O sezonowości mówimy wtedy, gdy zmienna zmienia się w pewnym cyklu zwykle zwiazanym z cyklem rocznym

Transkrypt

1 Sezonowość O sezonowości mówimy wtedy, gdy zmienna zmienia się w pewnym cyklu zwykle zwiazanym z cyklem rocznym Na przykład zmienne kwartalne charakteryzuja się zwykle sezonowościa kwartalna a zmienne miesięczne sezonowościa roczna Sezonowość można uwzględnić w modelu na dwa Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 1

2 sposoby: wstawiajac do modelu zmienne zero jedynkowe zwiazane z każdym kwartałem (miesiacem) stosujac różnicowanie sezonowe: na przykład w przypadku danych miesięcznych 4 y t = y t y t 4 Przykład Poziom P KB w Polsce w latach Zmiany sezonowe maja w tym ptzypadku głównie zwiazek z cyklem inwestycyjnym - największe nakłady inwestycyjne księgowane sa w czwartym kwartale. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 2

3 rpkb q1 1997q3 2000q1 2002q3 2005q1 date P KB w wyrażeniu realnym - deflator CP I Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 3

4 Zmienne stacjonarne i niestacjonarne Zmienna stacjonarna: 1. Wartość oczekiwana równa 0 E (y t ) = 0 2. Wariancja skończona Var (y t ) = σ 2 < Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 4

5 3. Kowariancje zależa jedynie od h - dystansu między realizacjami Cov (y t1, y t1 +h) = Cov (y t2, y t2 +h) = γ h dla dowolnych t, t 1, t 2 i h. Zmienna nazywamy trendostacjonarna jeśli y t E (y t ) jest stacjonarne Często rozpatrywanym przykładem zmiennej stacjonarnego jest biały szum: Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 5

6 1. y t ma rozkład stały w czasie i o wartości oczekiwanej 0 i skończonej wariancji σ 2 2. realizacje y t sa niezależne Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 6

7 3 y(t)=e(t) e(t)=n(0,1) biały szum (zmienna I (0)) Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 7

8 Procesy zintegrowane Szczególnym rodzajem zmiennej stacjonarnej jest zmienna x t I (0). Zmienna I (0) definiuje się jako zmienna stacjonarny, który można przedstawić jako x t = i=0 θ iε t i, gdzie ε i i ε j sa nieskorelowane. Zmienna zinegrowany rzędu d oznaczany jako x t I (d), to taki zmienna, który po zastosowaniu d-tych różnic staje się zmienna stacjonarnym d x t I (0). Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 8

9 Przykład Przykładem zmiennej niestacjonarnej zmienna zachowujaca się zgodnie z modelem bła- dzenia przypadkowego y t = y t 1 + ε t ε t IID ( 0, σ 2) Jeśli podstawimy w tym wzorze za y t 1 = y t 2 + ε t 1, to uzyskamy y t = y t 2 + ε t 1 + ε t Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 9

10 Postępujac rekurencyjnie w ten sposób uzyskamy: y t = y 0 + t s=1 ε s Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 10

11 Jeśli założymy, że y 0 = 0, to E (y t ) = 0 t Var (y t ) = Var (ε s ) = tσ 2 Cov (y t, y t h ) = s=1 t h s=1 Var (ε s ) = (t h) σ 2 Wariancja i kowariancje bładzenia przypadkowego zależa od czasu - zmienna ta jest niestacjonarna! Za- Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 11

12 uważmy, że kowariancje między realizacjami zmiennej maleja bardzo wolno - w przybliżeniu liniowo. Odejmujac od obu stron y t 1 otrzymujemy: y t y t 1 = y t = ε t Po zastosowaniu pierwszych rożnic otrzymaliśmy zmienna zachowujac a się zgodnie z modelem białego szumu - zmienna I (0). Wnioskujemy z tego, że bła- dzenie przypadkowe jest I (1) Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 12

13 0-2.5 y(t)=y(t-1)+e(t) e(t)~n(0,1) bładzenie przypadkowe (zmienna I (1)) Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 13

14 W ekonomii ważne sa jedynie zmienne I (1) i I (2) Wiele procesów w ekonomii wyglada tak na zmienne I (1). W znanym artykule Nelson i Plosser (1982) pokazali, że znaczaca część szeregów makroekonomicznych wyglada na szeregi I (1) W kontekście modelowania za pomoca modeli ARM A problem niestacjonarności wykrywany był za pomoca funkcji ACF i P ACF. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 14

15 Zmienne niestacjonarne charakteryzuja się wysoka korelacja między realizacjami - wolno malejaca funkcja ACF bliska jedności wartościa współczynniki przy pierwszym opóźnieniu - P ACF dla pierwszego opóźnienia bliskie jedności Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 15

