Pakiety Matematyczne MAP1351W,P

Transkrypt

1 STEINHAUS HUGO CENTER W R O C L AW Pakiety Matematyczne MAP1351W,P dr in». Marek Teuerle Centrum im. Hugona Steinhausa Politechnika Wrocªawska Wrocªaw, maja 2019

2 MATLAB Plan wykªadu:

3 MATLAB Plan wykªadu: zmienne globalne,

4 MATLAB Plan wykªadu: zmienne globalne, m-funkcje o zmiennej liczbie parametrów,

5 MATLAB Plan wykªadu: zmienne globalne, m-funkcje o zmiennej liczbie parametrów, interpolacja warto±ci funkcji,

6 MATLAB Plan wykªadu: zmienne globalne, m-funkcje o zmiennej liczbie parametrów, interpolacja warto±ci funkcji, dopasowanie funkcji deterministycznych do danych obliczenia symboliczne.

7 Zmienne globalne

8 Zmienne globalne Zmienne zadeklarowane w m-funkcjach s 'widoczne' jedynie w obr bie danej funkcji,

9 Zmienne globalne Zmienne zadeklarowane w m-funkcjach s 'widoczne' jedynie w obr bie danej funkcji, Przykªad funkcji: function y=test(x) a=x; y=a;

10 Zmienne globalne Zmienne zadeklarowane w m-funkcjach s 'widoczne' jedynie w obr bie danej funkcji, Przykªad funkcji: function y=test(x) a=x; y=a; Przykªad wywoªania: >>test(2); 2

11 Zmienne globalne Zmienne zadeklarowane w m-funkcjach s 'widoczne' jedynie w obr bie danej funkcji, Przykªad funkcji: function y=test(x) a=x; y=a; Przykªad wywoªania: >>test(2); 2 >>a+2 Undefined function or variable 'a'.

12 Zmienne globalne

13 Zmienne globalne czasami istnieje potrzeba zdeniowania takiej zmiennej, która b dzie dost pna przy wywoªaniach danej m-funkcji, przy czym ta zmienne nie jest po±ród listy argumentów wej±ciowych funkcji -> zmienna globalna,

14 Zmienne globalne czasami istnieje potrzeba zdeniowania takiej zmiennej, która b dzie dost pna przy wywoªaniach danej m-funkcji, przy czym ta zmienne nie jest po±ród listy argumentów wej±ciowych funkcji -> zmienna globalna, Przykªad funkcji: function y=test1(n) global a; y=a^n; function y=test2(n) global a; y=a^(1/n);

15 Zmienne globalne czasami istnieje potrzeba zdeniowania takiej zmiennej, która b dzie dost pna przy wywoªaniach danej m-funkcji, przy czym ta zmienne nie jest po±ród listy argumentów wej±ciowych funkcji -> zmienna globalna, Przykªad funkcji: function y=test1(n) global a; y=a^n; function y=test2(n) global a; y=a^(1/n); Przykªad wywoªania: >> global a;a=4; >> [test1(2) test2(2)] 16 2

16 Zmienne globalne u»ywaj c zmiennych globalnych trzeba uwa»a na mechanizmy rekurencyjne: Przykªad funkcji: function a=test3(n) global a; a=a^(1/n);

17 Zmienne globalne u»ywaj c zmiennych globalnych trzeba uwa»a na mechanizmy rekurencyjne: Przykªad funkcji: function a=test3(n) global a; a=a^(1/n); Prezentacja

18 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów Co ju» wiemy o funkcjach:

19 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów Co ju» wiemy o funkcjach: funkcja mo»e mie zestaw parametrów wej±ciowych,

20 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów Co ju» wiemy o funkcjach: funkcja mo»e mie zestaw parametrów wej±ciowych, liczba argumentów wej±ciowych mo»emy dowolnie ustali i zale»y to od potrzeb programisty,

21 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów Co ju» wiemy o funkcjach: funkcja mo»e mie zestaw parametrów wej±ciowych, liczba argumentów wej±ciowych mo»emy dowolnie ustali i zale»y to od potrzeb programisty, funkcje mo»e równie» zwraca zestaw parametrów wyj±ciowych.

22 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów Co ju» wiemy o funkcjach: funkcja mo»e mie zestaw parametrów wej±ciowych, liczba argumentów wej±ciowych mo»emy dowolnie ustali i zale»y to od potrzeb programisty, funkcje mo»e równie» zwraca zestaw parametrów wyj±ciowych. Przykªad funkcji: function [a b c d]=mojafunkcja(e,f,g,h)...

