4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys Moment statyczny siły względem punktu.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu."

Transkrypt

1 4. CZYSTE ZGINNIE Czyste zginanie 4.1 odstawowe definicje Momentem M siły względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r oraz wektora siły. M= r. (4.1) Wektor r jest promieniem wodzącym dowolnego punktu linii działania siły (prostej, na której leży wektor siły) o początku w punkcie O. rzedstawia to rysunek 4.1. Z M a Y r 0 r X O Rys Moment statyczny siły względem punktu. Wartość bezwzględna momentu siły wynosi M = r sin, (4.2) gdzie a jest kątem zawartym między wektorami r i, a r 0 rzutem wektora r na prostą prostopadłą do wektora, czyli ramieniem siły. Wektor M jest prostopadły do płaszczyzny, na której leżą wektory r i, a jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej. Reguła ta mówi, że przy obrocie wektora r zgodnie z obrotem śruby prawoskrętnej o kąt a mniejszy od do pokrycia się z wektorem, śruba postępuje w kierunku wektora M. Na rysunku 4.2 obrót wektora r w kierunku wektora został przedstawiony za pomocą strzałki. Moment siły względem punktu nazywamy momentem statycznym. Zależy on od położenia punktu O, względem którego moment ten obliczamy, nie zależy natomiast od przesunięcia siły wzdłuż jej linii działania. Moment M układu sił dowolnie rozmieszczonych na płaszczyźnie względem dowolnego punktu O jest równy sumie momentów poszczególnych sił względem tego punktu. rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

2 4. CZYSTE ZGINNIE 2 Z Y M a X O r Rys Reguła śruby prawoskrętnej. Jeżeli siła znajdowałyby się w przestrzeni to w takim przypadku oblicza się moment siły względem osi. Wartość bezwzględna momentu wynosi M = ' r 0, (4.3) w którym ' jest rzutem siły na płaszczyznę prostopadłą do osi natomiast r 0 jest ramieniem siły '. rzedstawia to rysunek 4.3. ' r 0 Rys Moment statyczny siły względem osi. arą sił nazywamy dwie siły równoległe i równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane. Moment pary sił względem punktu O jest równy sumie momentów poszczególnych sił względem punktu O. rzedstawia to rysunek 4.4. rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

3 a a 4. CZYSTE ZGINNIE 3 x O Rys.4.4. ara sił. Jako dodatni został przyjęty moment, który kręci zgodnie ze wskazówkami zegara. Momenty statyczne poszczególnych sił wynoszą M 1 = x, (4.4) M 2 = x a. (4.5) Momenty statyczne obu sił zostały przedstawione na rysunku 4.5. Zamiast wektora momentu, który byłby niewidoczny zastosowano strzałki, które pokazują jak kręciłaby się śruba prawoskrętna. Moment M 1 jest dodatni więc wektor jego wkręcałby się w kartkę. Moment M 2 jest ujemny więc jego wektor wykręcałby się z kartki. Moment M 2 jako ujemny został narysowany ze zwrotem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, natomiast jako opis wektora została podana wartość bezwzględna tego momentu. x O M 1 = x M 2 = x a Rys Momenty statyczne poszczególnych sił względem punktu O. rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

4 a 4. CZYSTE ZGINNIE 4 Całkowity moment statyczny wynosi M = x x a = a. (4.6) Jak widać wartość bezwzględna momentu pary sił jest równa iloczynowi wartości siły razy odległość sił między sobą. Jest on niezależny od punktu odniesienia i ma zawsze tą samą wartość. ara sił charakteryzuje się więc określonym momentem, który nazywa się momentem obrotowym. Moment pary sił przedstawionej na rysunkach 4.4, 4.5 oraz 4.6 jest więc ujemny czyli przeciwny do ruchu wskazówek zegara. x O M = a Rys Moment obrotowy pary sił. 4.2 ręt zginany momentem M Rozpatrzmy prostoliniowy pręt pryzmatyczny o długości L wykonany z materiału jednorodnego i izotropowego. ręt jest obciążony momentami obrotowymi M na obu swoich końcach. Oba wektory momentów leżą na płaszczyźnie przekroju pręta. Wektory momentów będą prostopadłe do tak zwanej płaszczyzny obciążenia (w tym przypadku płaszczyzną obciążenia jest kartka papieru). rzedstawia to rysunek 4.7. M M L Rys ryzmatyczny pręt obciążony momentami obrotowymi M. by dowolna część pręta była w równowadze w dowolnym przekroju musi się pojawić moment obrotowy zależny od współrzędnej x M(x) nazywany momentem zginającym. Równowagę odciętej części pręta przedstawia rysunek 4.8. Układ XYZ jest globalnym układem związanym z lewym końcem pręta. rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

