Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Fourierova transformace periodických struktur. Katedra matematické analýzy

Transkrypt

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Tomáš Zajíc Fourierova transformace periodických struktur Katedra matematické analýzy Vedoucí diplomové práce: Studijní program: Studijní obor: doc. RNDr. Miloš Zahradník, CSc. Fyzika (B1701) obecná fyzika Praha 2014

2

3 Nejen za přátelský a vstřícný přístup děkuji svému školiteli doc. Miloši Zahradníkovi, ale také za rady a čas, který mně poskytl.

4 Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval(a) samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V... dne... Podpis autora

5 Název práce: Fourierova transformace periodických struktur Autor: Tomáš Zajíc Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Miloš Zahradník, CSc., Katedra matematické analýzy MFF UK Abstrakt: Matematický popis Fourierovy transformace periodické struktury. Zavádíme pojem Fourierovy řady a zkoumáme Dirichletovo jádro. Dále zavedeme pojem distribucí, Fourierovy transformace a konvoluce, pomocí kterých zjišt ujeme vlastnosti Diracova delta a dále pak vzorkovací distribuce. Pomocí těchto pojmů pak definujeme periodickou strukturu. Na závěr se zmíníme o duální mřížce. V práci jsou uvedeny fyzikální poznámkami. Některé důkazy jsou formální. Klíčová slova: Fourierovy řady, Fourierova transformace, Diracovo delta, Dirichletovo jádro, Vzorkovací distribuce, Konvoluce, Duální mřížka. Title: Fourier transformation of periodic structures Author: Tomáš Zajíc Department: Department of Mathematical Analysis, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University Supervisor: doc. RNDr. Miloš Zahradník, CSc., Katedra matematické analýzy MFF UK Abstract: Mathematical description of Fourier transform of the periodic structure. We introduce the concept of the Fourier series and we investigate the Dirichlet kernel. We also introduce the concept of distributions, the Fourier transform and convolution. Using this we discover the properties of the Dirac s delta, the Dirac comb and then we define the periodic structure. In conclusion, we mention the dual lattice. The thesis is designed to contain physical notes. Some of proofs are formal. Keywords: Fourier series, Fourier transform, Dirac delta, Dirichlet kernel, Dirac comb, Convolution, dual lattice

6

7 Obsah Úvod 3 1 Elementy teorie Fourierových řad v L Zavedení distribucí Distribuce na kružnici a na R Diracovo delta Fourierova transformace konvoluce Fourierova transformace Periodické distribuce periodická distribuce Vzorkovací distribuce Periodická struktura Stručně o periodických strukturách ve vyšších dimenzích Literatura 23 1

8 2

9 Úvod Zájem o Fourierovu transformaci ve mně vyvolal fyzikální jev, kdy Röentgenové záření po průchodu krystalem vytvoří na fotografickém papíru Fourierovu transformaci krystalické mřížky, na které se rozptýlilo. Na tuto skutečnost jsem nenašel uspokojivou odpověd, která je, jak jsem postupem času zjistil, komplikovanější povahy. Tato práce je souhrn již známých poznatků. Protože se jedná o rozsáhlé téma, popisuji zde ty aspekty, které mně chyběly k pochopení jevu a vedly k prohloubení znalostí. 3