23 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów Co ju» wiemy o funkcjach: funkcja mo»e mie zestaw parametrów wej±ciowych, liczba argumentów wej±ciowych mo»emy dowolnie ustali i zale»y to od potrzeb programisty, funkcje mo»e równie» zwraca zestaw parametrów wyj±ciowych. Przykªad funkcji: function [a b c d]=mojafunkcja(e,f,g,h)... Przykªad wywoªania: >> [q w e r]=mojafunkcja(1,1,2,1);

24 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów Kontrola liczby parametrów wej±ciowych

25 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów Kontrola liczby parametrów wej±ciowych wewn trz funkcji mo»emy u»ywa zmiennej nargin, która zawiera informacj o liczbie jej parametrów wej±ciowych,

26 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów Kontrola liczby parametrów wej±ciowych wewn trz funkcji mo»emy u»ywa zmiennej nargin, która zawiera informacj o liczbie jej parametrów wej±ciowych, wykorzystuj c instrukcje warunkowe mo»emy obsªugiwa przypadki wywoªywa«funkcji dla ró»nej liczby parametrów wej±ciowych

27 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów Kontrola liczby parametrów wej±ciowych wewn trz funkcji mo»emy u»ywa zmiennej nargin, która zawiera informacj o liczbie jej parametrów wej±ciowych, wykorzystuj c instrukcje warunkowe mo»emy obsªugiwa przypadki wywoªywa«funkcji dla ró»nej liczby parametrów wej±ciowych [prezentacja: przykªad funkcji myplotin]

28 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów Kontrola liczby parametrów wyj±ciowych

29 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów Kontrola liczby parametrów wyj±ciowych wewn trz funkcji mo»emy u»ywa zmiennej nargout, która zawiera informacj o liczbie jej parametrów wyj±ciowych,

30 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów Kontrola liczby parametrów wyj±ciowych wewn trz funkcji mo»emy u»ywa zmiennej nargout, która zawiera informacj o liczbie jej parametrów wyj±ciowych, wykorzystuj c instrukcje warunkowe mo»emy obsªugiwa przypadki wywoªywa«funkcji dla ró»nej liczby parametrów wyj±ciowych

31 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów Kontrola liczby parametrów wyj±ciowych wewn trz funkcji mo»emy u»ywa zmiennej nargout, która zawiera informacj o liczbie jej parametrów wyj±ciowych, wykorzystuj c instrukcje warunkowe mo»emy obsªugiwa przypadki wywoªywa«funkcji dla ró»nej liczby parametrów wyj±ciowych [prezentacja: przykªad funkcji myplot z obsªug domy±lnych parametrów]

32 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów MATLAB pozwala równie» radzi sobie w sytuacji, kiedy maksymalna liczba parametrów wej±ciowych/wyj±ciowych nie jest z góry ustalona

33 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów MATLAB pozwala równie» radzi sobie w sytuacji, kiedy maksymalna liczba parametrów wej±ciowych/wyj±ciowych nie jest z góry ustalona wewn trz funkcji mo»emy u»ywa zmiennej varargin, która jest tablic (array) parametrów wej±ciowych,

34 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów MATLAB pozwala równie» radzi sobie w sytuacji, kiedy maksymalna liczba parametrów wej±ciowych/wyj±ciowych nie jest z góry ustalona wewn trz funkcji mo»emy u»ywa zmiennej varargin, która jest tablic (array) parametrów wej±ciowych, wewn trz funkcji mo»emy u»ywa zmiennej varargout, która jest tablic (array) parametrów wyj±ciowych,

35 M-funkcje o zmiennej liczbie parametrów MATLAB pozwala równie» radzi sobie w sytuacji, kiedy maksymalna liczba parametrów wej±ciowych/wyj±ciowych nie jest z góry ustalona wewn trz funkcji mo»emy u»ywa zmiennej varargin, która jest tablic (array) parametrów wej±ciowych, wewn trz funkcji mo»emy u»ywa zmiennej varargout, która jest tablic (array) parametrów wyj±ciowych, [prezentacja: przykªad funkcji plotdyn,plotdyn2, przepisz]

36 Interpolacja funkcji Zaªó»my,»e mamy zestaw danych {(x i, y i )} i 1.

37 Interpolacja funkcji Zaªó»my,»e mamy zestaw danych {(x i, y i )} i 1. Szukamy funkcji interpoluj cej dane (inter polus-bieguny, w zªy). - mi dzy,

38 Interpolacja funkcji Zaªó»my,»e mamy zestaw danych {(x i, y i )} i 1. Szukamy funkcji interpoluj cej dane (inter - mi dzy, polus-bieguny, w zªy). Punkty {(x i, y i )} i 1 nazywamy w zªami interpolacyjnymi.

39 Interpolacja funkcji Zaªó»my,»e mamy zestaw danych {(x i, y i )} i 1. Szukamy funkcji interpoluj cej dane (inter - mi dzy, polus-bieguny, w zªy). Punkty {(x i, y i )} i 1 nazywamy w zªami interpolacyjnymi. Mo»liwym rozwi zaniem jest u»ycie wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a (wspomniany przy kwadraturach): W N (x) = N i=1 y i (x x 1 )... (x i 1 )(x i+1 )... (x x N ) (x i x 1 )... (x i x i 1 )(x i x i+1 )... (x i x N ). Gªówn wad interpolacji za pomoc wielomianów s du»e oscylacje mi dzy w zªami dla wielomianów wysokich stopni.

40 Interpolacja funkcji Zaªó»my,»e mamy zestaw danych {(x i, y i )} i 1. Szukamy funkcji interpoluj cej dane (inter - mi dzy, polus-bieguny, w zªy). Punkty {(x i, y i )} i 1 nazywamy w zªami interpolacyjnymi. Mo»liwym rozwi zaniem jest u»ycie wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a (wspomniany przy kwadraturach): W N (x) = N i=1 y i (x x 1 )... (x i 1 )(x i+1 )... (x x N ) (x i x 1 )... (x i x i 1 )(x i x i+1 )... (x i x N ). Gªówn wad interpolacji za pomoc wielomianów s du»e oscylacje mi dzy w zªami dla wielomianów wysokich stopni. Rozwi zanie: metoda funkcji sklejanych (dla podzbiorów interpolacja za pomoc wielomianów niskiego rz du + odpowiednie sklejanie tych wielomianów dla zapewnienia gªadko±ci)

41 Interpolacja funkcji W MATLABIE do interpolacji u»ywamy funkcji yi=interp1(x,y,xi,'metoda'), gdzie x i y to wektory wspóªrzednych interpolowanych punktów,

42 Interpolacja funkcji W MATLABIE do interpolacji u»ywamy funkcji yi=interp1(x,y,xi,'metoda'), gdzie x i y to wektory wspóªrzednych interpolowanych punktów, xi to wektor argumentów funkcji interpoluj cej,

43 Interpolacja funkcji W MATLABIE do interpolacji u»ywamy funkcji yi=interp1(x,y,xi,'metoda'), gdzie x i y to wektory wspóªrzednych interpolowanych punktów, xi to wektor argumentów funkcji interpoluj cej, 'metoda' - wybór metody interpolacji:

44 Interpolacja funkcji W MATLABIE do interpolacji u»ywamy funkcji yi=interp1(x,y,xi,'metoda'), gdzie x i y to wektory wspóªrzednych interpolowanych punktów, xi to wektor argumentów funkcji interpoluj cej, 'metoda' - wybór metody interpolacji: 'linear' - interpolacj f. ªaman,

45 Interpolacja funkcji W MATLABIE do interpolacji u»ywamy funkcji yi=interp1(x,y,xi,'metoda'), gdzie x i y to wektory wspóªrzednych interpolowanych punktów, xi to wektor argumentów funkcji interpoluj cej, 'metoda' - wybór metody interpolacji: 'linear' - interpolacj f. ªaman, 'spline' - interpolacja f. sklejanymi trzeciego stopnia,

46 Interpolacja funkcji W MATLABIE do interpolacji u»ywamy funkcji yi=interp1(x,y,xi,'metoda'), gdzie x i y to wektory wspóªrzednych interpolowanych punktów, xi to wektor argumentów funkcji interpoluj cej, 'metoda' - wybór metody interpolacji: 'linear' - interpolacj f. ªaman, 'spline' - interpolacja f. sklejanymi trzeciego stopnia, 'cubic' - interpolacja wielomianami trzeciego stopnia.

47 Interpolacja funkcji W MATLABIE do interpolacji u»ywamy funkcji yi=interp1(x,y,xi,'metoda'), gdzie x i y to wektory wspóªrzednych interpolowanych punktów, xi to wektor argumentów funkcji interpoluj cej, 'metoda' - wybór metody interpolacji: 'linear' - interpolacj f. ªaman, 'spline' - interpolacja f. sklejanymi trzeciego stopnia, 'cubic' - interpolacja wielomianami trzeciego stopnia. 'nearest' - przyjmuje warto± w najbli»szych s siaduj cych w zªach.

48 Interpolacja funkcji W MATLABIE do interpolacji u»ywamy funkcji yi=interp1(x,y,xi,'metoda'), gdzie x i y to wektory wspóªrzednych interpolowanych punktów, xi to wektor argumentów funkcji interpoluj cej, 'metoda' - wybór metody interpolacji: 'linear' - interpolacj f. ªaman, 'spline' - interpolacja f. sklejanymi trzeciego stopnia, 'cubic' - interpolacja wielomianami trzeciego stopnia. 'nearest' - przyjmuje warto± w najbli»szych s siaduj cych w zªach.

49 Interpolacja funkcji W MATLABIE do interpolacji u»ywamy funkcji yi=interp1(x,y,xi,'metoda'), gdzie x i y to wektory wspóªrzednych interpolowanych punktów, xi to wektor argumentów funkcji interpoluj cej, 'metoda' - wybór metody interpolacji: 'linear' - interpolacj f. ªaman, 'spline' - interpolacja f. sklejanymi trzeciego stopnia, 'cubic' - interpolacja wielomianami trzeciego stopnia. 'nearest' - przyjmuje warto± w najbli»szych s siaduj cych w zªach. [Prezentacja: interpolacja funkcji trygonometrycznej interpoluj.m, interpoluj_runge.m]

50 Dopasowanie funkcji deterministycznych do danych W MATLABIE do dopasowywania funkcji do danych mo»na u»ywa takich narz dzi jak: metoda najmniejszych kwadratów dla wielomianów: funkcja polyfit,

51 Dopasowanie funkcji deterministycznych do danych W MATLABIE do dopasowywania funkcji do danych mo»na u»ywa takich narz dzi jak: metoda najmniejszych kwadratów dla wielomianów: funkcja polyfit, metoda najmniejszych kwadratów dla wielomianu stopnia n=1 to regresja liniowa,

52 Dopasowanie funkcji deterministycznych do danych W MATLABIE do dopasowywania funkcji do danych mo»na u»ywa takich narz dzi jak: metoda najmniejszych kwadratów dla wielomianów: funkcja polyfit, metoda najmniejszych kwadratów dla wielomianu stopnia n=1 to regresja liniowa, dedykowanej aplikacji cftool.

53 Dopasowanie funkcji deterministycznych do danych W MATLABIE do dopasowywania funkcji do danych mo»na u»ywa takich narz dzi jak: metoda najmniejszych kwadratów dla wielomianów: funkcja polyfit, metoda najmniejszych kwadratów dla wielomianu stopnia n=1 to regresja liniowa, dedykowanej aplikacji cftool.

54 Dopasowanie funkcji deterministycznych: polyt Przyklad: >> x =[0:0.1:1]; >> y =[ ]; >> p=polyfit(x,y,n)

55 Dopasowanie funkcji deterministycznych: polyt Przyklad: >> x =[0:0.1:1]; >> y =[ ]; >> p=polyfit(x,y,n) p=

56 Dopasowanie funkcji deterministycznych: polyt Przyklad: >> x =[0:0.1:1]; >> y =[ ]; >> p=polyfit(x,y,n) p= czyli dopasowany wielomian to: y(x) = x x

57 Dopasowanie funkcji deterministycznych: polyt,polyval Jak obliczy warto±ci wielomianu o wspóªczynnikach p? >> x_dense =[0:0.01:1]; >> y_dense =polyval(p,x_dense); >> plot(x,y,'o',x_dense,y_dense,':') [Prezentacja: interpolacja funkcji trygonometrycznej interpoluj.m, interpoluj_runge.m]

58 Dopasowanie funkcji deterministycznych: cftool [Prezentacja ]

59 Obliczenia symboliczne Dotychczas wszystkie obliczenia jakie prowdzili±my w MATLABie miaªy charakter numeryczny. Pakiet oferuje równie» pakiet Symbolic Toolbox, który pozwala na obliczenia symboliczne.

