Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2"

Transkrypt

1 Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2 Karol Kołodziej (przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/25

2 Współrzędne uogólnione Wszystkie wielkości, które mogą opisywać pewien układ mechaniczny nazywamy współrzędnymi uogólnionymi. Mogą to być np. współrzędne kartezjańskie, cylindryczne, sferyczne, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/25

3 Współrzędne uogólnione Wszystkie wielkości, które mogą opisywać pewien układ mechaniczny nazywamy współrzędnymi uogólnionymi. Mogą to być np. współrzędne kartezjańskie, cylindryczne, sferyczne, albo ich kombinacja. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/25

4 Współrzędne uogólnione Wszystkie wielkości, które mogą opisywać pewien układ mechaniczny nazywamy współrzędnymi uogólnionymi. Mogą to być np. współrzędne kartezjańskie, cylindryczne, sferyczne, albo ich kombinacja. Minimalną liczbę niezależnych współrzędnych uogólnionych niezbędnych do pełnego opisu danego układu fizycznego będziemy nazywali liczbą stopni swobody układu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/25

5 Współrzędne uogólnione Wszystkie wielkości, które mogą opisywać pewien układ mechaniczny nazywamy współrzędnymi uogólnionymi. Mogą to być np. współrzędne kartezjańskie, cylindryczne, sferyczne, albo ich kombinacja. Minimalną liczbę niezależnych współrzędnych uogólnionych niezbędnych do pełnego opisu danego układu fizycznego będziemy nazywali liczbą stopni swobody układu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/25

6 Współrzędne uogólnione Przykładowo, punkt materialny mogący poruszać się swobodnie, tzn. bez żadnych ograniczeń geometrycznych, w trójwymiarowej przestrzeni ma 3 stopnie swobody, a jeśli może się poruszać na płaszczyźnie, to ma 2 stopnie swobody. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/25

7 Współrzędne uogólnione Przykładowo, punkt materialny mogący poruszać się swobodnie, tzn. bez żadnych ograniczeń geometrycznych, w trójwymiarowej przestrzeni ma 3 stopnie swobody, a jeśli może się poruszać na płaszczyźnie, to ma 2 stopnie swobody. Układ N punktów materialnych nie podlegający ograniczeniom geometrycznym ma w trójwymiarowej przestrzeni 3N stopni swobody, a na płaszczyźnie 2N stopni swobody. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/25

8 Współrzędne uogólnione Przykładowo, punkt materialny mogący poruszać się swobodnie, tzn. bez żadnych ograniczeń geometrycznych, w trójwymiarowej przestrzeni ma 3 stopnie swobody, a jeśli może się poruszać na płaszczyźnie, to ma 2 stopnie swobody. Układ N punktów materialnych nie podlegający ograniczeniom geometrycznym ma w trójwymiarowej przestrzeni 3N stopni swobody, a na płaszczyźnie 2N stopni swobody. Swobodna bryła sztywna ma w trójwymiarowej przestrzeni 6 stopni swobody, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/25

9 Współrzędne uogólnione Przykładowo, punkt materialny mogący poruszać się swobodnie, tzn. bez żadnych ograniczeń geometrycznych, w trójwymiarowej przestrzeni ma 3 stopnie swobody, a jeśli może się poruszać na płaszczyźnie, to ma 2 stopnie swobody. Układ N punktów materialnych nie podlegający ograniczeniom geometrycznym ma w trójwymiarowej przestrzeni 3N stopni swobody, a na płaszczyźnie 2N stopni swobody. Swobodna bryła sztywna ma w trójwymiarowej przestrzeni 6 stopni swobody, gdyż dodatkowo do swobody ruchu postępowego w 3 kierunkach, możemy ją obrócić na 3 różne sposoby. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/25

10 Współrzędne uogólnione Przykładowo, punkt materialny mogący poruszać się swobodnie, tzn. bez żadnych ograniczeń geometrycznych, w trójwymiarowej przestrzeni ma 3 stopnie swobody, a jeśli może się poruszać na płaszczyźnie, to ma 2 stopnie swobody. Układ N punktów materialnych nie podlegający ograniczeniom geometrycznym ma w trójwymiarowej przestrzeni 3N stopni swobody, a na płaszczyźnie 2N stopni swobody. Swobodna bryła sztywna ma w trójwymiarowej przestrzeni 6 stopni swobody, gdyż dodatkowo do swobody ruchu postępowego w 3 kierunkach, możemy ją obrócić na 3 różne sposoby. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/25

11 Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/25

12 Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Wygodnie jest określić związki pomiędzy współrzędnymi uogólnionymiawspółrzędnymikartezjańskimix 1,x 2,...,x n. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/25

13 Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Wygodnie jest określić związki pomiędzy współrzędnymi uogólnionymiawspółrzędnymikartezjańskimix 1,x 2,...,x n. Dla N swobodych punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni (n = 3N) związki te mają postać x i =x i (q 1,q 2,...,q 3N,t), i =1,2,...,3N, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/25

14 Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Wygodnie jest określić związki pomiędzy współrzędnymi uogólnionymiawspółrzędnymikartezjańskimix 1,x 2,...,x n. Dla N swobodych punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni (n = 3N) związki te mają postać x i =x i (q 1,q 2,...,q 3N,t), i =1,2,...,3N, gdziewspółrzędnekartezjańskie (x 1,y 1,z 1 )pierwszegopunktu ponumerowaliśmy (x 1,x 2,x 3 ), Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/25

15 Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Wygodnie jest określić związki pomiędzy współrzędnymi uogólnionymiawspółrzędnymikartezjańskimix 1,x 2,...,x n. Dla N swobodych punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni (n = 3N) związki te mają postać x i =x i (q 1,q 2,...,q 3N,t), i =1,2,...,3N, gdziewspółrzędnekartezjańskie (x 1,y 1,z 1 )pierwszegopunktu ponumerowaliśmy (x 1,x 2,x 3 ),współrzędnekartezjańskie (x 2,y 2,z 2 ) drugiegopunktuponumerowaliśmy (x 4,x 5,x 6 ), Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/25

16 Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Wygodnie jest określić związki pomiędzy współrzędnymi uogólnionymiawspółrzędnymikartezjańskimix 1,x 2,...,x n. Dla N swobodych punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni (n = 3N) związki te mają postać x i =x i (q 1,q 2,...,q 3N,t), i =1,2,...,3N, gdziewspółrzędnekartezjańskie (x 1,y 1,z 1 )pierwszegopunktu ponumerowaliśmy (x 1,x 2,x 3 ),współrzędnekartezjańskie (x 2,y 2,z 2 ) drugiegopunktuponumerowaliśmy (x 4,x 5,x 6 ),itd. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/25

17 Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Wygodnie jest określić związki pomiędzy współrzędnymi uogólnionymiawspółrzędnymikartezjańskimix 1,x 2,...,x n. Dla N swobodych punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni (n = 3N) związki te mają postać x i =x i (q 1,q 2,...,q 3N,t), i =1,2,...,3N, gdziewspółrzędnekartezjańskie (x 1,y 1,z 1 )pierwszegopunktu ponumerowaliśmy (x 1,x 2,x 3 ),współrzędnekartezjańskie (x 2,y 2,z 2 ) drugiegopunktuponumerowaliśmy (x 4,x 5,x 6 ),itd. Związki te możemy zapisać wektorowo r i = r i (q 1,q 2,...,q 3N,t), i =1,2,...,N. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/25

18 Współrzędne uogólnione Liczbę stopni swobody układu będziemy oznaczać literą n, a odpowiedniewspółrzędneuogólnionesymbolamiq 1,q 2,...,q n. Wygodnie jest określić związki pomiędzy współrzędnymi uogólnionymiawspółrzędnymikartezjańskimix 1,x 2,...,x n. Dla N swobodych punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni (n = 3N) związki te mają postać x i =x i (q 1,q 2,...,q 3N,t), i =1,2,...,3N, gdziewspółrzędnekartezjańskie (x 1,y 1,z 1 )pierwszegopunktu ponumerowaliśmy (x 1,x 2,x 3 ),współrzędnekartezjańskie (x 2,y 2,z 2 ) drugiegopunktuponumerowaliśmy (x 4,x 5,x 6 ),itd. Związki te możemy zapisać wektorowo r i = r i (q 1,q 2,...,q 3N,t), i =1,2,...,N. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/25

19 Współrzędne uogólnione Ograniczmy się do jednego punktu materialnego (N = 1) i napiszmy związki w przypadku układu sferycznego: x i =x i (q 1,q 2,q 3,t), i =1,2,3, x 1 = rsinθcosϕ, x 2 = rsinθsinϕ, x 3 = rcosθ, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/25

20 Współrzędne uogólnione Ograniczmy się do jednego punktu materialnego (N = 1) i napiszmy związki w przypadku układu x i =x i (q 1,q 2,q 3,t), i =1,2,3, sferycznego: cylindrycznego: x 1 = rsinθcosϕ, x 2 = rsinθsinϕ, x 1 = rcosϕ, x 2 = rsinϕ, x 3 = rcosθ, x 3 = z, gdziezmienner =r(t),θ=θ(t),ϕ =ϕ(t)iz=z(t)są funkcjami czasu, a jawna zależność od czasu nie występuje. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/25

21 Współrzędne uogólnione Ograniczmy się do jednego punktu materialnego (N = 1) i napiszmy związki w przypadku układu x i =x i (q 1,q 2,q 3,t), i =1,2,3, sferycznego: cylindrycznego: x 1 = rsinθcosϕ, x 2 = rsinθsinϕ, x 1 = rcosϕ, x 2 = rsinϕ, x 3 = rcosθ, x 3 = z, gdziezmienner =r(t),θ=θ(t),ϕ =ϕ(t)iz=z(t)są funkcjami czasu, a jawna zależność od czasu nie występuje. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/25

22 Więzy i ich klasyfikacja W wielu zagadnieniach występują geometryczne ograniczenia ruchu, które nazywamy więzami. Więzy, mimo że ograniczają liczbę stopni swobody układu, to na ogół utrudniają rozwiązanie zagadnienia ruchu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/25

23 Więzy i ich klasyfikacja W wielu zagadnieniach występują geometryczne ograniczenia ruchu, które nazywamy więzami. Więzy, mimo że ograniczają liczbę stopni swobody układu, to na ogół utrudniają rozwiązanie zagadnienia ruchu. Wynika to z konieczności uwzględnienia dodatkowych sił. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/25

24 Więzy i ich klasyfikacja W wielu zagadnieniach występują geometryczne ograniczenia ruchu, które nazywamy więzami. Więzy, mimo że ograniczają liczbę stopni swobody układu, to na ogół utrudniają rozwiązanie zagadnienia ruchu. Wynika to z konieczności uwzględnienia dodatkowych sił. Więzy holonomiczne to więzy opisane równaniami f i (q 1,q 2,...,q 3N,t) =0, i =1,2,...,k. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/25

25 Więzy i ich klasyfikacja W wielu zagadnieniach występują geometryczne ograniczenia ruchu, które nazywamy więzami. Więzy, mimo że ograniczają liczbę stopni swobody układu, to na ogół utrudniają rozwiązanie zagadnienia ruchu. Wynika to z konieczności uwzględnienia dodatkowych sił. Więzy holonomiczne to więzy opisane równaniami f i (q 1,q 2,...,q 3N,t) =0, i =1,2,...,k. k niezależnych równań więzów holonomicznych redukuje liczbę stopni swobody układu N punktów materialnych do 3N k. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/25

26 Więzy i ich klasyfikacja W wielu zagadnieniach występują geometryczne ograniczenia ruchu, które nazywamy więzami. Więzy, mimo że ograniczają liczbę stopni swobody układu, to na ogół utrudniają rozwiązanie zagadnienia ruchu. Wynika to z konieczności uwzględnienia dodatkowych sił. Więzy holonomiczne to więzy opisane równaniami f i (q 1,q 2,...,q 3N,t) =0, i =1,2,...,k. k niezależnych równań więzów holonomicznych redukuje liczbę stopni swobody układu N punktów materialnych do 3N k. Więzy nieholonomiczne to więzy, których nie można opisać zwykłymi(algebraicznymi) równaniami. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/25

27 Więzy i ich klasyfikacja W wielu zagadnieniach występują geometryczne ograniczenia ruchu, które nazywamy więzami. Więzy, mimo że ograniczają liczbę stopni swobody układu, to na ogół utrudniają rozwiązanie zagadnienia ruchu. Wynika to z konieczności uwzględnienia dodatkowych sił. Więzy holonomiczne to więzy opisane równaniami f i (q 1,q 2,...,q 3N,t) =0, i =1,2,...,k. k niezależnych równań więzów holonomicznych redukuje liczbę stopni swobody układu N punktów materialnych do 3N k. Więzy nieholonomiczne to więzy, których nie można opisać zwykłymi(algebraicznymi) równaniami. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/25

28 Więzy holonomiczne przykłady Przykład1.Krążekopromieniurtoczysiębezpoślizguna płaszczyźnie po prostej nachylonej do osi Ox kartezjańskiego układu współrzędnych pod kątem α. Prosta ta spełnia rolę więzów. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/25

29 Więzy holonomiczne przykłady Przykład1.Krążekopromieniurtoczysiębezpoślizguna płaszczyźnie po prostej nachylonej do osi Ox kartezjańskiego układu współrzędnych pod kątem α. Prosta ta spełnia rolę więzów. Bez więzów do opisu ruchu krążka na płaszczyźnie potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/25

30 Więzy holonomiczne przykłady Przykład1.Krążekopromieniurtoczysiębezpoślizguna płaszczyźnie po prostej nachylonej do osi Ox kartezjańskiego układu współrzędnych pod kątem α. Prosta ta spełnia rolę więzów. Bez więzów do opisu ruchu krążka na płaszczyźnie potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych, np. współrzędnych środkakrążka (x,y)ikątaazymutalnego ϕ opisującego możliwy ruch obrotowy krążka, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/25

31 Więzy holonomiczne przykłady Przykład1.Krążekopromieniurtoczysiębezpoślizguna płaszczyźnie po prostej nachylonej do osi Ox kartezjańskiego układu współrzędnych pod kątem α. Prosta ta spełnia rolę więzów. Bez więzów do opisu ruchu krążka na płaszczyźnie potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych, np. współrzędnych środkakrążka (x,y)ikątaazymutalnego ϕ opisującego możliwy ruch obrotowy krążka, ale krążek może poruszać się tylko wzdłuż prostej. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/25

32 Więzy holonomiczne przykłady Przykład1.Krążekopromieniurtoczysiębezpoślizguna płaszczyźnie po prostej nachylonej do osi Ox kartezjańskiego układu współrzędnych pod kątem α. Prosta ta spełnia rolę więzów. Bez więzów do opisu ruchu krążka na płaszczyźnie potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych, np. współrzędnych środkakrążka (x,y)ikątaazymutalnego ϕ opisującego możliwy ruch obrotowy krążka, ale krążek może poruszać się tylko wzdłuż prostej. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/25

33 Więzy holonomiczne przykłady Fakt ten możemy zapisać równaniami określającymi współrzędne (x A,y A )punktua,wktórymkrążekstykasięzprostą.załóżmy,że w chwili początkowej punkt A znajduje się w początku układu współrzędnych. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/25

34 Więzy holonomiczne przykłady Fakt ten możemy zapisać równaniami określającymi współrzędne (x A,y A )punktua,wktórymkrążekstykasięzprostą.załóżmy,że w chwili początkowej punkt A znajduje się w początku układu współrzędnych. Odległość punktu A od początku układu jest równa długości łuku opartej na kącie ϕ, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/25

35 Więzy holonomiczne przykłady Fakt ten możemy zapisać równaniami określającymi współrzędne (x A,y A )punktua,wktórymkrążekstykasięzprostą.załóżmy,że w chwili początkowej punkt A znajduje się w początku układu współrzędnych. Odległość punktu A od początku układu jest równa długości łuku opartej na kącie ϕ, a więc otrzymujemy równania x A =rϕcosα, y A =rϕsinα, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/25

36 Więzy holonomiczne przykłady Fakt ten możemy zapisać równaniami określającymi współrzędne (x A,y A )punktua,wktórymkrążekstykasięzprostą.załóżmy,że w chwili początkowej punkt A znajduje się w początku układu współrzędnych. Odległość punktu A od początku układu jest równa długości łuku opartej na kącie ϕ, a więc otrzymujemy równania x A =rϕcosα, y A =rϕsinα, które łatwo sprowadzić do postaci x A rϕcosα =0, y A rϕsinα =0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/25

37 Więzy holonomiczne przykłady Fakt ten możemy zapisać równaniami określającymi współrzędne (x A,y A )punktua,wktórymkrążekstykasięzprostą.załóżmy,że w chwili początkowej punkt A znajduje się w początku układu współrzędnych. Odległość punktu A od początku układu jest równa długości łuku opartej na kącie ϕ, a więc otrzymujemy równania x A =rϕcosα, y A =rϕsinα, które łatwo sprowadzić do postaci x A rϕcosα =0, y A rϕsinα =0. Liczbastopniswobodyjestzatemrównan =3 2 =1. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/25

38 Więzy holonomiczne przykłady Fakt ten możemy zapisać równaniami określającymi współrzędne (x A,y A )punktua,wktórymkrążekstykasięzprostą.załóżmy,że w chwili początkowej punkt A znajduje się w początku układu współrzędnych. Odległość punktu A od początku układu jest równa długości łuku opartej na kącie ϕ, a więc otrzymujemy równania x A =rϕcosα, y A =rϕsinα, które łatwo sprowadzić do postaci x A rϕcosα =0, y A rϕsinα =0. Liczbastopniswobodyjestzatemrównan =3 2 =1. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/25

39 Więzy holonomiczne przykłady Przykład 2. Koralik poruszający się po parabolicznym drucie obracającym się ze stała prędkością kątową ω względem osi symetrii paraboli. Umieśćmy wierzchołek paraboli w początku kartezjańskiego układu współrzędnych. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/25

40 Więzy holonomiczne przykłady Przykład 2. Koralik poruszający się po parabolicznym drucie obracającym się ze stała prędkością kątową ω względem osi symetrii paraboli. Umieśćmy wierzchołek paraboli w początku kartezjańskiego układu współrzędnych. Bez więzów do opisu ruchu koralika w przestrzeni potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/25

41 Więzy holonomiczne przykłady Przykład 2. Koralik poruszający się po parabolicznym drucie obracającym się ze stała prędkością kątową ω względem osi symetrii paraboli. Umieśćmy wierzchołek paraboli w początku kartezjańskiego układu współrzędnych. Bez więzów do opisu ruchu koralika w przestrzeni potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych. Ze względu na symetrię zagadnienia wybieramy współrzędne cylindryczne, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/25

42 Więzy holonomiczne przykłady Przykład 2. Koralik poruszający się po parabolicznym drucie obracającym się ze stała prędkością kątową ω względem osi symetrii paraboli. Umieśćmy wierzchołek paraboli w początku kartezjańskiego układu współrzędnych. Bez więzów do opisu ruchu koralika w przestrzeni potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych. Ze względu na symetrię zagadnienia wybieramy współrzędne cylindryczne, w których równania więzów mają postać: Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/25

43 Więzy holonomiczne przykłady Przykład 2. Koralik poruszający się po parabolicznym drucie obracającym się ze stała prędkością kątową ω względem osi symetrii paraboli. Umieśćmy wierzchołek paraboli w początku kartezjańskiego układu współrzędnych. Bez więzów do opisu ruchu koralika w przestrzeni potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych. Ze względu na symetrię zagadnienia wybieramy współrzędne cylindryczne, w których równania więzów mają postać: ϕ =ωt, z =ar 2. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/25

44 Więzy holonomiczne przykłady Przykład 2. Koralik poruszający się po parabolicznym drucie obracającym się ze stała prędkością kątową ω względem osi symetrii paraboli. Umieśćmy wierzchołek paraboli w początku kartezjańskiego układu współrzędnych. Bez więzów do opisu ruchu koralika w przestrzeni potrzebowalibyśmy 3 współrzędnych. Ze względu na symetrię zagadnienia wybieramy współrzędne cylindryczne, w których równania więzów mają postać: ϕ =ωt, z =ar 2. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/25

45 Więzy holonomiczne przykłady Równanieϕ =ωtokreślawartośćkąta,októryobrócisię płaszczyzna paraboli w czasie t, jeśli w chwili początkowej pokrywałasięonazpłaszczyznąxoy,arównaniez=ar 2 jest równaniem paraboli o zadanym współczynniku a. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/25

46 Więzy holonomiczne przykłady Równanieϕ =ωtokreślawartośćkąta,októryobrócisię płaszczyzna paraboli w czasie t, jeśli w chwili początkowej pokrywałasięonazpłaszczyznąxoy,arównaniez=ar 2 jest równaniem paraboli o zadanym współczynniku a. Przypomnijmy, że równanie paraboli o wierzchołku w początku układuwspółrzędnychmapostaćy =ax 2.Wtymprzypadkurolę zmiennejxspełniar,arolęzmiennejyspełniaz. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/25

47 Więzy holonomiczne przykłady Równanieϕ =ωtokreślawartośćkąta,októryobrócisię płaszczyzna paraboli w czasie t, jeśli w chwili początkowej pokrywałasięonazpłaszczyznąxoy,arównaniez=ar 2 jest równaniem paraboli o zadanym współczynniku a. Przypomnijmy, że równanie paraboli o wierzchołku w początku układuwspółrzędnychmapostaćy =ax 2.Wtymprzypadkurolę zmiennejxspełniar,arolęzmiennejyspełniaz. Równania więzów łatwo sprowadzić do postaci ϕ ωt =0, z ar 2 =0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/25

48 Więzy holonomiczne przykłady Równanieϕ =ωtokreślawartośćkąta,októryobrócisię płaszczyzna paraboli w czasie t, jeśli w chwili początkowej pokrywałasięonazpłaszczyznąxoy,arównaniez=ar 2 jest równaniem paraboli o zadanym współczynniku a. Przypomnijmy, że równanie paraboli o wierzchołku w początku układuwspółrzędnychmapostaćy =ax 2.Wtymprzypadkurolę zmiennejxspełniar,arolęzmiennejyspełniaz. Równania więzów łatwo sprowadzić do postaci ϕ ωt =0, z ar 2 =0. Również tym razem liczba stopni swobody jest równa n =3 2 =1. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/25

49 Więzy holonomiczne przykłady Równanieϕ =ωtokreślawartośćkąta,októryobrócisię płaszczyzna paraboli w czasie t, jeśli w chwili początkowej pokrywałasięonazpłaszczyznąxoy,arównaniez=ar 2 jest równaniem paraboli o zadanym współczynniku a. Przypomnijmy, że równanie paraboli o wierzchołku w początku układuwspółrzędnychmapostaćy =ax 2.Wtymprzypadkurolę zmiennejxspełniar,arolęzmiennejyspełniaz. Równania więzów łatwo sprowadzić do postaci ϕ ωt =0, z ar 2 =0. Również tym razem liczba stopni swobody jest równa n =3 2 =1. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/25

50 Więzy nieholonomiczne przykłady Przykład 3. Punkt materialny zsuwa się po powierzchni kuli o promieniu R. Położenie punktu opisujemy wektorem r. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/25

51 Więzy nieholonomiczne przykłady Przykład 3. Punkt materialny zsuwa się po powierzchni kuli o promieniu R. Położenie punktu opisujemy wektorem r. Jeśli prędkość punktu będzie mała, to będzie on pozostawał na powierzchni kuli, jeśli natomiast prędkość punktu będzie odpowiednio duża, to oderwie się on od powierzchni. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/25

52 Więzy nieholonomiczne przykłady Przykład 3. Punkt materialny zsuwa się po powierzchni kuli o promieniu R. Położenie punktu opisujemy wektorem r. Jeśli prędkość punktu będzie mała, to będzie on pozostawał na powierzchni kuli, jeśli natomiast prędkość punktu będzie odpowiednio duża, to oderwie się on od powierzchni. Obie możliwości możemy uwzględnić pisząc nierówność dla wektora położenia punktu r = r(t) r 2 R 2 r 2 R 2 0, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/25

53 Więzy nieholonomiczne przykłady Przykład 3. Punkt materialny zsuwa się po powierzchni kuli o promieniu R. Położenie punktu opisujemy wektorem r. Jeśli prędkość punktu będzie mała, to będzie on pozostawał na powierzchni kuli, jeśli natomiast prędkość punktu będzie odpowiednio duża, to oderwie się on od powierzchni. Obie możliwości możemy uwzględnić pisząc nierówność dla wektora położenia punktu r = r(t) r 2 R 2 r 2 R 2 0, która oczywiście nie jest równaniem. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/25

54 Więzy nieholonomiczne przykłady Przykład 3. Punkt materialny zsuwa się po powierzchni kuli o promieniu R. Położenie punktu opisujemy wektorem r. Jeśli prędkość punktu będzie mała, to będzie on pozostawał na powierzchni kuli, jeśli natomiast prędkość punktu będzie odpowiednio duża, to oderwie się on od powierzchni. Obie możliwości możemy uwzględnić pisząc nierówność dla wektora położenia punktu r = r(t) r 2 R 2 r 2 R 2 0, która oczywiście nie jest równaniem. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/25

55 Więzy nieholonomiczne przykłady Ważną klasę więzów nieholonomicznych tworzą więzy różniczkowe niecałkowalne. Przykład 4. Moneta toczy się bez poślizgu swoją boczną stroną po blacie stołu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/25

56 Więzy nieholonomiczne przykłady Ważną klasę więzów nieholonomicznych tworzą więzy różniczkowe niecałkowalne. Przykład 4. Moneta toczy się bez poślizgu swoją boczną stroną po blacie stołu. Położenie monety możemy opisać podając 5 współrzędnych, które możemy wybrać następująco x A,y A współrzędnepunktua,wktórymmonetastykasięz blatem, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/25

57 Więzy nieholonomiczne przykłady Ważną klasę więzów nieholonomicznych tworzą więzy różniczkowe niecałkowalne. Przykład 4. Moneta toczy się bez poślizgu swoją boczną stroną po blacie stołu. Położenie monety możemy opisać podając 5 współrzędnych, które możemy wybrać następująco x A,y A współrzędnepunktua,wktórymmonetastykasięz blatem, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/25

58 Więzy nieholonomiczne przykłady ϕ kąt,którytworzychwilowykierunekruchumonetyzosią Ox, θ kąt nachylenia płaszczyzny monety do blatu, ψ kątobrotowymonety. W każdej chwili moneta toczy się w kierunku prostej, wzdłuż której płaszczyzna monety przecina się z blatem. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/25

59 Więzy nieholonomiczne przykłady ϕ kąt,którytworzychwilowykierunekruchumonetyzosią Ox, θ kąt nachylenia płaszczyzny monety do blatu, ψ kątobrotowymonety. W każdej chwili moneta toczy się w kierunku prostej, wzdłuż której płaszczyzna monety przecina się z blatem. Przy obrocie o nieskończenie mały kąt dψ kierunek ruchu, a więc kąt ϕ, pozostaje w przybliżeniu stały. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/25