16 Autocorrelations of i Lag Bartlett s formula for MA(q) 95% confidence bands Partial autocorrelations of i Lag 95% Confidence bands [se = 1/sqrt(n)] ACF i P ACF dla bładzenia przypadkowego I (1) Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 16

17 Przy modelowaniu ARM A w razie wykrycia niestacjonarności powinno się szereg zróżnicować i modelować pierwsze różnice. W przypadku, kiedy nawet pierwsze różnice wydaja się niestacjonarne należy dalej różnicować - aż do skutku. Model ARM A (p, q) dla zmiennej zróżnicowanej d razy oznacza się jako ARIM A (p, d, q) - AutoRegressive Integrated Moving Avarage. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 17

18 Rzad integracji zmiennej można przetestować za pomoca jednego z testów stacjonarności/niestacjonarnoś (testów na istnienie pierwiastka jednostkowego) Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 18

19 Test Dickey-Fullera (DF ) Badamy, czy zmienna jest niestacjonarna Najprostszy przypadek y t = βy t 1 + ε t H 0 : β = 1, wtedy y t jest niestacjonarna (jest bła- dzeniem przypadkowym - procesem I (1)) Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 19

20 H 1 : β < 1, wtedy y t jest stacjonarna Przekształcajac y t = (β 1) y t 1 + ε t = ρy t 1 + ε t H 0 : ρ = 0, wtedy y t jest niestacjonarna H 0 : ρ ( 2, 0), wtedy y t jest niestacjonarna Hipotezy, że ρ = 0 nie można badać za pomoca Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 20

21 standardowych tablic - używamy do tego specjalnych tablic dla testu DF Sposób przeprowadzania testu: 1. Przeprowadzamy regresję y t na y t 1 2. Porównujemy statystykę t dla y t 1 z wartościami krytycznymi testu DF. Jeśli współczynnik jest mniejszy od wartości krytycznej odrzucamy H 0. Uwaga: W teście Dickey Fullera: H 0 zmienna jest niestacjonarna Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 21

22 H 1 zmienna jest stacjonarna Uwaga: W niektórych tablicach testu DF przed wartościami krytycznymi pomijany jest znak. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 22

23 Rozszerzony test Dickey-Fullera (ADF ) Często w regresji y t = ρy t 1 + ε t występuje autokorelacja Autokorelacja w regresjach z opóźniona zmienna zależna jest bardzo niekorzystna - prowadzi do wystapiniea problemu równoczesności. Stosujemy wtedy test DF z rozszerzeniem (test Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 23

24 ADF - Augmanted Dickey Fuller) y t = ρy t 1 + k i=1 γ i y t i + ε t Ilość opóźnień k dobieramy w taki sposób, by w modelu nie występowała autokorelacja. Sposób uwzględnienia stałej lub trendu w modelu: 1. y t = ρy t 1 + k i=1 γ i y t i + ε t 2. y t = a + ρy t 1 + k i=1 γ i y t i + ε t Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 24

25 3. y t = a + bt + ρy t 1 + k i=1 γ i y t i + ε t Dla każdej z tych możliwości stosuje się inna wersję tablic DF Przykład Realny wzrost P KB w latach , indeks kwartalny - wzrostp KB kwartał do analogicznego kwartału poprzedniego roku. Zauważmy, że przy tak skonstruowanym indeksie (różnicowanie sezonowe), znika sezonowość. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 25

26 PKB q1 1997q3 2000q1 2002q3 2005q1 data Wzrost P KB indeks kwartalny Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 26

27 Autocorrelations of pkb Lag Bartlett s formula for MA(q) 95% confidence bands Partial autocorrelations of pkb Lag 95% Confidence bands [se = 1/sqrt(n)] ACF i P ACF dla indeksu P KB Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 27

28 D.pkb Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] pkb L LD L2D L3D L4D L5D L6D L7D _cons Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlation Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 28

29 Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) * MacKinnon approximate p-value for Z(t) = Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 29

30 Test KPSS (Kwiatkowski, Philips, Schmidt, Shin) Możliwe jest także testowanie stacjonarności za pomoca testów, w których H 0 mówi, że zmienna jest I (0) Tego rodzaju testem test test KP SS W modelu y t = δ + ζ t + ε t Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 30

31 gdzie ε t jest I (0) oraz ζ t = ζ t 1 + u t, i u t IID ( 0, σ 2 u a więc ζ t jest bładzeniem przypadkowym. Testujemy H 0 : σ u = 0 co jest równoważnie hipotezie, że ζ t = 0. Jeśli H 0 jest prawdziwa, bładzenie przypadkowe nie odgrywa roli i y t jest stacjonarne. Jeśli odrzucimy H 0, to musimy przyjać hipotezę al- ) Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 31