60 Obliczenia symboliczne Dotychczas wszystkie obliczenia jakie prowdzili±my w MATLABie miaªy charakter numeryczny. Pakiet oferuje równie» pakiet Symbolic Toolbox, który pozwala na obliczenia symboliczne.przegl d metod:

61 Obliczenia symboliczne Dotychczas wszystkie obliczenia jakie prowdzili±my w MATLABie miaªy charakter numeryczny. Pakiet oferuje równie» pakiet Symbolic Toolbox, który pozwala na obliczenia symboliczne.przegl d metod: ró»niczkowanie - funkcja diff (uwaga! diff dla danych numerycznych dziaªa inaczej),

62 Obliczenia symboliczne Dotychczas wszystkie obliczenia jakie prowdzili±my w MATLABie miaªy charakter numeryczny. Pakiet oferuje równie» pakiet Symbolic Toolbox, który pozwala na obliczenia symboliczne.przegl d metod: ró»niczkowanie - funkcja diff (uwaga! diff dla danych numerycznych dziaªa inaczej), >>syms x;

63 Obliczenia symboliczne Dotychczas wszystkie obliczenia jakie prowdzili±my w MATLABie miaªy charakter numeryczny. Pakiet oferuje równie» pakiet Symbolic Toolbox, który pozwala na obliczenia symboliczne.przegl d metod: ró»niczkowanie - funkcja diff (uwaga! diff dla danych numerycznych dziaªa inaczej), >>syms x; >>fun=exp(2*x) fun= exp(2*x)

64 Obliczenia symboliczne Dotychczas wszystkie obliczenia jakie prowdzili±my w MATLABie miaªy charakter numeryczny. Pakiet oferuje równie» pakiet Symbolic Toolbox, który pozwala na obliczenia symboliczne.przegl d metod: ró»niczkowanie - funkcja diff (uwaga! diff dla danych numerycznych dziaªa inaczej), >>syms x; >>fun=exp(2*x) fun= exp(2*x) >>diff(fun) 2*exp(2*x)

65 Obliczenia symboliczne ró»niczkowanie: funkcje wielu zmiennych,

66 Obliczenia symboliczne ró»niczkowanie: funkcje wielu zmiennych, >>syms x y; >>fun=y exp(2*x) fun= y*exp(2*x)

67 Obliczenia symboliczne ró»niczkowanie: funkcje wielu zmiennych, >>syms x y; >>fun=y exp(2*x) fun= y*exp(2*x) >>diff(fun,y) exp(2*x)

68 Obliczenia symboliczne ró»niczkowanie: funkcje wielu zmiennych, >>syms x y; >>fun=y exp(2*x) fun= y*exp(2*x) >>diff(fun,y) exp(2*x) >>diff(fun,x) y*2*exp(2*x)

69 Obliczenia symboliczne ró»niczkowanie: funkcje wielu zmiennych, >>syms x y; >>fun=y exp(2*x) fun= y*exp(2*x) >>diff(fun,y) exp(2*x) >>diff(fun,x) y*2*exp(2*x) >>diff(sin(x*t^2)) t^2*cos(t^2*x)

70 Obliczenia symboliczne ró»niczkowanie: funkcje wielu zmiennych, >>syms x y; >>fun=y exp(2*x) fun= y*exp(2*x) >>diff(fun,y) exp(2*x) >>diff(fun,x) y*2*exp(2*x) >>diff(sin(x*t^2)) t^2*cos(t^2*x) domy±ln zmienn dla diff mo»na sprawdzi za pomoc funkcji symvar, np. symvar(sin(x*t^2),1)

71 Obliczenia symboliczne caªkowanie: caªka nieoznaczona - funkcja int,

72 Obliczenia symboliczne caªkowanie: caªka nieoznaczona - funkcja int, >>syms x y; >>int(-2*x/(1 + x^2)^2) 1/(x^2 + 1)

73 Obliczenia symboliczne caªkowanie: caªka nieoznaczona - funkcja int, >>syms x y; >>int(-2*x/(1 + x^2)^2) 1/(x^2 + 1) >>syms x z; >>int(x/(1 + z^2), x) x^2/(2*(z^2 + 1))

