Matematyka dyskretna Arytmetyka
|
|
- Łukasz Maj
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka dyskretna Arytmetyka Andrzej Szepietowski 1 System dziesiȩtny Najpowszechniej używanym sposobem przedstawiania liczb naturalnych jest system dziesiȩtny, gdzie na przyk lad zapis: 178 przedstawia liczbȩ sk ladaj ac a siȩ z jednej setki, siedmiu dziesi atek i ośmiu jedności. Możemy to zapisać w postaci: 178 = , albo inaczej: 178 = Tak wiȩc w systemie dziesiȩtnym kolejne cyfry oznaczaj a wspó lczynniki przy kolejnych potȩgach liczby dziesiȩć, zaczynaj ac od najwiȩkszej, a kończ ac na najmniejszej potȩdze. Mówimy, że liczba dziesiȩć jest podstaw a lub baz a systemu dziesiȩtnego. W systemie dziesiȩtnym używamy dziesiȩciu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a zapis: oznacza liczbȩ: d r d r 1... d 1 d 0 d r 10 r + d r 1 10 r d d , (1) któr a możemy też zapisać w postaci: d i 10 i, (2) i=0 gdzie d i s a cyframi należ acymi do zbioru {0,..., 9}. Liczby można też zapisywać w systemach z inn a baz a. Jeżeli za bazȩ systemu wybierzemy liczbȩ b, to potrzebujemy b cyfr, a zapis: d r d r 1... d 1 d 0 oznacza w systemie z baz a b liczbȩ: któr a możemy też zapisać w postaci: d r b r + d r 1 b r d 1 b 1 + d 0 b 0, (3) d i b i. (4) i=0 1
2 2 System dwójkowy W informatyce bardzo ważnym systemem jest system dwójkowy (binarny), gdzie podstaw a jest liczba 2 i gdzie mamy tylko dwie cyfry, 0 i 1 (cyfry w systemie dwójkowym nazywa siȩ bitami). Zapis: d r d r 1... d 1 d 0 oznacza liczbȩ: d r 2 r + d r 1 2 r d d lub: d i 2 i. i=0 Na przyk lad, zapis 110 oznacza w systemie dwójkowym liczbȩ: czemu w systemie dziesiȩtnym odpowiada: , = 6. Podobnie zapis: oznacza w systemie dziesiȩtnym liczbȩ: = 109. W poniższej tabeli przedstawiono kilkanaście kolejnych liczb w postaci dwójkowej i dziesiȩtnej, a w nastȩpnej kilkanaście pierwszych potȩg liczby 2 w postaci dwójkowej i dziesiȩtnej. dwójkowy dziesiȩtny
3 3 Zwiȩkszanie liczby o jeden potȩga dwójkowy dziesiȩtny Algorytm zwiȩkszania liczby o jeden. dwójkowym: Aby zwiȩkszyć o jeden liczbȩ zapisan a w systemie wskazujemy na ostatni bit, powtarzamy, co nastȩpuje: jeżeli wskazany bit jest zerem, to zamieniamy go na jedynkȩ i kończymy algorytm, jeżeli jest on równy jeden, to zamieniamy go na zero i wskazujemy nastȩpny bit w lewo; jeżeli nie ma nastȩpnego bitu w lewo, to stawiamy jedynkȩ na pocz atku liczby i kończymy algorytm. Mówi ac inaczej, szukamy pierwszego zera od prawej strony, zamieniamy go na jedynkȩ, a wszystkie jedynki stoj ace za nim zamieniamy na zera. Na przyk lad, liczba o jeden wiȩksza od liczby to Jeżeli liczba nie zawiera zer, tylko same jedynki, to zamieniamy te jedynki na zera i stawiamy jedynkȩ na pocz atku. Na przyk lad, po liczbie jest liczba Zauważmy, że podobnie dzia la algorytm zwiȩkszania o jeden liczb w systemie dziesiȩtnym (lub dowolnym innym systemie). Szukamy pierwszej od prawej cyfry różnej od dziewi atki (najwiȩkszej cyfry w systemie), zwiȩkszamy tȩ cyfrȩ o jeden, a wszystkie stoj ace za ni a dziewi atki zamieniamy na zera. 3
4 4 Porównywanie liczb Algorytm porównywania liczb. Aby stwierdzić, która z dwóch liczb jest wiȩksza, postȩpujemy w nastȩpuj acy sposób: jeżeli zapisy liczb nie s a tej samej d lugości, to wiȩksz a jest liczba z d luższym zapisem (zak ladamy tu, że zapis liczby różnej od zera nie ma zer na pocz atku), jeżeli zapisy liczb s a równej d lugości, to porównujemy bit po bicie od lewej strony do prawej: jeżeli bity s a takie same, to przechodzimy do nastȩpnego bitu w prawo, jeżeli bity s a różne, to kończymy i stwierdzamy, że wiȩksza jest ta liczba, która ma wiȩkszy bit na tej pozycji, jeżeli wszystkie bity s a takie same, to porównywane liczby s a równe. Na przyk lad: > Powyższe liczby s a tej samej d lugości i maj a takie same trzy pierwsze bity, a różni a siȩ dopiero czwartym bitem czwarty bit pierwszej liczby (1) jest wiȩkszy od czwartego bitu drugiej liczby (0). 5 Operacje arytmetyczne w systemie dwójkowym Operacje dodawania, mnożenia, odejmowania i dzielenia w systemie dwójkowym można wykonywać podobnie do tak zwanych szkolnych pisemnych dzia lań arytmetycznych w systemie dziesiȩtnym. Dzia lania w systemie dwójkowym s a prostsze, ponieważ mamy tu tylko dwie cyfry, 0 i 1, i prostsze s a operacje na pojedynczych cyfrach. Zacznijmy od tabliczki dodawania i mnożenia. Wygl adaj a one tak: * Przypuśćmy, że chcemy dodać dwie liczby w postaci dwójkowej. Zak ladamy tu, że obie liczby s a tej samej d lugości. Jeżeli nie s a, to krótsz a z nich uzupe lniamy na pocz atku zerami. Algorytm dodawania. Aby dodać dwie liczby w postaci binarnej: d r d r 1... d 0, e r e r 1... e 0, dla kolejnych pozycji i od 0 do r obliczamy bit sumy s i oraz c i tak zwany bit przeniesienia do nastȩpnej pozycji: 4
