Statystyka matematyczna

Transkrypt

1 Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia Wojciech Kordecki Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu Wrocław 2013

2 Recenzenci: prof. dr hab. Tadeusz Galanc dr hab. Jerzy Wawrzynek Materiał wyłącznie do użytku edukacyjnego. Reprodukcja do użytku komercyjnego jest zabroniona. Skład komputerowy w systemie L A TEX wykonał autor c Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu, 2013 ISBN: Wydanie I Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu ul. Ostrowskiego Wrocław

3 Spis treści Wstęp 4 1. Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Zdarzenia i prawdopodobieństwo Zmienne losowe Parametry zmiennych losowych Zadania Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady dyskretne Rozkłady typu ciągłego Populacja, próba i statystyki Twierdzenia graniczne Zadania Estymacja Zasady estymacji parametrów Szczególne przypadki Zadania Testowanie hipotez Zasady testowanie hipotez Szczególne przypadki Zadania A. Elementy statystyki opisowej 38 A.1. Opracowanie materiału statystycznego A.2. Parametry Odpowiedzi 46 Odpowiedzi do wykładu Odpowiedzi do wykładu Odpowiedzi do wykładu Odpowiedzi do wykładu Tablice statystyczne 57 Literatura 60 Skorowidz 61 3

4 Wstęp Przedmiot Statystyka matematyczna jest wykładany w Wyższej Szkole Handlowej we Wrocławiu na studiach drugiego stopnia na kierunku Zarządzanie. Przedstawiony materiał podzielony jest na cztery wykłady. Taki bowiem układ cztery trzygodzinne wykłady, przewidziany jest w programie studiów niestacjonarnych w Wyższej Szkole Handlowej we Wrocławiu. Niemniej, zakres materiału jest nieco szerszy od programu obowiązującego na tych studiach, może być więc wykorzystany również na studiach stacjonarnych drugiego stopnia na kierunku Zarządzanie lub na innych kierunkach mających podobne programy ze statystyki. Materiały do tego wykładu mają charakter pomocniczy i ich celem jest ułatwienie słuchaczom samodzielnego studiowania literatury. Podstawowym źródłem na którym te materiały są oparte, są podręczniki S. Ostasiewicz, Z. Rusnak i U. Siedleckiej [8] oraz J. Wawrzynka [10]. Przeznaczone dla studentów kierunków technicznych skrypty H. Jasiulewicz i W. Kordeckiego [3, 6] mogą być uzupełniającym źródłem wiadomości. Chętnym do znacznego poszerzenia wiedzy polecam książki J. Jakubowskiego i R. Sztencla [2] oraz S. M. Kota, J. Jakubowskiego i A. Sokołowskiego [7]. Obszerna monografia A. D. Aczela [1] poświęcona jest zastosowaniu statystyki w zarządzaniu. Podręcznikiem do przedmiotu Statystyka opisowa wykładanego na studiach pierwszego stopnia jest skrypt [9] pod red. M. Rymarczyka. Najważniejsze wiadomości są skrótowo przedstawione w dodatku A. Nie mogą one jednak zastąpić podręcznika. Brakujące wiadomości z matematyki można uzupełnić korzystając na przykład ze skryptu [5] lub standardowych podręczników z matematyki dla szkół wyższych. 4

5 Wykład 1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 1.1. Zdarzenia i prawdopodobieństwo Niech ω będzie wynikiem doświadczenia, którego nie jesteśmy w stanie przewidzieć (na przykład liczbą oczek przy rzucie kostką. Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczeń nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych Ω, a poszczególne wyniki ω Ω nazywamy zdarzeniami elementarnymi. Przykład Rzut monetą: przestrzenią zdarzeń elementarnych jest Ω = {O, R} gdzie O zdarzenie polegające na wyrzuceniu orła, a R zdarzenie polegające na wyrzuceniu reszki. Podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych 1 nazywamy zdarzeniami losowymi. Zwyczajowo oznacza się je dużymi literami z początku alfabetu: A, B, C, Ω. Działania na zdarzeniach: A B suma zdarzeń (zajdzie zdarzenie A lub zdarzenie B, A B iloczyn zdarzeń (zajdzie zdarzenie A i zdarzenie B, A \ B różnica zdarzeń (zajdzie zdarzenie A, ale nie zajdzie zdarzenie B, A = Ω \ A zdarzenie przeciwne do A, (nie zajdzie zdarzenie A. Zdarzenie A = Ω nazywa się zdarzeniem pewnym, a zdarzenie A = zdarzeniem niemożliwym. Jeżeli A B =, to zdarzenia A i B są rozłączne, czyli wykluczające się. Zdarzenia losowe {A 1, A 2,... } są parami rozłączne, gdy dla każdej pary i j zachodzi A i A j =. Przykład Rzut kostką do gry: Ω = {ω 1,..., ω 6 }, gdzie ω i jest zdarzeniem elementarnym polegającym na wyrzuceniu i oczek. Przykładem zdarzenia losowego jest zbiór A zdarzeń elementarnych odpowiadających wyrzuceniu parzystej liczby oczek: A = {ω 2, ω 4, ω 6 }, zbiór B zdarzeń elementarnych odpowiadających wyrzuceniu nieparzystej liczby oczek: B = {ω 1, ω 3, ω 5 } oraz zbiór C odpowiadający wyrzuceniu mniej niż czterech oczek: C = {ω 1, ω 2, ω 3 }. Wtedy A B = Ω, A B =, 1 Nie wszystkie podzbiory, ale ścisła definicja wykracza poza zakres tego skryptu. 5

6 6 WYKŁAD 1. PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA A C = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 6 }, A C = {ω 2 }, A \ C = {ω 4, ω 6 }, A = B, C = {ω 4, ω 5, ω 6 }. Zauważmy, że {ω 5 } = A B. Na zbiorze zdarzeń losowych określa się funkcję P o własnościach: (a dla każdego zdarzenia A jest 0 P(A 1, (b P(Ω = 1, P( = 0, (c P(A 1 A 2... = P(A 1 + P(A dla zdarzeń parami rozłącznych. Taka funkcja nazywa się prawdopodobieństwem. Z własności (a (c można wyprowadzić dalsze pożyteczne własności: (d P(A = 1 P(A, (e jeśli B A to P(A \ B = P(A P(B, (f dla dowolnych (niekoniecznie wykluczających się zdarzeń A i B: P(A B = P(A + P(B P(A B. Niech A 1, A 2,..., A n będą zdarzeniami parami rozłącznymi i równoprawdopodobnymi, takimi że A 1 A 2 A n = Ω. Przykładem takich zdarzeń mogą być zdarzenia losowe jednoelementowe A 1 = {ω 1 },..., A n = {ω n }, gdy Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n }. Wtedy P(A i = 1/n, a każde inne zdarzenie A, które jest sumą k takich rozłącznych zdarzeń, ma prawdopodobieństwo P(A = k n. (1.1.1 Zdarzenia A i wchodzące do zdarzenia A, tzn. takie, że A i A nazywamy zdarzeniami sprzyjającymi zdarzeniu A. Wzór (1.1.1 mówi wtedy, że prawdopodobieństwo zdarzenia A jest stosunkiem liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich zdarzeń A i. Wzór (1.1.1 nazywa się często klasyczną definicją prawdopodobieństwa. Należy jednak pamiętać, że wzór (1.1.1 jest prawdziwy tylko dla zdarzeń A i równoprawdopodobnych! Przykład Obliczyć prawdopodobieństwo wygrania czwórki w totolotka. Losowanych jest 6 numerów spośród 49 numerów. Jest ( 49 n = = takich możliwości. Niech A 4 oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu czwórki. Jest ( ( 6 43 k = = = takich zdarzeń. Stąd P (A 4 = k n = = ( ( 2 = < ( 49 6

