Analiza Matematyczna 3 Całki wielowymiarowe

Transkrypt

1 [wersja z 6 X 9] Analiza Matematczna 3 Całki wielowmiarowe Konspekt wkładu dla studentów II r. fizki Uniwerstet Jana Kochanowskiego 9/ Wojciech Broniowski

2 Powierzchnie kawałkami gładkie RYS Sfera Aleandra Butelka Kleina

3 3

4 Całki wielowmiarowe Uogólnienie calki Riemanna: P= [ a, b] [ a, b ]... [ a, b ] P = ( b a )... ( b a ) δ = ( b a ) ( b a ) n n Dokonujem podzialu prostokąta n m = inf{ f( ): P}, M = sup{ f( ): P} i i i i s = m P m P, S = M P M P k k * * n n n Rozważam normaln ( δ ) ciąg podzialów n n n s = lim s calka dolna, S = lim S calka górna funkcji f na prostokącie P S n * * Jeżeli s = to wielkosć tę nazwam wielokrotną calka Riemanna n k k Notacja: P dd f (, ), dddz g(,, z) P 4

5 Całka iterowana P= [ a, b] [ a, b ] b b b b d d f (, ), d d f (, ) calki iterowane a a a a Tw. Fubiniego: Jeżeli f : P R jest ciągla, to obie calki iterowane są równe calce Riemanna dd f (, ). P (analogicznie dla większej liczb wmiarów) Przklad: P = [,] [, ] P dd ( + ) = d d ( + ) = d ( + ) = d( + 4) = = 3 d d + = d ( + ) = ( ) 4 3 d + = = = ( ) 5

6 Całki po dowolnm obszarze A R n f( ) dla A F( ) = dla P\ A ϕψ, :[ ab, ] R A= {(, ) : a b, ϕ( ) ψ( )} zbiór normaln względem O Tw. Jeżeli f : A R jest ciągla, to jest calkowalna, oraz ψ ( ) dd f (, ) = d d f (, ) A a ϕ ( ) b Przklad: A={(, ) :, } trójkąt dd d d d = = ( ) = 4 A 6

7 Zastosowania całek wielokrotnch V = A dddz A= {(,, z):,,, + + z }, ustalone z ustalone, szukam największego możliwego : z, ponieważ najmniejsze z = ( ) V = d d dz = d d( ) = d ( ) = 6 Jest to tzw. objetosć smpleksu. W n wmiarach V = n! 7

8 Środek ciężkości = dd dd A = A A figura -wm. = dddz, z z dddz brla V = V V A V Objętosć brl obrotowej powstalej w wniku obrotu regularnego zbioru A wokól O: V = π dd Regul Guldina: V = πη A, η = dd, A Dla torusa V = πa πr Podobnie dla powierzchni powstalej w wniku obrotu luku mam S = πξ L, ξ = dt - odleglosc srodka ciężkosci luku od osi obrotu L Dla torusa S = πa πr β α A A 8

9 Pole powierzchni Pole powierzchni równolegloboku rozpiętego na wektorach a i b wnosi S= a b. Z rsunku wnika, że a = ( d,, f d), b = (, d, f d), zatem iˆ ˆj kˆ S = d f d d = if ˆ dd ˆjf dd + kdd ˆ = + f + f dd f d 9

10 z = f(, ), (, ) A f f S = dd + + A Wzór wnika z konstrukcji przbliżającej powierzchnię równoleglobokami Przklad: f(, ) = A= {(, ) :,, + } S = dd 3 = A 3

11 Zamiana zmiennch - dfeomorfizm n ϕ ( b) Pamiętam, że dla jednej zmiennej d f( ) = d f ( ϕ( )) ϕ'( ), = ϕ( ) n n Tw. ϕ : X R Y R klas C ϕ ( a) J( ) = jakobian przeksztalcenia ϕ Wted Y ϕ ϕn ϕ... f(,.., ) d.. d n ϕn n n =... f ( ϕ (,.., )) J (,.., ) d.. d, = ϕ (,..., ) X n n f C R U V R :, homeomorfizm rzędu n (bijekcja, pochodna Frecheta odwracalna, f i f ciągle) n n n i i n - b a

12 Podstawowe układ współrzędnch Współrzędne biegunowe (osiowe) Φ: R R Φ r (, φ) Φ (, r φ) = =, = rcos φ, = rsinφ Φ r (, φ) r (, ) Φ (, ) =, r= +, φ=arctg φ(, ) r φ cosφ r sinφ Φ '( r, φ) = = sinφ rcosφ r φ cosφ r sinφ J = = r (, ) ( (, ), (, )) sinφ r cosφ dd f = rdrdφ f φ r φ Homeomorfizm regularn dla r, rząd Φ ' =. Dla r = jest osobliwosć, bo w tm punkcie nie można okreslić kąta

13 Przklad: dd rdrdφ r π = = dr dφ = Rπ r + + R r R I = e dd = e rdrdφ = π rdre = π e = π πe I R = lim I = π R R r r r R + R r R R R I = de de = de de = π Całka Gaussa r= 3

14 Współrzędne eliptczne = arcosφ = brsinφ a + = = b r, J abr Współrzędne walcowe (clindrczne) = rcosφ = rsinφ z = z J = r Liniowa zmiana skali = a' = b' z = cz' J = abc 4

15 Współrzędna sferczne (kuliste) Φ: R R 3 3 = rsinθcosφ = rsinθsinφ z = rcosθ θ [, π] - kąt osiow(szerokosć geogr.), φ [, π) - kąt biegunow (azmutaln, dlugosć geogr.) sinθcosφ rcosθcosφ rsinθsinφ Φ ' = sinθsinφ rcosθsinφ rsinθ cosφ cosθ r sinθ J = r sinθ r = rz Φ ' = w srodku kuli nie można okreslić kątów θ = θ = π rz Φ ' = na biegunach nie można okrelić kąta φ 5

16 Przklad: Objętosć kuli π π R π 3 R 4 3 V = dddz = dr dθ dφr sinθ = dr d cosθ dφr = π = πr z < R ( dcosθ = sin θdθ) R Srodek ciężkosci pólkuli: η = + + z < R z> + + z < R z> zdddz dddz R π / π dr d d r r 3 = θ φ sin θ cosθ = π R 3 R π 4 3 R 3 3 πr = dr d cos θ dφ r cosθ = π = R πr 4 8 6

17 Równanie prostej i płaszczzn 7

18 Płaszczzna stczna Rozważm powierzchnię gładką o równaniu f(,,z)= w okolic (,, z ). f f f f ( + d, + d, z + dz) = = = d + = d + = dz z = = = = = = Dla punktów na plaszczźnie ( d, d, dz) = k( -,, z z ), więc f f f ( ) + ( ) + z= z z= z z= z = = = z= z z= z z= z ( z z ) = f f f Wektor =,, jest prostopadl (normaln) do = = = z = = z= z z= z z= z powierzchni w punkcie (,, z ). 8

19 Prosta prostopadla do powierzchni w tm punkcie ma więc równanie parametrczne f f f t+, t+, t+ z z = = = = = = z= z z= z z= z Dla sfer f = + + z R ( t+, t+, z t+ z ), więc prosta prostopadla ma równanie 9

20 Plaszczzna stczna do powierzchni w punkcie jest przestrzenią liniową. Niech Φ: V R R, e, e,..., e tworzą bazę w R, oraz =Φ( ). Wted u i k n k k =Φ'( ) e tworzą bazę w przestrzeni stcznej. i Przklad: Dla powierzchni danej jako Φ (, ) = ( f,, (, )) mam Φ'=, f f u =Φ ' e = =, v 'e =Φ = = f f f f f f

21 Orientacja k Rozważm baz w przestrzeni R : ( v,..., v ) oraz ( w,..., w ). Baz te powiazane są n i ij j j= k przeksztalceniem liniowm w = a v, prz czm musi zachodzić warunek a ab zachować liniową niezależnosć. Jeżeli a >, to mówim, że baz są zgodnie zorintowane, a gd a <, to mówim, że są zorientowane przeciwnie. k Dla k = mam jedną bazę jednoelementową v = i drugą w =. Dla k = przkladowe baz v =, v = i baza w =, w = są powiązane przeksztaceniem o macierz a =, zatem a = > i baz są zorientowane zgodnie, natomiast dla baz u =, u =, a=, a = <, więc ta baza jest zorientowana przeciwnie do poprzednich. Orientację baz kanonicznej nazwam prawoskretną (zorientowaną dodatnio).

22 Wektor normaln 3 Niech M będzie powierzchnią dwuwmiarową w R, T plaszczzną stczną do M w punkcie, a wektor ( u, v) bazą na plaszczźnie stcznej. Wektor normaln definiujem u v jako n =. Wektor ten wskazuje zewnętrzną (wewnętrzna) stronę powierzchni u v orientowalnej jesli baza jest prawoskrętna (lewoskrętna). c. d. przkladu: uv uv u =, v =, u v = u v uv f f uv u v f f = f, n = f f + f + f = R = z f = f = n = z z + + z z Dla górnej pólsfer,,, f = R = z Dla dolnej pólsfer wnik taki sam (jeż!)

23 Nieco inne wprowadzenie: a b= if ˆ dd ˆjf dd + kdd ˆ = ( f, f,) dd Po znormalizowaniu a b n = = ( f, f,) a b + f + f 3

24 Powierzchnie orientowalne (mają stronę wewnętrzną i zewnętrzną) i nieorientowalne (nie można wznaczć stron) Wstęga Möbiusa Butelka Kleina 4

25 t t t = ( R+ scos )cos t, = ( R+ scos )sin t, z = ssin t [, π ), s [ w, w] (M.C Escher) 5

26 Całka krzwoliniowa zorientowana F = ( F, F,..., Fk ), C - krzwa gladka I = F d + F d F d = F d C k k C I = I + I, I = I C + C C C C C Tw. Calka IC nie zależ od parametrzacji krzwej b d D: ( t) = ( ϕ( t)) F( ) d = F( ( t)) dt = dt C a b β d( ϕ) dϕ d( ϕ) = F( ( ϕ( t))) dt = F( ( ϕ)) dϕ = F( ) d dϕ dt dϕ a α C (w konkretnej parametrzacji staje się zwklą calką Riemanna) Przklad: C: ( φ) = cos φ, ( φ) = sin φ, φ [, π] (pólokrąg o promieniu jednostkowm) C π d d d d d + ( ) = [cos φ (cos φ) + cos φ φ sin φ (sin φ)] = φ = 3 π π cos sin φ π φ π = + = C 6

27 Całka krzwoliniowa niezorientowana b d dk JC = f ds = f( ( t)) dt dt dt C a J C C Tw. Związek z calką zorientowaną: Fd = Fds, F= F F cos α, α kąt miedz di F C = J C s s k Zastosowanie (fizka): praca W = Fds = F d+ F d + F dz π C: = acos φ, = bsin φ, φ [, ] ćwiartka elips k F = sprężna zamocowana w srodku k C d = a φdφ d = b φdφ F d + F d = k a b φ φdφ sin, cos, ( )sin cos π / k W = k( a b ) cos φd(cos φ) = ( a b ) s C z 7

28 Tw. Greena Krzwą zamkniętą nazwam konturem. Nich kontur C będzie brzegiem zbioru D. Kontur jest zorientowan dodatnio jeśli okala zbiór D w taki sposób, że D znajduje się po lewej stronie. Zbiór normaln D względem osi O to zbiór dając się zapisać jako D= {(, ): f ( ) f ( ), [ a, b]}, f, f :[ a, b] R Zbiór normaln D względem osi O to zbiór dając się zapisać jako D= {(, ) : g ( ) g Tw. Greena ( ), [ cd, ]}, g, g :[ cd, ] R D- zbiór normaln ze względu na O i O, C = D jego brzeg zorientowan dodatnio Q P Wted Pd + Qd = dd. D D b f ( ) P P D: dd = d d = d[ P(, f ( )) (, ( ))] D a f ( ) a C C = Pd Pd = Pd C C D d g ( ) d b P f = Pd Pd= Q Q dd = d d = dt[ Q( g ( ), ) Q( g ( ), )] = Qd Qd = Qd D c g ( ) c K K D 8

29 9

30 Pole potencjalne (fiz.) V(, ) potencjal F V V V V F F =, F =, = = F F Fd + Fd = dd = Fd + Fd = Fd + Fd (rs.) C D K K (Praca w polu potencjalnm nie zależ od drogi - można wprowadzić energię potencjalną. W poprzednim przkladzie z pracą na ćwiartce elips wnik jest wted natchmiastow: W = V - V ) ( V ) (w powższm wzorze zauważam rot grad = ) z 3

31 Całka powierzchniowa niezorientowana (wspólrzędne kartezjańskie) Plat regularn S= {( z,, ) : z= f(, ),(, ) D} Element powierzchni : ds = + f + f dd Pole powierzchni plata regularnego: S = + f + f dd Calka powierzchniowa niezorientowana: S S g(,, z) ds = g(,, f (, ) + f + f dd D D (wspólrzędne krzwoliniowe) = uv (, ), = uv (, ), z= zuv (, ), ( uv, ) D g(,, zds ) = g( uv (, ), ( u, v), z( u, v)) J + J + J dudv D ( z, ) ( z, ) (, ) J =, J =, J3 = ( uv, ) ( uv, ) ( uv, ) 3 3

