Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
|
|
- Weronika Kamila Białek
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w semestrze A Ć L S Σ A Ć L S III IV 15 1E Razem w czasie studiów Semestr Punkty kredytowe Semestr IV 8. Zależności różniczkowe przy zginaniu Ścinanie ze zginaniem, wzór Żurawskiego Obliczenia belek, wymiarowanie ze względu na naprężenia dopuszczalne. 11. Odkształcenia belek podczas czystego zginania. Całkowanie równania różniczkowego. 12. Metoda Clebsch a całkowania równania różniczkowego osi odkształconej belki. 13. Wyboczenie, siła krytyczna, smukłość prętów, wzory Eulera i Tetmayera. 14. Belki statycznie niewyznaczalne, wyznaczanie reakcji metodą całkowania równania różniczkowego i porównywania odkształceń. 15. Hipotezy wytrzymałościowe Hubera, Coulomba, De Saint Venanta, Galileusza, złożone przypadki wytrzymałości, skręcanie ze zginaniem, ściskanie mimośrodowe Temat 8 (2 godziny): Zależności różniczkowe przy zginaniu. Jeżeli wytniemy myślowy odcinek belki o długości elementarnej prawej części belki możemy zastąpić siłami jak na rys.1 to działanie lewej i
2 y T T+dT +d x Z warunku sumy rzutów sił na oś pionową: Z warunku sumy momentów względem punktu : Rys.8.1 Równowaga elementarnego wycinka belki zginanej. odrzucając : Pochodna siły poprzecznej względem współrzędnej x wzdłuż osi pręta jest równa natężeniu obciążenia ciągłego : Pochodna momentu gnącego sile poprzecznej : względem współrzędnej x wzdłuż osi pręta jest równa Z równań powyższych wynika również: Przykład Wyznaczyć wykres sił tnących i momentów gnących dla belki przedstawionej na rys.8.2. Równanie obciążenia ciągłego: Równanie sił tnących
3 stałą całkowania C wyznaczmy z warunku brzegowego: Równanie momentów gnących stałą całkowania D wyznaczmy z warunku brzegowego: Wykresy sił tnących oraz momentów gnących przedstawione są na rys.8.2. Rys.8.2 Schemat obciążenia belki Temat 9 (1 godzina): Ścinanie ze zginaniem, wzór Żurawskiego
4 Przy zgięciu ogólnym w przekroju poprzecznym belki występuje, oprócz momentu zginającego wywołującego naprężenia normalne, siła tnąca, powodująca powstanie naprężeń stycznych (tnących). Przy założeniu, że naprężenia tnące są równomiernie rozłożone na całym przekroju poprzecznym pręta ich wartość średnia wynosi. W rzeczywistości naprężenia styczne są zmienne w przekroju, tak co do wartości jak i kierunku, nie tylko wzdłuż wysokości, lecz także szerokości belki. Pomijając składowe poziome tych naprężeń stycznych jako nieistotne, obliczamy średnią wartość składowych pionowych w warstwie odległej o z od warstwy obojętnej w danym przekroju z tzw. wzoru Żurawskiego : C u(z) Rys.9.1 Rozkład naprężeń tnących od siły poprzecznej. gdzie: - siła tnąca w danym przekroju belki, wzięta z wykresu sił tnących, - moment statyczny części pola przekroju poprzecznego belki, znajdującego się ponad rozpatrywaną warstwą, - moment bezwładności przekroju względem osi obojętnej zginania, - szerokość przekroju dla danego. Jak wynika z wzoru Żurawskiego maksymalne naprężenia styczne występują w warstwie obojętnej, gdyż wtedy moment statyczny osiąga wartość ekstremalną, a w warstwach zewnętrznych są równe zeru. Dla jest, dla jest, lecz, gdyż oś przechodzi przez środek geometryczny. Temat 10 (2 godziny): Obliczenia belek, wymiarowanie ze względu na naprężenia dopuszczalne
5 Zginanie płaskie zachodzi wtedy, gdy płaszczyzna obciążenia belki leży w jednej z głównych centralnych płaszczyzn bezwładności, a druga główna płaszczyzna bezwładności jest warstwą obojętną. Przy zginaniu w dowolnym punkcie przekroju poprzecznego belki występuje naprężenie normalne oraz naprężenia styczne, przy czym naprężenia zależą tylko od momentu gnącego w danym przekroju, a naprężenia styczne zależą tylko od siły tnącej, czyli: co znacznie ułatwia obliczenia jednych i drugich naprężeń. a) b) z y z y z y Przy założeniu słuszności hipotezy płaskich przekrojów, naprężenia normalne w przekroju poprzecznym belki w warstwie odległej o od osi obojętnej przekroju określone jest wzorem: Rys.10.1 gdzie: - moment zginający w przekroju belki o odciętej, - moment bezwładności pola przekroju poprzecznego belki względem osi obojętnej przekroju, - odległość rozpatrywanej warstwy od osi obojętnej. Największe naprężenia normalne w danym przekroju występują w warstwach skrajnych (dla ), przy czym dla przekrojów symetrycznych względem osi obojętnej zginania, maksymalne naprężenia rozciągające i ściskające będą sobie równe. Największe naprężenia normalne w belce o stałym przekroju wystąpią tam, gdzie jest maksymalny moment zginający. Dla przekroju symetrycznego względem osi (rys.1.a) otrzymamy: gdzie: jest wskaźnikiem wytrzymałości na zginanie. Zgodnie z podstawowym warunkiem wytrzymałościowym maksymalne naprężenia nie mogą przekroczyć naprężeń dopuszczalnych, czyli:
6 Wzór powyższy stosuje się do materiałów jednakowo wytrzymałych na rozciąganie i ściskanie (stal, dural). Dla materiałów o niejednakowej wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie (drewno, żeliwo) należy za naprężenie dopuszczalne wstawić to naprężenie, które jest mniejsze. Zakładając, że belka wyginana jest dodatnim momentem zginającym (włókna dolne rozciągane, a górne ściskane) dla przekroju niesymetrycznego z rys1.a otrzymamy: Ustawienie przekroju jak na rys.1a dotyczy belki wykonanej z materiału o np. z żeliwa. W przypadku, gdy (np. belka drewniana) należałoby przekrój obrócić. Najkorzystniejszy dla danego materiału będzie taki przekrój, dla którego naprężenia w warstwach skrajnych osiągną jednocześnie wartości dopuszczalne na rozciąganie i na ściskanie. Nastąpi to wtedy, gdy będzie spełniona zależność: Przykład Wyznaczyć maksymalną siłę P dla belki drewnianej wolnopodpartej, jeżeli,. Wymiary przekroju poprzecznego podano na rys.10.2 w cm. Rys.10.2 Maksymalny moment zginający dla powyższej belki wystąpi w środku belki i wyniesie: Naprężenia w tym przekroju wynoszą:
7 gdzie jest wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na zginanie. Aby wyznaczyć ten wskaźnik, należy określić położenie środka ciężkości przekroju. W tym celu obieramy układ osi x i y w ten sposób, że oś x przechodzi przez dolną podstawę przekroju, a oś y jest pionową osią symetrii przekroju. Przekrój poprzeczny dzielimy na trzy prostokątne pola. Położenie środka ciężkości przekroju wyznacza się ze wzoru: Osiowy moment bezwładności przekroju względem osi przechodzącej przez środek ciężkości przekroju C wyznacza się ze wzoru (przy zastosowaniu wzorów Steinera): Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie wyniesie: Po podstawieniu tej wartości do wzoru na siłę P otrzymamy:
8 Rys 10.3 Naprężenia w belce otrzymane za pomocą programu NASTRAN FX. Niebieski kolor odpowiada naprężeniom ściskającym -10 MPA, natomiast kolor czerwony odpowiada naprężeniom rozciągającym MPa. Górny, powiększony rysunek przedstawia naprężenia w przekroju poprzecznym belki w środku rozpiętości belki. Temat 11 (2 godziny): Odkształcenia belek podczas czystego zginania. Całkowanie równania różniczkowego Skutkiem działania sił zewnętrznych na belkę jest, poza naprężeniami, jej odkształcenie, które przy zgięciu płaskim polega na zakrzywieniu os belki w płaszczyźnie działania sił zewnętrznych.