7 1.1. ZDARZENIA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO 7 Oznaczając przez A 5 i A 6 wylosowanie piątki i szóstki, otrzymujemy w ten sam sposób ( 43 1 P (A 5 = ( 6 5 ( 49 6 = < , ( 6 43 P (A 6 = 6( 0 = < ( 49 6 Ponieważ zdarzenia A 4, A 5 i A 6 są parami rozłączne, to prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej czwórki wynosi P (A 4 + P (A 5 + P (A 6 i jest mniejsze od Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A, jeśli wiadomo, że zaszło zdarzenie B (pod warunkiem zdarzenia B, oznaczamy symbolem P(A B i obliczamy następująco: P(A B = P(A B P(B, (1.1.2 o ile P(B > 0. Zwróćmy uwagę, że prawdopodobieństwa: bezwarunkowe P (A i warunkowe P (A B są prawdopodobieństwami tego samego zdarzenia A. Prawdopodobieństwa te mogą być różne, gdyż fakt zajścia zdarzenia B może być dodatkową informacją o zdarzeniu A i jego znajomość może zmienić prawdopodobieństwo tego zdarzenia. Z tego powodu zdarzenie B nazywane jest często przyczyną, a zdarzenie A skutkiem. Ze wzoru (1.1.2 wynika często używany wzór P (A B = P (A B P (B = P (B A P (A. Jest on pożyteczny w sytuacji gdy znamy prawdopodobieństwo przyczyny, tzn. znamy P (B i znamy prawdopodobieństwo z jakim przyczyna B wywołuje skutek A, tzn. znamy P (A B. Zdarzenia A i B określamy jako niezależne, gdy P (A B = P (A P (B. (1.1.3 Porównując wzory (1.1.2 i (1.1.3, otrzymujemy wniosek, że jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to P (A B = P (A i P (B A = P (B, czyli jeśli A i B są niezależne, to prawdopodobieństwo warunkowe jest równe prawdopodobieństwu bezwarunkowemu. Załóżmy, że zdarzenie A może zajść, jeśli zajdzie jedno z wykluczających się zdarzeń B 1, B 2,..., B n, tzn. gdy dla dowolnej pary i j jest B i B j = oraz załóżmy, że B 1 B 2 B n = Ω. Wtedy prawdziwe są dwa wzory: P (A = P (A B 1 P (B 1 + P (A B 2 P (B P (A B n P (B n, (1.1.4 P (B i A = P (A B i P (B i P (A, (1.1.5 gdzie P(A we wzorze (1.1.5 można obliczyć ze wzoru ( Wzór (1.1.4 nosi nazwę wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, a wzór (1.1.5 wzoru Bayesa. Przykład Dla zdarzeń określonych w przykładzie mamy P (A = 3 6 = 1 2. Ponieważ to P (A B = 1 6, P (B = 3 6 = 1 2, P (A B = P (A B P (B = 1 3 < P (A = 1 2.

8 8 WYKŁAD 1. PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.2. Zmienne losowe Zmienną losową X jest funkcja 2 określona na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych R, tzn. X : Ω R. Zwyczajowo zmienne losowe oznacza się dużymi literami z końca alfabetu: X, Y,..., a ich wartości małymi x, y,..., tzn. piszemy x = X (ω, y = Y (ω itd. Wartość x zmiennej losowej X (ω nazywamy realizacją zmiennej losowej. Przykład Przy rzucie monetą (przykład można określić zmienne losowe X i Y w następujący sposób: X(O = 1, X(R = 1 oraz Y(R = 1, Y(O = 1. Taka para zmiennych losowych jest modelem matematycznym dwuosobowej gry o następujących regułach: gracz A rzuca monetą, gdy wypadnie orzełek, gracz A płaci graczowi B złotówkę, gdy wypadnie reszka, gracz B płaci graczowi A złotówkę. Zmienna losowa X jest więc zyskiem lub stratą gracza A, a zmienna losowa Y jest więc zyskiem lub stratą gracza B. Między tymi zmiennymi zachodzi czysto deterministyczny związek X = Y. Przykład Zmienną losową może być liczba oczek przy rzucie jedną kostką do gry (przykład 1.1.2: X (ω i = i. Zmienna losowa może też wskazywać, czy wyrzucono np. szóstkę, czy też inną liczbę oczek: Y (ω 6 = 1 oraz Y (ω i = 0 dla i = 1,..., 5. Zmienne losowe wyznaczają zdarzenia, np. {ω : X(ω < x} oznacza zbiór tych zdarzeń elementarnych, dla których wartość zmiennej losowej X jest mniejsza od liczby x. Zwykle zamiast kompletnego wzoru {ω : X(ω < x} stosuje się skrócony zapis {X < x}. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję o argumentach i wartościach rzeczywistych określoną wzorem F (x = P({ω : X (ω < x} = P (X < x (1.2.1 dla każdego x. Oznacza to również, że Z definicji (1.2.1 wynika, że a 0 F (x 1, b F ( = lim F (x = 0, F ( = lim F (x = 1, x x c F (x jest funkcją niemalejącą. P (a X < b = F (b F (a. (1.2.2 Mówimy, że znamy rozkład zmiennej losowej, jeżeli znamy jej dystrybuantę lub inne równoważne (dalej omówione charakterystyki. Wśród zmiennych losowych wyróżnia się zmienne losowe skokowe (dyskretne i zmienne losowe typu ciągłego. Zmienne losowe skokowe przybierają tylko skończoną liczbę wartości albo ich wartości dają się ustawić w ciąg. Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej jest przedziałami stała, a na granicach przedziałów ma skoki. Dla zmiennych losowych skokowych zamiast dystrybuanty wystarczy tylko znać prawdopodobieństwa P(X = x i = p i, gdzie x i są (ustawionymi w ciąg wartościami, które zmienna losowa X przyjmuje, a p i są wartościami skoków dystrybuanty w punktach x i. Prawdopodobieństwa p k mają następujące własności: 2 Nie każda funkcja, ale ścisła definicja wykracza poza zakres tego skryptu.

9 1.2. ZMIENNE LOSOWE 9 a p k > 0 dla każdego k, b p 1 + p 2 + = p k = 1 k Zmienna losowa typu ciągłego ma ciągłą dystrybuantę, którą ponadto można przedstawić w postaci F (x = x f (t dt. (1.2.3 Funkcję f(x ze wzoru (1.2.3 nazywa się gęstością. W tych punktach, w których dystrybuanta ma pochodną, gęstość wyraża się wzorem Z definicji gęstości wynika, że ma ona własności: a f (x 0, b f (x dx = 1. f(x = F (x = df(x dx. (1.2.4 Własność b geometrycznie oznacza, że pole pod wykresem gęstości jest równe jeden. Za pomocą gęstości zmiennej losowej typu ciągłego obliczamy P (a < X < b: P (a < X < b = F (b F (a = b a f (x dx. Dla zmiennej losowej X typu ciągłego, P (X = x 0 = 0 dla dowolnej ustalonej liczby x 0. Wtedy też P (X < x = P (X x. Przykład Określmy gęstość wzorem { 2 (1 x dla 0 < x < 1, f (x = 0 dla pozostałych x. Wykres gęstości jest przedstawiony na rys Oczywiście f (x 0. Jak widać na wykresie, spełniony jest również warunek b, gdyż obszar pod wykresem tworzy trójkąt o polu równym 1. Dystrybuanta dla 0 < x < 1 jest określona wzorem x F (x = P (X < x = 2 0 (1 t dt = (1 t 2 x 0 ( = (1 x 2 1 = x (2 x. F (x = 0 dla x < 0 oraz F (x = 1 dla x > 1. Wykres F (x jest przedstawiony na rys Para zmiennych losowych X i Y ma rozkład dwuwymiarowy. Dystrybuanta tej pary nazywa się dystrybuantą łączną i wyraża się wzorem Dystrybuanty zmiennych losowych X i Y F (x, y = P (X < x, Y < y. (1.2.5 F X (x = P (X < x, F Y (y = P (Y < y

