Statystyka matematyczna Test χ 2. Wrocław, r

Transkrypt

1 Statystyka matematyczna Test χ 2 Wrocław, r

2 Zakres stosowalności Testowanie zgodności Testowanie niezależności Test McNemara Test ilorazu szans

3 Copyright 2014, Joanna Szyda ZAKRES STOSOWALNOŚCI TESTÓW Testowanie zależności pomiędzy kategoriami 1. Dane w formie częstości ilość obserwacji w danej kategorii (%, średnia, prawdopodobieństwo, ) 2. Dane podzielone na kategorie nominalne, porządkowe, (ciągłe ) 3. Nie należy stosować testów gdy: Oczekiwana częstotliwość dla pewnych kategorii jest mała ( < 5 )

4 Test χ 2 zgodności

5 Test Chi-kwadrat zgodności Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) będzie próbą o dystrybuancie F. Testujemy hipotezę: Statystyka testowa jest postaci: χ 2 = H 0 : F = F 0 H 1 : F F 0 k i=1 (N i np i ) 2 np i, gdzie: n - liczba wszystkich obserwacji, k - liczba klas, N i - liczba obserwacji w i - tej klasie, p i - teoretyczne prawdopodobieństwo przy prawdziwej H 0. Odrzucamy hipotezę zerową, gdy χ 2 > χ 2 1 α(k 1)

6 Przykład 7.1 TEST 2 KLASYFIKACJA JEDNOCZYNNIKOWA KOLOR Biały CZĘSTOŚĆ Żółty Żółty 8 Żółty Czerwony Czerwony 5 Żółty Biały Żółty 4 Żółty Żółty SUMA Czerwony 17 Biały Czerwony Żółty Czerwony Czerwony Biały Żółty Biały 1. Klasyfikacja danych wg pojedynczego kryterium 2. Kolor kwiatów krokusa PRÓBA DANYCH Copyright 2010, Joanna Szyda

7 Przykład c.d. Testujemy hipotezę: H 0 : wszystkie kolory występują jednakowo często H 1 : kolory występują z różną częstością W tym przypadku jest to równoważne: H 0 : p 1 = p 2 = p 3 H 1 : p i p j, i, j = 1, 2, 3

8 Przykład c.d. żółty czerwony biały N i p i 1/3 1/3 1/3 Wyznaczamy wartość statystyki testowej: χ 2 = 3 i=1 (N i np i ) 2 np i = (8 17/3)2 + 17/3 = 1.53 (5 17/3)2 (4 17/3)2 + 17/3 17/3 =

9 Przykład c.d. Statystyka testowa χ 2 = 1.53 Ustalmy poziom istotności α = 0.05 kwantyl rozkładu Chi kwadrat rzędu 0.95 z 3 1 = 2 stopniami swobody jest równy: χ (2) = 5.99 stąd zbiór krytyczny jest postaci: C : (5.99, ). Zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, kwiaty różnych kolorów występują z jednakową częstością.

10 Test χ 2 niezależności

11 Test χ 2 niezależności Testujemy hipotezę H 0 : cechy są niezależne H 1 : cechy są zależne Formalnie problem wygląda następująco Niech ((X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),..., (X n, Y n )) oznacza próbę niezależnych par zmiennych losowych, dla których dla każdej pary oznaczamy przez p ij = P(X = x i, Y = y j ), i = 1, 2,..., l, j = 1, 2,..., k, natomiast rozkłady brzegowe przez p i = P(X = x i ) = l j=1 p ij oraz p j = P(Y = y i ) = l i=1 p ij. Testujemy hipotezę: H 0 : p ij = p i p j, dla wszystkich i = 1, 2,... l, j = 1, 2,..., k H 1 : p ij p i p j, dla co najmniej jednej pary (i, j)

