6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych
|
|
- Łukasz Sadowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 konspekt wykladu / Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem przestrzeni liniowych), gdy dla dowolnych v, u V, a K spelnione sa naste puja ce warunki F (u + v) = F (u) + F (v), F (au) = af (u). Latwo udowodnić nastepuja cy fakt: Uwaga 6.2. Przeksztalcenie F : V W jest liniowe wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych wektorów v 1, v 2,... v n V oraz dowolnych a 1, a 2,... a n K, F (a 1 v a n v n ) = a 1 F (v 1 ) a n F (v n ) Przyklady 1. F : K[x] K[x], w dw dx. 2. Niech B = (v 1,..., v n ) be dzie baza przestrzeni liniowej V nad cialem K. Definiujemy przeksztalcenie M B : V Mn(K), 1 M B (v) = x 1. x n v = x 1 v x n v n. Przeksztalcenie M B jest przeksztalceniem liniowym. Nazywamy je przeksztalceniem wspólrze dnych. 3. Niech X bedzie niepustym zbiorem, K cialem i x 0 X. Przeksztalcenie F : Map(X, K) K, f f(x 0 ) jest liniowe. 4. Niech V = V 1 V 2. Dla dowolnego wektora v V istnieja wtedy wyznaczone jednoznacznie wektory v 1 V 1, v 2 V 2, takie że v = v 1 + v 2. Przeksztalcenie P V1 : V V, v v 1 nazywamy rzutem na V 1 wdluz V 2. Symetria wzgledem V 1 wzdluż V 2 nazywamy takie przeksztalcenie S : V V, v v 1 v 2. Latwo pokazać, że oba te przeksztalcenia sa liniowe.
2 konspekt wykladu /10 2 Twierdzenie 6.3. Niech V, W be przestrzeniami liniowymi nad cialem K i niech B = (v 1,..., v n ) bedzie baza przestrzeni V oraz niech w 1,..., w n be dzie dowolnym ukladem wektorów w przestrzeni W. Istnieje dokladnie jedno przeksztalcenie liniowe F : V W, takie że F (v i ) = w i, dla i = 1,..., n. Niech V, W be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Oznaczmy symbolem Hom(V, W ) zbiór wszystkich przeksztalceń liniowych z V w W. Przeksztalcenia liniowe z Hom(V, W ) mozemy dodawać i mnożyc przez elementy z ciala K. Dla F, G Hom(V, W ), a K (F + G)(v) := F (v) + G(v), (af )(v) := af (v). Zbiór Hom(V, W ) z tymi dzialaniami jest przestrzenia wektorowa nad cialem K. Wektorem zerowym w tej przestrzeni jest przeksztalcenie zerowe przyporzadkowuja ce dowolnemu wektorowi v z przestrzeni V wektor zerowy z przestrzeni W. Twierdzenie 6.4. Niech F : V W, G : W U be da przeksztalceniami liniowymi. 1. Przeksztalcenie G F : V U jest przeksztalceniem liniowym. 2. Jesli przeksztalcenie liniowe F jest odwracalne to F 1 : W V jet również przeksztalceniem liniowym. Definicja 6.5. Niech F : V W bedzie przeksztalceniem liniowym. Wówczas 1. Ja drem przeksztalcenia F nazywamy zbiór kerf := {v V : F (v) = 0}. 2. Obrazem przeksztalcenia F nazywamy zbiór ImF := {F (v) : v V }. Przyklad 6.6. Niech V = V 1 V 2 oraz P V1 be dzie rzutem na V 1 wzdluz V 2. Wtedy KerP V1 = V 2 oraz ImP V1 = V 1. Ponadto P V1 V 1 = Id V1 oraz P V1 + P V2 = Id V. Uwaga 6.7. Niech F : V W bedzie przeksztalceniem liniowym. Wówczas
3 konspekt wykladu / kerf jest podprzestrzenia liniowa V, 2. ImF jest podprzestrzenia liniowa W. Twierdzenie 6.8. Niech B = (v 1,..., v n ) be dzie baza przestrzeni V oraz niech F : V W bedzie przeksztalceniem liniowym. Wówczas ImF = L(F (B)). Twierdzenie 6.9. Niech F : V W bedzie przeksztalceniem liniowym. Wówczas dimv = dimkerf + dimimf. Definicja Przeksztalcenie liniowe F : V W nazywamy monomorfizmem, jeśli F jest róznowartosciowe, epimorfizmem, jeśli F jest na, izomorfizmem, jesli F jest róznowartościowe i na. Twierdzenie Niech F : V W bedzie przeksztalceniem liniowym. Naste puja ce warunki sa równoważne: 1. F jest monomorfizmem, 2. kerf = {0}, 3. F przeprowadza dowolny liniowo niezależny uklad wektorów na uklad liniowo niezależny, 4. F przeprowadza dowolna baze na uklad liniowo niezależny, 5. F przeprowadza pewna baze na uklad liniowo niezależny. Wniosek Niech F : V W be dzie przeksztalceniem liniowym. Naste puja ce warunki sa równoważne: 1. F jest izomorfizmem, 2. F przeprowadza każ baze przestrzeni V na baze przestrzeni W, 3. F przeprowadza pewna baze przestrzeni V na baze przestrzeni W.