10 10 WYKŁAD 1. PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA f (x 2 F (x 1 1 x x Rysunek 1.1: Gęstość i dystrybuanta zmiennej losowej z przykładu noszą nazwę dystrybuant brzegowych. Zmienne losowe X i Y są niezależne, gdy P ({ω : X < x} {ω : Y < y} = P ({ω : X < x} P ({ω : Y < y}, czyli gdy dystrybuanta łączna jest iloczynem dystrybuant brzegowych: F (x, y = F X (x F Y (y. (1.2.6 Rozkład dwuwymiarowy jest dyskretny, gdy obie zmienne losowe X i Y są dyskretne. Przyjmiemy oznaczenia p ij = P ( X = x i, Y = y j, p i = P (X = x i, p j = P ( Y = y j. Prawdopodobieństwa p i i p j obliczamy ze wzorów: p i = P (X = x i = j p ij, (1.2.7 p j = P ( Y = y j = p ij. (1.2.8 Przykład Rzucamy dwiema kostkami do gry. Niech X będzie liczbą oczek na pierwszej kostce, Z na drugiej, a Y większym z tych wyników, czyli Y = max{x, Z}. Rozkład dwuwymiarowy zmiennej (X, Y, czyli prawdopodobieństwa p ij, można przedstawić w postaci macierzy i /36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 2/36 1/36 1/36 1/36 1/ /36 1/36 1/36 1/ /36 1/36 1/ /36 1/ /36. Sposób otrzymania tej macierzy objaśnimy na przykładzie. Wynik (2, 4 otrzymamy wtedy, gdy na pierwszej kostce wypadną dwa oczka, a na drugiej cztery. Prawdopodobieństwo tego wynosi (drugi wiersz, czwarta

11 1.3. PARAMETRY ZMIENNYCH LOSOWYCH 11 kolumna (1/6(1/6 = 1/36. Wynik (4, 2 jest niemożliwy, a wynik (2, 2 otrzymamy wtedy, gdy na pierwszej kostce będą dwa oczka, a na drugiej jedno lub dwa oczka. Prawdopodobieństwo tego wynosi (drugi wiersz, druga kolumna (1/6(2/6 = 2/36. Korzystając ze wzoru (1.2.7, otrzymujemy p i = 1/6, (co jest oczywiste, bo X jest liczbą oczek na pierwszej kostce, a ze wzoru (1.2.8 otrzymujemy p j = (2j 1/36. Widać, że relacja (1.2.6 nie jest spełniona, więc zmienne losowe X i Y nie są niezależne. Rozkład dwuwymiarowy typu ciągłego posiada gęstość łączną (analogicznie do wzoru (1.2.4: f (x, y = 2 F (x, y x y. (1.2.9 Gęstości f X (x i f Y (y zmiennych losowych są gęstościami brzegowymi. Zmienne losowe typu ciągłego są niezależne, gdy f (x, y = f X (x f Y (y. ( Parametry zmiennych losowych Kwantylem rzędu p, p (0, 1, rozkładu zmiennej losowej X nazywamy liczbę ξ p spełniającą nierówności P(X ξ p p, P(X ξ p 1 p. (1.3.1 Nierówności (1.3.1 nie wyznaczają kwantyli jednoznacznie. Gdy dystrybuanta F (x jest ciągła, to kwantyl ξ p jest rozwiązaniem równania F(x = p. Rozwiązanie to też nie musi być jednoznaczne. Mediana oznaczana symbolem Me jest kwantylem rzędu p = 1/2, czyli Me = ξ 1/2. Kwantyle rzędów p = 1/4 i p = 3/4 nazywa się kwartylami rzędu 1 i 3 i oznacza się je symbolami Q 1 i Q 3, czyli Q 1 = ξ 1/4 i Q 3 = ξ 3/4. Mediana jest kwartylem rzędu 2: Q 2 = ξ 2/4 = Me. Do wskaźników rozrzutu zmiennej losowej zalicza się odchylenie ćwiartkowe Q = (ξ 3/4 ξ 1/4 /2 = (Q 3 Q 1 /2. Wartość oczekiwana EX zmiennej losowej X (zwana również średnią teoretyczną jest określona osobno dla zmiennych skokowych, a osobno dla zmiennych typu ciągłego. Dla zmiennych skokowych jest to liczba określona wzorem 3 EX = x 1 p 1 + x 2 p 2 + = k x k p k, (1.3.2 a dla zmiennych losowych typu ciągłego wzorem 4 EX = xf(x dx. (1.3.3 Gdy chcemy obliczyć wartości oczekiwane potęg zmiennych losowych, to wzory (1.3.2 i (1.3.3 przybierają postać odpowiednio EX n = x n 1 p 1 + x n 2 p 2 + = k x n k p k ( Dla istnienia wartości oczekiwanej trzeba założyć bezwzględną zbieżność szeregu ( Dla istnienia wartości oczekiwanej trzeba założyć bezwzględną zbieżność całki (1.3.3.

12 12 WYKŁAD 1. PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA oraz EX n = x n f(x dx. (1.3.5 Ważnym parametrem zmiennej losowej X jest wariancja teoretyczna D 2 X określona wzorem oraz odchylenie standardowe σ określone wzorem σ = D 2 X. Odchylenie standardowe nazywane jest również dyspersją. D 2 X = E(X EX 2 = EX 2 (EX 2 (1.3.6 Uwaga. Wariancja D 2 X jest również często oznaczana przez V(X lub Var(X. Przykład Niech zmienne losowe X i Y będą takie, jak w przykładzie Ponieważ P (X = 1 = P (Y = 1 = 1/2 oraz P (X = 1 = P (Y = 1 = 1/2, zmienne X i Y mają ten sam rozkład, mimo że są różne: X = Y. Wobec tego mają te same parametry, wartość oczekiwaną określoną wzorem (1.3.2 i wariancję określoną wzorem (1.3.6, gdzie EX 2 obliczamy ze wzoru ( EX = EY = 0, D 2 X = D 2 Y = 1. Medianą Me = ξ 1/2 jest dowolna liczba 1 ξ 1/2 1. Można więc przyjąć ξ 1/2 = 0, ale można też przyjąć ξ 1/2 = 1 lub ξ 1/2 = 1. Widać, że w tym przypadku mediana nie jest pożytecznym parametrem. Przykład Niech zmienna losowa X będzie taka jak w przykładzie Ponieważ P (X = i = 1/6 dla i = 1, 2,..., 6, to korzystając z tych samych wzorów co w przykładzie i w ten sam sposób, otrzymujemy EX = 1 21 ( = 6 6 = 7 2 = 3.5, EX 2 = 1 ( = , D 2 X = EX 2 (EX 2 = 91 ( = , 35 σ = D 2 X = Medianą może być dowolna liczba 3 ξ 1/2 4, a więc w szczególności można przyjąć ξ 1/2 = EX = 3.5. Pozostałe kwartyle odchylenie i ćwiartkowe są wyznaczone jednoznacznie ze wzoru (1.3.1 dla p = 1/4 i p = 3/4. Q 1 = 2, bo P (X 2 = 1/3 1/4, P (X 2 = 5/6 3/4, Q 3 = 5, bo P (X 5 = 5/6 3/4, P (X 5 = 1/3 1/4, Q = (Q 3 Q 1 /2 = 1.5 < σ. Wartość oczekiwana i wariancja mają następujące własności: E(aX = aex, (1.3.7 E(X + Y = EX + EY, (1.3.8 D 2 (ax = a 2 D 2 X, (1.3.9 (1.3.10