9 P Wielkościami charakteryzującymi odkształcenie belki w danym przekroju są: ugięcie i kąt ugięcia (kąt obrotu) belki w danym przekroju, które będziemy określali w stosunku do prostokątnego układu współrzędnych osi, przyjmując oś odciętych za nieodkształconą oś geometryczna belki, a oś skierowaną prostopadle do niej w górę, jak na rys.1. Ugięciem belki w danym przekroju nazywamy przesunięcie środka geometrycznego tego przekroju w kierunku prostopadłym do Rys.11.1 Schemat odkształceń belki. nieodkształconej osi belki. Kątem ugięcia (obrotu) przekroju belki nazywamy kąt o jaki obraca się przy zginaniu dany przekrój belki w stosunku do swego położenia pierwotnego. Jak widać z rys.1 jest on równy kątowi, jaki tworzy styczna do odkształconej osi belki w danym przekroju z osią nieodkształconą, dlatego nazywa się go powszechnie kątem ugięcia belki w danym przekroju. Dla belki w konkretny sposób podpartej i obciążonej ugięcie oraz kąt ugięcia są wyłącznie funkcjami położenia tego przekroju, czyli: Równanie nazywamy równaniem linii ugięcia belki, a równanie nazywamy równaniem kątów ugięć. Znając te równania możemy określić ugięcie i kąt ugięcia belki w każdym przekroju (dla każdego ). Ugięcie maksymalne belki oznaczamy przez i nazywamy strzałką ugięcia. Z definicji pochodnej funkcji wynika zależność: Dla belek o dużej sztywności, z jakimi mamy do czynienia w konstrukcjach, możemy z bardzo dużym przybliżeniem zastąpić przez : Czyli kąt ugięcia belki w danym przekroju jest pierwszą pochodną ugięcia w tym przekroju względem zmiennej niezależnej. Pomijając wpływ naprężeń tnących na kąt obrotu przekroju i jego ugięcie jako nieistotne, związek między odkształceniem belki w danym przekroju a momentem gnącym w tym przekroju przedstawia równanie różniczkowe linii ugięcia belki:
10 przyjmujemy, że ugięcia belki:, wtedy otrzymujemy przybliżone równanie różniczkowe linii gdzie jest modułem Younga, a jest momentem bezwładności względem osi zginania. Zależność powyższa jest równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym rzędu drugiego, zawierającym tylko drugą pochodną zmiennej zależnej, a więc bardzo łatwym do rozwiązania. Całkując je otrzymamy równanie kątów ugięć: czyli: a po powtórnym scałkowaniu otrzymamy równanie linii ugięcia belki: czyli: Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych, wynikających przede wszystkim ze sposobu podparcia belki. Obliczenie całek występujących w równaniach różniczkowych nie przedstawia trudności merytorycznych, ponieważ moment gnący w przekrojach wyrażamy zawsze wielomianem. Temat 12 (2 godziny): Metoda Clebsch a całkowania równania różniczkowego osi odkształconej belki
11 Aby uzyskać tylko dwie stałe całkowania, przy kilku przedziałach całkowania trzeba przy układaniu równań różniczkowych linii ugięcia belki przestrzegać następujących reguł, zwanych warunkami Clebscha: 1. Odcięte we wszystkich przedziałach muszą być liczone względem tego samego początku układu współrzędnych, lewego lub prawego końca belki. 2. Jeżeli obciążenie ciągłe nie działa aż do końca belki, należy dodać i odjąć takie samo obciążenie do końca belki, jak to pokazano na rys.1 Rys.12.1 Dodawanie i odejmowanie obciążenia ciągłego, jeżeli nie działa do końca belki 3. Jeżeli na belkę działa moment, to do wzoru na moment gnący należy wprowadzić wyrażenie:, jak to jest pokazane na rys.2 Rys.12.2 Ilustracja fikcyjnego ramienia momentu: 4. Stałe całkowania i należy umieszczać w pierwszym przedziale. 5. Całkowanie równań różniczkowych należy przeprowadzać bez rozwijania wyrażeń w nawiasach, traktując jako zmienną nie lecz. Przykład Wyznaczyć równanie linii kątów ugięć i linii ugięci belki na dwóch podporach o stałym przekroju, obciążonej siłą P w odległości a od podpory A, jak na rys Wyznaczyć kąty podporowe oraz strzałkę ugięcia i ugięcie u środku.
12 Rys.12.3 Wyznaczamy reakcje z warunków równowagi: Belka ma dwa przedziały, w których momenty zginające wyrażają się różnymi równaniami. W przedziale pierwszym dla : W przedziale drugim dla : Dla ułatwienia rozwiązania korzystamy z zapisu w tabeli nr Z warunków brzegowych wyznaczamy stałe całkowania C i D : Wstawiając obliczone stałe do równania kątów ugięć dla obu przedziałów otrzymamy:
13 Tab.14.1 Obliczanie linii ugięcia belki pokazanej na rys.12.1 Wstawiając obliczone stałe do równania linii ugięcia belki otrzymamy ostatecznie: Kąty ugięcia na podporach wyznaczamy z równań kątów ugięć. Kąt ugięcia nad podporą A : Kąt ugięcia nad podporą B : Dla obliczenia strzałki ugięcia musimy najpierw określić współrzędną przekroju w którym ona wystąpi. W tym celu przyrównujemy do zera pochodną linii ugięcia belki czyli równanie kątów ugięcia (kąt ugięcia jest pochodną ugięcia). Strzałka ugięcia wystąpi w pierwszym (większym) przedziale, dlatego przyrównujemy do zera równanie : stąd:
14 Analizując powyższe wyrażenie na stwierdzimy, że gdy, czyli gdy siła P zbliża się do podpory B, to i analogicznie gdy,, czyli gdy siła P zbliża się do podpory A, to. Oznacza to, że maksymalne ugięcie występuje zawsze w pobliżu środka. Ponieważ w sąsiedztwie przekroju kąty są bardzo małe, to ugięcie w środku niewiele różni się od maksymalnego. Dlatego w praktyce przyjmuje się, że przy działaniu na belkę dowolnych obciążeń wyginających ją w tę samą stronę, to maksymalne ugięcie występuje w środku rozpiętości belki. W rozpatrywanym przypadku, wstawiając do równania ugięć otrzymamy przybliżoną strzałkę ugięcia: W szczególnym przypadku gdy siła P jest przyłożona w środku rozpiętości belki tzn. gdy wtedy i kąty podporowe wynoszą: a strzałka ugięcia : Temat 13 (2 godziny): Wyboczenie, siła krytyczna, smukłość prętów, wzory Eulera i Tetmayera Zniszczenie elementu konstrukcyjnego może nastąpić nie tylko dlatego, że zostanie przekroczona wytrzymałość tego elementu, lecz także dlatego, że element ten odkształcając się nie zachowa kształtu przewidzianego przez konstruktora. Inaczej mówiąc postać odkształconego elementu konstrukcyjnego, typowa dla danego rodzaju obciążenia, stanie się niestateczna, a stateczna okaże się inne odkształcenie. Zmiana postaci statecznej odkształconego elementu konstrukcyjnego występuje przy odpowiednio dużej wartości sił obciążających.
15 Jak wykazują doświadczenia dla prętów ściskanych osiowo, stateczną postacią odkształcenia jest początkowo postać prostoliniowa. Przy odpowiednio dużych wartościach sił ściskających i długości postać ta staje się niestateczna, a stateczna okazuje się postać wygięta. Utratę stateczności prostoliniowej postaci pręta ściskanego osiowo nazywamy wyboczeniem. Gwałtowność pojawienia się jest cechą charakterystyczną dla zjawiska wyboczenia. Wartość siły ściskającej osiowo, po przekroczeniu której następuje utrata stateczności prostoliniowej postaci pręta, a stateczną staje się postać wygięta, nazywa się siłą krytyczną. Siłę krytyczną uważamy za siłe niebezpieczną, a odpowiadające jej naprężenia zwane naprężeniami krytycznymi za naprężenia niebezpieczne, czyli: Ponieważ sile krytycznej odpowiada jeszcze postać prostoliniowa lub postać wygięta o ugięciach małych, to naprężenia krytyczne wyniosą: gdzie: A jest polem przekroju poprzecznego pręta. Naprężenia dopuszczalne z punktu widzenia wyboczenia (wykluczające wystąpienie tego zjawiska) otrzymamy, dzieląc naprężenia krytyczne przez współczynnik bezpieczeństwa na wyboczenie : Współczynnik bezpieczeństwa na wyboczenie przyjmuje się na ogół jako równy współczynnikowi bezpieczeństwa na ściskanie lub jako funkcję smukłości, przy czym im większa smukłość tym większa wartość współczynnika. Wzór określający siłę krytyczną dla prętów o stałym przekroju, przy załażeniu że wyboczenie zachodzi w obszarze sprężystym, został wyprowadzony przez Eulera w postaci: gdzie: - najmniejszy moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta względem osi przechodzącej przez jego środek geometryczny, - długość wyboczeniowa pręta, która zależy od sposobu zamocowania końców pręta, wg rys n =1,2,3. liczby, przy których możliwa jest krzywoliniowa postać równowagi. Odkształcenia pręta ściskanego dla n=1,2 i 3 pokazane są na rys.13.1
16 n=1 n=2 n=3 Rys13.1 Kształty linii ugięcia dla różnych wartości n, otrzymane za pomocą programu NASTRAN FX. Rys.13.2 Długości wyboczeniowe dla różnych zamocowań końców pręta. Odkształcenia pręta ściskanego przy różnych zamocowaniach, otrzymane programem NASTRAN
17 W wątpliwych przypadkach należy przyjmować krytyczna jest mniejsza. Znając siłę krytyczną obliczamy naprężenie krytyczne:, wtedy obliczona siła gdzie: nazywamy smukłością pręta. W powyższym wzorze jest najmniejszym promieniem bezwładności przekroju pręta: Wzory Eulera na siłę i naprężenia krytyczne możemy stosować tylko dla wyboczenia sprężystego, czyli : Czyli dla smukłości nie mniejszych od smukłości granicznej: Granica proporcjonalności rzadko kiedy jest dana i na ogół utożsamia się ją z granicą sprężystości. Jeżeli zjawisko wyboczenia występuje przy naprężeniach większych od granicy proporcjonalności wówczas mamy do czynienie z wyboczeniem sprężysto-plastycznym. W tym przypadku dla obliczenia naprężeń krytycznych stosuje się powszechnie wzory empiryczne Tetmajera-Jasińskiego i Johnsona-Ostenfelda. Wzór Tetmajera-Jasińskiego przedstawia naprężenia krytyczne jako funkcję liniową smukłości (tzw. prosta Tetmajera): gdzie: granica plastyczności, współczynnik kierunkowy prostej Tetmajera-Jasińskiego. Wzór Johnsona-Ostenfelda przedstawia naprężenie krytyczne smukłości : jako funkcję kwadratową
18 gdzie: granica plastyczności, Wierzchołek paraboli Johnsona-Ostenfelda znajduje się w punkcie określonym przez, a parabola ta jest styczna do hiperboli Eulera w punkcie o współrzędnej równej: Dla stali konstrukcyjnej mającej granicę proporcjonalności, granicę plastyczności i moduł Younga, wykresy naprężeń krytycznych przedstawione są na rys.1. Smukłości graniczne wynoszą : Smukłość graniczna wg Eulera: Smukłość graniczna wg Johnsona-Ostenfelda:
19 Rys.13.2 Naprężenia krytyczne w funkcji smukłości dla stali konstrukcyjnej mającej granicę proporcjonalności, granicę plastyczności i moduł Younga. Temat 14 (2 godziny): Belki statycznie niewyznaczalne, wyznaczanie reakcji metodą całkowania równania różniczkowego i porównywania odkształceń Belka statycznie niewyznaczalna ma więcej podpór niż to jest konieczne, aby znajdowała się w stanie równowagi pod obciążeniem. Zamocowania czy podparcia, które nie są konieczne dla utrzymania belki w stanie równowagi pod każdym obciążeniem nazywamy podporami nadliczbowymi lub hiperstatycznymi. Podpory hiperstatyczne możemy, ogólnie biorąc, wybrać w sposób dowolny, przy zachowaniu jednak warunku stateczności. Na przykład w belce przedstawionej na rys.14.1 jako podporę hiperstatyczną możemy wybrać każdą z podpór.
