Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie"

Transkrypt

1 Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 1: Opis ogólny i plan pracy Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych i prognozowanie (13201); Kierunek studiów: Finanse i rachunkowość, Metody ilościowe w ekonomii i systemy informacyjne Studia I stopnia/studia II stopnia Opracowała: dr hab. Ewa M. Syczewska, Instytut Ekonometrii, Kolegium Analiz Ekonomicznych SGH Warszawa, 2011

2 I. Informacje wstępne Na zagadnienie niestacjonarności ekonomicznych szeregów czasowych zwrócono uwagę, gdy okazało się, że próby prognozowania zmiennych makroekonomicznych i finansowych na podstawie regresji liniowych nie zdały egzaminu mimo iż model pomyślnie przechodził proces weryfikacji, prognozy uzyskane na jego podstawie nie zgadzały się z rzeczywistością, a rozbieżność wydawała się trudna do wytłumaczenia. Problem (tzw. regresja pozorna) został zbadany i wyjaśniony przez C.W.J. Grangera przyczyną była niestacjonarność zmiennych, typowa dla wielkości makroekonomicznych i finansowych. Wyobraźmy sobie wykres notowań akcji lub indeksów giełdowych, a będziemy mieć przykład zmiennej niestacjonarnej. Sposób postępowania zmierzający do uzyskania sensownych modeli ekonometrycznych powinien uwzględniać testowanie niestacjonarności zmiennych jako jeden z elementów procesu wyboru postaci modelu. Najprostszym testem stosowanym do badania niestacjonarności zmiennych jest test Dickeya-Fullera, wykorzystujący regresję przyrostów zmiennej względem jej opóźnionych wartości, a w przypadku autokorelacji składnika losowego regresję uzupełnioną o opóźnione wartości przyrostów. Test ten można przeprowadzić nawet w arkuszu kalkulacyjnym (zob. przykład dla obligacji w załączonym arkuszu Excela) pod warunkiem, że dysponujemy tablicami wartości krytycznych (w załączeniu przykładowy fragment tablic testu Dickeya-Fullera). Wygodniej jest jednak wykorzystać pakiety ekonometryczne, np. gretl. Tutaj test wywołujemy odpowiednim poleceniem z menu programu, uczymy się dobierać postać regresji i interpretować wyniki testu. Następna ważna kwestia po sprawdzeniu niestacjonarności poszczególnych zmiennych dotyczy kwestii budowy modelu dla tych zmiennych, umożliwiającego sensowne prognozowanie. Jest to związane z pojęciem kointegracji zmiennych jeśli zmienne są skointegrowane, to istnieje między nimi silny związek, który powoduje, że mimo że są niestacjonarne, jednak pewna zależność (opisana jako kombinacja liniowa) jest stacjonarna. Intuicyjnie: jeśli zmienna jest stacjonarna, to będzie się w przyszłości zachowywała podobnie jak do tej pory, więc gdy znajdziemy stacjonarną kombinację liniową badanych zmiennych, możemy na tej podstawie sensownie prognozować. Najprościej jest sprawdzić, czy wybrana kombinacja liniowa jest stacjonarna, przy użyciu testu Dickeya-Fullera. Można jednak zastosować bardziej skomplikowaną algebraicznie, ale skuteczniejszą metodę Johansena. Obie te metody są dostępne w pakiecie gretl (i w innych pakietach ekonometrycznych). 2

3 II. Harmonogram/scenariusz realizacji/kolejność działań 1. Moderator omawia materiał teoretyczny, przedstawia cechy wybranych zmiennych stacjonarnych i niestacjonarnych (makroekonomicznych oraz finansowych). Należy zwrócić uwagę na zachowanie i cechy charakterystyczne zmiennej oraz jej przyrostów, obserwowane na wykresach. 2. Studenci oceniają i analizują cechy charakterystyczne wybranych szeregów czasowych obserwacji zmiennych oraz ich przyrostów, sporządzają wykresy funkcji autokorelacji i autokorelacji cząstkowej dla zmiennych oraz formułują wstępne wnioski co do jakościowych cech tych wykresów. 3. Estymacja w wybranym pakiecie ekonometrycznym (np. gretl) regresji przyrostów zmiennej względem zmiennej opóźnionej, czyli najprostszej wersji regresji testu Dickeya-Fullera. Testowanie niestacjonarności zmiennej oraz jej przyrostów. 4. Zastosowanie dostępnego w pakiecie testu Dickeya-Fullera do zmiennej i do jej przyrostów, porównanie wariantów testu (z wyrazem wolnym, z wyrazem wolnym i trendem), kwestia wyboru wariantu. 5. Na podstawie wyników punktu 4. należy sformułować wnioski dotyczące stopnia integracji zmiennej. Porównać je z przypuszczeniami sformułowanymi w punkcie 2, na podstawie cech jakościowych wykresów zmiennych. 6. Przeprowadzenie testowania kointegracji zmiennych metodą Engle a-grangera: a. Estymacja MNK regresji jednej ze zmiennych względem pozostałych. b. Testowanie stacjonarności reszt tej regresji. c. Sformułowanie wniosków co do kointegracji zmiennych. d. Sprawdzenie wyników przy użyciu odpowiednich narzędzi zawartych w pakiecie. 7. Ewentualnie przeprowadzenie testowania kointegracji metodą Johansena. 8. Studenci formułują wnioski co do wyników testowania niestacjonarności, starając się nawiązać do cech badanych zmiennych ekonomicznych. 9. Moderator wyjaśnia zależności między występowaniem kointegracji zmiennych a istnieniem stabilnej dynamicznej równowagi ekonomicznej. Interpretacja wyników testu Johansena. 10. Studenci przedstawiają wyniki otrzymane dla badanych przez siebie zmiennych. 11. Ocena końcowa pracy studentów omówienie zajęć przez prowadzącego. 3

4 III. Opis przypadku/sytuacji Ponieważ omawiane testy są zaimplementowane w programie gretl, więc możemy wykorzystać zbiory danych (makroekonomicznych i finansowych) w formacie gretl i zilustrować sposób przeprowadzenia testów na tym przykładzie. Test ADF można również przeprowadzić w arkuszu Excela, pod warunkiem dysponowania odpowiednimi tablicami wartości krytycznych. Program gretl można zainstalować pobierając odpowiednie pliki ze strony prof. Tadeusza Kufla oprócz plików instalacyjnych pakietu gretl są tam umieszczone dodatkowe pliki zawierające m.in. dane dla gospodarki Polski. Podajemy przykład zastosowania testów ADF i KPSS dla jednego z nich. Plan działania: 1) Sprawdzamy cechy jakościowe zmiennej na podstawie jej wykresu. 2) Testujemy niestacjonarność zmiennej przy użyciu prostej wersji testu Dickeya-Fullera w arkuszu Excela. 3) Testujemy niestacjonarność zmiennej w gretl, przy użyciu testu ADF. 4) Testujemy kointegrację dwu zmiennych w gretl, przy użyciu metody Engle a-grangera. 4

5 ld_wig20zam 1. Zachowanie niestacjonarnych szeregów czasowych Zmienna stacjonarna powinna mieć stałą wartość oczekiwaną, stałą wariancję a współczynniki korelacji dla obserwacji z różnych okresów zależą tylko od różnicy między tymi okresami. Sprawdzenie warunków może wymagać pewnych testów i obliczeń, jednak niektóre cechy można zaobserwować na wykresach zmiennych. Np. dochód do dyspozycji gospodarstw domowych oraz konsumpcja zagregowana, obie zmienne w ujęciu realnym, są przedstawione na rys. 1. Widać, że podlegają trendowi wzrostowemu, zatem wartość oczekiwana nie jest stała w czasie. Rys. 1. Wykres konsumpcji i dochodu do dyspozycji gospodarstw domowych, w ujęciu realnym realcons realdpi Wykres na rys. 2 ilustruje inny przypadek: są to zwroty logarytmiczne notowań indeksu WIG20, widoczne jest charakterystyczne dla zmiennych finansowych tego typu tzw. grupowanie wariancji (okresy mniejszych i większych wahań następujących po sobie). Wartość oczekiwana jest stała, zmienna jest wariancja. Rys. 2. Zwroty logarytmiczne zmiennej WIG20, notowań zamknięcia

6 Rozszerzenie: Dodatkowym wykresem ilustrującym zachowanie szeregu jest wykres funkcji autokorelacji z próby, ACF. W gretl wywołujemy go poleceniem korelogram. Dla zmiennych stacjonarnych współczynniki korelacji maleją wraz ze wzrostem opóźnień, dla zmiennych niestacjonarnych wygasanie jest bardzo powolne to może być oznaką występowania pierwiastka jednostkowego: Rys. 3. Wykres funkcji autokorelacji z próby dla notowań WIG20. ACF dla zmiennej WIG20zam /T^ opónienia PACF dla zmiennej WIG20zam /T^ opónienia 2. Test pierwiastka jednostkowego Dickeya-Fullera w Excelu Test pierwiastka jednostkowego jest na tyle prosty, że można go przeprowadzić nawet w arkuszu kalkulacyjnym, lub dowolnym pakiecie zawierającym estymację regresji metodą najmniejszych kwadratów. Trzeba tylko wykorzystać odpowiednie tablice wartości krytycznych. W przykładowym arkuszu podane są dzienne notowania obligacji brytyjskich, japońskich, amerykańskich i zachodnioniemieckich. Każdy szereg liczy 960 obserwacji. Należy wyznaczyć przyrosty zmiennej (np. notowań obligacji brytyjskich) oraz zmienną opóźnioną. Następnie szacujemy regresję przyrostów względem zmiennej opóźnionej i sprawdzamy, jaka jest wartość statystyki obliczanej tak jak iloraz typu t Studenta, tzn. jako iloraz oceny parametru przez błąd szacunku. Porównujemy ją z wartościami krytycznymi z tablic testu ADF. 6

7 Rys. 4. Regresja w Excelu dla testu ADF dla obligacji brytyjskich Wyniki pierwszej regresji w Excelu są następujące (czerwonym kolorem zaznaczono poprawione terminy). Oszacowano regresję przyrostów reszt względem reszt opóźnionych, czyli wersję z wyrazem wolnym. Statystyka t Studenta oznacza, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, mówiącej że wyraz wolny jest równy zeru. Ocena parametru Błąd standardowy Statystyka t Studenta Poziom istotności Wyraz wolny 0,0313 0,0298 1,0481 0,2949 BONDUK_1-0,0028 0,0029-0,9649 0,3348 Dlatego oszacowano drugą regresję, bez wyrazu wolnego.: Ocena Błąd Statystyka Poziom parametru standardowy t Studenta istotności Przecięcie 0 #N/D! #N/D! #N/D! BONDUK_1 0, , , ,

8 Interesuje nas wartość statystyki ADF = 0,7433. Jest ona dodatnia, a więc większa niż wartość krytyczna odczytana z tablic dla testu ADF, która jest ujemna. Ponieważ wartość obliczona statystyki ADF jest większa niż wartość krytyczna dla odpowiedniej liczby obserwacji i przyjętego poziomu istotności, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że badany szereg jest niestacjonarny. Następnym krokiem jest testowanie niestacjonarności przyrostów zmiennej. 3. Test pierwiastka jednostkowego i test stacjonarności w gretl Mamy do wyboru test ADF (rozszerzony test Dickeya-Fullera), dla którego hipoteza zerowa zakłada niestacjonarność szeregu spowodowaną występowaniem pierwiastka jednostkowego, oraz test Kwiatkowskiego, Phillipsa, Schmidta i Shina (KPSS), w którym hipoteza zerowa zakłada stacjonarność szeregu. Wywołanie testów w gretl: Zmienna Test ADF Po wywołaniu testu ADF można wybrać odpowiednie opcje: a) Dobieramy maksymalną liczbę opóźnień przyrostów zmiennej w regresji testu ADF (w przykładzie: 10 opóźnień) b) Wybieramy odpowiednią wersję regresji testu ze stałą, stałą i trendem liniowym lub stałą i trendem kwadratowym; c) Warto wybrać opcję testowania przez program odpowiedniej liczby opóźnień; d) Zaznaczamy, czy test ma być przeprowadzony dla zmiennej, czy dla przyrostów: 8

9 Wyniki testu ADF dla stopy bezrobocia oraz dla zmian stopy bezrobocia są następujące: Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla rzędu opóźnienia 1, dla zmiennej bezrob liczebność próby 118 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test z wyrazem wolnym (const) model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0,145 estymowana wartość (a-1) wynosi: -0, Statystyka testu: tau_c(1) = -0, asymptotyczna wartość p = 0,7976 z wyrazem wolnym i trendem liniowym model: (1 - L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0,148 estymowana wartość (a-1) wynosi: -0, Statystyka testu: tau_ct(1) = -0, asymptotyczna wartość p = 0,9559 Wartości p z pracy MacKinnon (Journal of Applied Econometrics, 1996) Obliczona wartość statystyki testu jest większa niż wartość krytyczna odczytana z tablic (w Gretlu wykorzystywane są automatycznie asymptotyczne wartości krytyczne, ale dla skończonej liczby obserwacji możemy posłużyć się wartościami krytycznymi np. z książki Charemzy i Deadmana). 9

10 Empiryczny poziom istotności (ang. p-value) jest to prawdopodobieństwo uzyskania obliczonej wartości statystyki testu przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Jeśli to prawdopodobieństwo jest niewielkie (np. mniejsze niż 0,05), hipotezę zerową należy odrzucić. W naszym przykładzie prawdopodobieństwo (dla obu wersji testu) jest duże, nie ma zatem podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o niestacjonarności stopy bezrobocia. Wywołujemy następnie procedurę ADF dla przyrostów zmiennej nie trzeba czynić tego dla obliczonych wcześniej przyrostów, wystarczy zaznaczyć odpowiednią opcję w teście ADF w gretl: W przypadku badania niestacjonarności przyrostów nie ma potrzeby uwzględniania trendu w równaniu regresji. Wyniki testu ADF dla zmian stopy bezrobocia są następujące: Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla rzędu opóźnienia 1, dla zmiennej d_bezrob liczebność próby 117 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test z wyrazem wolnym (const) model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,022 estymowana wartość (a-1) wynosi: -0, Statystyka testu: tau_c(1) = -5,89422 asymptotyczna wartość p = 2,143e-007 Wartości p z pracy MacKinnon (Journal of Applied Econometrics, 1996) 10

11 Jak widać, hipotezę zerową o niestacjonarności przyrostów należy odrzucić. W sumie: ponieważ stopa bezrobocia jest niestacjonarna, a jej pierwsze przyrosty są stacjonarne, więc stopa bezrobocia jest zmienną zintegrowaną stopnia 1. Wyniki testu KPSS dla stopy bezrobocia i dla inflacji są następujące: Równanie regresji testu KPSS (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt i Shin) Estymacja KMNK z wykorzystaniem 120 obserwacji 1993: :12 Zmienna zależna: bezrob Zmienna Współczynnik Błąd stand. Statystyka t Wartość p const 14,0026 0, ,717 <0,00001 *** time 0, , ,626 0,53243 Odporna estymacja wariancji (robust): 27,3697 Suma kwadratów dla skumulowanych reszt: Hipoteza zerowa: proces stacjonarny; test KPSS dla zm. bezrob (z trendem) Parametr rzędu opóźnienia (lag truncation) = 4 Statystyka testu = 0, % 5% 2,5% 1% Krytyczna wart.: 0,119 0,146 0,176 0,216 Równanie regresji testu KPSS (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt i Shin) Estymacja KMNK z wykorzystaniem 119 obserwacji 1993: :12 Zmienna zależna: d_bezrob Zmienna Współczynnik Błąd stand. Statystyka t Wartość p const 0, , ,173 0,24317 Odporna estymacja wariancji (robust): 0,20524 Suma kwadratów dla skumulowanych reszt: 1237,53 Hipoteza zerowa: proces stacjonarny; test KPSS dla zm. d_bezrob (bez trendu) Parametr rzędu opóźnienia (lag truncation) = 4 Statystyka testu = 0, % 5% 2,5% 1% Krytyczna wart.: 0,347 0,463 0,574 0,739 Obliczona wartość statystyki testu KPSS dla stopy bezrobocia jest większa niż wartość krytyczna. Zatem stopa bezrobocia nie jest stacjonarna. Obliczona wartość statystyki testu KPSS dla zmian stopy bezrobocia jest mniejsza niż asymptotyczna wartość krytyczna przy poziomie istotności 0,05. Zatem zmiany stopy bezrobocia są stacjonarne. Oba testy dają tę samą odpowiedź: zmienna jest zintegrowana stopnia I(1), tzn. jest niestacjonarna, ale można ją sprowadzić do stacjonarnej przez policzenie pierwszych różnic. 11

12 Polecenie: Poniżej podane są wyniki testu ADF oraz testu stacjonarności KPSS dla zmiennej produkcja. Proszę odpowiedzieć na pytanie, czy zmienna ta jest niestacjonarna, odpowiedź uzasadnić. Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla rzędu opóźnienia 1, dla zmiennej produk liczebność próby 118 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test z wyrazem wolnym (const) model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,086 estymowana wartość (a-1) wynosi: -0, Statystyka testu: tau_c(1) = -1,30176 asymptotyczna wartość p = 0,6311 z wyrazem wolnym i trendem liniowym model: (1 - L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,029 estymowana wartość (a-1) wynosi: -0, Statystyka testu: tau_ct(1) = -3,92024 asymptotyczna wartość p = 0,0113 Wartości p z pracy MacKinnon (Journal of Applied Econometrics, 1996) Równanie regresji testu KPSS (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt i Shin) Estymacja KMNK z wykorzystaniem 120 obserwacji 1993: :12 Zmienna zależna: produk Zmienna Współczynnik Błąd stand. Statystyka t Wartość p const 9924,62 423,606 23,429 <0,00001 *** time 290,165 6, ,754 <0,00001 *** Odporna estymacja wariancji (robust): 1,61402e+007 Suma kwadratów dla skumulowanych reszt: 8,94651e+010 Hipoteza zerowa: proces stacjonarny; test KPSS dla zm. produk (z trendem) Parametr rzędu opóźnienia (lag truncation) = 4 Statystyka testu = 0, % 5% 2,5% 1% Krytyczna wart.: 0,119 0,146 0,176 0, Przykład stabilnej zależności ekonomicznej Przykładem stabilnej zależności ekonomicznej jest zależność między konsumpcją zagregowaną a dochodem do dyspozycji gospodarstw domowych. Wyraz wolny regresji konsumpcji względem dochodu to konsumpcja autonomiczna (niezależna od dochodu), parametr przy dochodzie wyraża krańcową skłonność do konsumpcji. Jest ona stała dla danego społeczeństwa, na ogół w przedziale od 0,6 do 0,9. 12

13 Polecenie: Proszę otworzyć w gretlu plik danych greene5_1.gdt i oszacować regresję realcons względem realgdp. Zapisać reszty regresji pod nazwą uhat1. Następnie zastosować do nich test ADF i test KPSS. Odpowiedzieć na pytania: a) Jaka jest ocena krańcowej skłonności do konsumpcji? Czy jest zgodna z intuicją ekonomiczną? b) Czy reszty regresji konsumpcji względem dochodu są stacjonarne? Jakie wnioski można sformułować o występowaniu kointegracji zmiennych? 5. Metoda Engle a Grangera w gretl Zamiast szacować osobno regresję metodą najmniejszych kwadratów, można dla tych samych zmiennych wywołać gotową procedurę testowania kointegracji metodą Engle a-grangera lub Johansena. Odpowiednie polecenie to: Model Modele szeregów czasowych Testy kointegracji Test Engle a-grangera. Ważna jest kolejność wyboru zmiennych w naszym przykładzie jako pierwszą wybieramy konsumpcję. Rezultatem jest tablica zawierająca a) wyniki testu ADF dla każdej ze zmiennych w regresji, b) oszacowanie regresji konsumpcji względem dochodu, c) wyniki testu ADF dla reszt regresji. Krok 1: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej realcons Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu realcons dla opóźnienia rzędu 3 procesu (1-L)realcons liczebność próby 199 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test z wyrazem wolnym (const) 13

14 model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: opóźnione różnice: F(3, 194) = [0.0000] estymowana wartość (a-1) wynosi: Statystyka testu: tau_c(1) = asymptotyczna wartość p = 1 Krok 2: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej realgdp Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu realgdp dla opóźnienia rzędu 2 procesu (1-L)realgdp liczebność próby 199 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test z wyrazem wolnym (const) model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: opóźnione różnice: F(2, 195) = [0.0001] estymowana wartość (a-1) wynosi: Statystyka testu: tau_c(1) = asymptotyczna wartość p = 1 Krok 3: równanie kointegrujące Równanie kointegrujące - Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1950:1-2000:4 (N = 204) Zmienna zależna: realcons współczynnik błąd standardowy t-studenta wartość p const e-058 *** realgdp *** Średn.aryt.zm.zależnej Odch.stand.zm.zależnej Suma kwadratów reszt Błąd standardowy reszt Wsp. determ. R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat Logarytm wiarygodności Kryt. inform. Akaike'a Kryt. bayes. Schwarza Kryt. Hannana-Quinna Autokorel.reszt - rho Stat. Durbina-Watsona Krok 4: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej uhat Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu uhat dla opóźnienia rzędu 3 procesu (1-L)uhat liczebność próby 199 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: opóźnione różnice: F(3, 195) = [0.1023] estymowana wartość (a-1) wynosi: Statystyka testu: tau_c(2) = asymptotyczna wartość p =

15 Kointegracja występuje, jeżeli każdy wykorzystywany proces jest I(1), tzn. hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym nie jest odrzucana oraz proces resztowy(uhat) z równania kointegrującego nie jest zintegrowany I(0), tzn. hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym jest odrzucana. Polecenie: Proszę przeanalizować podane wyniki testu kointegracji w gretl, skomentować a) wartość oceny Krańcowej Skłonności do Konsumpcji b) wartość oceny wyrazu wolnego c) możliwość występowania kointegracji. 7. Przykładowe zadania sprawdzające Zadanie 1. Analizując związek między pieniądzem m i dochodem y pewien ekonometryk oszacował metodą najmniejszych kwadratów następujące równanie regresji na podstawie 25 obserwacji rocznych. (Dane wyrażone są w ujęciu realnym i w logarytmach.) mt 0,858yt ut, (5,31) R 2 = 0,80; DW = 0,75; ADF(u) = 1,75; ADF(m) = 3,22; ADF(y) = 4,31. W nawiasie podano wartość statystyki t Studenta, DW jest statystyką Durbina-Watsona dla reszt, ADF jest wartością rozszerzonego testu Dickeya-Fullera dla odpowiedniej zmiennej. Wartość krytyczna testu DF wynosi 3,8. Na podstawie powyższych wyników stwierdzić, czy: (a) szeregi m i y są zintegrowane tego samego stopnia? (b) Szeregi m i y są skointegrowane? (c) Czy ma sens szacowanie modelu dla pierwszych przyrostów, z uwzględnieniem mechanizmu korekty błędu lub bez niego? Zadanie 2. Oszacowano regresję zmiennej Y względem zmiennej X. Zastosowano test Dickeya- Fullera w celu zbadania niestacjonarności zmiennych oraz reszt regresji. Obliczone wartości statystyki ADF oraz wartość krytyczna podane są w tabeli: Dla Y: Dla X: Dla reszt regresji: Wartość krytyczna 0,27 1,12 3,91 3,87 Czy prawdziwe są następujące stwierdzenia? Odpowiedź uzasadnij. a) Zmienna Y oraz zmienna X są niestacjonarne. 15

16 b) Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o niestacjonarności reszt regresji. c) Reszty regresji są stacjonarne, a więc zmienne Y i X są skointegrowane. IV. Wymagane rezultaty pracy i ich forma Rezultatem pracy będzie krótki (kilkustronicowy) raport z opisem przeprowadzonych procedur, zawierający odpowiedzi na postawione pytania. 16

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 3: Przykłady testowania niestacjonarności Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza

Bardziej szczegółowo

1. Stacjonarnośd i niestacjonarnośd szeregów czasowych 2. Test ADF i test KPSS 3. Budowa modeli ARMA dla zmiennych niestacjonarnych 4.

1. Stacjonarnośd i niestacjonarnośd szeregów czasowych 2. Test ADF i test KPSS 3. Budowa modeli ARMA dla zmiennych niestacjonarnych 4. 1. Stacjonarnośd i niestacjonarnośd szeregów czasowych 2. Test ADF i test KPSS 3. Budowa modeli ARMA dla zmiennych niestacjonarnych 4. Prognozowanie stóp zwrotu na podstawie modeli ARMA 5. Relacje kointegrujące

Bardziej szczegółowo

4. Średnia i autoregresja zmiennej prognozowanej

4. Średnia i autoregresja zmiennej prognozowanej 4. Średnia i autoregresja zmiennej prognozowanej 1. Średnia w próbie uczącej Własności: y = y = 1 N y = y t = 1, 2, T s = s = 1 N 1 y y R = 0 v = s 1 +, 2. Przykład. Miesięczna sprzedaż żelazek (szt.)

Bardziej szczegółowo

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Model wektorowej autoregresji rzędu p, VAR(p), ma postad gdzie oznacza wektor zmiennych endogenicznych modelu. Model VAR jest stabilny, jeżeli dla, tzn. wielomian

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 1. Czy wykresy zmiennych sugerują, że zmienne są stacjonarne. Czy występuje sezonowość?

Zadanie 1 1. Czy wykresy zmiennych sugerują, że zmienne są stacjonarne. Czy występuje sezonowość? Zadanie 1 1. Czy wykresy zmiennych sugerują, że zmienne są stacjonarne. Czy występuje sezonowość? Wykres stopy bezrobocia rejestrowanego w okresie 01.1998 12.2008, dane Polskie 22 20 18 16 stopa 14 12

Bardziej szczegółowo

STUDIA I STOPNIA EGZAMIN Z EKONOMETRII

STUDIA I STOPNIA EGZAMIN Z EKONOMETRII NAZWISKO IMIĘ Nr albumu Nr zestawu Zadanie 1. Dana jest macierz Leontiefa pewnego zamkniętego trzygałęziowego układu gospodarczego: 0,64 0,3 0,3 0,6 0,88 0,. 0,4 0,8 0,85 W okresie t stosunek zuŝycia środków

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE

EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE ZADANIE 1 Oszacowano zależność między luką popytowa a stopą inflacji dla gospodarki niemieckiej. Wyniki estymacji są następujące: Estymacja KMNK,

Bardziej szczegółowo

Proces modelowania zjawiska handlu zagranicznego towarami

Proces modelowania zjawiska handlu zagranicznego towarami Załącznik nr 1 do raportu końcowego z wykonania pracy badawczej pt. Handel zagraniczny w województwach (NTS2) realizowanej przez Centrum Badań i Edukacji Statystycznej z siedzibą w Jachrance na podstawie

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 15-16

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 15-16 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Zajęcia 15-16 1 1. Sezonowość 2. Zmienne stacjonarne 3. Zmienne zintegrowane 4. Test Dickey-Fullera 5. Rozszerzony test Dickey-Fullera 6. Test KPSS 7. Regresja pozorna

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu: 1) Pojęcie stacjonarności i niestacjonarności zmiennych 2) Testowanie integracji 3) Pojęcie kointegracji metoda Engle a-grangera.

Plan wykładu: 1) Pojęcie stacjonarności i niestacjonarności zmiennych 2) Testowanie integracji 3) Pojęcie kointegracji metoda Engle a-grangera. 1 Plan wykładu: 1) Pojęcie stacjonarności i niestacjonarności zmiennych 2) Testowanie integracji 3) Pojęcie kointegracji metoda Engle a-grangera. Pojęcie stacjonarności i niestacjonarności zmiennych Szereg

Bardziej szczegółowo

Model 1: Estymacja KMNK z wykorzystaniem 32 obserwacji 1964-1995 Zmienna zależna: st_g

Model 1: Estymacja KMNK z wykorzystaniem 32 obserwacji 1964-1995 Zmienna zależna: st_g Zadanie 1 Dla modelu DL dla zależności stopy wzrostu konsumpcji benzyny od stopy wzrostu dochodu oraz od stopy wzrostu cen benzyny w latach 1960 i 1995 otrzymaliśmy następujące oszacowanie parametrów.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Na podstawie danych kwartalnych z lat oszacowano następujący model (w nawiasie podano błąd standardowy oszacowania):

Zadanie 3 Na podstawie danych kwartalnych z lat oszacowano następujący model (w nawiasie podano błąd standardowy oszacowania): Zadanie 1 Fabryka Dolce Vita do produkcji czekolady potrzebuje nakładów kapitału i siły roboczej. Na podstawie historycznych danych o wielkości produkcji oraz nakładów czynników produkcji w tej fabryce

Bardziej szczegółowo

Materiał dla studentów Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA (na przykładzie zwrotów z instrumentów finansowych)

Materiał dla studentów Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA (na przykładzie zwrotów z instrumentów finansowych) Materiał dla studentów Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA (na przykładzie zwrotów z instrumentów finansowych) (studium przypadku) Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja

Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym Przyczynowość w sensie Grangera Zmienna x jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y jeżeli

Bardziej szczegółowo

3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu

3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu 3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu 1. Metody analizy własności szeregu czasowego obserwacji 1.1. Analiza wykresu szeregu czasowego 1.2. Analiza statystyk opisowych zmiennej prognozowanej

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Analiza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817

Analiza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817 Analiza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817 Zadanie 1: wiek 7 8 9 1 11 11,5 12 13 14 14 15 16 17 18 18,5 19 wzrost 12 122 125 131 135 14 142 145 15 1 154 159 162 164 168 17 Wykres

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13

Stanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13 Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka Zajęcia 13 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych

Bardziej szczegółowo

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych. Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.

Bardziej szczegółowo

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności. TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia IV

Ćwiczenia IV Ćwiczenia IV - 17.10.2007 1. Spośród podanych macierzy X wskaż te, których nie można wykorzystać do estymacji MNK parametrów modelu ekonometrycznego postaci y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ε 2. Na podstawie

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego

Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego Przykład. Firma usługowa świadcząca usługi doradcze w ostatnich kwartałach (t) odnotowała wynik finansowy (yt - tys. zł), obsługując liczbę klientów (x1t)

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

1 Modele ADL - interpretacja współczynników

1 Modele ADL - interpretacja współczynników 1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać

Bardziej szczegółowo

Przykład 2. Stopa bezrobocia

Przykład 2. Stopa bezrobocia Przykład 2 Stopa bezrobocia Stopa bezrobocia. Komentarz: model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Podobnie jak model podaŝy pieniądza zbudowany został w

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność

Bardziej szczegółowo

7.4 Automatyczne stawianie prognoz

7.4 Automatyczne stawianie prognoz szeregów czasowych za pomocą pakietu SPSS Następnie korzystamy z menu DANE WYBIERZ OBSERWACJE i wybieramy opcję WSZYSTKIE OBSERWACJE (wówczas wszystkie obserwacje są aktywne). Wreszcie wybieramy z menu

Bardziej szczegółowo

Wykład z Nowej ekonometrii, 7 marca 2006:

Wykład z Nowej ekonometrii, 7 marca 2006: Wykład z Nowej ekonometrii, 7 marca 2006: Na mojej stronie internetowej podane są pliki z danymi: http://akson.sgh.waw.pl/~ewams/mills.zip http://akson.sgh.waw.pl/~ewams/mills_obligacje.xls dane z pierwszego

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych 3.1. Estymacja parametrów i ocena dopasowania modeli z jedną zmienną 23. Właściciel komisu w celu zbadania

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 1

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT

Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT 04-02-2016 Pytania teoretyczne 1. Za pomocą jakiego testu weryfikowana jest normalność składnika losowego? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada w tym teście? Jakie

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE

Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Ekonometria szeregów czasowych Procesy stochastyczne Stacjonarność i biały szum Niestacjonarność:

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015

Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015 Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015 Nr indeksu... Imię i Nazwisko... Nr grupy ćwiczeniowej... Imię i Nazwisko prowadzącego... 1. Specyfikacja modelu

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Kufel Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Narzędzia ekonometrii dynamicznej w oprogramowaniu GRETL

Tadeusz Kufel Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Narzędzia ekonometrii dynamicznej w oprogramowaniu GRETL DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 2005 w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona

2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona Sprawdzanie założeń przyjętych o modelu (etap IIIC przyjętego schematu modelowania regresyjnego) 1. Szum 2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona

Bardziej szczegółowo

Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna

Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna Regresja wieloraka Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna zmienna niezależna (można zobrazować

Bardziej szczegółowo

Testowanie stopnia zintegrowania. czasowego. Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1. Andrzej Torój. 19 lutego 2010

Testowanie stopnia zintegrowania. czasowego. Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1. Andrzej Torój. 19 lutego 2010 szeregu czasowego Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1 19 lutego 2010 Plan prezentacji 1 Szereg czasowy, poj cie stacjonarno±ci 2 3 4 5 6 7 Plan prezentacji 1 Szereg czasowy, poj cie stacjonarno±ci

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Analiza współzależności zjawisk

Analiza współzależności zjawisk Analiza współzależności zjawisk Informacje ogólne Jednostki tworzące zbiorowość statystyczną charakteryzowane są zazwyczaj za pomocą wielu cech zmiennych, które nierzadko pozostają ze sobą w pewnym związku.

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności liniowych

Analiza zależności liniowych Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 8

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 8 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 8 Regresja wielokrotna Regresja wielokrotna jest metodą statystyczną, w której oceniamy wpływ wielu zmiennych niezależnych (X 1, X 2, X 3,...) na zmienną zależną (Y).

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 ceny mieszkań

Przykład 1 ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Model ekonometryczny zaleŝności ceny mieszkań od metraŝu - naleŝy do klasy modeli nieliniowych. - weryfikację empiryczną modelu przeprowadzono na przykładzie

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji.

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. W statystyce stopień zależności między cechami można wyrazić wg następującej skali: Skala Guillforda Przedział Zależność Współczynnik [0,00±0,20)

Bardziej szczegółowo

Analiza regresji - weryfikacja założeń

Analiza regresji - weryfikacja założeń Medycyna Praktyczna - portal dla lekarzy Analiza regresji - weryfikacja założeń mgr Andrzej Stanisz z Zakładu Biostatystyki i Informatyki Medycznej Collegium Medicum UJ w Krakowie (Kierownik Zakładu: prof.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych bezrobocia i inflacji w Danii

Analiza szeregów czasowych bezrobocia i inflacji w Danii Uniwersytet Warszawski Wydział Nauk Ekonomicznych Mateusz Błażej Nr albumu: 308521 Analiza szeregów czasowych bezrobocia i inflacji w Danii Projekt zaliczeniowy z przedmiotu: Analiza Szeregów Czasowych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych

Bardziej szczegółowo

Projekt z Ekonometrii Dynamicznej

Projekt z Ekonometrii Dynamicznej Projekt z Ekonometrii Dynamicznej Tomasz Tymecki L.p. Nazwa 1 KGHM 2 ORBIS 3 FERRUM 4 VISTULA 5 BORYSZEW 6 MOSTOSTALZAB 7 BYTOM 8 FORTE 9 PRÓCHNIK 1 ŻYWIEC 11 Indeks WIG 12 Indeks WIG2 Spis treści I. Analiza

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Materiał dla studentów

Materiał dla studentów Materiał dla studentów Metoda zmiennych instrumentalnych Nazwa przedmiotu: metody ekonometryczne, ekonometria stosowana Kierunek studiów: Metody Ilościowe w ekonomii i systemy informacyjne Studia I stopnia/studia

Bardziej szczegółowo

2.6 Zmienne stacjonarne i niestacjonarne 2.6. ZMIENNE STACJONARNE I NIESTACJONARNE 33. RYSUNEK 2.6: PKB w wyrażeniu realnym

2.6 Zmienne stacjonarne i niestacjonarne 2.6. ZMIENNE STACJONARNE I NIESTACJONARNE 33. RYSUNEK 2.6: PKB w wyrażeniu realnym 2.6. ZMIENNE STACJONARNE I NIESTACJONARNE 33 tale. Rysunek 2.6 ilustruje sezonowość w logarytmie PKB w wyrażeniu realnym. Realny PKB został uzyskany poprzez zdeflowanie nominalnego PKB przez indeks cen

Bardziej szczegółowo

Outsourcing a produktywność pracy w polskich przedsiębiorstwach. Anna Grześ Zakład Zarządzania Uniwersytet w Białymstoku

Outsourcing a produktywność pracy w polskich przedsiębiorstwach. Anna Grześ Zakład Zarządzania Uniwersytet w Białymstoku Outsourcing a produktywność pracy w polskich przedsiębiorstwach Anna Grześ Zakład Zarządzania Uniwersytet w Białymstoku Cele : pomiar produktywności pracy w polskich przedsiębiorstwach na poziomie sekcji

Bardziej szczegółowo

Adam Kirpsza Zastosowanie regresji logistycznej w studiach nad Unią Europejska. Anna Stankiewicz Izabela Słomska

Adam Kirpsza Zastosowanie regresji logistycznej w studiach nad Unią Europejska. Anna Stankiewicz Izabela Słomska Adam Kirpsza Zastosowanie regresji logistycznej w studiach nad Unią Europejska Anna Stankiewicz Izabela Słomska Wstęp- statystyka w politologii Rzadkie stosowanie narzędzi statystycznych Pisma Karla Poppera

Bardziej szczegółowo

Analiza autokorelacji

Analiza autokorelacji Analiza autokorelacji Oblicza się wartości współczynników korelacji między y t oraz y t-i (dla i=1,2,...,k), czyli współczynniki autokorelacji różnych rzędów. Bada się statystyczną istotność tych współczynników.