32 Przklad (wspólrzędne kuliste) = rsinθcos φ, = rsinθsin φ, z = rcosθ J J J 3 rcosθsinφ rsinθcosφ = = r r sinθ sin rcosθcosφ rsinθsinφ = = r r sinθ rcosθcosφ rsinθsinφ = = r rcosθsinφ rsinθcosφ J + J + J3 = r sinθ θ cosφ sin θ sinφ sinθ cosθ 3

33 Całka powierzchniowa zorientowana 3 : - pole wektorowe F S S plat regularn n zewnętrzn wektor normaln Calka powierzchniowa zorientowana pola F lub strumień pola F: I= Fz (,, ) nzds (,, ) strumień S R Niech F = ( F, F, F ). Wted oznaczam I = S 3 D 3 Jeżeli S dana jest równaniem z = f(, ), to n= ( f, f,) + f + f Ff Ff + F3 I = ds = ( Ff Ff + F3) dd + f + f S F ddz + F ddz + F dd 33

34 V Tw. Gaussa (Ostrogradskiego-Gaussa) div Fdddz = F nds S Slownie: calka po objętosci V z dwergencji z pola F równa się strumieniowi wplwającemu przez powierzchnie S ograniczającą V F F F3 + + dddz = Fddz + Fdd d d dz z + F3 dd V S D: Niech V będzie obszarem normalnm względem plaszczzn O, ograniczonm funkcjami g (, ) i d (, ). Wted g(, ) F 3 F 3 I3 = dddz = dz dd F3(,, g(, )) F3(,, d( dz = dz (, )) ) dd V D d(, ) D Oznaczm S = S + S, gdzie S dana jest przez z = g(, ) a S przez z = d(, ). I ' = F dd = F dd ( ) F dd = F (,, g(, )) dd F (,, d(, )) dd S S S D D Znak (-) wnika z przeciwnej orientacji S. Zatem I = I '. Podobnie pokazujem, że I = I ' oraz I = I 3 3 '. Jeżeli V nie jest normaln, to dzielim go na podzbior normalne. 34

35 Tw. Stokesa Tw. Niech K będzie regularnm konturem bedącm brzegiem plata regularnego S. Orientacje K i S są zgodne. Niech Fi mają ciągle pochodne. Wted F dl = rot F n ds K S Crkulacja pola F po krzwej zamkniętej K jest równa calce zorientowanej z rotacji pola F po placie S. Inna notacja: F F F F F F 3 3 Fd + Fd + Fdz 3 = ddz + dzd + dd z z K S 35

36 Form różniczkowe (*) Różniczka zewnętrzna stopnia p : a (,..., ) d d... d, p n, wszstkie i różne i... i n i i i k d d = d d d d = i j j i i i Suma różniczek tego samego stopnia: forma różniczkowa zewnętrzna α = i... i p a p (,..., ) d d... d n i i i i... ip j... j p Przklad: Pd + Qd, Pd dz + Qdz d + Rd d, A d d dz Dodawanie analogiczne do dodawania wielomianów. p+ q Mnożenie: α β= a b d... d d... d = ( ) β α q i... i j... j i i j p q p p p Różniczkowanie: α P Q Q P d( Pd+ Qd) = d d+ d d = d d d( Pd dz + Qdz d + Rd d) = ( P + Q + R ) d d dz p ai... i ai... i d = d + + d d d i... i p n z j q n i i p 36

37 ai... i a p i... ip = dda ( ) = k l l k α jest formą zupelną, jeżeli γ : α = dγ, α jest formą zamknietą, jeżeli dα = Zamiana zmiennch t: ( i,..., i ) a= a dt dt V p (,..., )... p i... i n p i... i ( t,..., tp ) p Calkowanie po hiperpowierzchni V: a= Atdt ( )... dt = Atdt ( )... dt (zwkla calka Riemanna) D p D Ogólne Tw. Stokesa: V hiperpowierzchnia zorientowana, V jej brzeg Jeżeli wspólcznniki form a= to V a = V da i... i p a p i... i ( ) di... di są klas C na V + V, p p Przklad: Tw. Greena, Gaussa, Stokesa, także f( ) d= F( b) - F( a), bo df( ) df( ) = d = f ( ) d, V = { a, b} d [ ab, ] 37