5 4. CZYSTE ZGINNIE 5 M M(x) X Z x Rys Równowaga odciętej części pręta. Jak widać z rysunku 4.8 moment zginający M(x) w dowolnym przekroju pręta równa się zewnętrznemu momentowi obrotowemu M. Na rysunku tym zaznaczono moment zginający M(x) jako dodatni. Dodatni moment zginający będzie więc powodował rozciąganie dolnych włókien pręta. rzedstawia to rysunek 4.9. M(x) Rys Dodatni moment zginający M(x). Chcąc rozważyć czyste zginanie jednorodnego pręta wywołane przez moment zginający M(x) ograniczono się do przekrojów dostatecznie oddalonych od końców pręta a pominięto ewentualne zaburzenia (zasada de Saint- Venanta). od wpływem momentu zginającego nastąpi wygięcie pręta (w konfiguracji aktualnej czyli konfiguracji odkształconej) w wyniku czego część włókien jest ściskana, a druga część rozciągana. Włókna ściskane ulegają skróceniu, a rozciągane wydłużeniu. Granicę obu części pręta stanowi pewna powierzchnia utworzona z włókien obojętnych, których odkształcenie liniowe wynosi zero powierzchnia obojętna. Dodatkowym założeniem jest prawo płaskich przekrojów Bernouliego. Mówi ono, że przekrój płaski i prostopadły do włókien (podłużnej osi) pręta przed odkształceniem, pozostaje nadal płaski i prostopadły do wygiętych włókien (podłużnej osi) pręta po odkształceniu. Bliższe obserwacje wykazują, ze przekrój pręta w procesie deformacji obraca się o kąta f. okazuje to rysunek Konfiguracja początkowa Konfiguracja aktualna f Rys Konfiguracja początkowa i aktualna pręta. rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

6 4. CZYSTE ZGINNIE 6 Rysunki 4.11, 4.12 przedstawiają model zginanej belki swobodnie podpartej wykonany z gąbki. Na rysunkach tych zostały zaznaczony kąt prosty pomiędzy przekrojem pręta i jego osi w konfiguracji początkowej (przed odkształceniem) i w konfiguracji aktualnej (po odkształceniu). Rys Belka przed odkształceniem. Rys Belka po odkształceniu. onieważ rozważany pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, więc osie obrotu każdego dowolnego przekroju są do siebie równoległe. W konfiguracji aktualnej (odkształconej) każde włókno jest krzywą płaską równoległą do płaszczyzny zginania. łaszczyzna zginania tworzy pewien kąt z wektorem momentu zginającego. Wybierzmy pewien punkt należący do włókna obojętnego w konfiguracji początkowej. W konfiguracji aktualnej (odkształconej) przemieści się on do punktu a. okazuje to rysunek onieważ włókna obojętne nie zmieniają swojej długości więc po odkształceniu pręt będzie krótszy niż w konfiguracji początkowej. rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

7 4. CZYSTE ZGINNIE 7 a L Rys Włókna obojętne pręta zginanego. W konfiguracji początkowej element pręta o długości dx przedstawia rysunek unkt znajduje się na powierzchni obojętnej. Dowolny punkt przekroju pręta ma współrzędną e. Y 0 e Z 0 dx Rys Element pręta w konfiguracji początkowej. W konfiguracji aktualnej (odkształconej), przedstawionej na rysunku 4.15, włókna poza powierzchnią obojętną ulegną wydłużeniu lub skróceniu. Włókna obojętne będą miały długość ds=dx. Dowolne włókna będą miały teraz współrzędną e'. rzekrój początkowy oraz końcowy będą wyznaczały środek krzywizny pręta. owierzchnia obojętna w konfiguracji aktualnej jest więc powierzchnią walcową o środku w punkcie C i przecina się z płaszczyzną, na której znajduje się przekrój pręta wzdłuż pewnej prostej nazywanej osią obojętną, która jest zawsze prostopadła do płaszczyzny zginania. Z podobieństwa wycinków koła wynika zależność ds ds = r e ' ds r, (4.7) skąd ds ds = e ' r. (4.8) rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