Bardziej szczegółowo

Szymon Bargłowski, sb39345 MODEL. 1. Równania rozpatrywanego modelu: 1 PKB t = a 1 a 2 E t a 3 Invest t 1

Szymon Bargłowski, sb39345 MODEL. 1. Równania rozpatrywanego modelu: 1 PKB t = a 1 a 2 E t a 3 Invest t 1 Szymon Bargłowski, sb39345 MODEL 1. Równania rozpatrywanego modelu: 1 PKB t = a 1 a 2 E t a 3 Invest t 1 2 C t = b 1 b 2 PKB t b 3 Invest t 1 b 4 G t 2 3 Invest t = d 1 d 2 C t d 3 R t 3 gdzie: G - wydatki

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp tel.: +48 662 635 712 Liczba stron: 15 Data: 20.07.2010r OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp DŁUGIE

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 10 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia / 31

Statystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 10 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia / 31 Statystyka Wykład 8 Magdalena Alama-Bućko 10 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia 2017 1 / 31 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006 Weryfikacja modelu Paweł Cibis pcibis@o2.pl 6 kwietnia 2006 1 Badanie istotności parametrów strukturalnych modelu Testy Pakiet Analiza Danych Uwagi 2 Test dla małej próby Test dla dużej próby 3 Test Durbina-Watsona

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu

Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu Ekonometria dynamiczna i finansowa - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu 11.5-WK-IiED-EDF-W-S14_pNadGenMOT56 Wydział Kierunek Wydział Matematyki,

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis 12 maja 2007

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis 12 maja 2007 Weryfikacja modelu Paweł Cibis pawel@cibis.pl 12 maja 2007 1 Badanie normalności rozkładu elementu losowego Test Hellwiga dla małej próby Test Kołmogorowa dla dużej próby 2 Testy Pakiet Analiza Danych

Bardziej szczegółowo

Brunon R. Górecki. Ekonometria. podstawy teorii i praktyki. Wydawnictwo Key Text

Brunon R. Górecki. Ekonometria. podstawy teorii i praktyki. Wydawnictwo Key Text Brunon R. Górecki Ekonometria podstawy teorii i praktyki Wydawnictwo Key Text Darmowy fragment Darmowy fragment Darmowy fragment Wydawnictwo Key Text Recenzent prof. dr hab. Jan B. Gajda Opracowanie graficzne

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM

Bardziej szczegółowo

Metodologia badań psychologicznych. Wykład 12. Korelacje

Metodologia badań psychologicznych. Wykład 12. Korelacje Metodologia badań psychologicznych Lucyna Golińska SPOŁECZNA AKADEMIA NAUK Wykład 12. Korelacje Korelacja Korelacja występuje wtedy gdy dwie różne miary dotyczące tych samych osób, zdarzeń lub obiektów

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pawel@cibis.pl 23 lutego 2007 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa

Bardziej szczegółowo

Egzamin z ekonometrii wersja ogolna

Egzamin z ekonometrii wersja ogolna Egzamin z ekonometrii wersja ogolna 04-02-2016 Pytania teoretyczne 1. Wymienić założenia Klasycznego Modelu Regresji Liniowej (KMRL). 2. Wyprowadzić estymator MNK dla modelu z wieloma zmiennymi objaśniającymi.

Bardziej szczegółowo

gdzie. Dla funkcja ma własności:

gdzie. Dla funkcja ma własności: Ekonometria, 21 listopada 2011 r. Modele ściśle nieliniowe Funkcja logistyczna należy do modeli ściśle nieliniowych względem parametrów. Jest to funkcja jednej zmiennej, zwykle czasu (t). Dla t>0 wartośd

Bardziej szczegółowo

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,

Bardziej szczegółowo

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego

Bardziej szczegółowo

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Badanie stacjonarności szeregów czasowych w programie GRETL

Badanie stacjonarności szeregów czasowych w programie GRETL Badanie stacjonarności szeregów czasowych w programie GRETL Program proponuje następujące rodzaje testów stacjonarności zmiennych:. Funcję autoorelacji i autoorelacji cząstowej 2. Test Diceya-Fullera na

Bardziej szczegółowo

MODELE AUTOREGRESYJNE W PROGNOZOWANIU CEN ZBÓŻ W POLSCE

MODELE AUTOREGRESYJNE W PROGNOZOWANIU CEN ZBÓŻ W POLSCE METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XI/2, 2010, str. 254 263 MODELE AUTOREGRESYJNE W PROGNOZOWANIU CEN ZBÓŻ W POLSCE Agnieszka Tłuczak Zakład Ekonometrii i Metod Ilościowych, Wydział Ekonomiczny

Bardziej szczegółowo

przedmiotu Nazwa Pierwsza studia drugiego stopnia

przedmiotu Nazwa Pierwsza studia drugiego stopnia Nazwa przedmiotu K A R T A P R Z E D M I O T U ( S Y L L A B U S ) O p i s p r z e d m i o t u Kod przedmiotu EKONOMETRIA UTH/I/O/MT/zmi/ /C 1/ST/2(m)/1Z/C1.1.5 Język wykładowy ECONOMETRICS JĘZYK POLSKI

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

Zawartość. Zawartość

Zawartość. Zawartość Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Ćwiczenia nr 3. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria. Ćwiczenia nr 3. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej Ekonometria Ćwiczenia nr 3 Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 3 Własności składnika losowego 1 / 18 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4 Jakub Mućk

Bardziej szczegółowo