Geometria wykreślna. 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury

Transkrypt

1 Geometria wykreślna 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1

2 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. Obrót wokół prostej model przestrzenny Obroty - zadania Kład definicja, zastosowania Powinowactwo w kładzie Rozwinięcie ostrosłupa Rozwinięcie graniastosłupa 2

3 Obrót wokół prostej model przestrzenny w S r l A k A obracany punkt l oś obrotu w płaszczyzna obrotu (prostopadła do osi) S środek obrotu (punkt przebicia osi i płaszczyzny obrotu) k tor (okrąg) obrotu r - promień obrotu 3

4 B Obroty zadanie 1. Obrócić odcinek AB wokół pionowej prostej l o kąt 60 o l A x 12 4

5 w 1 B Obroty zadanie 1. w 2 A l Wyznaczamy płaszczyzny obrotu w 1 i w 2 (prostopadłe do osi obrotu, dla każdego punktu odpowiednia płaszczyzna) x 12 5

6 w 1 B Obroty zadanie 1. w 2 A l Odpowiednimi promieniami kreślimy dla każdego punktu jego okrąg obrotu. x 12 r 1 r 2 6

7 w 1 B Obroty zadanie 1. w 2 A l B o Odmierzamy łuki o rozwartości 60 o. Wyznaczamy w rzucie poziomym położenie punktów A i B po obrocie x o 60 o 7 A o

8 w 1 B o B Obroty zadanie 1. w 2 A l B o A o Na odpowiednich płaszczyznach obrotu wyznaczamy rzuty pionowe obróconych punktów A i B. x 12 8 A o

9 w 1 B o B Obroty zadanie 1. w 2 A l A o Wykreślamy odcinek AB po obrocie. B o x 12 9 A o

10 w 1 w 2 A l B Obroty zadanie 2. Obrócić odcinek AB wokół prostej l, tak, aby punkt B po obrocie znalazł się na rzutni p 2 (pionowej). B o x 12 Płaszczyzny i okręgi obrotu wyznaczamy tak samo jak w zadaniu poprzednim. Inny będzie tylko kąt obrotu wyznaczamy najpierw położenie punktu B obracając go do rzutni pionowej.

11 w 1 B Obroty zadanie 2. w 2 A l Następnie mierzymy kąt obrotu punktu B i o taki sam kąt obracamy punkt A. B o x 12 A o

12 w 1 B Obroty zadanie 2. w 2 A l Wykreślamy obrócony odcinek AB w rzucie poziomym. B o x 12 A o

13 w 1 B o B Obroty zadanie 2. w 2 A A o l B o x 12 Na odpowiednich płaszczyznach obrotu wyznaczamy rzuty pionowe obróconych punktów A i B. Wykreślamy rzut pionowy odcinka po obrocie A o

14 w 1 B Obroty zadanie 3. w 2 A l Obrócić odcinek AB wokół prostej l, tak, aby wyznaczyć jego rzeczywistą wielkość. x 12 Płaszczyzny i okręgi obrotu wyznaczamy tak samo jak w zadaniu poprzednim. Inny będzie tylko kąt obrotu odcinek powinien przyjąć położenie czołowe.

15 w 1 B Obroty zadanie 3. w 2 A l C Odcinek powinien przyjąć położenie czołowe aby to uzyskać wyznaczamy punkt C położony najbliżej osi obrotu. x 12 C

16 w 1 w 2 A l C B Obroty zadanie 3. Obracamy punkt C, tak aby wypadł na odnoszącej pokrywającej się z odnoszącą osi l. O ten sam kąt obracamy punkty A i B. x 12 C C o A o B o

17 w 1 B o B Obroty zadanie 3. w 3 w 2 l C o C A o A C C o A o B o x 12 Na odpowiednich płaszczyznach obrotu wyznaczamy rzuty pionowe obróconych punktów A, B i C. Wykreślamy rzuty odcinka po obrocie.