10 4

11 1. Elementy teorie Fourierových řad v L 2 Tato teorie pro periodické, lokálně integrovatelné funkce s kvadrátem se buduje na kružnici (intervalu) o délce 2π (nebo délky jedna, přitom každá z konvencí má své výhody v přehlednosti, náročnosti výpočtu a používám je obojí). Základní idea Fourierovy analýzy spočívá v rozložení periodické funkce (jako elementu vektorového prostoru) do sumy sinů a kosinů s takzvanými Fourierovými koeficienty c k, které představují souřadnice vůči této ortogonální bázi. Funkci F f (x) v tomto tvaru pak nazýváme Fourierovou řadou funkce f(x). F f (x) = k= c k e 2π L ikx (1.1) kde c k = 1 L L 2 L 2 f(x)e 2πikx dx (1.2) Věta 1 (sumační a integrální tvary Fourierovy řady). Mějme funkci f(x) ve tvaru Fourierovy řady 1.1. Pak její n-tý částečný součet má tvar F f,n (x) = 1 π f(x)d n (x y) dx, (1.3) 2π kde je takzvané Dirichletovo jádro. π D n (x) = n k= n Provádí se v kurzech matematické analýzy. e ikx (1.4) V popisu periodických struktur hraje Dirichletovo jádro důležitou roli, uvedeme si proto jeho jiné dva tvary. Lemma 1 (různé tvary Dirichletova jádra). D n (x) = sin((n + 1/2)x) sin(x/2) = n cos(kx) 1) D n (x) = n k= n eikx = q n + q 1 n +...q q n q n 1 + q n = = q n ( q 2n n 1 q2n+1 ) = q = q n q n+1 q q 1 q q 1 2 = sin((n+1/2)x), kde q = e ix. sin(x/2) k=1 = e (n+ 1 2 )ix e (n+ 1 2 )ix e ix 2 e ix 2 2) D n (x) = n k= n eikx = k= eikx = 1 k= eikx = n k=1 cos(kx). 5 k=1 eikx = =

12 Nyní začneme používat pojem konvoluce periodických funkcí, později také zavedeme konvoluci funkcí na R. Jsou to dva různé, byt analogické pojmy. Zde v teorii Fourierových řad definujeme konvoluci pro periodické funkce, naopak v kapitole o distribucích definujeme konvoluci pro funkce definované na celé reálné ose. Definice 1 (Konvoluce). Konvoluci dvou periodických funkcí f, g definujeme předpisem (f g)(x) = π π f(x y)g(y) dy. (1.5) Pomocí konvoluce zapíšeme integrální tvar Fourierovy řady 1.3 do tvaru F f,n (x) = (f D n )(x) = 1 2π π π f(y)d n (x y) dy. (1.6) Následující věta ukáže, že konvoluce Dirichletova jádra D n s funkcí zapsanou trigonometrickou řadou je ortogonální projekcí do prostoru Fourierových řad nejvýše stupně n. Věta 2. Konvoluce funkce f(x) s Dirichletovým jádrem D n (x) je n-tým součtem Fourierovy řady funkce f(x). (D n f)(x) = l=n l= n eilx k= c ke ikx = l=n l= n k= c π k π eik(x y) e ilx dx = l=n l= n k= c π k π eik(x y) e ily dy = l=n l= n k= c ke ikx π π ei(l k)y dy = k= c ke ikx 2πδ l( k) = k=n k= n c ke ikx = F f,n (x). l=n l= n Funkce f se tedy provedením konvoluce s D n nezmění, pokud je trigonometrickým polynomem nejvýše stupně n. Na druhé straně, trigonometrický polynom obsahující pouze vyšší členy (e ikx pro k n) se konvolucí s D n anihiluje. Definice 2 (Primitivní funkce k Dirichletovu jádru). Pro x π, π zavádíme Lemma 2 (Limita H n ). lim n H n (x) = πsgn(x). lim n H n (x) = lim n x = 2 sin(z) dz = π. z 0 H n (x) = sin((n+1/2)y) x 0 D n (x) dx. (1.7) sin(y/2) dy = lim n (n )x sin(z) z sin( 2n+1 dz = Tento limitní přechod vyžaduje více péče, nejedná se o pouze o větu záměně limity a integrálu. V důkazu jsme mimochodem tím, že jsme zkonstruovali příslušné limity, spočetli velikost známého integrálu 2 na základě elementárního výpočtu. sin(ξy) y 6 dy = πsign(ξ)

13 Lemma 3. Necht x a, b a 0 < a < b < π. Pak platí b D a n(x) dx = b sin((n+1/2)x) dx = 1 a sin(x/2) ( ) + 1 cos(n + 1)x 1 a 2 dx 1 n (n+ 1 2 ) b = 1 n [ 1 sin b 2 1 sin a 2 ] + 1 n [ sin x 2 1 sin b 2 lim H n(a) H n (b) = 0. n ] 1 sin a 2 [ ] b cos((n+1/2)x) (n+ 1 2 ) sin x 2 [ ] a sin b sin a n pro n. + b a ( ) 1 sin dx = x 2 Věta 3. Limita konvoluce funkce f(x) s Dirichletovým jádrem D n (x) je opět funkce f(x). Bez újmy na obecnosti dokážeme pro x=0, tedy lim n (f D n )(0) = f(0). V důkazu využijeme sudosti Dirichletova jádra a Lemmatu 2. lim n (D n f)(0) = lim n π π f(y)d n(y) dy = lim n π π f(y)h n(y) dy = lim n [f(y)h n (y) ] π π lim n π π f (y)h n (y) dy = f(π) + f(0) f( π) π π f π (y)sign(y) dy lim π n f (y) ( H π n (y) πsign(y) ) dy = 0 lim n f (y) ( H π n (y) π ) π dy + f(0) + lim n f (y) ( H 0 n (y) π ) dy K lim n + f(0) + lim n n K = f(0). n Nyní opustíme konvoluci periodických funkcí a jak bylo zmíněno v poznatku před definicí 1, definujeme novou operaci, a to konvoluci na R. 7

14 8

15 2. Zavedení distribucí Distribuce je rozšíření pojmu funkce. Je definována jako prvek duálního prostoru k prostoru vhodných testovacích funkcí. Nazveme distribuci regulární, pokud ji je přiřazen vhodný integrální předpis a jako singulární pojmenujeme ty, které mají divočejší chování. Nám se postačí zabývat nejjednodušším zástupcem singulárních distribucí, a to takzvaným Diracovým delta. Definice 3 (posun a zrcadlení testovací funkce). Necht φ(x) je testovací funkce. V uvedeném pořadí zavádíme posun a zrcadlení 1) φ t (x) = φ(t + x) 2) φ # (x) = φ( x) 3) (φ # ) t (x) = φ(t x) Definice 4 (posunutá distribuce). Necht φ(x) je testovací funkce a T je distribuce. Posunutou distribuci definujeme jako T a (φ) = T (φ a ) Informaci o distribuci získáváme skrze její působení na testovací funkce, tedy přes hodnoty T (φ) = T, φ. Ukazuje se, že účelnější, než pouhá znalost tohoto, je zjistit působení distribuce zároveň na všechna posunutí testovací funkce φ. To nám zprostředkuje operace zvaná konvoluce distribuce T a funkce. Definice 5 (Konvoluce distribuce a testovací funkce). Necht T je distribuce a φ je testovací funkce. Definujeme konvoluci T s φ jako Předchozí definici nyní zobecníme na distribuce. (T φ)(t) = T ((φ # ) t ) (2.1) Definice 6 (Konvoluce distribucí). Konvoluce dvou distribucí T a S, kde S má omezený nosič je zavedena předpisem popisujícím chování nově definovaného objektu T S na testovací funkci φ (T S) φ = T (S φ) (2.2) Poznámka 1 (jiná definice konvoluce distribucí). Tento pojem lze také zavést tenzorovým součinem T S a jeho obrazu při {(x, y) x + y}. Derivace distribuce je rozšířením pojmu derivace funkce. Definice 7 (Derivace distribuce). Derivace distribuce je mínus derivace testovací funkce a platí tedy d dx T (x), φ(x) = T (x), d dx φ(x) 9