5 najpierw obliczamy s 0 oraz c 0 : s 0 = d 0 + e 0 (mod 2) (czyli s 0 jest reszt a z dzielenia d 0 + e 0 przez 2), c 0 = d 0 e 0, nastȩpnie po kolei, dla każdego i od 1 do r, obliczamy i-ty bit sumy wed lug wzoru: s i = d i + e i + c i 1 (mod 2), a bit c i jest jedynk a, jeżeli co najmniej dwa spośród bitów d i, e i oraz c i 1 s a jedynkami, na końcu obliczamy najbardziej znacz acy bit sumy: Wynikiem dodawania jest liczba s r+1 = c r. s r+1 s r... s 0 (może siȩ zdarzyć, że s r+1 = 0). Na przyk lad, dodawanie liczb i 111 wygl ada nastȩpuj aco: Aby odj ać od siebie dwie liczby w systemie dwójkowym, odejmujemy bit po bicie od prawej do lewej, a w przypadku gdy trzeba odj ać bit wiȩkszy od mniejszego,,,pożyczamy dwójkȩ z nastȩpnej (w lewo) pozycji (szczegó ly algorytmu pozostawiono jako ćwiczenie). Na przyk lad, odejmowanie liczb i 111 wygl ada nastȩpuj aco: Aby pomnożyć dwie liczby, mnożymy pierwsz a liczbȩ przez poszczególne cyfry drugiej liczby, a wyniki podpisujemy pod spodem odpowiednio przesuniȩte wzglȩdem siebie. Każdy kolejny wynik jest przesuniȩty o jedn a kolumnȩ w lewo. Nastȩpnie sumujemy te iloczyny. Oto przyk lad mnożenia liczb i 101:
6 Zauważmy, że pomnożenie liczby w postaci dwójkowej przez 2 oznacza dopisanie jednego zera na końcu liczby. Podobnie pomnożenie przez i-t a potȩgȩ liczby 2 oznacza dopisanie na końcu liczby i zer. Na przyk lad: pomnożone przez daje wynik Również dzielenie wykonuje siȩ podobnie jak w systemie dziesiȩtnym. Na przyk lad: : Jeżeli liczba jest podzielna przez 2, to ma w postaci binarnej zero na końcu, a jeżeli dzieli siȩ przez i-t a potȩgȩ dwójki, to ma na końcu i zer. Podzielenie liczby przez 2 oznacza skreślenie w jej postaci binarnej jednego zera z końca. Na przyk lad: podzielone przez 2 daje: Zamiana systemu Zastanówmy siȩ teraz, jak przechodzić od jednego sposobu przedstawiania liczby do drugiego. Ponieważ bȩdziemy używać różnych systemów zapisu liczb, wiȩc zapis w systemie z baz a b oznaczymy przez: (d r d r 1... d 1 d 0 ) b. Bȩdziemy rezygnować z tego zapisu, jeżeli nie bȩdzie w atpliwości, jakiego systemu używamy. Przedyskutujmy to na przyk ladach. Aby przedstawić liczbȩ w postaci dziesiȩtnej, korzystamy ze wzoru 3: (110101) 2 (110101) 2 = , 6
7 i wykonujemy wszystkie rachunki w systemie dziesiȩtnym: (110101) 2 = = = (53) 10. Podobnie możemy postȩpować przy zamianie w odwrotn a stronȩ, z systemu dziesiȩtnego na dwójkowy. Najpierw korzystamy ze wzoru 1: (53) 10 = , nastȩpnie przedstawiamy cyfry i podstawȩ systemu 10 w postaci dwójkowej i wykonujemy wszystkie dzia lania w systemie dwójkowym: (53) 10 = (101) 2 (1010) 2 + (11) 2 = (110010) 2 + (11) 2 = (110101) 2. Ten sposób zamiany liczb z postaci dziesiȩtnej na dwójkow a jest analogiczny do sposobu, w jaki wyżej zamienialiśmy liczby z postaci dwójkowej na dziesiȩtn a. By lby to naturalny sposób dla kogoś, kto swobodnie liczy w systemie dwójkowym. Sposób ten ma tȩ wadȩ, że wolno dzia la. Zobaczymy na przyk ladach dwa szybsze algorytmy zamiany postaci liczby z dziesiȩtnej na dwójkow a. Weźmy liczbȩ 178. Pierwszy sposób polega na tym, że wyszukujemy najwiȩksz a potȩgȩ liczby 2, która jeszcze jest mniejsza od naszej liczby (w przyk ladzie 128 = 2 7 ), nastȩpnie odejmujemy tȩ potȩgȩ od naszej liczby i z różnic a postȩpujemy tak samo. Na końcu mamy liczbȩ w postaci sumy potȩg dwójki. W naszym przyk ladzie wygl ada to tak: 178 = = = Teraz już latwo zapisać nasz a liczbȩ w postaci dwójkowej: (178) 10 = ( ) 2. Drugi sposób polega na kolejnym dzieleniu liczby w sposób ca lkowity przez 2 i zapamiȩtywaniu reszt z dzielenia. Reszty te zapisane w odwrotnej kolejności tworz a zapis binarny liczby. Na przyk lad, weźmy znowu liczbȩ 178. W poniższej tabeli przedstawiono kolejne ilorazy i reszty. Reszty zapisane w odwrotnej kolejności: liczba iloraz reszta , 7
8 tworz a binarny zapis liczby (178) 10. Poprawność dzia lania tego algorytmu wynika z faktu, że jeżeli podzielimy liczbȩ x = d i 2 i i=0 przez 2, to reszta z dzielenia wyniesie d 0, a iloraz ca lkowitoliczbowy wyniesie: d i 2 i 1, i=1 nastȩpne dzielenie przez 2 da resztȩ d 1 oraz iloraz: d i 2 i 2, i=2 i tak dalej. Ostatni sposób można latwo uogólnić na algorytm zamiany liczb z systemu dziesiȩtnego na system z inn a baz a b. Należy tylko dzielić przez b. Jeżeli chcemy, na przyk lad, przedstawić liczbȩ 60 w systemie trójkowym, to dzielimy j a kolejno przez 3 i spisujemy reszty z dzielenia: liczba iloraz reszta W wyniku otrzymamy: (60) 10 = (2020) 3. 7 U lamki Przypomnijmy najpierw krótko, jak przedstawia siȩ u lamek w systemie dziesiȩtnym. Na przyk lad, oznacza: Użyliśmy kropki do oddzielania czȩści ca lkowitej od u lamkowej. Jest to czȩsto używany w informatyce sposób, stosowany miȩdzy innymi w jȩzyku Pascal. Ogólniej, zapis: 0.d 1 d 2... d r oznacza liczbȩ: d d d r 10 r, 8