8 4. CZYSTE ZGINNIE 8 C e' r Y 0 ds=dx ds+dds Z 0 Rys Element w konfiguracji aktualnej (odkształconej). Lewa strona równania (4.8) przedstawia odkształcenie liniowe e X. o uwzględnieniu, że krzywizna elementu wynosi = 1 r, (4.9) otrzymujemy podstawowy związek kinematyczny teorii zginania obowiązujący w konfiguracji aktualnej (odkształconej) = e'. (4.10) Odkształcenia liniowe rosną więc proporcjonalnie do odległości od osi obojętnej. Funkcje (4.10) przedstawia pewną płaszczyznę nazywaną płaszczyzną odkształceń. Zgodnie z przyjętą hipotezą Bernouliego czyli hipotezą płaskich przekrojów płaszczyzna odkształceń będzie miała w dowolnym układzie osi środkowych Y 0Z 0 równanie y 0, z 0 =a 0 a 1 y 0 a 2 z 0. (4.11) Najczęściej przyjmujemy, że przemieszczenia i odkształcenia są bardzo małe. Wówczas rozróżnienie konfiguracji początkowej i aktualnej nie jest konieczne. Można więc przyjąć, że 1. zmiany kształtu i wymiarów przekroju są pomijalnie małe, rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

9 4. CZYSTE ZGINNIE 9 2. osie obojętne w obu konfiguracjach są liniami prostymi i pokrywają się, 3. odległości e'=e, 4. kąty obrotu przekrojów są bardzo małe. 4.3 Wyznaczenie naprężeń w pręcie zginanym rzyjęto, że pryzmatyczny pręt wykonany z materiału izotropowego oraz jednorodnego jest poddany czystemu zginaniu momentem zginającym M, który w układzie osi środkowych Y 0Z 0 posiada składowe M Y0 oraz M Z0. Wektor momentu zginającego M jest prostopadły do płaszczyzny obciążenia. rzedstawia to rysunek łaszczyzna obciążenia Y 0 M Y0 M M Z0 Z 0 Rys rzekrój pręta obciążony momentem zginającym M. Składowe M Y0 oraz M Z0 są wypadkowymi z iloczynu naprężenia normalnego, elementarnego pola powierzchni d oraz współrzędnej y 0 oraz z 0 czyli M Y0 = y 0, z 0 z 0 d, (4.12) M Z0 = y 0, z 0 y 0 d. (4.13) Znak minus we wzorze (4.13) wynika z tego, iż dodatni moment zginający M Z0 powoduje powstanie naprężeń normalnych ściskających (ujemnych) w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych (współrzędne y 0 oraz z 0 w tej ćwiartce są dodatnie). Ze wzorów (4.12) i (4.13) nie wynika prawo rozkładu naprężeń normalnych w przekroju pręta. Możemy jednak wykorzystać fakt, iż w przekroju zginanym siła normalna równa się zero. N = y 0, z 0 d=0. (4.14) rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

10 4. CZYSTE ZGINNIE 10 Wzory (4.12), (4.13) i (4.14) obowiązują w konfiguracji aktualnej (odkształconej). Zgodnie jednak z przyjętymi założeniami, że odkształcenia i przemieszczenia są bardzo małe, co pozwala przyrównać konfigurację pierwotną i aktualną. Naprężenia będziemy więc obliczać dla konfiguracji pierwotnej. rawo Hooke'a w przypadku pręta poddanego czystemu zginaniu będzie miało postać identyczną jak dla osiowego działania siły czyli =E. (4.15) Zgodnie z prawem Bernouliego funkcję odkształceń liniowych przedstawia wzór (4.11). Jeżeli uwzględnimy prawo Hooke'a (4.15) to funkcja naprężeń normalnych będzie miała postać y 0, z 0 =b 0 b 1 y 0 b 2 z 0. (4.16) o wstawieniu (4.16) do wzoru (4.12) moment zginający M Y0 będzie miał postać M Y0 = b 0 b 1 y 0 b 2 z 0 z 0 d. (4.17) o rozwinięciu wyrażeń pod całką wzór (4.17) będzie miał postać M Y0 = b 0 z 0 b 1 y 0 z 0 b 2 z 0 2 d. (4.18) Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. onieważ b 0, b 1 oraz b 2 są pewnymi stałymi można je wyciągnąć przed znak całki. Wzór (4.18) będzie miał postać M Y0 =b 0 z 0 d b 1 y 0 z 0 d b 2 z 2 0 d. (4.19) Interpretując poszczególne całki wzór (4.19) będzie miał postać M Y0 =b 0 S Y0 b 1 I Y0Z0 b 2 I Y0. (4.20) o wstawieniu (4.16) do wzoru (4.13) moment zginający M Z0 będzie miał postać M Z0 = b 0 b 1 y 0 b 2 z 0 y 0 d. (4.21) rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