18 g A C B KŁAD obrót płaszczyzny wokół prostej na niej położonej do położenia równoległego do rzutni. l Zadanie: Wyznaczyć rzeczywistą wielkość trójkąta ABC za pomocą kładu. C UWAGA. Jeżeli nie jest podana oś obrotu przyjmujemy na rzutującej płaszczyźnie trójkąta dowolną prostą celową l (poziomą, prostopadłą do rzutni pionowej).

19 g A C B Zadanie: Wyznaczyć rzeczywistą wielkość trójkąta ABC za pomocą kładu. A o d l Dookoła prostej l obracamy punkt A tak aby padł na poziomą płaszczyznę przechodzącą przez oś obrotu. d C

20 g A C B Zadanie: Wyznaczyć rzeczywistą wielkość trójkąta ABC za pomocą kładu. A o d l A o w Wyznaczamy rzut poziomy obróconego punktu A korzystając z jego płaszczyzny obrotu w. Analogicznie można postąpić z punktami B i C C

21 g A C B Zadanie: Wyznaczyć rzeczywistą wielkość trójkąta ABC za pomocą kładu. A o d l III A o w C o B o C Można to także zrobić wykorzystując związki powinowactwa boków AB i A o B o, oraz AC i A o C o (oś l będzie osią powinowactwa). Po uzupełnieniu rzutów poziomych obróconych punktów B i C otrzymamy rzeczywistą wielkość trójkąta ABC. II

22 g A C B Zadanie: Wyznaczyć rzeczywistą wielkość trójkąta ABC za pomocą kładu. A o d C o B o l B o III A o w C C o II

23 KŁAD trójkąta w położeniu ogólnym Zadanie: Wyznaczyć rzeczywistą wielkość trójkąta ABC za pomocą kładu. x 12 A C B C

24 KŁAD trójkąta w położeniu ogólnym A Wyznaczamy oś kładu krawędź przecięcia się płaszczyzny trójkąta z rzutnią poziomą. C B x 12 C

25 KŁAD trójkąta w położeniu ogólnym A Wyznaczamy rzut poziomy osi kładu. p 1 = l =x 12 C B C

26 KŁAD trójkąta w położeniu ogólnym A Aby można było narysować okrąg obrotu przyjmujemy trzecią rzutnię prostopadle do osi obrotu l. p 1 = l =x 12 C B C x 13

27 KŁAD trójkąta w położeniu ogólnym A Wyznaczamy trzeci rzut punktu A i osi kładu. p 1 = l =x 12 C B C A x 13 =p 1

28 KŁAD trójkąta w położeniu ogólnym A Obracamy punkt A do położenia na rzutnię. p 1 = l =x 12 C B A o C A x 13 =p 1

29 KŁAD trójkąta w położeniu ogólnym A Wyznaczamy obrócony C punkt A w rzucie poziomym na jego płaszczyźnie obrotu. l =x 12 A o B A o C w A x 13

30 KŁAD trójkąta w położeniu ogólnym A Obrócone punkty B i C C można wyznaczyć ze związku powinowactwa. l =x 12 A o B B o I A o C o C II w A x 13

31 KŁAD trójkąta w położeniu ogólnym A Obrócone punkty B i C C można wyznaczyć ze związku powinowactwa. l =x 12 A o B B o I A o C o C II w A x 13

32 Powinowactwo okręgu z elipsą x 12 O O

33 g Powinowactwo okręgu z elipsą x 12 l O O

34 g Powinowactwo okręgu z elipsą x 12 l C O =A =B D C O D

35 g D o Powinowactwo okręgu z elipsą O o =A o =B o x 12 C o l C O =A =B D C O D

36 g D o Powinowactwo okręgu z elipsą O o =A o =B o x 12 A o C o l C O =A =B D D o O o C o C O D B o

37 g D o Powinowactwo okręgu z elipsą O o =A o =B o x 12 A o C o l C O =A =B D D o O o C o C O D B o

38 Powinowactwo okręgu z elipsą E G O o O H F

39 Powinowactwo okręgu z elipsą E o E G F o O o H o O G o H F

40 Powinowactwo okręgu z elipsą IV III E G O o II O I H F

41 Powinowactwo okręgu z elipsą IV III E G O o II O I H F

42 Powinowactwo okręgu z elipsą IV G o E o III E G O o II O I F o H o H F

43 Powinowactwo okręgu z elipsą IV G o E o III E G O o II O I F o H o H F

44 Średnice sprzężone elipsy G o E o O o F o H o

45 D C W Zastosowanie konstrukcji obrotu rozwinięcie ostrosłupa D A =B Do wykreślenia rozwinięcia (siatki) wielościanu musimy uzyskać rzeczywiste wielkości jego krawędzi. W przypadku ostrosłupa będą to krawędzie trójkątnych ścian bocznych oraz krawędzie wielokąta podstawy. C W

46 D C W Zastosowanie konstrukcji obrotu rozwinięcie ostrosłupa D o D C o A =B =l Jeżeli wielokąt podstawy jest w położeniu rzutującym jego rzeczywistą wielkość możemy uzyskać za pomocą kładu. Jako oś kładu przyjmujemy przechodzącą przez odcinek AB prostą celową l. Obracamy punkty C i D do położenia równoległego do rzutni poziomej. C W

47 D C W Zastosowanie konstrukcji obrotu rozwinięcie ostrosłupa D o C o A =B =l w 1 D o D Na odpowiednich płaszczyznach obrotu (w 1 i w 2 ) znajdujemy rzuty poziome obróconych punktów C i D. w 2 C o C W

48 D C W Zastosowanie konstrukcji obrotu rozwinięcie ostrosłupa w 1 D o D o C o D A =B =l Po połączeniu leżących na osi l punktów A i B, oraz obróconych punktów C i D otrzymujemy rzeczywistą wielkość podstawy. w 2 C o C W

49 D W Zastosowanie konstrukcji obrotu rozwinięcie ostrosłupa C D o C o A =B =l W o w 1 D D o Za pomocą kładu można również wyznaczyć rzeczywistą wielkość rzutującej ściany ABW. Osią kładu może być ta sama prosta l. w 2 C o C W W o w 3

50 W Rozwinięcie ostrosłupa w 1 D o D o D C C o D k Rzeczywiste wielkości pozostałych krawędzi ścian bocznych możemy uzyskać przy pomocy obrotu. A =B =l W o Przyjmujemy pionową oś obrotu k przechodzącą przez wierzchołek ostrosłupa i obracamy punkty C i D do położenia równoległego do rzutni (płaszczyzna e). w 2 C o C W =k C o e W o D o

51 W Rozwinięcie ostrosłupa D k C g 2 g 1 D o C o A =B =l W o w 1 D D o Wyznaczamy płaszczyzny obrotu (g 1, g 2 ) punktów C i D. w 2 C o C W =k C o e W o D o

52 W Rozwinięcie ostrosłupa D k D o C C o g 2 g 1 D o C o A =B =l W o w 1 D D o Na odpowiednich płaszczyznach obrotu (g 1, g 2 ) znajdujemy rzuty pionowe obróconych punktów C i D. w 2 C o C W =k C o e W o D o

53 W Rozwinięcie ostrosłupa D k D o C C o g 2 g 1 D o C o A =B =l W o w 1 D D o Obrócone odcinki WC i WD to rzeczywiste wielkości krawędzi. w 2 C o C W =k C o e W o D o

54 W Rozwinięcie ostrosłupa D C k C o D o D A =B =l D D o C o C Dysponując rzeczywistymi wielkościami podstawy i krawędzi konstruujemy siatkę ostrosłupa W =k W o

55 W Rozwinięcie ostrosłupa D C k C o D o D A =B =l D D o C C o C W =k W o

56 W Rozwinięcie ostrosłupa D C k C o D o D A =B =l D D o C C o C W =k W o B

57 P 1 S 1 R 1 Rozwinięcie graniastosłupa P S R x 12 S R Do wykreślenia rozwinięcia (siatki) wielościanu musimy uzyskać rzeczywiste wielkości jego krawędzi. W przypadku graniastosłupa będą to rzeczywiste wielkości równoległoboków ścian bocznych oraz krawędzie wielokątów podstaw. P S 1 R 1 P 1

58 P 1 S 1 R 1 Rozwinięcie graniastosłupa P S R x 12 S R Podstawy PRS i P 1 R 1 S 1 są poziome, a więc ich wielkość rzeczywista jest już podana. P S 1 R 1 P 1

59 P 1 S 1 R 1 Rozwinięcie graniastosłupa P S R S x 12 Krawędzie boczne są równoległe, więc rzeczywistą wielkość wszystkich krawędzi można otrzymać w trzecim rzucie, przyjmując rzutnię równolegle do krawędzi. S R R P S 1 R 1 P 1 P S 1 R 1 x 13 P 1

60 P 1 S 1 R 1 Rozwinięcie graniastosłupa P P S S R R S R x 12 e' P S 1 R 1 P 1 Jednak do konstrukcji równoległoboku długości jego boków to za mało powinniśmy znać jeszcze np. odległość jego przeciwległych krawędzi. W tym celu wyznaczymy przekrój graniastosłupa płaszczyzną e prostopadłą do jego krawędzi. S 1 R 1 x 13 P 1

61 P 1 S 1 R 1 Rozwinięcie graniastosłupa P S R x 12 Aby wyznaczyć rzeczywistą wielkość przekroju przyjmujemy czwartą rzutnię równolegle do płaszczyzny e. S S R R e' P S 1 x 34 P R 1 P 1 r IV s IV S 1 R 1 x 13 p IV P 1

62 P 1 S 1 R 1 P S R x 12 a b c S R S R e' P S 1 Wykreślenie siatki graniastosłupa rozpoczynamy od rozwinięcia linii przekroju prostopadłego. x 34 P S 1 R 1 x 13 R 1 P 1 r IV b c s IV a p IV P 1 Rozwinięcie graniastosłupa

63 P 1 S 1 R 1 Następnie prostopadle do linii przekroju rysujemy proste na których leżą krawędzie graniastosłupa. P S R x 12 S S R R e' P S 1 p s x 34 r p P R 1 P 1 r IV s IV S 1 R 1 x 13 p IV P 1 Rozwinięcie graniastosłupa

64 P 1 S 1 R 1 Odmierzamy końce krawędzi graniastosłupa. P S R x 12 d 1 S d 2 P S R R P S 1 d 1 d 2 e' R 1 P 1 x 34 r IV s IV S 1 R 1 x 13 p IV P 1 Rozwinięcie graniastosłupa

65 P S P 1 S 1 R 1 R S x 12 S R P P Łączymy końce krawędzi graniastosłupa, ponieważ podstawy są równoległe, powinniśmy otrzymać równoległe łamane. S R R e' P S 1 P 1 S 1 R 1 P 1 x 34 P R 1 P 1 r IV s IV S 1 R 1 x 13 p IV P 1 Rozwinięcie graniastosłupa

66 P 1 S 1 R 1 P S R P P S R x 12 Do pobocznicy dorysowywujemy podstawy. S S R R e' P S 1 P 1 S 1 R 1 P 1 x 34 P R 1 P 1 r IV s IV S 1 R 1 x 13 p IV P 1 Rozwinięcie graniastosłupa

67 W Rozwinięcie ostrosłupa D C A =B D C W

68 P 1 S 1 R 1 P S R x 12 S R P S 1 R 1 68 P 1 Rozwinięcie graniastosłupa