfall na rynku funduszy akcyjnych Badaniu zostało poddanych 7 funduszy inwestycyjnych, które lokowały swoja aktywa w akcje spółek (fundusze akcyjne). Fundusze te należą do największych oraz są rynku co najmniej od 2000 r. Dane do estymacji parametrów rozkładu Pareto pochodzą z okresu od 1 stycznia 2000 r. do 31 lipca 2008 r. (łącznie 2152 notowania wartości jednostek rozrachunkowych). Badania zostały przeprowadzone na podstawie dziennych 195

6 logarytmicznych stóp zwrotu wartości jednostek uczestnictwa. Zweryfikowano, że szeregi czasowe są stacjonarne. W tabeli 1 zostały przedstawione podstawowe statystyki dla zaobserwowanych stóp zwrotu. Jak można zaobserwować, wartość kurtozy świadczy, że należy odrzucić założenie o normalności rozkładu stóp zwrotu na polskim rynku. Empiryczne rozkłady charakteryzują się również znaczną skośnością. Tabela 1. Podstawowe statystyki dla rozkładu dziennych logarytmicznych stóp zwrotu funduszy akcyjnych Pioneer, PKO/CS, PZU, Skarbiec, Arka, DWS, ING Pioneer PKO/Credit Suisse PZU Skarbiec Akcja Arka DWS ING Średnia 0,024% 0,034% 0,031% 0,050% 0,054% 0,029% 0,037% Odchylenie standardowe 1,231% 1,164% 1,020% 1,112% 1,125% 1,080% 1,129% Skośność 0,333 0,392 0,301 0,039 0,185 0,404 0,182 Kurtoza 5,6042 6,8170 5,7856 5,2815 5,8947 6,1936 4,9111 Minimum 8,345% 7,371% 5,802% 6,010% 6,906% 7,654% 6,538% Max 5,041% 6,540% 5,179% 5,118% 5,571% 4,863% 4,862% 1 kwartyl 0,641% 0,595% 0,512% 0,565% 0,554% 0,559% 0,591% Mediana 0,050% 0,054% 0,030% 0,024% 0,045% 0,024% 0,055% 3 kwartyl 0,707% 0,654% 0,600% 0,667% 0,693% 0,619% 0,674% Potwierdzeniem tych spostrzeżeń są również wykresy kwantylowe dla indeksów i spółek. Przykładowe wykresy dla funduszy Pioneer oraz PKO/Credit Suisse przedstawia Rysunek 1. Na wykresie widać, że występuje znaczne odchylanie się empirycznego wykresu od prostej, która obrazuje rozkład normalny. 196

7 Rys. 1. Wykres kwantylowy dziennych stóp zwrotu na przykładzie funduszy Pioneer (po lewej) oraz PKO/Credit Suisse (po prawej) Estymację parametrów ξ i β uogólnionego rozkładu Pareto dokonano za pomocą metody największej wiarygodności. W tym celu wykorzystano zaimplementowane funkcje w środowisku XploRe. Korzystając ze wzoru (8) wyznaczono wartość oczekiwaną. Na tej podstawie zostały sporządzone wykresy zależności funkcji wartości oczekiwanej od u wyznaczono progi u dla indeksów wszystkich funduszy. Znalazły się one w przedziale 2,05%-2,75%, Wykresy zależności od u dla funduszy przedstawiają rysunki 2 i 3. Rys. 2. Wykres (u, e(u)) dla funduszu Pioneer

8 Rys. 3. Wykres (u, e(u)) dla pozostałych funduszy funduszu ,007 0,006 PKO/Credit Suisse PZU ,0075 0,007 0,0065 0,006 Arka Skarbiec ,007 0, ,007 0,006 DWS ING Tabela 2 prezentuje uzyskane oszacowania parametrów GPD wraz z progami, dla jakich wartości te zostały wyestymowane. Nu oznacza liczę obserwacji znajdujących się w ogonie (powyżej progu u). Tabela 2. Wyestymowane parametry uogólnionego rozkładu Pareto dla funduszy Pioneer, PKO/CS, PZU, Skarbiec, Arka, DWS, ING Fundusz u N u F(u) ξ β Pioneer PKO/CS 1,96% 108 0,9498 0,0421 0,0078 2,75% 47 0,9781 0,2387 0,0027 3,29% 22 0,9898 0,2062 0,0034 1,79% 108 0,9498 0,1604 0,0049 2,67% 44 0,9795 0,3234 0,0020 3,15% 22 0,9898 0,

