5. Zginanie ze ścinaniem
|
|
- Marek Olejnik
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zginanie ze ścinaniem 5.1 Belki i ramy płaskie W wykładzie tym rozpatrywane będzie działanie siły poprzecznej, która powstaje w przekroju pręta pryzmatycznego wykonanego z materiału jednorodnego oraz izotropowego. Na pręt będą działały siły masowe i siły powierzchniowe dostosowane do modelu matematycznego pręta, którym jest jego oś. Przykład takiego obciążenia został pokazany w punkcie 1.5 dla belki stropu belkowego. Ustroje prętowe, jakie będą rozpatrywane to belki i ramy płaskie. Belka jest ustrojem prętowym, w którym pręty leżą na jednej prostej, obciążenie w postaci sił czynnych oraz biernych są najczęściej prostopadłe do osi belki i znajdują się na płaszczyźnie, na której leży belka. Rama jest także ustrojem prętowym, w którym pręty leżą na jednej płaszczyźnie, ale w przeciwieństwie do belek pręty ramy nie leżą na jednej prostej. Obciążenie ramy leży także na jednej płaszczyźnie z ramą lecz nie zawsze jest prostopadłe do pręta. Przykłady belek zostały zaprezentowane na rysunkach Belki zaprezentowane na rysunkach są to tak zwane belki swobodnie podparte stanowiące jeden z częściej używanych rodzajów belek. Belką swobodnie podpartą jest pręt prostoliniowy podparty jedną podporą przegubowo-przesuwną oraz przegubowo-nieprzesuwną. Rys Przykładowa belka swobodnie podparta wraz z zaznaczonym modelem matematycznym. Rys. 5.. Przykładowa belka swobodnie podparta wraz z zaznaczonym modelem matematycznym. Rys Przykładowa belka swobodnie podparta wraz z zaznaczonym modelem matematycznym.
2 Rys Przykładowa belka swobodnie podparta wraz z zaznaczonym modelem matematycznym. Rys Przykładowa belka swobodnie podparta wraz z zaznaczonym modelem matematycznym. Rys Przykładowa belka ciągła wraz z zaznaczonym modelem matematycznym. Rys Przykładowa belka ciągła wraz z zaznaczonym modelem matematycznym.
3 3 Rysunki 5.6 oraz 5.7 przedstawiają belki ciągłe. Są to belki geometrycznie niezmienne, w których zastosowano większą liczbę podpór niż jest konieczna dla odebrania prętom wszystkich stopni swobody, czyli jest to układ prętowy statycznie niewyznaczalny. Ustroje prętowe tego typu nie będą tutaj rozpatrywane. Rysunki przedstawiają przykładowe podpory belek. Rys Podpora przegubowo-przesuwna belki stalowej (Rys.5.5). Rys Podpora przegubowo-przesuwna belki żelbetowej. Rys Podpora przegubowo-nieprzesuwna belki stalowej (Rys. 5.5).
4 4 Rys Podpora przegubowo-przesuwna belki stalowej (Rys.5.7). Rys Podpora przegubowo-nieprzesuwna belki stalowej (Rys.5.7). Rys przedstawiają przykładowe ramy płaskie. Rama przedstawiona na rysunku 5.13 posiada jako podpory pełne utwierdzenie. Podpora taka odbiera trzy stopnie swobody. Rama ta jest więc układem geometrycznie niezmiennym statycznie niewyznaczalnym. Pełne utwierdzenie zostało w powyższym przypadku zrealizowane za pomocą śrub zakotwionych w betonowym bloku. Na rysunku 5.14 widać blachy z nawierconymi otworami przyspawane do pręta dwuteowego. Przez te otwory zostały przepuszczone śruby kotwiące. Rysunki 5.16 oraz 5.17 przedstawiają przykładowe węzły ram płaskich natomiast rysunek 5.18 przedstawia zwykłą ławkę, która jest także ramą płaską. Rys Przykładowa rama płaska z modelem matematycznym.
5 5 Rys Szczegół podparcia ramy za pomocą utwierdzenia. Rys Utwierdzenie ramy wraz z modelem matematycznym. Rys Szczegóły węzłów ram płaskich.
