Rozdział 8. Przestrzenie Hilberta. 8.1 Przestrzenie unitarne

Transkrypt

1 : : : Rozdział 8 zeszenie Hilbea aszym celem jes pzedsawienie podsawowych meod związanych z pw wyposażonych w iloczyn skalany Mamy na uwadze nie ylko zasosowania algebaiczne, np do badania waości i wekoów, ale i analiyczne jak pzeszenie, kóe są pzydane np do upawiania mechaniki kwanowej Wsępny podozdział ma chaake ogólny niezależny od wymiau pzeszeni W 82 jeseśmy zaineesowani pzeszeniami nieskończenie wymiaowymi a od podozdziału 83 skupiamy się ponownie na pzypadku skończenie wymiaowym 81 zeszenie uniane gubsza zecz ujmując, yułowe pzeszenie o są pw wyposażone w iloczyn skalany Deinicja 1 iech będzie pw nad owiemy, że jes pzeszenią unian jes zadana 2-oma liniowa "!#"% (i) dla dowolnych (ii) dla dowolnych (iii) dla każdegow i a (pu) jeśli, j unkcja o nasępujących właściwościach: mamy #)"!*, "!* )-!0 & ( -1 mamy "23 4, 658, nado,9 wedy i ylko wedy, gdy % zykłady 1 (1) ze zwykłym iloczynem skalanym jes pu 8 <= (2), dla : kładziemy <>@?AB :D #FED: gdzie EHG jes iloczynem skalanym <> <)M & (3) iech, gdzie :, oznacza zbió unkcji <>> Wedy wzó całkowalna w niewłaściwym sensie Riemanna na : -TDU9VXW Y 1 [*I\ T*[*^]# <> O akich, że QR jes

2 O : 2 RODIAŁ 8 RETREIE HIBERTA deiniuje iloczyn skalany [ _` (4) iech, oznacza zbió unkcji R niewłaściwym sensie Riemanna na Wedy wzó KT^3 Va bdc [*et[*^]# akich, że QR jes całkowalna w deiniuje iloczyn skalany (5) iech hg będzie oway, wedy oznacza zbió unkcji i akich, że Qj jes całkowalna w niewłaściwym sensie Riemanna na jes pu z iloczynem skalanym zdeiniowanym podobnie jak wyżej Ławe spawdzenie, że podane wzoy zadają iloczyny skalane, pozosawiamy czyelnikowi <> [ hcemy podkeślić, że pzeszenie, i są uogólnieniami pzeszeni Euklidesowych k Ważna olę w dalszych ozważaniach odega pojęcie posopadłości iech będzie pu, powiemy, że!#" są posopadłe, jeśli [!#"(lm, piszemy!onp O układzie wekoów q sus>vw (zbió wskaźników x może być nieskończowny) powiemy, że jes układem oonomalnym (piszemy uo) jeśli dla dowolnych wekoów z układu mamy Jeśli baza q s s< Iy s jz d jeśli } jeśli } ~ -wymiaowej pu jes uo, o znajdowanie pzedsawień dowolnego % s< ss d, o mamy w ej bazie jes ławe Jeśli 4 s< s s %D E, E Mnożąc skalanie pzez dowolny weko bazy y dosaniemy 4 4 s< sis Iy 3p Iy s< s s Iy jm Iy y j s< Iy Iy ˆD< Š zczególnie ineesujące będzie zasosowanie ego sposzeżenia do im o zobimy somułujemy wniosek wypływający wpos z właściwości iloczynu skalanego, był on wykazany dla, (paz wiedzenie 126), eaz zajmiemy się ogólnym pzypadkiem Dzięki swej posocie i ogólności jes wa pzyoczenia wiedzenie 1 (ieówność chwaza) iech będzie pu, -( p0 # -Œ, wedy

3 V V E ³³ ± ³³ z Š E ²! Š ² V E E 82 EREGI FOURIERA 3 Dowód iech "2 % ~ p ) 0 * K, bo inaczej nie ma czego dowodzić Wedy, š 4 0œ 0œ [) 0œ ) [) "( ) 0œ [) 0 # 4 Œ0 # Œ0œ ž 0œ<Ÿ 4 > Jeśli mamy daną pu o możemy w niej zdeiniować nomę wzoem [!#"!*0 Dzięki nieówności chwaza ławo jes spawdzić, że nowy obiek spełnia waunki nomy ozosawiamy o zyelnikowi 82 zeegi Fouiea D0 Š ajmiemy się układami uo w pu akich jak, zakładamy pzy ym, że badane unkcje mają waości zeczywise zedsawimy ygonomeyczny uo Będzie nas ineesować znajdowanie współczynników wekoów w bazie, j współczynników Fouiea Inuicyjnie zecz ujmując znajdowanie współczynników Fouiea oznacza szukanie składowych hamonicznych dźwięków ozosawiamy czyelnikowi spawdzenie nasępujących ówności dla dowolnych liczb naualnych i E : -ª * -ª *^]`«gdy ~ gdy *^]«Tym samym układ wekoów q su ² s<, gdzie s E E«G ± Š *D I *D I gdy E I * gdy E * -ª gdy E -ª gdy ~ gdy gdy 9 Œ Œ E EHG 9 *^] %D jes uo i nazywamy go ygonomeycznym układem oonomalnym podziewamy się, że D0 Š# ygonomeyczny uo jes baz mamy a i dla dowolnej unkcji należącej do s< s s s< sis