13 1.3. PARAMETRY ZMIENNYCH LOSOWYCH 13 Dla niezależnych X, Y: D 2 (X + Y = D 2 X + D 2 Y. ( Jeśli zmienne losowe X i Y nie są niezależne, to równość ( może nie zachodzić. Kowariancja jest określona wzorem C (X, Y = E ((X EX (Y EY = E (XY (EX (EY. ( Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to C (X, Y = 0. Nie zachodzi wynikanie w drugą stronę: jeśli C (X, Y = 0, to X i Y nie muszą być niezależne. Wariancję sumy zmiennych losowych X i Y, które nie muszą być niezależne oblicza się ze wzoru: D 2 (X + Y = D 2 X + D 2 Y + 2C (X, Y. ( Przykład Rozważmy zmienne losowe X i Y z przykładu Oczywiście EX = 3.5 i D 2 X 2.92 tak, jak w przykładzie Obliczamy tylko parametry zmiennej losowej Y. Ponieważ kolejne prawdopodobieństwa P (Y = i są następujące: 1/36, 3/36, 5/36, 7/36, 9/36, 11/36, to Me = 5, gdyż = > 1 2, = > 1 2 i żadna inna liczba nie spełnia warunków (1.3.1 dla p = 1/2. Obliczamy wartość oczekiwaną: Następnie obliczymy EY = ( = EY 2 = 1 ( = , skąd otrzymujemy wariancję i odchylenie standardowe: D 2 Y = EY 2 (EY 2 = σ = D 2 Y ( = , Widać, że EY > EX, co jest oczywiste, gdyż zawsze Y X. Wartości Y są też bardziej skupione wokół swojej wartości oczekiwanej, więc D 2 Y < D 2 X. Łatwo otrzymujemy E (X + Y = EX + EY = = Ponieważ X i Y nie są niezależne, to nie można skorzystać ze wzoru ( Współczynnik korelacji jest określony wzorem C(X, Y ρ = ρ(x, Y =. ( D 2 X D 2 Y Współczynnik korelacji ma kilka charakterystycznych, sformułowanych poniżej własności. a ρ 1, b jeżeli X i Y są niezależne, to ρ(x, Y = 0, c ρ = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją stałe a 0 i b takie, że P(Y = ax + b = 1. (1.3.15

14 14 WYKŁAD 1. PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jeżeli współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y jest równy zeru, to mówimy, że są one nieskorelowane. Jeżeli zmienne losowe są niezależne, to są nieskorelowane, ale nie na odwrót. ( Wyrażenie E (Y (αx + β 2 osiąga najmniejszą wartość, gdy współczynniki α i β są określone wzorami α = ρ σ 2, β = m 01 ρ σ 2 m 10, σ 1 σ 1 gdzie σ 2 1 = D2 X, σ 2 2 = D2 Y, m 10 = EX oraz m 01 = EY. Prostą o równaniu y m 01 = ρ σ 2 σ 1 (x m 10 nazywa się prostą regresji, a współczynniki α i β nazywają się współczynnikami regresji. Przykład Obliczmy kowariancję i współczynnik korelacji dla zmiennych losowych X i Y z przykładu W przykładzie obliczano wartości oczekiwane i wariancje zmiennych losowych X i Y. Pozostaje do obliczenia jeszcze E (XY. Zauważmy, że 1/36 dla i < j, p ij = i/36 dla i = j, 0 dla i > j. Stąd Stąd i ze wzoru ( otrzymujemy E (XY = 6 i=1 i 2 i 36 + ij 1 36 j<i = ( / ( / ( / ( / (5 + 6 / /36 = C (XY = = Współczynnik korelacji otrzymujemy podstawiając obliczone parametry do wzoru (1.3.14: 35/24 27 ρ = = 35/ / Zadania 1. Rzucamy trzema monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy co najmniej dwie reszki? 2. Jest n + m losów, spośród których n wygrywa. Kupiono k losów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród nich jest s (s n losów wygrywających.

15 1.4. ZADANIA Na kartce egzaminacyjnej jest pięć pytań i trzy możliwe odpowiedzi na każde z nich, z których dokładnie jedna jest poprawna. Należy wybrać poprawną odpowiedź na każde pytanie. Ile wynosi prawdopodobieństwo otrzymania czterech poprawnych odpowiedzi, jeżeli egzaminowany zgaduje odpowiedzi? 4. Wytwórca czekoladek zaplanował ich promocję za pomocą małych bombonierek nazwanych Premium, w których znajdowało się pięć nieróżniących się wyglądem czekoladek. Trzy z nich miały smak wiśniowy, a dwie nijaki. Wobec powodzenia akcji, wytwórca wprowadził do obrotu bombonierki Super Premium, nieróżniące się wyglądem od bombonierek Premium, ale mające jedną czekoladkę o smaku wiśniowych i cztery o smaku nijakim. Obecnie w handlu znajduje się 20% bombonierek Premium i 80% bombonierek Super Premium. Jakie jest prawdopodobieństwo, że poczęstowana przez nas koleżanka wyjmie z promocyjnej bombonierki czekoladkę o smaku wiśniowym? 5. Czekoladka z promocyjnej bombonierki z zadania 4 okazała się czekoladką o smaku wiśniowym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że znajdowała się w bombonierce Super Premium? 6. Wiemy, że 95% produkcji jest dobrej jakości, a pozostałe 5% jest złej jakości. Kontrola przepuszcza przedmioty dobrej jakości z prawdopodobieństwem 0.98, a przedmioty złej jakości z prawdopodobieństwem Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przedmiot przepuszczony przez kontrolę będzie dobrej jakości % klientów drogerii wybiera tani proszek do prania XYZ, a pozostali klienci wybierają droższy proszek do prania innej wiodącej marki. Wiadomo, że proszek XYZ usuwa plamy w 20% przypadków, a proszek innej wiodącej marki w 95%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że proszek kupiony przez losowo wybranego klienta usunie plamę? 8. W urnie są dwie białe i trzy czerwone litery X oraz trzy białe i dwie czerwone litery Y. Określamy zdarzenia: A wylosowano literę czerwoną, B wylosowano literę Y. Czy zdarzenia A i B są niezależne? 9. Zmienna losowa X przyjmuje cztery wartości z prawdopodobieństwami określonymi w tabeli: Wartość Prawdopodobieństwo Wyznaczyć medianę. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję. 10. Zmienna losowa X przyjmuje pięć wartości z prawdopodobieństwami określonymi w tabeli: Wartość Prawdopodobieństwo p q 0.1 Wyznaczyć wartości p i q tak, aby Me = 2.5, a następnie tak, aby Me = 2.0. W obu przypadkach obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję. 11. Sprzedawca tanich, niemarkowych t-shirtów ma pięciu dostawców. Kupując produkt od i-tego dostawcy, ponosi w porównaniu z kupnem produktu markowego zysk (lub stratę, czyli zysk ujemny s i. Procentowy udział dostawców i zyski podane są w tabeli. Dostawca A B C D E Udział procentowy 40% 15% 20% 5% 20% Zysk

16 16 WYKŁAD 1. PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Wszystkie t-shirty są wymieszane i mają taką samą cenę. Obliczyć średni zysk ze sprzedaży 100 t-shirtów i określić jego średnie odchylenie. 12. Zmienne X i Y są niezależne oraz EX = 1.2, EY = 2.5, D 2 X = D 2 Y = 0.5. Określamy zmienną losową Z wzorem Z = 0.5 X Y. Korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji sumy niezależnych zmiennych losowych, obliczyć EZ oraz D 2 Z. 13. Prawdopodobieństwo wylosowania głównej nagrody wartości 1000 zł w promocji pewnego towaru wynosi , prawdopodobieństwo wygrania nagrody pocieszenia wartości 3 zł wynosi 0.2. Warunkiem wzięcia udziału w jednokrotnym losowaniu nagrody jest zakup jednej sztuki towaru za cenę 25 zł o rzeczywistej wartości 22 zł. Niech X będzie zyskiem lub stratą powstałą w wyniku zakupu 5 sztuk tego towaru, wliczając w to ewentualny zysk z losowania nagrody. Obliczyć EX i zakładając, że zakupy są niezależne, obliczyć D 2 X oraz odchylenie standardowe. 14. Prawdopodobieństwo wygrania w jednej grze w automacie do gry wynosi Ile trzeba wykupić gier aby prawdopodobieństwo wygrania choć raz w serii wykupionych gier, przekroczyło poziom 0.3? 15. Rzucamy trzema monetami. Niech Z i = 1 gdy wyrzucimy reszkę na i-tej monecie oraz Z i = 0 w przeciwnym przypadku, i = 1, 2, 3. Określamy X = Z 1 + Z 2 (suma reszek na dwóch pierwszych monetach i Y = Z 2 + Z 3 (suma reszek na monecie drugiej i trzeciej. Znaleźć prawdopodobieństwa p ij = P (X = m, Y = n, P (X = m, P (Y = n, EX, EY, D 2 X, D 2 Y, C (X, Y i ρ (X, Y.