9 któr a możemy też zapisać w postaci: d i 10 i. i=1 Podobnie możemy zapisywać u lamki w systemie dwójkowym. Jedyna różnica polega na tym, że w systemie binarnym podstaw a potȩg jest dwójka i że używamy tylko dwóch cyfr, 0 i 1. Tak wiȩc w systemie dwójkowym zapis: 0.d 1 d 2... d r oznacza liczbȩ: lub inaczej: Na przyk lad: d d d r 2 r, d i 2 i. i=1 (0.1) 2 = (0.5) 10, (0.11) 2 = (0.75) 10, (0.101) 2 = (0.625) 10. W poniższej tabeli przedstawiono kilka pierwszych ujemnych potȩg liczby 2 w systemie dwójkowym i dziesiȩtnym. 8 System szesnastkowy 2 1 (0.1) 2 (0.5) (0.01) 2 (0.25) (0.001) 2 (0.125) (0.0001) 2 (0.0625) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 10 W informatyce używa siȩ też systemu szesnastkowego, gdzie podstaw a jest liczba 16. Do systemu szesnastkowego potrzebujemy szesnastu cyfr. Zwykle używa siȩ nastȩpuj acych,,cyfr : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. W poniższej tabeli zestawiono cyfry systemu szesnastkowego z odpowiadaj acymi im liczbami w systemie dwójkowym i dziesiȩtnym. 9
10 szesnastkowy dwójkowy dziesiȩtny A B C D E F Liczby w systemie szesnastkowym poprzedza siȩ zwykle (na przyk lad w jȩzyku Pascal) znakiem dolara $. I tak zapis $A1 oznacza liczbȩ w systemie szesnastkowym, która w systemie dziesiȩtnym ma poniższ a postać: $A1 = = (161) 10. Dziȩki temu, że 16 jest potȩg a dwójki, prosta jest zamiana postaci liczby z systemu dwójkowego na szesnastkowy, i na odwrót. Przy zamianie z systemu szesnastkowego na dwójkowy wystarczy zamieniać kolejne cyfry przedstawienia na grupy odpowiednich czterech bitów wed lug powyższej tabeli. Na przyk lad liczba, która w systemie szesnastkowym wygl ada tak: w systemie dwójkowym ma postać: $A91, Przy zamianie z postaci dwójkowej na postać szesnastkow a postȩpujemy odwrotnie. Zastȩpujemy grupy po cztery bity pojedynczymi cyframi. Na przyk lad: ( ) 2 = $E3B0. Jeżeli liczba cyfr w postaci dwójkowej nie dzieli siȩ przez 4, to uzupe lniamy j a zerami na pocz atku. Na przyk lad: ( ) 2 = ( ) 2 = $6F 62. W ten sposób możemy używać zapisu szesnastkowego do zwiȩz lego przedstawiania d lugich ci agów bitów. 9 Reprezentacja liczb w komputerze W jȩzyku Pascal każda zmienna ma swój typ, który jest deklarowany na pocz atku programu. Sposób przechowywania wartości zmiennej zależy od jej typu. 10
11 10 Integer Zmienne typu integer przechowywane s a w dwóch bajtach. Jeden bajt (ang. byte) zawiera osiem bitów, tak wiȩc wartość zmiennej typu integer przechowywana jest w szesnastu bitach. Pierwszy bit oznacza znak. Jeżeli jest on zerem, to liczba jest dodatnia, jeżeli jedynk a, to ujemna. Jeżeli liczba jest dodatnia, to pozosta le piȩtnaście bitów stanowi binarny zapis tej liczby. Na przyk lad liczba 15 jest przechowywana jako: Najwiȩksz a liczbȩ dodatni a, jak a można przechować w zmiennej typu integer, jest: czyli zero i piȩtnaście jedynek. Jest to: , = (32767) 10. Liczby ujemne s a przechowywane w tak zwanym systemie uzupe lnieniowym. wartości bezwzglȩdnej x jest przedstawiana jako liczba: Liczba ujemna o 2 16 x w postaci binarnej. Na przyk lad liczba 1 jest przedstawiona jako: czyli szesnaście jedynek. A liczba 3 jako: , Najmniejsza liczba ujemna, któr a można zmieścić do zmiennej typu integer, to: , czyli jedynka i piȩtnaście zer, która koduje liczbȩ: 2 15 = ( 32768) 10. W jȩzyku Pascal nie ma żadnego zabezpieczenia przed przekroczeniem maksymalnego lub minimalnego zakresu liczb typu integer. Jeżeli, na przyk lad, do liczby 32767, która jest przechowywana jako: , dodamy jedynkȩ, to otrzymamy: , która koduje liczbȩ 32768, i komputer nie zakomunikuje tego przekroczenia. 11
12 11 Real Liczby typu real s a zapisywane w dwóch notacjach: sta lopozycyjnej, zmiennopozycyjnej. Liczby w notacji sta lopozycyjnej to, na przyk lad: 0.10, , 12.0, czyli notacja dziesiȩtna. Zwróćmy uwagȩ, że kropka oddziela czȩść ca lkowit a liczby od czȩści u lamkowej. W notacji zmiennopozycyjnej liczba przedstawiona jest w postaci: mec, gdzie m jest mantys a, liczb a w postaci dziesiȩtnej z przedzia lu 1 m < 10 lub 10 < m 1, a c, zwana cech a, jest liczb a ca lkowit a. Zapis mec oznacza liczbȩ: m 10 c. W poniższej tabeli mamy kilka liczb w postaci sta lo- i zmiennopozycyjnej E E E1 Sposób przechowywania wartości zmiennych typu real jest skomplikowany i nie bȩdzie przedstawiony szczegó lowo. 12 Inne typy ca lkowite W jȩzyku Pascal, oprócz integer, można używać innych typów ca lkowitych; s a to: shortint, zawiera liczby ca lkowite z przedzia lu od 128 do 127, byte, zawiera liczby ca lkowite z przedzia lu od 0 do 255, word, zawiera liczby ca lkowite z przedzia lu od 0 do 65535, longint, zawiera liczby ca lkowite z przedzia lu od do Elementy typu byte i shortint przechowywane s a w jednym bajcie (osiem bitów) pamiȩci, typu word w dwóch bajtach, a typu longint w czterech bajtach pamiȩci. Liczby typu shortint i longint mog a być dodatnie lub ujemne i s a zapamiȩtywane w postaci uzupe lnieniowej z pierwszym bitem oznaczaj acym znak (podobnie jak liczby typu integer). Elementy typu byte i word mog a być tylko dodatnie i s a przechowywane w postaci dwójkowej. 12
13 13 Wyrażenia arytmetyczne w jȩzyku Pascal W jȩzyku Pascal wyrażeniami arytmetycznymi s a sta le liczbowe, na przyk lad: 234, 123, 0.123, 23.45, 3.21E 5, oraz zmienne typów liczbowych (np. integer lub real). Wyrażenia można także budować za pomoc a operatorów arytmetycznych i nawiasów. Jeżeli U oraz W s a dwoma wyrażeniami arytmetycznymi, to wyrażeniami arytmetycznymi s a także: U+W, U-W, U*W, U/W, (U), U div V, U mod V. Gwiazdka reprezentuje tutaj znak mnożenia, a operacje div oraz mod to iloraz i reszta z dzielenia ca lkowitoliczbowego (s a one opisane dok ladnie w rozdziale o teorii liczb). Na przyk lad, wyrażeniami arytmetycznymi s a: -(2-3)/2+7*4, (2-3)/(3*2), 7 div 2, 7 mod 2. Jeżeli x oraz y s a zmiennymi liczbowymi, to wyrażeniami arytmetycznymi s a także: 2*x, x*x-2/y. Dla danego wyrażenia możemy obliczyć jego wartość. Robi siȩ to wed lug zwyk lych regu l znanych ze szko ly. Najpierw oblicza siȩ wyrażenia w nawiasach, potem mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej), a na końcu dodawanie i odejmowanie (od lewej do prawej). 14 Poszukiwania binarne (binary search) Znana jest gra w dwadzieścia pytań. W tej grze za pomoc a dwudziestu pytań, na które odpowiedzi a może być,,tak lub,,nie, należy odgadn ać pomyślan a przez przeciwnika rzecz. Zobaczymy, jak można wykorzystać binarny system zapisu liczb do opracowania strategii wygrywaj acej w tej grze. Najpierw uprośćmy nieco tȩ grȩ. Za lóżmy, że możemy zadać tylko cztery pytania i że odgadujemy liczbȩ naturaln a x ze zbioru: Wtedy należy zadać nastȩpuj ace cztery pytania: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}. Czy liczba x należy do zbioru A 1 = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}? Czy x należy do zbioru A 2 = {4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15}? Czy x należy do zbioru A 3 = {2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15}? Czy x należy do zbioru A 4 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}? Dlaczego te cztery pytania wystarcz a? Sprawa stanie siȩ jasna, jeżeli przedstawimy liczby w postaci binarnej. Każd a za pomoc a czterech bitów (z zerami na pocz atku). Wtedy nasz zbiór wygl ada tak: A pytania wygl adaj a teraz tak: A = { 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111}. 13
14 Czy x należy do zbioru A 1 = {1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111}? Czy x należy do zbioru A 2 = {0100, 0101, 0110, 0111, 1100, 1101, 1110, 1111}? Czy x należy do zbioru A 3 = {0010, 0011, 0110, 0111, 1010, 1011, 1110, 1111}? Czy x należy do zbioru A 4 = {0001, 0011, 0101, 0111, 1001, 1011, 1101, 1111}? Zauważmy, że zbiór A 1 zawiera wszystkie liczby z pierwszym bitem równym jedynce, w A 2 s a wszystkie liczby z drugim bitem równym jedynce, i tak dalej. Tak wiȩc nasze pytania s a w rzeczywistości pytaniami o kolejne bity odgadywanej liczby. Na przyk lad w pierwszym pytaniu pytamy, czy pierwszy bit odgadywanej liczby jest jedynk a. Ale można do tych pytań podejść inaczej. Najpierw dzielimy zbiór na po lowy: na liczby mniejsze od ośmiu i na liczby wiȩksze lub równe ośmiu, i pytamy, do której po lowy należy odgadywana liczba (dok ladniej pytamy, czy liczba należy do górnej po lowy). Po uzyskaniu odpowiedzi mamy dwa razy wȩższy przedzia l poszukiwań. Przypuśćmy, że odgadywan a liczb a jest 11. W drugim etapie dzielimy przedzia l {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} na po lowy, górn a: i doln a: {12, 13, 14, 15} {8, 9, 10, 11} i pytamy, do której po lowy należy szukana liczba. Po drugiej odpowiedzi przedzia l poszukiwań jest już cztery razy krótszy. Po dwóch kolejnych pytaniach przedzia l zawȩża siȩ do jednej liczby. Drugi sposób jest ca lkowicie równoważny pierwszemu, tutaj też pytamy o kolejne bity i otrzymujemy takie same odpowiedzi. Potrzeba cztery razy kolejno dzielić zbiór na po lowy, aby z pocz atkowej d lugości 16 przejść na końcu do d lugości 1. A ile trzeba podzia lów, jeżeli na pocz atku mamy n = 2 k elementów? Po pierwszym podziale nasz zbiór bȩdzie mia l d lugość 2 k 1, po drugim 2 k 2, a po i-tym 2 k i. Jak widać, potrzeba k = log 2 n kolejnych podzia lów, aby dojść do 1. Tak wiȩc jeżeli mamy do dyspozycji 20 pytań, to możemy odnaleźć jedn a spośród 2 20 liczb ca lkowitych z przedzia lu od 0 do = Waga Zobaczymy teraz, jak można wykorzystać trójkowy system zapisu liczb. W systemie trójkowym podstaw a jest liczba 3, mamy trzy cyfry {0, 1, 2} i zapis d r d r 1... d 1 d 0 oznacza liczbȩ: d r 3 r + d r 1 3 r d d 0 3 0, 14
15 lub inaczej: d i 3 i. i=0 Wyobraźmy sobie wagȩ szalkow a. Na jednej szalce, lewej, k ladziemy jakiś przedmiot do zważenia, a nastȩpnie na obu szalkach k ladziemy odważniki. Jeżeli waga jest w równowadze, to ważony przedmiot ma wagȩ równ a sumie (nomina lów) odważników po lożonych na prawej szalce minus suma odważników po lożonych na lewej szalce, obok ważonego przedmiotu. Na przyk lad, jeżeli na prawej szalce leż a odważniki o ciȩżarach 2 i 20 gramów, a na lewej odważniki o wadze 4 i 5 gramów, to przedmiot waży 13 = (20 + 2) (5 + 4) gramów. Interesuj ace nas pytanie brzmi: jakie powinny być nomina ly poszczególnych odważników, aby można by lo zważyć każdy ciȩżar o wadze od 1 do N, przy jak najmniejszej liczbie odważników. Zak ladamy, że ważymy tylko przedmioty o ca lkowitych wagach. Rozpatrzmy najpierw przyk lad czterech odważników o wagach: c 1, c 2, c 3, c 4. Ile różnych ciȩżarów można odważyć za pomoc a czterech odważników? Ponieważ każdy odważnik może siȩ znajdować na prawej lub lewej szalce, lub na stole, to mamy 3 4 = 81 różnych po lożeń odważników. Wśród tych po lożeń jest takie, gdzie wszystkie cztery odważniki leż a na stole (wtedy ważymy zerowy ciȩżar). Ponadto jeżeli odważniki leż a na szalkach i odważaj a ciȩżar W, to zamieniwszy po lożenia odważników na szalkach (odważniki z lewej przek ladamy na praw a szalkȩ, i na odwrót), bȩdziemy odważać ciȩżar W. Tak wiȩc spośród 81 u lożeń odważników na szalkach tylko 81 1 = 40 2 odważa jakiś dodatni ciȩżar. Oczywiście może siȩ zdarzyć, że dwa różne po lożenia odważników odważaj a ten sam ciȩżar. Interesuje nas, czy istniej a takie cztery odważniki, za pomoc a których można odważyć każdy ciȩżar od 1 do 40. Odpowiedź na to pytanie jest pozytywna. Istniej a takie cztery odważniki, s a to: 1, 3, 9, 27. Zauważmy, że nomina ly odważników to cztery pierwsze potȩgi liczby 3. odważników odważa ciȩżar: Każde u lożenie tych lub inaczej: W = d d d d 0 1, (5) W = d d d d 0 3 0, gdzie d i = 1, jeżeli odważnik o nominale 3 i leży na prawej szalce, d i = 1, jeżeli leży na lewej, i d i = 0, jeżeli leży na stole. Zobaczymy, że każd a liczbȩ od 1 do 40 można przedstawić w postaci 5. Zauważmy, że jeżeli do ciȩżaru W dodamy: 40 = , 15
16 to otrzymamy: W + 40 = (d 3 + 1) (d 2 + 1) (d 1 + 1) (d 0 + 1) 3 0. Jeżeli teraz oznaczymy: dla 0 i 3, to otrzymamy: e i = d i + 1, W + 40 = e e e e (6) Zauważmy, że każde e i jest teraz ze zbioru {0, 1, 2} i wzór 6 przedstawia rozwiniȩcie liczby W + 40 w systemie trójkowym, a ponieważ W jest z przedzia lu od 1 do 40, to W + 40 jest z przedzia lu od 41 do 80 i można j a przedstawić za pomoc a czterech cyfr w systemie trójkowym. Powyższy wywód sugeruje algorytm odszukiwania po lożenia odważników dla danego ciȩżaru W. Algorytm ważenia. Chc ac zważyć ciȩżar W z przedzia lu od 1 do 40: przedstawiamy liczbȩ W + 40 w systemie trójkowym: W + 40 = (e 3 e 2 e 1 e 0 ) 3, od każdej cyfry odejmujemy jedynkȩ: d i = e i 1, postać (d 3 d 2 d 1 d 0 ) określa po lożenie poszczególnych odważników wed lug zasady: jeżeli d i = 1, to odważnik o nominale 3 i należy po lożyć na prawej szalce, jeżeli d i = 1, to na lewej, jeżeli d i = 0, to na stole. Spróbujmy zważyć ciȩżar W = 20 gramów. W rozdziale o zamianie systemu obliczyliśmy, że liczba 60 = w systemie trójkowym ma postać: czyli: (60) 10 = (2020) 3, 60 = Odejmujemy teraz jedynkȩ od każdej cyfry i otrzymujemy: (1 11 1). Tutaj 1 oznacza 1. Mamy wiȩc: 20 = Metodȩ opisan a wyżej można uogólnić na wiȩksz a liczbȩ odważników. Jeżeli mamy N odważników o nomina lach: 1, 3,..., 3 N 1, to możemy odważyć każdy ciȩżar W z przedzia lu od 1 do (3 N 1)/2. Należy rozwin ać liczbȩ W + (3 N 1)/2 w systemie trójkowym, a nastȩpnie od każdej cyfry rozwiniȩcia odj ać jedynkȩ. 16
17 16 Zadania 1. Zwiȩksz o jeden nastȩpuj ace liczby zapisane w postaci dwójkowej: a) ; b) Porównaj nastȩpuj ace pary liczb: a) , ; b) 11010, Dodaj (odejmij, pomnóż) w postaci dwójkowej nastȩpuj ace pary liczb: a) , ; b) 11010, Napisz dok ladny algorytm odejmowania dwóch liczb w postaci dwójkowej. 5. Liczby 81, 126 przedstaw w postaci dwójkowej. Jak bȩd a one reprezentowane w komputerze jako sta le typu integer (byte, word)? 6. Nastȩpuj ace liczby przedstaw w postaci dwójkowej: 6.75, 5.625, $B1, $FF. 7. Nastȩpuj ace liczby przedstaw w postaci trójkowej: 80, Nastȩpuj ace liczby w postaci dwójkowej, , , przedstaw w postaci: a) dziesiȩtnej, b) szesnastkowej. 9. Opisz algorytm zamiany u lamka z postaci dziesiȩtnej na postać dwójkow a. 10. Ile maksymalnie pytań z odpowiedziami TAK/NIE trzeba zadać, aby odgadn ać liczbȩ z przedzia lu od 0 do ? 11. Jak należy u lożyć na szalkach odważniki o nomina lach 1, 3, 9, 27, aby odważyć ciȩżar: a) 35, b) 29? 17
Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 5 czerwca 00 roku Rozdział Arytmetyka. System dziesiętny Najpowszechniej używanym sposobem przedstawiania liczb naturalnych jest system dziesiętny, gdzie na przykład
Bardziej szczegółowo2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,
2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Arytmetyka. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Arytmetyka Magdalena Lemańska System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności. System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 17 marca 2003 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 17 marca 2003 roku Rozdział 1 Arytmetyka 1.1 System dziesiętny Najpowszechniej używanym sposobem przedstawiania liczb naturalnych jest system dziesiętny, gdzie
Bardziej szczegółowoSystem liczbowy binarny.
1 System liczbowy binarny. 0.1 Wstȩp Ogȯlna forma systemów pozycyjnych liczbowych ma postać wielomianu α n 1 ρ n 1 + α n 2 ρ n 2 + + α 2 ρ 2 + α 1 ρ + α 0, (1) gdzie liczbȩ naturaln a ρ 2 nazywamy podstaw
Bardziej szczegółowoArytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI
Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System
Bardziej szczegółowoSamodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS WARSZAWA UL. BAŻANCIA 16 SYSTEMY LICZBOWE POZYCYJNE DECYMALNY, BINARNY, OKTALNY. Warszawa pażdziernik 2017
i MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS 02-892 WARSZAWA UL. BAŻANCIA 16 SYSTEMY LICZBOWE POZYCYJNE DECYMALNY, BINARNY, OKTALNY Warszawa pażdziernik 2017 ii Contents 0.1 Wstȩp............................... 1 0.2
Bardziej szczegółowoDYDAKTYKA ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE
ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE @KEMOR SPIS TREŚCI. SYSTEMY LICZBOWE...3.. SYSTEM DZIESIĘTNY...3.2. SYSTEM DWÓJKOWY...3.3. SYSTEM SZESNASTKOWY...4 2. PODSTAWOWE OPERACJE NA LICZBACH BINARNYCH...5
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1
Bardziej szczegółowoLiczby naturalne i ca lkowite
Chapter 1 Liczby naturalne i ca lkowite Koncepcja liczb naturalnych i proste operacje arytmetyczne by ly znane już od oko lo 50000 tysiȩcy lat temu. To wiemy na podstawie archeologicznych i historycznych
Bardziej szczegółowo1.1. Pozycyjne systemy liczbowe
1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowoArchitektura systemów komputerowych
Architektura systemów komputerowych Grzegorz Mazur Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii Uniwersytet Jagielloński 12 kwietnia 2011 Grzegorz Mazur (ZMOCh UJ) Architektura systemów komputerowych 12 kwietnia
Bardziej szczegółowoSystemy zapisu liczb.
Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:
Bardziej szczegółowoDla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego
Arytmetyka cyfrowa Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego (binarnego). Zapis binarny - to system liczenia
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe
ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe 20.10.2010 System Zakres znaków Przykład zapisu Dziesiętny ( DEC ) 0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9 255 DEC Dwójkowy / Binarny ( BIN ) 0,1 11111 Ósemkowy ( OCT ) 0,1,2,3, 4,5,6,7
Bardziej szczegółowo1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1
Zamiana liczba zapisanych w dowolnym systemie na system dziesiętny: W systemie pozycyjnym o podstawie 10 wartości kolejnych cyfr odpowiadają kolejnym potęgom liczby 10 licząc od strony prawej i numerując
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki dla Nauczyciela
Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Wykład 2 1 / 1 Informacja
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym
SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej
Bardziej szczegółowoKod U2 Opracował: Andrzej Nowak
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim
Bardziej szczegółowoLiczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza. Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza 2 1 0 1 2 3 x Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza MATEMATYKA
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Bardziej szczegółowoProjekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał Ludzki Priorytet 9 Działanie 9.1 Poddziałanie
Bardziej szczegółowoARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH
ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE 275,538 =
SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej
Bardziej szczegółowoZnaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000
SYSTEMY LICZBOWE I. PODZIAŁ SYSTEMÓW LICZBOWYCH: systemy liczbowe: pozycyjne (wartośd cyfry zależy od tego jaką pozycję zajmuje ona w liczbie): niepozycyjne (addytywne) (wartośd liczby jest sumą wartości
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1
MATEMATYKA 1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 1: Systemy liczbowe
Ćwiczenie nr 1: Systemy liczbowe Barbara Łukawska, Adam Krechowicz, Tomasz Michno Podstawowym systemem liczbowym uŝywanym na co dzień jest system dziesiętny. Podstawą tego systemu jest 10 cyfr 0, 1, 2,
Bardziej szczegółowo0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze
1 Temat 5: Liczby pierwsze Zacznijmy od definicji liczb pierwszych Definition 0.1 Liczbȩ naturaln a p > 1 nazywamy liczb a pierwsz a, jeżeli ma dok ladnie dwa dzielniki, to jest liczbȩ 1 i sam a siebie
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe używane w technice komputerowej
Systemy liczbowe używane w technice komputerowej Systemem liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach.