60 Więzy nieholonomiczne przykłady ϕ kąt,którytworzychwilowykierunekruchumonetyzosią Ox, θ kąt nachylenia płaszczyzny monety do blatu, ψ kątobrotowymonety. W każdej chwili moneta toczy się w kierunku prostej, wzdłuż której płaszczyzna monety przecina się z blatem. Przy obrocie o nieskończenie mały kąt dψ kierunek ruchu, a więc kąt ϕ, pozostaje w przybliżeniu stały. RzutypokonanejprzytakimobrociedrogirdψnaosieOxiOy dane są odpowiednio równaniami dx A = rdψcosϕ, dy A = rdψsinϕ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/25

61 Więzy nieholonomiczne przykłady ϕ kąt,którytworzychwilowykierunekruchumonetyzosią Ox, θ kąt nachylenia płaszczyzny monety do blatu, ψ kątobrotowymonety. W każdej chwili moneta toczy się w kierunku prostej, wzdłuż której płaszczyzna monety przecina się z blatem. Przy obrocie o nieskończenie mały kąt dψ kierunek ruchu, a więc kąt ϕ, pozostaje w przybliżeniu stały. RzutypokonanejprzytakimobrociedrogirdψnaosieOxiOy dane są odpowiednio równaniami dx A = rdψcosϕ, dy A = rdψsinϕ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/25

62 Więzy nieholonomiczne przykłady Znak po prawej stronie odzwierciedla fakt, że zgodnie z rysunkiemprzyrostywspółrzędnychx A iy A sąujemne. Przenosząc wszystko na lewą stronę i zmieniając kolejność otrzymamy dx A +rcosϕdψ = 0, dy A +rsinϕdψ = 0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/25

63 Więzy nieholonomiczne przykłady Znak po prawej stronie odzwierciedla fakt, że zgodnie z rysunkiemprzyrostywspółrzędnychx A iy A sąujemne. Przenosząc wszystko na lewą stronę i zmieniając kolejność otrzymamy dx A +rcosϕdψ = 0, dy A +rsinϕdψ = 0. Jest to układ równań różniczkowych. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/25

64 Więzy nieholonomiczne przykłady Znak po prawej stronie odzwierciedla fakt, że zgodnie z rysunkiemprzyrostywspółrzędnychx A iy A sąujemne. Przenosząc wszystko na lewą stronę i zmieniając kolejność otrzymamy dx A +rcosϕdψ = 0, dy A +rsinϕdψ = 0. Jest to układ równań różniczkowych. Za chwilę pokażemy, że układtenniejestcałkowalny,azatemniemożnagozapisaćw postaci układu równań algebraicznych. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/25

65 Więzy nieholonomiczne przykłady Znak po prawej stronie odzwierciedla fakt, że zgodnie z rysunkiemprzyrostywspółrzędnychx A iy A sąujemne. Przenosząc wszystko na lewą stronę i zmieniając kolejność otrzymamy dx A +rcosϕdψ = 0, dy A +rsinϕdψ = 0. Jest to układ równań różniczkowych. Za chwilę pokażemy, że układtenniejestcałkowalny,azatemniemożnagozapisaćw postaci układu równań algebraicznych. Jak sprawdzić czy układ równań różniczkowych jest całkowalny lub nie? Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/25

66 Więzy nieholonomiczne przykłady Znak po prawej stronie odzwierciedla fakt, że zgodnie z rysunkiemprzyrostywspółrzędnychx A iy A sąujemne. Przenosząc wszystko na lewą stronę i zmieniając kolejność otrzymamy dx A +rcosϕdψ = 0, dy A +rsinϕdψ = 0. Jest to układ równań różniczkowych. Za chwilę pokażemy, że układtenniejestcałkowalny,azatemniemożnagozapisaćw postaci układu równań algebraicznych. Jak sprawdzić czy układ równań różniczkowych jest całkowalny lub nie? Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/25

67 Więzy różniczkowe Rozważmy ogólną postać k równań więzów różniczkowych nałożonych na układ N punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni. 3N j=1 a ij dq j +a it dt =0, i =1,2,...,k, gdziewspółczynnikia ij ia it mogązależećodwszystkich współrzędnych uogólnionych i czasu, ale nie zależą od prędkości ( a ij =a ij q1,q 2,...,q }{{ 3N,t ) a } ij (q,t), q ( a it =a it q1,q 2,...,q }{{ 3N,t ) a } it (q,t). q Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/25

68 Więzy różniczkowe Rozważmy ogólną postać k równań więzów różniczkowych nałożonych na układ N punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni. 3N j=1 a ij dq j +a it dt =0, i =1,2,...,k, gdziewspółczynnikia ij ia it mogązależećodwszystkich współrzędnych uogólnionych i czasu, ale nie zależą od prędkości ( a ij =a ij q1,q 2,...,q }{{ 3N,t ) a } ij (q,t), q ( a it =a it q1,q 2,...,q }{{ 3N,t ) a } it (q,t). q Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/25

69 Więzy różniczkowe Wprowadziliśmy tu skrótową notację, w której zależność od wszystkichwspółrzędnychuogólnionychq 1,q 2,...,q 3N oznaczyliśmy literą q. Tej skrótowej notacji będziemy często używać. Układ równań 3N j=1 a ij dq j +a it dt =0, i =1,2,...,k, jest z pewnością całkowalny, jeśli istnieje zbiór funkcji różniczkowalnychf i (q,t),i =1,2,...,k,dlaktórychpowyższe równania są różniczkami zupełnymi. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 16/25

70 Więzy różniczkowe Wprowadziliśmy tu skrótową notację, w której zależność od wszystkichwspółrzędnychuogólnionychq 1,q 2,...,q 3N oznaczyliśmy literą q. Tej skrótowej notacji będziemy często używać. Układ równań 3N j=1 a ij dq j +a it dt =0, i =1,2,...,k, jest z pewnością całkowalny, jeśli istnieje zbiór funkcji różniczkowalnychf i (q,t),i =1,2,...,k,dlaktórychpowyższe równania są różniczkami zupełnymi. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 16/25

71 Więzy różniczkowe Obliczmyróżniczkęzupełnąfunkcjif i (q,t)iprzyrównajmyjądo lewej strony i-tego równania więzów df i = 3N j=1 f i dq j + f 3N i q j t dt a ij dq j +a it dt. Równość zachodzi tylko pod warunkiem równości współczynników przyniezależnychprzyrostachzmiennychdq j idt j=1 f i q j =a ij i f i t =a it, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/25

72 Więzy różniczkowe Obliczmyróżniczkęzupełnąfunkcjif i (q,t)iprzyrównajmyjądo lewej strony i-tego równania więzów df i = 3N j=1 f i dq j + f 3N i q j t dt a ij dq j +a it dt. Równość zachodzi tylko pod warunkiem równości współczynników przyniezależnychprzyrostachzmiennychdq j idt j=1 f i q j =a ij i f i t =a it, alewarunkiemwystarczającymnatoabyfunkcjaf i (q,t)była różniczkowalna jest istnienie wszystkich drugich pochodnych i równość odpowiednich pochodnych mieszanych. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/25

73 Więzy różniczkowe Obliczmyróżniczkęzupełnąfunkcjif i (q,t)iprzyrównajmyjądo lewej strony i-tego równania więzów df i = 3N j=1 f i dq j + f 3N i q j t dt a ij dq j +a it dt. Równość zachodzi tylko pod warunkiem równości współczynników przyniezależnychprzyrostachzmiennychdq j idt j=1 f i q j =a ij i f i t =a it, alewarunkiemwystarczającymnatoabyfunkcjaf i (q,t)była różniczkowalna jest istnienie wszystkich drugich pochodnych i równość odpowiednich pochodnych mieszanych. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/25

74 Więzy różniczkowe Różniczkując w odpowiedni sposób związki f i q j =a ij i f i t =a it otrzymujemy warunki 2 f i q j q l = a ij q l = 2 f i q l q j = a il q j, 2 f i q j t = a ij t = 2 f i t q j = a it q j, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/25

75 Więzy różniczkowe Różniczkując w odpowiedni sposób związki f i q j =a ij i f i t =a it otrzymujemy warunki 2 f i q j q l = a ij q l = 2 f i q l q j = a il q j, 2 f i q j t = a ij t = 2 f i t q j = a it q j, awięc a ij q l = a il q j, a ij t = a it q j, dlawszystkichwartościindeksówi,jtakich,żei j. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/25

76 Więzy różniczkowe Różniczkując w odpowiedni sposób związki f i q j =a ij i f i t =a it otrzymujemy warunki 2 f i q j q l = a ij q l = 2 f i q l q j = a il q j, 2 f i q j t = a ij t = 2 f i t q j = a it q j, awięc a ij q l = a il q j, a ij t = a it q j, dlawszystkichwartościindeksówi,jtakich,żei j. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/25

77 Więzy różniczkowe Otrzymaliśmy w ten sposób następujący warunek. Więzy różniczkowe 3N j=1 a ij dq j +a it dt =0, i =1,2,...,k, są całkowalne, jeśli niezależne od prędkości uogólnionych współczynnikia ij (q,t)ia it (q,t)spełniająwarunki a ij q l = a il q j, a ij t = a it q j, dlawszystkichwartościindeksówi,jtakich,żei j. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 19/25

78 Więzy różniczkowe Otrzymaliśmy w ten sposób następujący warunek. Więzy różniczkowe 3N j=1 a ij dq j +a it dt =0, i =1,2,...,k, są całkowalne, jeśli niezależne od prędkości uogólnionych współczynnikia ij (q,t)ia it (q,t)spełniająwarunki a ij q l = a il q j, a ij t = a it q j, dlawszystkichwartościindeksówi,jtakich,żei j. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 19/25

79 Więzy różniczkowe Uwaga. Warunki te można w rzeczywistości osłabić do żądania abyformaróżniczkowa 3N j=1 a ij dq j +a it dtmiałatzw.czynnik całkujący, co można sprowadzić do warunku ( ail a ik a ) ( ij aik +a ij a ) ( il aij +a il a ) ik =0. q j q l q l q k q k q j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/25

80 Więzy różniczkowe Uwaga. Warunki te można w rzeczywistości osłabić do żądania abyformaróżniczkowa 3N j=1 a ij dq j +a it dtmiałatzw.czynnik całkujący, co można sprowadzić do warunku ( ail a ik a ) ( ij aik +a ij a ) ( il aij +a il a ) ik =0. q j q l q l q k q k q j Wyprowadzenie tego warunku można znaleźć np. w podręczniku G. Białkowskiego Mechanika klasyczna. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/25

81 Więzy różniczkowe Uwaga. Warunki te można w rzeczywistości osłabić do żądania abyformaróżniczkowa 3N j=1 a ij dq j +a it dtmiałatzw.czynnik całkujący, co można sprowadzić do warunku ( ail a ik a ) ( ij aik +a ij a ) ( il aij +a il a ) ik =0. q j q l q l q k q k q j Wyprowadzenie tego warunku można znaleźć np. w podręczniku G. Białkowskiego Mechanika klasyczna. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/25

82 Więzy różniczkowe przykłady Zadanie 1. Udowodnić, że więzy w przykładzie z monetą toczącą się po blacie stołu dane równaniami różniczkowymi dx A +rcosϕdψ = 0, dy A +rsinϕdψ = 0. nie są całkowalne. Rozwiązanie. Przeprowadzimy dowód nie wprost, tzn. pokażemy, że założenie całkowalności układu prowadzi do sprzeczności. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/25

83 Więzy różniczkowe przykłady Zadanie 1. Udowodnić, że więzy w przykładzie z monetą toczącą się po blacie stołu dane równaniami różniczkowymi dx A +rcosϕdψ = 0, dy A +rsinϕdψ = 0. nie są całkowalne. Rozwiązanie. Przeprowadzimy dowód nie wprost, tzn. pokażemy, że założenie całkowalności układu prowadzi do sprzeczności. Powyższy układ równań jest całkowalny jeśli istnieją dwie funkcje pięciuzmiennychf i (x A,y A,ϕ,θ,ψ),i =1,2,dlaktórychrównania układu są różniczkami zupełnymi. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/25

84 Więzy różniczkowe przykłady Zadanie 1. Udowodnić, że więzy w przykładzie z monetą toczącą się po blacie stołu dane równaniami różniczkowymi dx A +rcosϕdψ = 0, dy A +rsinϕdψ = 0. nie są całkowalne. Rozwiązanie. Przeprowadzimy dowód nie wprost, tzn. pokażemy, że założenie całkowalności układu prowadzi do sprzeczności. Powyższy układ równań jest całkowalny jeśli istnieją dwie funkcje pięciuzmiennychf i (x A,y A,ϕ,θ,ψ),i =1,2,dlaktórychrównania układu są różniczkami zupełnymi. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/25

85 Więzy różniczkowe przykłady Obliczmyróżniczkizupełnefunkcjif i (x A,y A,ϕ,θ,ψ),i =1,2,i przyrównajmy do lewej strony równań więzów f 1 dx A + f 1 dy A + f 1 x A y A ϕ dϕ+ f 1 θ dθ + f 1 ψ dψ = dx A +rcosϕdψ, f 2 dx A + f 2 dy A + f 2 x A y A ϕ dϕ+ f 2 θ dθ + f 2 ψ dψ = dy A +rsinϕdψ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/25

86 Więzy różniczkowe przykłady Obliczmyróżniczkizupełnefunkcjif i (x A,y A,ϕ,θ,ψ),i =1,2,i przyrównajmy do lewej strony równań więzów f 1 dx A + f 1 dy A + f 1 x A y A ϕ dϕ+ f 1 θ dθ + f 1 ψ dψ = dx A +rcosϕdψ, f 2 dx A + f 2 dy A + f 2 x A y A ϕ dϕ+ f 2 θ dθ + f 2 ψ dψ = dy A +rsinϕdψ. Porównajmywspółczynnikiprzydx A,dy A,dϕ,dθidψ f 1 =1, x A f 2 =0, x A f 1 =0, y A f 2 =1, y A f 1 ϕ =0, f 1 θ =0, f 1 ψ =rcosϕ, f 2 ϕ =0, f 2 θ =0, f 2 ψ =rsinϕ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/25

87 Więzy różniczkowe przykłady Obliczmyróżniczkizupełnefunkcjif i (x A,y A,ϕ,θ,ψ),i =1,2,i przyrównajmy do lewej strony równań więzów f 1 dx A + f 1 dy A + f 1 x A y A ϕ dϕ+ f 1 θ dθ + f 1 ψ dψ = dx A +rcosϕdψ, f 2 dx A + f 2 dy A + f 2 x A y A ϕ dϕ+ f 2 θ dθ + f 2 ψ dψ = dy A +rsinϕdψ. Porównajmywspółczynnikiprzydx A,dy A,dϕ,dθidψ f 1 =1, x A f 2 =0, x A f 1 =0, y A f 2 =1, y A f 1 ϕ =0, f 1 θ =0, f 1 ψ =rcosϕ, f 2 ϕ =0, f 2 θ =0, f 2 ψ =rsinϕ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/25

88 Więzy różniczkowe przykłady Skoncentrujmy się na równaniach w kolorze niebieskim f 1 ϕ =0, f 1 ψ =rcosϕ, f 2 ϕ =0, f 2 ψ =rsinϕ. Zróżniczkujmy równania w pierwszej kolumnie po zmiennej ψ, a równania w drugiej kolumnie po zmiennej ϕ Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/25

89 Więzy różniczkowe przykłady Skoncentrujmy się na równaniach w kolorze niebieskim f 1 ϕ =0, f 1 ψ =rcosϕ, f 2 ϕ =0, f 2 ψ =rsinϕ. Zróżniczkujmy równania w pierwszej kolumnie po zmiennej ψ, a równania w drugiej kolumnie po zmiennej ϕ 2 f 1 ϕ ψ =0 2 f 1 ψ ϕ = rsinϕ, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/25

90 Więzy różniczkowe przykłady Skoncentrujmy się na równaniach w kolorze niebieskim f 1 ϕ =0, f 1 ψ =rcosϕ, f 2 ϕ =0, f 2 ψ =rsinϕ. Zróżniczkujmy równania w pierwszej kolumnie po zmiennej ψ, a równania w drugiej kolumnie po zmiennej ϕ 2 f 1 ϕ ψ =0 2 f 1 ψ ϕ = rsinϕ, 2 f 2 ϕ ψ =0 2 f 2 ψ ϕ =rcosϕ, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/25

91 Więzy różniczkowe przykłady Skoncentrujmy się na równaniach w kolorze niebieskim f 1 ϕ =0, f 1 ψ =rcosϕ, f 2 ϕ =0, f 2 ψ =rsinϕ. Zróżniczkujmy równania w pierwszej kolumnie po zmiennej ψ, a równania w drugiej kolumnie po zmiennej ϕ 2 f 1 ϕ ψ =0 2 f 1 ψ ϕ = rsinϕ, 2 f 2 ϕ ψ =0 2 f 2 ψ ϕ =rcosϕ, a zatem układ równań nie jest całkowalny. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/25

92 Więzy różniczkowe przykłady Skoncentrujmy się na równaniach w kolorze niebieskim f 1 ϕ =0, f 1 ψ =rcosϕ, f 2 ϕ =0, f 2 ψ =rsinϕ. Zróżniczkujmy równania w pierwszej kolumnie po zmiennej ψ, a równania w drugiej kolumnie po zmiennej ϕ 2 f 1 ϕ ψ =0 2 f 1 ψ ϕ = rsinϕ, 2 f 2 ϕ ψ =0 2 f 2 ψ ϕ =rcosϕ, a zatem układ równań nie jest całkowalny. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/25

93 Więzy różniczkowe przykłady Uwaga. Właściwie dla wyprowadzenia powyższej konkluzji należałoby pokazać, że nie istnieje czynnik całkujący. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/25

94 Dalsza klasyfikacja więzów Więzy możemy również sklasyfikować ze względu na zależność od czasu dzieląc je na więzy skleronomiczne, które nie zawierają jawnej zależności od czasu,jaknp.więzyx A rϕcosα =0,y A rϕsinα =0,z przykładu krążka toczącego się po prostej, więzy reonomiczne, które zależą jawnie od czasu, jak np. więzyϕ =ωt,z=ar 2,wprzypadkukoralikaporuszającego się po obracającej się paraboli. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/25

95 Dalsza klasyfikacja więzów Więzy możemy również sklasyfikować ze względu na zależność od czasu dzieląc je na więzy skleronomiczne, które nie zawierają jawnej zależności od czasu,jaknp.więzyx A rϕcosα =0,y A rϕsinα =0,z przykładu krążka toczącego się po prostej, więzy reonomiczne, które zależą jawnie od czasu, jak np. więzyϕ =ωt,z=ar 2,wprzypadkukoralikaporuszającego się po obracającej się paraboli. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/25

Symetrie i prawa zachowania Wykład 6

Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/29 Rola symetrii Największym

Bardziej szczegółowo

IV.3 Ruch swobodny i nieswobodny. Więzy. Reakcje więzów

IV.3 Ruch swobodny i nieswobodny. Więzy. Reakcje więzów IV.3 Ruch swobodny i nieswobodny. Więzy. Reakcje więzów Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Ruch swobodny i nieswobodny. Stany równowagi Rozważamy ciało w pewnym układzie inercjalnym (UI). Gdy: prędkość tego

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA OGÓLNA (II)

MECHANIKA OGÓLNA (II) MECHNIK GÓLN (II) Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Liczba godzin: sem. II *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. sem. III *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz., ale

Bardziej szczegółowo

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9 Fizyka 1 (mechanika) 1100-1AF14 Wykład 9 Jerzy Łusakowski 05.12.2016 Plan wykładu Żyroskopy, bąki, etc. Toczenie się koła Ruch w polu sił centralnych Żyroskopy, bąki, etc. Niezrównoważony żyroskop L m

Bardziej szczegółowo

Kinematyka robotów mobilnych

Kinematyka robotów mobilnych Kinematyka robotów mobilnych Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Adaptacja slajdów do wykładu Autonomous mobile robots R. Siegwart (ETH Zurich Master Course:

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu

Bardziej szczegółowo

Mechanika Analityczna

Mechanika Analityczna Mechanika Analityczna Wykład 1 - Organizacja wykładu (sprawy zaliczeniowe, tematyka). Więzy i ich klasyfikacja Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej

Bardziej szczegółowo

Mechanika Analityczna

Mechanika Analityczna Mechanika Analityczna Wykład 2 - Zasada prac przygotowanych i ogólne równanie dynamiki Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej 29 lutego 2016 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

R o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

R o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO R o z d z i a ł KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Kinematyka zajmuje się opisem ruchu ciał bez uwzględniania ich masy i bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowały. Przez punkt materialny rozumiemy

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)

Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

ZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.

ZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał. ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)

Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Kinematyka ruchu

Bardziej szczegółowo

MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki

MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe 1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

Podstawy robotyki wykład V. Jakobian manipulatora. Osobliwości

Podstawy robotyki wykład V. Jakobian manipulatora. Osobliwości Podstawy robotyki Wykład V Jakobian manipulatora i osobliwości Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Metoda bezpośrednia uzyskania macierzy

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Jakobiany. Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu

Jakobiany. Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 1 Jakobiany Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu ( t )z(t)=k(x(t)) Ponieważ funkcje w powyższym równaniu są

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6. Ekoenergetyka Matematyka. Wykład 6. RÓWNANIA PŁASZCZYZN Fakt (równanie normalne płaszczyzny) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r [ x, y, z ] i prostopadłej

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁY METODĄ DRGAŃ SKRĘTNYCH

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁY METODĄ DRGAŃ SKRĘTNYCH WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁY METODĄ DRGAŃ SKRĘTNYCH I. Cel ćwiczenia: wyznaczenie momentu bezwładności bryły przez pomiar okresu drgań skrętnych, zastosowanie twierdzenia Steinera. II. Przyrządy:

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych Wstęp Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. W ogólnym przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami: gdzie: dowolna funkcja czasu. Ruch odbywa się po okręgu o środku

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności

Zasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności Zasady dynamiki Newtona Pęd i popęd Siły bezwładności Copyright by pleciuga@o2.pl Inercjalne układy odniesienia Układy inercjalne to takie układy odniesienia, względem których wszystkie ciała nie oddziałujące

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe 1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej

Bardziej szczegółowo

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0] Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Kinematyka. Podstawowe wielkości opisujące ruch. W tekście tym przedstawię podstawowe pojecia niezbędne do opiosu ruchu:

Wykład 2. Kinematyka. Podstawowe wielkości opisujące ruch. W tekście tym przedstawię podstawowe pojecia niezbędne do opiosu ruchu: Wykład 2. Kinematyka. Aby prześledzić tok tego wykładu MUSISZ rozumieć pojęcie wektora, jego składowych w układzie kartezjańskim oraz w trakcie wykładu zrozumieć intuicyjnie pojęcie pochodnej funkcji jednej

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 8, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 8, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 8, 09.03.0 wykład: pokazy: ćwiczenia: zesław Radzewicz Radosław hrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Wykład 7 - przypomnienie eikonał

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe

Bardziej szczegółowo

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011 Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1(mechanika) AF14. Wykład 5

Fizyka 1(mechanika) AF14. Wykład 5 Fizyka 1(mechanika) 1100-1AF14 Wykład 5 Jerzy Łusakowski 30.10.2017 Plan wykładu Ziemia jako układ nieinercjalny Fizyka 1(mechanika) 1100-1AF14 Wykład 5 Dwaj obserwatorzy- związek między mierzonymi współrzędnymi

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

Geometria Różniczkowa II wykład piąty

Geometria Różniczkowa II wykład piąty Geometria Różniczkowa II wykład piąty Wykład piąty poświęcony będzie pojęciu całkowalności dystrybucji oraz fundamentalnemu dal tego zagadnienia twierdzeniu Frobeniusa. Przy okazji postanowiłam sprawdzić

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie dwóch ciał

Zagadnienie dwóch ciał Zagadnienie dwóch ciał Rysunek : Rysunek ilustrujący zagadnienie dwóch ciał. Wektor R określa położenie środka masy, wektor x położenie masy m, a wektor x 2 położenie masy m 2. Położenie masy m 2 względem

Bardziej szczegółowo

Kinematyka: opis ruchu

Kinematyka: opis ruchu Kinematyka: opis ruchu Pojęcia podstawowe Punkt materialny Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać. Zazwyczaj przyjmujemy, że punkt materialny powinien być dostatecznie mały. Nie jest

Bardziej szczegółowo

VII.1 Pojęcia podstawowe.

VII.1 Pojęcia podstawowe. II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Kinematyka płynów - zadania

Kinematyka płynów - zadania Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe

Bardziej szczegółowo

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Podstawy robotyki wykład VI. Dynamika manipulatora

Podstawy robotyki wykład VI. Dynamika manipulatora Podstawy robotyki Wykład VI Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Dynamika opisuje sposób zachowania się manipulatora poddanego wymuszeniu

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicjach Sinus Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej

Bardziej szczegółowo

Geometria Struny Kosmicznej

Geometria Struny Kosmicznej Spis treści 1 Wstęp 2 Struny kosmiczne geneza 3 Czasoprzestrzeń struny kosmicznej 4 Metryka czasoprzestrzeni struny kosmicznej 5 Wyznaczanie geodezyjnych 6 Wykresy geodezyjnych 7 Wnioski 8 Pytania Wstęp

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)

. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b) Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany

Bardziej szczegółowo

D l. D p. Rodzaje baz jezdnych robotów mobilnych

D l. D p. Rodzaje baz jezdnych robotów mobilnych ERO Elementy robotyki 1 Rodzaje baz jezdnych robotów mobilnych Napęd różnicowy dwa niezależnie napędzane koła jednej osi, dla zachowania równowagi dodane jest trzecie koło bierne (lub dwa bierne koła)

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI ANALITYCZNEJ JULIUSZ GRABSKI JAROSLAW STRZALKO BOGUMIL MIANOWSKI. Nr 2170 PODSTAWY MECHANKIKI ANALITYCZNEJ ISBN

PODSTAWY MECHANIKI ANALITYCZNEJ JULIUSZ GRABSKI JAROSLAW STRZALKO BOGUMIL MIANOWSKI. Nr 2170 PODSTAWY MECHANKIKI ANALITYCZNEJ ISBN Nr 2170 PODSTAWY MECHANKIKI ANALITYCZNEJ JULIUSZ GRABSKI JAROSŁAW STRZAŁKO BOGUMIŁ MIANOWSKI ISBN 978-83-7283-753-0 JULIUSZ GRABSKI JAROSLAW STRZALKO BOGUMIL MIANOWSKI PODSTAWY MECHANIKI ANALITYCZNEJ POLITECHNIKA

Bardziej szczegółowo

OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA

OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA Wprowadzenie W robotyce przez pojęcie manipulacji rozumiemy przemieszczanie w przestrzeni przedmiotów i narzędzi za pomocą specjalnego mechanizmu. W związku z tym pojawia

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek

Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

2.9. Kinematyka typowych struktur manipulatorów

2.9. Kinematyka typowych struktur manipulatorów Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów str. 1 2.9. Kinematyka typowych struktur manipulatorów 2.9.1. Manipulator planarny 3DOF Notacja DH Rys. 28 Tablica 1 Parametry DH Nr ogniwa

Bardziej szczegółowo