20 ) Rys.14.1 Przykłady belek statyczne niewyznaczalnych. Belkę statyczne wyznaczalną, jaka powstaje z belki statycznie niewyznaczalnej przez odrzucenie podpór przyjętych za hiperstatyczne, nazywamy belką podstawową dla danej belki statycznie niewyznaczalnej. Ponieważ podpory hiperstatyczne możemy wybierać różnie, dlatego dana belka statycznie niewyznaczalna może mieć kilka belek podstawowych. Na przykład belką podstawową dla belki z rys.14.1b może być belka wspornikowa lub belka na dwóch podporach, jak na rys.14.2 Belka rzeczywista statycznie niewyznaczalna Belka podstawowa wspornikowa Belka podstawowa na dwóch podporach Rys.14.2 Przykład belki rzeczywistej statyczne niewyznaczalnej i belek podstawowych Reakcje odrzuconych podpór hiperstatycznych traktujemy jako obciążenia belki podstawowej. Belka podstawowa pod działaniem zadanych obciążeń i reakcji hiperstatycznych musi odkształcać się w sposób identyczny, jak dana belka statycznie niewyznaczalna. Każda podpora hiperstatyczna, wprowadzając dodatkowo niewiadomą reakcję, powoduje jednocześnie ograniczenie odkształcenia belki podstawowej w tym przekroju, dając dodatkowe równanie do jej wyznaczenia. Wynika stąd, że każde zadanie statycznie niewyznaczalne jest rozwiązalne. Istnieje szereg metod rozwiązywania belek statycznie niewyznaczalnych. Wszystkie opierają się na rozwiązywaniu belki podstawowej. Różnica polega tylko na sposobie wykorzystania warunków zgodności odkształceń lub wyborze belki podstawowej. W rozwiązywaniu należy zawsze stosować tę metodę, która najprostszą drogą prowadzi do
21 wyznaczenia wielkości niewiadomych. Najczęściej stosowane metody to metoda całkowania równania różniczkowego linii ugięcia belki oraz metoda porównywania odkształceń. Metoda całkowania równania różniczkowego linii ugięcia belki. Tok rozwiązywania przy zastosowaniu tej metody jest nastepujący: 1. Obieramy podpory hiperstatyczne, ustalając tym samym belkę podstawową, którą obciążamy zadanymi siłami i reakcjami hiperstatycznymi. 2. Traktując reakcje hiperstatyczne jako wiadome, obliczamy reakcje belki podstawowej z równań statyki. 3. Układamy równanie różniczkowe linii ugięcia belki i dwukrotnie je całkujemy. Przy układaniu i całkowaniu równań różniczkowych przestrzegamy warunków Clebscha. 4. Z warunków brzegowych wyznaczamy stałe całkowania i reakcje hiperstatyczne. Warunków tych będzie zawsze wystarczająco dużo, ponieważ każda podpora czy zamocowanie hiperstatyczne, powoduje ograniczenie odkształcenia. 5. Wyznaczamy pozostałe reakcje i wykonujemy wykresy sił tnących i momentów gnących i na ich podstawie projektujemy belkę. Metoda ta jest szczególnie przydatna wtedy, gdy musimy znać równanie linii ugięcia belki. Jeżeli nie musimy znać równania linii ugięcia belki, należy zastosować inne metody np. metodę porównywania odkształceń. Metoda porównywania odkształceń. Metoda ta polega na wyznaczeniu odkształceń belki podstawowej, w miejscu działania reakcji hiperstatycznej, osobno od zadanych obciążeń i osobno od reakcji hiperstatycznej. Odkształcenia te dodaje sie algebraicznie (zasada superpozycji), z uwzględnieniem warunku narzuconego przez daną podporę hiperstatyczną. Odkształcenia wyznacza się z reguły metodą sumowania znanych odkształceń najprostszych belek statycznie wyznaczalnych, zestawionych w tabelach [4]. Rozwiązanie polega na obliczeniu pozostałych reakcji z równań statyki i wykonaniu wykresów momentów zginających i sił tnących. Przykład Belka dwuprzęsłowa ABC obciążona jest na podporze A parą sił o momencie, jak na rys Rozpiętość każdego przęsła. Rozwiązać belkę, oraz obliczyć kąty podporowe. Jako podporę hiperstatyczną przyjmujemy podporę B. Z warunków równowagi wyznaczamy reakcje: 1. 2.
