Temperatura czarnej kulki umieszczonej w ognisku soczewki i ogrzanej promieniami słonecznymi zadanie z XXIX Olimpiady fizycznej 1979/1980 1

Transkrypt

1 6 FOTON 130, Jeień 015 Temperatura czarnej kulki umiezczonej w ogniku oczewki i ogrzanej promieniami łonecznymi zaanie z XXIX Olimpiay fizycznej 1979/ Taeuz Molena topień III, zaanie teoretyczne Dana jet oczewka cienka o śrenicy = 5 cm i ognikowej = 10 cm. Za pomocą tej oczewki, przez zognikowanie promieni łonecznych, chcemy makymalnie ogrzać ciało okonale czarne w potaci kulki o promieniu r. Wyznacz zależność temperatury, o której możemy ogrzać kulkę, o jej promienia r. Zakłaamy, że oczewka przepuzcza całe paające nań światło i że proce ognikowania zachozi w powietrzu w temperaturze T 0 = 300 K. Zakłaamy ponato, że kulka okonale przewozi ciepło, zięki czemu w każej chwili temperatura w każym jej punkcie jet taka ama. Dane: 1) tała łoneczna ) tała tefana-boltzmanna 3) temperatura powierzchni łońca 1360,8 W m W 8 5,67 10 m K T = 6000 K 1 Zaanie zotało uotępnione z bazy zaań Olimpiay Fizycznej w zczecinie i la Fotonu przygotowane przez przewoniczącego Komitetu Okręgowego OF w zczecinie ra Taeuza Molenę. Zaanie wraz z rozwiązaniem zotało opublikowane w czaopiśmie Fizyka w zkole nr 1, 1981 r. przez ówczenego ekretarza naukowego Walemara Gorzkowkiego i kierownika organizacyjnego Anrzeja Kotlickiego z Komitetu Głównego Olimpiay Fizycznej, natępnie w zbiorze Olimpiaa Fizyczna XXIX XXXI, WiP, Warzawa 1986, , przez: Anrzej Naolny (pełnił funkcję ekretarza naukowego KGOF), Krytyna Pniewka (była kierownikiem organizacyjnym KGOF) też jako za. nr 95 w zbiorze Wybrane zaania z 3 olimpia fizycznych, MAGIPPA, Warzawa 199, przez: Włozimierz Ungier (pełnił funkcję ekretarza naukowego la za. teoretycznych KGOF) i Miroław Hamera (był kierownikiem organizacyjnym KGOF). Zaania z olimpia fizycznych ą na ogół oryginalne. Pomyły pochozą z różnych źróeł, m.in. kłaanych przez nauczycieli i amych zawoników olimpiay. Propozycje zaań ą zmieniane w wyniku ykuji w Komitecie Głównym OF i częto nie przypominają tektu pomyłoawcy (przyp. Taeuz Molena, Intytut Fizyki, Uniwerytet zczecińki).

2 FOTON 130, Jeień Uwaga: Całkowita energia wypromieniowania w ciągu 1 przez 1 m powierzchni ciała okonale czarnego, zgonie z prawem tefana-boltzmanna, wynoi T, gzie oznacza tałą tefana-boltzmanna, a T temperaturę bezwzglęną ciała. Rozwiązanie Obrazem łońca, który powtaje okłanie w płazczyźnie ognikowej oczewki (ry. 1), jet koło o promieniu r 0 takim, że: r 0 tg, (1) f gzie oznacza promień kątowy łońca wizianego z Ziemi. Ponieważ kąt jet mały, można z obrym przybliżeniem przyjąć, że tg, a zatem: r f 0. Ry. 1. Kiey na kulkę okonale czarną nie paa światło łoneczne, wówcza pozotaje ona w równowaze termicznej z otoczeniem, tzn. wypromieniowuje ona w jenotce czau tyle energii, ile jej pochłania z otoczenia. zybkość wypromieniowania tej energii (moc) zgonie z prawem tefana-boltzmanna wynoi: E πr T, () p 0 t gzie T 0 jet temperaturą w tanie równowagi termicznej. Gy na kulkę kierujemy wiązkę światła łonecznego, wtey pochłania ona energię tego światła. Jeżeli promień kulki r jet więkzy niż r 0, wówcza cała ognikowana energia jet pochłaniana przez kulkę. Energia tego promieniowania ochoząca w ciągu jenej ekuny wynoi 1 π. Oprócz tego kulka aborbuje, tak jak poprzenio, promieniowanie termiczne z otoczenia.