12 Test χ 2 niezależności Statystyka testowa jest postaci: χ 2 = ( l k N ij N ) 2 i. N.j n, N i. N.j i=1 j=1 n gdzie l - liczba klas dla cechy pierwszej, k - liczba klas dla cechy drugiej, n - liczba wszystkich obserwacji, N ij liczba występowania obserwacji (x i, x j ), N i. = k j=1 N ij, N.j = l i=1 N ij. Przy H 0 statystyka χ 2 ma rozkład chi kwadrat z (k-1)(l-1) stopniami swobody. Zbiór krytyczny postaci: C = [χ 2 (1 α, (k 1)(l 1)), )

13 Tablice kontyngencji Y B 1 B 2... B k X A 1 N 11 N N 1k N 1 A 2 N 21 N N 2k N A l N l1 N l2... N lk N l N 1 N 2... N k n

14 Przykład 7.2 TEST 2 KLASYFIKACJA DWUCZYNNIKOWA 1. Klasyfikacja danych wg dwu kryteriów PRÓBA DANYCH 2. Liczebność słoni w Parku Narodowym Mikumi, Tanzania Pora samotny samiec grupa samców kategoria grupa rodzinna grupa rodzinna + samiec sucha deszczowa Copyright 2010, Joanna Szyda

15 Przykład c.d Częstości obserwowane Częstości oczekiwane kat B 1 B 2 B 3 B 4 suma pora sucha deszczowa suma kat B 1 B 2 B 3 B 4 pora sucha deszczowa

16 Przykład 7.2 -c.d Częstości obserwowane Częstości oczekiwane kat B 1 B 2 B 3 B 4 suma pora sucha deszczowa suma kat B 1 B 2 B 3 B 4 pora sucha deszczowa

17 Przykład 7.2 -c.d Częstości obserwowane Częstości oczekiwane kat B 1 B 2 B 3 B 4 pora sucha deszczowa kat B 1 B 2 B 3 B 4 pora sucha deszczowa

18 Przykład c.d. Testujemy hipotezę: H 0 : pora roku i liczebność słoni różnych kategoriach są niezależne Przy alternatywie: H 1 : zależność liczebości słoni w różnych kategoriach od pory roku Statystyka testowa jest postaci: χ 2 = ( 2 4 N ij N ) 2 i. N.j n N i. N.j i=1 j=1 n = ( ) ( ) (4 9.34) ( ) ( ) (7 6.67)2 (8 8.33) = ( )

19 Przykład c.d. Wartość statystyki testowej to: obszar krytyczny jest postaci: χ 2 = C : [χ ((2 1) (4 1)), ) = [7.81, ). Zatem odrzucamy hipotezę zerową, stąd liczebność słoni w poszczególnych grupach jest zależna od pory roku.

20 Test McNemar

21 Test McNemar Test jednorodności rozkładów dla prób powiązanych Stosowany dla zmiennych dychotomicznych Mamy daną tablicę kontyngencji B B A n 11 n 12 A n 21 n 22

22 Test McNemar Statystyka testowa postaci χ 2 = (n 12 n 21 ) 2 n 12 + n 21 ma rozkład chi kwadrat z jednym stopniem swobody rzędu 1 α Obszar odrzucenia hipotezy zerowej jest postaci C : [χ 2 1 α(1), )

23 Przykład 7.3 TEST McNEMARA PRÓBA DANYCH 1. Wzrost bakterii Mycobacterium tuberculosis na pożywkach (A / B) 2. Próbki pobrane od 50 chorych 3. Dane sparowane (ten sam pacjent) B A wzrost brak wz. wzrost brak wz Copyright 2011, Joanna Szyda

24 Przykład c.d. Testujemy hipotezę: H 0 : rodzaj pożywki nie wpływa na wzrost bakterii Przy alternatywie: H 1 : rodzaj pożywki wpływa na wzrost bakterii Statystyka testowa jest równa : χ 2 = (n 12 n 21 ) 2 (12 5)2 = n 12 + n = 2.88 Obszar krytyczny jest postaci C : [3.84, )

25 Test ilorazu szans

26 TEST ILORAZU SZANS PRÓBA DANYCH 1. Związek występowania raka przełyku ze spożywaniem alkoholu 2. Zbadano 975 osób Wystąpienie raka przełyku Spożycie alkoholu w ilości powyżej 80 g/dzień Spożycie alkoholu Rak przełyku tak nie >80 g/24h g/24h Copyright 2014, Joanna Szyda