9 PZU Skarbiec Arka DWS ING 1,57% 108 0, ,37% 47 0,9781 0,3758 0,0011 2,70% 22 0,9898 0,2332 0,0370 1,70% 108 0,9498 0, ,67% 34 0,9842 0,1360 0,0035 2,92% 22 0,9898 0, ,67% 21 0,9902 0,0499 0,0057 1,71% 108 0,9498 0,0483 0,0070 2,67% 38 0,9823 0,3799 0,0011 2,94% 22 0,9898 0,2216 0,0029 2,67% 27 0,9874 0,4324 0,0008 1,66% 108 0,9498 0,0806 0,0063 2,05% 71 0,9670 0,2117 0,0032 2,93% 22 0,9898 0,1414 0,0049 2,05% 35 0,9837 0,3576 0,0014 1,81% 108 0,9498 0,0419 0,0063 2,67% 35 0,9837 0,3460 0,0012 2,89% 22 0,9898 0,2688 0,0019 Korzystając ze wzoru (11) oszacowano wartości VaR dla poziomów 95%, 99%, 99,5%. Oszacowania te pozwoliły następnie na estymację miary Expected Shortfall. Miary te zostały oszacowane na tych samych poziomach tolerancji, co miary VaR. Uzyskane wyniki prezentuje Tabela 3. Tabela 3. Oszacowania VaR i ES dla funduszy Pioneer, PKO/CS, PZU, Skarbiec, Arka, DWS, ING Fundusz u N u VaR 99.5% VaR 99% VaR 95% ES 99.5% ES 99% ES 95% Pioneer PKO/CS PZU Skarbiec Arka DWS ING 1,96% 108 3,849% 3,263% 1,965% 4,75% 4,13% 2,78% 2,75% 47 3,228% 2,983% 2,549% 3,73% 3,41% 2,84% 3,29% 22 3,553% 3,301% 2,837% 4,05% 3,73% 3,14% 1,79% 108 3,157% 2,691% 1,789% 4,00% 3,45% 2,37% 2,67% 44 3,017% 2,825% 2,514% 3,48% 3,19% 2,73% 3,15% 22 4,122% 3,180% 0,975% 5,47% 4,53% 2,34% 1,57% 108 3,619% 3,012% 1,572% 4,47% 3,88% 2,46% 2,37% 47 2,584% 2,467% 2,288% 2,89% 2,70% 2,42% 2,70% 22 5,143% 2,786% 4,407% 7,68% 5,77% 0,06% 1,70% 108 3,764% 3,163% 1,700% 4,59% 4,01% 2,60% 2,67% 34 3,102% 2,831% 2,291% 3,58% 3,26% 2,64% 2,92% 22 3,712% 2,941% 1,018% 4,74% 4,01% 2,20% 2,67% 21 3,391% 2,989% 2,108% 4,03% 3,61% 2,68% 1,71% 108 3,424% 2,890% 1,717% 4,25% 3,69% 2,45% 2,67% 38 2,850% 2,743% 2,581% 3,13% 2,96% 2,70% 2,94% 22 3,157% 2,942% 2,554% 3,59% 3,31% 2,81% 2,67% 27 2,958% 2,886% 2,782% 3,32% 3,19% 3,01% 1,66% 108 3,241% 2,733% 1,658% 4,06% 3,51% 2,34% 2,05% 71 2,793% 2,486% 1,926% 3,40% 3,01% 2,30% 2,93% 22 3,297% 2,942% 2,241% 3,92% 3,51% 2,69% 2,05% 35 2,841% 2,713% 2,513% 3,49% 3,29% 2,98% 1,81% 108 3,330% 2,857% 1,810% 4,05% 3,56% 2,47% 2,67% 35 2,836% 2,728% 2,558% 3,10% 2,94% 2,68% 199