6 6 Rys Szczegóły węzłów ram płaskich. Rys Ławka jako przykład ramy płaskiej. 5. Reakcje podporowe i siły przekrojowe Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona, jeżeli belka działa na podporę za pomocą sił czynnych nazywanych dalej obciążeniem to podpora także działa na belkę siłą bierną (reakcją). Kierunki reakcji oraz ich ilość zależą od rodzaju podpór (patrz punkt 1.3) natomiast zwrot i wartość reakcji zależy od warunków równowagi. Przy obliczaniu reakcji stosuje się zasadę zesztywnienia czyli obliczenia przeprowadza się w konfiguracji początkowej (przed przyłożeniem obciążenia). Zasadę tę można zastosować, ponieważ przemieszczenia belek i ram są bardzo małe (rzędu paru procent) w porównaniu z długością prętów. Od konstrukcji budowlanej będziemy wymagać aby była nieruchoma czyli zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki na konstrukcję budowlaną muszą działać siły (czynne i bierne), których wypadkowa równa się zero. Przy wyznaczaniu reakcji zastosowanie ma rachunek wektorowy, ponieważ podstawowym aksjomatem mechaniki jest to, że siła jest wektorem. Na płaszczyźnie dla każdego pręta możemy napisać trzy różne warunki równowagi. Podstawowymi warunkami równowagi są: suma rzutów wszystkich sił na oś poziomą X, suma rzutów wszystkich sił na oś pionową Y, suma momentów statycznych wszystkich sił względem dowolnego punktu O. Przykładowy układ sił przedstawia rysunek Oprócz przedstawionych powyżej
7 7 warunków równowagi można zastosować inne. Na przykład mogą to być: suma rzutów wszystkich sił na jedną z osi oraz dwie sumy momentów statycznych względem dowolnych dwóch punktów. Możliwe jest także zastosowanie trzech sum momentów statycznych względem trzech punktów. W tym przypadku te trzy punkty nie mogą się znajdować na jednej prostej. W przypadku belek, w których wszystkie siły będą najczęściej pionowe (bardzo rzadko w belce mamy do czynienia z obciążeniem siłami poziomymi) najwygodniej jest zastosować dwa warunki sumy momentów statycznych względem dowolnych punktów natomiast sumą rzutów wszystkich sił na oś Y dokonać sprawdzenia poprawności obliczeń. W przypadku błędnego obliczenia jednej reakcji z warunku sumy momentów statycznych obliczenie drugiej reakcji z warunku sumy rzutów wszystkich sił na oś Y pociąga za sobą błędne obliczenie również drugiej reakcji. X =0, (5.1) Y =0 (5.) M O =0 (5.3) Y P P1 P3 O X Rys Przykładowy układ sił (podstawowe warunki równowagi). Zakłada się, że siły czynne (obciążenie) oraz bierne (reakcje) działa w płaszczyźnie XZ, gdzie oś Z jest jedną z głównych, środkowych osi bezwładności (Z=Zgl). Przedstawia to rysunek 5.0. P1 q(x) sc X Ygl Zgl Rys Obciążenie pręta pryzmatycznego.
8 8 Najczęściej występującym typem obciążenia (siły czynnej) jest obciążenie ciągłe oznaczone na rysunku 5.0 jako q(x). Jednostką obciążenia ciągłego jest kn/m. Może ono być równomiernie lub nierównomiernie rozłożone. Obciążenie ciągłe możemy zastąpić statycznie równoważną siłą wypadkową. Rysunek 5.1 przedstawia wypadkową z obciążenia równomiernie rozłożonego natomiast rysunek 5. przedstawia wypadkową z obciążenia trójkątnego. q = L W =q L L L Rys Wypadkowa z obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego. q = L 1 W = q L L 3 1 L 3 Rys. 5.. Wypadkowa z obciążenia ciągłego trójkątnego. Korzystając z równań równowagi można dla układów geometrycznie niezmiennych i statycznie wyznaczalnych wyznaczyć reakcje w podporach. Belkę z siłami czynnymi i biernymi przedstawia rysunek 5.3. Jeżeli myślowo przetniemy belkę w dowolnym miejscu to okaże się, że odcięta część belki nie jest w równowadze. Aby równowaga byłą zachowana to w przekroju muszą pojawić się siły przekrojowe. Siłami tymi będą: siła normalna N(x), moment zginający M(x) oraz siła poprzeczna T(x). Siły przekrojowe zostały zaznaczone na rysunku 5.4. Na rysunku tym zaznaczono dodatnie zwroty sił przekrojowych. Jak wiadomo z poprzednich rozdziałów siła normalna jest dodatnia jeżeli powoduje rozciąganie pręta. Moment zginający jest dodatni, wtedy kiedy powoduje rozciąganie dolnych włókien pręta. Natomiast siła poprzeczna T(x) jest