27 Copyright 2015, Joanna Szyda TEST ILORAZU SZANS 1. Określenie hipotez H 0 i H 1 H 0 : prawdopodobieństwo wystąpienie raka przełyku nie zależy od ilości spożywanego alkoholu H 1 : prawdopodobieństwo wystąpienie raka przełyku zależy od ilości spożywanego alkoholu H 0 : P(r) alk = P(r) n_alk H 1 : P(r) alk P(r) n_alk 2. Ustalenie poziomu istotności MAX = 0.05

28 Copyright 2015, Joanna Szyda TEST ILORAZU SZANS 3. Wybór i obliczenie wartości testu statystycznego Spożycie alkoholu Rak przełyku Tak nie Szansa P(r) >80 g/24h / g/24h /666

29 Copyright 2015, Joanna Szyda TEST ILORAZU SZANS 4. Określenie rozkładu testu: 5. Obliczenie wartości t : 6. Decyzja: t < max H 0 H 1 prawdopodobieństwo wystąpienie raka przełyku zależy od ilości spożywanego alkoholu Excel: przykład

30 2 Copyright 2011 Joanna Szyda

31 QUIZ KTÓREJ WERSJI TESTU 2 UŻYĆ? Gavin et al. (1994) J. Ped. Psy. 24: Badanie obejmuje osoby hospitalizowane z powodu astmy Badano 60 hospitalizowanych osób - etap 1 Po roku na ponowne badania zgłosiło się 30 (z 60) osób etap 2 Porównywano liczebności 30 osób, które zgłosiły się na ponowne badania z 30 osobami, które się nie zgłosiły, w zależności od płci, wieku, rasy, itd. Copyright 2010, Joanna Szyda

32 QUIZ KTÓREJ WERSJI TESTU 2 UŻYĆ?

33 QUIZ KTÓREJ WERSJI TESTU 2 UŻYĆ? 1. Klasyfikacja pojedyncza 2. Klasyfikacja podwójna 3. Test McNemara

34 QUIZ KTÓREJ WERSJI TESTU 2 UŻYĆ? Spencer et al. (1998) Am. J. Psychiatry 155: Czy lek tomoxetina wpływa na ADHD Badano 21 osób w wieku lat Etap 1: Dzień 0: rejestracja symptomów ADHD podawanie placebo przez 3 tygodnie Dzień 21 rejestracja symptomów ADHD >30% zmniejszenie nasilenia ADHD = poprawa Etap 2: podawanie tomoxetiny przez 3 tygodnie Dzień 21 rejestracja symptomów ADHD >30% zmniejszenie nasilenia ADHD = poprawa Copyright 2010, Joanna Szyda

35 QUIZ KTÓREJ WERSJI TESTU 2 UŻYĆ?

36 QUIZ KTÓREJ WERSJI TESTU 2 UŻYĆ? 1. Klasyfikacja pojedyncza 2. Klasyfikacja podwójna 3. Test McNemara

37 QUIZ KTÓREJ WERSJI TESTU 2 UŻYĆ? Junca et al. (2014) Plos One DOI: /journal.pone Analiza wpływu wybranych czynników środowiskowych na zachowanie pszczół Eksperyment obejmował 40 osobników Cecha: SER = sting extension response (wysunięcie żądła) po stymulacji cieplnej Copyright 2015, Joanna Szyda

38 QUIZ KTÓREJ WERSJI TESTU 2 UŻYĆ? test

39 QUIZ KTÓREJ WERSJI TESTU 2 UŻYĆ? 1. Klasyfikacja pojedyncza 2. Klasyfikacja podwójna 3. Test McNemara

40 QUIZ KTÓREJ WERSJI TESTU 2 UŻYĆ? Uemura et al. (2001) NEJM 345: Powiązanie chorób układu pokarmowego z zakażeniem Helicobacter pylori Badano 1525 pacjentów Copyright 2010, Joanna Szyda

41 QUIZ KTÓREJ WERSJI TESTU 2 UŻYĆ?