3 8 FOTON 130, Jeień 015 Opowiaający temu opływ energii w ciągu jenej ekuny zgonie z () wynoi πr T 0. Z rugiej trony kulka mając temperaturę T, wypromieniowuje w czaie jenej ekuny energię πr T. Ponieważ kulka okonale czarna w tanie utalonej temperatury emituje tyle energii, ile jej pochłania, bilan energii można więc zapiać w potaci: tą πr T πr T 1 0 π, r f. (3) T r T0. () Jeżeli promień kulki jet mniejzy o r 0 = f, to bęzie paać na nią tylko część energii kupianej przez oczewkę, która wynoi: czyli r r 0 1 π 1 r π. f Bilan energii w tym przypaku jet natępujący: tą 1 π π 0 π r r T r T, r f. f T T0 Tgr. f Zauważmy, że temperatura ta jet tała i alze zmniejzanie rozmiarów kulki nie zwiękza T. Jet to temperatura graniczna T gr. Wykre zależności T(r) poany jet na ry.. Dykuję przypaku, gy śrenica kulki przekracza śrenicę oczewki pozotawiamy Czytelnikowi. Ozacujmy temperaturę graniczną T gr. Zauważmy, że łońce z barzo obrym przybliżeniem możemy traktować jako ciało okonale czarne i wówcza zgonie z prawem tefana-boltzmanna energia wypromieniowana przez powierzchnię łońca w ciągu jenej ekuny zgonie z () wynoi E t, (5) (6) π R T. (7)

4 FOTON 130, Jeień Ry. tała łoneczna to energia, jaką promieniowanie łoneczne przenoi w ciągu jenej ekuny przez powierzchnię 1 m utawioną protopale o kierunku Ziemia łońce, w oległości o łońca równej oległości Ziemia łońce, tą możemy zapiać πr T, (8) πr gzie T temperatura powierzchni łońca, R promień łońca, R Z oległość Ziemia łońce. Ponieważ promień kątowy łońca wynoi tą otrzymany związek: R R Z z, T. (9) Po potawieniu (9) o (6), otrzymujemy wzór na temperaturę graniczną kulki w potaci: gr 0. T T T T f f (10) Do tego amego rozwiązania, gy promień kulki jet mniejzy o r 0 = f, można ojść toując omienną metoę. Zauważmy, że powierzchnię łońca z kulki wiać wewnątrz tożka o kącie rozwarcia, gzie: tg tzn. w kącie bryłowym 1 π(1 co ), zaś otoczenie o temperaturze T 0 wiać w kącie bryłowym π(1 co ). f

5 50 FOTON 130, Jeień 015 W jenotce czau na kulkę, z kąta bryłowego 1 paa promieniowanie łoneczne o energii 1r T (T temperatura powierzchni łońca), a z kąta bry- łowego promieniowanie otoczenia o energii r T0 (T 0 temperatura otoczenia). Kulka po ogrzaniu ię o temperatury T emituje w jenotce czau promieniowanie o energii π r T. W tanie równowagi termicznej bilan energetyczny ma potać πr T r T r T 1 0 Potawiając wielkości 1 oraz otrzymamy πr T π(1 co ) r T π(1 co ) r T. 0 Drugie wyrażenie można pominąć w porównaniu z pierwzym, gyż T jet znacznie więkze o T 0. tą można wyznaczyć temperaturę kulki 1 co T T T in. (11) Jet to wielkość tała, niezależna o promienia kulki. Dla małych kątów można przyjąć tą otrzymujemy in (1) f Tgr T in T. (13) f Uzykany wzór jet ientyczny z poprzenio wyprowazonym wzorem (10). Jak z niego wiać, temperatura graniczna uzykiwana przez kulkę zależy o parametrów oczewki, nie może jenak przekroczyć temperatury łońca T. Dla cienkiej oczewki 1, zatem nie można uzykać temperatury blikiej temperaturze łońca. f W nazym przypaku 1 f, tą temperatura graniczna 8 T 100 K. gr Zauważmy, że promień kątowy łońca 0,003 ra. Wynika tą, że temperaturę taką można teoretycznie uzykać la r 0,0 mm (bo r 0 f). Praktycznie way oczewek powoują rozmyte ognikowanie i nie oberwujemy aż tak wyokiej temperatury. Niemniej wiaomo, że w ogniku oczewki na kutek kupiania ię tam promieni łonecznych można zapalić zapałkę.