11 4. CZYSTE ZGINNIE 11 o rozwinięciu wyrażeń pod całką wzór (4.21) będzie miał postać M Z0 = b 0 y 0 b 1 y 2 0 b 2 y 0 z 0 d. (4.22) Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. onieważ b 0, b 1 oraz b 2 są pewnymi stałymi można je wyciągnąć przed znak całki. Wzór (4.22) będzie miał postać M Z0 = b 0 y 0 d b 1 y 0 2 d b 2 y 0 z 0 d. (4.23) Interpretując poszczególne całki wzór (4.23) będzie miał postać M Z0 = b 0 S Z0 b 1 I Z0 b 2 I Y0Z0. (4.24) onieważ osie Y 0 oraz Z 0 są osiami środkowymi więc momenty statyczne S Y0 i S Z0 są równe zero. Wzory (4.20) oraz (4.24) będą tworzył układ równań { M Y0 =b 1 I Y0Z0 b 2 I Y0 M Z0 = b 1 I Z0 b 2 I Y0Z0. (4.25) Rozwiązaniem układu równań (4.25) są wartości stałych b 1 i b 2 b 1 = M I M I Y0 Y0Z0 Z0 Y0 2 I Y0 I Z0 I Y0Z0, (4.26) b 2 = M I M I Y0 Z0 Z0 Y0Z0 2 I Y0 I Z0 I Y0Z0. (4.27) o wstawieniu (4.16) do wzoru (4.14) siła normalna będzie wynosiła N = b 0 b 1 y 0 b 2 z 0 d=0. (4.28) Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. onieważ b 0, b 1 oraz b 2 są pewnymi stałymi można je wyciągnąć przed znak całki. Wzór (4.28) będzie miał postać rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

12 4. CZYSTE ZGINNIE 12 N =b 0 d b 1 y 0 d b 2 z 0 d=0. (4.29) Interpretując poszczególne całki wzór (4.29) będzie miał postać N =b 0 b 1 S Z0 b 2 S Y0 =0. (4.30) onieważ osie Y 0 oraz Z 0 są osiami środkowymi więc momenty statyczne S Y0 i S Z0 są równe zero. Stała b 0 będzie w tej sytuacji równa zero. Ostatecznie wzór na obliczenie naprężeń normalnych w przekroju zginanym będzie miał postać = M I M I Y0 Y0Z0 Z0 Y0 y 2 0 M I M I Y0 Z0 Z0 Y0Z0 z. 2 0 (4.31) I Y0 I Z0 I Y0Z0 I Y0 I Z0 I Y0Z0 Jest to ogólny wzór na naprężenia normalne wywołane przez moment zginający M o składowych M Y0 i M Z0 w układzie dowolnych osi środkowych. Jeżeli przyrównamy naprężenia normalne do zera otrzymamy równanie osi obojętnej w postaci z 0 = M Y0 I Y0Z0 M Z0 I Y0 M Y0 I Z0 M Z0 I Y0Z0 y 0. (4.31)1 Rozkład naprężeń normalnych w przekroju przedstawia rysunek Widać z niego. że oś obojętna w ogólnym przypadku nie pokrywa się z wektorem momentu M. Ekstremalne naprężenia normalne występują w punktach przekroju pręta najbardziej oddalonych od osi obojętnej. Zależność (4.31) uprości się znacznie jeżeli układ Y 0Z 0 będzie układem osi głównych Y glz gl, w którym moment dewiacyjny I YglZgl wynosi zero. Wzór (4.31) będzie miał postać = M Zgl I Zgl y gl M Ygl I Ygl z gl. (4.32) Równanie osi obojętnej w osiach głównych będzie miało postać z gl = M Zgl I Ygl M Ygl I Zgl y gl. (4.33) rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

13 4. CZYSTE ZGINNIE 13 łaszczyzna obciążenia - Oś obojętna Y 0 M Y0 + M s X M Z0 łaszczyzna zginania Z 0 Rys Naprężenia normalne w przekroju zginanym momentem zginającym M. Rozkład naprężeń w przekroju zginanym, w którym płaszczyzna obciążenia pokrywa się z jedną z osi głównych (Z gl)) przedstawia rysunek Jest to jeden z najczęściej występujących przypadków zginania, występujący na przykład w belkach i nazywa się zginaniem prostym. łaszczyzna obciążenia= =łaszczyzna zginania M(x) - X Y=Y 0 =Y gl Oś obojętna M(x)=M Ygl + Z=Z 0 Z=Z 0 =Z gl s X Rys Rozkład naprężeń w przekroju zginanym. Naprężenia normalne oblicza się ze wzoru (M Zgl = 0) = M Ygl I Ygl z gl. (4.34) Ekstremalne naprężenia normalne występują na krawędzi dolnej i górnej przekroju. Oblicza się je ze wzorów d = M Ygl I Ygl d z, gl (4.35) rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