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Bardziej szczegółowoArytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia liczby ɛ = fl() B l ad wzglȩdny zaokr aglenia liczby 0 δ = fl() B l ad procentowy zaokr aglenia liczby 0
Bardziej szczegółowoB.B. 2. Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską:
Dodawanie dwójkowe Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie binarnym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka
Bardziej szczegółowoARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010
ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 Do zapisu liczby ze znakiem mamy tylko 8 bitów, pierwszy od lewej bit to bit znakowy, a pozostałem 7 to bity na liczbę. bit znakowy 1 0 1 1
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 9 października Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października / 42
Wykład 2 Informatyka Stosowana 9 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 2 / 42 Definicja : system
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 10 października Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października / 42
Wykład 2 Informatyka Stosowana 10 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 2 / 42 Definicja : system
Bardziej szczegółowoPlan wyk ladu. Kodowanie informacji. Systemy addytywne. Definicja i klasyfikacja. Systemy liczbowe. prof. dr hab. inż.
Plan wyk ladu Systemy liczbowe Poznań, rok akademicki 2008/2009 1 Plan wyk ladu 2 Systemy liczbowe Systemy liczbowe Systemy pozycyjno-wagowe y 3 Przeliczanie liczb Algorytm Hornera Rozwini ecie liczby
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład IV
Pracownia Komputerowa wykład IV dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Bardziej szczegółowoPierwiastki arytmetyczne n a
Chapter 1 Pierwiastki arytmetyczne n a Operacja wyci aganie pierwiastka stopnia n z liczby a jest odwrotn a operacj a do potȩgowania, jeżeli operacja odwrotna jest wykonalna w liczbach rzeczywistych. Zacznijmy
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wyk ad IV
Pracownia Komputerowa wykad IV dr Magdalena Posiadaa-Zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Reprezentacje liczb i znaków Liczby: Reprezentacja
Bardziej szczegółowoPodstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych
1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie
Bardziej szczegółowoSystem liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.
2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne
Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne
System binarny Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności October 7, 26 Pojęcie bitu 2 Systemy liczbowe 3 Potęgi dwójki 4 System szesnastkowy 5 Kodowanie informacji 6 Liczby ujemne
Bardziej szczegółowoZapis liczb binarnych ze znakiem
Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.
Bardziej szczegółowoKod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych.
Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych. Jeśli bit znaku przyjmie wartość 0 to liczba jest dodatnia lub posiada wartość 0. Jeśli bit
Bardziej szczegółowoPrzedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński
Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.
Bardziej szczegółowo3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)
3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 2
MATEMATYKA 1 Wstęp do informatyki- wykład 2 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy
Bardziej szczegółowoKod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie:
Wykład 3 3-1 Reprezentacja liczb całkowitych ze znakiem Do przedstawienia liczb całkowitych ze znakiem stosowane są następujące kody: - ZM (znak-moduł) - U1 (uzupełnienie do 1) - U2 (uzupełnienie do 2)
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowo0.1 Reprezentacja liczb w komputerze
1 0.1 Reprezentacja liczb w komputerze Zapis liczb w zmiennym przecinku. U lamki dziesiȩtne w laṡciwe i niew laṡciwe piszemy oddzielaj ac czȩṡċ ca lkowit a od czȩṡci u lamkowej w laṡciwej przecinkiem w
Bardziej szczegółowoPozycyjny system liczbowy
Arytmetyka binarna Pozycyjny system liczbowy w pozycyjnych systemach liczbowych wkład danego symbolu do wartości liczby jest określony zarówno przez sam symbol, jak i jego pozycję w liczbie i tak np. w
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoDZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.
DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, (
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zmiana systemów. Zadanie 2. Szyfr Cezara. Zadanie 3. Czy liczba jest doskonała. Zadanie 4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze Zadanie 5.
Zadanie 1. Zmiana systemów. Zadanie 2. Szyfr Cezara. Zadanie 3. Czy liczba jest doskonała. Zadanie 4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze Zadanie 5. Schemat Hornera. Wyjaśnienie: Zadanie 1. Pozycyjne reprezentacje
Bardziej szczegółowoJednostki informacji. Bajt moŝna podzielić na dwie połówki 4-bitowe nazywane tetradami (ang. nibbles).
