V Problem Hilberta Tadeusz Pytlik
|
|
- Izabela Karpińska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 V Problem Hilberta Tadeusz Pytlik Pod numerem V na liście 23 problemów podanych w 1900 roku na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym i opublikowanej w Göttingen Nachrichten tego samego roku Hilbert umieścił następujące pytanie: Czy w koncepcji Liego ciągłych grup transformacji zbędne jest założenie różniczkowalności funkcji określającej działanie? O co tu chodzi? W uzasadnieniu Hilbert pisał: Jak wam wiadomo, Lie dla opisania geometrii wprowadził system aksjomatów, które łączyło pojęcie ciągłych grup transformacji i pokazał na bazie teorii tych grup transformacji, że jest to system wybrany właściwie, by geometrie takie budować. Lie też od razu na samym początku swojej teorii zakładał, że funkcje definiujące ową grupę są różniczkowalne. Nie należy jednak postawionego przeze mnie problemu odczytywać jako sugestii, że Lie się pomylił, lecz jako inspirację do sprawdzenia, czy to założenie różniczkowalności jest nieusuwalne z całego zespołu aksjomatów, czy może przeciwnie, że jest konsekwencją ogólnych własności grupy i pozostałych aksjomatów geometrii. Moje rozważania na ten temat i pewne pytania, na które natknąłem się w związku z badaniem aksjomatów arytmetyki, doprowadziły mnie do sformułowania jeszcze ogólniejszego problemu: w jaki sposób rozszerzyć koncepcję Liego grup transformacji, by była przydatna do naszych badań bez zakładania różniczkowalności. Jak wiadomo, Lie określał skończoną (tzn. skończenie wymiarową) ciągłą grupę transformacji jako system odwzorowań x i = f i (x 1,..., x n ; a 1,..., a r ) i = 1,..., n o takiej własności, że każde dwa odwzorowania tego systemu x i = f i (x 1,..., x n ; a 1,..., a r ) x i = f i (x 1,..., x n; b 1,..., b r ) zastosowane jedno po drugim dają przekształcenie także należące do systemu. Może więc być przedstawione w postaci x i = f i (f 1 (x, a),..., f n (x, a); b 1,..., b r ) = f i (x 1,..., x n ; c 1,..., c r ), gdzie c 1,..., c r są pewnymi funkcjami a 1,..., a r i b 1,..., b r. Własności grupy dają się wtedy zapisać w postaci układu równań funkcyjnych, a poza spełnianiem tych równań od funkcji f 1,..., f n, c 1,..., c r nie żądamy już jakichkolwiek dodatkowych własności. Niestety sposób, w jaki Lie rozpisywał te równania funkcyjne, automatycznie wymuszał zakładanie ciągłości i różniczkowalności funkcji definiujących grupę. 1
2 Co do ciągłości, gotów jestem się na nią zgodzić. Wydaje się być naturalnym warunkiem i to bez powoływania się na zastosowania geometryczne i arytmetyczne, gdzie ciągłość funkcji jest konsekwencją założeń o ciągłości systemu. Z różniczkowalnością funkcji definiujących grupę jest przeciwnie. Umieszczanie tego warunku pośród pozostałych aksjomatów geometrii jest, moim zdaniem, bardzo sztuczne i komplikuje tylko sprawę. Powstaje zatem pytanie, czy nie jest możliwe przez pewną zamianę zmiennych i parametrów na nowe przetransformować tą grupę na inną, w której funkcje definiujące są już różniczkowalne, albo też czy jest możliwe przez nałożenie pewnych prostych założeń o transformacjach doprowadzić do otrzymania grupy, w której metody Liego można już stosować. Taka redukcja dla grup analitycznych jest zawsze możliwa, zgodnie z twierdzeniem zaproponowanym przez Liego, a po raz pierwszy udowodnionym przez Schura, jeżeli grupa jest tranzytywna, to dla analityczności wystarczy założyć istnienie pierwszych i pewnych drugich pochodnych funkcji definiujących działania w grupie. Moim zdaniem badanie tego problemu może być ciekawe także dla grup nieskończonych (tzn. nieskończenie wymiarowych). Wszystko zaś razem może prowadzić do powstania teorii tej szerokiej i wcale ciekawej rodziny równań funkcyjnych, które w przeszłości były badane tylko przy założeniu różniczkowalności odpowiednich funkcji. Na czym Hilbert opierał swoje przypuszczenia? Dla ilustracji rozumowania Hilberta przedstawimy dwa proste, lecz ważne przykłady. Przykład 1. (grupa ruchów płaszczyzny euklidesowej) Jest nią grupa E(2) wszystkich izometrii płaszczyzny zachowujących orientację, a więc grupa generowana przez obroty i przesunięcia. Każdą transformację ϕ E(2) można zapisać w postaci ϕ(x, y) = (x cos θ + y sin θ + a, x sin θ + y cos θ + b), gdzie θ, a i b są dowolnymi parametrami rzeczywistymi, przy czym θ wyznaczone jest z dokładnością do wielokrotności 2π. Składanie transformacji prowadzi do następujących operacji grupowych na zbiorze indeksów (1) (2) (θ 1, a 1, b 1 ) (θ 2, a 2, b 2 ) = (θ 1 + θ 2, a 2 cos θ 1 + b 2 sin θ 1 + a 1, a 2 sin θ 1 + b 2 cos θ 1 + b 1 ) (θ, a, b) 1 = ( θ, a cos θ + b sin θ, a sin θ b cos θ) Możemy więc grupę E(2) utożsamić z podgrupą macierzy odwracalnych 3 3 postaci ( cos θ sin θ ) a sin θ cos θ b
3 Jeżeli w zbiorze indeksów [0, 2π) (, ) (, ) = R 3 /2πZ {0} {0} wprowadzić topologię odziedziczoną z R 3, to operacje grupowe (1) i (2) stają się funkcjami ciągłymi swoich argumentów. Są, jak widać, nawet funkcjami analitycznymi, co we współczesnym języku oznacza, że E(2) jest grupą Liego. Przykład 2. (grupa ruchów płaszczyzny hiperbolicznej) Oznaczmy przez H(2) rodzinę wszystkich nieosobliwych homografii ϕ górnej półpłaszczyzny zespolonej H = {z C : Im z > 0} ϕ(z) = az + b, z H, a, b, c, d R. cz + d Ponieważ dwie rodziny parametrów wyznaczają tą samą homografię dokładnie wtedy, gdy są do siebie proporcjonalne, więc homografie możemy indeksować macierzami rzeczywistymi ( a b) ( c d dla których ad bc = 1, utożsamiając macierze a b ) ( c d i a b ) c d ze sobą. Złożeniu homografii odpowiada wtedy iloczyn macierzy. Ta grupa macierzy tradycyjnie oznaczana jest symbolem P SL(2, R). Lepszą parametryzację można dostać z rozkładu Iwasawy. Każdą macierz ( a b c d) daje się jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu (3) ( a b c d ) ( cos θ sin θ = sin θ cos θ ) ( ) ( ) e t 0 1 ξ 0 e t 0 1, gdzie 0 θ < π, t, ξ R. Parametry θ, t, ξ wyrażają się przez a, b, c, d wzorami (4) θ = arc cos a a 2 + c 2, t = ln a 2 + c 2, ξ = ab + cd a 2 + c 2. Pozwala to, podobnie jak w przykładzie poprzednim, utożsamić grupę H(2) ze zbiorem [0, π) (, ) (, ), a topologię indukować z R 3. Ze wzorów (3) i (4) widać, że i tym razem operacje grupowe są funkcjami analitycznymi, a H(2) grupą Liego. Można pokazać, że jeżeli w półpłaszczyźnie H zamiast metryki euklidesowej wprowadzić metrykę hiperboliczną d(z 1, z 2 ) = ar tgh z 1 z 2 z 1 z 2, z 1, z 2 H, to H(2) stanie się grupą wszystkich izometrii przestrzeni (H, d) zachowujących orientację. O co wobec tego pytał Hilbert? Aby piąty problem Hilberta przetłumaczyć na zagadnienie bardziej konkretne, dzisiaj możemy już użyć pojęć, które od kongresu Paryskiego w roku 1900 do naszych czasów rozwinęły się w teorii grup topologicznych. W języku współczesnym problem 3
4 ten na ogół przyjmuje postać: Czy każda grupa lokalnie euklidesowa jest już grupą Liego? Nim w końcu pytanie to uzyskało pozytywną odpowiedź w roku 1952, zainspirowało wiele prac o grupach topologicznych. Dość wcześnie uzyskano też częściowe odpowiedzi. Tematykę rozpoczął Brouwer cyklem prac z roku 1910 o grupach transformacji prostej i płaszczyzny. Złotym okresem były jednak lata trzydzieste. Wtedy to, głównie dzięki pracom E. Cartana i H. Weyla, otrzymano kompletny opis grup Liego jako obiektów geometrycznych. Uzyskano też wiele informacji o strukturze globalnej grup Liego i ich związkach z podgrupami grup macierzowych. Okres ten zamknęły prace von Neumanna i Pontrjagina pozytywnym rozwiązaniem piątego problemu Hilberta odpowiednio dla grup zwartych i abelowych. Pełne pozytywne rozwiązanie piątego problemu Hilberta stało się możliwe w roku 1952 dzięki równoczesnym wynikom Gleasona i Montgomery Zippina. Dowiedli oni, że każda skończenie wymiarowa grupa lokalnie zwarta jest uogólnioną grupą Liego, tzn. że w jej składowej spójnej jedności G 0 można tak wybrać dowolnie mały dzielnik normalny N, że G 0 /N stanie się grupą Liego. Prace te były później istotnie uproszczone i rozszerzone przez Yamabe, a w końcu w roku 1971 Kaplansky w swojej książce [2] nadał im wszystkim najogólniejszą formę i znalazł najprostsze dowody. Dlatego podręcznik Kaplansky ego polecamy każdemu, kto chciałby poznać szczegóły. Oto odpowiedź! Twierdzenie. Dla grupy topologicznej G następujące własności są równoważne: 1. nie ma małych podgrup, 2. jest lokalnie euklidesowa, 3. jest grupą Liego. Wyjaśnimy pokrótce hasła występujące w sformułowaniu powyższego twierdzenia. Grupa topologiczna to obiekt, który jest jednocześnie grupą i przestrzenią topologiczną Hausdorffa. Żądamy przy tym, aby operacje grupowe były ciągłe, tzn. by przyporządkowanie (x, y) xy 1 było funkcją ciągłą z G G w G. Zwróćmy uwagę, że dla każdego ustalonego y G przesunięcie x xy 1 musi być wtedy homeomorfizmem G na G. Dla określenia topologii w G wystarczy więc opisać bazę otoczeń jedności 1, a otoczenia innych punktów otrzymać jako jej przesunięcia. Jeżeli któreś z otoczeń jedności jest homeomorficzne z podzbiorem otwartym przestrzeni euklidesowej R n to powiemy, że grupa jest lokalnie euklidesowa. Grupa Liego to taka grupa lokalnie euklidesowa, w której homeomorfizm ten wybrać można tak, by operacje grupowe były rzeczywistymi funkcjami analitycznymi. Zwykle o grupie topologicznej łatwo jest rozstrzygnąć, czy jest lokalnie euklidesową. Nie ma jednak żadnej prostej metody sprawdzenia, czy jest grupą Liego. Zbyt wiele jest lokalnych homeomorfizmów w przestrzeń euklidesową, jeśli te dające analityczność nie od razu 4
5 są widoczne, to zwykle odkrywa się je przypadkowo. No i wreszcie ostatnie hasło. O grupie topologicznej G powiemy, ze G nie ma małych podgrup lub, że jest NSS-grupą (no small subgroups) jeżeli ma takie otoczenie U jedności 1, że {1} jest jedyną podgrupą leżącą w U. Przykład 3. Ustalmy liczbę pierwszą p i dla liczby całkowitej n połóżmy n = p k gdy n = p k m, a m jest już liczbą całkowitą niepodzielną przez p. Łatwo sprawdzić, że n 1 ± n 2 max{ n 1, n 2 } n 1 + n 2. Wynika stąd, że funkcja d(n 1, n 2 ) = n 1 n 2 jest metryką w zbiorze Z wszystkich liczb całkowitych, a dodawanie i odejmowanie są operacjami ciągłymi. Po uzupełnieniu w metryce d otrzymamy grupę topologiczną, zwaną grupą liczb całkowitych p-adycznych i tradycyjnie oznaczaną przez Z p. Jest to przestrzeń metryczna zupełna, całkowicie niespójna, nie jest więc grupą lokalnie euklidesową. Nie jest też NSS-grupą. Rzeczywiście, niech U będzie dowolnym otoczeniem 0 (0 jest tu jednością grupy). Możemy przy tym założyć, że otoczenie to ma postać U = {n Z : n < ε}, gdzie ε jest pewną liczbą dodatnią. Jeżeli liczbę naturalną k dobrać tak by p k < ε, to zbiór p k Z utworzy nietrywialną podgrupą Z p leżącą w U. Jak dowieść to twierdzenie? Spośród wszystkich możliwych implikacji w twierdzeniu tylko 3 2 jest oczywista. To, że grupa Liego nie może mieć małych podgrup a więc, że 3 1 wynika stosunkowo łatwo z ogólnej teorii grup Liego i każdy, kto choć trochę zna tą teorię, może sam tego dowieść. Wszystkie pozostałe implikacje są daleko nieoczywiste. Streścimy pokrótce, jak zostały dowiedzione. Dowód implikacji 1 2 jest bardzo żmudny i polega na wymyślnych konstrukcjach podgrup jednoparametrowych. Na samym początku dowodzi się, że każda NSS-grupa jest metryzowalna. Jest to konsekwencją ogólniejszego twierdzenia mówiącego, że w dowolnym otoczeniu U jedności grupy lokalnie zwartej G istnieje taka podgrupa normalna N, że grupa ilorazowa G/N jest metryzowalną. Metryzowalność pozwala w wielu konstrukcjach posłużyć się twierdzeniem Bolzano Weierstrassa. Dowodzi się na przykład, że każda NSS-grupa musi zawierać otoczenie jedności, na którym operacja podnoszenia do kwadratu jest wzajemnie jednoznaczna, tzn. że x 2 = y 2 pociąga x = y. Z tego, przez iterację, można dostać otoczenie jedności, na którym podnoszenie do wyższych potęg też jest wzajemnie jednoznaczne. Stąd krok tylko do dowodu, że każda niedyskretna lokalnie zwarta NSS-grupa zawiera nietrywialną grupę jednoparametrową tzn. nietrywialny homomorfizm z grupy R liczb rzeczywistych w G. To bardzo istotny krok w dowodzie. Rzecz polega jednak na tym, że grup takich ma być dużo. Należy wskazać takie otoczenie jedności, że przez każdy jego punkt przechodzi jakaś grupa jednoparametrowa. To kluczowe miejsce dowodu, zajmuje najwięcej miejsca i czasu. Potem w zbiorze L grup jednoparametrowych 5
6 wprowadza się strukturę przestrzeni liniowej, kładąc dla X, Y L: (X + Y )(t) = lim (X(t/k)Y (t/k))k k i dowodzi już łatwo, ze wymiar tej przestrzeni jest skończony. Oznacza to, że każda lokalnie zwarta NSS-grupa jest lokalnie euklidesowa, a więc że zachodzi implikacja 1 2. W dowodzie implikacji 1 3 korzysta się z wszystkich wcześniej udowodnionych faktów. Otóż w zbiorze L można dodatkowo wprowadzić strukturę algebry Liego, określając komutator [X, Y ] wektorów X, Y L wzorem [X, Y ](t) = lim k lim (X(1/k)Y (1/m)X( 1/k)Y m ( 1/m))[tkm], gdzie [tkm] w wykładniku oznacza część całkowitą liczby tkm. Wystarczy teraz powołać się na klasyczną teorię opisującą odpowiedniość między grupami Liego i algebrami Liego, by stwierdzić, że G jest grupą Liego. Dowód implikacja 2 1 pochodzi od Yamabe i opiera się na następującym twierdzeniu: jeżeli G jest spójną grupą lokalnie zwartą, a U otoczeniem jedności w G to istnieje taka podgrupa normalna N U, że G/N jest NSS-grupą. Jest wtedy, jak już wiemy, grupą lokalnie euklidesową. Dowodzi się, że jeżeli G/N ma maksymalny wymiar spośród wszystkich NSS-grup będących obrazami homomorficznymi G, to N musi być grupą całkowicie niespójną. Jeżeli G dodatkowo jest lokalnie spójna, to N może już tylko być grupą dyskretną. Gdy G jest grupą lokalnie euklidesową, to rozumowanie powyższe można przeprowadzić dla jej składowej spójnej G 0. Stąd już tylko krok by dowieść, że G 0 a stąd że G musi być NSS-grupą. Gdzie o tym można przeczytać? [1] I. Kaplansky, Lie algebras and locally compact groups, Chicago University Press, Chicago, 1971 (tłumaczenie rosyjskie I. Kaplanski i, Algebry Li i lokalьno kompaktnye gruppy, Mir, Moskva, 1974). [2] D. Montgomery, L. Zippin, Topological transformation groups, Interscience, New York, [3] C. T. Yang, Hilbert fifth problem and related problems on transformation groups, Mathematical developments arising from Hilbert problems, Proc. Symp. Pure Math., 28 (1976) str
1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoGrupa klas odwzorowań powierzchni
Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =
Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoGrupa izometrii płaszczyzny hiperbolicznej
Grupa izometrii płaszczyzny hiperbolicznej Arkadiusz Męcel O różnych geometriach 21 października 2008r. UWAGA: Notatki te były pisane szybko i niechlujnie(choć starałem się). Czytelników przepraszam. InwersjewC
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) 1. Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoz = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoTopologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).
Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów
Bardziej szczegółowo1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoWstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą
Bardziej szczegółowoZestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoTeoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoMaria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Bardziej szczegółowoWeronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))
Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowospis treści 1 Zbiory i zdania... 5
wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów
Bardziej szczegółowoLiczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej.
Pytania na egzaminie magisterskim dotyczą głównie zagadnień związanych z tematem pracy magisterskiej. Należy być przygotowanym również na pytania sprawdzające podstawową wiedzę ze wszystkich zaliczonych
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoAlgebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowo5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.
5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoTopologia I Wykład 4.
Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści
Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowo