Poni»ej podane s przykªadowe pytania Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych Dowód niewymierno±ci liczby 2.

Transkrypt

1 Pytania na egzaminie magisterskim dotycz gªównie zagadnie«zwi zanych z tematem pracy magisterskiej. Nale»y by przygotowanym równie» na pytania sprawdzaj ce podstawow wiedz ze wszystkich zaliczonych wykªadów. Poni»ej podane s przykªadowe pytania. Liczby Rzeczywiste. Ci gi. Szeregi. Rachunek Ró»niczkowy i Caªkowy Funkcji Jednej Zmiennej Denicja liczby pierwszej. Dowód faktu,»e liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele Denicja liczby algebraicznej. Dowód istnienia liczb niealgebraicznych Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych Denicja zbioru przeliczalnego i nieprzeliczalnego. Przykªady takich zbiorów Dowód nieprzeliczalno±ci zbioru liczb rzeczywistych Dowód nieprzeliczalno±ci zbioru liczb niealgebraicznych Denicja liczby niewymiernej. Przykªady liczb niewymiernych Dowód niewymierno±ci liczby Zasada indukcji matematycznej. Przykªady dowodów wykorzystuj - cych zasad indukcji Rozwini cia dziesi tne liczb rzeczywistych Podstawowe twierdzenia o ci gach liczbowych (z dowodami) Denicja kresu górnego i dolnego. Udowodni,»e ka»dy ci g monotoniczny i ograniczony na prostej rzeczywistej jest zbie»ny Kryteria zbie»no±ci szeregów. Przykªady szeregów zbie»nych i rozbie»- nych Dowód rozbie»no±ci szeregu harmonicznego.

2 15. - Wykaza,»e funkcja ci gªa okre±lona na odcinku domkni tym jest ograniczona Wªasno±c Darboux funkcji okre±lonej na odcinku, denicja i zastosowania Przykªad funkcji nie maj cej wªasno±ci Darboux. Zwi zek mi dzy wªasno±ci Darboux i ci gªo±ci funkcji Funkcje jednostajnie ci gªe. Przykªady Denicja pochodnej w punkcie funkcji rzeczywistej. Interpretacja geometryczna i zyczna Wzór na pochodn funkcji zªo»onej Zwi zek mi dzy ci gªo±ci i ró»niczkowalno±ci funkcji Denicja n tej pochodnej. Przykªad funkcji maj cej pierwsz i drug pochodn i nie maj cej trzeciej pochodnej Twierdzenie Rolle'a Twierdzenie Lagrange'a o warto±ci ±redniej. Interpretacja geometryczna Twierdzenie Taylora i jego zastosowania Warunki konieczne i wystarczaj ce na istnienie ekstremum lokalnego funkcji rzeczywistej okre±lonej na prostej rzeczywistej Funkcja pierwotna, denicja, podstawowe wªasno±ci Caªka Riemanna. Denicja i podstawowe wªasno±ci Przykªad funkcji rzeczywistej okre±lonej na odcinku domkni tym niecaªkowalnej w sensie Riemanna Podstawowe twierdzenie rachunku caªkowego Caªkowanie przez cz ±ci. Przykªady zastosowa« Caªkowanie przez podstawienie. Przykªady zastosowa«.

3 33. - Zastosowania caªek oznaczonych do obliczania obj to±ci bryª, pól powierzchni i dªugo±ci krzywych. Topologia Przestrzenie metryczne i ich przykªady. Kula, wn trze zbioru i zbiór otwarty. Domkni cie i zbiór domkni ty Denicja ci gu zbie»nego w przestrzeni metrycznej. Przykªady ci gów zbie»nych i rozbie»nych Denicja ci gªo±ci funkcji w sensie Cauchy'ego oraz sformuªowania równowa»ne: w j zyku ci gów (warunek Heinego) i w j zyku przeciwobrazów Spójne przestrzenie metryczne. Opis wszystkich spójnych podzbiorów prostej Zwarte przestrzenie metryczne. Twierdzenie Cantora i Twierdzenie Borela-Lebesgue'a Wªasno±ci funkcji ci gªych na przestrzeniach zwartych Charakteryzacja podzbiorów zwartych w R n Charakteryzacja podzbiorów zwartych przestrzeni funkcji ci gªych okre±lonych na odcinku domkni tym. Twierdzenie Arzéli-Ascoliego Przestrzenie zupeªne, przykªady. Zwi zek mi dzy zwarto±ci i zupeªno±ci Poj cie przestrzeni topologicznej. Baza topologii. Przykªady przestrzeni topologicznych i niemetrycznych Ci gªe odwzorowania przestrzeni topologicznych. Homeomorzmy. Funkcje Wielu Zmiennych Denicja pochodnych cz stkowych. Zwi zek mi dzy istnieniem pochodnych cz stkowych i ci gªo±ci funkcji.

4 46. - Denicja pochodnej funkcji rzeczywistej wielu zmiennych. Zwi zek miedzy istnieniem pochodnej i ci gªo±ci funkcji Twierdzenie o funkcji odwrotnej Gradient funkcji i pochodna kierunkowa. Denicja i interpretacja geometryczna Twierdzenie o funkcji uwikªanej. Wzór na pochodn funkcji uwikªanej Warunki konieczne i wystarczaj ce istnienia ekstremum funkcji rzeczywistej dwóch zmiennych Szukanie warto±ci minimalnej i maksymalnej funkcji rzeczywistej dwóch zmiennych okre±lonej na zbiorze zwartym Ekstrema warunkowe. Mno»niki Lagrange'a Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych Caªka Riemanna z funkcji ci gªej wielu zmiennych. Denicja i podstawowe wªasno±ci Miara Jordana zbioru, podstawowe jej wªasno±ci Miara Jordana i Lebesgue'a zbioru liczb wymiernych na odcinku Obliczanie caªek n-krotnych. Twierdzenie Fubiniego Jakobian funkcji. Denicja i interpretacja geometryczna Wzór na zamian zmiennych w caªce n-krotnej i jego zastosowania Caªka krzywoliniowa zorientowana i niezorientowana. Denicja i interpretacja zyczna Pole potencjalne. Kryteria potencjalno±ci pola. Caªka krzywoliniowa z pola potencjalnego Wzór Greena i jego zastosowania Caªki powierzchniowe zorientowane i niezorientowane. Denicje, podstawowe wªasno±ci, interpretacja zyczna.

5 64. - Dywergencja pola wektorowego. Denicja i interpretacja zyczna Caªka z dywergencji pola wektorowego. Twierdzenie Gaussa Rotacja pola wektorowego. Wzór Stokesa. Funkcje Zespolone Pochodna funkcji zespolonej. Denicja, interpretacja moduªu i argumentu pochodnej Wzory Cauchy'ego - Riemanna Zwi zek mi dzy istnieniem pochodnej a rozwijalno±cia funkcji w szereg pot gowy Caªka krzywoliniowa z funkcji zespolonej. Wzór caªkowy Cauchy'ego Szereg Laurenta. Wzór na wspóªczynniki tego szeregu Residua funkcji zespolonej. Zastosowanie do obliczania caªek z funkcji rzeczywistej. Równania Ró»niczkowe Caªkowanie równa«ró»niczkowych o zmiennych rozdzielonych, w ró»- niczce zupeªnej, liniowych Twierdzenie Peano o istnieniu rozwi za«zagadnienia Cauchy'ego Twierdzenie Picarda- Lindelofa Równania ró»niczkowe liniowe drugiego rz du Ukªady równa«liniowych. Portrety fazowe ukªadów równa«liniowych na pªaszczy¹nie. Rachunek Prawdopodobie«stwa

6 78. - Klasyczna i aksjomatyczna denicja prawdopodobie«stwa. Podstawowe wªasno±ci prawdopodobie«stwa Dowód ci gªo±ci prawdopodobie«stwa na ci gach zdarze«wst puj - cych i zst puj cych Poj cie zm. losowej, wektora losowego, rozkªadu, rozkªadów brzegowych, parametrów rozkªadu- warto± oczekiwana i wariancja, podstawowe wªasno±ci Podstawowe rozkªady dyskretne i absolutnie ci gªe Nierówno± Czebyszewa i jej dowód- przykªady zastosowa« Niezale»no± zmiennych losowych, splot rozkªadów. Dowód wªasno±ci: E(XY ) = EXEY, dla niezale»nych zm. losowych X, Y Rozkªady warunkowe, warunkowa warto± oczekiwana - podstawowe w wªasno±ci Rodzaje zbie»no±ci ci gów zmiennych losowych: zbie»no± z prawdopodobie«stwem jeden, wg prawdopodobie«stwa, zb. w L 2, zb.wg rozkªaduzwi zki miedzy nimi Mocne i Sªabe Prawo Wielkich Liczb ( Chinczyna, Koªmogorowa) Funkcja charakterystyczna rozkªadu i jej wªasno±ci-zwiazek z rozkªadem ( tw. Bochnera) Centralne Tw. Graniczne Lindenberga -Levy`ego. Przykªady zastosowa«- aproksymacja rozkª dem normalnym. Analiza Funkcjonalna Przestrzenie Banacha i ich przykªady Przykªady przestrzeni Hilberta i ich przykªady Przykªad przestrzeni Banacha, która nie jest przestrzeni Hilberta Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha

7 93. - Posta funkcjonaªu liniowego na przestrzeni Hilberta Charakteryzacja przestrzeni Banacha niesko«czonego wymiaru. Algebra Liniowa Ukªady równa«liniowych, posta kanoniczna Gaussa-Jordana, Twierdzenie Kroneckera-Capelliego Przestrzenie wektorowe (przykªady). Liniowa niezale»no± wektorów. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej Przeksztaªcenia liniowe i ich macierzowe reprezentacje. Twierdzenie o wymiarze obrazu i j dra przeksztaªcenia liniowego Wielomian charakterystyczny i warto±ci wªasne macierzy. Diagonalizacja macierzy Iloczyn skalarny wektorów, suma prosta podprzestrzeni, dopeªnienie ortogonalne podprzestrzeni. Algebra Abstrakcyjna Denicja i przykªady grup. Podgrupy, warstwy i Twierdzenie Lagrange'a Homomorzm grup, grupy ilorazowe i Twierdzenie o homomorzmie Pier±cienie i ciaªa (denicje i przykªady). Twierdzenie o klasykacji ciaª sko«czonych Ideaªy w pier±cieniach, homomorzm pier±cieni i pier±cienie ilorazowe Ciaªo liczb zespolonych, grupa pierwiastków z jedynki stopnia n i Zasadnicze Twierdzenie Algebry. Geometria Denicja krzywej i jej dªugo±ci Wektor styczny do krzywej.

8 Krzywizna i skr cenie krzywej Trój±cian Freneta i wzory Freneta Pªaszczyzna styczna i wektor styczny do powierzchni Pole powierzchni.