74 Obliczenia symboliczne caªkowanie: caªka nieoznaczona - funkcja int, >>syms x y; >>int(-2*x/(1 + x^2)^2) 1/(x^2 + 1) >>syms x z; >>int(x/(1 + z^2), x) x^2/(2*(z^2 + 1)) >>int(x/(1 + z^2), z) x*atan(z)

75 Obliczenia symboliczne caªkowanie: caªka nieoznaczona - funkcja int, >>syms x y; >>int(-2*x/(1 + x^2)^2) 1/(x^2 + 1) >>syms x z; >>int(x/(1 + z^2), x) x^2/(2*(z^2 + 1)) >>int(x/(1 + z^2), z) x*atan(z) domy±ln zmienn dla int mo»na równie» sprawdzi za pomoc funkcji symvar.

76 Obliczenia symboliczne caªkowanie: caªka oznaczona - funkcja int,

77 Obliczenia symboliczne caªkowanie: caªka oznaczona - funkcja int, >>syms x; >>int(x*log(1 + x), 0, 1) 1/4

78 Obliczenia symboliczne caªkowanie: caªka oznaczona - funkcja int, >>syms x; >>int(x*log(1 + x), 0, 1) 1/4 >>syms x t; >>int(2*x, [sin(t), 1]) cos(t)^2

79 Obliczenia symboliczne caªkowanie: caªka oznaczona - funkcja int, >>syms x; >>int(x*log(1 + x), 0, 1) 1/4 >>syms x t; >>int(2*x, [sin(t), 1]) cos(t)^2 domy±ln zmienn dla int mo»na równie» sprawdzi za pomoc funkcji symvar.

80 Obliczenia symboliczne suma, suma szeregu: funkcja symsum,

81 Obliczenia symboliczne suma, suma szeregu: funkcja symsum, >>syms k; >>symsum(k^2,0,10) 385

82 Obliczenia symboliczne suma, suma szeregu: funkcja symsum, >>syms k; >>symsum(k^2,0,10) 385 >>syms k; >>symsum(1/k^2, 1, Inf) pi^2/6

83 Obliczenia symboliczne suma, suma szeregu: funkcja symsum, >>syms k; >>symsum(k^2,0,10) 385 >>syms k; >>symsum(1/k^2, 1, Inf) pi^2/6 >>syms x k; >>symsum(x^k/sym('k!'), k, 0, Inf) exp(x)

84 Obliczenia symboliczne suma, suma szeregu: funkcja symsum, >>syms k; >>symsum(k^2,0,10) 385 >>syms k; >>symsum(1/k^2, 1, Inf) pi^2/6 >>syms x k; >>symsum(x^k/sym('k!'), k, 0, Inf) exp(x)

85 Obliczenia symboliczne granica funkcji/ci gu: funkcja limit,

86 Obliczenia symboliczne granica funkcji/ci gu: funkcja limit, >>syms x h; >>limit(sin(x)/x) 1

87 Obliczenia symboliczne granica funkcji/ci gu: funkcja limit, >>syms x h; >>limit(sin(x)/x) 1 >>limit((sin(x + h) - sin(x))/h, h, 0) cos(x)

88 Obliczenia symboliczne granica funkcji/ci gu: funkcja limit, >>syms x h; >>limit(sin(x)/x) 1 >>limit((sin(x + h) - sin(x))/h, h, 0) cos(x) >>limit(1/x, x, 0, 'right') Inf

89 Obliczenia symboliczne granica funkcji/ci gu: funkcja limit, >>syms x h; >>limit(sin(x)/x) 1 >>limit((sin(x + h) - sin(x))/h, h, 0) cos(x) >>limit(1/x, x, 0, 'right') Inf >>limit(1/x, x, 0, 'left') -Inf

90 Obliczenia symboliczne granica funkcji/ci gu: funkcja limit, >>syms x h; >>limit(sin(x)/x) 1 >>limit((sin(x + h) - sin(x))/h, h, 0) cos(x) >>limit(1/x, x, 0, 'right') Inf >>limit(1/x, x, 0, 'left') -Inf >>limit((1+h/x)^x, x, inf) exp(h)

91 Obliczenia symboliczne granica funkcji/ci gu: funkcja limit, >>syms x h; >>limit(sin(x)/x) 1 >>limit((sin(x + h) - sin(x))/h, h, 0) cos(x) >>limit(1/x, x, 0, 'right') Inf >>limit(1/x, x, 0, 'left') -Inf >>limit((1+h/x)^x, x, inf) exp(h)