32 trenatywna, że proces jest niestacjonarny. Często się zdarza (szczególnie jeśli mamy mało obserwacji), że zarówno H 0 w teście DF (niestacjonarność) jak H 0 w teście KP SS (stacjonarność), nie moga być odrzucone. Sposób pozbywania się wpływu korelacji między ε t jest w przypadku testu KP SS dosyć skomplikowany. Przykład (kontynuacja) Testowanie stacjonanrno- Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 32

33 ści wzrostu P KB KPSS test for pkb Maxlag = 9 chosen by Schwert criterion Autocovariances weighted by Bartlett kernel Critical values for H0: pkb is level stationary 10%: % : %: % : Lag order Test statistic Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 33

34 Dla większej liczby opóźnień nie jesteśmy w stanie odrzucić hipotezy o stacjonarności wzrostu P KB! KPSS test for D.pkb Maxlag = 9 chosen by Schwert criterion Autocovariances weighted by Bartlett kernel Critical values for H0: D.pkb is level stationary 10%: % : %: % : Lag order Test statistic Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 34

35 Pierwsze różnice wzrostu P KB sa niewatpliwie stacjonarne Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 35

36 Procesy skointegrowane O procesach x 1t I (1) i x 2t I (1) mówimy, że sa skointegrowane jeśli istnieje takie β, że x 1t + βx 2t jest I (0). W przypadku wektora x t, jeśli każdy element wektora x t jest I (1), to mówimy, że elementy tego wektora sa skointegrowane wektorem kointegrujacym β, jeśli β x t jest I (0) Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 36

37 Isnieje taka kombinacja liniowa elementów wektora x t, która jest I (0), mimo że elementy tego wektora sa I (1) Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 37

38 y=2+x* *e(t) e(t)~n(0,0.09) x~i(1) zmienne skointegrowane Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 38

39 Regresja pozorna Problem regresji pozornej może się pojawić jeśli zmienne w modelu nie sa I (0) Może to dotyczyć zarówno zmiennych objaśnianych jak i objaśniajacych W regresji ze zmiennymi I (1) uzyskujemy w dużych próbach istotne statystyki t w MNK nawet jeśli zmienna endogeniczna i zmienne egzogeniczne Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 39

40 sa od siebie niezależne. Estymator MNK w takiej regresji jest dalej zgodny. Przeprowadźmy regresję y t na x t, gdzie y t i x t sa niezależnymi procesami I (1). y t = β 0 + β 1 x t + e t Wartości p z rozkładu t-studenta i uzyskane z sy- Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 40

41 mulacji dla hipotezy H 0 : β 1 = 0. p-stwo, że t > t α liczba obserwacji t α t-student symulacja Dla długich obserwacji jest niemal pewne, że t > t α i że w konsekwencji odrzucimy prawdziwa hipotezę zerowa o braku zwiazku między zmiennymi! Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 41

42 Problem regresji pozornej jest potencjalnie bardzo poważny, ponieważ może doprowadzić do zbudowania modelu, w którym zmienne sa caałkowicie niepowiazane ze soba mimo pozornie istotnych statystyk t UWAGA: mimo, że statystyki t maja całkowicie nietypowe rozkłady w przypadku, kiedy zmienna zależna jest I (1) i zmienne niezależne sa I (1), to jednak estymatory współczynników regresji sa zgodne. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 42

43 Proste rozwiazanie problemu regresji pozornej: w przypadku zmiennych I (1) możemy oszacować model na pierwszych różnicach - te będa I (0) więc statystyki t będa miały standardowe rozkłady. Problem: za pomoca regresji na pierwszych różnicach nie da się oszacować równowagi długookresowej: y t = x t β + ε t E (y t y t 1 ) = E (x t x t 1 ) β Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 43

44 i przy założeniu, że y = E (y t ) = E (y t 1 ) =... i x = E (x t ) = E (x t 1 ) =... otrzymujemy mało mówiac a tożsamość 0 = 0β. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 44

45 Mechanizm korekty błędem Praktyczne znaczenie pojęcia kointegracji zwia- zane jest z twierdzeniem Grangera, Twierdzenie Jeśli (y t, x t ) sa skointegrowane, oraz y t i x t sa I (1), to y t można przedstawić w postaci Mechanizmu Korekty Błędem (ECM Error Correction Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 45

46 Mechanism) gdzie y t 1 x t 1 β I (0) k 1 y t = α (y t 1 x t 1 β)+ i=1 k 1 θ i y t i + i=0 x t i γ i +ε t Znaczenie twierdzenia Grangera: umożliwia ono nam interpretacje wektora kointegrujacego jako równowagi długookresowej: Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 46

47 y = E (y t ) =... = E (y t k ) = E ( y t ) =... = E ( y k 1 ) = 0 x = E (x t ) =... = E (x t k ) = E ( x t ) =... = E ( x k 1 ) = 0 a więc z ECM: 0 = α (y x β) Równowaga długookresowa dana wzorem y = Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 47

48 x β jest intepretowana jako taka relacja między zmiennymi, do której zmienne daż a przy braku zakłóceń zwiazanych z zaburzeniami losowymi y t x t β jest odchyleniem od tej równowagi długookresowej. Odchylenie to jest korygowane za pośrednictwem α (y t 1 x t 1 β). Współczynnik α zwiazany jest więc szybkościa dostosowania y t do poziomu równowagi. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 48

49 Współczynniki θ i i γ i zwiazane sa z krótkookresowa dynamika procesu. Do modelu powinniśmy wstawić taka liczbę opóźnionych różnic y t i x t, by wyeliminować autokorelację reszt. Przy ustalaniu k można posłużyć się metoda od ogólnego do szczegółowego badź kryteriami informacyjnymi. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 49

50 Dwustopniowa metoda Engela-Grangera Uwaga: Testowanie kointegracji ma sens jedynie wtedy, gdy y t i wszystkie zmienne zawarte w x t sa I (1). Pierwszym etapem analizy kointegracji musi więc być przetestowanie, czy wszystkie analizowane zmienne sa I (1) Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 50

51 1. Estymujemy równanie na poziomach y t = x t β+ u t otrzymujemy relację długookresowa 1, β. Ponieważ w regresji zmiennej I (1) na I (1) oszacowanie β jest zgodne więc reszty û t stanowia dobre oszacowanie błędów losowych u t. 2. Przeprowadzamy test DF dla û t : jeśli û t stacjonarne to występuje kointegracja Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 51

52 3. Rozkład statystyki testu DF w przypadku testowania kointegracji zależy od liczby zmiennych objaśniajacych zawartych w wektorze x t. 4. Szacujemy ECM z wykorzustujac otrzymane β y t = α ( ) y t 1 x t 1 β + k 1 k 1 θ i y t i + x t i γ i +ɛ t i=1 i=0 Tak uzyskane estymatory parametrów α i β sa zgodne ale nieefektywne Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 52

53 Istnieja także inne metody szacowania współczynników w ECM Przykład Badamy istnienie kointgracji między realnym wzrostem spożycia indywidualnego gospodarstw domowych i realnym wzrostem P KB. Używamy danych kwartalnych , wzrost liczony kwartał do analogicznego kwartału. Wyliczony wcześniej test ADF wskazał, że P KB jest niestacjonarne. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 53

54 Wynik testu ADF dla pierwszych różnic P KB: Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) * MacKinnon approximate p-value for Z(t) = Wniosek: P KB niestacjonarne, P KB stacjonarne = P KB I (1) Podobnie dla spożycia indywidualnego dla poziomów otrzymujemy Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 54

55 Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) * MacKinnon approximate p-value for Z(t) = A dla pierwszych różnic: Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) * MacKinnon approximate p-value for Z(t) = Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 55

56 Wynika z tego, że spożycie indywidualne jest też I (1) Kointegracja między zmiennymi jest możliwa! Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 56

57 PKB/Spoz_ind q1 1997q3 2000q1 2002q3 2005q1 data PKB Spoz_ind zmienna P KB i spożycie indywidualne Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 57

58 Pierwszy stopień procedury Engla-Grangera - regresja P KB na stałej i spożyciu indywidualnym Source SS df MS Number of obs = F( 1, 33) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = spoz_ind Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] pkb _cons Tworzymy reszty i przeprowadzamy dla nich test Dickey-Fullera: Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 58

59 Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) * MacKinnon approximate p-value for Z(t) = Uzyskane automatycznie wartości krytyczne testu nie sa prawidłowe (dotycza przypadku testowania rzędu integracji) Znajdujemy prawidłowa wartość p =.0319 < 0.05 Odrzucamy hipotezę zerowa o niestacjonarności Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 59

60 reszt i przyjmujemy hipotezę alternatywna o ich stacjonarności - między zmiennymi występuje kointegracja! Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 60

61 Szacujemy ECM Source SS df MS Number of obs = F( 1, 32) = 3.00 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D.spoz_ind Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ecm L _cons Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlation Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 61

62 Wynik testu Breuscha-Godfreya wskazuje na to że nia potrzeby wstawiania do ECM dodatkowych elementów zwiazanych z opóźnionymi poerwszymi różnicami x t i y t. Wspołczynnik przy ecm wskazuje na to, 25% różnicy między zależnościa długokresowa a aktualnymi wartościami y t i x t jest redukowana w ciagu jednego kwartału. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 62

63 Residuals q1 1997q3 2000q1 2002q3 2005q1 data odchylania od stanu równowagi - zmienna ecm Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 63