14 4. CZYSTE ZGINNIE 14 g = M Ygl I Ygl g z, gl (4.36) w których z gl (d) oraz z gl (g) oznaczają współrzędne z gl punktów krawędzi dolnej i górnej. Wzory (4.35) i (4.36) możemy zapisać w postaci d = M Ygl I Ygl d z gl, (4.37) g = M Ygl I Ygl. (4.38) g z gl Wyrażenia w mianowniku ułamka nazywają się wskaźnikami wytrzymałości na zginanie włókien dolnych i górnych. Oblicza się więc ze wzorów d W Ygl = I Ygl d z gl, (4.39) W g Ygl = I Ygl g z gl. (4.40) Znak minus we zworze (4.40) wynika z tego. że współrzędna włókien górnych jest ujemna a wskaźnik wytrzymałości musi być dodatni. Wskaźniki wytrzymałości przekroju na zginanie znajdują się w tablicach do projektowania konstrukcji metalowych (należy zwrócić uwagę na oznaczenia osi w tablicach) i mogą być pomocne w przyjęciu przekroju pręta, w którym płaszczyzna obciążenia pokrywa się z jedną z osi głównych. Znając wartość momentu zginającego M Ygl i wartość naprężenia dopuszczalnego można wyznaczyć wartość minimalną (potrzebną) wskaźnika wytrzymałości na zginanie W pot Ygl = M Ygl dop. (4.41) Następnie w tablicach szuka się przekroju, który posiada wskaźnik wytrzymałości na zginanie większy niż obliczony ze wzoru (4.41). Ekstremalne naprężenia normalne oblicza się ze wzorów rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

15 4. CZYSTE ZGINNIE 15 d = M Ygl d W Ygl g = M Ygl g W Ygl, (4.42). (4.43) Znak minus we wzorze (4.43) wynika z tego, że dodatni moment zginający wywołuje we włóknach górnych naprężenia ujemne (ściskające), a wskaźnik wytrzymałości ma zawsze wartość dodatnią. W innych przypadkach projektowanie przekroju polega za zasadzie prób i błędów. Tensor naprężenia w przypadku pręta zginanego momentem zginającym będzie miał postać X 0 0 =[ ] (4.44) Wykorzystując prawo Hooke'a (4.15) można wyznaczyć odkształcenia liniowe. Tensor odkształcenia będzie miał postać X 0 0 =[ 0 0 X]. 0 0 (4.45) 4.4 Zależności energetyczne Wartość całki objętościowej z iloczynu tensorów naprężenia (4.44) i odkształcenia (4.45) przy zginaniu pręta wynosi V dv = dv = V s [ d ]ds, (4.46) w którym s jest długością pręta, a ds jest elementem pręta mierzonym na osi pręta. Dla bardzo małych odkształceń zgodnie z hipotezą płaskich można przyjąć zależność (4.10) jako (e=e') = e. (4.47) Odkształcenia liniowe są wprost proporcjonalne do odległości od osi obojętnej, natomiast napręzenia normalne mogą mieć dowolny rozkład (dowolne związki fizyczne). Ograniczymy się tylko do przypadku, w którym wektor M=M Ygl. rzyjęto odległość osi obojętnej od osi środkowej jako c, więc e=z gl +c. rzedstawia to rysunek rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

16 4. CZYSTE ZGINNIE 16 łaszczyzna obciążenia= =łaszczyzna zginania Y=Y 0 =Y gl M(x)=M Ygl e z gl c Oś obojętna Z=Z 0 =Z gl e X s X Rys rzekrój zginany. o tych wszystkich założeniach wzór (4.46) będzie miał postać dv = V s [ d ]ds= s [ e d ]ds= s [ z gl c d ]ds. (4.48) onieważ krzywizna jest stała na całym polu powierzchni przekroju można więc ją wyciągnąć przed całkę po polu powierzchni przekroju, wzór (4.48) będzie miał więc postać V dv = [ z gl c d ]ds. (4.49) s Całkę sumy zamieniono na sumę całek (odległość c jako stałą można wyciągnąć przed znak całki) V dv = s [ z gl d c d ]ds. (4.50) onieważ z gl d=m Ygl, (4.51) d=n =0, (4.52) otrzymano rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

17 4. CZYSTE ZGINNIE 17 V dv = M Ygl s ds. (4.53) s Wzór (4.53) jest słuszny również dla nieliniowych zależności między naprężeniami i odkształceniami. orównując wzory (4.15) oraz (4.47) dla przypadku działania tylko momentu zginającego M Ygl otrzymano (współrzędne e=z gl, oraz c=0) e= z gl = E. (4.54) Uwzględniając (4.34) otrzymano e= z gl = 1 E M Ygl I Ygl z gl. (4.55) Ostatecznie krzywizna pręta wynosi = M Ygl E I Ygl. (4.56) Jeżeli pręt jest liniowo-sprężysty (czyli zależność pomiędzy naprężeniami a odkształceniami jest liniowa prawo Hooke'a), to energia sprężysta zawarta wewnątrz pręta wynosi U = 1 2 s M Ygl ds. (4.57) Uwzględniając (4.56) otrzymano wzór na obliczenie energii sprężystej zawartej wewnątrz pręta U =U M = 1 2 s 2 M Ygl ds. (4.58) E I Ygl rof. dr hab. inż. ndrzej Garstecki lmamater

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

9. Mimośrodowe działanie siły

9. Mimośrodowe działanie siły 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 9. 9. Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc.