4 konspekt wykladu /10 4 Niech F : V W bedzie izomorfizmem przestrzeni liniowych. Z powyższych wniosków wynika, że wtedy dimv = dimw. Ponadto, jeśli dimv = dimw = n to przestrzenie V oraz W sa izomorficzne. Oznacza to, że dwie przestrzenie wektorowe V, W sa izomorficzne wtedy i tylko wtedy gdy dimv = dimw W szczególnosci wynika sta d, ze każda n wymiarowa przestrzeń wektorowa jest izomorficzna z przestrzenia K n. 7 Macierze przeksztalceń liniowych Definicja 7.1. Niech V, W be przestrzeniami liniowymi nad cialem K i niech F : V W be dzie przeksztalceniem liniowym. Ponadto niech uklad wektorów B = (v 1,..., v n ) bedzie baza przestrzeni V, a uklad C = (w 1,..., w m ) baza przestrzeni W. Macierza przeksztalcenia F w bazach B i C nazywamy macierz A = [a ij ] M n m(k) taka, że dla j = 1,..., n. c j (A) = M C (F (v j )), Macierz przeksztalcenia liniowego w bazach B oraz C oznaczamy MC B (F ). Bezpośrednio z definicji wynika, że dla dowolnego j = 1,..., n F (v j ) = m a ij w i. i=1 Uwaga 7.2. Niech F : V W be dzie przeksztalceniem liniowym. DimImF = rz(m B C (F )). Twierdzenie 7.3. Niech V, W be przestrzeniami liniowymi nad cialem K i niech F : V W bedzie przeksztalceniem liniowym. Ponadto niech B bedzie baza przestrzeni V a uklad C = baza przestrzeni W. Przeksztalcenie M B C : Hom(V, W ) M n m(k), F M B C (F ), jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych.
5 konspekt wykladu /10 5 Mnożenie macierzy Definicja 7.4. Iloczynem macierzy A = [a ij ] M k m(k) i macierzy B = [b ij ] M n k (K) nazywamy macierz C = [c ij] M n m(k), taka,że c ij = k a it b tj. t=1 Iloczyn macierzy A oraz B oznaczamy AB lub A B. Uwaga 7.5. Niech A Mm(K) k oraz B Mk n (K). Wtedy dla j = 1,..., n oraz dla i = 1,..., m c j (AB) = Ac j (B), r i (AB) = Ar i (B). Wniosek 7.6. Niech A Mm(K) k oraz B Mk n (K). Wtedy dla j = 1,..., n oraz dla i = 1,..., m: k c j (AB) = b tj c t (A) r i (AB) = t=1 k a it r t (B). Symbolem I n oznaczamy macierz kwadratowa n n taka że I n (i, j) = t=1 { 0 gdy i = j 1 gdy i = j. Macierz taka nazywamy macierza jednostkowa. Dla dowolnej macierzy A M n m(k) otrzymujemy I n A = A = AI m. Twierdzenie 7.7. Wlasności mnożenia macierzy Niech A, A, B, B, C be macierzami takimi, ze wszystkie mnożenia sa wykonalne oraz a K. Wtedy 1. (AB)C = A(BC), 2. (A + A )B = AB + A B oraz A(B + B ) = AB + AB,
6 konspekt wykladu / (aa)b = A(aB) = a(ab). Twierdzenie 7.8. Niech V, W be przestrzeniami liniowymi nad cialem K i niech F : V W bedzie przeksztalceniem liniowym. Ponadto niech B bedzie baza przestrzeni V a uklad C baza przestrzeni W. Macierz A = M B C (F ) wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego wektora v V, M C (F (v)) = A M B (v). Niech B, B be bazami przestrzeni wektorowej V, a przeksztalcenie Id = Id V bedzie przeksztalceniem identycznosciowym przestrzeni V (tzn Id V (v) = v). Macierz M B B (Id) nazywamy macierza zmiany bazy z B do B. Macierz ta pozwala obliczyć wspólrze dne dowolnego wektora z V w bazie B, gdy znamy te wspólrzedne w bazie B. Prawdziwy jest naste puja cy wzór M B (v) = M B B (Id)M B(v). Twierdzenie 7.9. Jeśli V, U, W sa przestrzeniami liniowymi nad cialem K z bazami B, C, D odpowiednio a F : V W, G : W U sa przeksztalceniami liniowymi, to M B D(G F ) = M C D(G) M B C (F ). Twierdzenie Jeśli F : V W jest przeksztalceniem liniowym a B i B sa bazami przestrzeni V oraz C i C sa bazami przestrzeni W, to M B C (F ) = M C C (Id)M B C (F )M B B (Id). 8 Macierze odwracalne Definicja 8.1. Macierz otrzymana w wyniku jednej operacji elementarnej na wierszach (lub kolumnach) macierzy I n nazywamy macierza elementarna. Operacje elemantarne na wierszach lub kolumnach dowolnej macierzy A moga być uzyskane przez mnożenie macierzy A przez macierze elementarne. Wynika to z nastepuja cego twierdzenia. Twierdzenie 8.2. Niech f bedzie operacja wierszowa, a g operacja kolumnowa. Ponadto niech A Mm(K) k i macierzy B Mk n (K). Wtedy f(ab) = f(a)b, g(ab) = Ag(B).
