2. Podstawowe pojęcia

Transkrypt

1 mgr Marian MENDEL Wojsowy Instytut Techniczny Uzbrojenia PRZELICZANIE I TRANSFORMACJA WSPÓŁRZĘDNYCH POMIĘ- DZY UKŁADAMI ODNIESIENIA Streszczenie. W artyue przedstawiono zagadnienia związane przeiczaniem i transformacją współrzędnych w odwzorowaniach artograficznych. Zamieszczono gotowe wzory i agorytmy służące do reaizacji zadań związanych z przeiczaniem i transformacją współrzędnych. Objaśniono również podstawowe pojęcia używane w geodezji i artografii. CONVERSION AND TRANSFORMATION OF COORDINATES BE- TWEEN REFERENCE SYSTEMS Abstract. In the paper the issues concerning conversion and transformation of coordinates in map projections were presented. The formuae and the agorithms for carrying out the tass connected with the conversion and the transformation of coordinates were quoted. The basic terms used in geodesy and cartography were aso expained.. Wstęp W czasie, gdy Posa wchodziła do strutur Uładu Warszawsiego powszechnie stosowano mapy w uładzie odniesienia 9 (ro przyjęcia w ZSRR eipsoidy Krasowsiego do wszystich odwzorowań artograficznych). Były one bazą do doumentowania ćwiczeń tatycznych, badań poigonowych, panowania operacji wojsowych i wszędzie tam, gdzie potrzebne były współrzędne puntów terenowych. Obecnie stosowane są mapy w uładzie UTM (Universa Transverse Mercator), a w Posce często spotyane są mapy w uładzie 99 (oany da Posi uład odniesienia da map topograficznych w sai :0 000 i mniejszych w systemie GRS 80.). Ponadto odbiornii GPS (Goba Positioning System) dostarczają współrzędne w uładzie UTM ub współrzędne geodezyjne w eipsoidzie WGS-8 (Word Geodetic System opracowany w 98r., w tórym parametry eipsoidy są identyczne z parametrami eipsoidy GRS-80) zwanej też GRS-80 (Geodetic Reference System 980). Wobec tego, że w wojsu stosowane są jeszcze mapy odwzorowane w różnych uładach odniesienia oraz na wyposażeniu znajdują się systemy nawigacji w tym GPS, zachodzi potrzeba przeiczania współrzędnych pomiędzy różnymi uładami odniesienia. Zadanie to nie jest sompiowane, szczegónie gdy w tym ceu zastosujemy omputer z odpowiednim oprogramowaniem. Aby napisać taie oprogramowanie wystarczy znać potrzebne wzory i agorytmy, tóre zawarte są w niniejszym artyue. 7

2 . Podstawowe pojęcia Geoida - bryła, tórej powierzchnia w ażdym miejscu jest prostopadła do pionu wyznaczonego przez siłę ciężości (rys..). Geoida jest teoretyczną powierzchnią, na tórej potencjał siły ciężości Ziemi jest stały, równy potencjałowi siły ciężości na średnim poziomie mórz otwartych i przedłużoną umownie pod powierzchnią ądów. Ponieważ zawiera ona ustro wody w morzach i oceanach dodatowo oreśana jest jao Geoida Zerowa. Jao powierzchnia ewipotencjana, geoida w ażdym swym puncie jest prostopadła do ierunu siły ciężości (pionu). Ponieważ 78% powierzchni naszej panety stanowią oceany, datego najbardziej reprezentatywne przybiżenie figury Ziemi stanowi geoida. Jedna pod ądami przebieg geoidy jest sompiowany ze wzgędu na bardzo urozmaicony rozład przestrzenny gęstości, głownie w przypowierzchniowych warstwach sorupy ziemsiej. Henri Poincare (85-9) wyazał, że jest niemożiwe wyrażenie w sposób ścisły równania geoidy na obszarze ądów i oceanów jedną funcją anaityczną. Rys... Geoida Odwzorowanie artograficzne jest to sposób przedstawiania powierzchni ui ziemsiej na mapie. Poega na tym, że ażdemu puntowi na mapie odpowiada oreśony punt na poziomej powierzchni Ziemi. Odwzorowanie wyonuje się na bazie siati artograficznej, czyi uładzie południów i równoeżniów przedstawionych na mapie. Siata ta jest obrazem siati geograficznej, czyi rzeczywistego uładu południów i równoeżniów na ui ziemsiej. Współrzędne geodezyjne (eipsoidane) i artezjańsie centryczne. Da ceów odwzorowań artograficznych jao przybiżenie bryły Ziemi przyjęto eipsoidę obrotową, utworzoną przez obrót eipsy woół małej półosi b eipsy (rys..). Położenie ażdego puntu jest jednoznacznie opisywane za pomocą współrzędnych geodezyjnych (eipsoidanych) BLH ub współrzędnych artezjańsich centrycznych XYZ (rys..). 8

3 P Rys.. Współrzędne geodezyjne (eipsoidane) BLH i artezjańsie centryczne XYZ Gdzie: począte artezjańsiego uładu współrzędnych OXYZ znajduje się w środu eipsoidy, a oś OX eży w płaszczyźnie równia (OXY) i przecina południ zerowy (Greenwich); L - długość geodezyjna (sierowany ąt pomiędzy płaszczyzną OXZ i pionową płaszczyzną zawierającą punt P); B - szeroość geodezyjna (sierowany ąt pomiędzy płaszczyzną OXY i prostą prostopadłą do powierzchni eipsoidy i zawierającą punt P); H - wysoość geodezyjna (odegłość puntu P od powierzchni eipsoidy; dodatnia, gdy punt eży nad powierzchnią, a ujemna w przeciwnym wypadu);. Ocean,. Eipsoida, 3. Pion oany,. Kontynent, 5. Geoida Rys..3 Wzajemne położenie powierzchni Ziemi, eipsoidy i geoidy Powierzchnie geoidy, eipsoidy i Ziemi W związu z tym, że powierzchnie Ziemi i geoidy są niereguarne, wzajemne położenie powierzchni geoidy, Ziemi i eipsoidy w różnych obszarach zmienia się (rys..3). 9

4 Przeiczanie poega obiczeniach prowadzących do wyznaczenia współrzędnych geodezyjnych ub artezjańsich centrycznych puntu w danej eipsoidzie na podstawie współrzędnych geodezyjnych ub artezjańsich centrycznych tego puntu wyznaczonych w innej eipsoidzie. W historii odwzorowań przyjmowano różne eipsoidy i wyonywano na ich bazie odwzorowania tworząc mapy, co doprowadziło do tego, że ten sam punt był opisywany różnymi współrzędnymi. W ceu poprawnego zoaizowania puntu często potrzebne jest wyonanie przeiczenia pomiędzy eipsoidami. B L H X Y Z Pr zeiczanie B L H Pr zeiczanie X Y Z Transformacja poega na wyznaczeniu współrzędnych artezjańsich centrycznych XYZ puntu na podstawie współrzędnych geodezyjnych BLH w oreśonej eipsoidzie. Przejście w przeciwną stronę nazywamy transformacją odwrotną. Uład odniesienia to zbiór puntów na powierzchni Ziemi, w tórych wyonano precyzyjne pomiary geodezyjne (tzw. osnowa geodezyjna) i eipsoida będąca przybiżeniem ształtu Ziemi związana z tymi puntami. 3. Wybrane ułady współrzędnych stosowane w Posce W Posce prawie wszystie mapy są wyonane na bazie eipsoidy Krasowsiego ub eipsoidy GRS-80 (WGS-8). Środi tych eipsoid są wzgędem siebie przesunięte, ułady artezjańsie obrócone woół wszystich osi (rys. 3., tabea 3.). Ponadto długości półosi tych eipsoid są różne (tabea 3.). Wyniiem tego jest to, że oreśony punt na Ziemi ma różne współrzędne artezjańsie na mapie, w zaeżności od eipsoidy odniesienia. Rys. 3. Iustracja wzajemnego położenia uładów artezjańsich w eipsoidach Krasowsiego i GRS-80 (WGS-8). 0

5 Tabea 3.. Parametry eipsoid stosowanych w odwzorowaniach w Posce Parametr Eipsoida Krasowsiego Eipsoida GRS-80 (WGS-8) duża półoś a 63785m m mała półoś b m m Przesunięcia eipsoidy GRS- 80 w uładzie eipsoidy Krasowsiego Obroty uładu artezjańsiego eipsoidy GRS-80 woół poszczegónych osi X = 33.97m, Y = 6.576m, Z = m ε x = e-6 [rad] = , ε y = e-6 [rad] = ε z = e-6 [rad] = Aby jednoznacznie zoaizować punt na mapie na podstawie znanych współrzędnych w oreśonym uładzie odniesienia często trzeba wyonać przeiczenie i transformację do innego uładu odniesienia. Na rys.3. poazano dostępne przeiczenia i transformacje pomiędzy różnymi uładami współrzędnych stosowanymi w Posce. Rys. 3. Ułady odniesienia (eipsoidy), odwzorowania i ułady współrzędnych na mapach stosowane w Posce. W Posce stosowane są mapy wyonane w różnych odwzorowaniach da eipsoid odniesienia GRS-80 i Krasowsiego. Ułady odniesienia 965, 99 i 000 widoczne na rys. 3.

6 stosowane są tyo w Posce da map o małej sai używanych w zastosowaniach cywinych. Da wojsa mają drugorzędne znaczenie. Rys. 3.3 Odwzorowania wacowe poprzeczne Mercatora Najpopuarniejszymi odwzorowaniami są odwzorowania Gausa-Krügera i Mercatora. Oba te odwzorowania oparte są o te same zasady matematyczne, a różnica współrzędnych wynia z różnych współczynniów sai. Da potrzeb odwzorowania powierzchnię eipsoidy podzieono na 60 sześciostopniowych stref wzdłuż równia. Każda z tych stref jest odwzorowana na płaszczyznę metodą Mercatora (rys. 3.3) ub Gausa-Krügera. Różnica tych metod poega na tym, że w metodzie Gausa-Krügera waec jest styczny do eipsoidy. Rys. 3. Uład współrzędnych w strefie. W ażdej strefie oreśono prostoątny uład współrzędnych OXY (O North East), w tórym: oś OX (ON) stanowi południ środowy (osiowy) strefy,

7 oś OY (OE) stanowi równi, począte uładu ma współrzędne (X,Y) = (N,E) = (0m,500m).Wobec powyższego dowony punt na ui ziemsiej ma różne współrzędne geodezyjne da różnych eipsoid odniesienia oraz różne współrzędne na mapie da różnych eipsoid odniesienia ub (i) różnych odwzorowań.. GPS a oane ułady współrzędnych Obecnie na całym świecie powszechnie stosuje się systemy nawigacji orzystające z danych GPS (Goba Positioning System). Odbiornii GPS dostarczają współrzędne geodezyjne, prostoątne (artograficzne) w uładzie UTM i prostoątne w wojsowej siatce odniesienia MGRS (Miitary Grid Reference System) da eipsoidy GRS-80 (WGS-8). Możiwe jest więc zobrazowanie pozycji tyo na mapach w uładzie UTM. W pratyce bardzo często dysponujemy mapami wyonanymi w innych uładach współrzędnych, a potrzebujemy nanieść na nich pozycję wsazywaną przez odbiorni GPS. Zdarza się, że dysponujemy współrzędnymi puntów geodezyjnych (wieże obserwacyjne, stanowisa pomiarowe, itp.) w oreśonym uładzie współrzędnych i potrzebujemy z nich sorzystać w innym uładzie współrzędnych. Taie przypadi mają miejsce wobec powszechnie stosowanych do niedawna map w uładzie 9, a obecnie popuarne są mapy w uładzie 99 i UTM. Probemy te są bardzo łatwo rozwiązywane poprzez odpowiednie przeiczenia matematyczne z zastosowaniem nawet najprostszych omputerów. 5. Przeiczanie i transformacja współrzędnych Eipsoida GRS-80 (WGS-8) (X G,Y G,Z G ) Przeiczanie Eipsoida Krasowsiego (X K,Y K,Z K ) Transformacja Przeiczanie (B G,L G,H G ) (B G,L G ) Odwzorowanie (x,y) UTM, 99, 000 Transformacja (B K,L K,H K ) (B K,L K ) Odwzorowanie (x,y) 9, 965 Rys. 5.. Schemat przeiczeń i transformacji współrzędnych. Na rys. 5. przedstawiono możiwe przeiczenia współrzędnych pomiędzy uładami odniesienia i transformacje współrzędnych w ramach jednego uładu odniesienia. Odwzorowanie jest szczegónym przypadiem transformacji. W daszej części zostaną przedstawione agorytmy przeiczeń i transformacji. 3

8 5.. Transformacja (B,L,H) (X,Y,Z) Transformację współrzędnych geodezyjnych (B,L,H) na współrzędne artezjańsie centryczne reaizuje się wg wzorów: X = (R N H) cos(b) cos(l) Y = (R N H) cos(b) sin(l) (5..) Z = (R N H) sin(b) q R N - jest długością odcina normanej, mierzoną od puntu P o (rzut puntu P na powierzchnię eipsoidy) do puntu S przecięcia z osią obrotu eipsoidy jest to zarazem promień rzywizny przeroju poprzecznego (pierwszego wertyału) eipsoidy w puncie P o (da szeroości B), wyrażający się wzorem: R N a =, (5..) e sin (B) a - duża półoś eipsoidy, e - pierwszy mimośród eipsoidy wyrażający się wzorem: e a b =, (5..3) a b - mała półoś eipsoidy, q - pionowe przesunięcie środa rzywizny przeroju poprzecznego wzgędem środa eipsoidy wyraża się wzorem: q = R N e sin(b) (5..) 5.. Transformacja odwrotna (X,Y,Z) (B,L,H) Aby doonać transformacji odwrotnej naeżałoby odwrócić zaeżności (5..), wyznaczając z nich B, L i H w oparciu o X,Y,Z. Mając na uwadze to, że w definicji promienia R N oraz w wieości q ryje się również szeroość B, odwrócenie formuł (5..) nie jest proste. Datego posługujemy się metodami oejnych przybiżeń. Jedna z prostych metod poega na wyorzystaniu następującej zaeżności, tórą można otrzymać z (5..): Z q = arctg r B ; r r odegłość puntu P od osi obrotu eipsoidy. = X Y ; (5..) Ponieważ wieość q jest istotną funcją B, formułę (5..) używa się do tworzenia oejnych przybiżeń B o, B, B, niewiadomej B (stosownie do tego parametr q jao funcja B przyjmuje wartości oejnych przybiżeń q o, q, q, ).

9 Agorytm: (X,Y,Z) B: Kro 0: Kro : przyjmujemy q = q o = 0 i obiczamy B wg wzoru (5..) notując je jao B o (przybiżenie początowe). obiczamy przybiżoną wartość q zgodnie ze wzorami (5.. i 5..) jao funcję B o, a następnie nowe przybiżenie B szeroości B według wzoru (5..). Kro : obiczamy przybiżenie q zgodnie z wzorem (5.. i 5..) jao funcję B = B, a następnie atuane przybiżenie B szeroości B według wzoru (5..). itd. Proces zatrzymujemy, jeśi różnica oejnych przybiżeń jest mniejsza niż założony dopuszczany błąd numeryczny wyznaczenia B. Zwye onieczną doładność otrzymuje się po iu roach. Obiczenie braujących współrzędnych L, H nie przedstawia już trudności: L = arccos (X/r ) = arcsin (Y/r), (5..) Jeżei z < 0 ub r < 0, to H H = r z, a w przeciwnym wypadu = r z, (5..3) przy czym przyrosty r, z obiczamy ze wzorów: r = r R N cos (B), z = Z R N ( e ) sin(b) Transformacja (odwzorowanie) Gausa-Krügera (B,L) (x,y) Metodę odwzorowania opracował Gauss w 80r., tórą w 9r. udosonaił Krüger przystosowując wzory do pratycznych obiczeń. Metoda pod nazwą Gasusa-Krügera jest powszechnie stosowana do dziś. Współrzędne prostoątne (x,y) na mapie obicza się orzystając z wzorów: x = s(b) y = n= ( ) n= n ( ) d dq n n n n d F n n dq (n)! n F (n )! s(b) - długość łuu południa, F = x iy, = L - L 0, a L 0 - długość geodezyjna południa środowego, q - szeroość geodezyjna izometryczna powierzchni eipsoidy: (5.3.) 5

10 B M π B e sin B q = db = n tg N cos B, (5.3.) e sin B 0 e - mimośród eipsoidy, M - przerój południowy (podłużny), M = M(B) = a ( e ), (5.3.3) e sin B ( ) 3 a - duża półoś eipsoidy, N - przerój pierwszego wertyału (poprzeczny), e a N = N(B) =. (5.3.) e sin B r= s (B) = A0B Ar sin rb, (5.3.5) A a( e ) 0 = = 0 3 e ( ), (5.3.6) A a( e ) r = = r ( ) r r 3 r e, r=,, 3, (5.3.7) Poszuiwanie wartości współrzędnych (x,y) Gausa-Krügera ze związów (5.3.) sprowadza się do obiczenia pochodnych: t = tg B, n d F = N cos n dq e n B n = 0 n r= 0 r r n ξ t, n =,, 3, (5.3.8) ξ = cos B, (5.3.9) e (n ) r r r r r = n ( r n ) n ( r n ) ( )(n n = 0,,,,n, oraz: = 0, = 0, =. 0 0 r = 0,,,,n-, ), (5.3.0) 6

11 5.. Transformacja odwrotna Gausa-Krügera (x,y) (B,L) Obiczenie współrzędnych geodezyjnych (B,L) tą metodą na podstawie oanych współrzędnych prostoątnych w strefie (x,y) jest możiwe tyo wtedy, gdy odwzorowanie było wyonane metodą Gausa-Krügera. x ξ = R λ= y η = R λ= λ λ = n n 3 sin λ cos λ x R x R 37 n 96 cosh λ sinh λ n 360 y R y R 3 = n n n = n n = n a n n n 5n R = n n oznacza trzecie spłaszczenie eipsoidy i wyraża się wzorem: a b n = a b Współrzędne azymutane h i α otrzymujemy ze związów: α = ξ, h = arctg e sin ϕ = cos h sin α, sin h tg =, cos h cos α η π, gdzie e jest iczbą Nepera (e =,78 ) Długość geodezyjną obiczamy ze wzoru: L = L 0 ; Szeroość geodezyjną B uzysuje się z szeregu: (5..) (5..) (5..3) B = ϕ λ= λ sin λϕ 7

12 3 6 = n n n n = n 3 8 n 5 7 n = n 5 36 n = n (5..) 5.5. Przeiczanie artezjańsich centrycznych (X g,y G,Z G ) eipsoidy WGS-8 na współrzędne artezjańsie centryczne (X K,Y K,Z K ) eipsoidy Krasowsiego Eipsoidy WGS-8 i Krasowsiego są wzgędem siebie przesunięte i obrócone datego w ceu obiczenia współrzędnych artezjańsich centrycznych w eipsoidzie Krasowsiego na podstawie współrzędnych artezjańsich centrycznych w eipsoidzie WGS-8 stosuje się przeształcenie: E E E E E E E 6 X E 6 Y E 6 Z G G G X = Y Z K K K 5.6. Przeiczanie artezjańsich centrycznych (X K,Y K,Z K ) eipsoidy Krasowsiego na współrzędne artezjańsie centryczne (X g,y G,Z G ) eipsoidy WGS-8 Z tych samych powodów, co w puncie 5.5 stosuje się przeształcenie: E E E E E E E 6 X E 6 Y E 6 Z K K K X = Y Z G G G 6. Wniosi W NATO obowiązującymi systemami współrzędnych są: UTM, MGRS i geodezyjne w eipsoidzie WGS-8 (GRS-80). Wobec tego, że w Wojsu Posim pozostała po Uładzie Warszawsim doumentacja artograficzna wyonana jest w systemie 9, nada stosowane są mapy wyonane w systemach UTM i 9 oraz powszechnie używane się systemy nawigacji, przeiczanie i transformacja współrzędnych jest nieuniniona. oraz powszechnego używania systemów nawigacji Wyżej przedstawione wzory i agorytmy umożiwiają przeiczanie i transformacje współrzędnych pomiędzy: eipsoidami WGS-8 (GRS-80) i Krasowsiego, uładami współrzędnych: UTM, 99 i 9, 8

13 współrzędnymi geodezyjnymi (eipsoidanymi) i uładami współrzędnych: UTM, 99 i 9. Obiczenia ręczne mogą być uciążiwe ae po napisaniu odpowiedniego oprogramowania, proces ten staje się bardzo prosty. Autor tego artyułu oferuje udostępnienie taiego oprogramowania. Literatura [] Jan Panasiu, Jerzy Bacerza, Urszua Porowsa: Wybrane zagadnienia z podstaw teorii odwzorowań artograficznych. [] Roman J. Kadaj: Posie ułady współrzędnych, formuły transformacyjne, agorytmy i programy. [3] Idzi Gajderowicz: Kartografia matematyczna da Geodetów. 9