Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 13 Teoria stereometria

Transkrypt

1 1 GRANIASTOSŁUPY i OSTROSŁUPY wiadomości ogólne Aby tworzyć wzory na OBJĘTOŚĆ i POLE CAŁKOWITE graniastosłupów musimy znać pola figur płaskich a następnie na ich bazie stosować się do zasady: Objętość = pole podstawy wysokość graniastosłupa Pole powierzchni całkowitej = 2 pole podstawy + pole powierzchni bocznej (lub inaczej suma pól wszystkich figur płaskich, z których składa się graniastosłup) Jeśli w podstawie graniastosłupa znajduje się figura o liczbie boków równej n, to liczba ścian = n+2 liczba wierzchołków = 2n liczba krawędzi = 3n liczba przekątnych = n (n 3) Przykład 1 W graniastosłupie k liczba krawędzi, w liczba wierzchołków, p liczba przekątnych, s liczba ścian a) oblicz k, w, p, jeśli s = 9 b) oblicz w, p, s, jeśli k = 15 a) skoro liczba ścian wynosi 9, to znaczy, że w podstawie znajduje się siedmiokąt (n+2 = 9 stąd n = 7) k = 3n = 3 7 = 21 w = 2n = 2 7 = 14 p = n (n 3) = 7 (7-3) = 7 4 = 28 b) skoro liczba krawędzi wynosi 15, to w podstawie jest pięciokąt (3n = 15, stąd n = 5) w = 2n = 2 5 = 10 p = n (n 3) = 5 (5-3) = 5 2 = 10 s = n+2 = 5+2 = 7

2 2 Aby tworzyć wzory na OBJĘTOŚĆ i POLE CAŁKOWITE ostrosłupów musimy znać pola figur płaskich a następnie na ich bazie stosować się do zasady: Objętość = pola podstawy wysokość ostrosłupa Pole powierzchni całkowitej = pole podstawy + pole powierzchni bocznej (lub inaczej suma pól wszystkich figur płaskich, z których składa się ostrosłup) Jeśli w podstawie graniastosłupa znajduje się figura o liczbie boków równej n, to liczba ścian = n+1 liczba wierzchołków = n+1 liczba krawędzi = 2n liczba przekątnych = 0 (ostrosłupy nie mają przekątnych) Przykład 2 W ostrosłupie k liczba krawędzi, w liczba wierzchołków, s liczba ścian a) oblicz k, w, jeśli s = 4 b) oblicz w, s, jeśli k = 12 a) skoro ostrosłup ma 4 ściany to w jego podstawie jest trójkąt (n+1 = 4, stąd n = 3) k = 2n = 2 3 = 6 w = n+1 = 3+1 = 4 b) skoro ostrosłup ma 12 krawędzi to w jego podstawie jest sześciokąt (2n = 12, stąd n = 6) w = n+1 = 6+1 = 7 s = n+1 = 6+1 = 7

3 3 WZORY na OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZCHNI CAŁKOWITEJ BRYŁ SZEŚCIAN PROSTOPADŁOŚCIAN V = a 3 Pc = 6a 2 d = a 2 D = a 3 a krawędź d przekątna podstawy D przekątna sześcianu V = abc Pc = 2ab + 2ac + 2bc D = a +b +c a, b, c krawędzie D przekątna prostopadłościanu TRÓJKĄTNY GRANIASTOSŁUP PRAWIDŁOWY CZWOROKĄTNY SZEŚCIOKĄTNY V = H Pc = 2 + 3aH V = a 2 H Pc = 2a 2 + 4aH a krawędź podstawy, H wysokość V =6 H Pc = aH

4 4 TRÓJKĄTNY OSTROSŁUP PRAWIDŁOWY CZWOROKĄTNY CZWOROŚCIAN FOREMNY V = Pc = H + 3 ah V = a2 H Pc = a ah a krawędź podstawy, H wysokość V = Pc = a 2 3 WALEC BRYŁY OBROTOWE STOŻEK KULA V = πr 2 H Pc = 2πr 2 +2πrH V = πr2 H Pc = πr 2 +πrl V = πr3 Pc = 4πR 2 r promień podstawy, H wysokość, l tworząca stożka, R promień kuli

5 5 Przykład 3 Dany jest sześcian o krawędzi długości a, przekątnej D, polu P i objętości V. Oblicz: a) a, D, V, jeśli P = 6 b) a, D, P, jeśli V = 27 a) P = 6a 2 6a 2 = 6 : 6 a 2 = 1 a = 1 D = a 3 = 1 3 = 3 V = a 3 = 1 3 = 1 b) V = a 3 a 3 = 27 a = 3 D = a 3 = 3 3 = 3 3 P = 6a 2 = = 6 9 = 54 Przykład 4 Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 252. Stosunek długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka wynosi 1:2:4. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu i jego objętość. a, b, c długości krawędzi P c = 2ab + 2ac + 2bc skoro a:b:c ma się tak jak 1:2:4, to znaczy, że: b = 2a oraz c = 4a po podstawieniu do wzoru na pole otrzymamy: P c = 2a 2a + 2a 4a + 2 2a 4a = 4a 2 +8a 2 +16a 2 = 28a 2 Pole wynosi 252, stąd możemy zapisać: 28a 2 = 252 :28 a 2 = 9 a = 3 a więc b = 6, c = 12 Obliczamy długość przekątnej prostopadłościanu ze wzoru D = a +b +c D = = = 189 Obliczamy objętość: V = abc = = 216

6 6 Przykład 5 Pole powierzchni całkowitej walca wynosi 20 a promień podstawy ma 2. Oblicz wysokość walca. Wzór na pole powierzchni całkowitej walca to: P c = 2πr 2 +2πrH po podstawieniu do powyższego wzoru danych z zadania otrzymamy: 20π = 2π π 2H czyli jest to równanie z jedną niewiadomą, którą jest właśnie szukane H 8π + 4πH = 20π : 4π 2 + H = 5 H = 5 2 H = 3 Przykład 6 Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej 6. Oblicz V i P c walca. V = πr 2 H P c = 2πr 2 +2πrH patrząc na powyższe wzory widzimy, że brakuje nam r oraz H Na powyższym rysunku widać, że bok kwadratu to wysokość walca (a = H) oraz bok kwadratu to dwa promienie podstawy (a = 2r), wystarczy więc znaleźć długość boku kwadratu. Pamiętamy wzór na przekątną kwadratu d = a 2 u nas będzie zatem: 6 2 = a 2 : 2 a = 6 zatem: H = 6 r = 3 Podstawiamy do wzorów na objętość i pole całkowite: V = πr 2 H = π3 2 6 = 9 π 6 = 54π P c = 2πr 2 +2πrH = 2π3 2 +2π 3 6 = 18π + 36π = 54π

7 7 Przykład 7 Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka. V = πr2 H P c = πr 2 +πrl patrząc na powyższe wzory widzimy, że brakuje nam r, l oraz H Na powyższym rysunku widać, że bok trójkąta to tworząca stożka (a = l) oraz połowa boku trójkąta to promień podstawy ( a = r), wiemy więc od razu, że l = 6 oraz r = 3 wystarczy więc znaleźć wysokość trójkąta, która jest jednocześnie wysokością stożka. Pamiętamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego h = a u nas będzie zatem: h = 6 = 3 3 zatem: H = 3 3 r = 3 l = 6 Podstawiamy do wzorów na objętość i pole całkowite: V = πr2 H = π = 9 3π P c = πr 2 +πrl = π 3 2 +π 3 6 = 9π + 18π = 27π

8 8 Przykład 8 Kwadrat o boku 6 obracamy wokół boku. Oblicz V i P c otrzymanej w ten sposób bryły? W wyniku obrotu otrzymamy walec taki jak na rysunku poniżej na rysunku widać, że H = 6 oraz r = 6 czyli mamy wszystko co potrzebne do policzenia objętości i pola powierzchni całkowitej tego walca V = πr 2 H = π6 2 6 = 36 π 6 = 216π P c = 2πr 2 +2πrH = 2π6 2 +2π 6 6 = 72π + 72π = 144π Przykład 9 Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość równą 6 i tworzy z krawędzią podstawy kąt 60 o. Oblicz V i P c tego graniastosłupa. V = a 2 H P c = 2a 2 + 4aH Na powyższym rysunku widać, że utworzył mi się trójkąt prostokątny specjalny, w którym boki (przypomnijmy) mają się do siebie tak jak to zostało oznaczone na rysunku a)

9 9 widzimy, że a to połowa przekątnej d, stąd a = 3 zaś wysokość to bok a pomnożony przez 3, stąd H = 3 3 Po podstawieniu do wzorów otrzymamy: V = a 2 H = = 27 3 P c = 2a 2 + 4aH = = Przykład 10 Kąt rozwarcia stożka ma miarę 60 o, a średnica podstawy jest równa 4. Oblicz V i Pc stożka. V = πr2 H P c = πr 2 +πrl Na rysunku widać, że znów mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym specjalnym (identycznym jak w przykładzie 9). Wynika z niego, że tworząca jest dwukrotnie większa od promienia podstawy (l = 2r), zaś wysokość jest 3 raza większa od promienia podstawy (H = r 3) stąd r = 3 l = 6 H = 3 3 Po podstawieniu do wzorów otrzymamy: V = πr2 H = π32 3 3= 9 3π P c = πr 2 +πrl = π 3 2 +π 3 6 = 27π

10 10 Przykład 11 Naczynie w kształcie walca o średnicy 20 cm i wysokości 12cm napełniono w trzech czwartych wodą. Następnie zanurzono w nim kostkę sześcienną o krawędzi 8cm. Czy woda wylała się z naczynia? Obliczamy objętość walca: V = πr 2 H = 3, = = 3768 Woda stanowi ¾ pojemności czyli: 0, = 2826 Obliczamy objętość kostki sześciennej: V = a 3 = 8 3 = 512 Sumujemy objętość wody oraz kostki sześciennej: = < 3768 (zatem woda w naczyniu nie wyleje się)