4 V V ² V V \ V \ s s 5 4 RODIAŁ 8 RETREIE HIBERTA ajmijmy się wyznaczeniem Dla E dla E 9 Œ mamy s s iech E Š Š Š 9 * -, zauważmy, że [*^]«µ *^]«: : *^]«% *D I I -ª *> *> gdzie położyliśmy, : Š [*D *^]# Š [* K *^]# iczby :, nazywamy współczynnikami Fouiea unkcji owsaje naualne pyanie: czy isonie *3 : : I gdzie szeeg po pawej sonie nazywamy szeegiem Fouiea? Odpowiedzią zajmiemy się nieco później zedem pzedsawimy pomocnicze ozważania iech będzie dowolną pu nad O i q su ² s" niech będzie dowolnym uo Badamy dla wekoa gdzie s s > sumę s< * sis auważmy, że dzięki właściwościom iloczynu skalanego dosaniemy š y Iy s s žm y¹ s< y¹ s" - *K> y \ s Iy s 3 s< º» onado, j š Wynika sąd, że wekoy ) 4 s< i 3p s s ž¼ s< s s j s< są posopadłe, mamy bowiem R s 9 %d aem nieówność chwaza (1) powadzi do nasępującego wniosku: ½p0œ`

5 ² ² ² ² s ² Š 82 EREGI FOURIERA 5 a sąd p0œ W pzypadku nieskończonego uo q s po pzejściu z do nieskończoności dosaniemy zwaną nieównościa Bessla s< p0œ Uwaga ieówność (3) saje się ównością wedy i ylko wedy, gdy s< ss ˆ¾ albowiem na mocy powyższych achunków i właściwości iloczynu skalanego mamy 0œ 0 ) 04»k ` i żądany ak uzyskamy po pzejściu z do nieskończoności owóćmy do zadanego wcześniej pyania o zbieżność szeegów Fouiea Odpowiedź jes zawaa w wiedzeniu poniżej Twiedzenie 2 Jeśli unkcja À Š j mamy [* : jes zbieżny jednosajnie i jego ganicą jes unkcja & jes okesowa o okesie Š, j dla dowolnej liczby i spełnia waunek ipschiza ze sała Á, o jej szeeg Fouiea D< ŠÄà Uwagi zy naszych założeniach unkcja oganiczona do pzedziału D0 Š#  : * -ª *- jes elemenem pzeszeni omułowane pzed chwilą wiedzenie nie jes ławe Jeśli o unkcji założyć jedynie ciągłość i okesowość, o zagadnienie saje się badzo udne Dość powidzieć, że dopieo w laach 0-ych XX wieku wykazano, że szeeg Fouiea unkcji ciągłej jes do niej zbieżny, ale być może poza zbioem miay zeo zeegi Fouiea są badane od począku XIX wieku zykłady 2 pzedziału  D< ŠÄà [*jåš# iech unkcje (a) unkcji okesowych o okesie Š, wedy *3ÇÆ Šœ È ÊÉ *0 Š#@ T[*3 i (b) T *R8 ˆD0Š - będą obcięciami do auważmy, że unkcja T nie jes ciągła, ale należy do, więc jes sens mówić o jej szeegu Fouiea Od azu widać, że jej szeeg Fouiea nie będzie zbieżny jednosajnie i nie będzie zbieżny w punkach 9d «9 Š *

6 s ß Ã Â s Ã Ã Þ 6 RODIAŁ 8 RETREIE HIBERTA 821 zeszenie Ë)ÌDÍ<ÎÐÏ i całka ebesgue a hcielibyśmy zwócić uwagę na jeszcze jeden aspek Twiedzenia 2 A mianowicie mówiliśmy w nim o zbieżności jednosajnej unkcji, kóe w naualny sposób były elemenami pzeszeni ˆD< Š Ta pu jes w naualny sposób wyposażona w meykę daną wzoem ]Ñ[#"DÓ, ale w wiedzeniu nie ma mowy o akiej zbieżności, dlaczego? o piewsze, zbieżność jednosajna jes w miaę pzejzysa i wiemy, że ganice jednosajnie zbieżnych ciągów unkcji D0 Š# ciągłych są ciągłe o dugie nie badzo wiemy, co oznacza odległość w ajmijmy się ą spawą Wiemy, że w pzeszeniach unianych ciągi auchy ego są zbieżne zykład 3 badamy pewien pzykład ciągu auchy ego w meyce ej pzeszeni, dla uposzczenia zasępując pzedział  pzedziałem  iech qô ² D0ŠÄà D oznacza zbió wszyskich liczb wymienych z pzedziału  D Kładziemy Oczywiście ˆD i Ý Ławo jes spawdzić, że dla dowolnego À *RÅÕ,Öˆ Ø ÚÙÚÙÚÙ ciû [* Œ`Ü o więcej ciąg q Ü Ü D u D mamy á ªà ² [*j%õœâuã½ä å ² gdy jes ciągiem auchy ego, bo Jak wiemy Õ#âuã½ä å nie jes unkcją całkowalną w sensie Riemanna, nawe w sensie niewłaś- D ciwym, dlaego nie może być elemenem yuację, gdy ciąg, kóy wydaje się, że powinien być zbieżny i jes zbieżny punkowy, yle że ganica nie leży w ozpaywanej pzeszeni, uznajemy za paologiczną hcemy by ciągi auchy ego były zbieżne Okazuje się, że mamy chody u dobej wóżki: Twiedzenie 3 iech q ² g auchy ego w meyce wyznaczonej pzez iloczyn skalany w unkcja 1, że w ym sensie, że dla dowolnego æ)g EX, gdzie jes owaym podzbioem, będzie ciągiem ß á ªà ² À é isnieje ç)è H¼ =ëfæ, że dla Gêçè mamy Wedy isnieje aka Uwagi Ganica może nie być elemenem az popzedni pzykład Tym samym możemy powiedzieć, że dokonaliśmy kolejnego ozszezenia pojęcia całki Riemanna bió ganic ciągów auchy ego gwaanowanych w popzednim wiedzeniu będziemu oznaczali symblem