Wykład 1 1-1 Informatyka nauka zajmująca się zbieraniem, przechowywaniem i przetwarzaniem informacji. Informacja obiekt abstrakcyjny, który w postaci zakodowanej moŝe być przechowywany, przesyłany, przetwarzany
Bardziej szczegółowoDane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna
Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q
LABORAORIUM PROCESORY SYGAŁOWE W AUOMAYCE PRZEMYSŁOWEJ Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q 1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej. Kody stałopozycyjne mają ustalone
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. System dziesiętny
Systemy liczbowe System dziesiętny Dla nas, ludzi naturalnym sposobem prezentacji liczb jest system dziesiętny. Oznacza to, że wyróżniamy dziesięć cytr. Są nimi: zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć,
Bardziej szczegółowoUrządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN):
1. SYSTEMY LICZBOWE UŻYWANE W TECHNICE KOMPUTEROWEJ System liczenia - sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Do zapisu
Bardziej szczegółowoOperacje arytmetyczne
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Operacje arytmetyczne Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ Dodawanie dwójkowe Opracował: Andrzej Nowak Ostatni wynik
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Bardziej szczegółowoInformatyka kodowanie liczb. dr hab. inż. Mikołaj Morzy
Informatyka kodowanie liczb dr hab. inż. Mikołaj Morzy plan wykładu definicja informacji sposoby kodowania reprezentacja liczb naturalnych i całkowitych arytmetyka binarna arytmetyka oktalna arytmetyka
Bardziej szczegółowoMNOŻENIE W SYSTEMACH UZUPEŁNIENIOWYCH PEŁNYCH (algorytm uniwersalny)
MNOŻENIE W SYSTEMACH UZUPEŁNIENIOWYCH PEŁNYCH (algorytm uniwersalny) SPOSÓB 1 (z rozszerzeniem mnożnika): Algorytm jak zwykle jest prosty: lewostronne rozszerzenie mnożnej o kilka cyfr (na pewno wystarczy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 5 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Informatyki
Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoDodawanie liczb binarnych
1.2. Działania na liczbach binarnych Liczby binarne umożliwiają wykonywanie operacji arytmetycznych (ang. arithmetic operations on binary numbers), takich jak suma, różnica, iloczyn i iloraz. Arytmetyką
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wyk ad VI
Pracownia Komputerowa wyk ad VI dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby ca kowite
Bardziej szczegółowo1. Operacje logiczne A B A OR B
1. Operacje logiczne OR Operacje logiczne są operacjami działającymi na poszczególnych bitach, dzięki czemu można je całkowicie opisać przedstawiając jak oddziałują ze sobą dwa bity. Takie operacje logiczne
Bardziej szczegółowoKOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO
Aleksandra Nogała nauczycielka matematyki w Gimnazjum im. Macieja Rataja w Żmigrodzie olanog@poczta.onet.pl KONSPEKT ZAJĘĆ ( 2 godziny) KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO TEMAT
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. System liczbowy dziesiętny
Systemy liczbowe 1. System liczbowy dziesiętny System pozycyjny dziesiętny to system, który używa dziesięciu cyfr, a jego podstawą jest liczba 10, nazywany jest pozycyjnym, bo pozycja cyfry w liczbie rozstrzyga
Bardziej szczegółowoSystem Liczbowe. Szesnastkowy ( heksadecymalny)
SYSTEMY LICZBOWE 1 System Liczbowe Dwójkowy ( binarny) Szesnastkowy ( heksadecymalny) Ósemkowy ( oktalny) Dziesiętny ( decymalny) 2 System dziesiętny Symbol Wartość w systemie Liczba 6 6 *10 0 sześć 65
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoZestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1
Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 Zapis znak - moduł (ZM) Zapis liczb w systemie Znak - moduł Znak liczby o n bitach zależy od najstarszego bitu b n 1 (tzn. cyfry o najwyższej pozycji): b
Bardziej szczegółowoPodstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.
ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Bardziej szczegółowoCyfrowy zapis informacji. 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 2
Cyfrowy zapis informacji 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 2 Bit, Bajt, Słowo 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 3 Cyfrowy zapis informacji Bit [ang. binary digit] jest elementem zbioru dwuelementowego używanym
Bardziej szczegółowoPlan wyk ladu. Kodowanie informacji. Reprezentacja binarna. Reprezentacja liczb. Reprezentacja liczb. prof. dr hab. inż.
Plan wyk ladu Reprezentacja liczb Poznań, rok akademicki 2010/2011 1 Plan wyk ladu 2 Liczby naturalne Klasyfikacja Kod BCD Dodawanie w systemie BCD 3 Liczby ca lkowite Kod ZM Kod U1 Kod U2 4 Liczby rzeczywiste
Bardziej szczegółowoLISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24
LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24 x=6 ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność
Bardziej szczegółowoRODZAJE INFORMACJI. Informacje analogowe. Informacje cyfrowe. U(t) U(t) Umax. Umax. R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości. Umax.
RODZAJE INFORMACJI Informacje analogowe U(t) Umax Umax 0 0 R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości WE MASZYNA ANALOGOWA WY Informacje cyfrowe U(t) Umaxq Umax R=(U, 2U, 3U, 4U) # # MASZYNA # CYFROWA
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wyk ad V
Pracownia Komputerowa wyk ad V dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Reprezentacje liczb i znaków Liczby: Reprezentacja
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 3 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Wykład 3 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 1948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Bardziej szczegółowoKodowanie informacji. Kody liczbowe
Wykład 2 2-1 Kodowanie informacji PoniewaŜ komputer jest urządzeniem zbudowanym z układów cyfrowych, informacja przetwarzana przez niego musi być reprezentowana przy pomocy dwóch stanów - wysokiego i niskiego,
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 3 1 / 42 Reprezentacja liczb całkowitych
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci:
Reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze. Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: k = m * 2 c gdzie: m częśd ułamkowa,
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do informatyki - ć wiczenia
Kod uzupełnień do 2 (U2) dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb całkowitych Jak kodowany jest znak liczby? Omó wimy dwa sposoby kodowania liczb ze znakiem:
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoL6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce
L6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał
Bardziej szczegółowo12. Wprowadzenie Sygnały techniki cyfrowej Systemy liczbowe. Matematyka: Elektronika:
PRZYPOMNIJ SOBIE! Matematyka: Dodawanie i odejmowanie "pod kreską". Elektronika: Sygnały cyfrowe. Zasadę pracy tranzystorów bipolarnych i unipolarnych. 12. Wprowadzenie 12.1. Sygnały techniki cyfrowej
Bardziej szczegółowo