22 Rys.14.3 Belka rzeczywista Rys.14.4 Belka podstawowa Belka ma dwa przedziały, w których momenty zginające wyrażają się różnymi równaniami. W przedziale pierwszym dla : W przedziale drugim dla : Dla ułatwienia rozwiązania korzystamy z zapisu w tabeli nr Tab.14.1 Obliczanie linii ugięcia belki pokazanej na rys.14.3
23 Z warunków brzegowych wyznaczamy stałe całkowania C i D : Wyznaczamy pozostałe reakcje: Wartość stałej C:
24 Wstawiając obliczone stałe do równania kątów ugięć dla obu przedziałów otrzymamy: Kąt ugięcia nad podporą A: Kąt ugięcia nad podporą B: Kąt ugięcia nad podporą C: Rys.14.6 Wykresy sił tnących i momentów zginających dla belki z rys.14.3
25 Rys.14.7 Wykresy linii ugięcia belki i kątów ugięć dla belki z rys.14.3
26 Temat 15 (2 godziny): Hipotezy wytrzymałościowe Hubera, Coulomba, De Saint Venanta, Galileusza, złożone przypadki wytrzymałości, skręcanie ze zginaniem, ściskanie mimośrodowe Wytrzymałość materiału jest to jego odporność na działanie sił zewnętrznych. Jest określana przy pomocy wskaźników wytrzymałościowych, wyznaczalnych doświadczalnie dla każdego materiału oddzielnie. Najważniejszymi wskaźnikami wytrzymałościowymi są: granica plastyczności i granica wytrzymałości doraźnej, określane w statycznej próbie rozciągania. Wytężenie materiału określa w jakim stopniu jego wytrzymałość jest wykorzystana w danym elemencie konstrukcyjnym w czasie eksploatacji. Wytężeniem materiału w danym punkcie nazywamy pewną funkcję wytrzymałości tego materiału oraz panującego w tym punkcie stanu naprężenia lub odkształcenia, które określa niebezpieczeństwo powstania odkształceń trwałych lub zniszczenia materiału. Przy tych samych materiałach wytężenie jest tylko funkcją stanu naprężenia. W prostych przypadkach obciążeń elementu konstrukcyjnego, wywołujących proste stany naprężenia i odkształcenia (osiowe rozciąganie i ściskanie, ścinanie, skręcanie, czyste zginanie i większość przypadków zgięcia płaskiego) dla określenia wytężenia porównujemy występujące w elemencie naprężenia maksymalne z naprężeniami niebezpiecznymi, za jakie w budowie maszyn przyjmuje się granicę plastyczności, natomiast wytężenia dopuszczalne określają naprężenia dopuszczalne. W złożonych stanach naprężenia miarą wytężenia materiału są naprężenia zastępcze lub zredukowane, to jest takie naprężenie rozciągające lub ściskające w jednoosiowym stanie naprężenia, przy którym wytężenie materiału (wg danej hipotezy) jest takie samo, jak w danym złożonym stanie naprężenia. Naprężenia zastępcze porównujemy z naprężeniami dopuszczalnymi przy osiowym rozciąganiu lub ściskaniu i otrzymujemy podstawowy warunek wytrzymałościowy w postaci: Zależność między składowymi stanu naprężenia w punkcie a naprężeniem zastępczym w tym punkcie określamy przy pomocy hipotez. Hipoteza Hubera, hipoteza energii sprężystej odkształcenia postaciowego. Hipoteza ta słuszna jest dla materiałów sprężysto-plastycznych (np. stal). Naprężenia zastępcze wg tej hipotezy w ogólnym przypadku trójwymiarowego stanu naprężenia wyrażają się wzorem: Dla innych prostszych stanów, naprężenia które nie występują w tym stanie, wstawiamy jako równe zeru. Na przykład dla technicznie ważnego płaskiego stanu naprężenia, gdzie w przekroju występuje jedno naprężenie normalne i jedno styczne ( ), otrzymamy: a dla czystego ścinania:
27 Jak wynika z powyższego wzoru ścinanie jest razy bardziej niebezpieczne od osiowego rozciągania. Naprężenia dopuszczalne na ścinanie będą przy tym samym wytężeniu razy mniejsze od dopuszczalnych na rozciąganie, czyli: Hipoteza Coulomba, hipoteza największych naprężeń stycznych. Hipoteza ta słuszna jest dla materiałów sprężysto-plastycznych. Naprężenia zastępcze wg tej hipotezy dla technicznie ważnego płaskiego stanu naprężenia, gdzie w przekroju występuje jedno naprężenie normalne i jedno styczne, otrzymamy: a dla czystego ścinania: Naprężenia dopuszczalne na ścinanie będą wg hipotezy Coulomba przy tym samym wytężeniu razy mniejsze od dopuszczalnych na rozciąganie, czyli: Hipoteza Galileusza, hipoteza największych naprężeń normalnych zastępcze wg tej hipotezy równe jest największemu naprężeniu normalnemu:. Naprężenie Hipoteza ta nie pokrywa się z doświadczeniami, dlatego ma znaczenie historyczne. Hipoteza de Saint-Venanta, hipoteza największego wydłużenia względnego jednoosiowego rozciągania naprężeniami wydłużenie względne wynosi:. Dla Dla przestrzennego stanu naprężenia wynosi: największe wydłużenie względne stąd:
28 Obecnie ta hipoteza jest stosowana do materiałów kruchych (kamień, beton, żeliwo) Podstawową zasadą, z której korzystamy przy rozwiązywaniu zagadnień wytrzymałości złożonej jest zasada superpozycji skutków poszczególnych grup sił zewnętrznych, stanowiących znane nam, proste stany obciążenia. Zasada ta nie jest słuszna wtedy, gdy odkształcenie wywołane jedną grupą obciążeń będą miały wpływ na rezultat działania drugiej grupy obciążeń. Np. przy zginaniu z osiowym ściskaniem, siła ściskająca spowoduje nie tylko powstanie naprężeń ściskających, lecz także naprężeń zginających momentem siły ściskającej na ramieniu, które jest ugięciem wywołanym wyboczeniem pręta. Zagadnienia wytrzymałości złożonej dzielimy na dwie grupy. I. Naprężenia wywołane przez poszczególne obciążenia czy grupy obciążeń są tego samego rodzaju, a tylko w przypadku naprężeń normalnych mają ten sam kierunek (mogą się różnić tylko zwrotem). Dla określenia wytężenia materiału obliczamy maksymalne naprężenia wypadkowe będące sumą algebraiczną naprężeń od poszczególnych obciążeń i porównujemy je z odpowiednimi naprężeniami dopuszczalnymi. W przypadku naprężeń stycznych może to być suma geometryczna. Do grupy tej należą: zgięcie ukośne, zginanie z rozciąganiem lub ściskaniem, ściskanie mimośrodowe, ścinanie w kilku kierunkach. II. Naprężenia wywołane przez poszczególne grupy obciążeń są różnego rodzaju, a tylko w przypadku naprężeń normalnych mają różne kierunki. Dla określenia wytężenia materiału należy obliczyć naprężenia zastępcze wg odpowiedniej hipotezy i porównać je z naprężeniem dopuszczalnym na rozciąganie lub ściskanie. Do tej grupy należą: płaski i przestrzenny stan naprężeń, zgięcie płaskie z udziałem sił poprzecznych oraz najważniejszy w budowie maszyn przypadek wytrzymałości złożonej zginanie ze skręcaniem. Przykład Stalowa belka o przekroju kwadratowym pełnym składa się z trzech równych odcinków o długości każdy, wygiętych pod kątami prostymi jak na rys Oś belki znajduje się w płaszczyźnie poziomej, jeden koniec belki jest utwierdzony a do drugiego przyłożona jest siła P. Określić dopuszczalną wartość twej siły, jeżeli, zas naprężenia dopuszczalne wynoszą. Jest to przypadek zginania ze skręcaniem. Zachodzi konieczność zastosowania jednej z hipotez wytężeniowych. Moment zginający występujący w podporze A wynosi: Moment skręcający występujący w podporze A wynosi:
29 Rys.15.1 Naprężenia normalne od zginania momentem wyniosą: Naprężenia styczne od skręcania momentem skręcającym wyniosą: gdzie: zastępczy wskaźnik wytrzymałości przekroju kwadratowego na skręcanie Przy zastosowaniu hipotezy Hubera naprężenie zredukowane wyniesie:
30 Przy zastosowaniu hipotezy Coulomba naprężenie zredukowane wyniesie: Rys.15.2 Naprężenia zredukowane wg hipotezy Misesa (Hubera) wyznaczone za pomocą programu NASTRAN FX. Belka obciążona jest na końcu swobodnym siłą pionową o wartości P = 50 kn. Największa wartość naprężeń zredukowanych, występuje w miejscu utwierdzenia w górnych i dolnych włóknach przekroju. Te maksymalne naprężenia oznaczone są kolorem czerwonym i wynoszą 179,7 MPA.
31 Rys.15.3 Przemieszczenia zredukowane wyznaczone za pomocą programu NASTRAN FX. Jak widać z powyższego rysunku największe odkształcenie (kolor czerwony) wystąpi na swobodnym końcu belki i wynosi 82,7 mm. Obliczanie wałów pędnych. Elementy jednocześnie zginane i skręcane występują w budowie maszyn jako wały pędne, których zadaniem jest przenoszenie mocy (momentu skręcającego). Poza skręcaniem są zawsze narażone na zginanie, wskutek działania ciężaru własnego wału i zamontowanych na nim elementów, naciągu pasów przy przekładniach pasowych, nacisku międzyzębnego w przekładniach zębatych itp. Maksymalne naprężenia tak od zginania jak i skręcania występują we włóknach skrajnych wału i wynoszą: od zginania: od skręcania: Dla określenia wytężenia materiału należy obliczyć naprężenia zastępcze, występujące we włóknach skrajnych przekroju, w którym moment zginający i moment skręcający osiągają wartości maksymalne. Jeżeli takiego przekroju nie ma, to obliczamy naprężenie zastępcze w tych przekrojach, w których jeden z momentów przyjmuje wartość maksymalną a drugi niemaksymalną, ale dużą. Zgodnie z hipotezą energii sprężystej odkształcenia postaciowego Hubera w ogólnym przypadku zginania ze skręcaniem uzyskamy:
32 W przypadku wałów, które z reguły mają przekrój kołowy, jest: oznaczamy jako moment gnący zastępczy. Podstawowy warunek wytrzymałościowy przyjmie postać: Na podstawie powyższego warunku projektujemy wał i obliczamy: czyli: W przypadku, gdy zginanie wału zachodzi w kilku płaszczyznach, należy dodać geometrycznie (wektorowo) momenty gnące w tym przekroju.
Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)
Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy 1. Położenie osi obojętnej przekroju rozciąganego mimośrodowo zależy od: a) punktu przyłożenia
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów.
Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. 2. Omówić pojęcia sił wewnętrznych i zewnętrznych konstrukcji.
Bardziej szczegółowo15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w
Bardziej szczegółowoWyboczenie ściskanego pręta
Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowo15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp Część I STATYKA
Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.
Bardziej szczegółowo2. Charakterystyki geometryczne przekroju
. CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka
Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 6 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoMechanika i Budowa Maszyn
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Bardziej szczegółowoTemat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie
Wytrzymałość Materiałów II 2016 1 Przykładowe tematy egzaminacyjne kursu Wytrzymałość Materiałów II Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie 1. Dany jest pręt obciążony mimośrodowo siłą P. Oblicz naprężenia
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoModelowanie Wspomagające Projektowanie Maszyn
Modelowanie Wspomagające Projektowanie Maszyn TEMATY ĆWICZEŃ: 1. Metoda elementów skończonych współczynnik kształtu płaskownika z karbem a. Współczynnik kształtu b. MES i. Preprocesor ii. Procesor iii.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium
Bardziej szczegółowoRys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE
WIADOMOŚCI OGÓLNE O zginaniu mówimy wówczas, gdy prosta początkowo oś pręta ulega pod wpływem obciążenia zakrzywieniu, przy czym włókna pręta od strony wypukłej ulegają wydłużeniu, a od strony wklęsłej
Bardziej szczegółowoRodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń
Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń 1. Podział obciążeń i odkształceń Oddziaływania na konstrukcję, w zależności od sposobu działania sił, mogą być statyczne lun dynamiczne. Obciążenia statyczne występują
Bardziej szczegółowoTreść ćwiczenia T6: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Instrukcja przygotowania i realizacji scenariusza dotyczącego ćwiczenia 6 z przedmiotu "Wytrzymałość materiałów", przeznaczona dla studentów II roku studiów stacjonarnych I stopnia w kierunku Energetyka
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów Rok akademicki: 2012/2013 Kod: STC-1-105-s Punkty ECTS: 3 Wydział: Energetyki i Paliw Kierunek: Technologia Chemiczna Specjalność: Poziom studiów:
Bardziej szczegółowoAl.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III
KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Zginanie Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach i ramach, analiza stanu naprężeń i odkształceń, warunek bezpieczeństwa Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości,
Bardziej szczegółowoSKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH
KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoE, J H 2 E, J H 1. Rysunek 9.1. Schemat statyczny słupa. 1. Kinematycznie dopuszczalna (zgodna z więzami) postać odkształcona analizowanej struktury:
Przykład 9.. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach Wyznaczyć wartość krytyczną siły P obciążającej głowicę słupa przebiegającego w sposób ciągły przez dwie kondygnacje budynku. Słup jest zamocowany w undamencie.
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 N 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Rozciąganie/ ściskanie prętów prostych Naprężenia i odkształcenia, statyczna próba rozciągania i ściskania, właściwości mechaniczne, projektowanie elementów obciążonych osiowo.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka
Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 5 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 S 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Stateczność prętów prostych Równowaga, utrata stateczności, siła krytyczna, wyboczenie w zakresie liniowo sprężystym i poza liniowo sprężystym, projektowanie elementów konstrukcyjnych
Bardziej szczegółowowiczenie 15 ZGINANIE UKO Wprowadzenie Zginanie płaskie Zginanie uko nie Cel wiczenia Okre lenia podstawowe
Ćwiczenie 15 ZGNANE UKOŚNE 15.1. Wprowadzenie Belką nazywamy element nośny konstrukcji, którego: - jeden wymiar (długość belki) jest znacznie większy od wymiarów przekroju poprzecznego - obciążenie prostopadłe
Bardziej szczegółowoMechanika i Budowa Maszyn. Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do laboratorium Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości Środek ciężkości Moment bezwładności Wskaźnik wytrzymałości na zginanie Naprężenia
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH
1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA
Bardziej szczegółowo4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu.
4. CZYSTE ZGINNIE 1 4. 4. Czyste zginanie 4.1 odstawowe definicje Momentem M siły względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r oraz wektora siły. M= r. (4.1) Wektor r jest promieniem
Bardziej szczegółowoZestaw pytań z konstrukcji i mechaniki
Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki 1. Układ sił na przedstawionym rysunku a) jest w równowadze b) jest w równowadze jeśli jest to układ dowolny c) nie jest w równowadze d) na podstawie tego rysunku
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z
Bardziej szczegółowoLista węzłów Nr węzła X [m] Y [m] 1 0.00 0.00 2 0.35 0.13 3 4.41 1.63 4 6.85 2.53 5 9.29 1.63 6 13.35 0.13 7 13.70 0.00 8 4.41-0.47 9 9.29-0.
7. Więźba dachowa nad istniejącym budynkiem szkoły. 7.1 Krokwie Geometria układu Lista węzłów Nr węzła X [m] Y [m] 1 0.00 0.00 2 0.35 0.13 3 4.41 1.63 4 6.85 2.53 5 9.29 1.63 6 13.35 0.13 7 13.70 0.00
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 4
Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa
Bardziej szczegółowoZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH
ZGINNIE PŁSKIE EEK PROSTYCH WYKRESY SIŁ POPRZECZNYCH I OENTÓW ZGINJĄCYCH Zginanie płaskie: wszystkie siły zewnętrzne czynne (obciążenia) i bierne (reakcje) leżą w jednej wspólnej płaszczyźnie przechodzącej
Bardziej szczegółowoWewnętrzny stan bryły
Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez
Bardziej szczegółowoMETODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Bardziej szczegółowoLinie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej
Prof. Mieczysław Kuczma Poznań, styczeń 215 Zakład Mechaniki Budowli, PP Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej (Przykład liczbowy) Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia linii wpływu (używa się też
Bardziej szczegółowoŚcinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży
Ścinanie i skręcanie dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 Ścinanie proste Ścinanie czyste Ścinanie techniczne 2 Ścinanie Czyste ścinanie ma miejsce wtedy, gdy na czterech ścianach prostopadłościennej kostki występują
Bardziej szczegółowo5. Zginanie ze ścinaniem
5. 1 5. Zginanie ze ścinaniem 5.1 Belki i ramy płaskie W wykładzie tym rozpatrywane będzie działanie siły poprzecznej, która powstaje w przekroju pręta pryzmatycznego wykonanego z materiału jednorodnego
Bardziej szczegółowoZ-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials A. USYTUOWANIE
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowo1. Projekt techniczny Podciągu
1. Projekt techniczny Podciągu Podciąg jako belka teowa stanowi bezpośrednie podparcie dla żeber. Jest to główny element stropu najczęściej ślinie bądź średnio obciążony ciężarem własnym oraz reakcjami
Bardziej szczegółowoWyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia
Ćwiczenie M12 Wyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia M12.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości modułu Younga różnych materiałów poprzez badanie strzałki ugięcia wykonanych
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5
INTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5 Temat ćwiczenia: tatyczna próba ściskania materiałów kruchych Celem ćwiczenia jest wykonanie próby statycznego ściskania materiałów kruchych, na podstawie której można określić
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Zwykła próba rozciągania stali Numer ćwiczenia: 1 Laboratorium z przedmiotu:
Bardziej szczegółowoMechanika i wytrzymałość materiałów instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego
Mechanika i wytrzymałość materiałów instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego Cel ćwiczenia STATYCZNA PRÓBA ŚCISKANIA autor: dr inż. Marta Kozuń, dr inż. Ludomir Jankowski 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:
adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA oprac. dr inż. Jarosław Filipiak Cel ćwiczenia 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania statycznej
Bardziej szczegółowo8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
Część 2 8. MECHNIK ELEMENTÓW PRĘTOWYCH WIDOMOŚCI WSTĘPNE 1 8. WIDOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLSYFIKCJ ZSDNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny
Bardziej szczegółowo700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%:
Producent: Ryterna modul Typ: Moduł kontenerowy PB1 (długość: 6058 mm, szerokość: 2438 mm, wysokość: 2800 mm) Autor opracowania: inż. Radosław Noga (na podstawie opracowań producenta) 1. Stan graniczny
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 3
Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa
Bardziej szczegółowoWytrzymałość materiałów. Wzornictwo przemysłowe I stopień (I stopień / II stopień) ogólno akademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../1 z dnia.... 01r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu (taki jak w USOS) Nazwa modułu Wytrzymałość materiałów Nazwa modułu w języku angielskim Strength
Bardziej szczegółowoZ1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 1 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 Z1/7.1 Zadanie 3 Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1. Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych
Bardziej szczegółowoPrzykłady (twierdzenie A. Castigliano)
23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],
Bardziej szczegółowoTemat 2 (2 godziny) : Próba statyczna ściskania metali
Temat 2 (2 godziny) : Próba statyczna ściskania metali 2.1. Wstęp Próba statyczna ściskania jest podstawowym sposobem badania materiałów kruchych takich jak żeliwo czy beton, które mają znacznie lepsze
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu na temat Obliczanie sił przekrojowych, naprężeń i zmian geometrycznych prętów rozciąganych iściskanych bez wyboczenia.
Materiały do wykładu na temat Obliczanie sił przekrojowych naprężeń i zmian geometrycznych prętów rozciąganych iściskanych bez wyboczenia. Sprawdzanie warunków wytrzymałości takich prętów. Wydruk elektroniczny
Bardziej szczegółowoPODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE
PODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE Podstawy statyki budowli: Pojęcia podstawowe Model matematyczny, w odniesieniu do konstrukcji budowlanej, opisuje ją za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych
Bardziej szczegółowoLaboratorium wytrzymałości materiałów
Politechnika Lubelska MECHANIKA Laboratorium wytrzymałości materiałów Ćwiczenie 3 - Czyste zginanie statycznie wyznaczalnej belki Przygotował: Andrzej Teter (do użytku wewnętrznego) Czyste zginanie statycznie
Bardziej szczegółowoHale o konstrukcji słupowo-ryglowej
Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej SCHEMATY KONSTRUKCYJNE Elementy konstrukcji hal z transportem podpartym: - prefabrykowane, żelbetowe płyty dachowe zmonolityzowane w sztywne tarcze lub przekrycie lekkie
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA
Ćwiczenie 58 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA 58.1. Wiadomości ogólne Pod działaniem sił zewnętrznych ciała stałe ulegają odkształceniom, czyli zmieniają kształt. Zmianę odległości między
Bardziej szczegółowoPodpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są
PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład
Bardziej szczegółowoWytrzymałość materiałów. Budowa i eksploatacja maszyn I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../2 z dnia.... 202r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu (taki jak w USOS) Nazwa modułu Wytrzymałość materiałów Nazwa modułu w języku angielskim Strength
Bardziej szczegółowoInformacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności
Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,
Bardziej szczegółowoStropy TERIVA - Projektowanie i wykonywanie
Stropy TERIVA obciążone równomiernie sprawdza się przez porównanie obciążeń działających na strop z podanymi w tablicy 4. Jeżeli na strop działa inny układ obciążeń lub jeżeli strop pracuje w innym układzie
Bardziej szczegółowoKONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE
POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WBiIŚ KATEDRA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAJĘCIA 5 KONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE Mgr inż. Julita Krassowska 1 CHARAKTERYSTYKI MATERIAŁOWE drewno lite sosnowe klasy C35: - f m,k =
Bardziej szczegółowo2. Pręt skręcany o przekroju kołowym
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo
Bardziej szczegółowoWytrzymałość materiałów Strength of materials
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu (taki jak w USOS) Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoCIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE
CIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE Wykład 6: Wymiarowanie elementów cienkościennych o przekroju w ujęciu teorii Własowa INFORMACJE OGÓLNE Ścianki rozważanych elementów, w zależności od smukłości pod naprężeniami
Bardziej szczegółowo17. 17. Modele materiałów
7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowo1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca
Kod przedmiotu: PLPILA02-IPMIBM-I-2p7-2012-S Pozycja planu: B7 1. INFORMACJE O PRZEDMIOCIE A. Podstawowe dane 1 Nazwa przedmiotu Wytrzymałość materiałów I 2 Rodzaj przedmiotu Podstawowy/obowiązkowy 3 Kierunek
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17
Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1 MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Część 1 analiza kinematyczna układów płaskich Przeprowadzić analizę kinematyczną układu. Odpowiednią
Bardziej szczegółowoAiR_WM_3/11 Wytrzymałość Materiałów Strength of Materials
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 013/014 AiR_WM_3/11 Wytrzymałość Materiałów Strength of Materials A. USYTUOWANIE
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P
WM Karta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P Przedmiot: Wytrzymałość Materiałów I Kod ECTS Status przedmiotu: obowiązkowy MBM 1 S 0 3 37-0_0 Język wykładowy:
Bardziej szczegółowo6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe
Bardziej szczegółowoZginanie proste belek
Zginanie belki występuje w przypadku obciążenia działającego prostopadle do osi belki Zginanie proste występuje w przypadku obciążenia działającego w płaszczyźnie głównej zx Siły przekrojowe w belkach
Bardziej szczegółowoSTÓŁ NR 1. 2. Przyjęte obciążenia działające na konstrukcję stołu
STÓŁ NR 1 1. Geometria stołu Stół składa się ze stalowej ramy wykonanej z płaskowników o wymiarach 100x10, stal S355 oraz dębowego blatu grubości 4cm. Połączenia elementów stalowych projektuje się jako
Bardziej szczegółowoPOZ BRUK Sp. z o.o. S.K.A Rokietnica, Sobota, ul. Poznańska 43 INFORMATOR OBLICZENIOWY
62-090 Rokietnica, Sobota, ul. Poznańska 43 INFORMATOR OBLICZENIOWY SPIS TREŚCI Wprowadzenie... 1 Podstawa do obliczeń... 1 Założenia obliczeniowe... 1 Algorytm obliczeń... 2 1.Nośność żebra stropu na
Bardziej szczegółowoZ1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowo2. Charakterystyki geometryczne przekroju
. CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi
Bardziej szczegółowo5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia
Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych
Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m
Bardziej szczegółowoprowadnice Prowadnice Wymagania i zasady obliczeń
Prowadnice Wymagania i zasady obliczeń wg PN-EN 81-1 / 2 Wymagania podstawowe: - prowadzenie kabiny, przeciwwagi, masy równoważącej - odkształcenia w trakcie eksploatacji ograniczone by uniemożliwić: niezamierzone
Bardziej szczegółowo7. WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH
7. WYZNCZNIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W ELKCH Zadanie 7.1 Dla belki jak na rysunku 7.1.1 ułożyć równania sił wewnętrznych i sporządzić ich wykresy. Dane: q, a, M =. Rys.7.1.1 Rys.7.1. W zależności od rodzaju podpór
Bardziej szczegółowoWyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej
Wyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej Opracował : dr inż. Konrad Konowalski Szczecin 2015 r *) opracowano na podstawie skryptu [1] 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest sprawdzenie doświadczalne
Bardziej szczegółowo