92 Obliczenia symboliczne rozwi zywanie równa«: funkcja solve,

93 Obliczenia symboliczne rozwi zywanie równa«: funkcja solve, >>syms x >>solve(x^2 + 4*x + 1 == 0) 3^(1/2) - 2-3^(1/2) - 2

94 Obliczenia symboliczne rozwi zywanie równa«: funkcja solve, >>syms x >>solve(x^2 + 4*x + 1 == 0) 3^(1/2) - 2-3^(1/2) - 2 >>syms x y >>S = solve(x + y == 1, x - 11*y == 5) S= x: [1x1 sym] y: [1x1 sym]

95 Obliczenia symboliczne rozwi zywanie równa«: funkcja solve, >>syms x >>solve(x^2 + 4*x + 1 == 0) 3^(1/2) - 2-3^(1/2) - 2 >>syms x y >>S = solve(x + y == 1, x - 11*y == 5) S= x: [1x1 sym] y: [1x1 sym] >>S = [S.x S.y] S= [ 4/3, -1/3]

96 Obliczenia symboliczne rozwi zywanie równa«: funkcja solve, >>syms x >>solve(x^2 + 4*x + 1 == 0) 3^(1/2) - 2-3^(1/2) - 2 >>syms x y >>S = solve(x + y == 1, x - 11*y == 5) S= x: [1x1 sym] y: [1x1 sym] >>S = [S.x S.y] S= [ 4/3, -1/3]

97 Obliczenia symboliczne upraszczanie wyra»e«algebraicznych: funkcja simplify,

98 Obliczenia symboliczne upraszczanie wyra»e«algebraicznych: funkcja simplify, >>syms x >>simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2) 1

99 Obliczenia symboliczne upraszczanie wyra»e«algebraicznych: funkcja simplify, >>syms x >>simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2) 1 >>syms c alpha beta >> simplify(exp(c*log(sqrt(alpha+beta)))) (alpha + beta)^(c/2)

100 Obliczenia symboliczne upraszczanie wyra»e«algebraicznych: funkcja simplify, >>syms x >>simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2) 1 >>syms c alpha beta >> simplify(exp(c*log(sqrt(alpha+beta)))) (alpha + beta)^(c/2)

101 Obliczenia symboliczne rozwijanie wyra»e«algebraicznych: funkcja expand,

102 Obliczenia symboliczne rozwijanie wyra»e«algebraicznych: funkcja expand, >>syms x >> expand((x+1)^3) x^3+3*x^2+3*x+1

103 Obliczenia symboliczne rozwijanie wyra»e«algebraicznych: funkcja expand, >>syms x >> expand((x+1)^3) x^3+3*x^2+3*x+1 >>syms x y >> expand(sin(x+y)) sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)

104 Obliczenia symboliczne rozwijanie wyra»e«algebraicznych: funkcja expand, >>syms x >> expand((x+1)^3) x^3+3*x^2+3*x+1 >>syms x y >> expand(sin(x+y)) sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)

105 Obliczenia symboliczne rozwijanie funkcji w szereg Taylora (domy±lnie 5 wyrazów i x=0): funkcja taylor,

106 Obliczenia symboliczne rozwijanie funkcji w szereg Taylora (domy±lnie 5 wyrazów i x=0): funkcja taylor, >>syms x >>taylor(exp(-x)) x^4/24 - x^5/120 - x^3/6 + x^2/2 - x + 1

107 Obliczenia symboliczne rozwijanie funkcji w szereg Taylora (domy±lnie 5 wyrazów i x=0): funkcja taylor, >>syms x >>taylor(exp(-x)) x^4/24 - x^5/120 - x^3/6 + x^2/2 - x + 1 >>syms x >> taylor(sin(x),x,pi/2,'order',6) (pi/2 - x)^4/24 - (pi/2 - x)^2/2 + 1

108 Obliczenia symboliczne rozwijanie funkcji w szereg Taylora (domy±lnie 5 wyrazów i x=0): funkcja taylor, >>syms x >>taylor(exp(-x)) x^4/24 - x^5/120 - x^3/6 + x^2/2 - x + 1 >>syms x >> taylor(sin(x),x,pi/2,'order',6) (pi/2 - x)^4/24 - (pi/2 - x)^2/2 + 1