7 õ ò ì ì T ß í T ì ò T ì ò ñ ß T ì ò ì ì T ß í ò ì ò ì í í ì ò ñ Þ É 82 EREGI FOURIERA są całkowalne w sensie ebesgue a, albo w skó- o jego elemenach będziemy mówić, że ÚR cie, że są całkowalne z kwadaem Tym samym Õ â»ã`ä o ˆd å o gosza, można wskazać pzykład ciągu zbieżnego w j żadnym punkcie Tzeba jeszcze okęslić całki z unkcji w 3 j, wedy kładziemy Vì *K]ÀB Vì á à ² [*K]# gdzie q ² jes ciągiem auchy ego, kóego ganicą jes ganica jes dobze okeślona pawdzamy mianowicie, że jes ciągiem auchy ego Mamy bowiem Ú: Vì ¼:í îp * : Ýí V ì [*K^], kóy nie jes zbieżny w i jej nomy obimy o eaz iech [*^]# auważmy, że pawą sonę można zapisać jako iloczyn skalany w unkcji ożsamościowo ównej 1 nieówności chwaza dosaniemy aem q : Ú: :`í½ Mí ñ jes ciągiem auchy ego i jego ganica ó ją całka ebesgue a unkcji -TÊoj iech, wedy kładziemy -TD ò B á à ² Vì [*et [*^] ô pawdzamy, że ww ganica jes dobze okeślona Mamy KT í KT Vì *T Vì Q *T i dalej dzięki nieówności chwaza dosaniemy V ì Q * [* [* ]` ¼í ¼í ñ ñ 1 powyższego achunku, wynika iż KT V ì Vì Q ñ *K] * * T [* í ñ ò ganica isnieje owyższy achunek pokazuje eż, że deinicja nomy w j B ß á à ² Vì á à ² ¼í Ýí * Ýí Tzeba spawdzić, że ww [* ]# unkcji Q ðí4 i jes dobze okeślona i nazywamy * í ñ [*et [*et -T ªQí [*K^]` [* * ]`H9õ ] gdy ö jes ciągiem auchy ego, ym samym jego Q * ]# podana niżej jes popawna:

8 ø ø \ ÿ Æ 8 RODIAŁ 8 RETREIE HIBERTA odsumowując nieoczekiwane znaczenie ciągów auchy ego wpowadzimy nową deinicję Deinicja 2 owiemy, że pu jes pzeszenią Hilbea, jeśli każdy ciąg auchy ego ma ganicę w Ważnym akem jes nasępujące swiedzenie, kóego dowó pomijamy wiedzenie 4 zeszenie R są pzeszeniami Hilbea Jak się zyelnik być może pzekona w pzyszłości, pzeszenie Hilbea (a zwłaszcza R [ k > ) są właściwymi pzeszeniami do upawiania mechaniki kwanowej ie będziemy eaz ozwijali ego emau Innym ważnym pzykładem pzeszenie Hilbea są pzeszenie Euklidesowe 2 83 zekszałcenia uniane i oogonalne O Będziemy osobno ozwaźali skończenie wymiaowe pw nad jak i nad aczniemy od deinicji pzemiou naszego zaineesowania Deinicja 3 iech i ø będą pu i m ø będzie pzekszałceniem liniowym spełniającym waunek: (@ú m "2Kû dla wszyskich "Œ Wedy powiemy, że (a) jes uniane, jeśli jes pw nad O (b) jes oogonalne, jeśli jes pw nad odamy eaz seię pzykładów zaczynajac od najposszych zykład 4 iech O i, gdzie Ú zypominamy, że ˆD-( i=\ Widzimy, że D (, &\ Åpˆd"(, jes uniane Å zykład 5 iech, z naualnym iloczynem skalanym Kładziemy [ K - ýob - ý pawdzamy, że jes oogonalne: (Um- ý ½ Maciez pzekszałcenia o þ Ogólniej pzekonamy się, odwzoowanie, jes oogonalne " ý 3pK ` %ÿ þ I I -ª - ý [, kóego maciez o " ý j "2>

9 } ø ø O y G \ x y \ 83 REKTAŁEIA UITARE I ORTOGOAE 9 zykład 6 iech będzie zadana maciez Wedy a, z naualnym iloczynem skalanym iech jes odwzoowaniem oogonalnym zykład iech wynika z 82 każdy weko Kładziemy y gdzie liczby O spełniają Ú oononomalnej q > (, i q Ä niech będzie dowolną baza oonomalną Jak można zapisać w posaci, } dosaniemy, że y s< y \ s y \ yj y¹ y Iy y Iy właściwości iloczynu skalanego i bazy s Iy s j y¹ y \ y p "2> auważmy, że odwzoowania uniane i oogonalne są odwacalne, gdy à ø ëœþ Jes ak, q Å bo Mianowicie, jeśli ) >œ, o p Up Wnosimy sąd, że odwzoowanie odwone do zawsze isnieje Wybó bazy, np bazy oonomalnej, pozwala nam na uożsamianie pu z O (odpowiednio, z k ) dla odpowiedniego a odwzoowań liniowych z maciezami Możemy eaz zapyać jak schaakeyzować macieze uniane (odpowiednio, oogonalne) samej deinicji II mamy dla usalonej bazy oonomalnej q Iy j Iy Oznacza o, że elemen maciezy albo 0, gdy }A~ Tym samym jô ýy ý \ U 0 # z gdy } gdy } ~ ý \ na pzecięciu } -ego wiesza i -ej kolumny o 1, gdy ý \ jes maciezą ożsamościową ý \ ] È Jeśli najpiew weźmiemy zespolone spzężenie obu son (6) a nasępnie pomnożymy o ównanie z pawej sony pzez Ü, o dosaniemy ý Ü»

10 x ý ø ø 10 RODIAŁ 8 RETREIE HIBERTA Oznacza o, że znajdowanie maciezy odwonej do maciezy unianej (oogonalnej) jes badzo pose: wysaczy policzyć spzężenie i ansponować daną maciez W pzypadku zeczywisym spzężenie jes niepozebne Równość () częso jes używana jako deinicja maciezy unianej (oogonalnej) bió maciezy unianych (odpowiednio, oogonalnych) na oznacza się symbolem (odpowiednio, ) Odnoujmy jeszcze dwie ciekawe właściwości auważmy, że jeśli obliczymy wyznacznik obu son (6), o dosaniemy ] ý \ j A jeśli dodakowo, o mamy łynie sąd ważki wniosek analiyczny, jeśli wpowadzimy nowe zmienne ð i jes pzekszałceniem oogonalnym, o wzó na zamianę zmiennych w całce mówi, że miaa zbioów się zachowa, j jeśli jes zbioem miezalnym w sensie Jodana-Riemanna, o! " 3! auważmy jeszcze, że zbioy i są wyposażone w sukuę gupy: wiemy, że mnożenie maciezy jes łączne Elemenem obojęnym mnożenia jes maciez ożsamościowa Widzimy eż, że i są zamknięe na opeację bania elemenu odwonego j maciezy odwonej Wynika o wpos z deinicji i wzou () \ > «84 Fomy dwuliniowe i kwadaowe nad, eoia pw nad O wymaga pewnych zmian Będziemy eż zakładali dla uposzczenia, że jes pu acimy nieco na ogólności, ale zyskujemy na pzejzysości asz cel, o wpowadzenie naualnego uogólnienia pojęcia iloczynu skalanego W ym paagaie ozważamy dla naszej wygody wyłącznie pw Deinicja 4 iech, ø będą pw owiemy, że unkcja # p jes pzekszałceniem dwuliniowym, jeśli unkcje 6)#H "(R %À &( ø pzy usalonym % &( 26*#«"26 % pzy usalonym są liniowe Jeśli ø, o pzekszałcenie dwuliniowe # nazywamy oma dwuliniowa Oczywisym pzykładem omy dwuliniowej jes iloczyn skalany Inny, ogólniejszy, jes podany niżej iech #"HÀ i jes macieza na, kładziemy #«[#"D3Å ý ô[# ^0,

11 1 & 1 ý ý ý 84 FORMY DWUIIOWE I KWADRATOWE 11 jes zwykłym iloczynem skalanym Wedy czyelnik ławo spawdzi kozysając z właściwości iloczynu skalanego, że isonie jes o oma dwuliniowa O pzekszałceniu dwuliniowym, w szczególności o omie, powiemy, że jes symeyczne, #«"23-#«[) jeśli "1 dla wszyskich Możemy zadać naiwne pyanie, czy są inne pzykłady om dwuliniowych niż e zadawane wzoem (8) dla pewnej maciezy Okazuje się, że pawdziwy jes nasępujący ak wiedzenie 5 Każda oma dwuliniowa # jes posaci (8), j isnieje aka maciez, że #«"(3p 2> Jeśli dodakowo # jes omą symeyczną, o jes maciezą symeyczną, j więcej, jes wyznaczona jednoznacznie Deinicja 5 iech będzie pw owiemy, że unkcja À 3 (a) dla dowolnego i, mamy -( #«"2 (b) unkcja ok0 ( ^ " " ý o jes oma kwadaowa, jeśli jes omą dwuliniową nazywaną oma sowazyszoną auważmy, że oma dwuliniowa sowazyszona jes koniecznie symeyczna koo wiemy, jak wygląda ogólna posać omy dwuliniowej, paz (8), o auomaycznie dosaniemy, że każda oma kwadawa jes posaci j asanówmy się, co się sanie z omą dwuliniową, gdy zmienimy bazę w pu, j zmienimy układ współzędnych iech21 będzie dowolnym wekoem W nowym układzie współzędnych (w nowej bazie) zapiszemy go jako gdzie gdzie 31 jes nieosobliwym pzekszałceniem liniowym, j #«" 31 j ý 1 p ý 2 = > R 2 q [(K Dla 1,4 mamy Dosaliśmy wzó opisujący zamianę maciezy omy waz ze zmianą bazy Wpawdzie zosał on % wypowadzony dla, lecz (10) jes pawdziwy w dowolnej pw Można pzy ym zapyać, czy isnieje aka zamiana bazy, że w nowej bazie maciez pzyjmuje posą omę Odpowiedź jes nasępująca: Twiedzenie 6 Isnieje aka zamiana bazy = w pu, że w nowej bazie mamy diag 0 j w maciezy ylko na pzekąnej wysępują wyazy niezeowe o więcej wybać, aby diag II > <DI><`> ` można ak

12 ý x ] s s ý 6 12 RODIAŁ 8 RETREIE HIBERTA 5 gdzie jedynka wysępuje 5 azy zaś wysępuje 6 azy, 5 6 aę 5 nazywamy sygnauą omy zasem badziej nam zależy na ym, aby zamiana zmiennych była posą opeacja, aniżeli na szczególne sukuze maciezy oogonalnej Mamy mianowicie, nasępujący pozosawiony bez dowodu ak Twiedzenie Jeśli jes maciezą omy dwuliniowej #, o isnieje jaka zamiana bazy pu, że maciez # w nowej bazie jes diagonalna, j 2 diag II Ä ado, maciez można ak wybać, aby W ym miejscu zamieścimy eż dodakowe uwagi doyczące iloczynu skalanego w 2 9 mamy ë zypominamy, że dla dowolnego~ aząc na iloczyn skalany jak na omę dwuliniową naychmias zauważamy, że jego maciez (pzypominam -() ý ) jes dodanio okeślona (paz 461) Tym samym każda maciez dodanio okeślona zadaje iloczyn skalany w wzoem (8)! o więcej, w pewnej bazie owa maciez jes macieza pzekaniow a (aka jak (11)), a nawe można dosać, że dla pewnego, mamy 2! ajmiemy się eaz pakycznym sposobem znalezienia bazy oonomalnej w pu A mianowicie, jeśli` jes dowolną bazą, o pzepowadzimy oogonalizację Gama- chmida ego układu wekoów, kóego wynikiem będzie baza oonomalna akładamy Kładziemy pzy ym, że à B `98Ñ0` 5 oczywiście ma nomę 1 Dalej, 0 Å 8Ñ zauważmy, że j I j9d Tym samym wekoy i są oogonalne Dalej posępujemy indukcyjnie kładąc, Ü s s s Iy Iy s % s s y¹ 8Ñ pawdzamy, że s jes posopadły do y >, } Eµ : Ü [ s j s s Iy I Iy jp s y¹ auważmy, że opeacje pzejścia od układu q q II Iy ½ do q Iy Iy II nowy układ q I jes baza do układu q s 39D II i dalej od nie zmieniają ilości wekoów lnz Tym samym

13 A ß í = É É A A í É 85 METODA AJMIEJYH KWADRATÓW Meoda najmniejszych kwadaów Będziemy zakładali, że : jes pzeszenią Hilbea, niekoniecznie nad a chwilkę zdeiniujemy pojęcie zuu iech będzie domknięą podpzeszenia liniową :, założenie domknięości jes uczynione R na pzypadek gdy, np : W pzypadku, gdy ªà : ë Þ jes ono auomaycznie spełnione Deiniujemy odwzoowanie õ : w nasępujący sposób Jeśli :, o õ( Å, gdzie jes akie, że ª < v?> Musimy najpiew odpowiedzieć na pyanie, czy aki weko ÀM ² = kesu dosaniemy oczywiście isnienie akich wekoów, że á à l < v?> µ½] ² Wykażemy, że ciąg " w ogóle isnieje deinicji jes ciągiem auchy ego Oóż opzemy się na ożsamości ównoległoboku, kóa jes pawdziwa dla dowolnych : należących do pu :, >:= >:4 Œ^ Jej spawdzenie pozosawiamy czyelnikowi auważmy eaz, że í4 Œ^ í % í Œ^ í íð 8 ^ í 1 ] Dˆ] ] ] 9D q aem isonie, g jes ciągiem auchy ego akładaliśmy, że : jes pzeszenią Hilbea, zaem dosaniemy isnienie Ý :, że ß à í á ² koo podpzeszeń jes domknięa, o mamy sąd, że Ho konsuowane odwzoowanie õ nazwiemy zuem oogonalnym Odpowiedniość ej nazwy sanie się za chwilę jasna Mamy bowiem wiedzenie 8 õ( 8 wedy i ylko wedy, gdy [ >:œ 1 *<3% > dla wszyskich Xo iech Ý będzie dowolnym wekoem, wedy H BA dla pewnego A mamy Gdyby Ñ % ~ p A, p A, [ *, o moglibyśmy zasąpić A pzez A<, gdzie [ * p D A, E A ë - A Ý Mielibyśmy wedy i

14 F Â í í Â í H H I E } ö 5 í É 14 RODIAŁ 8 RETREIE HIBERTA dla dobanego odpowiednio nalezienie pzykładu odpowiedniego pozosawiamy zyelnikowi jako ćwiczenie własne Uzyskana spzeczność pokazuje, że [ *"ǜ 39 Dowolny elemen Xo możemy zapisać jako 4% A, gdzie dzięki założeniom o jes posopadły do A aem A, 1AU o kończy dowód swiedzenia ajmiemy się eaz somułowaniem yułowego zagadnienia zepowadzajac doświadczenie chcemy znaleźć badane wielkości II- zeważnie bezpośedni ich pomia nie jes możliwy Możliwy jes naomias odczy wielkości II- í, kóe zależa w znany sposób od II-, a mianowicie s ˆ s K - > I> gdzie s są paameami doświadczenia zepowadzamy ö zagadnienia znalezienia >- jednak jeśli ö G dokładne ozwiązanie powyższego ównania, ale możemy szukać pzybliżają uzyskane wyniki doświadczalne II- G p[ I>" JI jp KI I ˆ są wekoami z í odległość G i H : (oznaczenie Io [ G HD ałóżmy, że unkcja jes klasy M s y s< ¼ i s< IIK s Ý doświadczeń owsanie o nie należy się spodziewać, że uzyskamy IIK, kóe najlepiej í Jeśli uznamy, że KI K ), o możemy chcieć znaleźć I minimalizujące ˆ s - II- -, wedy waunkiem koniecznym isnienia minimum jes s - I K - ÅD > owyższe ównanie nazywamy ównaniem nomalnym Ważny pzypadek szczególny dosaniemy, gdy unkcja jes liniowa, j OI#R dla pewnej maciezy o wymiaach ö na Wedy ównanie nomalne (13) pzyjmie posać G I3 Q G I eã*r Q G I# ý Q G I eã*9 ý I ý Q G % albo ý IÀ ý G W najposszych pzypadkach można (14) ławo ozwiązać, w ogólności zeba posłużyć się kompueem i wyainowanymi meodami numeycznymi zejdziemy eaz do wykazania, że nasze zagadnienie najmniejszych kwadaów ma ozwiązanie Jednocześnie podamy jego inepeację geomeyczną ¾`

15 E ý í v s s 85 METODA AJMIEJYH KWADRATÓW 15 Twiedzenie 9 iniowy poblem najmniejszych kwadaów abdc à ª ma co najmniej jedno ozwiązanie Jeśli jes innym ozwiązaniem, o więcej, osaek E Æ o Ô B% ý Ô Każde ozwiązanie jes ozwiązaniem jes wyznaczony jednoznacznie i spełnia ównania nomalnego (14) i na odwó: Rozwiązania (14) są ozwiązaniami poblemu minimalizacji (15) Dowód deiniujemy B ImÇg í koo jes domknięą podpzeszenią, o isnieje i deinicji zuu isnieje dokładnie jedno 9õ Êo akie, że zu õ ` õ àx v = ò właściwości zuu mamy, że õ Xnm dla dowolnego HÐ koo jes obazem, o isnieje aki À k, że Wedy Ô i Ô nœ dla dowolnego Xo, j )m Ô <ǜ jp Ô *j Ô ý «p ý Ô ý ý Ô -* W szczególności powyższa ówność pociąga zeowanie się współczynni- dla każdego ý Ô ków w dowolnej bazie oonomalnej aem 4 ý Ô ý D i jes ozwiązaniem ównania (14) Opowiedzmy posy pzypadek zykład 8 W wyniku pzepowadzenia seii doświadczeń dosajemy zbió punków na płaszczyźnie T9 q y y íy¹ adanie polega na zasosowaniu meody najmniejszych kwadaów do wyznaczenia unkcji liniowej : minimalizujące wyażenie (12): najlepiej pzybliżającego zbió T hcemy wyznaczyć : i s< s s M: > Aby uzgodnić nowe i sae oznaczenia napiszemy :, II ö Wedy ównanie (14) pzyjmuje posać ý Ó ý * gdzie 9 jes maciezą i ýñ 9, s s Isnienie ozwiązań jes zapewnione wiedzeniem i s,,

16 ] O O 5 16 RODIAŁ 8 RETREIE HIBERTA 86 Wekoy i waości własne Będziemy się zajmowali sukuą odwzoowań liniowych, gdzie jes dowolną pw nad lub O Okaże się, że pzypadek zespolony jes posszy W popzednim wykładzie pokazaliśmy kilka posych pzykładów pzekszałceń W pzykładzie można było wskazać wekoy, kóych obazem były one same pomnożone pzez pewną liczbę, osoa powyższej sukuy zasługuje na podkeślenie: Deinicja 6 iech będzie pw nad i niezeowy weko dla pewnego spełnia będzie pzekszałczeniem liniowym Jeśli, o powiemy, że jes wekoem własnym, zaś jes waościa własna pzekszałcenia bió wekoów własnych odpowiadających waość własnej łącznie z wekoem zeowym jes podpzeszenią liniową oznaczaną VU i nazywana podpzeszenią własna odpowiadającą Okeśliliśmy pewien elemen sukualny maciezy, ale nie mamy pewności, czy zawsze isnieje, ani jak go wyznaczać auważmy, że jeśli jes wekoem własnym a! odpowiadającą waość własną, o mamy j maciez %! x auważmy eaz, że unkcja 9! x jes osobliwa, czyli jej wyznacznik znika: _B ]î 9d W 9! ]î> x ]î 9D x jes wielomianem zmiennej azywamy go wielomianem chaakeysycznem Jesłi liczba! (w ogólności zespolona) jes waością własną, o! jes piewiaskiem wielomianu chaakeysycznego a odwó, jesłi liczba jes jes piewiaskiem 5, o jes spełnione ównianie (1), j waością własną Dosaliśmy ym samym pakyczne nazędzie wyznaczania waości własnych Jeśli jes pw nad O, o dzięki zasadniczemu wiedzeniu algeby isnieje! zespolony piewiasek 5 ecz jeśli mamy do czynienia z macieza zeczywisą, o jej wielomian chaakeysyczny może nie mieć zeczywisych piewiasków, np þ ]d3 ÿ i % x wielomian chaakeysyczny nie ma piewiasków zeczywisych Rozważmy eaz możliwość innej komplikacji sukuy maciezy zykład 9 iech będzie dane maciezą!! I I! È

17 O : : : y [ 1 1 y O 86 WEKTORY I WARTOŚI WŁAE 1 w bazie q! jes -konym piewiaskiem 5 I Ławo się pzekonać, 5 zede wszyskim jednak odnoujmy, że! pawdźmy, czy są inne wekoy (opócz 1 y Iy E, mielibyśmy o, ÅŒ y¹ Wypływa skąd wniosek, że co jes ównoważne emu, że õ Ô mi½ Iy! Ü y¹! Iy, E Å! 4 yj 9 yj! Iy Ü } m y! Iy y w Iy %, j %dii ) należace do YX Jeśliby dla pewnego, j owinniśmy eaz zasanowić się, jak się zmienia maciez odwzoowania, gdy zmieniamy bazę w pw iech weko w saych współzędnych o, zaś w nowych o, wedy gdzie pzyjmie posać 1 - Ü yj Iy nazywamy maciezą pzejścia, (paz (9)) Wedy zagadnienie własne onieważ chcemy znaleźć weko Dosaniemy wedy A 1, o mnożymy powyższe ównanie z lewej sony pzez Ü Ü Możemy wedy zapyać, jaka jes najpossza sukua maciezy znaleźć maciez pzejścia Oo odpowiedź na piewsze z pyań Twiedzenie 10 (posać Jodana maciezy) ałożmy, że w nowej bazie ma posać aka baza, że Ü Œ ([ s i po zamianie bazy i jak, wedy isnieje

18 y [ ] 5 y y s 6 É É y ~ 18 RODIAŁ 8 RETREIE HIBERTA gdzie EH, zaś [ y, } E nazywamy klakami Jodana i mają one posać [ y I gdzie jes waością własną zejdźmy eaz do pyania jak znaleźć maciez pzejścia Usalmy piewszą waość własną iech będzie wekoem własnym opowiadającym waości własnej i y dii\ y Iy Iy } będą wekoami dołaczonymi, akimi, że Ü Wedy w piewszej kolumnie maciezy zapisujemy, w dugiej id aż do wyczepania wekoów dołączonych do odobnie posępujemy z pozosałymi wekoami własnymi odpowiadającymi waości własnej i dalej aż do wyczepania wszyskich waości własnych Musimy więc umieć liczyć ªà YU jak i znajdować wekoy dołączone ównania (16) wynika naychmias na podsawie swiedzenia 2, że dim ]U ząd maciezy 9 x ]î> gdzie jes wymiaem maciezy kolei, o samej deinicji wekoa dołączonego wiemy, że weko dołączony spełnia ]d 9 x A zaem po wzięciu %D x od obu son ]î 9D Å x * Aby uławić wysłowienie się wpowadzimy pojęcie koności piewiaska wielomianu ø, jes [*= * [* o aka liczba naualna E, że ø ^, gdzie 6 jes wielomianem i 6 Używając nowego pojęcia, ozważmy pzypadek, gdy à _U koność piewiaska wielo- [* mianu chaaeysycznego 5 Jodana ile wynosi kono ść Innych syuacji nie będziemy ozważali badajmy konkeny zykład 10 iech Wedy Wedy poces badania kończy się, mamy yle 1 na 1 klaek j ]î3 ð x j jes piewiaskiem poójnym wielomianu i bez dodakowych inomacji mamy 3 możliwości maciezy Jodana: [ Ê `

19 x ] ý x x É Ã 86 WEKTORY I WARTOŚI WŁAE 19 najdujemyå : ð ]) Ławo znajdujemy, że ząd ej maciezy jes ówny jeden, więc z (18) wynika, że dim i posać Jodana maciezy o [ najdziemy eaz bazę, o kóej mowa w wiedzeniu 10 zykładowe lnz elemeny o Badzo ławo spawdzić, że ]î 1, więc dowolny weko, kóy nie jes kombinacją liniową Ǹ i jes kandydaem na dołączony Weźmy <D<Ký pawdzamy, że Ǹ * Widzimy, że wysaczy pzyjąć Ǹ, bo jes on wekoem własnym i Mamy wedy, a koniec kładziemy Wedy właściwą baza jes, zaś maciez pzejścia jes  i spowadza ona do posaci [ zypomnijmy, że jeśli jes maciezą omy kwadaowej (j jes zeczywisa i symeyczna), o isnieje, aki że ý Ü = diag 0 amięając, że dosaniemy, że dla dowolnej zeczywisej i symeycznej maciezy isnieje baza, aka że w niej pzymuje posać (19) 861 Układy liniowych ównań óżniczkowych oa na zasosowania iech będzie zeczywisą maciezą symeyczną 2 na 2 adanie polega na ozwiązaniu układ ównań óżniczkowych zwyczajnych Wiemy, że ozwiązanie & # &ˆ`3Å º»` isnieje Wiemy eż, że isnieją dwie waości własne Ä, (mogą być ówne) i odpowiadające im wekoy własned i Wedy nasze ozwiązanie zapisuje się nasępująco & j U ½œF dla pewnych unkcji 3 i o wsawieniu do ównania dosaniemy ½œF KU onieważ wekoy½ i są lnz, o dosaniemy, że Ä3 ½œ º 4`

20 à þ 5 ÿ ` \ O 20 RODIAŁ 8 RETREIE HIBERTA jes o już napawdę posy układ ównań óżniczkowych zwyczajnych Jego ozwiązanie o, gdzie liczby 3 ˆ` i ` U R j ØO` U ` 3 U ˆ`0 wyznaczamy z waunków począkowych: ˆ` U ½ÄÝ ` co w zesawienu z (21) daje nam pełne ozwiązanie zagadnienia Rozważmy eaz pzykład układu ównaż (20) akiego, że zeczywisa maciez na wielomian chaaakeysyczny 5, aki, że! } jes jego piewiaskiem onieważ 5 ma współczynniki zeczywise, o H 5! A!, j! eż jes waością własną iech będzie wekoem własnym odpowiadającym! Wedy z (16) wynika, że 4 ð! ]î p \ x ð! ]d\ x A zaem \ jes wekoem własnym odpowiadającym! \ Wydaje się kłopoliwym, że wiemy o isnieniu zeczywisych ozwiązań pzy założeniu zeczywisych danych, ale algeba liniowa nie i acb \ \ są ozwiązaniami wydaje się ego podpowiadać auważmy, że unkcje Wacb d układu (20) odobnie ich kombinacje liniowe Możemy więc zasosować echnikę współczynników nieokeślonych do ozwiązania układ (20): kładziemy j ÄM?e ` K Jeśli wsawimy e unkcje do układu (20), o dosaniemy układ 2 ównań na 4 niewiadome Jednak waunki począkowe od azu wyznaczaja M( i Ozymany układ jes już ławo ozwiązać ado możemy uczynić obsewację nauy algebaicznej: wekoy są zeczywise i ozpinają O Tym samym w bazie i maciez  ( \ R- \ 8u}?e ` (jak i ) auważmy, że \ \ 2, \ \ Å ) 8u} œf ma posać * Ü gdzie % Okazuje się, że jes o najpossza posać naciezy zeczywisej, kóej wielomian chaakeysyczny ma piewiaski zespolone µ?e ` I MA œ?e ` K

21 [ þ ÿ 86 WEKTORY I WARTOŚI WŁAE 21 Twiedzenie 11 (cd posaci Jodana maciezy) iech będzie zeczywisą pw wymiau akładamy, że! Ohg jes piewiaskiem wielomianu 5 koności E i ma w niej posać ªà dx E Wedy isnieje aka baza w, że Ü I I [ji gdzie dla zeczywisych waości własnych klaki Jodana są akie jak popzednio, naomias dla zespolonych waości własnych Ý} mamy [ y k k k gdzie k Uwaga Gdy koność jes większa niż wymia pzeszeni wekoów własnych odpowiadających, o posać klaek Jodana jes badziej złożona omijamy en ema a zakończenie opiszemy ozwiązywanie układu (20), gdy maciez ma jedną podwójną waość własną, ale jes ylko jeden weko własny Isnieje wedy aka baza,, że i Rozwiązanie & można pzedsawić nasępująco & j 3 œf º o wsawieniu do układu dosaniemy ównania na i : #Ý 3 œ F aem 3ÄÝ Dugie ównanie jes pose do ozwiązania: «o wsawieniu do piewszego ównania wyżej dosaniemy acb 3œ d Wacb d ˆ`0 ˆ ego co wiemy o ówaniach liniowych dosaniemy, że gdzie &`3 ` 3 œf 3 ` j% Wacb I ˆ` d 3 Ý ` co w połączeniu z (22) w pełni opisuje ozwiązanie 0 KOIE WYKŁADU