Bardziej szczegółowo

5. Zginanie ze ścinaniem

5. Zginanie ze ścinaniem 5. 1 5. Zginanie ze ścinaniem 5.1 Belki i ramy płaskie W wykładzie tym rozpatrywane będzie działanie siły poprzecznej, która powstaje w przekroju pręta pryzmatycznego wykonanego z materiału jednorodnego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE Część 2 8. MECHNIK ELEMENTÓW PRĘTOWYCH WIDOMOŚCI WSTĘPNE 1 8. WIDOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLSYFIKCJ ZSDNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE WIADOMOŚCI OGÓLNE O zginaniu mówimy wówczas, gdy prosta początkowo oś pręta ulega pod wpływem obciążenia zakrzywieniu, przy czym włókna pręta od strony wypukłej ulegają wydłużeniu, a od strony wklęsłej

Bardziej szczegółowo

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

3. Rozciąganie osiowe

3. Rozciąganie osiowe 3. 3. Rozciąganie osiowe 3. Podstawowe definicje Przyjmijmy, że materiał z którego wykonany został pręt jest jednorodny oraz izotropowy. Izotropowy oznacza, że próbka wycięta z większej bryły materiału

Bardziej szczegółowo

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 1 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 Z1/7.1 Zadanie 3 Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1. Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn. Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości

Mechanika i Budowa Maszyn. Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do laboratorium Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości Środek ciężkości Moment bezwładności Wskaźnik wytrzymałości na zginanie Naprężenia

Bardziej szczegółowo

Laboratorium wytrzymałości materiałów

Laboratorium wytrzymałości materiałów Politechnika Lubelska MECHANIKA Laboratorium wytrzymałości materiałów Ćwiczenie 3 - Czyste zginanie statycznie wyznaczalnej belki Przygotował: Andrzej Teter (do użytku wewnętrznego) Czyste zginanie statycznie

Bardziej szczegółowo

Ścinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

Ścinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Ścinanie i skręcanie dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 Ścinanie proste Ścinanie czyste Ścinanie techniczne 2 Ścinanie Czyste ścinanie ma miejsce wtedy, gdy na czterech ścianach prostopadłościennej kostki występują

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA Ćwiczenie 58 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA 58.1. Wiadomości ogólne Pod działaniem sił zewnętrznych ciała stałe ulegają odkształceniom, czyli zmieniają kształt. Zmianę odległości między

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć: adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Materiałów

Wytrzymałość Materiałów Wytrzymałość Materiałów Rozciąganie/ ściskanie prętów prostych Naprężenia i odkształcenia, statyczna próba rozciągania i ściskania, właściwości mechaniczne, projektowanie elementów obciążonych osiowo.

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych bez pisania funkcji Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m

Bardziej szczegółowo

Defi f nicja n aprę r żeń

Defi f nicja n aprę r żeń Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna Przewodnik do rozwiązywania typowych zadań

Bryła sztywna Przewodnik do rozwiązywania typowych zadań Bryła sztywna Przewodnik do rozwiązywania typowych zadań Przed przystąpieniem do korzystania z poniższego poradnika: wydrukuj jego treść, przygotuj kartki w kratkę, na których będziesz rozwiązywał zadania,

Bardziej szczegółowo

16. 16. Badania materiałów budowlanych

16. 16. Badania materiałów budowlanych 16. BADANIA MATERIAŁÓW BUDOWLANYCH 1 16. 16. Badania materiałów budowlanych 16.1 Statyczna próba ściskania metali W punkcie 13.2 opisano statyczną próbę rozciągania metali plastycznych i kruchych. Dla

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład

Bardziej szczegółowo

Zginanie proste belek

Zginanie proste belek Zginanie belki występuje w przypadku obciążenia działającego prostopadle do osi belki Zginanie proste występuje w przypadku obciążenia działającego w płaszczyźnie głównej zx Siły przekrojowe w belkach

Bardziej szczegółowo

5.1. Kratownice płaskie

5.1. Kratownice płaskie .. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Materiałów

Wytrzymałość Materiałów Wytrzymałość Materiałów Skręcanie prętów o przekrojach kołowych Siły przekrojowe, deformacja, naprężenia, warunki bezpieczeństwa i sztywności, sprężyny śrubowe. Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Bardziej szczegółowo