9 9 dodatnia jeżeli będzie kręciła odciętą częścią pręta zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Oczywiście w drugiej części belki także będą działały siły przekrojowe. Ich dodatnie zwroty przedstawia rysunek 5.4. q P RAX A B RAY RB L1 L Rys Belka swobodnie podparta z siłami czynnymi i biernymi. q q P M(x) RAX A N(x) M(x) X B N(x) T(x) T(x) RAY Zgl x RB L1-x L Rys Część belki z zaznaczonymi siłami przekrojowymi. Jak widać na rysunku 5.4 reakcja RAX wynosi zero. Powoduje to, że siła normalna N(x) w dowolnym przekroju także wynosi zero (z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na oś X). Pozostałe siły przekrojowe wyznacza się z następujących warunków równowagi (stosuje się także zasadę zesztywnienia): 1. moment zginający M(x) z warunku sumy momentów statycznych wszystkich sił działających na odciętą część belki względem punktu, w którym znajduje się przekrój,. siłę poprzeczną T(x) z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na oś Zgl. Przypadek, w którym siła normalna wynosi zero występuje w większości belek, ponieważ belki z reguły nie są obciążone siłami poziomymi. Obciążenie poziome występuje na przykład w belkach podsuwnicowych, w których występują siły od hamowania suwnicy. Przykładową belkę podsuwnicową przedstawia rysunek 5.5. Na rysunku 5.5 zostały zaznaczone także siły pionowe od nacisku kół suwnicy. Ponieważ suwnica znajduje się w ruchu analiza belki podsuwnicowej jest zagadnieniem trudnym i wykraczającym poza zakres niniejszego wykładu. W przypadku ram płaskich reakcje wyznacza się podobnie jak dla belek z tą różnicą, że wszystkie reakcje w większości przypadków ram są różne od zera. Pociąga to za sobą fakt, że siły normalne w prętach ramy są także różne od zera. Przykładową ramę płaską z działającymi na nią siłami czynnymi i biernymi przedstawia rysunek 5.6. Równowagę odciętej części ramy przedstawia rysunek 5.7. Siłę normalną oraz siłę poprzeczną wyznacza się z sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część ramy na oś X oraz Zgl. Moment zginający oblicza się z identycznego warunku równowagi jak w przypadku belek.
10 10 Rys Belka podsuwnicowa. q1 q q3 RAX A RAY B RB Rys.5.6. Rama płaska z siłami czynnymi i biernymi. Przedstawione na rysunku 5.7 obciążenie q1 jest obciążeniem równomiernie rozłożonym na rzut poziomy pręta ukośnego. Wypadkową z tego typu obciążenia oblicza się mnożąc wartość obciążenia q1 przez długość rzutu poziomego pręta ukośnego. Oprócz tego typu obciążenia w przypadku prętów prostoliniowych ukośnych mamy do czynienia z obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym q na długości pręta. Wypadkową z tego typu obciążenia oblicza się mnożąc wartość obciążenia q przez długość pręta ukośnego. Pod wpływem sił wewnętrznych belka lub rama przemieszcza się. Przemieszczenia belki swobodnie podpartej obciążonej siłą skupioną (a właściwie obciążeniem równomiernie rozłożonym na małej powierzchni) na środku przedstawia schematycznie na modelu z gąbki rysunek 5.8. Podobny przypadek przedstawia rysunek 5.9. Rysunek 5.30 przedstawia porównanie przemieszczeń ramy obciążonej siłą skupioną (a właściwie także obciążeniem równomiernie rozłożonym na małej powierzchni) z belką swobodnie podpartą obciążoną w sposób podobny do obciążenia ramy. Z rysunków 5.9 i 5.30 widać, że pod wpływem siły pionowej w dół dolne włókna belki i poziomego pręta ramy (nazywanego ryglem) są rozciągane natomiast górne włókna ściskane. Na rysunku 5.30 widać także, że przemieszczenia pionowe belki są większe niż w ryglu ramy. Dzieje się tak, ponieważ w przypadku ramy do współpracy włączają się także pionowe pręty ramy (słupy).
11 q1 11 q1 M(x ) N(x ) T(x ) X M(x ) N(x ) q T(x ) Z gl q3 RAX A B RAY RB Rys Równowaga odciętej części ramy płaskiej. Rys Przemieszczenia belki swobodnie podpartej. Rys Przemieszczenia belki swobodnie podpartej.