10 2,89% 22 3,041% 2,897% 2,650% 3,35% 3,16% 2,82% Uzyskane wyniki pokazują oczekiwane straty, jakie mogą ponieść inwestorzy, jeżeli dzienny spadek wartości funduszu inwestycyjnego przekroczy poziom VaR. Oszacowania zaprezentowane w tabeli wskazują, że spadek wartości może osiągnąć poziom 7,68% (PZU). Prawdopodobieństwo zajścia takiej sytuacji jest jednak niewielkie i wynosi jedynie 0,5%. Jak pokazała jednak rzeczywistość takie straty powinny zostać uwzględnione. W dniach kryzysu wartość jednostki PZU spadła w dniu r. o 7,49%. Spadki wartości jednostek uczestnictwa innych funduszy były jeszcze wyższe. W ciągu 3 kolejnych miesięcy wszystkie fundusze zanotowały swoje maksymalne spadki. Ich poziom prezentuje Tabela 4. Tabela 4. Maksymalne poziomy spadków wartości funduszy inwestycyjnych w trakcie kryzysu finansowego w 2008 r. Fundusz Pioneer PKO/CS PZU Skarbiec Arka DWS ING Maksymalny spadek wartości 8,97% 8,86% 7,49% 6,30% 8,82% 9,50% 7,33% Maksymalna wartość ES 4,75% 5,47% 7,68% 4,74% 4,25% 4,03% 4,05% Zaprezentowane wyniki wskazują na to, że miara Expected Shortfall nawet wykorzystująca teorię wartości ekstremalnych nie oszacowała ryzyka w większości przypadków. Jedynie dla funduszu PZU można mówić o zadowalającym oszacowaniu. Wykorzystanie warunkowego rozkładu przekroczenia, mimo, że uwzględnia ekstremalne stopy zwrotu na rynkach finansowych nie pozwoliło na właściwe oszacowanie maksymalnej straty większości funduszy. Świadczyć to może o ogromnej skali kryzysu na rynkach finansowych w 2008 r. Niemniej jednak wykorzystanie tej miary daje większe możliwości przewidywania strat na rynkach finansowych. 5. Podsumowanie Miara Expected Shortfall stanowi dobre uzupełnienie dla miary VaR. Szacuje poziom strat, po przekroczeniu poziomu VaR. ES jest miarą koherentną, co oznacza, że posiada również 200

11 własność subaddytywności, czego brakuje wartości zagrożonej. Zastosowanie miary Expected Shortfall i szacowanie jej w oparciu o warunkowy rozkład przekroczenia pozwala na uwzględnienie ryzyka ekstremalnego, co w jest istotne w czasach dużej niepewności na rynkach finansowych. Podstawowym problemem w zastosowaniu miary ES jest wybór metody estymacji oraz błędy estymacji, co na przykład w metodzie MLE może być spowodowane niewłaściwym wyborem progu u. Przeprowadzone badania pokazały, że miara ES może być wykorzystywana przez zarządzających funduszami inwestycyjnymi do szacowania ryzyka ekstremalnego. Pokazuje ona rozmiar strat jakie mogą wystąpić. Mimo, że miara ta, jak pokazały badania, może nie doszacowywać ryzyka, to jednak powinna być uwzględniana, gdyż przynosi więcej informacji o potencjalnych maksymalnych stratach niż klasyczne miary ryzyka. Literatura [1] Dowd K. (1998), Beyond Value At Risk, John Wiley & Sons, Chichester [2] Embrechts P. (2000), Extreme Value Theory: Potential And Limitations As An Integrated Risk Management Tool, maszynopis, ETHZ Zurich. [3] Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosch T, (1997), Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer, Berlin. [4] Emmer S., Klüppelberg C., Trüstedt M., VaR a measure for the extreme risk [5] Jajuga K. (2000), Miary ryzyka rynkowego część trzecia, Rynek Terminowy 8, str [6] Jajuga K. (2001), Podstawy analizy wartości ekstremalnych na rynkach finansowych. Rynek Terminowy, 11, s [7] Jajuga K., Kuziak K., Papla D., Rokita P.(2001), Ryzyko wybranych instrumentów polskiego rynku finansowego część druga, Rynek Terminowy 11, str [8] Jorion P. (2001), Value at Risk: the new benchmark for managing financial risk, Chicago, 2 nd edition, McGraw-Hill. [9] Këllezi E., Gilli M. (2000), Extreme Value Theory for Tail-Related Risk Measures, maszynopis. [10] McNeil A. (1999), Extreme Value Theory for Risk Managers, maszynopis, ETHZ, Zurich. [11] McNeil A., Saladin T. (1997), The Peaks over Thresholds Method for Estimating High Quantiles of Loss Distributions, maszynopis, ETHZ, Zurich. 201

12 [12] Metody ekonometryczne t statystyczne w analizie rynku kapitałowego (2000), Red. Jajuga K., AE Wrocław. Expected Shortfall in risk evaluation of stock funds Summary In this paper a study on measuring Expected Shortfall (ES) has been carried out. Expected shortfall is a tail-related risk measure, which is defined, as the expected size of loss that exceeds Value at Risk. ES is a supplementary measure for VaR. The peaks over threshold method provides a simple tool for estimating measures of tail risk like ES. In the last part this method has been verified on Polish market in risk evaluation of stock funds during the world financial crisis. 202