17 Wykład 2 Rozkłady zmiennych losowych 2.1. Rozkłady dyskretne Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy, gdy z prawdopodobieństwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. jeśli P(X = x 1 = p i P(X = x 2 = q, to p + q = 1. Łatwo policzyć, że EX = x 1 p + x 2 q, co w przypadku p = q = 1/2 daje m = (x 1 + x 2 /2, czyli średnią arytmetyczną, natomiast wariancja D 2 X = (x 2 x 1 2 pq. Szczególnym przypadkiem rozkładu dwupunktowego jest rozkład zero jedynkowy, gdy x 1 = 0 i x 2 = 1. Wtedy EX = p oraz D 2 X = pq. Rozkład dwumianowy Dokonujemy n niezależnych doświadczeń, a w każdym z nich możemy otrzymać tylko dwa wyniki sukces lub porażkę. Prawdopodobieństwo sukcesu w każdym doświadczeniu jest takie samo i jest równe p, więc prawdopodobieństwo porażki jest równe q = 1 p. Prawdopodobieństwo, że odniesiemy sukces w ustalonych k doświadczeniach spośród wszystkich n wykonanych, jest równe p k. Prawdopodobieństwo, że w pozostałych n k doświadczeniach odniesiemy ( porażkę, jest równe (1 p n k. W n doświadczeniach można k miejsc na sukces wybrać na n sposobów. Stąd oznaczając przez X liczbę sukcesów w n doświadczeniach, otrzymujemy k ( n P(X = k = p k = p k (1 p n k, k gdzie k = 0, 1,..., n. Jest to rozkład dwumianowy. Łatwo policzyć, że gdy q = 1 p, to n k=0 oraz wszystkie p k > 0, (k = 0, 1,..., n. ( n p k q n k = (p + q n = 1 n = 1 k 17

18 18 WYKŁAD 2. ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Jeżeli X i, i = 1, 2,..., n są niezależnymi zmiennymi losowymi o takich samych rozkładach zerojedynkowych, to zmienna losowa X = X 1 +X 2 + +X 2 ma rozkład dwumianowy. Ponieważ EX i = p i D 2 X = pq, to rozkład dwumianowy ma wartość oczekiwaną EX = np i wariancję D 2 X = npq. Rozkład Poissona Zmienna losowa X ma rozkład Poissona, gdy λ λk p k = P (X = k = e k!, gdzie k = 0, 1,..., natomiast λ > 0. Parametry: EX = λ, D 2 X = λ. Rozkład Poissona ma ścisły związek z rozkładem dwumianowym. Związek ten pokażemy w paragrafie 2.4 na str Rozkłady typu ciągłego Rozkład jednostajny Niech zmienna losowa X ma gęstość f (x = { 1 b a dla x [a, b], 0 dla x / [a, b]. Jest to rozkład jednostajny na odcinku [a, b]. Parametry: EX = (a + b /2, D 2 X = (b a 2 /12. Rozkład wykładniczy Niech zmienna losowa X ma gęstość f (x = { λe λx dla x 0, 0 dla x < 0, dla λ > 0. Wtedy F (x = { 1 e λx dla x 0, 0 dla x < 0. Jest to rozkład wykładniczy. Parametry: EX = 1/λ, D 2 X = 1/λ 2 Rozkład normalny Wśród rozkładów typu ciągłego jednym z najważniejszych jest rozkład normalny o parametrach m i σ. Fakt, że zmienna losowa X ma taki właśnie rozkład oznacza się przez X N(m, σ, gdzie EX = m, D 2 X = σ 2. Ma to miejsce wtedy, gdy zmienna losowa Y = X m σ (2.2.1

19 2.2. ROZKŁADY TYPU CIĄGŁEGO 19 ma rozkład N (0, 1, czyli ma gęstość wyrażającą się wzorem f (x = 1 2π e x2 /2. (2.2.2 Zmienna losowa X N (m, σ ma gęstość f (x = 1 σ (x m 2 2π e 2σ 2. (2.2.3 f (x Rysunek 2.1: Gęstość rozkładu normalnego N (0, 1. x Gęstość rozkładu normalnego N(0, 1 przedstawiona jest na rys Dystrybuanta zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N (0, 1 jest oznaczana przez Φ (x = P (X < x, a jej wartości są podane w tablicach rozkładu normalnego. Do korzystania z nich przydatna jest znajomość następujących zależności: a P (X > x = 1 Φ (x, b Φ (x = 1 Φ ( x, c P ( X > x = 2 (1 Φ (x. Aby zaś obliczyć P(X < x, gdy X N(m, σ, należy skorzystać z zależności ( X m P(X < x = P < x m ( x m = Φ. σ σ σ Spotykane często tablice rozkładu normalnego podają zamiast wartości dystrybuanty Φ(x (takie tablice są na str. 57, wartości funkcji Φ(x 0.5, czyli wartości P (0 < X < x (takie tablice są w [8, 9, 10]. Rozkład normalny dwuwymiarowy (X, Y ma gęstość postaci f(x, y = ( ( 1 2πσ 1 σ exp 1 (x m ρ 2 2(1 ρ 2 σ1 2 2ρ (x m 1(y m 2 2 σ 1 σ 2 + (y m 2 2 σ 2 2. (2.2.4 Parametr ρ występujący we wzorze (2.2.4 jest współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y, natomiast parametry m 1, m 2, σ 1 i σ są odpowiednio wartościami oczekiwanymi i odchyleniami

20 20 WYKŁAD 2. ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH standardowymi zmiennych losowych X i Y. Z porównania wzorów (2.2.4 i (2.2.3 widać, że gęstość dwuwymiarowego rozkładu normalnego jest iloczynem gęstości normalnych jednowymiarowych wtedy i tylko wtedy, gdy ρ = 0. Wynika stąd, że jeśli zmienne losowe X i Y mają dwuwymiarowy rozkład normalny, to są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nieskorelowane. Jest to szczególna cecha rozkładu normalnego (por. uwagę na str Populacja, próba i statystyki Cecha ilościowa w populacji generalnej jest zmienną losową oznaczmy ją symbolem X. Wybieramy (losujemy n-elementową część populacji generalnej, której elementy mają cechy X 1, X 2,..., X n. Tak otrzymany ciąg zmiennych losowych nazywamy próbą losową lub próbą statystyczną. Zakładać będziemy dalej zawsze, że zmienne losowe X i są niezależne o takiej samej dystrybuancie (o takim samym rozkładzie, co cecha X. Próbę taką będziemy nazywać próbą prostą. Statystyka T n = T n (X 1, X 2,..., X n jest funkcją zmiennych losowych (X 1, X 2,..., X n. Poniżej podanych jest kilka najważniejszych statystyk. 1. Średnia empiryczna: 2. Wariancja empiryczna: X = 1 n n X i. (2.3.1 i=1 S 2 = 1 n n i=1 ( Xi X 2 = 1 n n Xi 2 X 2, (2.3.2 i=1 czyli wariancja empiryczna, to średnia z kwadratów minus kwadrat średniej. 3. Odchylenie standardowe empiryczne: S = S 2. (2.3.3 Zauważmy, że powyżej podane statystyki są zmiennymi losowymi (oznaczamy je dużymi literami, natomiast ich zaobserwowane wartości oznaczamy małymi literami. Zaobserwowana wartość średniej empirycznej wyraża się wzorem x = x x n n lub dla danych pogrupowanych wzorem przybliżonym Zaobserwowana wartość wariancji empirycznej, (2.3.4 x = n 1x n kxk. (2.3.5 n s 2 = 1 n n (x i x 2 (2.3.6 i=1

21 2.3. POPULACJA, PRÓBA I STATYSTYKI 21 lub dla danych pogrupowanych wzorem przybliżonym s 2 = 1 n k i=1 ( xi 2 x ni. (2.3.7 Występująca we wzorach (2.3.5 i (2.3.7 liczba x i jest środkiem, a liczba n i jest liczebnością i-tego przedziału klasowego. Zaobserwowaną wartością statystyki (2.3.1 jest więc liczba określona wzorem (2.3.4, a wartością (2.3.2 jest liczba określona wzorem ( Wartość oczekiwana EX określona wzorem (1.3.2 lub (1.3.3 jest teoretycznym odpowiednikiem średniej empirycznej x określonej wzorem (2.3.4, natomiast wariancja D 2 X określona wzorem (1.3.6 jest teoretycznym odpowiednikiem wariancji empirycznej s 2 określonej wzorem ( Wariancję empiryczną określa się też nieco innym wzorem (S 2 z daszkiem : Ŝ 2 = 1 n 1 n i=1 ( Xi X 2 = 1 n 1 n Xi 2 n n 1 X 2. (2.3.8 n Jeśli n jest duże, to n 1 jest bliskie jedynki, a więc s2 i ŝ 2 różnią się nieznacznie. Ważne są następujące własności: EX = EX, EŜ 2 = D 2 X. Oznacza to, że przeciętna wartość średniej empirycznej z próby jest równa średniej teoretycznej (patrz str. 11 cechy w populacji generalnej, a przeciętna wartość wariancji empirycznej z daszkiem z próby jest równa wariancji teoretycznej cechy w populacji generalnej. Wynika stąd, że statystyki określone wzorami (2.3.1 (2.3.8 mogą służyć do oszacowania odpowiednich parametrów teoretycznych. Ogólnie: statystyki służące do szacowania nieznanych parametrów rozkładu cechy w populacji generalnej na podstawie próby, nazywa się estymatorami. O estymatorach będzie mowa w wykładzie 3. Dla porównania tych estymatorów z prawdziwymi wartościami parametrów służą statystyki: i=1 U = X EX n, σ (2.3.9 t = X EX n 1, S ( χ 2 = ns2 σ 2. ( Wzoru (2.3.9 używamy, gdy znane jest σ, a wzoru (2.3.10, gdy σ jest nieznane. Dalej potrzebne będzie jeszcze pojęcie rozkładu chi-kwadrat Pearsona. Zmienna losowa o tym rozkładzie tradycyjnie oznaczana jest symbolem χ 2. Zmienna losowa χ 2 ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody, gdy jest sumą kwadratów niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym N(0, 1, tzn. χ 2 = X X X2 n, gdzie X i są niezależne i mają rozkłady normalne N(0, 1. Wtedy Eχ 2 = n oraz D 2 χ 2 = 2n. Tablice rozkładu chi-kwadrat ułożone są tak, że dla danych n i α, 0 < α < 1 podawane są wartości liczb χα 2 takie, że ( P χ 2 > χα 2 = α.

22 22 WYKŁAD 2. ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Wartości te są podawane( dla n 30 (str. 59. Dla większych n rozkład chi-kwadrat jest zbliżony do rozkładu normalnego N n, 2n. Przy pomocy rozkładu chi-kwadrat i rozkładu normalnego N(0, 1 definiuje się rozkład t-studenta. Zmienna losowa o tym rozkładzie tradycyjnie oznaczana jest symbolem t lub T. Zmienna losowa t ma rozkład Studenta o n stopniach swobody, gdy wyraża się wzorem t = X χ 2 /n, gdzie X ma rozkład N(0, 1, a χ 2 ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody oraz X i χ 2 są niezależne. Tablice rozkładu Studenta ułożone są tak, że dla danych n i α, 0 < α < 1 podawane są wartości liczb t α takie, że P ( t > t α = α. Wartości te są podawane dla n 30 (str. 58. Dla większych n rozkład Studenta jest zbliżony do rozkładu normalnego N (0, 1. Założymy teraz, że cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(m, σ. W tym przypadku rozkłady statystyk określonych wzorami (2.3.1 i (2.3.9 ( są następujące. a Statystyka X ma rozkład normalny N(m, σ/ n. b Statystyka U określona wzorem (2.3.9 ma rozkład normalny N(0, 1. c Statystyka t określona wzorem ( ma rozkład Studenta o n 1 stopniach swobody. d Statystyka χ 2 określona wzorem ( ma rozkład chi-kwadrat o n 1 stopniach swobody. Statystyką związaną z rozkładem dwuwymiarowym jest empiryczny współczynnik korelacji R określony wzorem n (X i X(Y i Y i=1 R =. ( n (X i X 2 n (Y i Y 2 i=1 i= Twierdzenia graniczne Dla dużych i bardzo dużych prób, wyznaczenie dokładnych rozkładów statystyk może być trudne. Można wtedy skorzystać z twierdzeń granicznych. Podamy tutaj trzy ważne twierdzenia. Prawo wielkich liczb Jeżeli X 1, X 2,..., X n są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, EX i = m, D 2 X i = σ 2, to ( P lim X = m = 1. n Oznacza to, że dla dużych prób średnia empiryczna (2.3.4 jest z dobrą dokładnością równa w przybliżeniu średniej teoretycznej EX określonej wzorami (1.3.2 lub ( Przykład Rzucając bardzo wiele razy monetą, stosunek liczby wyrzuconych reszek do liczby wszystkich rzutów, będzie w przybliżeniu równy 1/2.

23 2.5. ZADANIA 23 Centralne Twierdzenie Graniczne Jeżeli X 1, X 2,..., X n są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, EX i = m, D 2 X i = σ 2, to ( lim P X1 + X X n nm n σ < x = Φ(x, n gdzie Φ(x jest dystrybuantą rozkładu normalnego N(0, 1. Konsekwencją centralnego twierdzenia granicznego jest to, że dla dużych prób rozkłady statystyk (2.3.9 i ( mają rozkład w przybliżeniu normalny N(0, 1 nawet wtedy, gdy rozkład cechy X nie jest normalny. Wystarczy tylko, by istniała skończona wariancja, tzn. D 2 X <. Również własność, że zmienne losowe o rozkładzie chi-kwadrat i rozkładzie t-studenta mają dla n > 30 rozkład zbliżony do normalnego jest konsekwencją Centralnego Twierdzenia Granicznego. Twierdzenie Poissona Prostym, ale użytecznym twierdzeniem granicznym jest twierdzenie Poissona. Załóżmy w nim, że zmienne losowe X n o rozkładzie dwumianowym mają prawdopodobieństwo p malejące wraz z n w taki sposób, że λ = pn jest stałe. Wtedy λ λk P (X n = k e k!. Oznacza to, że rozkład dwumianowy dla dostatecznie dużych n i małych p można przybliżyć rozkładem Poissona. W praktyce przyjmuje się, że n powinno być równe około 100 lub większe, natomiast p takie, że 0.1 < λ < 10. Przykład Załóżmy, że prawdopodobieństwo sukcesu w jednym doświadczeniu wynosi p. Niech X będzie liczbą sukcesów w n niezależnych doświadczeniach. a Jeśli n = 10 i p = 0.2, to P (X = 2 = ( b Jeśli n = 100 i p = 0.02, to λ = 2 (wartość oczekiwana EX = 2 jest taka sama jak w poprzednim przypadku. Korzystamy z tw. Poissona i otrzymujemy 2 22 P (X = 2 = e 2! c Jeśli n = 100 i p = 0.2, m = p = 0.2 (teraz EX = 20, σ = pq = 0.16 = 0.4. Korzystamy z Centralnego Twierdzenia Granicznego i otrzymujemy ( X 20 P (X < 22 = P < 0.5 Φ (0.5 = Zadania 1. Liczba samochodów przejeżdżających w nocy przez punkt pomiarowy na drodze w ciągu jednej minuty, ma rozkład Poissona z parametrem λ = 1.2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba samochodów przejeżdżających przez ten punkt w ciągu minuty, będzie większa niż trzy. 2. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (0, 1. Korzystając z tablic, wyznaczyć P (X < 1.3, P (X > 2.1, P (X < 0.9, P ( X 1.34.

24 24 WYKŁAD 2. ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH 3. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (0.3, Korzystając z tablic, wyznaczyć P (X > 0.13, P (X < 1.34, P (X 0.1, P ( X > Uzasadnić korzystając z tablic, że jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N (m, σ, to P ( X m > 3σ < Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy ze średnią EX = Wyznaczyć medianę, kwartyle i odchylenie ćwiartkowe. 6. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy ze średnią EX = 1.5. Niech Y = 1.4 X Wyznaczyć P (Y > 0.05 oraz P (Y < Wiadomo, że cecha X ma rozkład jednostajny na przedziale [1, 3]. Dokonano n = 10 niezależnych obserwacji. Obliczyć dla takiej próby statystycznej EX, EŜ 2 oraz ES Autobus z Wyższej Szkoły Handlowej na ul. Ostrowskiego do naszego domu jeździ co 30 minut, ale rozkładu jazdy nie znamy. Czekamy na autobus w padającym deszczu przez czas T. Nasze straty S z tego powodu rosną z kwadratem czasu czekania wg wzoru S = αt 2, gdzie α jest pewną stałą. Obliczyć średnią stratę, odchylenie standardowe, medianę, kwartyle i odchylenie ćwiartkowe. Porównać średnią z medianą oraz odchylenie standardowe z odchyleniem ćwiartkowym. 9. Zmienna losowa t ma rozkład t-studenta o k stopniach swobody. Korzystając z tablic, wyznaczyć wartość t α dla danego α, gdy a P ( t > t α = α, b P (t > t α = α, c P (t < t α = α, dla k = 5, k = 11, oraz α = 0.1, α = Zmienna losowa χ 2 ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody. Korzystając z tablic, wyznaczyć wartość χ 2 α dla danego α, gdy a P ( χ 2 > χ 2 α = α, b P ( χ 2 < χ 2 α = α, dla k = 5, k = 11, oraz α = 0.1, α = Powtórzyć obliczenia dla k = 41, k = Prawdopodobieństwo wyprodukowania jednej sztuki wyrobu drugiego gatunku wynosi 0.3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii 100 sztuk wyrobów znajdzie się mniej niż 30 sztuk drugiego gatunku? Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba wyrobów drugiego gatunku będzie większa od 10? Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba wyrobów drugiego gatunku jest zawarta pomiędzy 10 a 30? 12. Tygodniowe wypłaty z pewnego funduszu są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z tym samym parametrem λ = zł. Obliczyć prawdopodobieństwo, że łączna wypłata z tego funduszu w okresie roku, tzn. 52 tygodni, przekroczy zł. 13. Rzucamy 100 razy parą kostek do gry. Niech X oznacza liczbę rzutów, w których szóstka wypadnie na obu kostkach. Obliczyć EX, D 2 X oraz P (X k dla k = 0, 1, 2.

25 Wykład 3 Estymacja 3.1. Zasady estymacji parametrów Szacowanie nieznanego parametru na podstawie próby statystycznej 1 za pomocą jednej liczby nazywamy estymacją punktową. Zmienna losowa T n będąca funkcją próby (X 1, X 2,..., X n T n = T n (X 1, X 2,..., X n szacująca nieznany parametr θ nazywa się estymatorem parametru θ. Znane ze statystyki opisowej parametry empiryczne mediana i kwartyle empiryczne, średnia empiryczna i wariancja empiryczna, są estymatorami punktowymi odpowiednich parametrów teoretycznych, omówionych w wykładzie 1. Estymator T n pewnego parametru θ jest a nieobciążony, gdy ET n = θ, b asymptotycznie nieobciążony, gdy lim n ET n = θ, c zgodny, gdy lim n P (T n = θ = 1. Statystyki X i Ŝ 2 są estymatorami nieobciążonymi i zgodnymi parametrów EX i D 2 X, natomiast S 2 jest estymatorem asymptotycznie nieobciążonym i zgodnym parametru D 2 X. Idea estymacji przedziałowej polega na tym, aby zamiast szacowania nieznanego parametru θ za pomocą jednej liczby, znaleźć przedział zwany przedziałem ufności, w którym nieznany parametr znajdzie się z zadowalającym nas prawdopodobieństwem, bliskim 1. Bliskość jedynki określa się liczbą 1 α i nazywa poziomem ufności. Inaczej mówiąc, wyznaczamy takie dwa estymatory T n i T n, aby P ( T n < θ < T n = 1 α, (3.1.1 czyli wyznaczamy przedział o losowych końcach, w którym nieznana nam wartość parametru θ znajdzie się z prawdopodobieństwem 1 α. Dla danej realizacji przedział ufności ma więc postać ( T n (x 1, x 2,..., x n, T n (x 1, x 2,..., x n = ( θ, θ. (3.1.2 Sens wyznaczenia przedziału (θ, θ określonego wzorem (3.1.2 jest następujący: po podstawieniu zaobserwowanego ciągu danych (x 1, x 2,..., x n do wzorów określających θ = T n (x 1, x 2,..., x n oraz θ = T n (x 1, x 2,..., x n, prawdziwa wartość parametru θ powinna się znaleźć w tym przedziale średnio w (1 α 100% przeprowadzonych obserwacji (doświadczeń. Średnio tylko w α100% obserwacji nasze oszacowanie nie będzie prawdziwe. 1 Zawsze zakładamy, że to próba prosta (patrz str

26 26 WYKŁAD 3. ESTYMACJA Łatwo jest zauważyć, że im mniejsze α, tym dłuższy jest przedział ufności. Zazwyczaj α przybiera jedną z wartości 0.1, 0.05, 0.01, przy czym wartość α = 0.05 jest najczęściej używana mówimy wtedy o 95 procentowym przedziale ufności. W następnych punktach omówimy szerzej trzy typowe przypadki: przedziały ufności dla parametrów m = EX i σ = D 2 X, wskaźnika struktury p, a także współczynnika korelacji ρ Szczególne przypadki Przedziały ufności dla średniej Rozpatrywane są trzy przypadki, przy czym dla każdego z nich przedział ufności jest symetryczny względem średniej empirycznej X określonej wzorem ( Przypadek I. Populacja generalna ma rozkład N(m, σ, odchylenie standardowe jest znane. Nieznany jest parametr m, dla którego szukamy przedziału ufności. Dla próby o liczebności n przedział ufności wygląda następująco: ( σ σ P X u α n < m < X + u α n = 1 α, (3.2.1 gdzie u α jest takie, że P( U > u α = α oraz U N(0, 1. Wtedy dla otrzymanych już danych, czyli dla ustalonej realizacji, przedział ufności ma postać ( m, m ( σ σ = x u α n, x + u α n, (3.2.2 Przykład Cecha X ma rozkład normalny o nieznanej wartości oczekiwanej i znanym odchyleniu standardowym σ = 0.1. Oszacować m na poziomie ufności 1 α = 0.95 na podstawie pięcioelementowej próby prostej: 1.2, 1.3, 1.1, 1.1, 1.3. Najpierw średnia: x = = 6 5 = 1.2. Ponieważ P ( U > u α = 2 (1 Φ (u α = α, więc Φ (u α = 1 α/2 = Stąd odczytujemy z tablicy rozkładu normalnego u α = Podstawiamy obliczone wielkości do wzoru (3.2.2 i otrzymujemy przedział ufności (po zaokrągleniu (1.11, Analogiczne obliczenia dają dla poziomu ufności 1 α = 0.9 węższy przedział (1.13, 1.27, gdyż wtedy u α = Przyjęcie z kolei poziomu ufności 1 α = 0.99 daje szerszy przedział (1.09, 1.31, gdyż wtedy u α = Przypadek II. Populacja generalna ma rozkład N (m, σ, odchylenie standardowe jest nieznane. Nieznany jest też parametr m, dla którego szukamy przedziału ufności. Dla próby o liczebności n, przedział ufności wygląda następująco: ( S S P X t α < m < X + t α = 1 α, (3.2.3 n 1 n 1 gdzie t α jest takie, że P ( t > t α = α oraz t ma rozkład t-studenta o n 1 stopniach swobody. Statystyka S = S 2 określona jest wzorem ( Wtedy ( m, m ( s s = x t α, x + t α, (3.2.4 n 1 n 1

27 3.2. SZCZEGÓLNE PRZYPADKI 27 lub równoważnie przy pomocy statystyki Ŝ = Ŝ2 ( Ŝ Ŝ P X t α n < m < X + t α n = 1 α. (3.2.5 Wtedy ( m, m ( ŝ ŝ = x t α, x + t α. (3.2.6 n n Tablice rozkładu t-studenta podają wartości tylko dla liczby stopni swobody do trzydziestu. Dla większej liczby stopni swobody statystyka ( ma rozkład w przybliżeniu normalny (patrz str. 22. Takie też tablice należy stosować lub od razu przejść do przypadku III. Ponieważ we wzorach (3.2.1, (3.2.3 i (3.2.5 znamy dokładne rozkłady statystyk, to można je stosować nawet przy małych próbach. Przykład Dane, cel i poziom ufności jak w przykładzie 3.2.1, ale teraz przypuśćmy, że nie znamy odchylenia standardowego, jednak wiemy, że X N (m, σ. Ze wzoru (2.3.6 obliczamy s 2 = = 0.008, skąd s = Z tablic rozkładu t-studenta odczytujemy dla α = 0.05 i czterech stopni swobody, t α = Po podstawieniu do wzoru (3.2.4 otrzymujemy przedział ufności (po zaokrągleniu (1.08, Zwróćmy uwagę, że otrzymany w tym przykładzie przedział ufności jest szerszy, czyli oszacowanie jest mniej dokładne niż oszacowanie otrzymane w przykładzie Jest to zrozumiałe, gdyż teraz mamy mniej informacji nie jest znane σ. Przypadek III. Rozkład dowolny, ale n musi być duże (co najmniej kilkadziesiąt oraz istnieje wariancja σ 2 = D 2 X <, która może być nieznana. Wtedy przedziały ufności wyznaczane są ze wzoru (3.2.1, przy czym zamiast σ można podstawić S lub Ŝ (dla dużego n różnica między S i Ŝ jest nieznaczna, gdy σ nie jest znane. Przedziały ufności dla wariancji Przedział ufności dla wariancji nie zależy od wartości oczekiwanej m = EX. Stąd tylko dwa rozważane przypadki. Przypadek I. Populacja generalna ma rozkład normalny. Nieznany jest parametr σ, dla którego szukamy przedziału ufności. Próba jest mała (n < 30. Dla próby o liczebności n, przedział ufności wygląda następująco: ( ns 2 P c 2 gdzie c 1 < c 2 spełniają równania P (χ 2 < c 1 < σ 2 < ns2 = 1 α, (3.2.7 c 1 = P (χ 2 > c 2 = α/2 (3.2.8 dla zmiennej losowej χ 2 o rozkładzie chi-kwadrat o n 1 stopniach swobody. Wtedy ( σ 2, σ 2 ( ns 2 =, ns2. (3.2.9 c 2 c 1

28 28 WYKŁAD 3. ESTYMACJA Równoważnie przedział ufności można określić wzorem ( (n 1 Ŝ 2 P < σ 2 (n 1 Ŝ2 < = 1 α. ( c 2 c 1 Wtedy ( ( σ 2, σ 2 (n 1 Ŝ 2 = c 2 < σ 2 < (n 1 Ŝ2, ( c 1 gdzie c 1 i c 2 są takie same jak poprzednio. Zwróćmy uwagę, że przedział ufności otrzymany ze wzorów (3.2.9 lub ( nie jest symetryczny względem s 2. Założenie, że próba jest mała ma charakter czysto rachunkowy dla n > 30 rozkład chi-kwadrat jest na tyle zbliżony do normalnego, że tablice zawierają na ogół wartości tylko do n = 30. Przykład Oszacujmy σ 2 na poziomie ufności 0.9 dla danych jak w przykładzie Wartość statystyki s 2 została obliczona w przykładzie 3.2.2: s 2 = Z tablicy rozkładu chi-kwadrat odczytujemy bezpośrednio (patrz wzór (3.2.8 parametr c 2 = dla α/2 = Parametr c 1 odczytujemy z zależności P ( χ 2 < c 1 = 1 P ( χ 2 > c 1 = 0.05, czyli P ( χ 2 > c 1 = 0.95, więc c1 = Przedział ufności (0.0042, Przypadek II. Populacja generalna ma rozkład normalny lub zbliżony do normalnego i próba jest duża, n 30. Przedział ufności dla odchylenia standardowego wyraża się wzorem P S 1 + u < σ < α 2n S 1 u α 2n gdzie u α jest takie, że P ( U > u α = α oraz U N (0, 1. Wtedy ( σ, σ = s 1 + u, α 2n 1 α, ( s 1 u α 2n ( Przedziały ufności dla wskaźnika struktury Załóżmy, że w populacji znajdują się elementy dwóch rodzajów, oznaczone jako 0 i 1, przy czym elementy oznaczone jako 1 stanowią p 100% populacji. Parametr p jest wskaźnikiem struktury (procentu. Z populacji pobieramy próbę n elementową, w której M oznacza liczbę elementów oznaczonych jako 1. M jest oczywiście zmienną losową. Przedział ufności dla p jest postaci P M n u α M n ( 1 M n < p < M n n + u α M n ( 1 m n n 1 α, ( gdzie u α jest takie, że P( U > u α = α oraz U N(0, 1. Próba musi mieć dostatecznie dużą liczbę elementów co najmniej 100. Dla pobranej próby, więc dla ustalonego już m, mamy ( p, p = m ( m n u n 1 m n α, m ( m n n + u n 1 m n α. ( n

29 3.2. SZCZEGÓLNE PRZYPADKI 29 Przykład Spośród 100 wylosowanych elementów, 80 było klasy I, a 20 klasy II. Na poziomie ufności 1 α = 0.95 oszacować procent elementów klasy I w całej populacji. Podstawiamy we wzorze (3.2.15, n = 100 i m = 80 obliczamy: m n ( 1 m n = = n 100 Ponieważ (patrz przykład u α = 1.96, to podstawiając otrzymane wartości do wzoru (3.2.15, otrzymujemy przedział ufności dla procentu (w zaokrągleniu do całych procentów elementów klasy I: (80% %, 80% % = (72%, 88%. Przedział ufności dla współczynnika korelacji Przedział ufności dla współczynnika korelacji podamy tylko przy szczególnych założeniach, a mianowicie, że rozkład łączny wektora X i Y jest normalny lub zbliżony do normalnego oraz próba jest duża (n kilkaset. Przedział ufności dany jest tu wzorem 1 R P (R 2 1 R 2 u α < ρ < R + u α = 1 α, ( n n gdzie P ( U < u α = 1 α dla U N (0, 1. Statystyka R wyraża się wzorem ( Wtedy przedział ufności dla współczynnika korelacji ρ jest postaci: ( ρ, ρ 1 r = (r 2 1 r 2 u α < ρ < +u α, ( n n gdzie (por. str. 43 n (x i x(y i y i=1 r =. ( n (x i x 2 n (y i y 2 i=1 Jeśli próba jest liczna i dane są podzielone na klasy w tablicę wielodzielczą, to wtedy k i=1 j=1 r = k n i ( x i x 2 i=1 i=1 l n ij ( x i x( y j y l j=1 n j ( y j y 2, ( gdzie x i, y j są środkami odpowiednich klas, n ij jest liczbą danych, które ze względu na cechę X są w klasie o numerze i, a ze względu na cechę Y, są w klasie o numerze j. n i jest liczbą wszystkich danych, które ze względu na cechę X są w klasie o numerze i, a n j jest liczbą wszystkich danych, które ze względu na cechę Y są w klasie o numerze j. Przykład Przypuśćmy, że empiryczny współczynnik korelacji między dwiema cechami, obliczony z próby 100 elementowej, wynosi r = 0.3. Interpretację, czy zależność między tymi cechami można uznać za dużą czy też małą przeprowadzimy korzystając z tabeli A.2 na str. 44. Wartość r = 0.3 według tej tabeli oznacza zależność niską. Przedział ufności dla współczynnika korelacji na poziomie ufności 1 α = 0.95 (jak poprzednio u α = 1.96 jest zgodnie ze wzorem ( postaci: ( , (0.12, 0.48.