12 1 Rys Porównanie przemieszczeń ramy płaskiej i belki swobodnie podpartej. 5.3 Zależności między siłami przekrojowymi Rozpatrując równowagę wyciętej części pręta o długości dx obciążonego obciążeniem ciągłym prostopadłym do osi pręta q(x) oraz obciążeniem ciągłym równoległym do osi pręta h(x) można wyznaczyć zależności pomiędzy siłami przekrojowymi. Wycinek pręta przedstawia rysunek q T M+dM h N M O X N+dN T+dT Zgl dx Rys Równowaga wycinka pręta o długości dx. Wykorzystując sumę rzutów wszystkich siła na oś X otrzymano wzór (3.45) dn = h x. dx (5.4) Wykorzystując sumę rzutów wszystkich siła na oś Zgl otrzymano
13 13 T T dt q dx=0. (5.5) dt = q x. dx (5.6) Ostatecznie otrzymano Wykorzystując sumę momentów statycznych względem punktu O otrzymano dx M M dm T dx q dx =0. (5.7) q dx jest wypadkową z obciążenia ciągłego q(x). Przyjęto, że na całym odcinku dx obciążenie q(x) jest stałe. Iloczyn q dx dx jest bardzo mały w porównaniu z pozostałymi składnikami We wzorze (5.5) i (5.7) wzoru (5.7) i możemy go pominąć. Ostatecznie wzór (5.7) będzie miał postać dm =T x. dx (5.8) Wzory (5.4), (5.6) oraz (5.8) nazywamy równaniami różniczkowymi równowagi. 5.4 Naprężenia normalne i styczne Przy założeniu, że obciążenie siłami czynnymi i biernymi działa w płaszczyźnie XZ w dowolnym przekroju pręta powstaną siły przekrojowe pokazane na rysunku 5.3. Siła normalna N powoduje powstanie w przekroju pręta naprężeń normalnych, które oblicza się według wzoru X= N, A (5.9) w którym A oznacza pole powierzchni przekroju pręta. Moment zginający M=MYgl powoduje powstanie w przekroju naprężeń normalnych, które oblicza się według wzoru X= M ygl z. I ygl gl (5.10)
14 14 P1 q(x) T=Tzgl N M=Mygl X Y=Ygl Z=Zgl Rys Siły przekrojowe. Jeżeli w przekroju działają siła normalna i moment zginający to naprężenia normalne oblicza się według wzoru X= N M ygl z. A I ygl gl (5.11) Pod wpływem działania siły poprzecznej T=TZgl w przekroju pręta powstaną naprężenia styczne txz. Naprężenia te działają na płaszczyźnie przekroju pręta i mają zwrot zgodny ze zwrotem siły poprzecznej TZgl. Sumując wszystkie naprężenia na całym polu przekroju otrzymano jako wypadkową siłę poprzeczną TZgl T Zgl = XZ da. (5.1) A Obliczenie ścisłe naprężeń stycznych dla dowolnego kształtu przekroju pręta jest trudne. Jeżeli jednak znany jest rozkład naprężeń normalnych sx to dobre przybliżenie można uzyskać analizując równowagę pewnych fragmentów pręta. Przedstawia to rysunek Przyrost naprężenia normalnego musi zostać zrównoważony siłą poziomą wynikającą z naprężeń stycznych tzx, które działają na pole o wymiarach b(z) na dx. Naprężenie styczne tzx to naprężenie, które leży na płaszczyźnie o normalnej Z=Zgl (prostopadłe do osi Z) i jest ono równe naprężeniu stycznemu txz (zostanie to udowodnione później). Zapisując równanie równowagi wszystkich sił na oś X otrzymano (A' jest polem powierzchni przekroju leżącym poniżej punktu, w którym obliczamy naprężenia styczne) [ bl d X da ' = ZX dy A' b p ] dx. (5.13)
15 T+dT M+dM ZX XZ Z=Zgl M Ygl z I Ygl 1 gl bp(zgl) b(zgl) X dx X d X XZ bl(zgl) dx zdgl T z1gl M zgl z=zgl Y=Ygl X d X X T=Tzgl 15 XZ Rys Równowaga fragmentu pręta. Naprężenia normalne od działania momentu zginającego w punkcie o dowolnej współrzędnej z1gl wynoszą X= M Ygl, z I Ygl 1 gl (5.14) w którym z1gl zmienia się wartości zgl do zdgl. Przyrost naprężenia normalnego sx wynikający ze zmiany współrzędnej z1gl wynosi d X= x d M ygl z 1 gl z dx= dx=t Zgl 1 gl dx. x dx I Ygl I Ygl (5.15) Równanie (5.15) podstawiano do (5.13) i otrzymano [ bl ZX dy b p ] [ dx= ] T Zgl z da ' dx I Ygl A' 1 gl (5.16) Całka występująca po prawej stronie wzoru (5.16) oznacza moment statyczny pola A' względem osi Ygl i wynosi
16 S Ygl z gl = z 1 gl da '. A' 16 (5.17) Ostatecznie otrzymano bl ZX dy= b p T Zgl x S Ygl z gl. I Ygl (5.18) Ze wzoru (5.18) nie można jednoznacznie określić naprężeń tzx. Zazwyczaj zadowalamy się wartością średnią tego naprężenia ZX na aktualnej szerokości przekroju b(zgl). Rozkład naprężeń stycznych tzx możemy więc przyjąć jako stały na linii o współrzędnej zgl i wynoszący XZ ZX = XZ = T Zgl x S Ygl z gl. b z gl I Ygl (5.19) We wzorze (5.19) b(zgl) oraz IYgl przyjmują zawsze wartości dodatnie, natomiast TZgl oraz SYgl mogą przyjmować także wartości ujemne. Aby uniknąć problemów ze znakiem siły poprzecznej oraz momentu statycznego zaleca się podstawiać do wzoru (5.19) wartość bezwzględną powyższych wielkości. Wzór (5.19) będzie miał więc postać T x S Ygl z gl. XZ = Zgl b z gl I Ygl (5.19)1 Tensor naprężenia w przypadku działania momentu zginającego, siły normalnej oraz siły poprzecznej będzie miał ostatecznie postać [ X 0 = 0 0 ZX 0 XZ 0 0 ]. (5.0) Tensor (5.0) przedstawia stan naprężenia w sposób ścisły tylko dla przekroju prostokątnego. Przekrój taki przedstawia rysunek 5.34.
17 17 T=Tzgl zgl h Y=Ygl Z=Zgl b Rys Przekrój prostokątny obciążony siłą poprzeczną. Szerokość przekroju b(zgl) równa się b, moment bezwładności względem osi Ygl wynosi natomiast I Ygl = b h3. 1 (5.1) Moment statyczny części przekroju pręta leżącego poniżej miejsca, w którym wyznacza się naprężenia styczne wynosi [ ] [ ] h h 1 h b h S Ygl z gl =b z gl z gl = z gl. (5.) Po podstawieniu wzorów (5.1) i (5.) oraz wartości b(zgl) do wzoru (5.19)1 otrzymano wzór na obliczenie naprężeń stycznych w przekroju prostokątnym [ ] T z gl XZ = Zgl 1 h A 3. (5.3) Jak widać naprężenia styczne na wysokości przekroju prostokątnego są parabolą. Maksymalna wartość naprężenia występuje w środku ciężkości przekroju prostokątnego. Wykres naprężeń stycznych na wysokości przekroju prostokątnego przedstawia rysunek Naprężenia styczne txz są oczywiście dodatnie, ponieważ mają zwrot zgodny ze zwrotem osi Z=Zgl.
18 18 T=Tzgl Y=Ygl h + Z=Zgl b XZ Rys Wykres naprężeń stycznych w przekroju prostokątnym. Wzór (5.19) i (5.19)1 można także wykorzystywać dla przekrojów nieprostokątnych. Pojawiają się wówczas dodatkowe naprężenia styczne txy. Wynikają one z faktu, że naprężenia styczne w punktach leżących na konturze przekroju muszą być do niego styczne. Rysunek 5.36 przedstawia naprężenia styczne w punkcie znajdującym się na konturze przekroju kołowego. T=Tzgl XY zgl Y=Ygl A X XZ C Z=Zgl Rys Naprężenia styczne w punkcie A. Jak widać na rysunku 5.36 wypadkowe naprężenie styczne tx znajduje się na stycznej do konturu w punkcie A. Można je rozłożyć na składowe naprężenia styczne txy oraz txz. Naprężenia w punkcie B znajdującym się na odcinku o takiej samej współrzędnej zgl jak punkt A przedstawia rysunek Wypadkowe naprężenie styczne tx znajduje się na odcinku przechodzącym przez punkty B i C. Naprężenia txz są oczywiście równe w punktach A i B.
19 19 T=Tzgl XY B zgl Y=Ygl XZ X C Z=Zgl Rys Naprężenia styczne w punkcie B. 5.5 Zależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami Naprężenia styczne będą powodowały powstanie odkształceń nazywanych postaciowymi. Odkształcenia tego typu powodują zmianę kształtu elementarnego wycinka pręta bez zmiany jego wymiarów. Odkształcony elementarny wycinek ciała przedstawia rysunek X XZ XZ Z=Zgl Rys Odkształcony elementarny wycinek belki pod wpływem naprężeń stycznych. Odkształcenie postaciowe exz ma wartość 1 XZ = XZ = XZ, G (5.4) w którym G jest modułem Kirchhoffa lub modułem ścinania. Równanie (5.4) nazywamy równaniem fizycznym w przypadku ścinania. Moduł ścinania G jest zależny od modułu Younga E oraz współczynnika Poissona n i jest opisany zależnością
20 G= 0 E. 1 (5.5) Macierz odkształceń dla łącznego działania siły poprzecznej T i momentu zginającego M ma postać [ X XY XZ = YX X 0 ZX 0 X ]. (5.6) Macierz (5.6) jest symetryczna, ponadto dwa naprężenia styczne są równe zero. Zależności te opisują poniższe wzory XY = YX, XZ = ZX. YZ = ZY =0 (5.7) 5.6 Zależności energetyczne Rozważania ograniczono do przekroju prostokątnego obciążonego siłą poprzecznej TZ=TZgl. Tensor naprężenia w takim przypadku ma postać [ XZ = 0 0 ZX 0 ]. (5.8) Wartość całki objętościowej z iloczynu tensora naprężenia i tensora odkształcenia przy działaniu siły poprzecznej ma postać [ dv = XZ XZ ZX ZX dv = XZ XZ ZX ZX da V V s A ] ds. (5.9) Całkę objętościową zamieniamy na całkę po polu powierzchni przekroju pręta A oraz po długości pręta s. Elementarne wielkości wynoszą da oraz ds. Ze względu na to, że tensory naprężenia i odkształcenia są symetryczne wzór (5.9) możemy zapisać [ dv = XZ XZ da V s A ] ds. (5.30)
21 1 Podstawiając (5.19) do (5.4) odkształcenie postaciowe będzie wynosiło T x S Ygl z gl. 1 XZ = XZ = XZ = Zgl G G b z gl I Ygl (5.31) Uwzględniając wzory (5.19) i (5.31) wzór (5.30) będzie miał postać [ dv = XZ XZ da V s A ] ds= [ s A T Zgl x S Ygl z gl G b z gl I Ygl ] da ds. (5.3) Siła poprzeczna, moment bezwładności oraz moduł ścinania nie zależą od pola powierzchni A, możemy je wyciągnąć przed znak całki i ostatecznie otrzymamy dv = V s [ T Zgl x G I Ygl S Ygl z gl A b z gl ] da ds. (5.33) Wprowadzając współczynnik zależny od kształtu przekroju w postaci S Ygl z A k = gl da, I Ygl A b z gl (5.34) wzór (5.33) będzie miał postać dv = V s T Zgl x G A k ds. (5.35) Współczynnik k jest bezwymiarowy i na przykład dla przekroju prostokątnego wynosi 1,. Wielkość = T Zgl x G A k (5.36)
22 nazywa się średnim kątem ścinania. Jeżeli pręt jest liniowo-sprężysty (czyli zależność pomiędzy naprężeniami a odkształceniami jest liniowa prawo Hooke'a), to energia sprężysta zawarta wewnątrz pręta wynosi U =U T = 1 T Zgl x ds. s G A k (5.37)
23 3
4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu.
4. CZYSTE ZGINNIE 1 4. 4. Czyste zginanie 4.1 odstawowe definicje Momentem M siły względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r oraz wektora siły. M= r. (4.1) Wektor r jest promieniem
Bardziej szczegółowo2. Charakterystyki geometryczne przekroju
. CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi
Bardziej szczegółowoZ1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 1 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 Z1/7.1 Zadanie 3 Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1. Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych
Bardziej szczegółowoPODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE
PODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE Podstawy statyki budowli: Pojęcia podstawowe Model matematyczny, w odniesieniu do konstrukcji budowlanej, opisuje ją za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe
Bardziej szczegółowo1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH
5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1.1 naliza kinematyczna podstawowe definicje Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej belek i ram płaskich jest tarcza sztywna. Jest
Bardziej szczegółowoWytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów Wykład 3 Analiza stanu naprężenia i odkształcenia w przekroju pręta Poznań 1 3.1. Podstawowe założenia Charakterystyka materiału Zakładamy na początek, że mamy do czynienia z ośrodkiem
Bardziej szczegółowoMechanika i Budowa Maszyn
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoZ1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1
05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 1 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 Z1/1.1 Zadanie 1 Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/1.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej
Bardziej szczegółowo9. Mimośrodowe działanie siły
9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 9. 9. Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc.
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład
Bardziej szczegółowo3. Rozciąganie osiowe
3. 3. Rozciąganie osiowe 3. Podstawowe definicje Przyjmijmy, że materiał z którego wykonany został pręt jest jednorodny oraz izotropowy. Izotropowy oznacza, że próbka wycięta z większej bryły materiału
Bardziej szczegółowoPytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15
Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą
Bardziej szczegółowo5.1. Kratownice płaskie
.. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.
Bardziej szczegółowo2. Charakterystyki geometryczne przekroju
. CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:
adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,
Bardziej szczegółowoZ1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2
05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu
Bardziej szczegółowoŚcinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży
Ścinanie i skręcanie dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 Ścinanie proste Ścinanie czyste Ścinanie techniczne 2 Ścinanie Czyste ścinanie ma miejsce wtedy, gdy na czterech ścianach prostopadłościennej kostki występują
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Materiałów
Wytrzymałość Materiałów Zginanie Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach i ramach, analiza stanu naprężeń i odkształceń, warunek bezpieczeństwa Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Bardziej szczegółowo5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym
Bardziej szczegółowoSTAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży
STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o wzajemności
Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F
Bardziej szczegółowo8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
Część 2 8. MECHNIK ELEMENTÓW PRĘTOWYCH WIDOMOŚCI WSTĘPNE 1 8. WIDOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLSYFIKCJ ZSDNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny
Bardziej szczegółowoSKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH
KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17
Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1 MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Część 1 analiza kinematyczna układów płaskich Przeprowadzić analizę kinematyczną układu. Odpowiednią
Bardziej szczegółowoE, J H 2 E, J H 1. Rysunek 9.1. Schemat statyczny słupa. 1. Kinematycznie dopuszczalna (zgodna z więzami) postać odkształcona analizowanej struktury:
Przykład 9.. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach Wyznaczyć wartość krytyczną siły P obciążającej głowicę słupa przebiegającego w sposób ciągły przez dwie kondygnacje budynku. Słup jest zamocowany w undamencie.
Bardziej szczegółowoDla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu rysunek jest w skali True 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek
Bardziej szczegółowoWIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji.
Mechanika Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji. Przyłożenie układu zerowego (układ sił równoważących się, np. dwie siły o takiej samej mierze,
Bardziej szczegółowoTARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania
TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika
Bardziej szczegółowoPodpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są
PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich
Bardziej szczegółowoLinie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej
Prof. Mieczysław Kuczma Poznań, styczeń 215 Zakład Mechaniki Budowli, PP Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej (Przykład liczbowy) Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia linii wpływu (używa się też
Bardziej szczegółowoSiły wewnętrzne - związki różniczkowe
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI
13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają
Bardziej szczegółowo1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
1 1.1. Płaskie układy tarcz sztywnych naliza kinematyczna służy nam do określenia czy dany układ spełnia wszystkie warunki aby być konstrukcją budowlaną. Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych
ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych bez pisania funkcji Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład
Bardziej szczegółowoModelowanie Wspomagające Projektowanie Maszyn
Modelowanie Wspomagające Projektowanie Maszyn TEMATY ĆWICZEŃ: 1. Metoda elementów skończonych współczynnik kształtu płaskownika z karbem a. Współczynnik kształtu b. MES i. Preprocesor ii. Procesor iii.
Bardziej szczegółowoTreść ćwiczenia T6: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Instrukcja przygotowania i realizacji scenariusza dotyczącego ćwiczenia 6 z przedmiotu "Wytrzymałość materiałów", przeznaczona dla studentów II roku studiów stacjonarnych I stopnia w kierunku Energetyka
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowoMECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH
ECHANIKA I WYTRZYAŁOŚĆ ATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH ZAD. 1. OBLICZYĆ SIŁY TNĄCE ORAZ OENTY ZGINAJĄCE W BELCE ORAZ NARYSOWAĆ WYKRESY TYCH SIŁ Wyznaczamy siły reakcji. Obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowo4.1. Modelowanie matematyczne
4.1. Modelowanie matematyczne Model matematyczny Model matematyczny opisuje daną konstrukcję budowlaną za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych będą należały to zbioru liczb rzeczywistych i będą one reprezentować
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Kratownica 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Strona:1
1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek konieczny geometrycznej
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3
ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE A) o trzech reakcjach podporowych N=3 B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3 A) wyznaczanie reakcji z równań
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do WK1 Stan naprężenia
Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)
Bardziej szczegółowoMechanika i Budowa Maszyn. Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do laboratorium Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości Środek ciężkości Moment bezwładności Wskaźnik wytrzymałości na zginanie Naprężenia
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie
Mechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie materiały pomocnicze do zajęć audytoryjnych i projektowych opracowanie: dr inż. Piotr Dębski, dr inż. Dariusz Zaręba
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 3
Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoMechanika teoretyczna
Siła skupiona Mechanika teoretyczna Wykłady nr 5 Obliczanie sił wewnętrznych w belkach przykłady 1 2 Moment skupiony Obciążenie ciągłe równomierne 3 4 Obciążenie ciągłe liniowo zmienne Obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowoOlga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, ichał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 00/003 ECHANIKA UDOWLI WSTĘP. echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej, zajmujący się statyką, statecznością
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze
Bardziej szczegółowoWytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów.
Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. 2. Omówić pojęcia sił wewnętrznych i zewnętrznych konstrukcji.
Bardziej szczegółowoTemat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie
Wytrzymałość Materiałów II 2016 1 Przykładowe tematy egzaminacyjne kursu Wytrzymałość Materiałów II Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie 1. Dany jest pręt obciążony mimośrodowo siłą P. Oblicz naprężenia
Bardziej szczegółowoZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH
ZGINNIE PŁSKIE EEK PROSTYCH WYKRESY SIŁ POPRZECZNYCH I OENTÓW ZGINJĄCYCH Zginanie płaskie: wszystkie siły zewnętrzne czynne (obciążenia) i bierne (reakcje) leżą w jednej wspólnej płaszczyźnie przechodzącej
Bardziej szczegółowoSił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł
echanika ogóna Wykład nr 5 Statyczna wyznaczaność układu. Siły wewnętrzne. 1 Stopień statycznej wyznaczaności Stopień zewnętrznej statycznej wyznaczaności n: Beka: n=rgrs; Rama: n=r3ogrs; rs; Kratownica:
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka
Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 6 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowo2. Pręt skręcany o przekroju kołowym
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo
Bardziej szczegółowoZginanie proste belek
Zginanie belki występuje w przypadku obciążenia działającego prostopadle do osi belki Zginanie proste występuje w przypadku obciążenia działającego w płaszczyźnie głównej zx Siły przekrojowe w belkach
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)
Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:
1. Metor Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m] węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m] węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]
Bardziej szczegółowoWewnętrzny stan bryły
Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez
Bardziej szczegółowoTra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m
Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany
Bardziej szczegółowo15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin
15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp Część I STATYKA
Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.
Bardziej szczegółowoAl.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III
KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli
Bardziej szczegółowo6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy
Bardziej szczegółowoPrzykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 1
Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 Schemat analizowanej ramy Analizy wpływu imperfekcji globalnych oraz lokalnych, a także efektów drugiego rzędu
Bardziej szczegółowoLaboratorium wytrzymałości materiałów
Politechnika Lubelska MECHANIKA Laboratorium wytrzymałości materiałów Ćwiczenie 3 - Czyste zginanie statycznie wyznaczalnej belki Przygotował: Andrzej Teter (do użytku wewnętrznego) Czyste zginanie statycznie
Bardziej szczegółowoPROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH
1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA
Bardziej szczegółowoMETODA SIŁ KRATOWNICA
Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI I. Prowadzący : dr inż. Hanna Weber pok. 225, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl
MECHANIKA BUDOWLI I Prowadzący : pok. 5, email: weber@zut.edu.pl strona: www.weber.zut.edu.pl Literatura: Dyląg Z., Mechanika Budowli, PWN, Warszawa, 989 Paluch M., Mechanika Budowli: teoria i przykłady,
Bardziej szczegółowoRys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE
WIADOMOŚCI OGÓLNE O zginaniu mówimy wówczas, gdy prosta początkowo oś pręta ulega pod wpływem obciążenia zakrzywieniu, przy czym włókna pręta od strony wypukłej ulegają wydłużeniu, a od strony wklęsłej
Bardziej szczegółowoPŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania
Charakterystyczne wielkości i równania PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej,
Bardziej szczegółowo9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co
Bardziej szczegółowogruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] 2. Ustalenie stopnia statycznej
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z
Bardziej szczegółowo1. Silos Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu ...
1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu... Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] Strona:1 2. Ustalenie stopnia
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych
Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m
Bardziej szczegółowoPrzykład 9.2. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w fundamencie
rzykład 9.. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w undamencie Wyznaczyć wartość krytyczną siły obciążającej głowicę słupa, dla słupa przebiegającego w sposób ciągły przez dwie kondygnacje budynku.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium
Bardziej szczegółowoBelka Gerbera. Poradnik krok po kroku. mgr inż. Krzysztof Wierzbicki
Belka Gerbera Poradnik krok po kroku mgr inż. Krzysztof Wierzbicki Odrobina teorii Belki Gerbera: - układy jednowymiarowe (wiodąca cecha geometryczna: długość) -belki o liczbie reakcji >3 - występują w
Bardziej szczegółowoAnaliza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.
Bardziej szczegółowo{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM.
Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM. Niezależnie od sposobu rozwiązywania zadania, zacząć należy od zastąpienia podpór reakcjami. Na czas obliczania reakcji można zastąpić obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowoObsługa programu Soldis
Obsługa programu Soldis Uruchomienie programu Po uruchomieniu, program zapyta o licencję. Można wybrać licencję studencką (trzeba założyć konto na serwerach soldisa) lub pracować bez licencji. Pliki utworzone
Bardziej szczegółowoRodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń
Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń 1. Podział obciążeń i odkształceń Oddziaływania na konstrukcję, w zależności od sposobu działania sił, mogą być statyczne lun dynamiczne. Obciążenia statyczne występują
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności. Magdalena Krokowska KBI III 2010/2011
Ćwiczenie nr 3: Wyznaczanie nośności granicznej belek Teoria spręŝystości i plastyczności Magdalena Krokowska KBI III 010/011 Wyznaczyć zakres strefy spręŝystej dla belki o zadanym przekroju poprzecznym
Bardziej szczegółowoAutor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE
METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody
Bardziej szczegółowoMECHANIKA CIAŁA ODKSZTAŁCALNEGO. 1. Przedmiot i cel wytrzymałości materiałów STATYKA POLSKIE NORMY PODSTAWOWE POJĘCIA, DEFINICJE I ZAŁOŻENIA 1
ODSTWOWE OJĘC, DEFNCJE ZŁOŻEN 1 Wytrzymałość ateriałów - dział mechaniki stosowanej zajmujący się zachowaniem ciał stałych pod wpływem różnego typu obciążeń. Celem analizy tego zachowania jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA PRZEZ ZGINANIE
ĆWICZENIE 4 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA PRZEZ ZGINANIE Wprowadzenie Pręt umocowany na końcach pod wpływem obciążeniem ulega wygięciu. własnego ciężaru lub pod Rys. 4.1. W górnej warstwie pręta następuje
Bardziej szczegółowo