16 Lemma 4 (Lemma k důkazu věty 6). Necht má distribuce T omezený nosič a g je dostatečně hladká funkce. Pak platí vztah: (T g) = T g (2.3) říkající, že pro nekonečně hladkou funkci g je T g je také nekonečně hladká funkce. 2.1 Distribuce na kružnici a na R V teorii distribucí na R je nutné použít testovací funkce z Schwartzova prostoru. Této podmínce se vyhneme na kružnici. Ve známém vztahu integrace perpartes [ ] T (x)φ(x) dx = T (x)φ(x) T (x)φ (x) dx se problematický člen v hranatých závorkách pro funkce periodické na kružnici vyruší a zbude vztah T (x)φ(x) dx = T (x)φ (x) dx. Z něj vidíme, že za testovací funkce musí být nekonečně krát diferencovatelné a periodické na kružnici, tedy z prostoru C per(0, 2π). 2.2 Diracovo delta Je nejjednodušší neregulární distribucí. Definice 8 (Diracovo delta). Intuitivní předpis Diracova delta δ(x) je { 0 x R\{0} δ(x) = x = 0 s vlastností[5] δ(x)φ(x) dx = φ(0), (2.4) Vyjádření na levé straně této definice je častěji používáno ve fyzice. Pravá strana dává matematicky přesný popis tohoto pojmu. Formálně se jedná o distribuci zavedenou pro libovolnou testovací funkci předpisem {φ φ(0)} K popisu Diracova delta využijeme funkce signum. Definice 9 (funkce signum). Funkce signum je definována předpisem { 1 x (0, ) sgn(x) = 0 x (, 0) 10

17 Tvrzení 1. Mějme funkci signum a φ je testovací funkce. Derivace funkce signum ve smyslu derivace distrubuce pak je Diracovo delta. d dx sgn(x), φ(x) = sgn(x), d dx φ(x) = sgn(x)φ (x) dx = = 0 sgn(x)φ (x) dx sgn(x)φ (x) dx = 0 0 φ (x) dx = 2φ(0) = sgn (x) = 2δ(x) 0 φ (x) dx 11

18 12

19 3. Fourierova transformace konvoluce Začneme Fourierovou transformací funkcí a poté přejdeme k transformaci distribucí. 3.1 Fourierova transformace Na prostoru L 1 můžeme budovat teorii Fourierovy transformace. Fourierova transformace jej zobrazuje do prostoru L a nejde zde tedy o vzájemně jednoznačné zobrazení. Tento prostor je proto nevhodný a omezíme se pouze na prostor L 2. Obecnou integrální transformací se rozumějí integrály typu F (y) = f(x)ψ(x, y) dx, (3.1) kde ψ(x, y) nazýváme jádrem transformace. V případě ψ(x, y) = e ixy se jedná o Fourierovu transformaci. Fourierova transformace je lineární vzájemně jednoznačné zobrazení na prostoru zvaném Schwartzův prostor testovacích funkcí. Dokonce i v prostoru L 2 pro Fourierovu transformaci platí vzájemná jednoznačnost: Fourierova transformace zobrazuje L 2 na sebe sama[2]. Můžeme tedy definovat inverzní transformaci F 1 : L 2 L 2 a platí F 1 (Ff)(x) = F(F 1 f)(x) = f(x). (3.2) Přímá Fourierova transformace funkcí je definována předpisem a inverzní (zpětná) jako ˆf(ξ) = (Ff)(ξ) = f(x) = (F 1 f)(x) = f(x)e 2πiξx dx (3.3) ˆf(ξ)e 2πiξx dξ. (3.4) Funkci ˆf(ξ) lze chápat jako váhový faktor, kterým násobíme příslušné siny a kosiny, abychom složili původní funkci f(x). Z fyzikálního pohledu často mluvíme o transformaci z polohového do k-prostoru a z časové do frekvenční oblasti.[3] Ukážeme, že Fourierova transformace zachovává normu, což je na L 2 ekvivalentní zachování skalárního součinu. Protože lineární prostor Gaussových funkcí je hustý v L 2, dovoluje tak s libovolnou přesností aproximovat objekty k L 2. Této skutečnosti v důkazu zachování normy využijeme. 13

20 Věta 4 (Plancherelova formule). Necht f(x) a g(x) jsou prvky z prostoru L 2 (R). Pak platí f(x)g(x) dx = K provedení důkazu si definujeme Gaussovy funkce f(x) a g(x): f(ξ) ˆ g(ξ) ˆ dξ (3.5) f(x) = 1 = e (x α)2 b, g(x) = 1 = e (x β)2 b πa πb LS: 1 1 e (x α)2 a π ab 1 π 1 ab e α2 a β2 b e (x β)2 b 1 ab e α2 a β2 ( 1 b e x2 a + 1 b )+2x( α a + β b ) dx = dx = 1 π 1 e (x2 c 2x γ c ) dx = 1 c π ab e α2 a β2 b + γ2 c, použili jsme substituce 1 a + 1 b = 1 c, α a + β b = γ c FT: ˆf(ξ) = = e ( α)2 a e (aπξ α)2 a e 2πξx e (x α) 2 a x2 e a e 2x a (aπξ α) dx = dx = e ( α)2 a e 1 a (x+(aπξ α))2 dx = πae 2απξ+aπ2 ξ 2 PS: π ab ξ 2 e 2παξ aπ2 e 2πβξ bπ2 ξ 2 dξ = = π ab ξ 2 (a+b) e aπ2 e 2πξ(α β) 1 dξ = e (α β)2 a+b π(a+b) Dosazením a porovnáním pravé a levé strany se ukáže rovnost obou stran. Fourierova transformace distribucí je rozšíření Plancherelovy formule 4, na kterou se tato definice redukuje v případě regulárních distribucí. Definice 10 (Fourierova transformace distribuce). Fourierova transformace distribuce T je definována pro každou testovací funkci ze Schwartzova prostoru pomocí duality vztahem ˆT, φ = T, ˆφ (3.6) Věta 5 (Fourierova transformace posunuté distribuce). Necht φ(x) je testovací funkce a T a je posunutá distribuce z definice 4.Pak Fourierova transformace posunuté distribuce je ˆT a, φ = e 2πiξa ˆT, φ Užitím definic 4 a 10 zapíšeme pravou stranu jako T, ˆφ = T (x) φ(x a)e 2πiξx dx = = e 2πiξa T (z + a) φ(z)e 2πiξz dz = e 2πiξx T, ˆφ kde jsme užili substituci x=z+a. Důkaz je orientační, vyžaduje více péče. Tvrzení 2 (Fourierova transformace Diracova delta). Fourierova transformace Diracova delta je jednička. 14

21 Formální důkaz. Fδ = δ(x)e 2πixξ dξ dx = e 2πi0ξ = 1 Druhý formální důkaz (s využitím vlastnosti z poznámky4). Fδ, φ = δ(x) φ(ξ)e 2πixξ dξ dx = φ(ξ) dξ = 1, φ = Fδ = 1 Přesný důkaz vyžaduje více péče. Provádí se například aproximací delta funkce Gaussovou funkcí. Poznámka 2 (Fourierova transformace δ a a D n ). Z předešlého tvrzení 2 a věty 5 vyplývá vztah Fδ a = e 2πiξa. (3.7) Protože Dirichletovo jádro stupně n (viz 1.4) je sumou výrazů na pravé straně 3.7, můžeme napsat n FD n = δ k (3.8) k= n Tvrzení 2 lze dokázat i jako důsledek podrobnějšího výsledku v tvrzení, které nyní následuje. Tvrzení 3 (Fourierova transformace intervalu). Limita Fourierovy transformace intervalu je Diracovo delta a platí tedy lim F(χ < a,a>(x))(ξ) = δ(x). a 1) F(χ < a,a> (x))(ξ) = [ ] a a a e 2πiξx e dx = 2πiξx = e 2πiξa e 2πiξa 2πiξ 2πiξ a 2) lim a F(χ < a,a> (x))(ξ) = F(1)(ξ) a pomocí předchozího Tvrzeni 3 dostáváme lim a sin(2πξa) πξ = δ(ξ). Věta 6 (Fourierova transformace konvoluce funkcí). Necht f a g jsou funkce, pak F(f g)(x) = ˆf(ξ)ĝ(ξ) F(f g)(x) = e 2πixξ[ f(x y)g(y) dy] dx = = g(y)[ f(x y)e 2πixξ dx ] dy = g(y)[ = sin(2πξa) πξ f(z)e 2πi(z+y)ξ dz ] dy = = g(y)[ f(z)e 2πizξ dz ] e 2πiyξ dy = ˆf(ξ) g(y)e 2πiyξ dy = ˆf(ξ)ĝ(ξ) Fourierova transformace tedy převádí konvoluci na násobení. Tuto skutečnost ověříme i pro vhodné distribuce namísto funkcí, pokud alespoň jedna z distribucí je natolik rozumná, aby její Fourierův obraz byl funkcí a tedy aby násobení distribucí dávalo smysl. Věta 7 (Fourierova transformace konvoluce distribucí). Mějme dvě distribuce T a S, z nichž jedna má omezený nosič. Pak F(T S) = ˆT (ξ)ŝ(ξ) (3.9) 15

22 Užitečným pomocníkem v důkazu bude Gaussova funkce g ε (x) = 1 2π e x2 ε. Podle Lemmatu 4 vidíme, že se v argumentu limity na pravé straně rovnosti ( ) F(T S) = F lim ε (T g ε S g ε ) ve skutečnosti jedná o konvoluci dvou hladkých funkcí. Fourierova transformace, jak jsme ukázali v předešlé větě 6, převádí konvoluci funkcí na jejich násobení. Věta 8 (O ubývání Fourierových koeficientů). Necht f(x) je omezená a (α, β) (a, b). Potom β lim f(x)sin(tx) dx = 0, n α [ ] β β f(x)sin(tx) dx α = cos(tx) f(x) + t β f (x)cos(tx) dx α t α 1 β α f (x) 0 pro t t β lim f(x)sin(tx) dx = 0. (3.10) n α 16

23 4. Periodické distribuce 4.1 periodická distribuce Definice 11 (Periodická distribuce). Distribuci S nazvu 2π periodickou, je-li invariantní vůči posunutí o 2π a platí tedy vztah S(φ) = S(φ 2π ) (4.1) kde φ 2π podle definice 3 označuje testovací funkci posunutou o 2π. Definice 12 (Alternativní definice periodické distribuce). Distribuce S se nazývá 2π periodická, pokud existuje taková distribuce T s nosičem délky 2π, že S = T δ Z (4.2) Za distribuci T si představíme motiv, ornament, obrazec, atom, který se konvolucí se vzorkovací distribucí periodicky opakuje. Pokud je motiv rozumný, zavedeme ke konceptu periodické distribuce specifičtější pojem zvaný periodická struktura. 4.2 Vzorkovací distribuce Vzorkovací distribuce je klíčová pro popis Fourierovy transformace periodické struktury. Právě pomocí jí můžeme vytvořit mřížku či jinou periodickou strukturu. Definice 13 (Vzorkovací distribuce). δ Z (x), φ(x) = k Z φ(x + k) = δ Z (x) = k= δ(x + k) (4.3) Pro vzorkovací distribuci se používá označení δ Z nebo δ k, které bude využívat. Poznámka 3 (Vzorkovací distribuce ve tvaru sumy exponenciel). Pro x R platí lim D n(x) = e 2πixk = δ(x + k) n k= k= Intuitivně: v kapitole věnované delta funkci pracujeme s Dirichletovým jádrem definovaném na intervalu ( π, π). Dodefinováním na celý reálný interval a provedením uvedené limity dostaneme delta funkci v každém celém čísle. Sumu posunutých Diracových delta přepíšeme pomocí poznámky 2 do tvaru, ve kterém zvýrazňuji periodu pravé a levé strany: ( F k= ) δ(x + ka) = } {{ } a-periodická k= e 2πixka } {{ } 1 a -periodická (4.4) 17

24 Fourierova transformace tedy převádí délku periody vzorkovací distribuce na její reciprokou hodnotu. Lze si povšimnout, že levá strana je ve tvaru Fourierovy řady (1.1) s koeficienty rovnými jedné. O této skutečnosti je napsáno více v Lemmatu 7 Lemma 5 (Fourierova transformace vzorkovací distribuce). Fourierův obraz vzorkovací distribuce je znovu vzorkovací distribuce a platí tedy (Fδ Z )(ξ) = δ Z (ξ) Formální důkaz. F ( k Z δ(x k)) (ξ) = k Z δ(x k)e 2πiξx dx = k Z e2πiξk Lemma 6 (konvoluce funkce se vzorkovací distribucí). Necht f(x) je nulová všude mimo interval ( π, π), pak (f δ Z )(x) = k Z f(x + k). (4.5) (f δ Z )(x) = f(x) k Z δ(y + k) dy = k Z f(x + k) Tento vztah má názornou geometrickou interpretaci: Jedná se o periodickou funkci, jejíž zůžení na periodu je rovno funkci f(x). Poznámka 4 (O spektrálních obrazech). Ve fyzice se Fourierova transformace prvku nazývá spektrálním obrazem (pod kterým v matematice chápeme vlastní čísla operátoru posunutí, jehož vlastní vektory jsou funkce e iξx ). Fourierův protějšek periodického objektu má diskrétní spektrum. Lemma 7 (Fourierova řada vzorkovací distribuce). F δz (x) = δ Z (x) (4.6) Podle definice 1.2 spočteme Fourierovy koeficienty c k a dosadíme je do Fourierovy řady 1.1. c k = k Z δ(x + k)e 2πiξx dx = 1 = F δz (x) = k Z e 2πiξk Tvar Fourierovy řady vzorkovací distribuce má tedy tu zajímavou vlastnost, že je stejný s tvarem své generující funkce. Můžeme tak říci, že vzorkovací distribuce ve tvaru sumy je svou Fourierovou řadou. 18

25 5. Periodická struktura Věta 9 (Klíčová věta). Necht f je rozumně se chovající distribuce s nosičem o délce 2π a δ Z je vzorkovací distribuce. Pak platí F(f δ Z )(ξ) = k Z ˆf(k)δ k (ξ) (5.1) Jedná se o důsledek věty 7, definice 3.3 a lemmatu 5. Tento vztah popisuje Fourierovou transformaci konvoluce motivu s vzorkovací distribucí a je ztělesněním pojmu Fourierova transformace periodické struktury. Pravá strana je Fourierova transformace periodické funkce, kterou můžeme zapsat do Fourierovy řady. Na levou stranu pak lze nahlížet jako na Fourierovu řadu v prostoru distribucí, kde koeficienty c k z původního prostoru jsou představovány hodnotami (koeficienty) Fourierovy transformace motivu v bodě k ˆf(k). Fourierova transformace převádí lokalizaci na rozptýlenost a naopak. Za krajní případ koncentrace můžeme chápat probrané Diracovo delta, které se (jak jsme ukázali v tvrzení 2) transformuje na jedničku (nejzazší případ rozptylu). Vzorkovací distrubuce je jediný nelokalizovaný objekt, který má stejný tvar jako její Fourierův protějšek. Z lokalizovaných objektů pak existuje jediná Gaussova funkce tvaru e πx2, která má také tu vlastnost, že její Fourierův protějšek má stejný tvar. Dodejme mimochodem, že z pohledu Fouerierova operátoru to jsou vlastní funkce s jednotkovými vlastními čísly. Skutečnost, že Fourierův obraz je rychle ubývající, jsme již ukázali pro funkce prostoru L 1 (a, b) ve větě 8. Tuto větu nyní dokážeme pro funkce na C k ( π, π). Věta 10 (O vyhasínání koeficientů). Necht f je lokalizovaná a hladká na prostoru C k ( π, π) a f n (x) < K pro n k. Pak ˆf(ξ) rychle ubývá. ˆf(ξ) = f(x)e iξx dx = 1 f (x)e iξx dx = ˆf(ξ) < 1 K iξ iξ Tato věta vysvětluje, proč je intenzita difrakčních obrazců krystalových mřížek ubývající. Poznámka 5 (Souvislost Fourierovy řady a Fourierovy transformace). [1] Aplikací inverzní Fourierovy transformace na vztah 5.1 a dosazením 4.5 za levou stranu dostaneme ˆf(k)e 2πikx (5.2) k Z f(x + k) = k Z Funkce na pravé straně máme vyjádřenu ve tvaru Fourierovy řady, jejíž koeficienty jsou Fourierovou transformací zmíněné funkce. Tento vztah tedy udává důležitou, ačkoli opomíjenou spojitost mezi Fourierovou transformací a Fourierovými řadami. Jako zajímavou rovnost uvedu Poissonovu sumační formuli. 19

26 Věta 11 (Poissonova sumační formule). ˆf(k) (5.3) k Z f(k) = k Z V důkazu využijeme Gaussovu funkci g ɛ = e ɛξ2, pomocí které definujeme funkci G n,ɛ (ξ) = n k= n δ k g ɛ. Pomocí věty 7 a poznámky 2 dostáváme Ĝ n,ɛ (ξ) = ĝ n (ξ)d n (ξ). Popsané funkce dosádíme do Plancherelovy rovnosti 3.5 tvaru G n,ɛ(x)φ(x) dx = Ĝn,ɛ(ξ) φ(ξ) dξ a provedeme pro každou ze stran rovnosti limity pro ɛ 0 a n v obráceném pořadí: lim ɛ ( limn G n,ɛ(x)φ(x) dx ) = k Z φ(k) lim n ( limɛ Ĝn,ɛ(ξ) φ(ξ) dξ ) = k Z ˆφ(k) Poznámka 6. [4] Poissonova formule je speciálním případem vztahu 5.2 pro x= Stručně o periodických strukturách ve vyšších dimenzích Narozdíl od věty 9, která nám postačuje pro popis Fourierovy transformace periodické struktury v jednom rozměru, je třeba pro vyšší dimenze zavést pojem mřížky. Fourierův obraz vzorkovaci distribuce se zobecňuje na vzorkovaci distribuci nesenou duálni mřížkou (to je poměrně zřejmé pro standardní kubickou mřížku, jinak to vyžaduje pozornější práci s příslušnými Dirichletovými jádry). Nosičem vzorkovací distribuce se stane mřížka, která může nabývat různých tvarů (ve fyzice známé krystalické mřížky). 20

27 Závěr Sepsáním Bakalářské práce jsem si prohloubil znalosti ohledně Fourierových řad, Fourierovy transformace, distribucí a pojmu konvoluce. Ukázal jsem, jak dospět k popisu periodických struktur pomocí konvoluce a seznámil jsem se s větou 9, pomocí které popisujeme Fourierovu transformaci periodické struktury. Jako neintuitivní se ukázalo takzvané vyhásínání koeficientů (viz. věta 10), které způsobuje ubývání intenzity obrazu Fourierovy transformace periodické struktury a které jsem si dokázal vysvětlit až touto prací. 21

28 22

29 Literatura [1] Pavel Čihák a kolektív: Matematická analýza pro fyziky V. MatfyzPress, 2003 ISBN: Vydavatelství: MatfyzPress Počet strán: 320, [2] Elliott H. Lieb and Michael Loss AMS Graduate Studies in Mathematics ISBN-10: Vydavateltví: American Mathematical Society Počet strán: 348, 128 [3] Lüth H.: Surfaces and Interfaces of Solid Materials Springer Verlag, Berlin 1995 ISBN Vydavateltví: Springer Verlag Počet strán: 495, 163 [4] (220) [5] komrska/fourier/kapf01.pdf Lüth H.: Surfaces and Interfaces of Solid Materials. 3rd ed. Springer Verlag, Berlin