Z1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1

Z1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1 05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 1 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 Z1/1.1 Zadanie 1 Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/1.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

Wewnętrzny stan bryły

Wewnętrzny stan bryły Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez

Bardziej szczegółowo

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o wzajemności

Twierdzenia o wzajemności Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F

Bardziej szczegółowo

NOŚNOŚĆ GRANICZNA

NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami

Bardziej szczegółowo

Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego

Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/index.htm. Tekst

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński

Dr inż. Janusz Dębiński r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą

Bardziej szczegółowo

Rysunek Łuk trójprzegubowy, kołowy, obciążony ciężarem własnym na prawym odcinku łuku..

Rysunek Łuk trójprzegubowy, kołowy, obciążony ciężarem własnym na prawym odcinku łuku.. rzykład 10.. Łuk obciążony ciężarem przęsła. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, którego oś ma kształt części półokręgu. Łuk obciążony jest ciężarem własnym. Zakładamy, że prawe przęsło łuku jest nieporównanie

Bardziej szczegółowo

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania Pole elektryczne Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunek punktowy Ładunek punktowy (q) jest to wyidealizowany model, który zastępuje rzeczywiste naelektryzowane

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE OSIOWE. Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE OSIOWE. Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta ROZCIĄGNIE I ŚCISKNIE OSIOWE Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta Pręt obciążony siłami podłużnymi (działającymi wzdłuż osi pręta) nazywamy prętem rozciąganym, gdyż siła podłużna jest dodatnia (N

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZENIE PRAWA HOOKE'A, WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA, WSPÓŁCZYNNIKA POISSONA, MODUŁU SZTYWNOŚCI I ŚCIŚLIWOŚCI DLA MIKROGUMY.

SPRAWDZENIE PRAWA HOOKE'A, WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA, WSPÓŁCZYNNIKA POISSONA, MODUŁU SZTYWNOŚCI I ŚCIŚLIWOŚCI DLA MIKROGUMY. ĆWICZENIE 5 SPRAWDZENIE PRAWA HOOKE'A, WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA, WSPÓŁCZYNNIKA POISSONA, MODUŁU SZTYWNOŚCI I ŚCIŚLIWOŚCI DLA MIKROGUMY. Wprowadzenie Odkształcenie, którego doznaje ciało pod działaniem

Bardziej szczegółowo

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH

1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH 5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1.1 naliza kinematyczna podstawowe definicje Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej belek i ram płaskich jest tarcza sztywna. Jest

Bardziej szczegółowo

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Projekt nr 1. Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 1 Obliczanie przemieszczeń z zastosowaniem równania pracy wirtualnej

Bardziej szczegółowo

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu rysunek jest w skali True 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym

Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym Ćwiczenie 11B Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym 11B.1. Zasada ćwiczenia Na zamkniętą pętlę przewodnika z prądem, umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym, działa skręcający

Bardziej szczegółowo

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU PROGRAM WALL1 (10.92) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do wyznaczania głębokości posadowienia ścianek szczelnych. PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU Program służy do wyznaczanie minimalnej

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny SORZĄDZNIE LINII WŁYWU WIELKOŚCI STTYCZNYCH SOSOBEM KINEMTYCZNYM Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer

Bardziej szczegółowo

Bąk wirujący wokół pionowej osi jest w równowadze. Momenty działających sił są równe zero (zarówno względem środka masy S jak i punktu podparcia O).

Bąk wirujący wokół pionowej osi jest w równowadze. Momenty działających sił są równe zero (zarówno względem środka masy S jak i punktu podparcia O). Bryła sztywna (2) Bąk Równowaga Rozważmy bąk podparty wirujący do okoła pionowej osi. Z zasady zachowania mementu pędu wynika, że jeśli zapewnimy znikanie momentów sił to kierunek momentu pędu pozostanie

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 6 Kratownice

ĆWICZENIE 6 Kratownice ĆWICZENIE 6 Kratownice definicja konstrukcja składająca się z prętów prostych połączonych przegubowo w węzłach, dla której jedynymi obciążeniami są siły skupione przyłożone w węzłach. Umowa: jeśli konstrukcja

Bardziej szczegółowo

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5

INSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5 INTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5 Temat ćwiczenia: tatyczna próba ściskania materiałów kruchych Celem ćwiczenia jest wykonanie próby statycznego ściskania materiałów kruchych, na podstawie której można określić

Bardziej szczegółowo

VII.1 Pojęcia podstawowe.

VII.1 Pojęcia podstawowe. II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku

Bardziej szczegółowo

Rodzina i pas płaszczyzn sieciowych

Rodzina i pas płaszczyzn sieciowych Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Krystalografii Laboratorium z Krystalografii 2 godz. Rodzina i pas płaszczyzn sieciowych Cel ćwiczenia: kształtowanie umiejętności posługiwania się modelami komórek

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia opisujące sieć przestrzenną

Podstawowe pojęcia opisujące sieć przestrzenną Uniwersytet Śląski Instytut Chemii akład Krystalografii Laboratorium z Krystalografii 2 godz. Podstawowe pojęcia opisujące sieć przestrzenną Cel ćwiczenia: kształtowanie umiejętności posługiwania się modelami

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 4

Ć w i c z e n i e K 4 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 4

Podstawy fizyki wykład 4 Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

Fizyka 2 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Fizyka 2 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku Fizyka w poprzednim odcinku Obliczanie natężenia pola Fizyka Wyróżniamy ładunek punktowy d Wektor natężenia pola d w punkcie P pochodzący od ładunku d Suma składowych x-owych wektorów d x IĄGŁY ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w

Bardziej szczegółowo

Wymiana ciepła. Ładunek jest skwantowany. q=n. e gdzie n = ±1, ±2, ±3 [1C = 6, e] e=1, C

Wymiana ciepła. Ładunek jest skwantowany. q=n. e gdzie n = ±1, ±2, ±3 [1C = 6, e] e=1, C Wymiana ciepła Ładunek jest skwantowany ładunek elementarny ładunek pojedynczego elektronu (e). Każdy ładunek q (dodatni lub ujemny) jest całkowitą wielokrotnością jego bezwzględnej wartości. q=n. e gdzie

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn

Mechanika i Budowa Maszyn Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Bardziej szczegółowo

Naprężenia, przemieszczenia, odkształcenia Właściwości materiałów. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji

Naprężenia, przemieszczenia, odkształcenia Właściwości materiałów. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji Naprężenia, przemieszczenia, odkształcenia Właściwości materiałów dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji Naprężeniem (p) nazywa się iloraz nieskończenie małej wypadkowej siły spójności

Bardziej szczegółowo

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej SCHEMATY KONSTRUKCYJNE Elementy konstrukcji hal z transportem podpartym: - prefabrykowane, żelbetowe płyty dachowe zmonolityzowane w sztywne tarcze lub przekrycie lekkie

Bardziej szczegółowo

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU PROGRAM ZESP1 (12.91) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do analizy wytrzymałościowej belek stalowych współpracujących z płytą żelbetową. PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU Program służy do

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor.

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Dany jest stan naprężenia w układzie x 1,x 2,x 3 T 11 12 13 [ ] 21 23 31 32 33 Znaleźć wektor naprężenia w płaszczyźnie o normalnej

Bardziej szczegółowo

Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń

Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń 1. Podział obciążeń i odkształceń Oddziaływania na konstrukcję, w zależności od sposobu działania sił, mogą być statyczne lun dynamiczne. Obciążenia statyczne występują

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.

Bardziej szczegółowo

Potencjalne pole elektrostatyczne. Przypomnienie

Potencjalne pole elektrostatyczne. Przypomnienie Potencjalne pole elektrostatyczne Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/indexhtm Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide03pdf

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Siła skupiona Mechanika teoretyczna Wykłady nr 5 Obliczanie sił wewnętrznych w belkach przykłady 1 2 Moment skupiony Obciążenie ciągłe równomierne 3 4 Obciążenie ciągłe liniowo zmienne Obciążenie ciągłe

Bardziej szczegółowo

Stropy TERIVA - Projektowanie i wykonywanie

Stropy TERIVA - Projektowanie i wykonywanie Stropy TERIVA obciążone równomiernie sprawdza się przez porównanie obciążeń działających na strop z podanymi w tablicy 4. Jeżeli na strop działa inny układ obciążeń lub jeżeli strop pracuje w innym układzie

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji.

Mechanika. Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji. Mechanika Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji. Przyłożenie układu zerowego (układ sił równoważących się, np. dwie siły o takiej samej mierze,

Bardziej szczegółowo

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

Przekrój zespolony. Przykład: Obliczanie parametrów przekroju jednorodnego. Ikona: Polecenie: GEOMZE Menu: BstInżynier Przekrój zespolony

Przekrój zespolony. Przykład: Obliczanie parametrów przekroju jednorodnego. Ikona: Polecenie: GEOMZE Menu: BstInżynier Przekrój zespolony BeStCAD - Moduł INŻYNIER 1 Przekrój zespolony Oblicza geometrię mas dla przekroju zespolonego Ikona: Polecenie: GEOMZE Menu: BstInżynier Przekrój zespolony Procedura licząca oparta jest na dostępnym w

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni

Rozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo