Karolina Napierała Wojciech Otto

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Karolina Napierała Wojciech Otto"

Mieczysław Małek
8 lat temu
Przeglądów:

1 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania, z równoczesnym r wykorzystaniem danych o odszkodowaniach wyłaconych i rezerwie liczone metodą indywidualną Karolina Naierała Wociech Otto

wykorzystaniem danych o odszkodowaniach wyłaconych i

2 lan rezentaci 1. Trókąty szkodowe. Standardowa metoda Chain-Ladder 3. Metody klasy London-Chain w świetle credibility theory 4. Uzuełnienie metod klasy London Chain o dane o szkodach zgłoszonych, ale nie zlikwidowanych raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

Uzuełnienie metod klasy London Chain o dane o szkodach zgłoszonych, ale nie

3 Trókąty szkodowe - dane oóźnienie zaście 0 1 T-1 T 0 X 0,0 X 0,1 X 0,T 1 X 1,0 X 1,1 X 1,T-1 t X T-1 X T-1,0 X T-1,1 T X T,0 x t, wartość zdarzenia do którego doszło w t-tym okresie i uawniło się o okresach oóźnienia. raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

doszło w t-tym okresie i uawniło się o okresach oóźnienia. raktyka.

4 Trókąty szkodowe - dane oóźnienie zaście 0 1 T-1 T 0 cx 0,0 cx 0,1 cx 0,T 1 cx 1,0 cx 1,1 cx 1,T-1 t cx T-1 cx T-1,0 cx T-1,1 T cx T,0 cx t, wartość zdarzenia do którego doszło w t-tym okresie i uawniło się nie óźnie niż o okresach oóźnienia. raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

doszło w t-tym okresie i uawniło się nie óźnie niż o okresach oóźnienia. raktyka.

5 Rezerwy szkodowe Rezerwy szkodowe IBNR Rezerwa na szkody zaszłe, ale nie zgłoszone (Incurred But Not Reorted) RBN Rezerwa na szkody zgłoszone, ale nie zlikwidowane (Reorted But Not aid) Celem obliczeń est całość rezerw szkodowych. raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

(Reorted But Not aid) Celem obliczeń est całość rezerw szkodowych. raktyka.

6 Trókąty szkodowe rezerwy szkodowe oóźnienie zaście 0 1 T 0 cx 0,0 cx 0,1 cx 0, 1 cx 1,0 cx 1,1 cx 0, T-1 cx T-1,0 cx T-1,1 cx T-1, cx T-1, T cx T,0 cx T,1 cx T, raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

7 Standardowa metoda Chain-Ladder Teoretyczna rezerwa IBNR dla t-te kohorty IBNR cxt, cxt, Założenia metody: wsółczynniki oóźnienia cx cx t, t, + ε,. lim 1. wsółczynniki rozwou d 1, raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

t, t, + ε,. lim 1. wsółczynniki rozwou d 1, raktyka.

8 Standardowa metoda Chain-Ladder cd. W raktyce wsółczynniki rozwou estymuemy ako dˆ T t 0 T t 0 cx cx 1 d i korzystaąc z zależności 0 1 d 1 d d T d otrzymuemy estymatory ˆ ˆ 1 dˆ arametrów raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

korzystaąc z zależności 0 1 d 1 d d T d otrzymuemy estymatory ˆ ˆ 1 dˆ

9 Standardowa metoda Chain-Ladder cd. Rezerwę IBNR dla szkód zaistniałych w okresie t kalkuluemy ako IBNR T, t cx T t 1 ˆ ˆ T t T t Całkowita rezerwa dla ortfela wynosi IBNR IBNR + T.. T, T + IBNRT, T 1 + IBNRT,0 raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

t 1 ˆ ˆ T t T t Całkowita rezerwa dla ortfela wynosi IBNR IBNR + T.

10 Metody klasy London-Chain w świetle credibility theory Oznaczenia: E t LR CLR RLR xt, Et cxt, E cx t składka zarobiona dla t-te kohorty indywidualny wsółczynnik szkodowości skumulowany wsółczynnik szkodowości cx E t resztowy wsółczynnik szkodowości raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

skumulowany wsółczynnik szkodowości cx E t resztowy wsółczynnik szkodowości raktyka.

11 Metody klasy London-Chain w świetle credibility theory założenia modelu Konstrukca modelu w oarciu o wsółczynniki szkodowości Model regresi CLR + 1 a + b CLRt, + ε + lub analogicznie LR + 1 a Z ierwszym równaniem ostaci LR. 0 a 1 + ε 0 1. ( b 1) CLRt, ε 1. raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

LR + 1 a + + + Z ierwszym równaniem ostaci LR. 0 a 1 + ε 0 1. ( b 1) CLRt, ε 1. raktyka.

12 Metody klasy London-Chain w świetle credibility theory założenia robabilistyczne Oznaczmy: ULR t kohortowy wsółczynnik szkodowości wartość teoretyczna! Wartość oczekiwana skumulowanego wsółczynnika kowarianci Ε CLR ULR ) ULR. ( t t rzy czym Ε( ULR t ) ULR. raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

Wartość oczekiwana skumulowanego wsółczynnika kowarianci Ε CLR ULR ) ULR.

13 Metody klasy London-Chain w świetle credibility theory założenia robabilistyczne Warunkowa kowarianca skumulowanego wsółczynnika szkodowości wynosi COV ( CLR Bezwarunkowa kowarianca est ostaci Oraz COV ( CLR Ε( Σ t ) Σ, CLR s,, CLR. s, ULR t, ULR U,dla s ) 0, w. s Σt,dla s ) 0, w. raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

ostaci Oraz COV ( CLR Ε( Σ t ) Σ, CLR s,, CLR. s, ULR t, ULR U,dla s ) 0, w. s Σt,dla s ) 0, w.

14 Metody klasy London-Chain w świetle credibility theory założenia robabilistyczne Odowiednio dla indywidualnego wsółczynnika szkodowości: Wartość oczekiwana wynosi Ε( LRt, ) r ULRt. Gdzie r 1 d + 1 d + dt d. Warunkowa kowarianca wynosi r Σt,dla s COV ( LRt,, LRs, ULRt, ULRs ) 0, w. Natomiast bezwarunkowa est ostaci r U + r Σt,dla s k COV ( LRt,, LRs, k ) r rk U,dla s k, 0, w. raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

Warunkowa kowarianca wynosi r Σt,dla s COV ( LRt,, LRs, ULRt, ULRs ) 0, w.

15 Metody klasy London-Chain w świetle credibility theory sformułowanie zagadnienia Z teorii wiarygodności (ang. Credibility theory) Liniowy redyktor resztowego wsółczynnika szkodowości z L( RLRt, CLRt, ) (1 ) CLRt, + (1 z ) ULR Liniowy redyktor resztowego wsółczynnika szkodowości z L( LRt, CLRt, ) r + 1 CLRt, + (1 z ) ULR raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

CLRt, + (1 z ) ULR Liniowy redyktor resztowego wsółczynnika szkodowości z L( LRt, CLRt, ) r + 1 CLRt, +

16 Metody klasy London-Chain w świetle credibility theory rozwiązanie Otymalnie dobrany wsółczynnik wynosi z U U + Σ. Co dae nastęuącą ostać oszukiwanych redyktorów BLU BLU (1 ) U (1 ) Σ RLRt, CLRt, ) CLR, ULR, t + U + Σ U + Σ ( r+ 1 U r+ 1 Σ LRt, + 1 CLRt, ) CLR, ULR. t + U + Σ U + Σ ( z raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

Co dae nastęuącą ostać oszukiwanych redyktorów BLU BLU (1 ) U (1 ) Σ RLRt, CLRt, ) CLR, ULR, t +

17 Metody klasy London-Chain w świetle credibility theory model regresi Wsółczynniki zakładanego modelu regresi CLR. + 1 a + b CLRt, + ε + 1 Są ostaci a b ( U U U ) Σ + Σ + Σ + Σ. ULR, raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

+ 1 a + b CLRt, + ε + 1 Są ostaci a b ( + 1 + 1 U U U ) Σ + Σ + Σ + Σ.

18 Metody klasy London-Chain w świetle credibility theory model regresi Model ten można zaisać alternatywnie, ako CLR a b + + rzy nastęuące ostaci wsółczynnika a Σ U ULR. Stąd łatwo uzyskuemy ( CLRt, + a) ε 1, BLU( RLR CLRt, ) ( b b + 1 bt 1 1)( CLRt, t, + a ). raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

Stąd łatwo uzyskuemy ( CLRt, + a) ε 1, BLU( RLR CLRt, ) ( b b + 1 bt 1 1)( CLRt, t, + a ).

