Fyzika laserů. Kvantová teorie laseru. 22. dubna Katedra fyzikální elektroniky.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Fyzika laserů. Kvantová teorie laseru. 22. dubna Katedra fyzikální elektroniky."

Sabina Nawrocka
5 lat temu
Przeglądów:

1 Fyzika laserů Kvantová teorie laseru Kvazidistribuční funkce. Zobecněné uspořádání. Fokkerova-Planckova rovnice. Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické 22. dubna 2013

2 Program přednášek 1. Kvantová teorie tlumení, řídící rovnice 2. Aplikace na atom, Pauliho rovnice 3. Poloklasický popis interakce záření s látkou 4. Aplikace na šíření rezonančního záření prostředím 5. Aplikace na laser kontinuální režim 6. Aplikace na laser Q-spínání 7. Koherentní šíření impulzů 8. Další jevy v poloklasické aproximaci 9. Spektrum laseru a režim synchronizace módů 10. Kvantová teorie laseru, F-P rovnice 11. F-P rovnice pro záření a atom 12. F-P rovnice pro laser 13. Statistické vlastnosti laserového záření

3 Kvantová teorie laseru Kvantově popisujeme jak prostředí, tak záření. Na rozdíl od poloklasické teorie je možné studovat statistické vlastnosti generovaného záření Amplituda elektrického pole â Intenzita záření â â Stupeň koherence korelační funkce 2. řádu â (t)â(t τ) Použití statistického operátoru, respektive výpočet jeho prvků, je komplikovaný, protože mód pole má nekonečně mnoho stavů. Od výpočtu středních hodnot pomocí statistického operátoru přejdeme k použití kvazidistribuční funkce P(õ): o Z nˆρ Ô = Tr Ô Ô = P(õ)f (õ) dõ f (õ) je zobecněná funkce přiřazená operátoru Ô. Kvazidistribuční funkce P(õ) obsahuje stejnou informaci, jako statistický operátor, není ale stanovena jednoznačně. Kvazidistribuční funkci je možné nalézt obecně pro každý systém a to spolu s dohodou o pořadí zápisu operátorů dynamických proměnných (uspořádání). Odvodíme rovnici pro časový vývoj kvazidistribuční funkce (F-P rovnice) a tak určíme dynamiku sytému.

4 Operátory elektromagnetického pole a zobecněná funkce Anihilační a kreační operátory â a â tvoří bázi úplný soubor operátorů â n = n n 1, â n = n + 1 n + 1 Koherentní stav â α = α α Záleží na pořadí [â, â ] = 1 Taylorův rozvoj obecného operátoru: Normální uspořádání X Ô = omn N (â ) m â n m,n Antinormální uspořádání X Ô = o mnâm A (â ) n m,n Přiřazené klasická funkce: Normální uspořádání X Ō N (α, α ) = omn N α m α n m,n Antinormální uspořádání X Ō A (α, α ) = omn A αm α n m,n

5 Kvazidistribuční funkce pro jeden mód elmag. pole Statistický operátor ˆρ Φ N Glauber-Sudarshanova reprezentace Z ˆρ = Φ N (α) α α d 2 α Reálná fce komplexní proměnné Φ N (α) = Φ N (α), R Φ N (α) d 2 α = 1 Koherentní stav γ : Záření černého tělesa: Φ N (α) = δ (2) (α γ) Φ N ({α}) = Y λ Záření ideálního jednomódového laseru: Φ N (α) = e α 2 nα π n α δ( α β ) 2π α Střední hodnota libovolného operátoru Ô: Ô = Z Φ N (α) ŌN (α, α ) d 2 α Normálně uspořádaná kvazidistribuční funkce pro jednomódové pole (DC) Φ N (α, α) = 1 π ϱa (α, α )

6 Zobecněné c-uspořádání operátorů Uspořádané nekomutující operátory ã = (â 1, â 2,, â f ) Obecný operátor ve zvoleném, tzv. c-uspořádání X ˆQ = Q c (â 1,, â f ) = X Qr c 1 r f â r1 1 â r f f r1 Přidružená klasická funkce: Zpětná transformace C: Q c (α 1,, α f ) = X r1 C Q c (α 1,, α f ) = ˆQ = Q c (â 1,, â f ) = δ-funkce jsou definovány vztahy: Pro hermitovský operátor â je: δ(α â) = 1 2π X Pro nehermitovský operátor â: δ(α â)δ(α â ) = 1 π 2 ZZ r f Z Z r f Q c r 1 r f α r1 1 α r f f Q c (α 1,, α f ) Z e iξ(α â) dξ fy i=1 e iξ(α â) e iξ (α â ) d 2 ξ, δ c (α i â i) dα i

7 Kvazidistribuční funkce pro zvolené uspořádání Výpočet střední hodnoty operátoru Q c dovoluje definovat kvazidistribuční funkci příslušející ke zvolenému c-uspořádání: Q c (â 1,, â f ) = C Q c (α 1,, α f ) *Z Z = Q c (α 1,, α f ) = = Z Z Z Z Q c (α 1,, α f ) fy i=1 * Y f δ c (α i â i)dα i + δ c (α i â i) + i=1 {z } P C (α 1,,α f ) dα 1 dα f dα 1 dα f Qc (α 1,, α f )P C(α 1,, α f ). Kvazidistribuční funkce je dána střední hodnotou c-uspořádané δ-funkce: P C(α 1,, α f ) = δ(α 1 â 1 )δ(α 2 â 2 ) δ(α f â f ) = Tr {ˆϱ(t) δ(α 1 â 1 ) δ(α f â f )} V případě jednoho módu elektromagnetického pole je P N (α, α ) Φ N (α).

8 Časový vývoj kvazidistribuční funkce ã = (â 1,, â f ) uspořádaný vektor operátorů kvantového systému ve Schrödingerově obrazu. α = (α 1,, α f ) příslušný vektor komplexních proměnných Časový vývoj střední hodnoty operátoru měřitelné ˆM n o Z ˆM c [ã(t 0 ), t] = Tr ˆρ(t) ˆM c [ã(t 0 )] = d α 0 M c ( α 0 )P c( α 0, t) Časově proměnná kvazidistribuční funkce: P C( α 0, t) = Tr ϱ S (t) δ c ( α 0 ã 0 ) Počáteční podmínka α 0 = α(t 0 ) Časový vývoj střední hodnoty ˆM(t) = M c (ã, t) operátoru je možné stanovit, je-li znám časový vývoj kvazidistribuční funkce P C( α, t) spolu s počáteční podmínkou. Potřebujeme pohybovou rovnici pro kvazidistribuční funkci Fokkerova-Planckova rovnice

9 Fokkerova-Planckova rovnice Postup odvození z řídící rovnice: ˆρ = + P c( α, t) = Tr ˆρ(t)δ c ( α ã) Pc = Vyjdeme ze známé řídící rovnice pro obecný markovovský systém: d ˆϱ S (t) dt = i Ĥ, 1 X ˆϱ S (t) δ(ω i + ω j ) i,j i nh ˆQS i ˆQS j ˆϱ S ˆQ S j ˆϱ S ˆQS i w + ij h ˆQS i ˆϱ S ˆQS j i ˆϱ S ˆQS j ˆQ i S w ji o Levou i pravou stranu řídící rovnice vynásobíme zobecněnou δ c -funkcí operátorových proměnných δ c ( α 0 ã 0 ) a vyjádříme stopu Tr S {} na obou stranách rovnosti: P C( α 0, t) = Tr S 1 i [Ĥ, ˆϱS (t)]δ c ( α 0 ã 0 ) X i,j Tr S n ˆQS i ˆQS j ˆϱ S δ c ˆQ S j ˆϱ S ˆQS i δ c w + ij ˆQS i ˆϱ S ˆQS δ(ω i, ω j ) j δ c ˆϱ S ˆQS j o ˆQ i S δ c w ji

10 Odvození z řídící rovnice Máme: P C( α 0, t) X 1 = Tr S i [Ĥ, ˆϱS (t)]δ c ( α 0 ã 0 ) i,j Tr S n ˆQS i ˆQS j ˆϱ S δ c ˆQ S j ˆϱ S ˆQS i δ c w + ij ˆQS i ˆϱ S ˆQS δ(ω i, ω j ) j δ c ˆϱ S ˆQS j o ˆQ i S δ c w ji Provedeme cyklické permutace, aby na prvním místě byl statistický operátor ˆϱ: P C( α 0, t) = Tr S (ˆϱ S 1 (t) δ(ω i + ω j ) Zobecněné δ-funkce lze upravit: δ(α â) = 1 2π = 1 2π = 1 2π Z Z Z n δ c, ˆQ S i e iξ(α â) dξ = 1 2π e iξα X n=0 (iξâ) n n! i δ c, Ĥ X i,j ˆQS j w + ij ˆQ S j δ c, ˆQ i S Z dξ = 1 2π e â α e iξα dξ = e â α 1 2π e iξα e iξâ dξ = Z X n=0 Z o) w ji ( â) n n! n α n (e iξα ) dξ = e iξα dξ = e â α δ(α)

11 Odvození z řídící rovnice Pro c-uspořádanou δ-funkci platí: δ c ( α 0 ã 0 ) = e ã 0 α 0 δ( α 0 ) Rovnice nabývá tvaru: P C( α 0, t) = Tr S (ˆϱ S 1 (t) i e ã 0 α 0, Ĥ X i,j δ(ω i + ω j ) ã e 0 α 0, ˆQ i S ˆQS j w + ij ˆQ S ã j e 0 α 0, ˆQ i S Tr S ˆϱ S (t)l α 0, ã 0 δ( α 0 ), w ji δ( α 0 ) ) kde L je operátorová funkce. Uplatníme komutační relace a tuto operátorovou funkci zapíšeme ve zvoleném c-uspořádání jako L c. Potom: P C( α 0, t) = Tr S ˆϱ S (t) L c α 0, ã 0 δ( α 0 )

12 Odvození z řídící rovnice Máme: P C( α 0, t) = Tr S ˆϱ S (t) L c, ã 0 δ( α 0 ) α Z 0 = Tr S ˆϱ S (t) L c, β 0 δ c ( β 0 ã 0 ) d α β 0 δ( α 0 ) Z 0 = d β o L c 0, α β 0 Tr S nˆϱ S (t)δ c ( β 0 ã 0 ) δ( α 0 ) Z 0 = d β L c 0, β 0 e β 0 α 0 e β 0 α 0 α 0 {z } δ( α 0 )P C( β 0, t) =1 Protože obecně platí: e β α δ( α) = δ( α β), dostaneme hledanou Fokkerovu-Planckovu rovnici: P C( α 0, t) Z = d β L c 0, β 0 e β 0 α 0 = L c, α 0 P C( α 0, t) α 0 α 0 P C( β 0 ) δ( α 0 β 0 )

13 Fokkerova-Planckova rovnice Fokkerova-Planckova rovnice pro určení časového vývoje kvazidistribuční funkce je ekvivalentem řídící rovnice pro statistický operátor. Na rozdíl od klasické Fokkerovy-Planckovy rovnice může pravá strana této rovnice obsahovat i derivace vyššího řádů než druhého. V mnoha důležitých případech (např. pro tlumený harmonický oscilátor) má tato rovnice tvar: P C( α, t) = X i α i Ai( α)p C( α, t) + X ij 2 Dij ( α)p C( α, t) α i α j sumy probíhají přes jednotlivé složky vektoru α; pravá strana obsahuje nejvýše derivace druhého řádu; veličiny A i( α) a D ij ( α) označují příslušné driftové a difúzní koeficienty.

14 Literatura VRBOVÁ M., ŠULC J.: Interakce rezonančního záření s látkou, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 2006 LOUISELL, W. H.: Quantum statistical properties of radiation, John Wiley & Sons, New York, 1973 VRBOVÁ M. a kol.: Lasery a moderní optika - Oborová encyklopedie, Prometheus, Praha, 1994 VRBOVÁ M., JELÍNKOVÁ H., GAVRILOV P.: Úvod do laserové techniky, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, Přednášky:

Podobne dokumenty

Funkce zadané implicitně. 4. března 2019

Funkce zadané implicitně. 4. března 2019 Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f