7 konspekt wykladu /10 7 Wniosek 8.3. Jeśli f jest operacja elementarna na wierszach macierzy A, a g operacja elementarna na kolumnach macierzy A, to f(a) = E 1 A, g(a) = AE 2, gdzie E 1 jest macierza elementarna równa f(i) oraz E 2 jest macierza elementarna równa g(i). Twierdzenie 8.4. Macierze A oraz A sa wierszowo równowazne wtedy i tylko wtedy gdy istnieja macierze elementarne E 1,..., E m, takie że A = E 1 E 2 E m A. Definicja 8.5. Macierz A M n n (K) nazywamy odwracalna, jeśli istnieje macierz B M n n (K), taka że AB = I n. Macierz B nazywamy wówczas macierza odwrotna do macierzy A i oznaczamy A 1. Pokazaliśmy, ze macierze (jeśli wybierzemy bazy) wyznaczaja jednoznacznie przeksztalcenia liniowe. Okazuje sie że macierze odwracalne odpowiadaja przy taki utozsamieniu izomorfizmom. Uwaga 8.6. Macierz A Mn n (K) jest macierza odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy przeksztalcenie liniowe F : K n K n takie, że MB B (F ) = A, gdzie B jest dowolna baza K n, jest izomorfizmem. Wniosek 8.7. Niech A Mn n (K). Jeśli istnieje B Mn n (K), takie że AB = I to zachodzi też BA = I. Ponadto taka macierz B jest wyznaczona jednoznacznie. Przyklady macierzy odwracalnych 1. Macierz jednostkowa I i macierze elementarne sa odwracalne.ponadto I 1 = I oraz jeśli E jest macierza elementarna to macierz E 1 odwrotna do niej jest tez macierza elementarna. 2. Macierze zamiany wpólrzednych sa odwracalne. Ponadto (M B B (Id)) 1 = M B B (Id). 3. Jeśli A, B sa macierzami odwracalnymi to AB jest macierza odwracalna i (AB) 1 = B 1 A 1.
8 konspekt wykladu /10 8 Lemat 8.8. Wierszowo zredukowana macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy A = I. Twierdzenie 8.9. Niech A M n n (K). Nastepuja ce warunki sa równoważne: Macierz A jest odwracalna, Macierz A jest wierszowo równowazna z macierza jednostkowa, Macierz A jest iloczynem macierzy elementarnych, Rza d macierzy A jest równy n Poniższe twierdzenie opisuje algorytm znajdowania macierzy odwrotnej. Twierdzenie Niech A M n n (K). Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy macierz A I jest wierszowo równoważna z macierza I B. Ponadto jeśli ten warunek jest spelniony to A 1 = B. 9 Wyznaczniki macierzy Niech A M n n (K). Symbolem A ij bedziemy oznaczali macierz powstala z macierzy A przez usunie cie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny. Dla kazdej macierzy A M n n (K) przyporzadkujemy element ciala K zwany wyznacznikiem macierzy. Definicja 9.1. Wyznacznikiem nazywamy funkcje, która przyporza dkowuje każdej macierzy kwadratowej o wyrazach z ciala K pewien element tego ciala, oznaczany deta, tak że 1. Jeśli A = [a] M 1 1 (K), to deta = a, 2. Jeśli A = [a ij ] M n n (K), gdzie n > 1, to deta = n j=1 ( 1)1+j a 1j deta 1j. Twierdzenie 9.2. (Wlasności wyznaczników) Niech A, B, C M n n (K). 1. Jesli c j (C) = c j (A) + c j (B) dla 0 j n oraz c i (A) = c i (B) = c i (C) dla i = j, to detc = deta + detb. 2. Jeśli macierz B powstala z A przez zamiane miejscami dwóch kolumn to detb = deta.
9 konspekt wykladu / Jeśli macierz B powstala z macierzy A przez pomnożenie jednej (dowolnej) kolumny przez element c K to detb = cdeta. W powyższym twierdzeniu możemy kolumny zasta pić wierszami. Wynika to natychmiast z jeszcze jednej wlasności wyznaczników. Aby ja sformulować wprowadźmy nowe oznaczenie. Dla dowolnej macierzy A Mm(K) n symbolem A T oznaczamy macierz należaca do Mn m (K) taka, ze r i (A T ) = c i (A) dla i = 1,..., n. Inaczej mówiac wiersze macierzy A T to kolumny macierzy A i odwrotnie. Oczywiste jest, że (A T ) T = A. Twierdzenie 9.3. Niech A M n n (K). Wówczas deta T = deta. Twierdzenie 9.4. Niech A Mn n (K). Wówczas dla każdego 1 i n, 1 j n n n deta = ( 1) i+j a ij deta ij = ( 1) i+j a ij deta ij. i=1 Wzory z powyższego twierdzenia nazywamy rozwinie ciem Laplace a, pierwszy wzgle dem j-tej kolumny, drugi wzgledem i-tego wiersza. Wniosek 9.5. Niech A M n n (K) 1. Jeśli w macierzy A wiersz (lub kolumna) jest zerowy to deta = Jeśli w macierzy A dwa wiersze (dwie kolumny) sa równe to deta = 0. Zbadamy teraz jak zmienia sie wyznacznik macierzy A gdy wykonujemy operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy. Przypomnijmy, ze mamy elementarne operacje trzech typów: typu 1: dodanie do dowolnego wiersza (kolumny) innego (innej) pomnożonego przez stala. j=1 typu2: zamiana kolejności wierszy (kolumn) typu 3 : pomnożenie wiersza (kolumny) przez niezerowy element ciala K. Wniosek 9.6. Niech A M n n (K) 1. Operacje elementarne typu 1 nie zmieniaja wyznacznika macierzy A.
10 konspekt wykladu / Operacje elementarne typu 2 zmieniaja znak wyznacznika A. item Operacje elementarne typu 3 mnoża wyznacznik macierzy A przez element ciala K. Twierdzenie 9.7. (Twierdzenie Cauchy ego) Niech A, B M n n (K). Wówczas detab = detadetb. Twierdzenie 9.8. Niech A = [a ij ] M n n (K). 1. Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy deta = Niech A be dzie macierza odwracalna i ponadto niech B = [b ij ] M n n (K) oraz b ij = ( 1) j+i deta ji deta. Wówczas B = A 1. Twierdzenie 9.9. (Twierdzenie Cramera) Niech U be dzie ukladem n- równań z n-niewiadomymi o macierzy wspólczynników A i kolumnie wyrazów wolnych B. Zalóżmy, że deta = 0. Wówczas uklad ma dokladnie jedno rozwia zanie (x 1,..., x n ) takie że dla dowolnego i, x i = deta i deta, gdzie macierz A i powstala z macierzy A przez zasta pienie i-tej kolumny kolumna B.
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoWyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoWykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowo4 Przekształcenia liniowe
MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoDziałania na przekształceniach liniowych i macierzach
Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoEndomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoWydział Fizyki PW Algebra z geometria
Wydział Fizyki PW Algebra z geometria - konspekt wykładu Agata Pilitowska Rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Liczby zespolone 3 2 Geometria analityczna w przestrzeni R 3 9 21 Punkty i wektory 9 22
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoMacierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,
Bardziej szczegółowo2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowo5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoWykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25
Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoWyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3
3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa
Bardziej szczegółowoWydział Fizyki PW Algebra z geometria
Wydział Fizyki PW Algebra z geometria - konspekt wykładu Agata Pilitowska Rok akademicki 07/08 Spis treści Grupy, pierścienie, ciała Liczby zespolone 3 3 Geometria analityczna w przestrzeni R 3 9 3 Punkty
Bardziej szczegółowoRozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b
Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu
Bardziej szczegółowoRozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe
Rozdzia l 1 Przestrzenie wektorowe Materiał tego rozdziału jest, z jednej strony, trudny, bo operuje pojęciami abstrakcyjnymi, a zdrugiej strony łatwy, nie zawiera w sobie istotnych problemów technicznych,
Bardziej szczegółowoKrótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników
Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowo"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 12, 08.01.2014 Typeset by Jakub Szczepanik. Motywacje 2/10 W celu wykonania obliczeń numerycznych w zagadnieniach
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoZajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Bardziej szczegółowoWyznaczniki. Algebra. Aleksander Denisiuk
Algebra Wyznaczniki Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Wyznaczniki
Bardziej szczegółowo