19 Uzuełnienie metod statystycznych o dane o szkodach zgłoszonych, ale nie zlikwidowanych Dodaąc indeksy do stosowanych dotychczas oznaczeń otrzymuemy skumulowane wsółczynniki szkodowości CLR CLR I cx Et I cx E t dla szkód zlikwidowanych, dla szkód zgłoszonych. raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

szkodowości CLR CLR I cx Et I cx E t dla szkód zlikwidowanych, dla szkód zgłoszonych.

20 Uzuełnienie metod statystycznych o dane o szkodach zgłoszonych, ale nie zlikwidowanych Wrowadzone orzednio założenia nadal obowiązuą i oisuą wartości arametrów dla szkód zgłoszonych i zlikwidowanych. Dla szkód zgłoszonych rzymuemy nastęuące dodatkowe założenia COV ( CLR I W, CLR I s, k ULR t, ULR s ) I I Σt + ( ) W, dla s 0, w. Gdzie est czynnikiem wynikaącym z odchyleń wartości ierwsze wyceny, od rzeczywiście wyłaconych odszkodowań. k, raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

Dla szkód zgłoszonych rzymuemy nastęuące dodatkowe założenia COV ( CLR I W, CLR I s, k ULR t, ULR s ) I I Σt + ( ) W, dla s 0, w.

21 Uzuełnienie metod statystycznych o dane o szkodach zgłoszonych, ale nie zlikwidowanych rzy takich założenia oszukuemy redyktora ostaci I L( RLR t CLR, CLR ) (1 ), z CLR / I z I / I + ( CLR t CLR t + z z ULR I,, ) (1 ) raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

22 raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach ma Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych tkowych w oarciu o teori w oarciu o teorię zaufania zaufania Uzuełnienie metod statystycznych o dane o Uzuełnienie metod statystycznych o dane o szkodach zgłoszonych, ale nie zlikwidowanych szkodach zgłoszonych, ale nie zlikwidowanych Otymalne wartości arametrów wynoszą, ) ( ) ( ) ( ) ( I U W W U W U z + Σ + Σ + Σ + Σ + Σ. ) ( ) ( ) ( ) ( / I I I U W W U U z + Σ + Σ + Σ + Σ Σ

23 Uzuełnienie metod statystycznych o dane o szkodach zgłoszonych, ale nie zlikwidowanych CLR Tak ak orzednio, zachowanie wsółczynników można oisać rzy omocy modelu regresi I + 1 a +, + +. b CLR t c CLR ε + 1 Lub alternatywnie, ako I CLR + 1 a( b 1) + b CLR + c( b 1) CLR + ε. +1 raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

24 Uzuełnienie metod statystycznych o dane o szkodach zgłoszonych, ale nie zlikwidowanych Wsółczynniki modelu regresi wynoszą odowiednio a Σ U ULR, b + 1 U U ( Σ ( Σ + W + W ) + Σ ) + Σ ( Σ ( Σ + W + W ) + Σ ) + Σ U U ( ( I I ) ), c U Σ + Σ. raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

25 Analiza arametrów modelu Rozważmy nastęuące rzyadki graniczne Gdy redyktor est ostaci W 0 I U I Σ BLU( ULRt CLR, CLR ) CLR, ULR, I t + I U + Σ U + Σ I oiera się w całości na informaci o szkodach zgłoszonych. Gdy W redyktor est ostaci Σ I U Σ BLU( ULRt CLR, CLR ) CLR, ULR, t + U + Σ U + Σ I oiera się w całości na informaci o szkodach zlikwidowanych. raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

26 Dziękuemy za uwagę Karolina Naierała Wociech Otto raktyka. Warszawa czerwiec 008 Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania

Podobne dokumenty

ZMODYFIKOWANA REGRESJA LOGARYTMICZNO-NORMALNA W SZACOWANIU REZERWY SZKODOWEJ *

Alica Wolny-Dominiak Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach ZMODYFIKOWANA REGRESJA LOGARYTMICZNO-NORMALNA W SZACOWANIU REZERWY SZKODOWEJ * Wprowadzenie W pracy est analizowany proces wyznaczania rezerwy